Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme"

Transkript

1 Übung Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Diese Übung beschäftigt sich mit Grundbegriffen der linearen Algebra. Im Speziellen werden lineare Abbildungen, sowie Kern und Bild diskutiert. Weiters wird auf die Lösung von Systemen linearer zeitinvarianter Differentialgleichungen näher eingegangen, wobei die Transitionsmatrix eine fundamentale Rolle spielen wird.. Lineare Abbildungen Eine Abbildung T : V V heißt Lineare Abbildung, wenn für alle x,x V und alle Skalare α K gilt:. T(x +x ) = T(x )+T(x )... Additivität. T(αx ) = αt(x )... Homogenität Spezielle lineare Unterräume zu einer linearen Abbildung sind Bild und Kern, welche durch die Mengen ker(t) = {x V : T(x) = } definiert sind. im(t) = T(V) 7

2 x =.5 V A =... Veranschaulichung y = 3 y = V.5 x = { ker(a ) = {} im(a ) = span Abbildung.: Die lineare Abbildung A : V V x =.5 x = V { ker(a ) = span A = } V, } z V = 3 z =.5 { } im(a ) = span V Abbildung.: Die lineare Abbildung A : V V.. Veranschaulichung Im folgenden soll das Bild und der Kern zu einer linearen Abbildung durch zwei einfache Beispiele veranschaulicht werden (Abb.. und Abb..). Ergebnis der Abbildung ist eine Linearkombination der Spalten von A. Es ist unmittelbar ersichtlich, dass eine mögliche Basis für das Bild einer linearen Abbildung durch alle linear unabhängigen Spaltenvektoren der entsprechenden Matrix gebildet werden kann. Der Kern einer linearenabbildung kann durch Lösen der Beziehung Ax = berechnet werden... Beispiel Durch die Matrix A mit A = sei eine lineare Abbildung von R 3 auf sich selbst gegeben. Zu berechnen sind 8

3 ... Beispiel der Kern der Abbildung, das Bild der Abbildung, der Rang der Matrix.... Der Kern Der Kern berechnet sich als Lösung des Gleichungssystems Ax =. Hinweis. Zur Berechnung des Kernes dürfen elementare Zeilenumformungen auf die Matrix A angewendet werden (ev. um die Matrix auf Zeilenstufenform zu bringen, wodurch das Lösen des Glg.sys vereinfacht wird), jedoch nicht Spaltenumformungen. Es gilt: Zeilenumformung: entspricht Multiplikation von links, d.h. aus Ax = wird QAx = }{{} Āx = Ā und der Kern x bleibt unverändert. Z.B. α a b QA = c d a+αc b+αd = c d. Spaltenumformung: entspricht Multiplikation von rechts, d.h. aus Ax = wird }{{} AP P} {{ x} = Ā x und die Lösung x zu diesem Problem entspricht nicht mehr dem Kern von A! Z.B. a b AP = c d β a+βb b =. c+βd d 9

4 ... Beispiel... Das Bild Eine Basis des Bildes kann einfach gefunden werden, indem die Abbildung y = Ax auf die trivialen Basisvektoren des Vektorraumes angewandt wird, und die linear unabhängigen Vektoren der Abbildung gesucht werden. Dann sind die y i die Spalten der Transformationsmatrix. Um eine Basis des Bildes zu bestimmen, müssen also nur die linear unabhängigen Spalten der Transformationsmatrix gefunden werden. Überzeugen Sie sich, dass gilt: span...3 Der Rang 5 5 3, 4 8 = span 7,. Den Rang der Matrix A erhält man durch elementare Zeilen- oder Spaltenumformungen. Weiters gilt dim(im(a)) = rank(a). Berechnen Sie den Rang der Matrix A durch elementare Zeilenumformungen....4 Erweiterte Spaltenstufenform Eine einfache Methode um Bild, Kern und Rang einer linearen Abbildung A auf einmal zu berechnen, ist folgendermaßen gegeben: Bringt man die m n Matrix A mit elementaren Spaltenumformungen auf Spaltenstufenform, dann bilden die Spaltenvektoren die nicht sind eine Basis für das Bild. Die Anzahl der Vektoren ist der Rang von A. Führt man die Umformungen auch an der Einheitsmatrix durch, dann kann man aus dem Ergebnis direkt ker(a) ablesen (Die Spaltenumformungen können als Multiplikation von rechts mit entsprechenden Matrizen realisiert werden: AS S = AP. Führt mandiese Umformungen auch ander Einheitsmatrix durch, dann erhält man ES S = P. Die letzten n rank(a) Spalten von P bilden dann eine Basis von ker(a)) Bereits nach dem ersten Schritt ist zu erkennen, dass die ersten beiden Spaltenvektoren linear unabhängig sind. Man kann also schon hier ein korrektes Ergebnis ablesen. Es folgt im(a) = span 5, 8 = span 5, 4 =

5 .. Lösung von LTI-Systemen und sowie ker(a) = span dim(im(a)) = rank(a) =.. Lösung von linearen zeitinvarianten Systemen Für ein System der Form ẋ(t) = Ax(t)+bu(t), x() = x, y(t) = c T x(t)+du(t) berechnet sich der Verlauf der Zustandsgrößen allgemein mit und der der Ausgangsgröße mit y(t) = c T x(t)+du(t) t x(t) = Φ(t)x + Φ(t τ)bu(τ)dτ t = c T Φ(t)x +c T Φ(t τ)bu(τ)dτ +du(t) wobei Φ(t) die Transitionsmatrix ist..3 Berechnung der Transitionsmatrix.3. Eindimensionaler Zustand Gegeben sei das System ẋ = ax+bu.3. Entkoppelte Dynamikmatrix Wir betrachten die Brückenschaltung aus der ersten Übung von den Aufgaben. Das Zustandsmodell lautet uc R = C uc R + C u i L R i L L L y = u R C. i L

6 .4. Eigenwerte und Eigenvektoren.4 Eigenwerte und Eigenvektoren.4. Paarweise verschiedene Eigenwerte.4. Mehrfache Eigenwerte Zu einem Eigenwert λ der Vielfachheit β findet man β Haupteigenvektoren Vorgehensweise analog zu oben (Anzahl der HEV = Rangverlust von (A λe) = dim(ker(a λe))) Zu einem Eigenwert λ der Vielfachheit β findet man ρ < β Haupteigenvektoren.5 Aufgaben Aufgabe. Wann hat die lineare homogene Gleichung eine nichttriviale Lösung? Ax = Aufgabe. Läßt sich über die Bestimmung der Determinante von A etwas über die Existenz einer nichttrivialen Lösung von Ax = aussagen? Aufgabe.3 Was bedeutet lineare Unabhängigkeit zweier Vektoren eines Vektorraumes V? Aufgabe.4 Wenn der Rang der Matrix A des Gleichungssystems Ax = bekannt ist, wieviele linear unabhängige Lösungsvektoren x existieren dann? Aufgabe.5 Unter welchen Voraussetzungen an die Matrix A und den Vektor b besitzt das lineare Gleichungssystem Ax = b eine / unendlich viele / keine Lösung(en)? Aufgabe.6 Durch die Matrix T sei eine lineare Abbildung T : V V mit y = Tx, x V, y V gegeben. Lösen Sie die nachfolgenden Aufgabenstellungen für folgende Abbildungen: T = T = T = T = T =

7 .5. Aufgaben Berechnen Sie zu obigen Abbildungen den Kern und das Bild. Wo ist der Kern bzw. das Bild definiert (in V oder in V ). Zeigen Sie durch Anwendung der Axiome, dass der Kern und das Bild lineare Vektorräume sind. Zeigen Sie, dass die Abbildungen linear sind. Aufgabe.7 Berechnen Sie die Transitionsmatrix des Systems λ x, ẋ = x, x λ = durch lösen der einzelnen Differentialgleichungen. x, 3

Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme

Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Wir befassen uns nun mit der Lösung im allgemeinen nichthomogener linearer Gleichungssysteme in zweifacher Hinsicht. Wir studieren

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Eines der am häufigsten auftretenden Standardprobleme der angewandten Mathematik ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder

Mehr

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Das Eigenwertproblem Sei A eine quadratische Matrix vom Typ m,m. Die Aufgabe, eine Zahl λ und einen dazugehörigen Vektor x zu finden, damit Ax = λx ist, nennt

Mehr

Serie 8: Online-Test

Serie 8: Online-Test D-MAVT Lineare Algebra I HS 017 Prof Dr N Hungerbühler Serie 8: Online-Test Einsendeschluss: Freitag, der 4 November um 14:00 Uhr Diese Serie besteht nur aus Multiple-Choice-Aufgaben und wird nicht vorbesprochen

Mehr

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 $Id: jordan.tex,v.6 /6/7 8:5:3 hk Exp hk $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5.4 Die Jordansche Normalform Wir hatten bereits erwähnt, dass eine n n

Mehr

Serie 8: Fakultativer Online-Test

Serie 8: Fakultativer Online-Test Prof Norbert Hungerbühler Lineare Algebra I Serie 8: Fakultativer Online-Test ETH Zürich - D-MAVT HS 215 1 Diese Serie besteht nur aus Multiple-Choice-Aufgaben und wird nicht vorbesprochen Die Nachbesprechung

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Sei K ein Körper, a ij K für 1 i m, 1 j n. Weiters seien b 1,..., b m K. Dann heißt a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2... a m1

Mehr

Eigenwerte und Eigenvektoren

Eigenwerte und Eigenvektoren Ergänzung Eigenwerte und Eigenvektoren Motivation Definitionen Beispiele im IR 2 Beispiele im IR 3 Eigenwerte und Eigenvektoren Motivation Lineare Abbildungen, Ausgangsvektor und Bildvektor Lineare Abbildungen

Mehr

Lösungen Serie 2. D-MAVT Lineare Algebra II FS 2018 Prof. Dr. N. Hungerbühler 1 0 1? 0 1 1

Lösungen Serie 2. D-MAVT Lineare Algebra II FS 2018 Prof. Dr. N. Hungerbühler 1 0 1? 0 1 1 D-MAVT Lineare Algebra II FS 8 Prof. Dr. N. Hungerbühler Lösungen Serie. Welche der folgenden Vektoren sind Eigenvektoren der Matrix? (a) (,, ). Ein Vektor v ist Eigenvektor von A :=, falls Av ein skalares

Mehr

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt SS, Lineare Algebra Die Lösungen wurden erstellt von: Isabel Voigt, Vanessa Lamm und Matthias Rehder Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com aufrufbar.

Mehr

Lineare Algebra: Determinanten und Eigenwerte

Lineare Algebra: Determinanten und Eigenwerte : und Eigenwerte 16. Dezember 2011 der Ordnung 2 I Im Folgenden: quadratische Matrizen Sei ( a b A = c d eine 2 2-Matrix. Die Determinante D(A (bzw. det(a oder Det(A von A ist gleich ad bc. Det(A = a b

Mehr

Lineare Algebra 2013 Lösungen für Test und Zusatzfragen

Lineare Algebra 2013 Lösungen für Test und Zusatzfragen Lineare Algebra 3 Lösungen für Test und Zusatzfragen Test Multiple Choice. Seien Für die Lösung x x x x 3 A, b des Systems Ax b gilt x 3 5 x 3 x 3 3 x 3 / Mit elementaren Zeilenoperationen erhalten wir

Mehr

Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG

Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG P Grohs T Welti F Weber Herbstsemester 25 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 8 Aufgabe 8 Basen für Bild und Kern Gegeben sind die beiden 2 Matrizen:

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Matrizen und Vektoren, LGS, Gruppen, Vektorräume 1.1 Multiplikation von Matrizen Gegeben seien die Matrizen A := 1 1 2 0 5 1 8 7 Berechnen Sie alle möglichen

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Linearkombinationen, Basen, Lineare Abbildungen 2.1 Lineare Unabhängigkeit Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig? (a) 1, 2, 3 im Q Vektorraum R (b)

Mehr

1.9 Eigenwerte und Eigenvektoren

1.9 Eigenwerte und Eigenvektoren .9. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 0.9 Eigenwerte und Eigenvektoren Alles in diesem Abschnitt bezieht sich auf quadratische reelle oder komplexe n n-matrizen. Statt E n (n n-einheitsmatrix) wird kurz E geschrieben..

Mehr

Ausgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 4-5

Ausgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 4-5 Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Institut für Mathematik und Rechneranwendung Vorlesung: Lineare Algebra (ME), Prof. Dr. J. Gwinner Ausgewählte en zu den Übungsblättern -5 Aufgabe, Lineare Unabhängigkeit

Mehr

10.2 Linearkombinationen

10.2 Linearkombinationen 147 Vektorräume in R 3 Die Vektorräume in R 3 sind { } Geraden durch den Ursprung Ebenen durch den Ursprung R 3 Analog zu reellen Vektorräumen kann man komplexe Vektorräume definieren. In der Definition

Mehr

Berechnung der Determinante

Berechnung der Determinante Berechnung der Determinante Verhalten der Determinante unter elementaren Zeilenoperationen: Das Vertauschen zweier Zeilen/Spalten der Matrix A ändert nur das Vorzeichen der Determinante, d.h: i, j {1,...,

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 18. April 2016 Übersicht über die Methoden Seien v 1,..., v r Vektoren in K n. 1. Um zu prüfen, ob die Vektoren v 1,...,

Mehr

Lineare Algebra - alles was man wissen muß

Lineare Algebra - alles was man wissen muß Statistik für Bioinformatiker SoSe 3 Rainer Spang Lineare Algebra - alles was man wissen muß Der Titel ist natürlich gelogen, aber was wir hier zusammengetragen haben ist zumindest ein Anfang. Weniger

Mehr

Vektorräume und Rang einer Matrix

Vektorräume und Rang einer Matrix Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Vektorräume und Rang einer Matrix Dr. Thomas Zehrt Inhalt:. Lineare Unabhängigkeit 2. Vektorräume und Basen 3. Basen von R n 4. Der Rang und Rangbestimmung

Mehr

2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen

2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen 2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen V und V seien Vektorräume über einem Körper K. Hom K (V, V ) bezeichnet die Menge der K linearen Abbildungen von V nach V. Wir machen Hom K (V, V )

Mehr

Vorwort. Günter M. Gramlich. Lineare Algebra. Eine Einführung ISBN: 978-3-446-43035-8. Weitere Informationen oder Bestellungen unter

Vorwort. Günter M. Gramlich. Lineare Algebra. Eine Einführung ISBN: 978-3-446-43035-8. Weitere Informationen oder Bestellungen unter Vorwort Günter M. Gramlich Lineare Algebra Eine Einführung ISBN: 978-3-446-43035-8 Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser.de/978-3-446-43035-8 sowie im Buchhandel. Carl Hanser

Mehr

Hauptachsentransformation: Eigenwerte und Eigenvektoren

Hauptachsentransformation: Eigenwerte und Eigenvektoren Hauptachsentransformation: Eigenwerte und Eigenvektoren die bisherigen Betrachtungen beziehen sich im Wesentlichen auf die Standardbasis des R n Nun soll aufgezeigt werden, wie man sich von dieser Einschränkung

Mehr

1 Lineare Algebra. 1.1 Matrizen und Vektoren. Slide 3. Matrizen. Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema

1 Lineare Algebra. 1.1 Matrizen und Vektoren. Slide 3. Matrizen. Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema 1 Lineare Algebra 1.1 Matrizen und Vektoren Slide 3 Matrizen Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema eine n m-matrix A besteht aus n Zeilen und m Spalten mit den Matrixelementen a ij, i=1...n und

Mehr

Musterlösung zur Klausur Lineare Algebra II für Lehramt 30.07.2012

Musterlösung zur Klausur Lineare Algebra II für Lehramt 30.07.2012 Musterlösung zur Klausur Lineare Algebra II für Lehramt 30.07.0 Aufgabe : Entscheiden Sie in dieser Aufgabe, ob die Aussagen wahr oder falsch sind. Begründungen sind nicht erforderlich. Ein korrekt gesetztes

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 7 Hausaufgaben Aufgabe 7. Für n N ist die Matrix-Exponentialfunktion

Mehr

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante 4 Vorlesung: 2111 2005 Matrix und Determinante 41 Matrix und Determinante Zur Lösung von m Gleichungen mit n Unbekannten kann man alle Parameter der Gleichungen in einem rechteckigen Zahlenschema, einer

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme 1 Wiederholung Eine Menge von Vektoren a 1, a 2,, a k heisst linear unabhängig, wenn eine Linearkombination c 1 a 1 + c 2 a 2 + + c k a k = k c i a i (1) i=1 nur dann Null sein

Mehr

I) MATRIZEN. 1) Speichern geometrischer Daten: Punkte, Vektoren. j - te Variable (Spalte), j = 1,2,3,..., n

I) MATRIZEN. 1) Speichern geometrischer Daten: Punkte, Vektoren. j - te Variable (Spalte), j = 1,2,3,..., n I) MATRIZEN Motivation: 1) Speichern geometrischer Daten: Punkte, Vektoren. 2) Lineare Gleichungen y1 = a11x1+ a12x2 + a13x3 y2 = a21x1+ a22x2 + a23x3... Koeffizienten a ij i - te Gleichung (Zeile), i

Mehr

(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9)

(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9) (Allgemeine Vektorräume (Teschl/Teschl 9 Sei K ein beliebiger Körper. Ein Vektorraum über K ist eine (nichtleere Menge V, auf der zwei Operationen deniert sind, die bestimmten Rechenregeln genügen: Eine

Mehr

Der Kern einer Matrix

Der Kern einer Matrix Die elementaren Zeilenoperationen p. 1 Der Kern einer Matrix Multipliziert man eine Matrix mit den Spaltenvektoren s 1,..., s m von rechts mit einem Spaltenvektor v := (λ 1,..., λ m ) T, dann ist das Ergebnis

Mehr

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 )

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 ) Aufgabe 65. Ganz schön span(n)end. Gegeben sei folgende Menge M von 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 aus Aufgabe P 6: M = v =, v =, v =, v 4 =, v 5 =, v 6 = Welche der folgenden Aussagen sind wahr? span(v,

Mehr

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Betrachtet wird eine (n,n)-matrix A. Eine Zahl λ heißt Eigenwert von A, wenn ein Vektor v existiert, der nicht der Nullvektor ist und für den gilt: A v = λ v.

Mehr

, v 3 = und v 4 =, v 2 = V 1 = { c v 1 c R }.

, v 3 = und v 4 =, v 2 = V 1 = { c v 1 c R }. 154 e Gegeben sind die Vektoren v 1 = ( 10 1, v = ( 10 1. Sei V 1 = v 1 der von v 1 aufgespannte Vektorraum in R 3. 1 Dann besteht V 1 aus allen Vielfachen von v 1, V 1 = { c v 1 c R }. ( 0 ( 01, v 3 =

Mehr

2 Matrizenrechnung und Lineare Gleichungssysteme

2 Matrizenrechnung und Lineare Gleichungssysteme Technische Universität München Florian Ettlinger Ferienkurs Lineare Algebra Vorlesung Dienstag WS 2011/12 2 Matrizenrechnung und Lineare Gleichungssysteme 2.1 Matrizenrechnung 2.1.1 Einführung Vor der

Mehr

Technische Universität Berlin

Technische Universität Berlin Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik WS /4 M. Eigel R. Nabben K. Roegner M. Wojtylak.4.4 April Klausur Lineare Algebra für Ingenieure Lösungsskizze. Aufgabe 9 Punkte Gegeben

Mehr

(λ Ri I A+BR)v Ri = 0. Lässt sich umstellen zu

(λ Ri I A+BR)v Ri = 0. Lässt sich umstellen zu Herleitung der oppenecker-formel (Wiederholung) Für ein System ẋ Ax + Bu (B habe Höchstrang) wird eine Zustandsregelung u x angesetzt. Der geschlossene egelkreis gehorcht der Zustands-Dgl. ẋ (A B)x. Die

Mehr

Determinanten. a e b f a c b d. b) x = , y = c) zu einem Spaltenvektor das Vielfache des anderen Spaltenvektors addiert wird,

Determinanten. a e b f a c b d. b) x = , y = c) zu einem Spaltenvektor das Vielfache des anderen Spaltenvektors addiert wird, Determinanten Wir entwickeln eine Lösungsformel für Gleichungssysteme mit zwei Variablen. ax + cy = e b bx + y = f a } abx bcy = be + abx + ay = af ya bc = af be Man schreibt y = af be a bc = a e b f analog

Mehr

17. Das Gauß-Verfahren

17. Das Gauß-Verfahren 7 Das Gauß-Verfahren 95 7 Das Gauß-Verfahren Nachdem wir jetzt viele Probleme der linearen Algebra (z B Basen von Vektorräumen zu konstruieren, Morphismen durch lineare Abbildungen darzustellen oder den

Mehr

3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren

3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6. Einleitung Eine quadratische n n Matrix A definiert eine Abbildung eines n dimensionalen Vektors auf einen n dimensionalen Vektor. c A x c A x Von besonderem Interesse

Mehr

Beispiellösungen zur Klausur Lineare Algebra bei Prof. Habegger

Beispiellösungen zur Klausur Lineare Algebra bei Prof. Habegger Beispiellösungen zur Klausur Lineare Algebra bei Prof. Habegger Stefan Lell 2. Juli 2 Aufgabe. Sei t Q und A t = t 4t + 2 2t + 2 t t 2t 2t Mat 3Q a Bestimmen Sie die Eigenwerte von A t in Abhängigkeit

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

5.7 Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension

5.7 Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension 8 Kapitel 5. Lineare Algebra 5.7 Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension Seien v,...,v n Vektoren auseinemvektorraumv über einem KörperK. DieMenge aller Linearkombinationen von v,...,v n, nämlich { n

Mehr

(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9)

(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9) (Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9) Sei K ein beliebiger Körper. Ein Vektorraum über K ist eine (nichtleere) Menge V, auf der zwei Operationen deniert sind, die bestimmten Rechenregeln genügen:

Mehr

Gleichungen - Aufgabenstellung und Lösungsstrategien

Gleichungen - Aufgabenstellung und Lösungsstrategien Gleichungen - Aufgabenstellung und Lösungsstrategien Franz Pauer Institut für Mathematik, Universität Innsbruck, Technikerstr. 25, A-6020 Innsbruck, Österreich. Franz.Pauer@uibk.ac.at 18. Juli 2006 1 Einleitung

Mehr

β 1 x :=., und b :=. K n β m

β 1 x :=., und b :=. K n β m 44 Lineare Gleichungssysteme, Notations Betrachte das lineare Gleichungssystem ( ) Sei A = (α ij ) i=,,m j=,n α x + α x + + α n x n = β α x + α x + + α n x n = β α m x + α m x + + α mn x n = β m die Koeffizientenmatrix

Mehr

6. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau

6. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas 6. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS 2/ 25..-.2. Aufgabe G (Lineare Gleichungssysteme)

Mehr

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS Herbstsemester 2015 gehalten von Harald Baum 2. September 2015 Inhaltsverzeichnis 1. Stichpunkte zur Linearen Algebra I 2. Körper 3. Vektorräume

Mehr

Besteht eine Matrix nur aus einer Spalte (Zeile), so spricht man auch von einem Spaltenvektor (Zeilenvektor)

Besteht eine Matrix nur aus einer Spalte (Zeile), so spricht man auch von einem Spaltenvektor (Zeilenvektor) Matrizenrechnung. Matrizen Matrizen sind bereits im Kapitel Lineare Gleichungssysteme aufgetreten. Unter einer (m n) -Matrix A verstehen wir ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n Spalten. Der.

Mehr

3 Lineare Algebra (Teil 1): Lineare Unabhängigkeit

3 Lineare Algebra (Teil 1): Lineare Unabhängigkeit 3 Lineare Algebra (Teil : Lineare Unabhängigkeit 3. Der Vektorraum R n Die Menge R n aller n-dimensionalen Spalten a reeller Zahlen a,..., a n R bildet bezüglich der Addition a b a + b a + b. +. :=. (53

Mehr

Zusammenfassung und Beispiellösungen. zur Linearen Algebra

Zusammenfassung und Beispiellösungen. zur Linearen Algebra Zusammenfassung und Beispiellösungen zur Linearen Algebra Inhaltsverzeichnis TI Taschenrechner Funktionen für Matrizen... n*m Matrix... Diagonal und Dreiecksmatrix... Transponierte der Matrix A (AT)...

Mehr

Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach)

Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach) MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Prof. Dr. D. Rost SS 0 Blatt.06.0 Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach) Abgabe: Dienstag, 0. Juli 0, bis 4:00

Mehr

05. Lineare Gleichungssysteme

05. Lineare Gleichungssysteme 05 Lineare Gleichungssysteme Wir betrachten ein System von m Gleichungen in n Unbestimmten (Unbekannten) x 1,, x n von der Form a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a

Mehr

D-MAVT Lineare Algebra I HS 2017 Prof. Dr. N. Hungerbühler. Lösungen Serie 10

D-MAVT Lineare Algebra I HS 2017 Prof. Dr. N. Hungerbühler. Lösungen Serie 10 D-MAVT Lineare Algebra I HS 2017 Prof. Dr. N. Hungerbühler Lösungen Serie 10 1. Für a 1 : 1 1 0, a 2 : 1 1, a 3 : 1 1 1, b : 2 2 2 1 und A : (a 1, a 2, a 3 ) gelten welche der folgenden Aussagen? (a) det(a)

Mehr

7 Die Determinante einer Matrix

7 Die Determinante einer Matrix 7 Die Determinante einer Matrix ( ) a11 a Die Determinante einer 2 2 Matrix A = 12 ist erklärt als a 21 a 22 det A := a 11 a 22 a 12 a 21 Es ist S 2 = { id, τ}, τ = (1, 2) und sign (id) = 1, sign (τ) =

Mehr

Zeigen Sie, dass der einzige Gruppenhomomorphismus von (G, ) nach (Z 5, +) die Abbildung Φ : G Z 5

Zeigen Sie, dass der einzige Gruppenhomomorphismus von (G, ) nach (Z 5, +) die Abbildung Φ : G Z 5 Aufgabe I (4 Punkte) Es sei G : {e, g, g, g } eine 4-elementige Gruppe mit neutralem Element e Die Verknüpfung auf G werde mit bezeichnet Außerdem seien in G folgende Gleichungen erfüllt: g g g und g g

Mehr

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Aufgabe. Man betrachte die Matrix A := über dem Körper R und über dem Körper F und bestimme jeweils die Jordan- Normalform. Beweis. Das charakteristische

Mehr

Musterlösungen Blatt Mathematischer Vorkurs. Sommersemester Dr. O. Zobay. Matrizen

Musterlösungen Blatt Mathematischer Vorkurs. Sommersemester Dr. O. Zobay. Matrizen Musterlösungen Blatt 8 34007 Mathematischer Vorkurs Sommersemester 007 Dr O Zobay Matrizen Welche Matrixprodukte können mit den folgenden Matrizen gebildet werden? ( 4 5 A, B ( 0 9 7, C 8 0 5 4 Wir können

Mehr

Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer.

Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer. Mathematik 1 Prof Dr K Melzer karinmelzer@hs-esslingende http://wwwhs-esslingende/de/mitarbeiter/karin-melzerhtml Inhaltsverzeichnis 1 Matrizenrechnung 2 11 Matrixbegri 2 12 Spezielle Matrizen 3 13 Rechnen

Mehr

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen

Mehr

Übungsblatt 5 : Lineare Algebra

Übungsblatt 5 : Lineare Algebra Aufgabe 5.1 Übungsblatt 5 : Lineare Algebra Gegeben sind die folgenden Vektoren: Bestimmen Sie die Komponenten von Aufgabe 5.2 Gegeben seien die Vektoren Berechnen Sie (a) (b) (c) Aufgabe 5.3, d.h. der

Mehr

Das inhomogene System. A x = b

Das inhomogene System. A x = b Ein homogenes lineares Gleichungssystem A x = 0 mit m Gleichungen und n Unbestimmten hat immer mindestens die Lösung 0. Ist r der Rang von A, so hat das System n r Freiheitsgrade. Insbesondere gilt: Ist

Mehr

Klausur zur Mathematik I (Modul: Lineare Algebra I)

Klausur zur Mathematik I (Modul: Lineare Algebra I) Technische Universität Hamburg-Harburg Institut für Mathematik Prof. Dr. Anusch Taraz Wintersemester 2014/15 Klausur zur Mathematik I (Modul: Lineare Algebra I) 18.02.2015 Sie haben 60 Minuten Zeit zum

Mehr

10. Übung zur Linearen Algebra I -

10. Übung zur Linearen Algebra I - . Übung zur Linearen Algebra I - en Kommentare an Hannes.Klarner@FU-Berlin.de FU Berlin. WS 29-. Aufgabe 37 i Für welche α R besitzt das lineare Gleichungssystem 4 αx + αx 2 = 4x + α + 2x 2 = α genau eine,

Mehr

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung Matrizen Definition einer Matrix Unter einer (reellen) m x n Matrix A versteht man ein rechteckiges Schema aus reellen Zahlen, die wie folgt angeordnet sind:

Mehr

Zu zwei Matrizen A R m n und B R p q existiert das Matrizenprodukt A B n = p und es gilt dann. A B = (a ij ) (b jk ) = (c ik ) = C R m q mit c ik =

Zu zwei Matrizen A R m n und B R p q existiert das Matrizenprodukt A B n = p und es gilt dann. A B = (a ij ) (b jk ) = (c ik ) = C R m q mit c ik = H 6. Die Matrizen A, B, C und D seien gegeben durch 5 A =, B =, C = 4 5 4, D =. 5 7 5 4 4 Berechnen Sie (sofern möglich) alle Matrizenprodukte X Y mit X, Y {A, B, C, D}. Zu zwei Matrizen A R m n und B

Mehr

Institut für Elektrotechnik und Informationstechnik. Aufgabensammlung zur. Systemtheorie

Institut für Elektrotechnik und Informationstechnik. Aufgabensammlung zur. Systemtheorie Institut für Elektrotechnik und Informationstechnik Aufgabensammlung zur Systemtheorie Prof. Dr. techn. F. Gausch Dipl.-Ing. C. Balewski Dipl.-Ing. R. Besrat 05.04.2013 Übungsaufgaben zur Systemtheorie

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Wir befassen uns anschließend mit der Lösung im allgemeinen nichthomogener linearer Gleichungssysteme in zweifacher Hinsicht. Wir studieren einmal den begrifflichen Aspekt, d.h.

Mehr

45 Eigenwerte und Eigenvektoren

45 Eigenwerte und Eigenvektoren 45 Eigenwerte und Eigenvektoren 45.1 Motivation Eigenvektor- bzw. Eigenwertprobleme sind wichtig in vielen Gebieten wie Physik, Elektrotechnik, Maschinenbau, Statik, Biologie, Informatik, Wirtschaftswissenschaften.

Mehr

Klausur Lineare Algebra I am Es sind insgesamt 60 Punkte bei der Klausur zu erreichen.

Klausur Lineare Algebra I am Es sind insgesamt 60 Punkte bei der Klausur zu erreichen. Klausur Lineare Algebra I am 03.02.10 Es sind insgesamt 60 Punkte bei der Klausur zu erreichen. Aufgabe 1. (6 Punkte insgesamt) a.) (3P) Definieren Sie, was eine abelsche Gruppe ist. b.) (3P) Definieren

Mehr

Klausurähnliche Aufgaben

Klausurähnliche Aufgaben Sommersemester 2007/08 Lineare Algebra Klausurähnliche Aufgaben Aufgabe 1 Seien v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 die Vektoren in R 5 mit v 1 = (1, 2, 3, 1, 2), v 2 = (2, 4, 6, 2, 4), v 3 = ( 1, 1, 3, 0, 3),

Mehr

Aussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2012/2013

Aussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2012/2013 Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert

Mehr

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 5/.. Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt Aufgabe

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.

Mehr

Lineare Algebra II 5. Übungsblatt

Lineare Algebra II 5. Übungsblatt Lineare Algebra II Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS Prof Dr Kollross / Mai Susanne Kürsten Tristan Alex Gruppenübung Aufgabe G (Algebraisch abgeschlossener Körper) Ein Körper heißt algebraisch abgeschlossen,

Mehr

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen Austausch- bzw. Übergangsrozesse und Gleichgewichtsverteilungen Wir betrachten ein System mit verschiedenen Zuständen, zwischen denen ein Austausch stattfinden kann. Etwa soziale Schichten in einer Gesellschaft:

Mehr

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung 3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma 3.3.1. Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V.

Mehr

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit -E Ma Lubov Vassilevskaya Eindimensionaler Raum Abb. -: Zwei nicht gleiche Vektoren auf der gleichen Gerade Jeden Vektor, der auf einer Geraden liegt, kann man durch

Mehr

Aussagenlogik. 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl. C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7. F: 3 ist Teiler von 9

Aussagenlogik. 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl. C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7. F: 3 ist Teiler von 9 Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert

Mehr

9 Lineare Gleichungssysteme

9 Lineare Gleichungssysteme 9 Lineare Gleichungssysteme Eine der häufigsten mathematischen Aufgaben ist die Lösung linearer Gleichungssysteme In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns zunächst mit Lösbarkeitsbedingungen und mit der

Mehr

37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme

37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 37 Motivation Lineare Gleichungssysteme treten in einer Vielzahl von Anwendungen auf und müssen gelöst werden In Abschnitt 355 haben wir gesehen, dass

Mehr

Lösungen zu Prüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT

Lösungen zu Prüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT Prof. N. Hungerbühler ETH Zürich, Sommer 4 Lösungen zu Prüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT. [ Punkte] Hinweise zur Bewertung: Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch; machen Sie ein Kreuzchen in

Mehr

9 Eigenwerte und Eigenvektoren

9 Eigenwerte und Eigenvektoren 92 9 Eigenwerte und Eigenvektoren Wir haben im vorhergehenden Kapitel gesehen, dass eine lineare Abbildung von R n nach R n durch verschiedene Darstellungsmatrizen beschrieben werden kann (je nach Wahl

Mehr

9 Eigenwerte und Eigenvektoren

9 Eigenwerte und Eigenvektoren 92 9 Eigenwerte und Eigenvektoren Wir haben im vorhergehenden Kapitel gesehen, dass eine lineare Abbildung von R n nach R n durch verschiedene Darstellungsmatrizen beschrieben werden kann (je nach Wahl

Mehr

Prof. Dr. Markus Reineke Dr. Anna-Louise Grensing. Musterlösung zur Klausur zur Linearen Algebra I

Prof. Dr. Markus Reineke Dr. Anna-Louise Grensing. Musterlösung zur Klausur zur Linearen Algebra I Prof. Dr. Markus Reineke Dr. Anna-Louise Grensing Musterlösung zur Klausur zur Linearen Algebra I 1 Aufgabe 1: (8 Punkte) Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind: Aussage wahr

Mehr

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011 Mathematik für Informatiker II Christoph Eisinger Sommersemester 211 Beispiellösungen zur Probeklausur Aufgabe 1 Gegeben sind die Polynome f, g, h K[x]. Zu zeigen: Es gibt genau dann Polynome h 1 und h

Mehr

13 Partielle Ableitung und Richtungsableitung

13 Partielle Ableitung und Richtungsableitung 3 PARTIELLE ABLEITUNG UND RICHTUNGSABLEITUNG 74 3 Partielle Ableitung und Richtungsableitung 3 Definition und Notiz Sei B R n offen, f : B R m, v R n, so heißt für γ x,v (t) = x + tv d dt f(x + tv) f(x)

Mehr

Aussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2015/2016

Aussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2015/2016 Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert

Mehr

Lineare Algebra. 1 Lineare Abbildungen

Lineare Algebra. 1 Lineare Abbildungen Lineare Algebra Die lineare Algebra ist ein Teilgebiet der Mathematik, welches u. A. zur Beschreibung geometrischer Abbildungen und diverser Prozesse und zum Lösen linearer Gleichungssysteme mit Hilfe

Mehr

Kapitel 3 Lineare Algebra

Kapitel 3 Lineare Algebra Kapitel 3 Lineare Algebra Inhaltsverzeichnis VEKTOREN... 3 VEKTORRÄUME... 3 LINEARE UNABHÄNGIGKEIT UND BASEN... 4 MATRIZEN... 6 RECHNEN MIT MATRIZEN... 6 INVERTIERBARE MATRIZEN... 6 RANG EINER MATRIX UND

Mehr

( ) Lineare Gleichungssysteme

( ) Lineare Gleichungssysteme 102 III. LINEARE ALGEBRA Aufgabe 13.37 Berechne die Eigenwerte der folgenden Matrizen: ( ) 1 1 0 1 1 2 0 3 0 0, 2 1 1 1 2 1. 1 1 0 3 Aufgabe 13.38 Überprüfe, ob die folgenden symmetrischen Matrizen positiv

Mehr

Aussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Dipl.-Math. Marie Hielscher Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2014/2015

Aussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Dipl.-Math. Marie Hielscher Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2014/2015 Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 2

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 2 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 25): Lineare Algebra und analytische Geometrie 2 2. (Frühjahr 29, Thema 3, Aufgabe 3) Gegeben sei die reelle 3 3 Matrix 4 2 A = 2 7 2 R 3 3. 2 2 a)

Mehr

1 Lineare Gleichungssysteme

1 Lineare Gleichungssysteme MLAN1 1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 1 Literatur: K Nipp/D Stoffer, Lineare Algebra, Eine Einführung für Ingenieure, VDF der ETHZ, 4 Auflage, 1998, oder neuer 1 Lineare Gleichungssysteme Zu den grundlegenden

Mehr

A Matrix-Algebra. A.1 Definition und elementare Operationen

A Matrix-Algebra. A.1 Definition und elementare Operationen A Matrix-Algebra In diesem Anhang geben wir eine kompakte Einführung in die Matrizenrechnung bzw Matrix-Algebra Eine leicht lesbare Einführung mit sehr vielen Beispielen bietet die Einführung in die Moderne

Mehr

Inhalt. Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra. Vorlesung im Sommersemester Kurt Frischmuth. Rostock, April Juli 2015

Inhalt. Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra. Vorlesung im Sommersemester Kurt Frischmuth. Rostock, April Juli 2015 Inhalt Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra Vorlesung im Sommersemester 5 Rostock, April Juli 5 Vektoren und Matrizen Abbildungen 3 Gleichungssysteme 4 Eigenwerte 5 Funktionen mehrerer Variabler

Mehr

, Uhr Dr. Thorsten Weist. Name Vorname Matrikelnummer. Geburtsort Geburtsdatum Studiengang

, Uhr Dr. Thorsten Weist. Name Vorname Matrikelnummer. Geburtsort Geburtsdatum Studiengang Nachklausur zur Linearen Algebra I - Nr. 1 Bergische Universität Wuppertal Sommersemester 2011 Prof. Dr. Markus Reineke 06.10.2011, 10-12 Uhr Dr. Thorsten Weist Bitte tragen Sie die folgenden Daten leserlich

Mehr

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen Gleichungen Lösen Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Was ist überhaupt eine Gleichung? Eine Gleichung ist, grundsätzlich eine Aussage über zwei mathematische Terme, dass sie gleich sind. Ein Term

Mehr