Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.

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1 Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben, die für x eingesetzt die Gleichheitsbedingung g erfüllen. Man kann beide Seiten einer Gleichung mit der gleichen Zahl multiplizieren, ohne die Gleichheit zu verletzen Da die Division durch A 0 der Multiplikation mit 1/A äquivalent ist, ist die einzige mögliche Lösung von A x = a. 58

2 Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Ist dagegen g A = 0, so sind zwei Fälle zu unterscheiden a 0, dann lautet die Gleichung 0 x = a, was einen Widerspruch an sich darstellt. Es existiert in diesem Fall keine reelle Zahl x, die diese Gleichung erfüllt a = 0, dann lautet die Gleichung 0 x = 0. Diese Gleichung ist für alle reellen c erfüllt. Man schreibt auch x = bel. (beliebig) Es gilt also: Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung. Für A=0 und a = 0 ist jede reelle Zahl x Lösung. 59

3 Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Liegt eine lineare Gleichung (eine Gleichung, die auf beiden Seiten nur Summen linearer Terme enthält) nicht von vorneherein in der Normalform vor, so führt man sie durch zielgerichtete Addition (bzw. Subtraktion) von linearen Termen auf beiden Seiten darauf zurück. Ist zum Beispiel eine Gleichung in der Form gegeben, so kann man auf beiden Seiten b 2 x + d 1 addieren und a 2 x + c 1 subtrahieren, so dass man erhält Hier stehen die x enthaltenen Glieder auf der linken Seite und die konstanten Glieder auf der rechten Seite der Gleichung 60

4 Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Setzt man so ist die Gleichung identisch mit der Grundform 61

5 Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Ist eine Gleichung in der Form gegeben (sie hat nur einen Sinn, wenn a 2 0, b 2 0 gilt), so kann man die Gleichung nach x auflösen, indem man sie mit a 2 multipliziert und im Fall a 1 0 durch a 1 dividiert: 62

6 Eine lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten Eine solche Gleichung kann dargestellt werden durch Hierin können die unbekannten Größen x und y beliebige reelle Zahlen sein, die in der angegeben g Weise miteinander verknüpft sind. Mit andern Worten: x und y sind Variablen. Die Gleichung stellt eine lineare Funktionsgleichung dar, deren Bild eine gerade im x,y-koordinatensystem ist Die Sonderfälle a=0 oder b=0 beschreiben insbesondere Geraden, die parallel zur y- bzw. x-achse verlaufen Fasst man die Gleichung als Bestimmungsgleichung für die beiden Unbekannten x und y auf so erhebt sich die Frage, was man unter der Lösung dieser Gleichung versteht. Die Lösung ist offenbar die Menge aller Wertepaare (x,y), die die Gleichung erfüllen 63

7 Eine lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten Betrachten man den Hauptfall a, b 0, so kann man die Gleichung nach y auflösen: Man kann x völlig beliebig wählen und hat dann y nach der Formel zu ermitteln. Man erhält also unendlich viele Lösungen, nämlich die Lösungsmenge Man schreibt dafür auch kurz: 64

8 Eine lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten Selbstverständlich kann man auch nach x auflösen und y beliebig wählen, also Lösung der Gleichung Anstatt die Variablen mit x, y, z, zu benennen ist es zweckmäßig bei mehren Variablen diese mit x 1, x 2, x 3 zu benennen: 65

9 Zwei lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten Ein System von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten hat die allgemeine Gestalt Diese Bestimmungsgleichungen können als Funktionsgleichung mit den Veränderlichen x 1 und x 2 aufgefasst und im x 1,x 2 -Koordinatensystem als geraden dargestellt werden. Schneiden sich die geraden in einem Punkt, so sind die Koordinaten dieses Schnittpunktes die einzige Lösung des Gleichungssystems Fallen die beiden Geraden zusammen, so bedeutet dies, dass die Gleichung II die gleiche Gerade darstellt wie die Gleichung I. Es existiert dann wiederum nur eine Gleichung mit einer unbekannten und somit 1 Lösungen. 66

10 Zwei lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten Es können formal aber auch 2 Lösungen auftreten, wenn alle a ik und alle a i gleich null sind. Der Fall, dass keine Lösung existiert, tritt dann ein, wenn die durch I und II dargestellten Geraden parallel verlaufen, aber nicht zusammenfallen Bei zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten können also folgende vier Fälle auftreten: Es existiert eine eindeutig bestimmte Lösung (Hauptfall) Es existiert keine Lösung (das System enthält Widersprüche) Es existieren 1 Lösungen (die II. Gleichung ist gleich der I. bzw. ein Vielfaches davon) Es existieren 2 Lösungen ( ausgearteter Fall: alle a ik =0 und alle a i =0) i (i=1,2, ) bedeutet, dass für i Unbekannte beliebige Werte eingesetzt werden können. 67

11 Das Gleichsetzungsverfahren Man löst beide Gleichungen nach der gleichen Unbekannten (z.b. x 2 2) auf, setzt sie gleich und erhält dabei eine Gleichung mit einer Unbekannten (z.b. x 1 ) Beispiel 1 68

12 Das Gleichsetzungsverfahren Beispiel 2 69

13 Das Gleichsetzungsverfahren Beispiel 3 Das ist ein Widerspruch, denn keine reelle Zahl x2 kann diese Gleichung erfüllen. Demnach gibt es keine Lösung. 70

14 Das Einsetzungsverfahren Man löst eine Gleichung nach einer Unbekannten (z.b. x 2 2) auf und setzt dass Ergebnis in die andere Gleichung ein. Dann erhält man eine Gleichung mit der anderen Unbekannten (z.b. x 1 ). Beispiel 1 71

15 Das Einsetzungsverfahren Beispiel 2 72

16 Das Einsetzungsverfahren Beispiel 3 Das ist ein Widerspruch, es gibt keine Lösung. 73

17 Das Additionsverfahren Man addiert ein bestimmtes (evtl. auch negatives) Vielfaches der II. Gleichung zu einem bestimmten Vielfachen der I. Gleichung derart, dass eine Unbekannte nicht mehr auftritt. Mit dem Ergebnis ermittelt man dann die andere Unbekannte. Dies kann man für beide Unbekannte machen. Beispiel 1 74

18 Das Additionsverfahren Beispiel 2 75

19 Das Additionsverfahren Beispiel 3 Das ist ein Widerspruch, es gibt keine Lösung. 76

20 Nichtlineare Gleichungen Alle Gleichungen, die nicht zu Normalform der linearen Gleichung äquivalent sind heißen nichtlineare Gleichungen. Ihre allgemeine Form lautet wobei F(x) ein nichtlinearer Ausdruck in x ist. Die Gleichung lösen heißt, alle Werte x zu bestimmen, für die die Gleichung gilt. Dabei ist es wichtig festzulegen, ob man nur reelle Lösungen x sucht oder ob man auch komplexe Werte für die Lösung zulässt. 77

21 Nichtlineare Gleichungen So hat zum Beispiel die nichtlineare Gleichung die beiden reellen Lösungen Dagegen g hat die Gleichung keine Reelle Lösung, sondern die imaginäre Lösungen 78

22 Nichtlineare Gleichungen Bei Funktionen nennt man die Beziehung gy = F(x) Funktionsgleichung gund x dabei (unabhängige) Variable. Eine nichtlineare Gleichung ist allerdings eine Bestimmungsgleichung und x dort eine Unbekannte. Die Lösung einer Gleichung nennt man auch Nullstelle von F(x) oder Wurzel der Gleichung F(x) = 0. Gleichungen, die nicht in der Form F(x) = 0 gegeben sind, können durch Umformen auf diese Form gebracht werden. So erhält man zum Beispiel für die Gleichungen die Normalform in folgender Weise 79

23 Quadratische Gleichungen Die einfachste nichtlineare algebraische Gleichung ist die quadratische Gleichung Sie hat die allgemeine Form Die Division durch b2 liefert die äquivalente Normalform Zu ihrer Lösung macht man von der quadratischen Ergänzung g Gebrauch, die auf den biomischen Formeln beruht: 80

24 Quadratische Gleichungen Damit kann die Ausgangsgleichung g g g in folgender Weise umgeformt werden: bzw. 81

25 Quadratische Gleichungen Gilt so hat man zwei Möglichkeiten, die Gleichung zu erfüllen. Es gilt oder denn durch quadrieren beider Seiten erhält man bei beiden Gleichungen die ursprüngliche Gleichung zurück. 82

26 Quadratische Gleichungen Aus den Gleichungen erhält man zwei reelle Lösungen: Dafür schreibt man auch vereinfacht: 83

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