Schülerkurs. Mathematik > Lineare Algebra > Lineare Gleichungen Lineare Gleichungssysteme > Teil I: Theorie. Michael Buhlmann

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1 Michel Buhlmnn Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen Linee Gleichungssysteme > Teil I: Theoie Linee Gleichungen und linee Gleichungssysteme duchziehen den Mthemtikunteicht in llen Schulfomen is hin zu Oestufe de Gymnsien. Von dhe ist es wichtig und ichtig, die Theoie de lineen Gleichungen und Gleichungssysteme einml geschlossen dzustellen, wie es hie im Folgenden geschehen soll: ngefngen von den lineen Gleichungen üe den Guß-Algoithmus is hin zu den lineen Gleichungssystemen mit Pmeten. Mthemtikpogmme zum Beechnen linee Gleichungen und Gleichungssysteme sind unte > Mthemtik-Pogmme vefüg. Bezeichnungen: gleich ungleich > göße < kleine fl Folgeung Äquivlenz e Element von geschnitten Õ Teilmenge pllel N ntüliche Zhlen N ntüliche Zhlen einschließlich de Null R eelle Zhlen R.S. Rechte Seite Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I

2 Theoie I. Linee Gleichungen I. Alge (von isch l-ju) ist die mthemtische Lehe von Rechenveknüpfungen uf Zhlenmengen, hie den eellen Zhlen. Linee Alge ist die Lehe von lineen Gleichungen und Gleichungssystemen. Eine linee Gleichung ist ds Feststellen von Gleichheit zwischen zwei lineen Temen vom Typ fü eelle Zhlen, und, woei fü eine echneisch zu emittelnde Uneknnte (Vile) steht. Linee Gleichungen hen mithin die Fom: sowie die Lösung: I. Die Lösung de lineen Gleichung entspicht dmit gfisch de Nullstelle N eine Geden y mit Steigung und y-achsenschnitt, d.h.: y I. Ds Lösen linee Gleichungen folgt den Regeln de eellen Alge, d.h. in den Gleichungen wid ei dditive Veknüpfung ddiet und suthiet, ei multipliktive Veknüpfung ÿ multipliziet und dividiet, Zhlen und Teme mit weden zusmmengefsst (Assozitiv-, Kommuttiv-, Buchgesetze), woei Vozeichen vo Punktechnung, Punkty y N Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I

3 echnung vo Stichechnung gilt. Außedem gilt die Klmmeechnung, d.h. Klmmen können gemäß den Distiutivgesetzen gesetzt und ufgelöst weden. Es egeen sich mithin die folgenden Rechengesetze fü eelle Zhlen,, c, d:,,, ( ) c ( c),, ÿ ÿ, ()c (c) ( c) c, - -, (), (-) -, -() -, -(-) ( ), -( ) - n,, n n n c d c, d d c c, d d d d, c c c d I. Beispiele: Die nchstehenden Beispiele vedeutlichen den Umgng mit lineen Gleichungen. ) 7 9 :7 7 (Lösung) ) ÿ (Lösung) c) : (Lösung) d) - - : (Lösung) e) :(-) (Lösung) f) :(-) (Lösung) g) : (Lösung) h) - - (Lösung) Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I

4 i) j) (Büche ddieen) (Buchmultipliktion) (Lösung) 8 7 : 7 (Büche ddieen) (Lösung) k) (Gleichung umdehen) -6 : - (Lösung) l) - 7 :7 (Lösung) m) - - (Lösung) n) :8 - (Lösung) o) -, - -, : -, (Lösung) (Addieen) Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I

5 p) :6 (Lösung) q) () (-) (Ausmultiplizieen) 8 (Addieen) (-) 9 (Lösung) ) 6 6(-) (-6) (Ausmultiplizieen) : (Lösung) (Zusmmenfssen) s) -() -(-) (Ausmultiplizieen) (Zusmmenfssen) : (Lösung) t) u) v) ( ) 6( ) 6 6 : (Ausmultiplizieen) (Lösung) ( ) ( ) 6 (Huptnenne-Multipliktion) 6() (-) (Ausmultiplizieen) (Zusmmenfssen) :7 7 (Lösung) 8 ( ) :9 (Lösung) (Ausmultiplizieen) Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I

6 w) ) 6 6 (Huptnenne-Multipliktion) (-) -96 (Lösung) ( ) ( ) (Huptnenne-Multipliktion) ( ) 8( ) (Ausmultiplizieen) 8 - (Zusmmenfssen) : (Lösung) I. Wi ekennen eim Lösen de lineen Gleichungen noch folgende Vogehensweise und folgende Regeln: I. Bei Gleichungen mit Büchen: Multipliktion mit dem Huptnenne de uftetenden Büche (Äquivlenzumfomung). II. Zusmmenfssen de Teme mit und de Zhlen jeweils uf de linken und echten Seite de Gleichung unte Vewendung de Rechenegeln (Temumfomungen). III. Gleichungsddition und -sutktion de zusmmengefssten Teme mit und de Zhlen, so dss die Teme mit uf de einen, die Zhlen uf de ndeen Seite de Gleichung zu liegen kommen (Äquivlenzumfomung). IV. Teilen de Gleichung duch die Zhl, die im -Tem multipliktiv mit veunden ist. Die Uneknnte entspicht nun de Zhl uf de gegenüeliegenden Seite de Gleichung (Äquivlenzumfomung). Um lso n ds in eine Gleichung henzukommen, wid in de Gleichung ei Äquivlenzumfomungen lgeisch umgekeht vefhen, lso: Stichechnung vo Punktechnung (Gleichungsdditionen und -sutktionen vo -multipliktionen und -divisionen) sowie: Gleichungsddition ei Temen mit - -Vozeichen, -sutktion ei Temen mit - Vozeichen, -multipliktion ei Temen mit geteilt, -division ei multipliktiven Temen. Auch können die Seiten eine Gleichung vetuscht weden. Es gelten etw die Regeln: ) c c ) c c c) ÿ d) : ( ) I.6 Ds Folgende vedeutlicht die At de Gleichungsumfomungen noch einml: Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I 6

7 Regeln: ) Gleichungen vom Typ c weden gelöst wie folgt: ) Sutktion von ) Division duch Beispiele: : : 76 8 : 7 ) Gleichungen vom Typ cd weden gelöst wie folgt: ) Sutktion von ) Sutktion von d ) Zusmmenfssen de ) Division duch die Zhl vo dem c) Gleichungen mit Klmmen, die zuvo ufgelöst weden müssen gemäß den Regeln: (c) c -(c) - c Vozeichen änden sich uf Gund von: - : 8 - : :(-) : : ( ) - Klmmen uflösen - Zusmmenfssen :(-) 87 (8 7) Klmmen uflösen 87 6 Zusmmenfssen :6 - ( ) -6 Klmmen uflösen :6 8 Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I 7

8 8 ( 9) 98 Klmmen uflösen Zusmmenfssen : 7 d) Divisionsgleichungen von de Fom : :c weden gelöst wie folgt: ) Multipliktion mit ) Ausechnen des Divisionstems Divisionsgleichungen von de Fom : :c weden gelöst wie folgt: ) Multipliktion mit ) Multipliktion mit c ) Division duch ) Ausechnen - 9 ( ) - 6 Klmmen uflösen Zusmmenfssen : : ( ): Ausechnen 6 : 7 : 8 : : : : 6: 8:6 6 8: :8 6 Ausechnen I.7 Zum Egenis eine lineen Gleichung knn uch eine Lösungsmenge L {} ngegeen weden. Letztees gilt im ishe ehndelten Fll de eindeutigen Löskeit eine Gleichung. Doch sind uch keine Lösungen ode unendlich viele Lösungen möglich, lso: L { } ( «; leee Menge) zw.: L R. I.8 Beispiele: Wi estimmen zu den folgenden lineen Gleichungen die Lösungsmenge: ) (-) () (Ausmultiplizieen) :8, (Lösungsmenge:) L {,} ) 7 (Zusmmenfssen) :8 (Lösungsmenge:) L {} c) - - (flsche Aussge, Lösungsmenge:) L { } d) (-) 6 (Ausmultiplizieen) 6 6 (Zusmmenfssen) - (llgemein gültige Aussge, Lösungsmenge:) L R Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I 8

9 e) - (-) -7() (Ausmultiplizieen) (Zusmmenfssen) (llgemein gültige Aussge, Lösungsmenge:) L R f) 9 6 9(-6) 76 (Ausmultiplizieen) (Zusmmenfssen) (flsche Aussge, Lösungsmenge:) L { } g) (-) 8 (Ausmultiplizieen) 8 (Zusmmenfssen) (Lösungsmenge:) L {} I.9 Aufgen: Bestimme die Lösung (Lösungsmenge) de folgenden lineen Gleichungen: ) 7 ) 7 6 c) d) - e) 8 f) (9 6) g) () 7 h) (-) (-) () i) ( 6) 9 7 j) 6 k) l) ( 8) ( ) 8 II. Linee Gleichungen mit Pmete II. Linee Gleichungen mit Pmete sind Gleichungen, in denen neen de Uneknnten ein/mehee elieige/ feste/ eelle/ Pmete, k, t o.. vokommt/vokommen. Fü ds Eechnen de Vile gelten mithin dieselen Regeln wie ei den lineen Gleichungen ohne Pmete. II. Beispiele: ) Mit dem Pmete k gelten die Umfomungen de folgenden lineen Gleichung mit de Vilen : 6 k k -k 6 k -6 k 6 : k (Lösungsmenge:) L {k-} ) Mit Pmete t und Vile egit sich: t t (Ausklmmen) (t ) t -t (t ) t :(t-) fü t, d.h.: t t t t t D wi ei t nicht duch teilen düfen, hen wi t, lso t vousgesetzt. Lösungsmenge ist hieei: L t {-}. Neen dem Fll t ist lledings noch de Fll t zu etchten. Hie gilt, wenn wi t in die Gleichung (t ) t einsetzen: Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I 9

10 ÿ ist eine llgemeingültige Aussge, deswegen ist die Gleichung im Fll t fü lle efüllt. Lösungsmenge ist hie: L t R. c) Pmete sei im Folgenden, die Vile heißt : () - () Fll : -: () ( )( ) ( ) (Ausklmmen) :() (Lösungsmenge:) L - {-} Fll : -: (-) (-) (Lösungsmenge:) L - R II. Aufgen: Löse die folgenden lineen Gleichungen mit Pmete, k ode t: ) ) 7 t t c) d) k () (k ) e) k(k ) ( ) k f) t, t t t III. Linee Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Uneknnten III. Linee Gleichungssysteme mit zwei Vilen und y und den eellen Konstnten,,c,,,c estehen us zwei lineen Gleichungen (I, II) degestlt, dss gilt: y c (I) y c (II) Ds linee Gleichungssystem ht uf de Seite echts de Gleichheitszeichen, de echten Seite, Zhlen ohne Uneknnte, uf de linken Seite (linee) Teme mit den Uneknnten. Ds linee Gleichungssystem ht dnn entwede keine Lösung, eine Lösung ode unendlich viele Lösungen. Zu Bestimmung de Vilen und y egeen sich die Vogehensweisen: Gleichsetzungsvefhen, Einsetzungsvefhen, Additionsvefhen (einschließlich des Sutktionsvefhens). III. Gleichsetzungsvefhen: Beide Gleichungen sind zw. weden nch deselen Vilen ufgelöst, die zwei Ausdücke, die diese Vile dstellen, weden gleichgesetzt. Dnn wid die dus entstndene Gleichung nch de ndeen Vilen ufgelöst, die Lösung in eine de nch de esten Vilen ufgelösten Gleichung eingesetzt, um die zweite Vile zu eechnen. Konkete gilt fü ein Gleichungssystem de Fom: y m n y m n Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I

11 mit eellen Zhlen m, m, n, n die Gleichsetzung: m n m n Die Gleichung in knn nch ufgelöst, ds eechnete in y m n ode in y m n zu Bestimmung von y eingesetzt weden. Anloges gilt, wenn die Rollen von und y vetuscht sind. III. Die Lösungsmenge eines lineen Gleichungssystems mit zwei Vilen und zwei Gleichungen esteht im Fll de Eindeutigkeit us einem P eelle Zhlen ode einem zweidimensionlen Punkt ( y): L {( y)}. Ausdücke de Fom y m n können wi zudem ls Geden mit Steigung m und y- Achsenschnitt n intepetieen, so dss ds Lösen eines lineen Gleichungssystems mit zwei Vilen und zwei Gleichungen mit dem Eechnen des Schnittpunktes S( y) zweie Geden g : y m n und g : y m n identifiziet weden knn. y g : y m n S( y) g : y m n III. Beispiele: ) Wi vewenden ds Gleichsetzungsvefhen zu Lösung des nächstehenden lineen Gleichungssystems: 7 y 7 y : y I y II (Gleichsetzen I II) y I y y -y y I y y I y II (Einsetzen von in I) y (Lösung:), y (Lösungsmenge:) L {( )} Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I

12 ) De Schnittpunkt de eiden Geden g : y und g : y 7 soll estimmt weden. Es egit sich ds linee Gleichungssystem: y I y 7 II (Gleichsetzen I II) y 7 y 7 - y : y I II (Einsetzen von in I) y ÿ 8 (Lösung:), y Schnittpunkt de eiden Geden ist lso: S( ). c) Gegeen ist ds folgende linee Gleichungssystem, ds nch Umstellen de eiden Gleichungen nch y duch ds Gleichsetzungsvefhen gelöst wid: y I - (Auflösen nch y) y - II y I y - II - (Auflösen nch y) y -y - :(-) y I y 6 II (Gleichsetzen I II) y 6 y 6-6 y -6 : y I - II (Einsetzen von in I) y (-) 6 - (Lösung:) -, y 6 (Lösungsmenge:) L {(- 6)} III. Aufgen: Löse die folgenden lineen Gleichungssysteme mit dem Gleichsetzungsvefhen: ) y ) y y - 8 y c) y d) () (y ) 8y 7 y 6 y (y ) 9 III.6 Einsetzungsvefhen: Eine Gleichung ist hie nch eine Vilen ufzulösen, diese Vile wid in die ndee Gleichung einsetzen, so dss die Lösung diese Gleichung mit nu eine Vilen emittelt weden knn. Anschließend ist die gefundene Lösung in die Gleichung fü die ufgelöste Vile einzusetzen. Konkete gilt fü ein Gleichungssystem de Fom: Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I

13 y m n m y n mit eellen Zhlen m, m, n, n die Einsetzung: y m (m y n ) n, so dss sich gemäß den Umfomungen: y m (m y n ) n y m m y m n n y m m y m n n y( m m ) m n n ls Lösungen egeen (m m ): y m n n m m mn n, m n m m III.7 Beispiele: ) Wi vewenden ds Einsetzungsvefhen zu Lösung des folgenden lineen Gleichungssystems: y 8 I y II (Einsetzen von in I) y 8(y ) I (Ausechnen) y II y y 8 I (Zusmmenfssen) y II y y -9y y -9y - :(-9) y II y I (Einsetzen von y in II) y y ÿ II (Lösung:), y (Lösungsmenge:) L ) Anlog gilt nch Gleichungsumfomungen: y 8 I - y II -y y y (-) y 8 I - y II (Einsetzen von in I) (-y) y 8 I - y II - 6y y 8 - y y : - y II (Einsetzen von y in II) y I (Einsetzen von y in II) - y II y - (Lösung:), y (Lösungsmenge:) L {( )} Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I

14 III.8 Aufgen: Löse die folgenden lineen Gleichungssysteme mit Hilfe des Einsetzungsvefhen: ) y 9 ) 7 y y 9 y 9 c) y 6 d) y 7 y y (y ) III.9 Additionsvefhen: Hie füht die Addition des Vielfchen eine Gleichung zu de ndeen zu Elimintion eine Vilen. Die zweite Vile knn estimmt weden, Einsetzen in eine de Uspungsgleichungen füht zu Bestimmung de ndeen Vilen. Genue hen wi ds linee Gleichungssystem mit den folgenden Umfomungen y c I ÿ y c II ÿ(- ) y c I - y - c II (Addition I II) y c I ( ) c c II :( ) y c I c c II (Einsetzen in I) c c c c y c c c c y c I (Auflösen nch y) Im Flle des lineen Gleichungssystems II I II y c y c lässt sich ds Sutktionsvefhen ls Spezilfll des Additionsvefhens nwenden (mit eellem ). Sutktion de eiden lineen Gleichungen egit: ( ) c c, ws Ausgngspunkt fü die weiteen Umfomungen des lineen Gleichungssystems ist. III. Beispiele: ) Wi lösen mit dem Additionsvefhen: y I ÿ - 6y - II ÿ 6y 8 I - 8y -7 II (Addition I II) y I y 8 II : y I y II (Einsetzen in I) Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I

15 ÿ I 6 y II 6 I : y II y (Lösung:), y (Lösungsmenge:) L {( )} ) Eenflls nch dem Additionsvefhen gehen wi ei dem folgenden lineen Gleichungssystem vo: y - y - y 6 I y II (-) 6y 8 I -8 6y - II (Addition I II) y 6 I 7 II :7 y 6 I II (Einsetzen von in I) y 6 I II y - I : y - Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I II (Lösung:), y- (Lösungsmenge:) L {( -)} III. Aufgen: Löse die folgenden lineen Gleichungssysteme mit Hilfe des Additionsvefhens (zw. uch Sutktionsvefhens): ) y ) 8y 9 7 y 6 7 y c) 9 y 8 d) y 7 y 7 y Zu letzten Aufge ist zu sgen, dss wi die dot uftetenden Kehwete duch neue Vilen und y esetzen mit: ', y' und somit ein nomles linees Gleichungssystem ehlten. Die Kehwete von dessen Lösungen sind die Lösungen, y des y uspünglichen Gleichungssystems (Sustitution). III. Wie linee Gleichungen können uch linee Gleichungssysteme veschiedene Aten von Lösungen hen (Löskeit). Eine flsche Aussge füht zu Unlöskeit, eine llgemein gültige zu mehdeutigen Löskeit des lineen Gleichungssystems mit unendlich vielen Lösungen. Im letzten Fll muss ein Pmete eingefüht weden. De eelle Pmete, z.b. t, ist dnn gleich de einen Vile, die ndee Vile efindet sich (meist) uch in linee Ahängigkeit zum Pmete. Wi echten die Sitution, dss ei mehdeutige Lösung ds linee Gleichungssystem us nu eine Gleichung mit zwei Uneknnten esteht (die zweite Gleichung ist von de

16 Fom ). Dnn gilt: y c (Einfühen des Pmetes: y t) y c y t (Einsetzen in die Uspungsgleichung) t c (Auflösen nch ; ) y t c t c y t (Lösung:) t, y t c (Lösungsmenge:) L t t t R III. Beispiele: Wi estimmen zu den folgenden lineen Gleichungssystemen die Lösungsmenge: ) y 8 ÿ(-) y 6 - y -6 y 6 (Addition de Gleichungen) y 8 y 8 y t (Einsetzen in Uspungsgleichung) t 8 (Auflösen nch ) -t y t 8 t : y t,t y t (Lösungsmenge:) L {(-,t t) ter} ) (-) (y) : () (y-) (-) y (Ausmultiplizieen) () (y-9) y -y, y 8 -y, - y ÿ(-) y - -6 y - y - (Addition de Gleichungen) y - - :(-) y y -, ÿ(-) y (Lösungsmenge:) L {( )} (Einsetzen in die ndee Gleichung) Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I 6

17 c) () (y) (Klmmen uflösen) (-) 6(y-) - y 6 (Zusmmenfssen) 8 6y - y - 6y - - y ÿ - 6y - 6y - 6y - (Addition de Gleichungen) 6y -8 (flsche Aussge, Lösungsmenge:) L { } III. Aufgen: Löse die folgenden lineen Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Uneknnten: ) y -8 - y - c) () (y-) 7-8(-y) (y) 8 e) g) 7 y y y y 6 6 i) (-y) (y-7) (y-) (y) (-8) (-7y-) ) (-) 6(y-7) 7(y-) d) y 8 8 8y f) h) j) y y 6 y ( 9) 9 6 ( y ) 8 y y 8 6 y y 8 IV. Guß-Algoithmus: Linee Gleichungssysteme IV. Ein (llgemeines) linees Gleichungssystem estehe us m Gleichungen (duchnummeiet von is m) und n Uneknnten und he die Fom: n n () n n () m m mn n m (m) Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I 7

18 mit den eellen Vilen, n, den eellen Koeffizienten, mn und eellen Egenissen (echten Seiten), m. Ds linee Gleichungssystem lässt sich dnn in Mtidstellung mit Koeffizientenmti A, Lösungsvekto > und Egenisvekto > dstellen ls: mit: A mn m > A n n mn >, > n, > m In geküzte Mtidstellung (unte Venchlässigung des Lösungsvektos) lutet ds linee Gleichungssystem in de Fom de duch die echte Seite eweiteten Koeffizientenmti: ode: mn ( A m > ) n n mn m Fü die Koeffizientenmti A heißt (,,, ) die Huptdigonle de Mti. A esitzt Deiecksgestlt, wenn untehl de Huptdigonlen lle Mtielemente den Wet hen. A ht Digonlgestlt, wenn ußehl de Huptdigonlen lle Mtielemente den Wet hen. Im Flle von Deiecks- ode Digonlgestlt de Koeffizientenmti lässt sich dnn die Lösung (, n ) leicht estimmen, im ndeen Fll sind Koeffizientenmti und Egenisvekto (, m ) so umzufomen, dss eine Deiecks- ode Digonlgestlt de Koeffizientenmti entsteht. Dies ist de Inhlt des Guß-Algoithmus. Ds linee Gleichungssystem heißt homogen, wenn m gilt, nsonsten inhomogen. Ist n m, so heißt ds Gleichungssystem qudtisch (wegen de qudtischen Gestlt de Koeffizientenmti). IV. Wi etchten zunächst den Fll eindeutige Löskeit, de nu dnn gegeen ist, wenn ds Gleichungssystem us n Gleichungen und n Uneknnten (lso: n m) esteht, lso qudtisch ist. Zu Lösung solche linee Gleichungssysteme vewendet mn den Guß-Algoithmus (Gußsches Elimintionsvefhen), d.h. die folgende Vogehensweise: ) Ds linee Gleichungssystem us Gleichungen und Uneknnten wid in Mtidstellung umgeschieen; eine Gleichung entspicht eine Zeile, eine Uneknnte eine Splte in de Mti, die echte (Zhlen-, Egenis-) Seite des Gleichungssystems ildet die letzte Splte de Mti; die Anzhl de Gleichungen und Uneknnten sei identisch. ) Beim Guß-Algoithmus weden, eginnend vom Anfngstleu, Nullen unte de Huptdigonlen wie folgt ezeugt:. Schitt: Ezeugen von Nullen in de. Splte, eginnend mit de Gleichung in Zeile ; ist ds este Element in Zeile und ds este Element in Zeile, so weden lle Mtielemente in Zeile mit multipliziet, lle Mtielemente in Zeile mit multipliziet und Podukt minus Podukt ls neue Mtielemente de Zeile geildet (Vogehensweise (*)). Ist ds este Element in Zeile und ds este Element in Zeile Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I 8

19 , so gilt die nloge Vogehensweise (*) usw., is die letzte Mtizeile eeicht ist. /. Schitt: Ezeugen von Nullen in de. Splte, eginnend mit de Gleichung in Zeile ; ist ds zweite Element in Zeile und ds zweite Element in Zeile, so gilt die nloge Vogehensweise (*), und dies weite fü Zeile usw., is die letzte Mtizeile eeicht ist. /. Schitt usw., is die letzte Mtisplte eeicht ist. ) Ist im Endtleu des Guß- Algoithmus die Deiecksgestlt gegeen, so gilt fü die Vile z de letzten Splte mit dem dzugehöenden Mtielement und dem Element de echten Seite: z z /. / Fü die Vile y de voletzten Splte mit dem dzugehöenden Mtielement c, dem Mtielement d und dem Element e de echten Seite gilt: cydz e cy e (d)/ y e/c (d)/(c) / usw., is die Vile de esten Mtisplte eechnet ist. ) Die Lösungsmenge esteht in diesem Fll wegen de Eindeutigkeit de Lösung us einem Zhlentupel, lso: L {(l m t)} mit eellen Zhlen l, m, t. De Guß-Algoithmus ist dmit ein vellgemeinetes Additionsvefhen, wie wi es ei lineen Gleichungssystemen mit zwei Gleichungen und zwei Uneknnten kennen gelent hen. Die oige Vogehensweise ezeugt dei eine Koeffizientenmti in Deiecksgestlt. Wid in den Schitten, die Sutktion des Vielfchen de Zeile, uch uf die entspechenden Vielfchen de vohegehenden Zeilen usgedehnt, so ehält mn utomtisch die Digonlgestlt de Koeffizientenmti. Ohne Beschänkung de Allgemeinheit können wi schließlich dvon usgehen, dss lle Koeffizienten und echten Seiten des lineen Gleichungssystems gnzzhlig sind (Gnzzhligkeit). Sollten nämlich in Gleichungen Büche ufteten, so sind die Gleichungen mit dem Huptnenne zu multiplizieen. Zudem knn jede linee Gleichung in die Fom i i in n i, i, m, gecht weden, etw duch Auflösen von Klmmen, Zusmmenfssen von Temen und Gleichungsdditionen und -sutktionen. Ws schließlich die Sutktion des Vielfchen de unveändet leienden (Bezugs-) Zeile zum Vielfchen eine ndeen Zeile netifft, so spielt hie ds kleinste gemeinsme Vielfche von Digonlelement und Spltenelement oehl ode untehl des Digonlelements eine wichtige Rolle. All dies geht us dem Folgenden hevo. IV. Beispiele: Im Folgenden weden linee Gleichungssysteme uf Deiecksgestlt gecht, die Gleichungssysteme dei in Mtidstellung wiedegegeen. ) Linees Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Uneknnten: y 8 - y 7 Mtidstellung (mit duchnummeieten Zeilen): y echte Seite 8 (unveändete Bezugszeile ()) - 7 ÿ() () (Zeilenddition) 8 Lösungen: y y ÿ 8 Lösungsmenge: L {( )} ) Linees Gleichungssystem mit dei Gleichungen und dei Uneknnten: y z - y z - Mtidstellung: y z echte Seite (Bezugszeile ()) - - () () (Zeilenddition) - () () (Zeilenddition) Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I 9

20 - - - (Bezugszeile ()) - () () (Zeilenddition) Lösungen: z - -y (-) - -y - y - Lösungsmenge: L {(- -)} c) Linees Gleichungssystem mit vie Gleichungen und vie Uneknnten: y z w -6 y z w 8 y z w - y y z - Mtidstellung: y z w echte Seite - -6 (Bezugszeile ()) () ÿ() - () ÿ() () () : (Veeinfchung) (Bezugszeile ()) -9-8 () 9ÿ() () ÿ() (Bezugszeile ()) - ÿ() ÿ() Lösungen: 8w 8 w 6 -z ÿ6-6 -z - z 8 -y y y - ÿ(-) 8 ÿ Lösungsmenge: L {(-8-8 6)} Im vongehenden Beispiel wude die Zeile (), mit de im. Schitt geechnet weden sollte, zunächst veeinfcht, um ei den uftetenden Multipliktionen nicht zu goße Zhlen entstehen zu lssen. In diesele Richtung geht de Geuch des kleinsten gemeinsmes Vielfchen in den zwei folgenden Beispielen. d) Linees Gleichungssystem mit dei Gleichungen und dei Uneknnten: y z 7 - y z - y z Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I

21 Anfngstleu: y z R.S Schitt: *() *() / *() - *() Schitt: *() *() Deiecksgestlt des lineen Gleichungssystems: y z 7 6y 6z 9 8z 9 Lösungen des lineen Gleichungssystems: z. y e) Linees Gleichungssystem mit vie Gleichungen und vie Uneknnten: y u 6 z u y z u y z 9 Anfngstleu: y z u R.S Schitt: *() - *() / *() - *() Schitt: *() *() Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I

22 . Schitt: *() - *() Deiecksgestlt des lineen Gleichungssystems: y u 6 - y z - z u - u 6 Lösungen des lineen Gleichungssystems: u - z y IV. Aufgen: Löse die folgenden lineen Gleichungssysteme nch dem Guß- Algoithmus duch Umfomen in die Deiecksgestlt: ) - y z 7y - z 8 c) y z u - 6 8y 7z u -7 - y z u 6 8 y - 9z u - ) - y z y - z - y z d) y - z u - v - - y z u v - y - z - u v - - y z - u - v - - y - z u v IV. Beispiele: Wi fomen nun unte Benutzung des Guß-Algoithmus linee Gleichungssysteme in Digonlgestlt um. ) Linees Gleichungssystem mit dei Gleichungen und dei Uneknnten: y 8z 6y 9z 6 7y 9z Anfngstleu: y z R.S Schitt: *() - *() / *() - *() Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I

23 . Schitt: *() - *() / *() - *() Schitt: *() *() / 6*() *() Teilen: ():6 / ():6 / ():(-6) - Digonlgestlt des lineen Gleichungssystems: - y z Lösungen des lineen Gleichungssystems: - y z ) Linees Gleichungssystem mit vie Gleichungen und vie Uneknnten: Anfngstleu: R.S Schitt: *() - *() / *() - *() / *() - 7*() Schitt: *() *() / -*() *() / -*() *() Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I

24 . Schitt: -*() *() / -*() *() / -*() 7*() Schitt: 69*() - 8*() / 69*() - *() / 69*() - *() Teilen: ():(-) / ():76 / ():(-) / ():8 - Digonlgestlt des lineen Gleichungssystems: - Lösungen des lineen Gleichungssystems: - c) Linees Gleichungssystem mit fünf Gleichungen und fünf Uneknnten: Anfngstleu: R.S Schitt: *() *() / *() - *() Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I

25 . Schitt: *() - *() / *() - *() / *() *() / *() - *() Schitt: *() - *() / *() *() / *() *() / *() - *() Schitt: *() *() / *() - *() / *() - *() / *() *() Schitt: -7*() *() / 7*() 8*() / 7*() *() / -7*() *() Teilen: ():(-) / (): / (): / ():(-) / ():(-7) Digonlgestlt des lineen Gleichungssystems: Lösungen des lineen Gleichungssystems: Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I

26 IV.6 Aufgen: Löse die folgenden lineen Gleichungssysteme nch dem Guß- Algoithmus duch Umfomen in die Digonlgestlt: ) y z y z y z c) y z u 7 - y - z u 7 - y z u y - u 6 ) d) - - y z u v - y - z u v y - z - u v y z - u - v - y z u - v IV.7 Im Flle eine elieigen Anzhl von m Gleichungen und n Uneknnten gilt hinsichtlich des Guß-Algoithmus zu Lösung des Gleichungssystems die folgende Vogehensweise: ) Ds linee Gleichungssystem us Gleichungen und Uneknnten wid in Mtidstellung umgeschieen; eine Gleichung entspicht eine Zeile, eine Uneknnten eine Splte in de Mti, die echte (Zhlen-) Seite des Gleichungssystems ildet die letzte Splte de Mti; die Anzhl de Gleichungen und Uneknnten knn uch veschieden sein. ) Beim Guß-Algoithmus weden, eginnend vom Anfngstleu, Nullen unte de Huptdigonlen wie folgt ezeugt:. Schitt: Ezeugen von Nullen in de. Splte, eginnend mit de Gleichung in Zeile ; ist ds este Element in Zeile und ds este Element in Zeile, so weden lle Mtielemente in Zeile mit multipliziet, lle Mtielemente in Zeile mit multipliziet und Podukt minus Podukt ls neue Mtielemente de Zeile geildet (Vogehensweise (*)). Ist ds este Element in Zeile und ds este Element in Zeile, so gilt die nloge Vogehensweise (*) usw., is die letzte Mtizeile eeicht ist. /. Schitt: Ezeugen von Nullen in de. Splte, eginnend mit de Gleichung in Zeile ; ist ds zweite Element in Zeile und ds zweite Element in Zeile, so gilt die nloge Vogehensweise (*), und dies weite fü Zeile usw., is die letzte Mtizeile eeicht ist. /. Schitt usw., is die letzte Mtisplte eeicht ist. Es entsteht dduch ds Endtleu des Algoithmus, ds uf die At de Lösungen und die Lösungen des lineen Gleichungssystems hinweist gemäß den folgenden Fällen: Fll I eindeutige Lösung: /I) Ist im Endtleu des Guß-Algoithmus die Digonlgestlt gegeen, so gilt fü die Vile z de letzten Splte mit dem dzugehöenden Mtielement und dem Element de echten Seite: z z /. / Fü die Vile y de voletzten Splte mit dem dzugehöenden Mtielement c, dem Mtielement d und dem Element e de echten Seite gilt: cydz e cy e d/ y e/c d/(c) / usw., is die Vile de esten Mtisplte eechnet ist. /I) Die Lösungsmenge esteht in diesem Fll wegen de Eindeutigkeit de Lösung us einem Zhlentupel, lso: L {(l m t)} mit eellen Zhlen l, m, t. Fll II keine Lösung: /II) Ds Endtleu enthält im Beeich de linken Seite eine Nullzeile, wähend die dmit koespondieende echte Seite ein Element f ist. /II) Wi ehlten lso die Gleichung: f und dmit einen Widespuch. Ds linee Gleichungssystem esitzt keine Lösung: L { }. Fll III mehdeutige Lösung: /III) Ds Endtleu enthält im Beeich de linken Seite eine Nullzeile, wähend die dzugehöige echte Seite eenflls ein Element enthält. /III) Wi ehlten eine mehdeutige Lösung, indem wi die Vile z, dessen Digonlelement ist, gleich einem eellen Pmete setzen. Die Lösungsmenge ist dnn vom Typ L {(l() m() t()) er} mit lineen, von hängigen Funktionen l() l l, m() Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I 6

27 m m,, t() t t. Bei meheen Nullzeilen des Endtleus sind uch entspechend viele Vilen gleich Pmeten, s, zu setzen, die Komponenten de Lösungsmenge sind Linekomintionen de Pmete, s, Eine entspechende Vogehensweise egit sich, wenn mn ds Gleichungssystem sttt in eine (gestffelte) Deiecksgestlt in eine (modifiziete) Digonlgestlt ingt. IV.8 Hinsichtlich de Löskeit von lineen Gleichungssystemen folgt us dem Endtleu (hie: in Deiecksgestlt) nch Anwendung des Guß-Algoithmus fü den Fll von dei Gleichungen mit dei Uneknnten (*: Zhl ): ) Deiecksgestlt: * * ode * ode * ode * * ode * ode * * ode ) Letzte Zeile mit -Koeffizienten, echte Seite : * * ode * ode * ode * * ode * ode * c) Letzte Zeile mit -Koeffizienten, echte Seite : eindeutige Lösung keine Lösung * * ode * ode * ode mehdeutige Lösung * * ode * ode Ein homogenes Gleichungssystem (echte Seite enthält nu Nullen) ht dhe imme mindestens eine Lösung (den Nullvekto), ei einem inhomogenen Gleichungssystem knn die Lösungsmenge lee, die Lösung eindeutig ode mehdeutig sein. IV.9 Beispiele: Wi nlysieen Endtleus qudtische linee Gleichungssysteme in (modifiziete, gestffelte) Deiecksgestlt: ) Eindeutige Lösung des inhomogenen Gleichungssystems: L {( -)} 6 ) Eindeutige Lösung des homogenen Gleichungssystems: L {( )} c) Mehdeutige Lösung des homogenen Gleichungssystems: L {(-s -s s) ser} - d) Eindeutige Lösung des inhomogenen Gleichungssystems: L {(- )} -6 - e) Keine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems: L { } Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I 7

28 f) Mehdeutige Lösung des inhomogenen Gleichungssystems: L {( s s) ser} - - g) Mehdeutige Lösung des inhomogenen Gleichungssystems: L {(t-s t s) s,ter} - h) Keine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems: L { } IV. Beispiele: Wi estimmen die Lösungsmenge von lineen Gleichungssystemen duch Umfomen in Deiecksgestlt: ) Linees Gleichungssystem mit dei Gleichungen und dei Uneknnten: y - z - y z Mtidstellung: y z echte Seite () () () () eindeutige Lösung: -z - z -y - -y - y - - Lösungsmenge: L {(- )} ) Linees Gleichungssystem mit dei Gleichungen und dei Uneknnten: y - z - y z Mtidstellung: y z echte Seite () () () () keine Lösung Lösungsmenge: L { } Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I 8

29 c) Linees Gleichungssystem mit dei Gleichungen und dei Uneknnten: y z - y z Mtidstellung: y z echte Seite - - () () () () mehdeutige Lösung: z (ls Pmete) -y - -y - y ( ) - Lösungsmenge: L {(- - ) er} R d) Linees (homogenes) Gleichungssystem mit dei Gleichungen und dei Uneknnten: y y z z Mtidstellung: y z echte Seite - () () - - () () - mehdeutige Lösung: z (ls Pmete) y y Lösungsmenge: L {(- ) er} R e) Linees Gleichungssystem mit vie Gleichungen und vie Uneknnten: y z y z w 8 y w - z w -9 Mtidstellung: Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I 9

30 y z w echte Seite () ÿ() () () () ÿ() - -8 () () : : ÿ() ÿ() eindeutige Lösung: w w z -z z y 6 8 y Lösungsmenge: L {( )} f) Linees Gleichungssystem mit vie Gleichungen und vie Uneknnten: y y z w z w y w Mtidstellung: y z w echte Seite - () () - () () - - () () () () mehdeutige Lösung: Ds Digonlelement zu z ist gleich, so dss z, er, zu setzen ist. Dnn gilt: w w z y y Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I

31 Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I (-) Lösungsmenge: L R R. g) Linees Gleichungssystem mit vie Gleichungen und vie Uneknnten: y z w 6 y z w 7y 8z w - y z 6w Mtidstellung: y z w echte Seite () ÿ() () () - -6 () () () () -8 7 () () mehdeutige Lösung: Zwei Nullzeilen im Endtleu des Guß-Algoithmus egeen eine mehdeutige Lösung mit zwei Pmeten er und ser, und zw: w z s -y s 8-7 -y -7 8 s y s 8 7 s 8 7 s 6 s 6 s 6 6 s 6 s 6 6 Lösungsmenge: L R s s R s s s s, , IV. Stimmt die Anzhl de Gleichungen mit de de Uneknnten nicht üeein, so liegen nicht qudtische linee Gleichungssysteme vo. Jedes nicht qudtische Gleichungssystem knn e in ein qudtisches üefüht weden, wenn wi Folgendes echten. Ist m nämlich die Anzhl de Gleichungen und n die de Uneknnten, so gilt: m < n: Ds unteestimmte Gleichungssystem lässt sich mit n m Gleichungen vom Typ eweiten, so dss im Fll de Löskeit mindestens n m Pmete, s, in den Lösungen in Escheinung teten.

32 m > n: Ds üeestimmte Gleichungssystem lässt sich in Digonlgestlt ingen, so dss de n. Gleichung Gleichungen vom Typ ode * (*:Zhl ) entstehen. Im Flle, dss eine de n. is m. Gleichungen, vom Typ * ist, ist ds Gleichungssystem nicht lös. Sind lle de n. is m. Gleichungen vom Typ, so lssen sich diese Gleichungen steichen und ds Gleichungssystem wid ein qudtisches. IV. Beispiele: Wi lösen im Folgenden (nicht qudtische) linee Gleichungssysteme mit eine unteschiedlichen Anzhl von Gleichungen und Uneknnten: ) Linees homogenes Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und dei Uneknnten: - Anfngstleu: R.S. -. Schitt: (keine Umfomung) -. Schitt: *() *() Digonlgestlt des lineen Gleichungssystems: Lösungen des lineen Gleichungssystems: t (t wid ls Pmete fü gesetzt) -t ( t ) -t ( t ) unendlich viele Lösungen des lineen Gleichungssystems; Pmete ist die eelle Zhl t Lösungsmenge: L {(-t -t t) ter} ) Linees Gleichungssystem mit dei Gleichungen und zwei Uneknnten: - Anfngstleu: R.S. -. Schitt: *() - *() / *() - *() Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I

33 . Schitt: *() *() / -*() *() - Teilen: ():(-) - Digonlgestlt des lineen Gleichungssystems: - [ ] Lösungen des lineen Gleichungssystems: - eindeutige Lösung des lineen Gleichungssystems Lösungsmenge: L {( -)} c) Linees Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und vie Uneknnten: Anfngstleu: R.S Schitt: *() - *() Schitt: 7*() *() Teilen: (): / ():(-) Digonlgestlt des lineen Gleichungssystems: Lösungen des lineen Gleichungssystems: t u t -.u -.7.t.7u Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I

34 unendlich viele Lösungen des lineen Gleichungssystems; Pmete sind die eellen Zhlen t, u Lösungsmenge: L 6, t u t, u R d) Linees Gleichungssystem mit dei Gleichungen und vie Uneknnten: 8 Anfngstleu: R.S. 8. Schitt: (keine Umfomung) 8. Schitt: *() - *() - -. Schitt: *() *() / *() - *() - Digonlgestlt des lineen Gleichungssystems: - Lösungen des lineen Gleichungssystems: u u - u unendlich viele Lösungen des lineen Gleichungssystems; Pmete ist die eelle Zhl u Lösungsmenge: L {( u -u u) uer} Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I

35 e) Linees Gleichungssystem mit dei Gleichungen und vie Uneknnten: 8 - Anfngstleu: R.S Schitt: *() - *() / *() - *() Schitt: (keine Umfomung) Schitt: *() - *() / *() *() Teilen: (): Digonlgestlt des lineen Gleichungssystems: keine Lösung des lineen Gleichungssystems Lösungsmenge: L { } f) Linees Gleichungssystem mit dei Gleichungen und vie Uneknnten: 8 - Anfngstleu: R.S Schitt: *() - *() / *() - *() Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I

36 . Schitt: (keine Umfomung) Schitt: *() - *() / *() *() Teilen: (): - -6 Digonlgestlt des lineen Gleichungssystems: - -6 Lösungen des lineen Gleichungssystems: t u - t - u -6 u unendlich viele Lösungen des lineen Gleichungssystems; Pmete sind die eellen Zhlen t, u Lösungsmenge: L {(-t-u t -6u u) t,uer} IV. Aufgen: Bestimme die Lösungsmenge (lee, eindeutig, mehdeutig) de folgenden lineen Gleichungssysteme. ) c) e) ) - 6 d) f) IV. Aufgen: Bestimme die Lösungsmenge (lee, eindeutig, mehdeutig) de folgenden lineen Gleichungssysteme in Mtidstellung. Uneknnte sind:,, ) 8 8 ) 9 Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I 6

37 c) d) V. Deteminnten V. Ein (qudtisches) linees Gleichungssystem us n Gleichungen und n Uneknnten ht mit eellen ij, i, i (i,j, n) die (Tleu-) Fom: woei mit A n n n n n n n nn n n n nn >, (*) n, n > n > > A die Koeffizientenmti, die echte Seite und die Lösung des lineen Gleichungssystems (*) edeutet. Deteminnten nennen wi qudtische Tellen, die gewissen qudtischen (Koeffizienten-) Mtizen A einen eellen Wet, nämlich det A, zuodnen, woei fü n zw. n gilt: n: n: Fü n> gilt zudem de Entwicklungsstz fü n-eihige Deteminnten, d.h.: n>: n n n n n nn n n n nn n n n nn ( ) i i n n n nn ( ) n n n n n nn wenn z.b. nch de. Splte entwickelt wid und die sog. n--eihige Untedeteminnten Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I 7

38 duch Steichung de. Splte und de jeweiligen Zeile entstehen. Doch sind uch ndee Entwicklungen möglich, wenn nch igendeine Splte ode Zeile entwickelt wid. V. Die Lösungen des lineen Gleichungssystem (*) ehlten wi mit Hilfe de Deteminnten nu im Fll eine eindeutigen Löskeit. Die Koeffizientenmti A des lineen Gleichungssystems (*) ist dnn egulä, d.h. die dzugehöige Deteminnte det A esitzt einen Wet. In dem Fll gilt fü die Lösungen i (i, n) die Cmesche Regel: n n n n n n n nn, n n n nn n n n n n n n nn,, n n n nn n n n n n n n n n nn Wi etchten noch die Spezilfälle n und n: n: Linees Gleichungssystem: Lösungen des lineen Gleichungssystems (*):, (*) n: Linees Gleichungssystem: Lösungen des lineen Gleichungssystems (*): (*),, Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I 8

39 Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I 9 Die Lösungen i (i, n) ilden einen Buch, in dessen Nenne die Deteminnte de Koeffizientenmti steht, wähend de Zähle eine Deteminnte ist, die us de Deteminnte de Koeffizientenmti duch Esetzen de i-ten Splte duch die echte Seite des Gleichungssystems ( i, i, n) entsteht. V. Beispiele: Fü die Beechnung von Deteminnten egnügen wi uns mit den Fällen n, n und n. ) ) ( ) ( ) 8) ( ) ( 8 c) d) ) ( ) ( ) ( ) ( e) (ls Deteminnte eine Mti in Deiecksgestlt) f) ) ( ) ( ) ( ) ( (nch dem Entwicklungsstz fü Deteminnten, entwickelt nch de. Deteminntensplte) V. Aufgen: Beechne die folgenden Deteminnten: ) 9 ) c) 7 d) e) f) V. Beispiele: Fü die folgenden lineen Gleichungssysteme egit sich mit Deteminn-

40 Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I ten und Cmesche Regel: ) 7 y y > 7 > ) ( ) ( 7 7, 7 y ) z z y y > >, y, z c) z y z y z y > z y z y z y > > , y, z >, y, z V.6 Aufgen: Bestimme mit Hilfe von Deteminnten und Cmesche Regel die Lösungen de folgenden lineen Gleichungssysteme: ) 9 7 ) q p q p q p ) ( ) ( ) ( c) 8 q p q p q p d) 7 ) 9 ( ) ( 9 ) ( 7 7 ) ( z y y z y z y VI. Anwendungen VI. Wi eschänken uns im Folgenden uf mthemtische Anwendungen. Bestimmungsufgen heißen Aufgen, ei denen uch innehl de Diffeentil- und Integlechnung us Eigenschften von Funktionen eendiese Funktionen hegeleitet weden sollen. Im Folgenden sollen estimmt weden Polynome (gnz tionle Funktionen)

41 vom Typ f ( ) n n n n mit vogegeenen,,, n-, n R und vogegeene nicht negtive gnze Zhl n N. Die Zhl n mit n heißt Gd des Polynoms, die eellen Zhlen,,, n-, n heißen Koeffizienten, ds eelle Vile. Geden und Peln (. Gdes) sind Polynome. VI. Beispiele: ) Duch zwei veschiedene Punkte geht imme eine Gede, die Bestimmung eine Geden g: y m efolgt mit Hilfe eines lineen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und den Uneknnten m (Steigung) und (y-achsenschnitt). Gegeen sind nun die Punkte P( -) und Q( ). Einsetzen de - und y-wete de Punkte in die Gedengleichung y m egit nch dem Sutktionsvefhen: - m I m II (Suthieen I II) - m - -8m :(-8) - m I m II (Einsetzen in I) m - m Die Gede duch die zwei Punkte P und Q lutet: y. ) Eine nch oen geöffnete Nomlpel ist von de Fom p: y p q. Zu Bestimmung de Uneknnten p und q enötigen wi zwei Punkte, hie: A(- 8), B( ). Einsetzen de - und y-wete de Punkte in y p q füht zu: 8 (-) p(-) q pÿ q p q 8-9 p q -9 -p q 7 I p q II (Suthieen I II) -p q 7 -p :(-) -p q 7 I p -6 II (Einsetzen in I) -(-6) q 7 p -6 6 q 7-6 p -6 q p -6 Die Nomlpel esitzt dmit den Funktionstem y 6 (-). c) Gegeen sind die Punkte: P (- 6), P ( ), P ( -), duch die eine Pel de Fom f() c gehen soll. Es egit sich hie duch Einsetzen de - und y-koodinten ds linee Gleichungssystem: f() > ÿ ÿ c > c f() - > ÿ ÿ c - > c - Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I

42 f(-) 6 > (-) (-) c 6 > 6 c 6 Die Anwendung des Guß-Algoithmus füht uf die Mtiumfomungen: 6 II I 6 III 6I III II 9 Also: c 9 c, weite: - ÿ , weite: 9. Es egit sich insgesmt die Nomlpel f() 9. d) Ein Polynom. Gdes f() c d e ist estimm, wenn entspechend den fünf Koeffizienten,,c,d,eeR fünf Punkte voliegen, z.b. P (- ), P ( ), P ( 6), P ( ), P ( ). Einsetzen in die Funktionsgleichung egit: f(-) > 6 8 c d e f() > e f() 6 > c d e 6 f() > 6 8 c d e f() > 6 6 6c d e Die Auswetung des lineen Gleichungssystems mit fünf Gleichungen und fünf Uneknnten egit dnn (ei vongehendem Vetuschen de Reihenfolge de Gleichungen): Anfngstleu: c d e R.S Schitt: *() - 6*() / *() - 6*() / *() - 6*() Schitt: 8*() *() / -*() *() / -*() *() Schitt: -6*() *() / -*() *() / -*() *() Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I

43 . Schitt: *() - *() / 9*() - *() / *() *() Schitt: *() 9*() / *() *() / *() - *() Teilen: ():(-) / (): / ():(-7) / (): Lösungen des lineen Gleichungssystems sind:,, -,, c -, d -, e. Ds Polynom. Gdes lutet lso: f(),,. VI. Allgemein gilt: Duch n Punkte P i ( i y i ) (i, n) lässt sich ein Polynom n-ten Gdes f() n n z (*) legen, so dss lle Punkte uf de Funktion liegen. Duch Einsetzen de i und y i in (*) ehält mn mit Gleichungen de Fom: y i i n i n z (i, n) ein linees Gleichungssystem mit n Uneknnten und n Gleichungen. Fü niedige n ist ds Gleichungssystem mit Gleichsetzungs-, Einsetzungs- ode Additionsvefhen zu lösen, fü hohe n empfiehlt sich de Guß-Algoithmus. VI. Aufgen: Bestimme die Geden, Peln, Polynome, die duch die gegeenen Punkte gehen. ) P (- -8,), P (, ) ) P (-6 8), P ( -6) c) P ( ), P ( ), P ( 76) d) P (- -8), P ( ), P (7 ) e) P (- -), P ( ), P ( ) f) P (- -), P ( -), P ( -) g) P (- ), P ( ), P ( ), P ( ) h) P (- -7), P (- 9), P ( ), P ( 99) i) P (- ), P ( ), P ( 6), P ( ), P ( ) VI. Beispiele: ) Gesucht ist ein Polynom f() ditten Gdes mit folgenden Eigenschften: f() esitzt Nullstellen ei - und ; f() ht einen Tiefpunkt ei ; f() schneidet die y-achse ei y-. Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I

44 I. Anstz Polynom ditten Gdes I. Anstz: f ( ) c d, f '( ) c Koeffizienten,,c,deR. mit zu suchenden II. Eigenschften und Gleichungen )/) f esitzt Nullstellen ei - und c) f ht einen Tiefpunkt ei / d) f schneidet die y-achse ei y-. III. Aufstellen des lineen Gleichungssystems IV. Lösen des lineen Gleichungssystems II. Eigenschften: Es gilt: f ( ) (Nullstelle ei -) f ( ) (Nullstelle ei ) f '( ) (Notwendige Bedingung fü Tiefpunkt ) f ( ) (Schnittpunkt mit de y-achse im Punkt P( -)) III. Aufstellen des Gleichungssystems fü die Koeffizienten des Polynoms: Auf Gund von I. und II. egit sich duch Einsetzen und Gleichsetzen: f ( ) ( ) ( ) c ( ) d f () c d f '( ) c f () c d Also: c d 7 9 c d c d IV. Bestimmung de Koeffizienten des Polynoms: Wegen d- ehlten wi (duch Sutktion von d- in den esten eiden Gleichungen und Multipliktion mit in de. Gleichung) ds Gleichungssystem: c 7 9 c c (Multipliktion de. Gleichung mit :) c c c (Addition de. zu. Gleichung:) c 9 c (Division de. Gleichung duch, Addition de. zu. Gleichung:) c 9 9 Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I

45 (Multipliktion de. Gleichung mit :) c 6 9 (Sutktion de. von de. Gleichung:) c 6 (Division de. Gleichung duch, Auflösen nch :) c (Auflösen nch und c:) c c c Die gesuchten Koeffizienten sind:, -, c-, d-. V. Funktion VI. Poe V. Die Funktion ht lso die Gleichung: f ( ). VI. Poe: Wegen de notwendigen Bedingung f '( ) ist eine Poe zu mchen, o die gefundene Funktion wiklich lle gefodeten Eigenschften efüllt. Nun ist: f '( ), f ''( ) 6 und dmit: f ''( ) 8 > mit ls Tiefpunkt. Die Funktion efüllt dhe lle gefodeten Eigenschften. VII. Zeichnung 8, 7, 6, 6,,,, y, y,,, -, -,8 -, -, -,6 -, -,8 -,,,,8,,6,,,8,,6,,,8 -,,, -, -, -,6 -, -,8 -, -, -,6 -, -,8 -,,,,8,,6,,,8,,6, y f ( ) y f ( ) 6 Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I

46 ) Ein iqudtisches Polynom f() esitzt n de Nullstelle einen Tiefpunkt und im Punkt die Steigung -8. I. Anstz Biqudtisches Polynom vieten Gdes II. Eigenschften und Gleichungen ) f esitzt Nullstelle ei ) f ht einen Tiefpunkt ei c) f ht ei Steigung -8 I. Anstz: f ( ) c, f '( ) mit zu suchenden Koeffizienten,,ceR. II. Eigenschften: Es gilt: f ( ) (Nullstelle ei ) f '() (Notwendige Bedingung fü Tiefpunkt ) f '() 8 (Steigung ei ) III. Aufstellen des lineen Gleichungssystems IV. Lösen des lineen Gleichungssystems III. Aufstellen des Gleichungssystems fü die Koeffizienten des Polynoms: Auf Gund von I. und II. egit sich duch Einsetzen und Gleichsetzen: f () 6 c f 8 '() f '() IV. Bestimmung de Koeffizienten des Polynoms: Wi hen ds Gleichungssystem: 6 c 8 (Multipliktion de. Gleichung mit :) 6 c 8 96 (Sutktion de. von de. Gleichung:) 6 c 96 (Auflösen nch :) 6 c (Multipliktion de. Gleichung mit :) c 6 9 (Auflösen nch und c:) c c 6 Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I 6

47 Die gesuchten Koeffizienten sind:, -, c6. V. Funktion V. Die Funktion ht dmit die Gleichung: f ( ) 6. VI. Poe VI. Poe: Wegen de notwendigen Bedingung f '() ist eine Poe zu mchen, o die gefundene Funktion wiklich lle gefodeten Eigenschften efüllt. Nun ist: f '( ) 6 6, f '( ) 8 6 und dmit: f ''() > mit ls Tiefpunkt. Die Funktion efüllt lle Eigenschften. VII. Zeichnung VI.6 Bestimmungsufgen fü Polynome: ) Ein Polynom. Gdes ht n de Nullstelle 6 T( ) einen Tiefpunkt und ei einen Wendepunkt mit Steigung. ) Ein Polynom. Gdes ht ei eine Nullstelle, ht in H( ) einen Hochpunkt und läuft duch den Punkt P( ). VI.7 Eine Aildung { n }: N (N ) -> R, die jede ntülichen Zhl n eine eelle Zhl n zuodnet, heißt (unendliche) (Zhlen-) Folge: n -> n ode { n } nen, n ds n-te Folgenglied. Folgen { n } nen, ei denen sich Folgengliede uf vohegehende Folgengliede eziehen, heißen ekusiv und lssen sich mit Hilfe eine Funktion f dstellen ls: n f( n-, n-,, n-k ) mit vogegeenem,, k (ekusive Folge k-te Odnung) n f( n- ) mit vogegeenem (ekusive Folge. Odnung). Rekusive Folgen vom Typ n n- p(n) mit dem Polynom k-ten Gdes p k k ( n) α k n α k n α n αn α lssen sich eplizit dstellen ls ein Polynom (k)-ten Gdes, ls: n ÿn k ÿn k cÿn k- n yn z Die Koeffizienten,, c, estimmen sich us den duch die ekusive Folgenvoschift emittelten Folgenglieden,, k und us dem dzugehöenden lineen Gleichungssystem mit Hilfe des Guß-Algoithmus. Aithmetische Folgen n d(n-) (in eplizite Dstellung) sind vom Typ n n- d mit p(n) d und,der. VI.8 Beispiel: Gegeen ist die ekusive Folge n n- n, mit:,, 9, 9, 6 6 usw. Es liegt mit n die Summe de esten n- ntülichen Zhlen vo. Gemäß dem Vonstehenden liegt eine ekusive Folge vom Typ n n- p(n) vo mit Polynom. Gdes p(n) n. Die Folge n lässt sich somit eplizit dstellen ls ein Polynom. Gdes, d.h.: n n n c (*) mit noch zu estimmenden Koeffizienten,, c. Wi setzen n,, in die Gleichung (*) ein und ehlten ds linee Gleichungssystem: c c 9 6 c Mit Hilfe des Guß-Algoithmus lösen wi ds Gleichungssystem wie folgt: Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I 7

48 c R.S. () ÿ() 6 9 () 6ÿ() () 6ÿ() Wi ehlten ls Lösung: c - c -; - ; -. Die gesuchten Koeffizienten von n sind dhe:,,,, c -. Die Folge n ht wegen (*) die eplizite Dstellung: n,ÿn,ÿn. P g E VI.9 Vektoen im deidimensionlen Vektoum R sind innehl de Vektogeometie > Zhlentipel de Fom mit den eellen Zhlen,, ls Komponenten und den Vektoumgesetzen zgl. Addition und skle Multipliktion ls Veknüpfungen und p > Opetoen. Punkte P(p p p ) sind Otsvektoen OP p mit O( ) ls Koodinten- p > uspung. Geden im Rum definieen sich ls g: s mit Stützvekto, Richtungsvekto und eellem Pmete s. Eenen im Rum lssen sich dstellen in P- > mete- und in Koodinten-/Nomlfom, d.h. es gilt fü den deidimensionlen Vekto Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I 8 > > >

49 , den Otsvekto >, die Richtungsvektoen >, > und die eellen Pmete t, t sowie die eellen Zhlen,. c und d: > > > > E: t t (Pmetefom) E: c d (Koodinten-/Noml(en)fom) VI. Wi eschäftigen uns zunächst mit den Vektoen. Die Vektoen Michel Buhlmnn, Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen/Gleichungssysteme > I 9 >, >, > heißen > line unhängig, wenn die uf den Nullvekto o fühende Linekomintion diese Vektoen, wenn lso ds linee Gleichungssystem > > > > α α α k k o (*) i > k > > nu die (tivile) Lösung k esitzt. Git es düe hinus i mit i ls Lösung des lineen Gleichungssystems (*), so sind die Vektoen line hängig, d.h. > es git Vektoen us { > > >,, }, die sich ls Linekomintion de ndeen Vektoen dstellen lssen, lso: i β β β k k mit einigen i. Ds linee Gleichungssystem (*) ist ein homogenes Gleichungssystem, d.h. es esitzt imme und mindestens eine Lösung, nämlich die, die us lute Nullen esteht. Sind diese Nullen die einzige Lösung des Gleichungssystems (*), so sind die Vektoen line unhängig, git es düe hinus meh Lösungen, so sind die Vektoen line hängig. Feststell ist Lösungsmenge eines Gleichungssystems (*) mit Hilfe des Guß-Algoithmus. Ezeugt mn mit Letzteem im zu (*) gehöenden qudtischen Endtleu eine Mti ohne Nullzeile, so liegt linee Unhängigkeit vo, ndenflls linee Ahängigkeit. > > VI. Beispiele: ) Die Vektoen, sind line unhängig wegen: > > α β α β,,,. > > > ) Die Vektoen,, c sind line hängig wegen: α β > > > α β γ c α β γ α β γ α β γ g echte Seite - () () - - () ÿ() > k

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