Didaktik der Algebra Jürgen Roth Didaktik der Algebra 4.1

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1 Didaktik der Algebra 4.1 Didaktik der Algebra

2 Didaktik der Algebra 4.2 Inhalte Didaktik der Algebra 1 Ziele und Inhalte 2 Terme 3 Funktionen 4 Gleichungen

3 Didaktik der Algebra 4.3 Didaktik der Algebra Kapitel 4: Gleichungen

4 Didaktik der Algebra 4.4 Inhaltsverzeichnis Kapitel 4: Gleichungen 4.1 Aspekte beim Umgang mit Gleichungen 4.2 Methoden zur Lösung von Gleichungen 4.3 Lineare Gleichungssysteme 4.4 Gleichungen in der Sekundarstufe I

5 Didaktik der Algebra 4.5 Didaktik der Algebra Kapitel 4: Gleichungen 4.1 Aspekte beim Umgang mit Gleichungen

6 Aspekte beim Umgang mit Gleichungen Didaktik der Algebra 4.6 Gleichungen als Werkzeug zum Formulieren von Beziehungen zwischen mathematischen Objekten (z. B. Zahlen, Größen und Funktionen), zum Ausdrücken von Eigenschaften, zum Formulieren von Problemen. Beim Lösen dieser Probleme geht es um die Frage der Existenz und um die Bestimmung von Lösungen. Gleichungen als Objekte Untersuchung von Gleichungstypen: Existenz und Bestimmung von Lösungen Logik: Gleichungen ohne Variable Aussagen Gleichungen mit Variablen Aussageformen

7 Begriffe im Zusammenhang mit Gleichungen Didaktik der Algebra 4.7 Im Unterricht werden Begriffe benötigt, um über Gleichungen reden, Regeln formulieren und Ergebnisse interpretieren zu können. Beschreibung von Gleichungen: Variable Term Gleichung Aussage Formulierung, die entweder wahr oder falsch ist. Aussageform Formulierung, die beim Einsetzen eine Aussage ergibt.

8 Begriffe im Zusammenhang mit Gleichungen Didaktik der Algebra 4.8 Beschreibung von Lösungen Grundmenge Lösung Lösungsmenge Beschreibung des Lösungsverhaltens (bzgl. einer bestimmten Grundmenge GG!) erfüllbare Aussageform unerfüllbare Aussageform allgemeingültige Aussageform Beschreibung von Umformungsarten Äquivalenzumformung Gewinnumformung Verlustumformung Vorrat für Einsetzungen. Element der Grundmenge, das beim Einsetzen zu einer wahren Aussage führt. Menge aller Lösungen. LL {} LL = {} LL = GG LL ändert sich nicht. LL wird größer. LL wird kleiner. Probe!

9 Umgang mit Gleichungen im Unterricht Didaktik der Algebra 4.9 Einbindung in zentrale Themen Gleichungen nicht isoliert behandeln Einbinden in zentrale Themen wie z. B. Zahlen, Funktionen und Größen (Sachbezüge/Geometrie) Einsichtiger Umgang mit Gleichungen Überbetonung des Übens führt leicht zu mechanischem Umformen ohne Einsicht. Deshalb: Umformungen begründen und Lösungen kritisch kontrollieren (lassen). Akzeptanz von Näherungslösungen Näherungsverfahren sind für alle praktischen Zwecke ausreichend genau auch bei sehr komplizierten Funktionen anwendbar die Regel bei Problemlösungen in Wirtschaft und Technik

10 Didaktik der Algebra 4.10 Didaktik der Algebra Kapitel 4: Gleichungen 4.2 Methoden zur Lösung von Gleichungen

11 Methoden zur Lösung von Gleichungen Didaktik der Algebra 4.11 Lösungsstrategien für einfache Gleichungen Streifenmethode systematisches Probieren graphische Lösungsverfahren numerisch-iterative Lösungsverfahren Gegenoperatoren Äquivalenzumformungen Anwenden von Lösungsformeln

12 Lösungsstrategien für einfache Gleichungen Didaktik der Algebra x = x = x = 107 Betrachte verwandte Gleichung mit gleicher Struktur 2 + x = 5 Zerlegung 26 + x = Umkehraufgabe = x = 5 also also 81 = x also = 107 x = 81 x = 81

13 Streifenmethode für lineare Gleichungen Didaktik der Algebra x + 7 = x x x 7 x = 9 : 3 = 3

14 Streifenmethode für lineare Gleichungen Didaktik der Algebra x + 3 = 2x + 7 x = 4 : 2 = 2 x x x x 3 x x 7 4

15 Didaktik der Algebra 4.15 Systematisches Probieren x³ + x² 1 = 0

16 Graphische Lösungsverfahren xx = 00 xx = 00 xx-koordinaten der Schnittpunkte des zum (Funktions-) Term xx 2 + 2xx 5 gehörenden Graphen mit der xx-achse Jürgen Roth xx 22 = xx-koordinaten der Schnittpunkte der zu den (Funktions-) Termen xx 2 und 2xx + 5 gehörenden Graphen Didaktik der Algebra 4.16

17 Graphische Lösungsverfahren Abramovich (2014): One-Variable Equations and Inequalities: Computational Experiment and Formal Demonstration. In: Computational Experiment Approach to Advanced Secondary Mathematics Curriculum. Dordrecht: Springer, p sin (2x + 3) x 2 + 2x 5 Auch Ungleichungen lassen sich graphisch lösen! sin (2x + 3) (x 2 + 2x 5) = 0 Jürgen Roth sin (2x + 3) = x 2 + 2x 5 Didaktik der Algebra 4.17

18 Numerisch-iterative Lösungsverfahren Didaktik der Algebra 4.18 Algorithmus: 1. Berechnung einer Wertetabelle für ein Intervall 2. Auswahl eines Teilintervalls, das eine Lösung der Gleichung enthält 3. das Teilintervall spreizen und eine neue Wertetabelle berechnen 4. Auswahl eines Teilintervalls, das eine Lösung der Gleichung enthält 5. Wiederholen von 2. bis 4. solange bis die Lösung genau genug ist 1,5 x = 3 cos(x) x 1,5 x 3 cos(x) T 1 (x) T 2 (x) -6 0,0878 2,8805-2, ,1317 0,8510-0, ,1975-1,9609 2, ,2963-2,9700 3, ,4444-1,2484 1, ,6667 1,6209-0, ,0000 3,0000-2, ,5000 1,6209-0, ,2500-1,2484 3, ,3750-2,9700 6, ,0625-1,9609 7,0234

19 Numerisch-iterative Lösungsverfahren Didaktik der Algebra 4.19 x 1,5 x 3 cos(x) T 1 (x) T 2 (x) x 1,5 x 3 cos(x) T 1 (x) T 2 (x) -2 0,4444-1,2484 1,6929-1,9 0,4628-0,9699 1,4327-1,8 0,4820-0,6816 1,1636-1,7 0,5019-0,3865 0,8885-1,6 0,5227-0,0876 0,6103-1,5 0,5443 0,2122 0,3321-1,4 0,5669 0,5099 0,0570-1,3 0,5903 0,8025-0,2122-1,2 0,6147 1,0871-0,4723-1,1 0,6402 1,3608-0, ,6667 1,6209-0,9542-1,4 0,5669 0,5099 0,0570-1,39 0,5692 0,5394 0,0297-1,38 0,5715 0,5689 0,0025-1,37 0,5738 0,5983-0,0246-1,36 0,5761 0,6277-0,0516-1,35 0,5785 0,6570-0,0786-1,34 0,5808 0,6863-0,1054-1,33 0,5832 0,7154-0,1323-1,32 0,5855 0,7445-0,1590-1,31 0,5879 0,7736-0,1856-1,3 0,5903 0,8025-0,2122

20 Numerisch-iterative Lösungsverfahren Didaktik der Algebra 4.20 liefern im Prinzip beliebig viele Dezimalstellen einer Lösung. funktionieren nicht, wenn die Gleichung von Parametern abhängt. liefern Lösungen nicht als geschlossene Terme, sondern als abbrechende Dezimalbrüche vorgegebener Länge. liefern nur Lösungen aus einem endlichen abgeschlossenen Startintervall. beantworten nicht die Frage nach allen Lösungen einer Gl. genügen für die meisten praktischen Anwendungen. werden interaktiv vom Benutzer gesteuert. Rechenpraxis: Automatisch ablaufende Verfahren. Probleme: Startintervall, Konvergenzgeschwindigkeit, Ein Startintervall für diese Verfahren kann wie beim graphischen Lösen von Gleichung bestimmt werden.

21 Didaktik der Algebra 4.21 Gegenoperatoren x = 19 x 3 x x = = 5 : x = 5

22 Didaktik der Algebra 4.22 Gegenoperatoren x = x 3 = 15 : 3 x = 5 : 3

23 Didaktik der Algebra 4.23 Äquivalenzumformungen Waagemodell = 33 1 kg auf beiden Seiten wegnehmen. x x 1 kg 2 kg 1 kg 2x + 1 = 3

24 Didaktik der Algebra 4.24 Äquivalenzumformungen Waagemodell = 33 1 kg auf beiden Seiten wegnehmen = 22 x x 2 kg Massen auf beiden Seiten halbieren = 22

25 Didaktik der Algebra 4.25 Äquivalenzumformungen Waagemodell = 33 1 kg auf beiden Seiten wegnehmen = 22 x 1 kg Massen auf beiden Seiten halbieren. xx = 11 xx = 11

26 Didaktik der Algebra 4.26 Äquivalenzumformungen Waagemodell lässt sich in einfachen Fällen gut zur Veranschaulichung nutzen. ist, wie jedes Modell, nur begrenzt nutzbar! (vgl. etwa negative Zahlen, irrationale Zahlen, schwierig bei Bruchzahlen, Division, Multiplikation, )

27 Didaktik der Algebra 4.27 Äquivalenzumformungen Modell: Zahlengerade = xx xx = 11 22

28 Didaktik der Algebra 4.28 Äquivalenzumformungen = 1111 Zusammenfassen: = 1111 Beidseitig 77 subtrahieren: = = 1111 Beidseitig durch 55 dividieren: 5555 = xx = 22

29 Didaktik der Algebra 4.29 Äquivalenzumformungen Umformungsregeln aa = bb ist äquivalent zu aa + cc = bb + cc aa = bb ist äquivalent zu aa cc = bb cc aa = bb ist für cc 0 äquivalent zu aa cc = bb cc aa = bb ist für cc 0 äquivalent zu aa cc = bb cc

30 Anwenden von Lösungsformeln + + = 2 ax bx c x = 2a oder 2 b b ac b 2 keine Lösung 4ac < 0 b 2 eine Lösung 4ac = 0 b zwei Lösungen 2 4ac > 0 x = 4 2a 2 b b ac y y y x px q oder Jürgen Roth + + = 0 p p x = + q 2 2 p p x = q x x x p q < p q = 2 0 Didaktik der Algebra p q > 2 0

31 Quadratische Gleichungen: Lösungsformel Didaktik der Algebra 4.31 Grundsätzliches: Jede quadratische Gleichung lässt sich in die Form aaaaa + bbbb + cc = 0 mit aa 0 (Sonst ist die Gleichung nicht quadratisch.) schreiben. Die Gleichung muss so umgeformt werden, dass nur ein quadratisches xx-glied vorkommt, aber kein zusätzliches lineares. Idee: Anwendung der Plusformel /1. Binomischen Formel Um die binomische Formel von rechts nach links anwenden zu können, muss der Summenterm quadratisch ergänzt werden.

32 Quadratische Gleichungen: Lösungsformel Didaktik der Algebra 4.32

33 Quadratische Gleichungen: Lösungsformel Didaktik der Algebra 4.33 Satz von Vieta: Beispiel: xx 2 5xx + 6 = 0 Bei einer quadratische Gleichung xx 2 + pppp + qq = 0 gilt für die Parameter pp, qq und die Lösungen xx 1, xx 2 der Gleichung: pp = xx 1 + xx 2 und qq = xx 1 xx 2

34 Didaktik der Algebra 4.34 Didaktik der Algebra Kapitel 4: Gleichungen 4.3 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen

35 Didaktik der Algebra 4.35 Günstigster Handy-Tarif Tarif 1: Geringe Grundgebühr Monatliche Grundgebühr: gg 1 = 1,00 Preis pro Einheit, Minutenpreis : mm 1 = 0,15 Telefoneinheiten (Minuten): xx Monatliche Kosten: kk 1 (xx) = mm 1 xx + gg 1 Tarif 2: Geringer Minutenpreis Monatliche Grundgebühr: gg 2 = 2,50 Preis pro Einheit, Minutenpreis : mm 2 = 0,05 Telefoneinheiten (Minuten): xx Monatliche Kosten: kk 2 (xx) = mm 2 xx + gg 2 Ab wie vielen Telefoneinheiten ist Tarif 2 günstiger?

36 Didaktik der Algebra 4.36 Günstigster Handy-Tarif

37 Didaktik der Algebra 4.37 Günstigster Handy-Tarif Gesucht ist zunächst ein Paar (xx yy), das die beiden Gleichungen kk 1 : yy = 0,15xx + 1 kk 2 : yy = 0,05xx + 2,5 (I) (II) gleichzeitig erfüllt, also eine Lösung für dieses lineare Gleichungssystem darstellt. Lösungsverfahren (Sek. I) für lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen (Unbekannten): Gleichsetzungsverfahren Additionsverfahren Einsetzungsverfahren Ziel: Eliminieren einer Variable, um zu einer Gleichung mit einer Unbekannten zu kommen, die einfach gelöst werden kann.

38 Günstigster Handy-Tarif Jürgen Roth (I) yy = 0,15 xx + 1 (II) yy = 0,05 xx + 2,5 Gleichsetzungsverfahren Gleichsetzen von (I) und (II) liefert: 0,15 xx + 1 = 0,05 xx + 2,5 0,1 xx = 1,5 xx = 15 Einsetzen in (II) liefert: yy = 0, ,5 = 0,75 + 2,5 = 3,25 Die Lösung ist das geordnete Paar (15 3,25). 0,05 xx 1 10 Additionsverfahren Subtraktion der Gleichung (II) von der Gleichung (I), also (I) (II), liefert: 0 = 0,1 xx 1,5 1,5 = 0,1 xx 15 = xx Einsetzen in (II) liefert: yy = 0, ,5 = 0,75 + 2,5 = 3,25 +1,5 10 Die Lösung ist das geordnete Paar (15 3,25). Didaktik der Algebra 4.38

39 Günstigster Handy-Tarif (I) yy = 0,15 xx + 1 (II) yy = 0,05 xx + 2,5 Jürgen Roth Einsetzungsverfahren Auflösen der Gleichung (II) nach x liefert: yy = 0,05 xx + 2,5 yy 2,5 = xx 20 (yy 2,5) = xx Einsetzen in (I) liefert: yy = yy 2, yy = 3 yy 2,5 + 1 yy = 3yy 7,5 + 1 yy = 3yy 6,5 2,5 : yy +6,5 6,5 = 2yy 3,25 = yy Einsetzen in (II) liefert: 3,25 = 0,05 xx + 2,5 0,75 = xx 15 = xx : 2 2,5 Die Lösung ist das geordnete Paar (15 3,25). Didaktik der Algebra 4.39 : 5 100

40 Didaktik der Algebra 4.40 Präsenzübung Textaufgabe: Eine Textaufgabe aus Mesopotamien (ca v. Chr.) lautet: Ein Viertel der Breite zur Länge addiert ergibt 7 Handbreiten, Länge und Breite addiert macht 10 Handbreiten. Bestimmen Sie die Länge und Breite (des Tisches) in Handbreiten. Man wird dazu zunächst zwei Gleichungen aufstellen: Ein Viertel der Breite zur Länge addiert ergibt 7 Handbreiten: (I) xx + 1 yy = 7 4 Länge und Breite addiert macht 10 Handbreiten: (II) xx + yy = 10 Lösen Sie dieses Gleichungssystem.

41 Lösungen linearer Gleichungssysteme Didaktik der Algebra 4.41 Satz: Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem: aa 1 xx + bb 1 yy = cc 1 aa 2 xx + bb 2 yy = cc 2 Die zugehörige Lösungsmenge ist entweder leer, Bemerkung: ein geordnetes Zahlenpaar (xx yy) oder eine unendliche Menge von Zahlenpaaren. Graphisch interpretiert entsprechen diese drei Fälle genau den möglichen Lagebeziehungen der beiden durch aa 1 xx + bb 1 yy = cc 1 und aa 2 xx + bb 2 yy = cc 2 gegebenen Geraden.

42 Lösungen linearer Gleichungssysteme Didaktik der Algebra 4.42 Die Lösungsmenge ist leer, wenn die Geraden parallel sind.

43 Lösungen linearer Gleichungssysteme Didaktik der Algebra 4.43 Die Lösungsmenge ist ein geordnetes Paar (ein Punkt), wenn die Geraden sich schneiden.

44 Lösungen linearer Gleichungssysteme Didaktik der Algebra 4.44 Die Lösungsmenge ist eine unendliche Menge von geordneten Zahlenpaaren (alle Punkte der Geraden), wenn die Geraden identisch sind.

45 Didaktik der Algebra 4.45 Didaktik der Algebra Kapitel 4: Gleichungen 4.4 Gleichungen in der Sekundarstufe I

46 Gleichungen in der Sekundarstufe I Didaktik der Algebra 4.46 Orientierungsstufe Einfache Gleichungen (mit einer Variablen) lösen 7./8. Klasse Wertetabellen zu Termen; Grundmenge (ggf. Definitionsmenge) Äquivalenz von Termen und von Gleichungen bzw. Ungleichungen; Grundmenge (ggf. Definitionsmenge) Gleichungen und Ungleichungen über verschiedenen Grundmengen, Lösungsmenge, Intervalle Äquivalenzumformungen (ÄU) bei Gleichungen und Ungleichungen der Form aaaa + bb = cc Sachaufgaben (SA) (auch offene Aufgaben, Aufgabenvariation) Proportionalität: fehlende Größen berechnen, SA, grafische Lös.

47 Gleichungen in der Sekundarstufe I Didaktik der Algebra /8. Klasse (Fortsetzung) lineare Gleichungen und Ungleichungen mit einer Variablen Textaufgaben; Lösen ggf. mithilfe einer Text-Term-Tabelle -Verknüpfung bzw. -Verknüpfung von linearen Gleichungen bzw. Ungleichungen einfache Bruchgleichungen mit einer Variablen Relation und Umkehrrelation: Zusammenhang zwischen deren Gleichungen bzw. Ungleichungen; Umkehrfunktion Funktionen mit Gleichungen folgender Form: yy = mmmm bzw. yy = mmmm + tt lineare Ungleichungen mit zwei Variablen einfache Bruchgleichungen mit einer Variablen TT 1 (xx) TT 2 (xx) = TT 3(xx) TT 4 (xx)

48 Gleichungen in der Sekundarstufe I Didaktik der Algebra /10. Klasse Systeme linearer Gleichungen mit zwei Variablen: grafische und algebraische Lösung (Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren, Additionsverfahren); auch Aufgaben mit geometrischen Problemstellungen algebraisch lösen Systeme linearer Ungleichungen mit zwei Variablen: grafische Lösung quadratische Gleichungen: grafische Lösung, Lösen mit quadratischer Ergänzung, Lösungsformel; Diskriminante und Lösbarkeit quadratische Gleichungen mit Parametern; Satz des Vieta mit Anwendungen; quadratische Ungleichungen einfache Wurzelgleichungen Beachtung der Definitionsmenge; Äquivalenzumformungen

49 Gleichungen in der Sekundarstufe I Didaktik der Algebra /10. Klasse (Fortsetzung) Berechnen der Koordinaten der Schnittpunkte von Funktionsgraphen (maximal quadratische Bestimmungsgleichungen mit maximal einem Parameter) Tangentialprobleme und Diskriminante Gleichungen der Form aa bb xx+cc + dd = 0 Trigonometrische Gleichungen

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