Übungen zum Kurs Quadratische Gleichungen
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- Henriette Böhme
- vor 8 Jahren
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1 1. Kapitel (Aufgaben) Wandle die Gleichungen in die Normalform um: 1A) 1B) 1C) Wandle die Gleichungen in die Normalform bzw. Allgemeine Form um: 1D) ( + )( 5) 0 1E) ( + 1F) 6) 16 10( 3)( 4) 0 1G) Welche Arten von quadratischen Gleichungen unterscheidet man?. Kapitel (Aufgaben) Gemischt-quadratische Gleichungen ohne Absolutglied. Bestimme die Lösung(en): A) B) C) 4 0 D) E) F) Kapitel (Aufgaben) Quadratischen Gleichungen, die in Produktform vorliegen. Achtung: Die Klammern nicht auflösen. Bestimme die Lösung(en): 3A) ( ) ( 3) 0 3B) ( + 4) ( + 5) 0 3C) ( 6) ( + 7) 0 3D) ( + ) ( ) 0 3E) ( + 3) ( + 6) 0 3F) ( a) ( b) 0 3G) ( p) ( + q) 0 3H) ( 4) ( 4) 0 3i) ( + 3) ( 3) 0 3J) 3K) 3L) ( a) ( a) 0 ( 3) 0 ( + a) 0 4. Kapitel (Aufgaben) Reinquadratische Gleichungen. Bestimme die Lösungen: 4a) 64 4b) 56 4c) 0,01 4d) e) 4f) 4g) Kapitel (Aufgaben) 4h) Hier geht es um Gleichungen, die in der Form (+a) c vorliegen: (+1) 9 ( 7) 49 (+4) Löse die quadrat. Gleichungen mit Hilfe der Lösungsformel a ± c: 5a) 5b) 5c) Löse die quadratischen Gleichungen mit Hilfe der Betragsschreibweise: ( 5) 4 (+1) 36 ( 5) 64 (+) 16 ( 4) 100 5d) 5e) 5f) 5g) 5h)
2 6. Kapitel (Aufgaben) Löse die Gleichungen mit Hilfe der quadratischen Ergänzung : 6a) 6b) 6c) d) e) + 6f) g) 6h) Kapitel (Aufgaben) Lösedie Aufgabenmit Hilfeder p-q- Formel : 7a) 7b) 7c) d) + 7e) + 7f) g) h ) Kapitel (Aufgaben) Löse die Aufgaben mit der allg.lösungsformel: a) 8b) 8c) d) 8e) 8f) 8g) h) i)
3 Lösung zu 1a Gegeben: Gesucht: Normalform Umwandlung: : Ergebnis: Lösung zu 1b Gegeben: Gesucht: Normalform Umwandlung: : Ergebnis: Lösung zu 1c Gegeben: Gesucht: Normalform Umwandlung: : Ergebnis:
4 Lösung zu 1d Gegeben: (+ )( 5) 0 Gesucht: Normalform bzw. Allgemeine Form Umwandlung: (+ )( 5) Ergebnis: Lösung zu 1e Gegeben: ( 6) 16 ( + 6)( + 6) ( 6) Gesucht: Normalform bzw. Allgemeine Form Umwandlung: + Ergebnis: Lösung zu 1f Gegeben: 10( 3)( 4) 0 Gesucht: Normalform bzw. Allgemeine Form Umwandlung: 10( 3)( 4) 0 ( ) ( ) Ergebnis:
5 Lösung zu 1g Man unterscheidet zwischen reinquadratischen Gleichungen, gemischt-quadratischen Gleichungen mit Absolutglied und gemischt-quadratischen Gleichungen ohne Absolutglied.
6 Lösung zu a Gegeben: ausklammern: ( + 5) 0 Ergebnis: 0 oder 5 Lösung zu b Gegeben: ausklammern: 3 3 ( ) 0 Erste Lösung ablesen: 0 Zweite Lösung berechnen d.h. Klammer nullsetzen: :3 1 Ergebnis: 0 oder 1 Lösung zu c Gegeben: 4 0 ausklammern: ( 4) 0 Erste Lösung ablesen: 0 Zweite Lösung berechnen, d.h. Klammer nullsetzen: : Ergebnis: 0 oder
7 Lösung zu d Gegeben: ausklammern: 4 ( + 8) 0 Erste Lösung ablesen: 0 Zweite Lösung berechnen, d.h. Klammer nullsetzen: :4 Ergebnis: 0 oder Lösung zu e Gegeben: 10 0 ausklammern: ( 10) 0 Erste Lösung ablesen: 0 Zweite Lösung berechnen, d.h. Klammer nullsetzen: Ergebnis: 0 oder 10
8 Lösung zu f Gegeben: ausklammern: 5 ( + 8) 0 Erste Lösung ablesen: 0 Zweite Lösung berechnen, d.h. Klammer nullsetzen: :5 8 5 Ergebnis: oder 5
9 Lösung zu 3 Hilfe: Ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren oder beide Faktoren zu Null werden: 3A) ( ) ( 3) 0 3B) ( + 4) ( + 5) 0 3C) ( 6 ) ( + 7) 0 Lösung: oder 3 Lösung: 4 oder 5 Lösung: 6 oder 7 3D) ( + ) ( ) 0 Lösung: oder 3E) ( + 3) ( + 6) 0 Lösung: 3 oder 6 3F) ( a) ( b) 0 Lösung: a oder b 3G) ( p) (+ q) 0 Lösung: p oder q 3H) ( 4) ( 4) 0 Lösung: 4 3i) ( + 3) ( 3) 0 Lösung: 3 oder 3 3J) ( a) ( a) 0 Lösung: a 3K) 3L) ( ) 3 0 Lösung: 3 (+ a) 0 Lösung: a
10 Lösung zu 4a Die Lösungsformel (zur Erinnerung): c c ± Lösungsweg: 64 ± 64 Ergebnis: 8 oder 8 Lösung zu 4b Die Lösungsformel (zur Erinnerung): ± c c Lösungsweg: 56 ± 56 Ergebnis: 16 oder 16 Lösung zu 4c Die Lösungsformel (zur Erinnerung): c ± c Lösungsweg: 0,01 ± 0,01 Ergebnis: 0,1 oder 0,1
11 Lösung zu 4d Die Lösungsformel (zur Erinnerung): c ± c Lösungsweg: :7 81 ± 81 Ergebnis: 9 oder 9 Lösung zu 4e Die Lösungsformel (zur Erinnerung): ± c c Lösungsweg: ± 5 Ergebnis: 5 oder 5
12 Lösung zu 4f Die Lösungsformel (zur Erinnerung): c c Lösungsweg: 3 :3 ± ± 1 81 ± 1 1 ± 81 9 Ergebnis: 1 1 oder 9 9 Lösung zu 4g Die Lösungsformel (zur Erinnerung): ± c c Lösungsweg: ± 36 5 ± 36 6 ± 5 5 Ergebnis: 6 6 oder 5 5
13 Lösung zu 4h Die Lösungsformel (zur Erinnerung): c ± c Lösungsweg: ± ± ± Ergebnis: oder: 5 5
14 Lösung zu 5a Zur Erinnerung: Die Lösungsformel ± (+a) c a c Gegebene Gleichung: (+1) 9 a1 c9 Lösungsformel anwenden: a ± c 1± 9 1± 3 Ergebnis: 9 oder 15 Lösung zu 5b Zur Erinnerung: Die Lösungsformel (+a) c a± c Gegebene Gleichung: ( 7) 49 a 7 c49 Lösungsformel anwenden: a± c ( 7) ± 49 7 ± 7 Ergebnis: 14 oder 0
15 Lösung zu 5c Zur Erinnerung: Die Lösungsformel ± (+a) c a c Gegebene Gleichung: (+4) 5 a4 c5 Lösungsformel anwenden: a ± c 4± 5 4± 5 Ergebnis: 1 oder 9 Lösung zu 5d Zur Erinnerung: Die Lösungsformel (+a) c a± c Gegebene Gleichung: ( 5) 4 a 5 c4 Lösungsformel anwenden: a ± c ( 5) ± 4 5± Ergebnis: 7 oder 3
16 Lösung zu 5e Gegebene Gleichung : (+1) 36 Wurzel ziehen: (+1) 36 Für linke Seite die Betragsschreibweise wählen: (+1) 36 Betragsgleichung lösen: (+1) oder: (+1) oder: oder: ( 1) 5 oder: 7 Ergebnis: 5 oder 7
17 Lösung zu 5f Gegebene Gleichung : ( 5) 64 Wurzel ziehen: ( 5) 64 Für linke Seite die Betragsschreibweise wählen: ( 5) 64 Betragsgleichung lösen: ( 5) oder: ( 5) oder: oder: 8 5 ( 1) 13 oder: 3 Ergebnis: 13 oder 3
18 Lösung zu 5g Gegebene Gleichung : (+) 16 Wurzel ziehen: (+) 16 Für linke Seite die Betragsschreibweise wählen: (+) 16 Betragsgleichung lösen: (+) oder: (+) oder: 16 4 oder: 4+ ( 1) oder: 6 Ergebnis: oder 6
19 Lösung zu 5h Gegebene Gleichung : ( 4) 100 Wurzel ziehen: ( 4) 100 Für linke Seite die Betragsschreibweise wählen: ( 4) 100 Betragsgleichung lösen: ( 4) oder: ( 4) oder: oder: 10 4 ( 1) 14 oder: 6 Ergebnis: 14 oder 6
20 Lösung zu 6a Gegeben: Konstante auf rechte Seite bringen: +6 7.Quadratische Ergänzung bestimmen: Quadratische Ergänzung addieren: Gleichung in der Form (+a) c schreiben (d.h. als Quadrat): ( +3) 16 5.Lösungsformel verwenden a± c 3± 16 3± 4 Ergebnis: 1 oder 7
21 Lösung zu 6b Gegeben: Konstante auf rechte Seite bringen: entfällt.quadratische Ergänzung bestimmen: Quadratische Ergänzung addieren: Gleichung in der Form (+a) c schreiben (d.h. als Quadrat): ( + ( 4)) 4 5.Lösungsformel verwenden a± ( 4) ± 4 4± Ergebnis: 6 oder c
22 Lösung zu 6c Gegeben: Konstante auf rechte Seite bringen: Quadratische Ergänzung bestimmen: Quadratische Ergänzung addieren: Gleichung in der ( +5) 4 Form (+a) c schreiben (d.h. als Quadrat): 5.Lösungsformel verwenden a± c 5± 4 5± Ergebnis: 3 oder 7
23 Lösung zu 6d Gegeben: Konstante auf rechte Seite bringen: Quadratische Ergänzung bestimmen: Quadratische Ergänzung addieren: Gleichung in der Form (+a)c schreiben (d.h. als Quadrat): ( +4) 1 5.Lösungsformel verwenden a± c 4± 1 4± 1 Ergebnis: 3 oder 5
24 Lösung zu 6e Gegeben: Konstante auf rechte Seite bringen: entfällt.quadratische Ergänzung bestimmen: Quadratische Ergänzung addieren: Gleichung in der Form (+a) c schreiben (d.h. als Quadrat): Lösungsformel verwenden a± c 1 9 ± ± ± Ergebnis: 1 oder
25 Lösung zu 6f Gegeben: Konstante auf rechte Seite bringen: 6 +.Quadratische Ergänzung bestimmen: Quadratische Ergänzung addieren: Gleichung in der Form (+a) c schreiben (d.h. als Quadrat): Lösungsformel verwenden a± c 1 5 ± ± ± Ergebnis: oder 3
26 Lösung zu 6g Gegeben: Konstante auf rechte Seite bringen: 10 4.Quadratische Ergänzung bestimmen: Quadratische Ergänzung addieren: Gleichung in der ( + ( 5)) 1 Form (+a) c schreiben (d.h. als Quadrat): 5.Lösungsformel verwenden a± ( 5) ± 1 5± 1 Ergebnis: 6 oder 4 c
27 Lösung zu 6h Gegeben: Konstante auf rechte Seite bringen: Quadratische Ergänzung bestimmen: Quadratische Ergänzung addieren: Gleichung in der Form (+a) c schreiben (d.h. als Quadrat): ( +5) 1 5.Lösungsformel verwenden a± c 5± 1 5± 1 Ergebnis: 4 oder 6
28 Lösung zu 7a Gegeben: Gesucht: / 1/ 1/ 1/ Lösungsformel: Lösung: ( ) ( ) p ( ) ± q p 1/ Gegeben sind:p 10 und q 4 In der Lösungsformel pund qersetzen: ± 4 5± ± 49 5± 7 Ergebnis: 1 1
29 Lösung zu 7b Gegeben: Gesucht: / 1/ 1/ 1/ Lösungsformel: Lösung: ( ) ( ) p ( ) ± q p 1/ Gegeben sind:p + 10 und q 4 In der Lösungsformel pund qersetzen: ± 4 5± ± 49 5± 7 Ergebnis + : 1 1
30 Lösung zu 7c Gegeben: Gesucht: Lösungsformel: 3 3 1/ ( ) ( ) p ( ) ± q p 1/ Lösung : Gegeben sind:p 3und q 18 In der Lösungsformel pund qersetzen: ± 18 ( ) ± / 3 ( 3) 1/ ± + 18 Vorzeichen vereinfachen Potenzgesetz anwenden ± / 4 Auf Hauptnenner bringen / / ± + 81 ± Wurzelgesetz anwenden ± / 4 ± 3 9 1/ Ergebnis: 6 3 1
31 Lösung zu 7d Gegeben: Gesucht: Lösungsformel: Lösung : 1/ 1/ 1/ 1/ ( ) ( ) ( p) ± q p 1/ Gegeben sind:p und q 63 In der Lösungsformel pund qersetzen: ± 63 1± ± 64 1± 8 Ergebnis : 1 7 9
32 Lösung zu 7e Gegeben: Gesucht : Lösungsformel : ( ) / p ( ) p 1/ ± q Lösung : Gegeben sind:p 15 und q 54 In der Lösungsformel pund qersetzen: ± ( 15) 1/ ± 54 Potenzgesetz anwenden ± / 4 ± / 4 4 ± / 4 ± / 4 ± / 4 ± / Ergebnis: Hauptnenner bilden Wurzelgesetz anwenden
33 Lösung zu 7f Gegeben: Gesucht: Lösungsformel: / 1/ 1/ 1/ ( ) ( ) ( p) ± q p 1/ Lösung : Gegeben sind:p 18 und q 43 In der Lösungsformel pund qersetzen: ± 43 9± ± 34 9± 18 Ergebnis: 9 7 1
34 Lösung zu 7g Gegeben: Gesucht: Lösungsformel: Lösung : 6 6 1/ 1/ 1/ 1/ ( ) ( ) ( p) ± q p 1/ Gegeben sind:p 6und q 16 In der Lösungsformel pund qersetzen: ± 16 3± ± 5 3± 5 Ergebnis: 1 8
35 Lösung zu 7h Gegeben: 9 0 Gesucht: Lösungsformel: 9 9 1/ 9 ( 9) 1/ / / 4 4 ( ) ( ) ( p) ± q p 1/ Lösung : Gegeben sind:p 9und q In der Lösungsformel pund qersetzen: ± ± + ± + 88 ± + ± / 4 ± / 4 ± / Ergebnis: 11 1
36 Lösung zu 8a Gegeben: Gesucht: Lösungsformel: 1/ 1/ 1/ 1/ b± b 4ac a Lösung : Gegeben sind: a, b 14 und c 4 In der Lösungsformel a,b und c ersetzen: 1/ ( 14) ± ( 14 ) ± ± ± 4 Ergebnis: 4 oder 3
37 Lösung zu 8b Gegeben: Gesucht: Lösungsformel: 1/ b± b 4ac a Lösung : Gegeben sind: a3, b 15 und c 18 In der Lösungsformel a,b und c ersetzen: 1/ 1/ 1/ 1/ ( 15) ± ( 15 ) ± ± ± 3 6 Ergebnis: 3 oder
38 Lösung zu 8c Gegeben: Gesucht: Lösungsformel: 1/ 1/ 1/ 1/ b b 4ac a Lösung : Gegeben sind: a6, b 6 und c 1 In der Lösungsformel a,b und c ersetzen: 1/ 6± ( 1) 6 6± ± ± 18 1 ± Ergebnis: 1 oder
39 Lösung zu 8d Gegeben: Gesucht: Lösungsformel: Lösung : 1/ 1/ 1/ 1/ b± b 4ac b± b 4ac a Gegeben sind: a, b 6 und c 56 In der Lösungsformel a,b und c ersetzen: 1/ 1/ a ( 6) ± ( 6 ) 4 ( 56 ) 6± ± ± 4 Ergebnis: 7 oder 4
40 Lösung zu 8e Gegeben: Gesucht: Lösungsformel: Lösung : 1/ 1/ 1/ 1/ b b 4ac 36± b b 4ac a Gegeben sind: a4, b 36 und c 80 In der Lösungsformel a,b und c ersetzen: 1/ 1/ ± 36 ± a 4 36± ± Ergebnis: 4 oder 5 ±
41 Lösung zu 8f Gegeben: Gesucht: b b 4ac ± Lösungsformel: 1/ a Lösung : Gegeben sind: a, b 4 und c 90 In der Lösungsformel a,b und c ersetzen: b± b 4ac 1/ a ( 4) ± ( 4) 4 ( 90) 1/ 4± / 4 4± / 4 4± 196 1/ 4 4± 36 1/ 4 Ergebnis: 15 oder 3
42 Lösung zu 8g Gegeben: Gesucht: Lösungsformel: Lösung : 1/ 1/ 1/ 1/ b b 4ac b± b 4ac a Gegeben sind: a5, b 50 und c45 In der Lösungsformel a,b und c ersetzen: 1/ ± a ± 5 50 ± ± ± 40 1/ 10 Ergebnis: 1 oder 9
43 Lösung zu 8h Gegeben: Gesucht: b± b 4ac Lösungsformel: 1/ a Lösung : Gegeben sind: a3, b 66 und c360 In der Lösungsformel a,b und c ersetzen: b± b 4ac 1/ a ( 66) ± ( 66) / 3 66± / 3 66± 36 1/ 6 66± 6 1/ / ± 11± Ergebnis: 1 oder 10
44 Lösung zu 8i Gegeben: Gesucht: b± b 4ac Lösungsformel: 1/ a Lösung : Gegeben sind: a10, b 10 und c 300 In der Lösungsformel a,b und c ersetzen: b± b 4ac 1/ a 10± ( 300) 1/ 10 10± / 0 10± / 0 10± 110 1/ / ± ± Ergebnis: 5 oder 6
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