Lineare Gleichungssysteme I (Matrixgleichungen)

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1 Lineare Gleichungssysteme I (Matrigleichungen) Eine lineare Gleichung mit einer Variable hat bei Zahlen a, b, die Form a b. Falls hierbei der Kehrwert von a gebildet werden darf (a 0), kann eindeutig aufgelöst werden zu a b. Für Matrigleichungen (Gleichungen zwischen Matrizen) mit einer unbekannten Matri X stellt sich die entsprechende Frage nach der Auflösbarkeit: Gegeben: A X B bzw. X A B Gesucht: X? Matrigleichungen finden insbesondere Anwendung bei Untersuchungen mehrstufiger Produktionsprozesse, Verflechtungsanalysen (Input/Output-Analyse) im Mikro- und Makrobereich, in der Linearen Optimierung sowie bei Übergangsmodellen in der Marktforschung (stochastische Matrizen) und bei Zeitreihenanalysen Ökonomische Beispiele Die für Umformungen von Matrigleichungen benötigten Begriffe werden unten zusammengestellt. An Lösungsverfahren werden danach besprochen: die nur im Spezialfall einer quadratischen Matri A und eher nur für theoretische Überlegungen brauchbare Lösungsmöglichkeit mit Hilfe von Determinanten (Cramersche Regel) Thema 5.3 ein rechnerisches Lösungsverfahren, das bei jeder Matrigleichung alle Lösungsmöglichkeiten für X liefert: Gauß-Jordan-Algorithmus Thema 6 55 Inverse (Kehrmatri) A n n einer quadratischen Matri A n n Die inverse Matri A n n zu A n n kann eistieren. Falls es sie gibt, so ist sie eindeutig bestimmt durch jede der beiden Matrigleichungen Definierende Eigenschaft Bezeichnung Test A n n A n n E n n A n n A n n Eine Matri heißt invertierbar (auch: nicht-singulär), wenn sie quadratisch (n n-matri) ist und ihre Inverse eistiert Methodische Berechnung von Inversen Thema 6 für n n-matrizen A und B Ist A B E, so ist auch B A E und A B und B A Ist A B E, so ist (falls A oder B überhaupt invertierbar sind) weder A B noch B A Bsp A und B sind zueinander inverse Matri zen: A B A B E und B A Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg von 6

2 Bsp. 2 Leicht erkennbare Muster nicht-invertierbarer Matrizen (Dies sind Spezialfälle linearer Abhängigkeit Thema 6) Enthält eine Matri A eine Nullenzeile (bzw. Nullenspalte), so ist im Produkt A X (bzw. X A) die entsprechende Zeile (bzw. Spalte) ebenfalls eine Nullenzeile (bzw. Nullenspalte) das Produkt kann also nie, für keine Matri X, gleich der Einheitsmatri sein Ist in einer Matri A eine Zeile (bzw. Spalte) ein Vielfaches einer anderen Zeile (bzw. Spalte), so wiederholt sich diese Eigenschaft im Produkt A X (bzw. X A) mit den entsprechenden Zeilen (bzw. Spalten) das Produkt kann also nie, für keine Matri X, gleich der Einheitsmatri sein, die eine solche Eigenschaft eben nicht aufweist Bsp und sind nicht invertierbar Bsp. 3 Leicht erkennbare Muster invertierbarer Matrizen Eine Diagonalmatri A, bei der kein Diagonalelement gleich Null ist, hat als Inverse die Diagonalmatri der Kehrwerte der Diagonalelemente von A Bsp Eine Einheitsmatri, deren Zeilen (bzw. Spalten) umgeordnet sind, hat als Inverse ihre transponierte Matri [vgl. Nr. 54] 56 Rechenregeln für Inverse von quadratischen Matrizen (R) A A E A A definierende Eigenschaft (R2) (A ) A falls A invertierbar (R3) (αa) α A falls die Zahl α 0 und A invertierbar (R4) (A T ) (A ) T falls A invertierbar (R5) (A B) B A falls A und B invertierbar (R6) P P T falls P aus den umsortierten Zeilen (bzw. aus den umsortierten Spalten) der Einheitsmatri besteht Regel (R4) bedeutet: Aus der Invertierbarkeit von A folgt die Invertierbarkeit von A T und die Gleichheit (A T ) (A ) T. Regel (R5) bedeutet: Aus der Invertierbarkeit von A und B folgt die Invertierbarkeit von A B und die Gleichheit (A B) B A. Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 2 von 6

3 ! vorsicht Die Umkehrung von (R5) ist nur dann richtig, wenn A und B beide quadratisch sind, d.h. dann folgt aus der Invertierbarkeit des Produkts A B auch die Invertierbarkeit der einzelnen Matri-Faktoren A und B. Bei vielen ökonomischen Anwendungen sind die beiden Faktoren aber typischerweise nicht quadratisch: Z.B. liegt in der Zeitreihenanalyse meist eine Beobachtungsmatri A m k mit m > k vor, wobei m Anzahl Beobachtungsperioden, n Anzahl erklärender Variabler). Das für weitere Umformungen wichtige Produkt (A T n m A m n ), eine n n-matri, ist dabei per Modellvoraussetzung für die Variablen invertierbar. 57 Umformungen von Matrigleichungen Dimensionen beachten Addition A m n B m n A m n + C m n B m n + C m n Rechts ausklammern X m n A m m X m n (E A) m m X m n Links ausklammern X m n X m n A n n X m n (E A) n n Mit Hilfe inverser Matrizen, deren Eistenz z.b. aufgrund theoretischer Überlegungen (ökonomische Modellannahmen) vorausgesetzt werden kann, sind abstrakte Umformungen von Matrigleichungen zu allgemeinen Lösungen möglich: Auflösen von links, falls A m m invertierbar A m m X m n B m n X m n A m m B m n Auflösen von rechts, falls A n n invertierbar X m n A n n B m n X m n B m n A n n Das Ganze noch einmal, in einprägsamer Kurzform (auf die Dimensionen achten wir bei der konkreten Ausführung): Addition A B A + C B + C Rechts ausklammern X A X (E A) X Links ausklammern X X A X (E A) Auflösen von links, falls A invertierbar A X B X A B Auflösen von rechts, falls A invertierbar X A B X B A Bsp. 4 Gegeben ist die folgende Matrigleichung, wobei X unbekannt ist: 0 X Damit die Gleichung definiert ist, muss X die Dimension 2 3 haben. 3 3 Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 3 von 6

4 Auflösen von links und rechts liefert X Bsp. 5 Die beiden n n-matrizen A, C in der folgenden Matrigleichung seien invertierbar, X ist unbekannt: A X C B Auflösen nach X liefert die äquivalente Gleichung: X A B C. Falls auch noch B invertierbar ist, ist auch das Produkt X invertierbar und X (A B C ) C B A siehe (R5) Bsp. 6 Die Inverse der Matri A ist A Mit dieser Information kann die Lösung X der beiden Matrigleichungstypen A X B bzw. X A B direkt angegeben werden, z.b.: 6 a) A X hat die Lösung X A b) X A ( ) hat die Lösung X ( ) A (5 0 5) Reduktion/Zerlegung von Matrigleichungen in Lineare Gleichungssysteme (I) Reduktion auf Gleichungen mit X als rechtem Faktor. Für die rechnerische Bestimmung der Lösung von Matrigleichungen der Form A X B oder X A B genügt es, nur die Form A X B (mit X rechts) zu betrachten: Transponierte Matrigleichung X T A B A T X B T Wenn X Lösung von A T X B T ist, so ist Y : X T Lösung von Y A B y, y Bsp. 7 Um,2 y, zu lösen, wird also y 2, y 2,2 y 2, die transponierte Gleichung,, , 2, , 3,2 3 2 gelöst und dann die so gefundene Lösung X zu Y : X T transponiert. Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 4 von 6

5 (II) Spaltenweise Zerlegung von A X B bzgl. B und X. Die Lösungsmatri X von Matrigleichungen der Form A X B setzt sich spaltenweise zusammen aus den Lösungen zu den einzelnen Spalten von B, d.h. Spalte j der Lösungsmatri X ist die Lösung z von A z Spalte j von B. 3 2 Bsp. 8 Um,, , 2,2 2 zu lösen, lösen , 2 2 3,2 3 2 wir simultan ( Thema 6) die beiden einzelnen Matrigleichungen und und setzen daraus die Lösungsmatri X spaltenweise zusammen. Diese einfachste Form einer Matrigleichung, A b, wobei A eine gegebene (m n)-matri ist, b ein m-spaltenvektor und ein n-spaltenvektor, ist also eine Grundform, aus deren Lösungen die Lösung von Matrigleichungen der Form A X B oder X A B auf einfache Art und Weise aufgebaut werden kann. Diese Grundform A b heißt lineares Gleichungssystem : 58 Lineares Gleichungssystem (LGS) (i,...,m; j,...,n) m Gleichungen, m Zielwerte b i, n Variable j, m n Koeffizienten a i,j a, a,n n b... a m, a m,n n b m In Matrischreibweise: A b Koeffizientenmatri (m Zeilen und n Spalten) A m n Variablenvektor (Spalte mit n Elementen,..., n ) n Zielvektor (Spalte mit m Elementen b,...,b m ) b m Bsp. 9 Im Anwendungsbeispiel von Thema 5.(Seite 6) ist M RE E R ein LGS, bei dem M RE die Koeffizientenmatri, ein verfügbarer Rohstoffvektor R den Zielvektor und E den Variablenvektor darstellen, z.b.: E E 2 E für gegebenes 3 R In Gleichungsform (2 Gleichungen, 2 Zielwerte, 3 Variable): 5 E + 0 E E E + 5 E E 3 70 R Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 5 von 6

6 Leontief-Inverse (E A) Ergänzungen Matrigleichungen der Form X A n n X+B, d.h. (E A) X B kommen insbesondere bei verschiedenen Formen der Input/Output-Analyse (speziell auch: innerbetriebliche Leistungsverrechnung) vor. E A heißt auch Technologiematri, und deren (günstigenfalls eistierende) Inverse (E A), mit der dann zu X (E A) B aufgelöst werden kann, Leontief-Inverse. Bsp. 0 (vereinfacht: ohne Berücksichtigung eogener Inputs/Rohstoffe) Produzierender Bereich Nichtproduz. Bereich (Endogener Input) (Endnachfrage y) Lieferung an S an S 2 an S 3 an y von S von S von S Produktionsmatri A (Anteile) (Absolute Werte) In der Produktionsmatri stehen die Produktionskoeffizienten Anteile der endogenen Inputwerte des empfangenden Sektors j an seiner Gesamtproduktion j (absoluter Outputwert einschl. Lieferung an y). Die Gesamtproduktion T ( 2 3 ) T aller Sektoren S,S 2,S 3 erfüllt dann A + y, d.h. (E A) y. Ist nun, wie in diesem Beispiel, E A invertierbar, so ist (E A) y die für die Befriedigung einer vorgegebene Endnachfrage (Produktionsplan) erforderliche Gesamtproduktion. Im Beispiel: Inverse bereits berechnet E A und (E A) und damit (E A) Matripotenzen quadratischer Matrizen A n : A... A n-faches Produkt der Matri A m m (n N) Wiederholte Anwendung von Übergangsmatrizen in der Marktforschung Geometrische Summe bei quadratischen Matrizen Ist für eine quadratische Matri A die Matri E A invertierbar, so gilt: (E A) (E A n+ )E+A +A A n (E A n+ )(E A) Vgl.: +q + q q n ( q n+ )/( q) für invertierbares q R Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 6 von 6