Gleichungen Aufgaben und Lösungen

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1 Gleichungen Aufgaben und Lösungen Klemens Fersch 6. Januar 3 Inhaltsverzeichnis Lineare Gleichung. a x + b = c Aufgaben Lösungen a x + b = c x + d Aufgaben Lösungen a x + b = Aufgaben Lösungen a x = d Aufgaben Lösungen Quadratische Gleichung 5. ax + bx + c = Aufgaben Lösungen Kubische Gleichungen Aufgaben Lösungen Gleichungen höheren Grades 4. Aufgaben Lösungen

2 Lineare Gleichung Lineare Gleichung Äquivalenzumformung Lösen der linearen Gleichung durch Äquivalenzumformung. Auf beiden Seiten denselben Term addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren. a x = b a x = b x = b a / : a 5 x = 45 / : 5 x = 45 5 x = 9 x = 6 x = 6 x = 3 / : ( ) x + a = b x + a = b x = b a / a x + = 5 / x = 5 x = 3 x + 5 = 7 / 5 x = 7 5 x = a x + b = c a x + b = c a x = c b x = c b a / b / : a 5 x 4 = 6 / x = / : 5 x = 5 x = x + 4 = 6 / 4 x = / : ( ) x = x = 5 x a = b x a = b x = b a / a x = 5 / x = 5 x = x 5 = 7 / 5 x = 7 5 x = 35 a x = b a x = b x = b a x = a b / a / : ( ) x = 5 / x = 5 x = 3/ : ( ) x = 3 x 5 = 7 / + 5 x = x = x a = b x a = b x = b + a / + a x = 5 / + x = 5 + x = 7 x 5 = 7 / + 5 x = x = ax + b = cx + d / cx ax cx + b = d / b (a c)x = d b / : (a c) x = d b a c x + 4 = 6x + 7 / 6x 4x + 4 = 7 / 4 4x = 3 / : ( 4) x = 3 4. a x + b = c.. Aufgaben Um eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue Rechnung Gegeben:a x + b = c

3 Lineare Gleichung a x + b = c Koeffizienten:a, b, c Gesucht: x () a = 9 b = 7 c = () a = 5 b = 6 c = 8 (3) a = 7 b = 7 c = 5 (4) a = 7 b = 9 c = 6 (5) a = 3 b = 5 7 c = 3 6 (6) a = 6 9 b = 6 7 c = 6 (7) a = b = 3 c = 4 (8) a = 4 b = 5 c = 6 (9) a = 4 b = 6 c = 3 () a = 4 b = 6 c = 7 () a = 3 b = 4 c = 5 () a = 3 b = 4 c = 5 (3) a = 5 b = 3 c = 3 4 (4) a = 3 b = 3 c =

4 Lineare Gleichung a x + b = c.. Lösungen Aufgabe () Aufgabe (7) 9x + 7 = / 7 9x = 5 / : 9 x = 5 9 x + 3 = 4 / 3 x = / : ( ) x = Aufgabe () Aufgabe (8) 5x + 6 = 8 / 6 5x = / : 5 x = 5 4x + 5 = 6 / 5 4x = / : 4 x = 4 Aufgabe (3) Aufgabe (9) 7x + 7 = 5 / 7 7x = / : 7 x = 7 4x + 6 = 3 / 6 4x = 3 6 / : 4 x = x + 9 = 6 / 9 x = / : 7 x = 3, 39 Aufgabe (4) 4 x + 6 = 7 / 6 4 x = / : 4 x = 4 Aufgabe () 3 x = 3 6 / x =, 98 / : 3 x =, 47 Aufgabe (5) 3 x + 4 = 5 / 4 3 x = 4 5 x = 3 5 / : ( 3 ) Aufgabe () 6 9 x = 6 / x = 9 4 / : 6 9 x =, 8 Aufgabe (6) 3 x 4 = 5 / x = 5 4 / : 3 x = 3 3 Aufgabe () Aufgabe (3) 4

5 Lineare Gleichung a x + b = c 5 x + 3 = 3 4 / 3 5 x = 4 x = / : ( 5 ) 3 x + 3 = 4 7 / 3 3 x = 9 / : 3 x = 5 7 Aufgabe (4) 5

6 Lineare Gleichung a x + b = c x + d. a x + b = c x + d.. Aufgaben Um eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue Rechnung Gegeben:a x + b = c x + d Koeffizienten:a, b, c, d Gesucht: x () a = 9 b = 7 c = d = 4 () a = 5 b = 6 c = 8 d = (3) a = 7 b = 7 c = 5 d = (4) a = 7 b = 9 c = 6 d = 3 (5) a = 3 b = 5 7 c = 3 6 d = (6) a = 4 b = 5 c = 6 d = (7) a = b = 3 c = d = 5 (8) a = b = 3 c = d = 3 (9) a = 4 b = 5 c = d = 7 () a = 4 5 b = 5 c = 3 5 d = 7 () a = 4 9 b = 5 6 c = 3 d = 7 () a = 4 5 b = c = 3 d = (3) a = 3 8 b = 3 c = 5 d = 3 6

7 Lineare Gleichung a x + b = c x + d.. Lösungen 9x + 7 = x + 4 / x 7x + 7 = 4 / 7 7x = 3 / : 7 x = 3 7 Aufgabe () 4x + 5 = 6x / 6x x + 5 = / 5 x = 7 / : ( ) x = 3 Aufgabe (7) Aufgabe () 5x + 6 = 8x + / 8x 3x + 6 = / 6 3x = 5 / : ( 3) x = 3 x + 3 = x + 5 / x x + 3 = 5 / 3 x = / : ( ) x = Aufgabe (8) 7x + 7 = 5x + / 5x x + 7 = / 7 x = 5 / : x = Aufgabe (3) x + 3 = x + 3 / x x + 3 = 3 / 3 x = / : ( ) x = Aufgabe (9) 7 Aufgabe (4) x + 9 = 6x 3 / 6x 4 5 x + 9 = 3 / x = 3 9 / : ( 4 5 ) x =, 8 4x + 5 = 7 / 5 4x = / : 4 x = Aufgabe () 3 x = 3 6 x + / x = / x = 7 / : ( 7 48 ) x = 47 Aufgabe (5) 6 x 4 5 x + 5 = 3 5 x + 7 / 3 5 x 5 x + 5 = 7 / 5 5 x = / : 5 x = Aufgabe () Aufgabe (6) 4 9 x 5 6 = 3x + 7 / 3x x 5 6 = 7 / x = / : ( ) 7

8 Lineare Gleichung a x + b = c x + d x = 7 6 Aufgabe (3) 4 5 x = 3x + 5 x = / + 5 x = 3 / : 5 x = 3 Aufgabe () / + 3x 3 8 x + 3 = 5x + 3 / 5x x + 3 = 3 / x = 3 / : ( ) x =, 4 8

9 Lineare Gleichung a x + b =.3 a x + b =.3. Aufgaben Um eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue Rechnung Gegeben:a x + b = Koeffizienten:a, b Gesucht: x () a = 3 b = 9 () a = 8 b = (3) a = b = 3 (4) a = 3 b = 5 (5) a = 7 b = 7 (6) a = 5 b = 5 (7) a = 6 b = 6 (8) a = 8 b = 6 (9) a = 6 b = 4 () a = b = () a = 4 b = 7 () a = b = (3) a = b = (4) a = 6 b = 36 (5) a = 3 b = 3 (6) a = b = 4 (7) a = 3 b = 6 (8) a = 4 b = (9) a = 4 b = 3 9

10 Lineare Gleichung a x + b =.3. Lösungen Aufgabe () Aufgabe (7) 3x + 9 = / 9 3x = 9 / : 3 x = 3 6x + 6 = / 6 6x = 6 / : 6 x = Aufgabe () Aufgabe (8) 8x + = / 8x = / : 8 x = 8 8x + 6 = / 6 8x = 6 / : 8 x = 3 4 Aufgabe (3) Aufgabe (9) x + 3 = / 3 x = 3 / : x = 6x + 4 = / 4 6x = 4 / : 6 x = 3 Aufgabe (4) Aufgabe () 3x + 5 = / 5 3x = 5 / : 3 x = 3 x + = / x = Aufgabe (5) Aufgabe () 7x + 7 = / 7 7x = 7 / : 7 x = 4x + 7 = / 7 4x = 7 / : 4 x = 3 4 Aufgabe (6) Aufgabe () 5x + 5 = / 5 5x = 5 / : 5 x = x = / : x = Aufgabe (3)

11 Lineare Gleichung a x + b = x = / : ( ) x = Aufgabe (7) 6x 36 = / x = 36 / : 6 x = 6 Aufgabe (4) 3 x + 6 = / 6 3 x = 6 / : ( 3 ) x = 4 Aufgabe (8) 3x + 3 = / 3 3x = 3 / : 3 x = Aufgabe (5) 4 x = / + 4 x = / : 4 x = 8 Aufgabe (9) x + 4 = / 4 x = 4 / : ( ) x = 9 Aufgabe (6) 4 x 3 = / x = 3 / : 4 x =

12 Lineare Gleichung a x = d.4 a x = d.4. Aufgaben Um eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue Rechnung Gegeben:a x = d Koeffizienten:a, d Gesucht: x () a = 3 d = 9 () a = 8 d = (3) a = d = 3 (4) a = 3 d = 5 (5) a = 7 d = 7 (6) a = 5 d = 5 (7) a = 6 d = 6 (8) a = 8 d = 6 (9) a = 6 d = 4 () a = d = () a = 4 d = 7 () a = d = (3) a = d = (4) a = 6 d = 36 (5) a = 3 d = 3 (6) a = d = 4 (7) a = 3 d = 6 (8) a = 4 d = (9) a = 4 d = 3 () a = d = 4 () a = d = () a = 4 d = (3) a = 4 d = 8 (4) a = 4 d = (5) a = 8 7 d = 3 (6) a = 8 d = 9

13 Lineare Gleichung a x = d.4. Lösungen Aufgabe () Aufgabe (8) 3x = 9 / : 3 x = 3 8x = 6 / : 8 x = 3 4 Aufgabe () Aufgabe (9) 8x = / : 8 x = 8 6x = 4 / : 6 x = 3 Aufgabe (3) Aufgabe () x = 3 / : x = x = Aufgabe (4) Aufgabe () 3x = 5 / : 3 x = 3 4x = 7 / : 4 x = 3 4 Aufgabe (5) Aufgabe () 7x = 7 / : 7 x = x = / : x = Aufgabe (6) Aufgabe (3) 5x = 5 / : 5 x = x = / : ( ) x = Aufgabe (7) Aufgabe (4) 6x = 6 / : 6 x = 6x = 36 / : 6 x = 6 3

14 Lineare Gleichung a x = d Aufgabe (5) Aufgabe () 3x = 3 / : 3 x = x = x = 4 / : ( ) x = 9 Aufgabe (6) 4 x = / : ( 4 ) x = 8 Aufgabe () 3 x = 6 / : ( 3 ) x = 4 Aufgabe (7) 4x = 8 / : 4 x = Aufgabe (3) 4 x = / : 4 x = 8 Aufgabe (8) 4 x = / : ( 4 x = 5 Aufgabe (4) ) Aufgabe (9) Aufgabe (5) 4 x = 3 / : 4 x = 8 7 x = 8 3 / : 7 x = 9 Aufgabe () Aufgabe (6) x = 4 x = / : ( ) 8 x = 9 / : 8 x = 9 4

15 Quadratische Gleichung Quadratische Gleichung Umformen: ax + c = ax + c = / c ax = c / : a x / = ± c a Diskriminante: D = c a D = eine Lösung D > zwei Lösungen D < keine Lösung 3 x + = / x = / : ( ) 6 3 x = 6 3 x = ± 4 x = x = Faktorisieren: ax + bx = ax + bx = x(ax + b) = x = x = b a x 8x = x( x 8) = x = x 8 = / + 8 x = 8 / : ( ) x = 8 x = 4 x x = x(x ) = x = x = / + x = x = Lösungsformel (Mitternachtsformel): ax + bx + c = ax + bx + c = x / = b ± b 4 a c a Diskriminante: D = b 4 a c D = eine Lösung D > zwei Lösungen D < keine Lösung : x + px + q = x + px + q = x / = p ± (p ) q Diskriminante: D = ( ) p q D = eine Lösung D > zwei Lösungen D < keine Lösung Satz von Vieta: x + px + q = x + px + q = x, x sind die Lösungen der Gleichung (x x ) (x x ) = x x x x x + x x = x (x + x )x + x x = x + x = p x x = q x + 3x = x / = 3 ± 3 4 ( ) x / = 3 ± x / = 3 ± 7 x = x = 3 7 x = x = 5 x + 3x = x / = 3 ± ( 3 ) ( ) x / = ± 4 x / = ± 3 x = x = 5 x + 3x = p = 3 q = x + x = 3 x x = 5 = 3 ( 5) = x = x = 5 (x ) (x + 5) = 5

16 Quadratische Gleichung ax + bx + c =. ax + bx + c =.. Aufgaben Um eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue Rechnung Gegeben:ax + bx + c = Gesucht: Lösung der Gleichung () 3x + 3 = () x + 4 = (3) 3 x + 6 = (4) 4 x = (5) 4 x 3 = (6) x + 4 = (7) x = (8) 3 x + x = (9) x 8x = () x x = () x 3 x = () x 5x = (3) x + x 4 = (4) x + 3x = (5) x x = (6) x 8x = (7) x 8x + 5 = (8) 3 x x + 3 = (9) x 4x + 7 = () x + 4x 7 = () x + 4x = () x + x + 5 = (3) x + 3x + 4 = (4) x + 6x = (5) 3 x + x + 5 = (6) x x + 4 = (7) 8 x 4 x + 3 = (8) 3 8 x 3 8 x = (9) 4 x + 5x = (3) 3 4 x 3x = 5 (3) 9 x 5 = (3) x + x = (33) 6 5 x x = (34) 9 5 x 5 x = (35) 8 x + 4 x = (36) x x = (37) 4 9 x x = (38) 9 x 9 x = (39) 7 9 x x = 3 (4) x 6 x 46 = 5 (4) 9 x 3 3 x = (4) 4 x x 5 = (43) 4x 8x = (44) 4 x + x + 46 = 8 (45) 7 x + 3 x = (46) 8 x + 9 x = (47) 5 x + 5 x = 6

17 Quadratische Gleichung ax + bx + c =.. Lösungen Aufgabe () Umformen 3x + 3 = / 3 3x = 3 / : 3 x = 3 3 keine Lösung 3x + x + 3 = x / = ± x / = ± 36 6 Diskriminante negativ keine Lösung 3x + x + 3 = / : 3 x + x + = x / = ± ( ) x / = ± Diskriminante negativ keine Lösung Aufgabe () Umformen x + 4 = / 4 x = 4 / : ( ) x = 4 x = ± 9 x = 3 x = 3 x + x + 4 = x / = ± 4 ( ) 4 ( ) x / = ± 9 x / = ± 3 x = + 3 x = 3 x = 3 x = 3 x + x + 4 = / : x + x 9 = x / = ± ( ) ( 9) x / = ± 9 x / = ± 3 x = 3 x = 3 Aufgabe (3) Umformen 3 x + 6 = / 6 3 x = 6 / : ( ) 3 x = 6 3 x = ± 4 x = x = 3 x + x + 6 = x / = ± 4 ( 3) 6 ( ) 3 x / = ± 3 x / = ± 3 3 x = x = x = x = x + x + 6 = / : 3 x + x 4 = ( x / = ( ) ± ) 4 x / = ± 4 x / = ± x = x = Aufgabe (4) 7

18 Quadratische Gleichung ax + bx + c = Umformen 4 x = / + 4 x = / : 4 x = 4 x = ± 8 x =, 83 x =, 83 4 x + x = x / = ± 4 4 ( ) 4 x / = ± ±, 4 x / = x = +, 4 x = x =, 83 x =, 83, 4 4 x + x = / : 4 x + x 8 = x / = ± ( ) ( 8) x / = ± 8 x / = ±, 83 x =, 83 x =, 83 Aufgabe (5) Umformen 4 x 3 = / x = 3 / : 4 x = 3 4 x = ± x = 3, 46 x = 3, 46 4 x + x 3 = x / = ± 4 4 ( 3) 4 x / = ± 3 ±, 73 x / = x = +, 73 x = x = 3, 46 x = 3, 46, 73 4 x + x 3 = / : 4 x + x = x / = ± ( ) ( ) x / = ± x / = ± 3, 46 x = 3, 46 x = 3, 46 Aufgabe (6) Umformen x + 4 = / 4 x = 4 / : ( ) x = 4 x = ± x =, 4 x =, 4 x + x + 4 = x / = ± 4 ( ) 4 ( ) x / = ± 3 4 ± 5, 66 x / = 4 + 5, 66 5, 66 x = x = 4 4 x =, 4 x =, 4 x + x + 4 = x + x = / : x / = ± ( ) ( ) x / = ± x / = ±, 4 x =, 4 x =, 4 Aufgabe (7) 8

19 Quadratische Gleichung ax + bx + c = Umformen x = / + x = / : x = x = ± x =, 4 x =, 4 x + x = x / = ± 4 ( ) x / = ± 8 ±, 83 x / = +, 83, 83 x = x = x =, 4 x =, 4 x + x = x / = ± ( ) ( ) x / = ± x / = ±, 4 x =, 4 x =, 4 Aufgabe (8) x-ausklammern 3 x + x = x( 3 x + ) = 3 x + = / 3 x = / : ( ) 3 x = 3 x = x = 6 3 x + x + = x / = ± 4 ( 3) ( ) 3 x / = ± 4 3 x / = ± 3 x = + x = 3 3 x = x = 6 3 x + x + = / : 3 x 6x + = (( 6) x / = 6 ) ± x / = 3 ± 9 x / = 3 ± 3 x = 6 x = Aufgabe (9) x-ausklammern x 8x = x( x 8) = x 8 = / + 8 x = 8 / : ( ) x = 8 x = x = 4 x 8x + = x / = +8 ± ( 8) 4 ( ) ( ) x / = +8 ± 64 4 x / = 8 ± 8 4 x = x = x = 4 x = x 8x + = x + 4x + = x / = 4 ± (4 ) x / = ± 4 x / = ± x = x = 4 / : Aufgabe () 9

20 Quadratische Gleichung ax + bx + c = x-ausklammern x x = x(x ) = x = / + x = / : x = x = x = x x + = x / = + ± ( ) 4 x / = + ± x / = ± x = + x = x = x = x x + = (( ) x / = ) ± x / = ± 4 x / = ± x = x = Aufgabe () x-ausklammern x 3 x = x( x 3 ) = x 3 = / + 3 x = 3 / : x = 3 x = x = 3 x 3 x + = ( ) 3 4 x / = + 3 ± x / = + 3 ± x / = 3 ± x = x = x = 3 x = 3 3 x 3 x + = / : x 3 x + = x / = (( )) 3 ± 3 x / = 3 ± 4 9 x / = 3 ± 3 x = 3 x = Aufgabe () x-ausklammern x 5x = x(x 5) = x 5 = / + 5 x = 5 / : x = 5 x = x = x 5x + = x / = +5 ± ( 5) 4 x / = +5 ± 5 4 x / = 5 ± 5 4 x = x = x = x = x 5x + = / : x x + = x / = (( )) ± x / = 4 ± 9 6 x / = 4 ± 4 x = x = Aufgabe (3)

21 Quadratische Gleichung ax + bx + c = x + x 4 = x / = ± 4 ( 4) x / = ± ± x / = + x = x = x = 4 x = 6 x + x 4 = x / = ± ( ) ( 4) x / = ± 5 x / = ± 5 x = 4 x = 6 Aufgabe (4) x + 3x = x / = 3 ± 3 4 ( ) x / = 3 ± x / = 3 ± 7 x = x = 3 7 x = x = 5 x + 3x = x / = 3 ± (3 ) ( ) x / = ± 4 x / = ± 3 x = x = 5 Aufgabe (5) x-ausklammern x x = x(x ) = x = / + x = / : x = x = x = x x + = x / = + ± ( ) 4 x / = + ± x / = ± x = + x = x = x = x x + = (( ) x / = ) ± x / = ± 4 x / = ± x = x = Aufgabe (6)

22 Quadratische Gleichung ax + bx + c = x 8x = x / = +8 ± ( 8) 4 ( ) x / = +8 ± 44 x / = 8 ± x = 8 + x = 8 x = x = x 8x = (( 8) x / = 8 ) ± ( ) x / = 4 ± 36 x / = 4 ± 6 x = x = Aufgabe (7) x 8x + 5 = x / = +8 ± ( 8) 4 5 x / = +8 ± 4 x / = 8 ± x = 8 + x = 5 x = 3 x = 8 x 8x + 5 = (( 8) x / = 8 ) ± 5 x / = 4 ± x / = 4 ± x = 5 x = 3 Aufgabe (8) 3 x x + 3 = x / = + ± ( ) 4 ( 3) 3 ( ) 3 x / = + ± 8 3 ±, 83 x / = 3 +, 83 x = 3 x = x = 7, 4 x =, 4, x x + 3 = / : 3 x + 6x 9 = x / = 6 ± (6 ) ( 9) x / = 3 ± 8 x / = 3 ± 4, 4 x =, 4 x = 7, 4 Aufgabe (9)

23 Quadratische Gleichung ax + bx + c = x 4x + 7 = x / = +4 ± ( 4) 4 7 x / = +4 ± Diskriminante negativ keine Lösung x 4x + 7 = (( 4) x / = 4 ) ± 7 x / = ± 3 Diskriminante negativ keine Lösung Aufgabe () x + 4x 7 = x / = 4 ± 4 4 ( ) ( 7) ( ) x / = 4 ± Diskriminante negativ keine Lösung x + 4x 7 = / : x 4x + 7 = (( 4) x / = 4 ) ± 7 x / = ± 3 Diskriminante negativ keine Lösung Aufgabe () x-ausklammern x + 4x = x(x + 4) = x + 4 = / 4 x = 4 / : x = 4 x = x = x + 4x + = x / = 4 ± 4 4 x / = 4 ± 6 4 x / = 4 ± 4 4 x = x = x = x = x + 4x + = / : x + x + = x / = ± ( ) x / = ± x / = ± x = x = Aufgabe () x + x + 5 = x / = ± 4 ( ) 5 ( ) x / = ± 4 ± 3, 74 x / = + 3, 74 3, 74 x = x = x =, 74 x = 5, 74 x + x + 5 = / : x 4x = (( 4) x / = 4 ) ± ( ) x / = ± 4 x / = ± 3, 74 x = 5, 74 x =, 74 3

24 Quadratische Gleichung ax + bx + c = Aufgabe (3) x + 3x + 4 = x / = 3 ± 3 4 ( ) 4 ( ) x / = 3 ± ± 6, 4 x / = , 4 3 6, 4 x = x = 4 4 x =, 85 x =, 35 x + 3x + 4 = / : x x = x / = (( )) ± ( ) x / = 3 4 ± 9 6 x / = 3 4 ±, 6 x =, 35 x =, 85 Aufgabe (4) x + 6x = x / = 6 ± 6 4 ( ) x / = 6 ± 44 6 ± 6, 63 x / = 6 + 6, , 63 x = x = x =, 37 x = 6, 3 x + 6x = x / = 6 ± (6 ) ( ) x / = 3 ± x / = 3 ± 3, 3 x =, 37 x = 6, 3 Aufgabe (5) 3 x + x + 5 = x / = ± 4 ( 3) 5 ( ) 3 x / = ± 3 3 ± 3, 7 x / = 3 + 3, 7 x = 3 x = x =, 9 x = 7, 9 3, x + x + 5 = / : 3 x 6x 5 = (( 6) x / = 6 ) ± ( 5) x / = 3 ± 4 x / = 3 ± 4, 9 x = 7, 9 x =, 9 Aufgabe (6) 4

25 Quadratische Gleichung ax + bx + c = x x + 4 = x / = + ± ( ) 4 4 x / = + ± 7 Diskriminante negativ keine Lösung x x + 4 = / : x x + 8 = (( ) x / = ) ± 8 x / = ± 7 Diskriminante negativ keine Lösung Aufgabe (7) 8 x 4 x + 3 = ( x / = + 4 ± 4 x / = + 4 ± 5 x / = x = 6 4 ± x = 5 x = ) ( 4 8 ( ) 8 x = ) 3 8 x 4 x + 3 = / : 8 x + 3x = x / = 3 ± (3 ) ( ) x / = ± 4 x / = ± 3 x = x = 5 Aufgabe (8) 3 8 x 3 8 x = ( x / = ± 3 8 x / = ± 5 8 x / = x = ± x = 5 x = 4 x = ) ( ( ) ) x 3 8 x = / : 3 8 x + x = x / = ± ( ) ( ) x / = ± 4 x / = ± 4 x = 4 x = 5 Aufgabe (9) 5

26 Quadratische Gleichung ax + bx + c = x-ausklammern 4 x + 5x = x( 4 x + 5) = 4 x + 5 = / 5 4 x = 5 / : ( ) 4 x = 5 4 x = x = 4 4 x + 5x + = x / = 5 ± 5 4 ( 4) ( ) 4 x / = 5 ± 5 x / = 5 ± 5 x = x = 5 5 x = x = 4 4 x + 5x + = / : 4 x 4x + = (( 4) x / = 4 ) ± x / = ± 4 x / = ± x = 4 x = Aufgabe (3) x-ausklammern 3 4 x 3x = x( 3 4 x 3) = 3 4 x 3 = / x = 3 / : ( ) 3 4 x = x = x = x 3x + = x / = +3 ± ( 3) 4 ( 4) 3 ( ) 3 4 x / = +3 ± 9 x / = 3 ± 3 x = x = 3 3 x = 4 x = 3 4 x 3x + = / : 3 4 x + 4x + = x / = 4 ± (4 ) x / = ± 4 x / = ± x = x = 4 Aufgabe (3) Umformen 5 9 x 5 = / x = 5 / : 5 9 x = x = ± 9 x = 3 x = x + x 5 = x / = ± ( 5) 5 9 x / = ± 9 9 x / = ± x = x = 3 9 x = 3 x = x + x 5 = / : 5 9 x + x 9 = x / = ± ( ) ( 9) x / = ± 9 x / = ± 3 x = 3 x = 3 Aufgabe (3) 6

27 Quadratische Gleichung ax + bx + c = x-ausklammern x + x = x(x + ) = x + = / x = / : x = x = x = x + x + = x / = ± 4 x / = ± 44 4 ± x / = 4 + x = x = 4 4 x = x = x + x + = / : x + x + = x / = ± ( ) x / = ± 4 x / = ± x = x = Aufgabe (33) 6 5 x x = 3 5 x / = ± 3 ( ) ( ) x / = ± x / = x = ± x = x = 9 x = x x = / : 6 5 x 8x 9 = (( 8) x / = 8 ) ± ( 9) x / = 4 ± 5 x / = 4 ± 5 x = 9 x = Aufgabe (34) 9 5 x 5 x = x / = x / = ( + 5 ± ± x / = 5 ± x = x = 9 x = ) 4 ( 9 ( 9 5 ) x = ) x 5 x = / : 9 5 x + 8x 9 = x / = 8 ± (8 ) ( 9) x / = 4 ± 5 x / = 4 ± 5 x = x = 9 Aufgabe (35) 7

28 Quadratische Gleichung ax + bx + c = 8 x + 4 x = x / = 4 ± ( ( ) 8 x / = 4 ± 4 4 x / = 4 ± 4 x = x = 7 x = 9 x = 4 4 ) x + 4 x = / : 8 x x 63 = (( ) x / = ) ± ( 63) x / = ± 64 x / = ± 8 x = 9 x = 7 Aufgabe (36) x x ± x / = x / = x / = x = x = = ± ± x = x = x x = / : x + 9x + 8 = x / = 9 ± (9 ) 8 x / = 4 ± 4 x / = 4 ± 3 x = x = 8 Aufgabe (37) 4 9 x x = x / = 4 9 ± 4 ( ) ( ) 4 9 x / = 4 9 ± x / = 4 9 ± x = x = x = x = 4 9 x x = / : 4 9 x x = (( ) x / = ) ± ( ) x / = ± 4 x / = ± x = x = Aufgabe (38) 8

29 Quadratische Gleichung ax + bx + c = 9 x 9 x = ( x / = + 9 ± ) ( ) ( ) 9 x / = + 9 ± x / = 9 ± x = x = x = x = 9 x 9 x = / : 9 x + x = x / = ± ( ) ( ) x / = ± 4 x / = ± x = x = Aufgabe (39) x-ausklammern 7 9 x x = x( 7 9 x ) = 7 9 x = / x = 4 3 / : ( ) 7 9 x = x = x = x x + = x / = 4 3 ± 4 ( ) ( ) 7 9 x / = 4 3 ± x / = 4 3 ± x = x = x = 6 x = x x + = / : 7 9 x 6x + = (( 6) x / = 6 ) ± x / = 3 ± 9 x / = 3 ± 3 x = 6 x = Aufgabe (4) 3 x 6 x 46 = x / = + 6 ± ( 6 x / = + 6 ± 36 x / = x = x = ± x = 6 x = ) ( ) 46 3 x 6 x 46 = / : 3 x x 48 = (( ) x / = ) ± ( 48) x / = ± x / = ± 7 x = 8 x = 6 Aufgabe (4) 9

30 Quadratische Gleichung ax + bx + c = x-ausklammern 5 9 x 3 3 x = x( 5 9 x 3 3 ) = 5 9 x 3 3 = / x = 3 3 / : 5 9 x = x = x = x 3 3 x + = ( 3 x / = +3 3 ± ) x / = +3 3 ± 9 9 x / = 3 3 ± x = x = 6 x = x = x 3 3 x + = / : 5 9 x 6x + = (( 6) x / = 6 ) ± x / = 3 ± 9 x / = 3 ± 3 x = 6 x = Aufgabe (4) 4 x x 5 = x / = + ± ( ) 4 ( 4) ( 5) ( ) 4 x / = + ± 5 x / = ± 5 x = + 5 x = 5 x = 6 x = 4 x x 5 = / : 4 x + 8x + = x / = 8 ± (8 ) x / = 4 ± 4 x / = 4 ± x = x = 6 Aufgabe (43) x-ausklammern 4x 8x = x(4x 8) = 4x 8 = / + 8 4x = 8 / : 4 x = 8 4 x = x = 4x 8x + = x / = +8 ± ( 8) x / = +8 ± 64 x / = 8 ± 8 x = x = x = x = x 8x + = / : 4 x x + = (( ) x / = ) ± x / = ± x / = ± x = x = Aufgabe (44) 3

31 Quadratische Gleichung ax + bx + c = 4 x + x + 46 x / = ± x / = x / = x = ± ± x = x = 6 = ( 4 4 ( ) 4 x = ) x + x + 46 = / : 4 x 5x 6 = (( 5) x / = 5 ) ± ( 6) x / = ± 4 x / = ± 3 x = 6 x = Aufgabe (45) x-ausklammern 8 7 x + 3 x = x( 8 7 x + 3 ) = 8 7 x + 3 = / x = 8 3 / : 7 x = x = x = x + 3 x + = x / = 3 ± x / = 3 ± 6 7 x / = 3 ± x = x = 7 x = 9 x = x + 3 x + = / : 8 7 x + 9x + = x / = 9 ± (9 ) x / = 4 ± 4 x / = 4 ± 4 x = x = 9 Aufgabe (46) x-ausklammern 8 x + 9 x = x( 8 x + 9 ) = 8 x + 9 = / 9 8 x = 9 / : 8 x = 9 8 x = x = 9 8 x + 9 x + = x / = 9 ± x / = 9 ± 4 8 x / = 9 ± x = x = x = 9 8 x = x + 9 x + = / : 8 x + 9x + = x / = 9 ± (9 ) x / = 4 ± 4 x / = 4 ± 4 x = x = 9 Aufgabe (47) 3

32 Quadratische Gleichung ax + bx + c = 5 x + 5 x = x / = 5 ± x / = 5 ± 5 x / = 5 ± x = x = 5 x = 6 x = x + 5 x = / : 5 x + 7x + 6 = x / = 7 ± (7 ) 6 x / = 3 ± 6 4 x / = 3 ± x = x = 6 3

33 Kubische Gleichungen 3 Kubische Gleichungen Umformen: ax 3 + b = ax 3 + b = ax 3 + b = / b ax 3 = b / : a x 3 = b a b x = 3 a b b a > x = 3 a b a < x = b 3 a Faktorisieren: ax 3 + bx = ax 3 + bx = x(ax + b) = x = (ax + b) = 3x = 3x = 3x = / 4 3x 3 = 4 / : 3 x 3 = 4 3 x = 3 8 x = 3x = 3x = / 4 3x 3 = 4 / : ( 3) x 3 = 4 3 x = 3 8 x = 9x 3 + 5x = x( 9x + 5) = x = 9x + 5 = 9x + 5 = / 5 9x = 5 / : ( 9) x = 5 9 x = ± 7 9 x = 3 x 3 = 3 Faktorisieren: ax 3 + bx = ax 3 + bx = x (ax + b) = x / = (ax + b) = x3 3 x = x ( 6 3 x 3 ) = 4 x / = 6 3 x 3 = x 3 = / x = 3 / : ( ) x = x 3 = 33

34 Kubische Gleichungen Aufgaben Polynomdivision ax 3 + bx + d = ax 3 + cx + d = ax 3 + bx + cx + d = Die ganzzahligen Faktoren von d auf Nullstellen prüfen. Mit der gefunden Nullstelle die Polynomdivision durchführen. x 3 + 3x 4 = x 3 + 3x 4 = d = 4 Ganzzahlige Faktoren: ±, ±, ±4 f() = Nullstelle gefunden: x = (x 3 +3x 4 ) : (x ) = x + 4x + 4 (x 3 x ) 4x 4 (4x 4x) 4x 4 (4x 4) x + 4x + 4 = x /3 = 4 ± x /3 = 4 ± x /3 = 4 ± x = 4 + x 3 = 4 x = x 3 = 3. Aufgaben Um eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue Rechnung Gegeben:ax 3 + bx + cx + d = Gesucht: Lösung der Gleichung () x 3 = () 3x = (3) 3x = (4) 8x = (5) x 3 + 4x = (6) 9x 3 + 5x = (7) 4 x3 + 3 x = (8) x 3 3x = (9) x3 + 4 = () 6 x3 + x = () x3 3x + 5x = () x 3 + 3x + = (3) x 3 + 3x 4 = (4) 4x 3 + 5x 6x = (5) x3 x + 4x + 6 = (6) x 3 4x + 3x = (7) 7 55 x x x = (8) x3 + 3 x 3 5 x = (9) 5 5 x x x 43 5 = () x3 3 x = () 3 x3 + x 3 x 8 = () 7 8 x3 7 8 x x = (3) x 3 + 3x 4 = (4) 5 6 x3 + 8 x = (5) 6 x3 x 3 x + 4 = (6) x 3 + x 8x = (7) 4 x3 + 8x + 4 x = (8) 54x 3 7x + 43x 6 = (9) 9 35 x3 4 5 x x = (3) x 3 + 6x = (3) x 3 + 6x = (3) 5 5 x3 + 7x x = (33) 3 x3 x 3 x = (34), 96x 3, 93x x = (35) 7 56 x3 7 8 x x = (36) 3 x3 67 x 8x 54 = 34

35 Kubische Gleichungen Lösungen 3. Lösungen Aufgabe () x 3 = x = x = ; 3-fache Nullstelle Aufgabe () 3x = 3x = / 4 3x 3 = 4 / : 3 x 3 = 4 3 x = 3 8 x = Polynomdivision:( ) (3x 3 +4 ) : (x + ) = 3x 6x + (3x 3 +6x ) 6x +4 ( 6x x) x +4 (x +4) 3x 6x + = x / = +6 ± ( 6) x / = +6 ± 8 6 Diskriminante negativ keine Lösung x = ; -fache Nullstelle Aufgabe (3) 3x = 3x = / 4 3x 3 = 4 / : ( 3) x 3 = 4 3 x = 3 8 x = Polynomdivision: ( 3x 3 +4 ) : (x ) = 3x 6x ( 3x 3 +6x ) 6x +4 ( 6x +x) x +4 ( x +4) 3x 6x = 35

36 Kubische Gleichungen Lösungen x / = +6 ± ( 6) 4 ( 3) ( ) ( 3) x / = +6 ± 8 6 Diskriminante negativ keine Lösung x = ; -fache Nullstelle Aufgabe (4) 8x = 8x = / 7 8x 3 = 7 / : ( 8) x 3 = 7 8 x = x = Polynomdivision: ( 8x 3 +7 ) : (x ) = 8x x 8 ( 8x 3 +x ) x +7 ( x +8x) 8x +7 ( 8x +7) 8x x 8 = x / = + ± ( ) 4 ( 8) ( 8) ( 8) x / = + ± 43 6 Diskriminante negativ keine Lösung x = ; -fache Nullstelle Aufgabe (5) x( x + 4) = x = x + 4 = x + 4 = / 4 x = 4 / : ( ) x = 4 x = ± 4 x = x = x = ; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle x 3 = ; -fache Nullstelle 36

37 Kubische Gleichungen Lösungen Aufgabe (6) x( 9x + 5) = x = 9x + 5 = 9x + 5 = / 5 9x = 5 / : ( 9) x = 5 9 x = ± 7 9 x = 3 x = 3 x = 3 ; x = ; x 3 = 3 ; -fache Nullstelle -fache Nullstelle -fache Nullstelle Aufgabe (7) x ( 4 x + 3 ) = x = 4 x + 3 = 4 x + 3 = / 3 4 x = 3 / : ( ) 4 x = 3 4 x = 3 x = ; x = 3 ; -fache Nullstelle -fache Nullstelle Aufgabe (8) x (x 3) = x = x 3 = x 3 = / + 3 x = 3 x = ; -fache Nullstelle x = 3; -fache Nullstelle Aufgabe (9) x3 + 4 = x3 + 4 = / 4 x3 = 4 / : x 3 = 4 x = 3 8 x = Polynomdivision:( ) 37

38 Kubische Gleichungen Lösungen ( x3 +4 ) : (x + ) = x x + ( x3 +x ) x +4 ( x x) x +4 (x +4) x x + = x / = + ± x / = + ± 3 ( ) 4 Diskriminante negativ keine Lösung x = ; -fache Nullstelle Aufgabe () x( 6 x + ) = x = 6 x + = 6 x + = / 6 x = / : ( ) 6 x = 6 x = ± x = 3, 46 x = 3, 46 x = 3, 46; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle x 3 = 3, 46; -fache Nullstelle Aufgabe () x( x 3x + 5) = x = x 3x + 5 = x 3x + 5 = x / = +3 ± ( 3) 4 5 x / = +3 ± Diskriminante negativ keine Lösung x = ; -fache Nullstelle Aufgabe () x 3 + 3x + = Nullstelle für Polynmomdivision erraten: 38

39 Kubische Gleichungen Lösungen ( x 3 +3x + ) : (x + ) = x + x + ( x 3 x ) x +3x + (x +x) x + (x +) x + x + = x / = ± 4 ( ) ( ) x / = ± 9 x / = ± 3 x = + 3 x = 3 x = x = x = ; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle Aufgabe (3) x 3 + 3x 4 = Nullstelle für Polynmomdivision erraten: ( x 3 +3x 4 ) : (x + ) = x + 4x 4 ( x 3 x ) 4x 4 (4x +4x) 4x 4 ( 4x 4) x + 4x 4 = x / = 4 ± 4 4 ( ) ( 4) ( ) x / = 4 ± x / = 4 ± x = 4 + x = 4 x = x = x = ; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle Aufgabe (4) x(4x + 5x 6) = x = 4x + 5x 6 = 39

40 Kubische Gleichungen Lösungen 4x + 5x 6 = x / = 5 ± ( 6) 4 x / = 5 ± 8 5 ± x / = x = x = 5 8 x = 3 4 x = x = ; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle x 3 = 3 4 ; -fache Nullstelle Aufgabe (5) x3 x + 4x + 6 = Nullstelle für Polynmomdivision erraten: ( x3 x +4x +6 ) : (x + ) = x + x + 3 ( x3 x ) x +4x +6 ( x +x) 3x +6 (3x +6) x + x + 3 = x / = ± ( 4 ) 3 ( ) x / = ± 6 4 x / = ± x = + x = x = x = 3 x = ; -fache Nullstelle x = 3; -fache Nullstelle Aufgabe (6) x(x 4x + 3) = x = x 4x + 3 = x 4x + 3 = x / = +4 ± ( 4) 4 3 x / = +4 ± 4 4

41 Kubische Gleichungen Lösungen x / = 4 ± x = 4 + x = 4 x = 3 x = x = ; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle x 3 = 3; -fache Nullstelle Aufgabe (7) 7 55 x x x = N umerischesuche : x = 4; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle x 3 = 3; -fache Nullstelle Aufgabe (8) x3 + 3 x 3 5 x = Nullstelle für Polynmomdivision erraten: 3 ( x3 + 3 x 3 x ) : (x + 3) = x 5, 55 7 x 3 5 ( x3 + 3 x ) 5, 55 7 x 3 x ( 5, 55 7 x, 67 6 x) 3 x ( 3 x 4 4 ) 5 5 x 5, 55 7 x 3 5 = x / = +5, 55 7 ± ( 5, 55 7 ) 4 ( ) 3 5 x / = +5, 55 7 ± 5 x / = 5, 55 7 ± x = 5, x = 4 x = 4 x = 4; -fache Nullstelle x = 3; -fache Nullstelle x 3 = 4; -fache Nullstelle x = 5, Aufgabe (9) 4

42 Kubische Gleichungen Lösungen 5 5 x x x 43 5 = Nullstelle für Polynmomdivision erraten: ( 5 5 x x 75 3 x ) : (x + ) = 5 5 x 7x 3 5 ( 5 5 x3 4 5 x ) 7x 75 3 x 5 ( 7x 54x) x ( 3 x 43 ) x 7x 3 5 = x / = +7 ± ( 7) 4 ( 5 ( ) 5) 3 5 ( 5 ) 5 x / = +7 ± x / = 7 ± x = x = x = 4 x = x = 4; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle x 3 = ; -fache Nullstelle Aufgabe () x ( x 3 ) = x = x 3 = x 3 = / x = 3 / : ( ) x = x = x = ; x = ; -fache Nullstelle -fache Nullstelle Aufgabe () 3 x3 + x 3 x 8 = N umerischesuche : x = 3; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle x 3 = ; -fache Nullstelle 4

43 Kubische Gleichungen Lösungen Aufgabe () x( 7 8 x 7 8 x ) = x = 7 8 x 7 8 x = 7 8 x 7 8 x = ( x / = ± 7 8 x / = ± 3, x / = x = ± ) ( ( ) 7 8 x = x = 3 x = x = 3; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle x 3 = ; -fache Nullstelle ) 5 4 Aufgabe (3) x 3 + 3x 4 = Nullstelle für Polynmomdivision erraten: (x 3 +3x 4 ) : (x ) = x + 4x + 4 (x 3 x ) 4x 4 (4x 4x) 4x 4 (4x 4) x + 4x + 4 = x / = 4 ± x / = 4 ± x / = 4 ± x = 4 + x = 4 x = x = x = ; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle Aufgabe (4) x ( 5 6 x + 8 ) = x = 5 6 x + 8 = 5 6 x + 8 = / x = 8 / : ( )

44 Kubische Gleichungen Lösungen x = x = x = ; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle Aufgabe (5) 6 x3 x 3 x + 4 = N umerischesuche : x = 3; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle x 3 = 4; -fache Nullstelle Aufgabe (6) x( x + x 8) = x = x + x 8 = x + x 8 = x / = ± 4 ( ) ( 8) ( ) x / = ± 4 x / = ± 4 x = + x = 4 4 x = 3 x = 3 x = ; -fache Nullstelle x = 3; -fache Nullstelle Aufgabe (7) x(4 x + 8x + 4 ) = x = 4 x + 8x + 4 = 4 x + 8x + 4 = x / = 8 ± x / = 8 ± 8 x / = 8 ± 8 x = 8 + x = x = x = x = ; -fache Nullstelle 44

45 Kubische Gleichungen Lösungen x = ; -fache Nullstelle Aufgabe (8) 54x 3 7x + 43x 6 = Nullstelle für Polynmomdivision erraten: (54x 3 7x +43x 6 ) : (x ) = 54x 6x + 6 (54x 3 54x ) 6x +43x 6 ( 6x +6x) 6x 6 (6x 6) 54x 6x + 6 = x / = +6 ± ( 6) x / = +6 ± 8 x / = 6 ± 8 x = 6 + x = x = x = x = ; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle Aufgabe (9) x( 9 35 x 4 8 5x ) = x = 9 35 x 4 8 5x = 9 35 x x = ( 4 5 x / = ± 9 35 x / = ±, x / = 4 5 ± x = x = 4 x = 3 x = ; -fache Nullstelle x = 3; -fache Nullstelle x 3 = 4; -fache Nullstelle ) x = Aufgabe (3) 45

46 Kubische Gleichungen Lösungen x ( x + 6) = x = x + 6 = x + 6 = / 6 x = 6 / : ( ) x = 6 x = 3 x = ; -fache Nullstelle x = 3; -fache Nullstelle Aufgabe (3) x ( x + 6) = x = x + 6 = x + 6 = / 6 x = 6 / : ( ) x = 6 x = 3 x = ; -fache Nullstelle x = 3; -fache Nullstelle Aufgabe (3) x(5 5 x + 7x ) = x = 5 5 x + 7x = 5 5 x + 7x = x / = 7 ± x / = 7 ± x / = 7 ± x = x = x = x = 3 x = 3; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle x 3 = ; -fache Nullstelle 4 5 Aufgabe (33) x( 3 x x 3 ) = x = 3 x x 3 = 3 x x 3 = x / = + ± ( ) 4 3 ( )

47 Kubische Gleichungen Lösungen x / = + ± x / = ± 3 3 x = x = 3 x = 4 x = x = ; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle x 3 = 4; -fache Nullstelle 3 Aufgabe (34), 96x 3, 93x x = N umerischesuche : x = 4, ; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle x 3 = 4, ; -fache Nullstelle Aufgabe (35) 7 56 x3 7 8 x x = N umerischesuche : x = 3; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle x 3 = ; -fache Nullstelle Aufgabe (36) 3 x3 67 x 8x 54 = Nullstelle für Polynmomdivision erraten: ( 3 x3 67 x 8x 54 ) : (x + ) = 3 x 54x 54 ( 3 x3 3 x ) 54x 8x 54 ( 54x 54x) 54x 54 ( 54x 54) 3 x 54x 54 = x / = +54 ± ( 54) 4 ( 3 ) ( 54) ( 3 ) 47

48 Kubische Gleichungen Lösungen x / = +54 ± 7 x / = 54 ± 7 x = 54 + x = x = x = x = ; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle 48

49 Gleichungen höheren Grades 4 Gleichungen höheren Grades Gerader Exponent: ax n + c = ax n + c = / c ax n = c / : a x / = ± n c a Diskriminante: D = c a D = eine Lösung D > zwei Lösungen D < keine Lösung Ungerader Exponent: ax n + c = Umformen ax n + b = ax n + b = ax n = b x n = b a b x = n a b a > b a < / b / : a b x = n a x = n b a Biquadratische Gleichung ax 4 + bx + c = Substitution: u = x u = x 4 Quadratische Gleichung: au + bu + c = Lösungen: u u Resubstitution: x = u x = u x = / 6 x 4 = 6 / : ( ) x 4 = 6 x = ± 4 8 x = 3 x = 3 5x = / 3 5x 3 = 3 / : 5 x 3 = 3 5 x = 3 64 x = 4 x 4 x + 9 = u = x u = x 4 u u + 9 = u / = + ± ( ) 4 9 u / = + ± 64 u / = ± 8 u = + 8 u = 9 u = x = 9 x = ± 9 x = 3 x = x = ± x 3 = x = 3 x 4 = u = 8 4. Aufgaben Um eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue Rechnung Gegeben:ax n + bx n... = Gesucht: Lösung der Gleichung Grad des Polyoms = Anzahl der Eingaben -

50 Gleichungen höheren Grades Aufgaben () x 4 x x 8x + 8 = () x 4 + 4x 3 + 6x + 4x + = (3) x 4 + 6x x + 84x + 7 = (4) 6x 4 + 7x 3 34x + 648x 486 = (5) x 4 8x + 8 = (6) 4 x4 + 3 x3 = (7) 4 x4 + 3 x3 = (8) x 4 3x 3 = (9) x 4 + x 3 9x + x 4 = () 6 x4 + x = () 6 x4 + x = () x4 3x 3 + 5x = (3) x 4 + 3x + x = (4) x 4 + 3x 3 4x = (5) x 5 = (6) (7) 4 x5 + 3 x4 = x 5 3x 4 = (8) x 5 x 3 + 9x = (9) x5 + x = () 6 x5 + x 3 = () x5 3x 4 + 5x 3 = () x 5 + 3x 3 + x = (3) x 5 + 3x 4 4x = (4) 4x 5 + 5x 4 6x 3 = 5

51 Gleichungen höheren Grades Lösungen 4. Lösungen Aufgabe () x 4 x x 8x + 8 = x 4 x x 8x + 8 Nullstelle für Polynomdivision erraten:3 (x 4 x 3 +54x 8x +8 ) : (x 3) = x 3 9x + 7x 7 (x 4 3x 3 ) 9x 3 +54x 8x +8 ( 9x 3 +7x ) 7x 8x +8 (7x 8x) 7x +8 ( 7x +8) x 3 9x + 7x 7 = Nullstelle für Polynmomdivision erraten:3 (x 3 9x +7x 7 ) : (x 3) = x 6x + 9 (x 3 3x ) 6x +7x 7 ( 6x +8x) 9x 7 (9x 7) x 6x + 9 = x / = +6 ± ( 6) 4 9 x / = +6 ± x / = 6 ± x = 6 + x = 6 x = 3 x = 3 x = 3; 4-fache Nullstelle x 4 + 4x 3 + 6x + 4x + = Aufgabe () x 4 + 4x 3 + 6x + 4x + Nullstelle für Polynomdivision erraten: (x 4 +4x 3 +6x +4x + ) : (x + ) = x 3 + 3x + 3x + (x 4 +x 3 ) 3x 3 +6x +4x + (3x 3 +3x ) 3x +4x + (3x +3x) x + (x +) x 3 + 3x + 3x + = Nullstelle für Polynmomdivision erraten: 5

52 Gleichungen höheren Grades Lösungen (x 3 +3x +3x + ) : (x + ) = x + x + (x 3 +x ) x +3x + (x +x) x + (x +) x + x + = x / = ± 4 x / = ± x / = ± x = + x = x = x = x = ; 4-fache Nullstelle Aufgabe (3) x 4 + 6x x + 84x + 7 = x 4 + 6x x + 84x + 7 Nullstelle für Polynomdivision erraten: (x 4 +6x 3 +48x +84x +7 ) : (x + ) = x 3 + x + 4x + 36 (x 4 +4x 3 ) x 3 +48x +84x +7 (x 3 +4x ) 4x +84x +7 (4x +48x) 36x +7 (36x +7) x 3 + x + 4x + 36 = N umerischesuche : x = 4, 5; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle 6x 4 + 7x 3 34x + 648x 486 = Aufgabe (4) 6x 4 + 7x 3 34x + 648x 486 Nullstelle für Polynomdivision erraten:3 ( 6x 4 +7x 3 34x +648x 486 ) : (x 3) = 6x x 6x + 6 ( 6x 4 +8x 3 ) 54x 3 34x +648x 486 (54x 3 6x ) 6x +648x 486 ( 6x +486x) 6x 486 (6x 486) 6x x 6x + 6 = Nullstelle für Polynmomdivision erraten:3 5

53 Gleichungen höheren Grades Lösungen ( 6x 3 +54x 6x +6 ) : (x 3) = 6x + 36x 54 ( 6x 3 +8x ) 36x 6x +6 (36x 8x) 54x +6 ( 54x +6) 6x + 36x 54 = x / = 36 ± 36 4 ( 6) ( 54) ( 6) x / = 36 ± x / = 36 ± x = 36 + x = 36 x = 3 x = 3 x = 3; 4-fache Nullstelle x 4 8x + 8 = Aufgabe (5) u = x u = x 4 u 8u + 8 = u / = +8 ± ( 8) 4 8 u / = +8 ± u / = 8 ± u = 8 + u = 8 u = 9 u = 9 x = 9 x = ± 9 x = 3 x = 3 x = 9 x = ± 9 x = 3 x = 3 x = 3; -fache Nullstelle x = 3; -fache Nullstelle 4 x4 + 3 x3 = x 3 ( 4 x + 3 ) = x = 4 x + 3 = 4 x + 3 = / 3 4 x = 3 / : ( ) 4 x = 3 4 Aufgabe (6) x = 3 x = ; 3-fache Nullstelle 53

54 Gleichungen höheren Grades Lösungen x = 3 ; -fache Nullstelle Aufgabe (7) 4 x4 + 3 x3 = x 3 ( 4 x + 3 ) = x = 4 x + 3 = 4 x + 3 = / 3 4 x = 3 / : ( ) 4 x = 3 4 x = 3 x = ; x = 3 ; 3-fache Nullstelle -fache Nullstelle Aufgabe (8) x 4 3x 3 = x 3 (x 3) = x = x 3 = x 3 = / + 3 x = 3 x = ; 3-fache Nullstelle x = 3; -fache Nullstelle Aufgabe (9) x 4 + x 3 9x + x 4 = x 4 + x 3 9x + x 4 Nullstelle für Polynomdivision erraten: (x 4 +x 3 9x +x 4 ) : (x ) = x 3 + x 7x + 4 (x 4 x 3 ) x 3 9x +x 4 (x 3 x ) 7x +x 4 ( 7x +7x) 4x 4 (4x 4) x 3 + x 7x + 4 = Nullstelle für Polynmomdivision erraten: (x 3 +x 7x +4 ) : (x ) = x + 3x 4 (x 3 x ) 3x 7x +4 (3x 3x) 4x +4 ( 4x +4) x + 3x 4 = x / = 3 ± 3 4 ( 4) x / = 3 ± 5 x / = 3 ± 5 54

55 Gleichungen höheren Grades Lösungen x = x = 3 5 x = x = 4 x = 4; -fache Nullstelle x = ; 3-fache Nullstelle Aufgabe () 6 x4 + x = x ( 6 x + ) = x = 6 x + = 6 x + = / 6 x = / : ( ) 6 x = 6 x = ± x = 3, 46 x = 3, 46 x = 3, 46; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle x 3 = 3, 46; -fache Nullstelle Aufgabe () 6 x4 + x = x ( 6 x + ) = x = 6 x + = 6 x + = / 6 x = / : ( ) 6 x = 6 x = ± x = 3, 46 x = 3, 46 x = 3, 46; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle x 3 = 3, 46; -fache Nullstelle x4 3x 3 + 5x = x ( x 3x + 5) = x = x 3x + 5 = x 3x + 5 = x / = +3 ± x / = +3 ± ( 3) 4 5 Diskriminante negativ keine Lösung x = ; -fache Nullstelle Aufgabe () x 4 + 3x + x = x( x 3 + 3x + ) = x = x 3 + 3x + = x 3 + 3x + = Nullstelle für Polynmomdivision erraten: Aufgabe (3) 55

56 Gleichungen höheren Grades Lösungen ( x 3 +3x + ) : (x + ) = x + x + ( x 3 x ) x +3x + (x +x) x + (x +) x + x + = x / = ± 4 ( ) ( ) x / = ± 9 x / = ± 3 x = + 3 x = 3 x = x = x = ; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle x 3 = ; -fache Nullstelle x 4 + 3x 3 4x = x( x 3 + 3x 4) = x = x 3 + 3x 4 = x 3 + 3x 4 = Nullstelle für Polynmomdivision erraten: ( x 3 +3x 4 ) : (x + ) = x + 4x 4 ( x 3 x ) 4x 4 (4x +4x) 4x 4 ( 4x 4) Aufgabe (4) x + 4x 4 = x / = 4 ± 4 4 ( ) ( 4) ( ) x / = 4 ± x / = 4 ± x = 4 + x = 4 x = x = x = ; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle x 3 = ; -fache Nullstelle x 5 = x 5 = x = x = ; 5-fache Nullstelle Aufgabe (5) Aufgabe (6) 56

57 Gleichungen höheren Grades Lösungen 4 x5 + 3 x4 = x 4 ( 4 x + 3 ) = x = 4 x + 3 = 4 x + 3 = / 3 4 x = 3 / : ( ) 4 x = 3 4 x = 3 x = ; x = 3 ; 4-fache Nullstelle -fache Nullstelle Aufgabe (7) x 5 3x 4 = x 4 (x 3) = x = x 3 = x 3 = / + 3 x = 3 x = ; 4-fache Nullstelle x = 3; -fache Nullstelle x 5 x 3 + 9x = x(x 4 x + 9) = x = x 4 x + 9 = u = x u = x 4 u u + 9 = u / = + ± ( ) 4 9 u / = + ± 64 u / = ± 8 u = + 8 u = 8 u = 9 u = x = 9 x = ± 9 x = 3 x = 3 x = x = ± x = x = x = 3; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle x 3 = ; -fache Nullstelle x 4 = ; -fache Nullstelle x 5 = 3; -fache Nullstelle Aufgabe (8) x5 + x = x ( x3 + ) = x = x3 + = x3 + = / x3 = / : x3 + = Aufgabe (9) 57

58 Gleichungen höheren Grades Lösungen x 3 = x = 3 4 x =, 59 Polynomdivision:(, 59) ( x3 + ) : (x +, 59) = x, 794x +, 6 ( x3 +, 794x ), 794x + (, 794x, 6x), 6x + (, 6x +) 4, 44 6 x, 794x +, 6 = +, 794 ± (, 794) 4, 6 x / = x / = +, 794 ±, 89 Diskriminante negativ keine Lösung x =, 59; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle 6 x5 + x 3 = x 3 ( 6 x + ) = x = 6 x + = 6 x + = / 6 x = / : ( ) 6 x = 6 x = ± x = 3, 46 x = 3, 46 x = 3, 46; -fache Nullstelle x = ; 3-fache Nullstelle x 3 = 3, 46; -fache Nullstelle Aufgabe () x5 3x 4 + 5x 3 = x 3 ( x 3x + 5) = x = x 3x + 5 = x 3x + 5 = x / = +3 ± x / = +3 ± ( 3) 4 5 Diskriminante negativ keine Lösung x = ; 3-fache Nullstelle Aufgabe () x 5 + 3x 3 + x = x ( x 3 + 3x + ) = x = x 3 + 3x + = x 3 + 3x + = Nullstelle für Polynmomdivision erraten: Aufgabe () 58

59 Gleichungen höheren Grades Lösungen ( x 3 +3x + ) : (x + ) = x + x + ( x 3 x ) x +3x + (x +x) x + (x +) x + x + = x / = ± 4 ( ) ( ) x / = ± 9 x / = ± 3 x = + 3 x = 3 x = x = x = ; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle x 3 = ; -fache Nullstelle x 5 + 3x 4 4x = x ( x 3 + 3x 4) = x = x 3 + 3x 4 = x 3 + 3x 4 = Nullstelle für Polynmomdivision erraten: ( x 3 +3x 4 ) : (x + ) = x + 4x 4 ( x 3 x ) 4x 4 (4x +4x) 4x 4 ( 4x 4) Aufgabe (3) x + 4x 4 = x / = 4 ± 4 4 ( ) ( 4) ( ) x / = 4 ± x / = 4 ± x = 4 + x = 4 x = x = x = ; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle x 3 = ; -fache Nullstelle 4x 5 + 5x 4 6x 3 = x 3 (4x + 5x 6) = x = 4x + 5x 6 = 4x + 5x 6 = Aufgabe (4) 59

60 Gleichungen höheren Grades Lösungen x / = 5 ± ( 6) 4 x / = 5 ± 8 5 ± x / = x = x = 5 8 x = 3 4 x = x = ; -fache Nullstelle x = ; 3-fache Nullstelle x 3 = 3 4 ; -fache Nullstelle 6

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