Inhalt. Lösungsstrategien. Zuordnungen und lineare Funktionen. Prozent- und Zinsrechnung. Text- und Sachaufgaben, Zahlenrätsel

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2 Inhalt A Lösungsstrategien 1 Lösungsstrategien für Text- und Sachaufgaben 6 2 Lösungsstrategie für geometrische Sachaufgaben 11 3 Lösungsstrategie für einfache Gleichungen, lineare Gleichungssysteme und quadratische Gleichungen 13 B Zuordnungen und lineare Funktionen 1 Zuordnungen 16 2 Lineare Funktionen 20 C Prozent- und Zinsrechnung 1 Prozentrechnung 22 2 Zinsrechnung 25 D Text- und Sachaufgaben, Zahlenrätsel 1 Text- und Sachaufgaben 30 2 Zahlenrätsel 36 E Flächen und Flächenberechnungen 38 F Berechnungen an Körpern 44 G Wahrscheinlichkeitsrechnung 48 Lösungen 52

3 Mathematische Begriffe 1 Rechnen mit Größen Zuordnungen und Funktionen Prozent- und Zinsrechnung Algebra Flächen- und Körperberechnung Wahrscheinlichkeitsrechnung 111

4 A Lösungsstrategien 1 Lösungsstrategien für Text- und Sachaufgaben So kannst du einfache Text- und Sachaufgaben lösen. 1. Lies den Text genau durch. 2. Unterstreiche alle für die Lösung der Aufgabe wichtigen Angaben. 3. a) Formuliere eine passende Frage für das Endergebnis, falls in der Aufgabe keine Frage gestellt wird. b) Formuliere als Hilfestellung Zwischenfragen, die dich zu Teilergebnissen führen. 4. Formuliere zunächst eine Lösungsidee. Schreibe auf, in welchen Schritten du zum gewünschten Ergebnis kommen möchtest. 5. Führe die nötigen Rechenschritte aus. 6. Mache eine Probe am Text der Aufgabe, wenn sinnvoll möglich. 7. Formuliere eine Antwort, die genau zur Frage passt. Beispiel Herr Mus verspricht seinem Sohn Tim an seinem 12. Geburtstag: Ab jetzt bekommst du jedes Jahr ca. 15% mehr Taschengeld im Monat, bis du volljährig bist. Ich werde immer auf volle Euro aufrunden. Bisher hat Tim 30 1 monatlich bekommen. 1. und 2. Herr Mus verspricht seinem Sohn Tim an seinem 12. Geburtstag: Ab jetzt bekommst du jedes Jahr ca. 15% mehr Taschengeld im Monat, bis du volljährig bist. Ich werde immer auf volle Euro aufrunden. Bisher hat Tim 30 1 monatlich bekommen. 3. a) und b) Passende Fragen Wie viel Taschengeld bekommt Tim im 13., im 14.,..., im 18.Lebensjahr? 4. Lösungsidee Für das 13. Lebensjahr: Ich berechne 15% des momentanen Taschengelds, runde die 15% auf volle Euro auf und addiere sie zu dem momentanen Taschengeld. 6

5 1 Lösungsstrategien für Text- und Sachaufgaben Für die weiteren Lebensjahre: Ich berechne von dem jeweils aktuellen (im Jahr zuvor erhöhten Taschengeld) 15%, runde diese auf volle Euro auf und addiere sie zu dem letzten Taschengeldbetrag hinzu. 5. Lösung 13. Lebensjahr: 30,00 1 0,15 = 4,50 1; aufgerundet 5, , ,00 1 = 35, Lebensjahr: 35,00 1 0,15 = 5,25 1; aufgerundet 6, , ,00 1 = 41, Lebensjahr: 41,00 1 0,15 = 6,15 1; aufgerundet 7, , ,00 1 = 48, Lebensjahr: 48,00 1 0,15 = 7,20 1; aufgerundet 8, , ,00 1 = 56, Lebensjahr: 56,00 1 0,15 = 8,40 1; aufgerundet 9, , ,00 1 = 65, Lebensjahr: 65,00 1 0,15 = 9,75 1; aufgerundet 10, , ,00 1 = 75, Probe Du könntest noch einmal alles kurz nachrechnen. 7. Antwort Im 13. Lebensjahr bekommt Tim 35,00 1 Taschengeld im Monat, im 14. Lebensjahr 41,00 1, im 15. Lebensjahr 48,00 1, im 16. Lebensjahr 56,00 1, im 17. Lebensjahr 65,00 1 und im 18. Lebensjahr 75,

6 A Lösungsstrategien So kannst du mehrteilige Text- und Sachaufgaben lösen. 1. Lies den umfangreichen Text einer komplexen Aufgabe zunächst einmal ganz durch. 2. a) Unterstreiche zusätzlich alle wichtigen Größen und Angaben. b) Schreibe in Stichworten auf, was alles in dieser Aufgabe zu bearbeiten ist, z. B. Preise berechnen oder Flächeninhalte ermitteln usw. 3. a) Formuliere eine passende Frage für das Endergebnis, falls in der Aufgabe keine Frage gestellt wird. b) Formuliere als Hilfestellung Zwischenfragen, die dich zu Teilergebnissen führen. 4. Formuliere zunächst eine Lösungsidee. Schreibe auf, in welchen Schritten du zu gewünschten Ergebnissen kommen möchtest. 5. Löse alle Teilaufgaben mittels dir bekannter Rechenverfahren und/oder Formeln. 6. Mache Proben zu allen Aufgabenteilen, wenn sinnvoll möglich. 7. Beantworte jede Teilaufgabe einzeln. Beispiel Es kann sein, dass der Einführungstext zur Aufgabe schon Informationen enthält, die erst in einem späteren Aufgabenteil gebraucht werden. Manchmal musst du auch Angaben aus einer Grafik entnehmen. Außerdem kann es vorkommen, dass Ergebnisse/Lösungen einer Teilaufgabe in weiteren Teilaufgaben gebraucht werden. Halte deshalb unbedingt die Reihenfolge beim Lösen der Aufgabe ein. 1. und 2. a) Immer mal wieder veranstalten zwei LKW-Fahrer auf der Autobahn ein sogenanntes Elefantenrennen. Der gerade mal ein kleines bisschen Schnellere überholt den anderen und blockiert zum Ärger der Nachfolgenden für lange Zeit die Überholspur. Der Fahrer eines 20 m langen, mit einer Geschwindigkeit von 95 km/h fahrenden LKW meint, er müsse unbedingt einen vor ihm mit einer Geschwindigkeit von 90 km/h fahrenden ebenfalls 20 m langen LKW überholen. Zu dicht auffahren will er nicht, also wechselt er bereits 30 m hinter dem vor ihm Fahrenden auf die Überholspur. Um den Überholten nicht zu gefährden bleibt er so lange auf der Überholspur, bis sich sein Heck 30 m vor dem überholten LKW befindet. 8

7 1 Lösungsstrategien für Text- und Sachaufgaben a) Wie lange dauert der Überholvorgang? b) Wie lang ist die Strecke, die der überholende LKW auf der Überholspur zurücklegt? c) Wie lang ist die Strecke, die der überholte LKW zurücklegt? d) Berechne a) bis c) für den Fall, dass sich der Überholende streng an die Abstandsregel halber Tacho hält. Zusatzinfo: Der Mindestabstand zwischen zwei Autos auf der Autobahn sollte der so genannte halbe Tacho sein. Beispiel: Bei Tempo 110 z. B. sollte der Abstand zum Vordermann mindestens 55 m betragen. 2. b) Das ist zu bearbeiten Teilaufgabe a) Fahrzeit berechnen b) Streckenlänge des Überholenden ermitteln c) Streckenlänge des Überholten ermitteln d) a) bis c) mit anderen Maßzahlen berechnen 3. a) und b) Passende Fragen Fragen zu allen Aufgabenteilen sind vorhanden. 4. Lösungsidee a) Die gesuchte Zeit t ist gleich dem Quotienten aus Wegstrecke s und Geschwindigkeit v. Der Weg s ist der Weg, der gegenüber dem zu Überholenden zurückgelegt werden muss. Er setzt sich zusammen als Summe aus den drei angegebenen Längen des überholenden LKWs. v ist die Geschwindigkeit des Überholenden gegenüber dem Überholten und wird gebildet als Differenz aus den Fahrgeschwindigkeiten der beiden LKWs. Es empfiehlt sich, die Geschwindigkeit in die Einheit m/s zu bringen. Dabei gilt: 1 km/h = }} 1 3,6 m/s b) Die gesuchte Strecke ist gleich dem Produkt aus der Geschwindigkeit v des Überholenden und der Überholdauer t. c) Die gesuchte Strecke s ist gleich dem Produkt aus der Geschwindigkeit v des Überholten und der Überholdauer t. d) Wie a) bis c) mit zum Teil anderen Werten. 9

8 A Lösungsstrategien 5. Lösung a) s = 30 m + 20 m + 50 m = 100 m v = }} 95 3,6 } m }} 90 s 3,6 } m s = }} 5 3,6 } m s t = (30 m + 20 m + 50 m) : ( }} 5 3,6 } m s ) = 72 s b) s = v t ) s = }} 95 3,6 } m 72 s = 1900 m s c) s = v t ) s = }} 90 3,6 } s 72 s = 1800 m m d) t = [47,5 m + 20 m + (45 m + 20 m)] : ( }} 5 3,6 } m s ) = 95,4 s s 1 = 2517,5 m; s 2 = 2385 m 6. Proben Proben im eigentlichen Sinn sind hier nicht sinnvoll. Du könntest deine Rechnungen noch einmal überprüfen. 7. Antworten a) Der Überholvorgang dauert 72 Sekunden. b) Der Überholende legt eine Strecke von 1900 m auf der Überholspur zurück. c) Der Überholte legt während des Überholvorgangs eine Strecke von 1800 m zurück. d) Der Überholvorgang dauert 95,4 Sekunden. Der Überholende legt dabei 2517,5 m, der Überholte 2385 m zurück. 10

9 2 Lösungsstrategie für geometrische Sachaufgaben 2 Lösungsstrategie für geometrische Sachaufgaben So kannst du geometrische Sachaufgaben lösen. 1. Lies den Text sorgfältig durch. 2. Unterstreiche alle für die Lösung der Aufgabe wichtigen Angaben. 3. Schreibe angegebene Maße heraus und wandle, falls nötig, alle in eine einheitliche Maßeinheit um. 4. Formuliere, falls nicht vorhanden, eine passende Fragestellung. 5. Betrachte eventuell vorhandene Abbildungen sehr genau. Oft sind dort die benötigten Größen eingetragen oder müssen nachgetragen werden. Zeichne, wenn nötig, Hilfslinien in die Abbildung ein. 6. Fertige selbst Skizzen an, falls keine Abbildungen vorhanden sind. 7. Formuliere zunächst eine Lösungsidee, indem du aufschreibst, in welchen Schritten du zum gewünschten Ergebnis kommen möchtest. 8. Wende zur Berechnung von Längen, Flächeninhalten und Rauminhalten die dir bekannten Formeln an. 9. Formuliere eine zur Fragestellung passende Antwort. Beispiel 1. und 2. Ein liegender Kreiszylinder der Länge h = 84 cm ist an beiden Seiten von je einem Würfel begrenzt. Die Kantenlänge der Würfel beträgt 4,2 dm. Die Grundfläche des Kreiszylinders passt so in eine Würfelfläche, dass der Kreis das Quadrat an allen Seiten berührt. Berechne das Volumen des Körpers. 3. Gleiche Maßeinheiten Würfelkantenlänge: 4,2 dm; Zylinderlänge: 84 cm = 8,4 dm 4. Passende Frage Die Aufgabenstellung ist vorhanden. 5. Abbildungen Eine Abbildung ist nicht vorhanden. 11

10 A Lösungsstrategien 6. Eigene Skizzen a) Schrägbild b) Diese Ansicht zeigt, wie sich die Grundfläche des Zylinders zur Seitenfläche des Würfels verhält. 7. Lösungsidee Der Radius der Grundfläche des Kreiszylinders ist halb so lang wie die Kantenlänge des Würfels. Berechne die Volumina der Würfel und des Kreiszylinders und addiere sie anschließend. 8. Lösung V Würfel = a 3 = (4,2 dm) 3 = 74,088 dm 3 2 V Würfel = 148,176 dm 3 V Kreiszylinder = p (2,1 dm) 2 8,4 dm 116,377 dm 3 V = 148,176 dm ,377 dm 3 = 264,553 dm 3 9. Antwort Das Volumen des Körpers beträgt 264,553 dm 3. 12

11 3 Lösungsstrategie für einfache Gleichungen, lineare Gleichungssysteme und quadratische Gleichungen 3 Lösungsstrategie für einfache Gleichungen, lineare Gleichungssysteme und quadratische Gleichungen So kannst du Text- und Sachaufgaben mithilfe von Gleichungen lösen. 1. Lies den Text genau durch. 2. Unterstreiche alle für die Lösung der Aufgabe wichtigen Angaben. 3. a) Formuliere eine passende Frage für das Endergebnis, falls in der Aufgabe keine Frage gestellt wird. b) Formuliere als Hilfestellung Zwischenfragen, die dich zu Teilergebnissen führen. 4. Formuliere zunächst eine Lösungsidee. Schreibe auf, in welchen Schritten du zum gewünschten Ergebnis kommen möchtest. Erstelle mittels der Angaben des Textes eine einfache Gleichung oder ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen oder eine quadratische Gleichung. 5. Führe die nötigen Rechenschritte aus. Löse einfache Gleichungen mittels Äquivalenzumformungen, lineare Gleichungssysteme mittels der bekannten Verfahren (Additionsverfahren, Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren) und quadratische Gleichungen mit der p-q-formel. 6. Kontrolliere bei quadratischen Gleichungen, ob ggf. eine von zwei Lösungen nicht in Frage kommt. 7. Mache eine Probe am Text der Aufgabe, wenn sinnvoll möglich. 8. Formuliere eine Antwort, die genau zur Frage passt. Beispiel 1 (Lineare Gleichung/Gleichungssystem) 1. und 2. Der Vater ist dreimal so groß wie sein 2-jähriger Sohn. Zusammen sind sie 2,40 m groß. 3. a) Passende Frage Wie groß ist der Vater, wie groß ist der Sohn? 13

12 A Lösungsstrategien 4. Lösungsidee 1. Möglichkeit: Erstellen einer einfachen Gleichung. x: Größe des Sohnes und 3x: Größe des Vaters Bilde die Summe aus der Größe des Vaters und der des Sohnes. 2. Möglichkeit: Erstellen eines linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen. x: Größe des Sohnes und y: Größe des Vaters I. Gleichung: x + y = 2,40 m II. Gleichung: y = 3x 5. Lösung 1. Möglichkeit x + 3x = 2,40 m 4x = 2,40 m x = 0,60 m 3x = 3 0,60 m = 1,80 m 2. Möglichkeit I: x + y = 2,40 m II: y = 3x Einsetzen von y in Gleichung I: x + 3x = 2,40 m 4x = 2,40 m x = 0,60 m y = 3 0,60 m = 1,80 m 6. Entfällt hier. 7. Probe 0,60 m + 1,80 m = 2,40 m 8. Antwort Der Vater ist 1,80 m groß, der Sohn 0,6 m = 60 cm. 14

13 3 Lösungsstrategie für einfache Gleichungen, lineare Gleichungssysteme und quadratische Gleichungen Beispiel 2 (Quadratische Gleichung) 1. und 2. Bei einem Rechteck ist eine Seite um 1,5 cm länger als die andere. Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt 13,5 cm Passende Frage Wie lang ist die lange, wie lang die kurze Seite des Rechtecks? 4. Lösungsidee x: kurze Seite und x + 1,5 cm: lange Seite Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist gleich dem Produkt aus langer und kurzer Rechtecksseite. 5. Lösung (x + 1,5) x = 13,5 x 2 + 1,5x = 13,5 x 2 + 1,5x 13,5 = 0 x 1/2 = 0,75 ± Î }}}}}}} ( 0,75) ,5 = 0,75 ± 3,75 x 1 = 0,75 + 3,75 = 3 x 2 = 0,75 3,75 = 4,5 6. Prüfung der Lösungen Die 2. Lösung kommt nicht in Frage, da es keine negative Länge gibt. 7. Probe 3 cm 4,5 cm = 13,5 cm 2 = A 8. Antwort Die lange Rechtecksseite ist 4,5 cm lang, die kurze 3 cm. 15

14 B Zuordnungen und lineare Funktionen 1 Zuordnungen 1. Begründe, warum es sich bei den folgenden Beispielen weder um proportionalen Zuwachs noch um antiproportionale Abnahme handelt. Gib auch jeweils ein Zahlenbeispiel an. a) Bei jeweiliger Verdopplung des Ausgangswerts potenziert sich der zugeordnete Wert mit 3. b) Bei jeweiliger Halbierung des Ausgangswerts verdreifacht sich der zugeordnete Wert. c) Bei jeweiliger Zunahme des Ausgangswerts um 4 vervierfacht sich der zugeordnete Wert. d) Bei jeweiliger Abnahme des Ausgangswerts um 0,5 halbiert sich der zugeordnete Wert. 2. Prüfe jeweils, ob es sich um eine proportionale Zuordnung (oder nur um eine je mehr desto mehr -Zuordnung) handelt. a) Für das Handy zahlt Sandra eine monatliche Grundgebühr von 8,95 1. Jede Minute telefonieren kostet 17 Cent. b) Briefe bis 20 g Gewicht kosten 0,55 1, Briefe bis 50 g 0,90 1, größere Briefe müssen mit 2,20 1 frankiert werden. c) Eine Pflanze wächst im ersten Jahr 10 cm, im zweiten Jahr 7 cm und in den weiteren Jahren je 6 cm. d) Ein Lolly ist für 45 Cent zu haben, 7 Lollys kosten 3,15 1, für 19 Lollys muss man 8,55 1 bezahlen. e) Eine Eispackung von 530 ml reicht für 3,5 Portionen, eine mit 1,060 l Inhalt für 7 Portionen und eine mit 1590 ml für 10,5 Portionen. f) Eine CD mit den neuesten Hits kostet 14,95 1, eine Doppel-CD 29,90 1 und für 3 Doppel-CDs muss man 89,70 1 bezahlen. 16

15 1 Zuordnungen 3. Einheitlicher Tarif rund um die Uhr in alle Netze! Sekundengenaue Abrechnung von Anfang an! Mit diesen Slogans wirbt die Telefongesellschaft Tele-Fan um neue Kundschaft. Auch Laura hat sich dadurch überzeugen lassen und einen entsprechenden Handy-Vertrag abgeschlossen. Am Ende eines langen Gespräches, das sie mit ihrer Freundin geführt hat, zeigt das Display ihres Handys eine Verbindungsdauer von 28 Minuten 40 Sekunden und eine Gebühr von 7,74 Euro an. Jetzt hat sie nur noch 1,53 Euro Guthaben auf ihrer Prepaid-Karte. Wie lange kann sie damit noch telefonieren? 4. Auf den Etiketten abgepackter Lebensmittel muss zu Vergleichszwecken zusätzlich zu Gewicht und Preis auch noch der Preis für ein Kilogramm dieser Ware angegeben werden. Auf einer Packung Hackfleisch aus der Kühltruhe steht 0,454 kg/2,62 Euro. Berechne den Kilogrammpreis. 5. Wenn Kilian jeden Monat von seinem Taschengeld 12,50 Euro zurücklegt, dann kann er sich nach 18 Monaten die erstrebte Spielekonsole kaufen. Das dauert ihm zu lange und er beschließt, monatlich 15 Euro zurückzulegen. Nach wie vielen Monaten kann er unter diesen Umständen das erste Spiel auf der neuen Konsole starten? 6. Ich rechne dreimal so schnell wie mein Banknachbar Robert, prahlt Tim. Für die erste Aufgabe braucht Tim 2 min, Robert braucht 6 min. Für die zweite Aufgabe braucht Tim 130 s, Robert braucht 6,5 min. a) Gib die zugehörige Zuordnungsvorschrift an. b) Setze richtig fort: Wenn Tim für eine Aufgabe 150 s braucht, braucht Robert min. Wenn Robert für eine Aufgabe 3,3 min braucht, braucht Tim s. c) Tim ist zwar fix, aber seine Konzentration lässt schon nach drei Aufgaben merklich nach. Prüfe die folgenden Berechnungszeiten von Tim und Robert auf Proportionalität. Tim braucht für die vierte Aufgabe 2,4 min, Robert braucht 400 s. Tim braucht für die fünfte Aufgabe 80 s, Robert braucht 190 s. 17

16 B Zuordnungen und lineare Funktionen 7. Bei antiproportionalen Zuordnungen liegt Produktgleichheit vor. Die zugehörigen Graphen haben die Form von Hyperbeln. a) Ergänze die fehlenden Zahlen in den Wertetabellen zu antiproportionalen Zuordnungen. x 0,5 2 8 y ,25 x 1,5 3 4,5 12 y 9 4,5 0,9 b) Zeichne die passenden Graphen. 8. Die x-achse bezeichnet die Anzahl von Arbeitskräften oder von Maschinen, die y-achse die Arbeitszeit. a) Lies bei jeder Kurve mindestens zwei Werte ab. b) Welche Kurven werden wahrscheinlich die Arbeitsleistung von Menschen, welche die von Maschinen darstellen? Begründe. 9 Arbeitszeit in h O 1 Anzahl der Arbeitskräfte oder Maschinen