Allgemeine Lösungen der n-dimensionalen Laplace-Gleichung und ihre komplexe Variable

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1 Allgemeie Lösuge der -dimesioale Laplace-Gleichug ud ihre komplexe Variable Dr. rer. at. Kuag-lai Chao Göttige, de 4. Jauar 01 Abstract Geeral solutios of the -dimesioal Laplace equatio ad its complex variable Each fuctio of the complex variable x+iy is a solutio of the -dimesioal Laplace equatio. This theory will be exteded to the -dimesioal Laplace equatio. Übersicht Jede Fuktio der komplexe Variable x+iy ist eie Lösug der -dimesioale Laplace-Gleichug. Diese Theorie wird erweitert auf die -dimesioale Laplace-Gleichug. Iteret Dieser Artikel ist olie abrufbar uter: Aschrift des Verfassers Dr. rer. at. Kuag-lai Chao Auf der Lehmbüde 7085 Göttige Germay 1

2 Ihaltsverzeichis 1 Eileitug Allgemeie Lösuge der -dimesioale Laplace-Gleichug ud ihre komplexe Variable 4 Allgemeie Lösuge der -dimesioale Laplace-Gleichug ud ihre komplexe Variable 7 4 Allgemeie Lösuge der -dimesioale Laplace-Gleichug ud ihre komplexe Variable 10 5 Zusammefassug 1 Literatur 14

3 1 Eileitug Gegebe sei die komplexe Variable x + iy. Die Utersuchuge der Fuktioe davo habe gezeigt, dass jede Fuktio φ vo x + iy eie Lösug der -dimesioale Laplace-Gleichug ist. Dies ist das bekate Ergebis aus de Gleichuge vo Cauchy ud Riema [1,, ]. Offebar ist eie solche allgemeie Lösug der -dimesioale Laplace-Gleichug eg mit dieser komplexe Variable x + iy verbude. I diesem Artikel betrachte wir Folgedes: Gegebe sei die Laplace- Gleichug mit zwei reelle Variable x ud y. Wir suche dafür die allgemeie Lösuge, d. h., jede Fuktio vo eier bestimmte Variable soll eie Lösug sei. Uter dieser Voraussetzug wird eie Variable hergeleitet. Sie ist i der Tat ichts aderes als x + iy. Dies zeige wir im Abschitt. Wir utersuche im Abschitt die allgemeie Lösuge für die -dimesioale Laplace-Gleichug ud bekomme eie gaz eue komplexe Variable mit drei reelle Variable x, y ud z. Im Abschitt 4 utersuche wir de Fall der -dimesioale Laplace-Gleichug ud leite ihre komplexe Variable her.

4 Allgemeie Lösuge der -dimesioale Laplace-Gleichug ud ihre komplexe Variable Die Laplace-Gleichug mit zwei reelle Variable x ud y lautet φ xx + φ yy = 0. (.1) Wie üblich bedeute φ xx ud φ yy die zweimalige partielle Ableituge vo φ ach x ud y. Die Lösugsfuktio φ ist eie Fuktio vo x ud y, d. h. vo zwei Variable. Wir suche aber hier eie solche Lösug vo (.1), die formell ur vo eier Variable Z abhägig ist: Dabei ist Z eie Fuktio vo x ud y : Wir differeziere (.) ach x : φ = φ(z). (.) Z = Z(x, y). (.) φ x = φ Z x, (.4) φ xx = φ Z x + φ Z xx. (.5) φ ud φ sid die gewöhliche Ableituge vo φ ach der eue Variable Z. Geau so differeziere wir (.) ach y : φ y = φ Z y, (.6) φ yy = φ Z y + φ Z yy. (.7) Nach Eisetze vo (.5) ud (.7) i die Laplace-Gleichug (.1) erhalte wir φ (Z xx + Z yy ) + φ (Z x + Z y) = 0. (.8) Diese Gleichug ist erfüllt, we Z sowohl Z xx + Z yy = 0 (.9) als auch Z x + Z y = 0 (.10) gleichzeitig befriedige ka. (.9) zeigt, dass Z selber eie Lösug der Laplace-Gleichug sei muss. Außerdem muss Z och (.10) erfülle. We 4

5 eie Fuktio zwei partielle Differetialgleichuge erfülle soll, ka sie ur eie eifachste Gestalt habe. Offebar erfüllt eie lieare Fuktio Z = ax + by (.11) mit de Kostate a ud b die Gleichug (.9). (.10) wird dadurch mit de Lösuge Daraus folgt mit i = 1 Die gesuchte eue Variable Z ist folglich die bekate komplexe Variable. Es gilt auch a = 1 ud b = i : a + b = 0 (.1) a = 1, (.1) b = 1. (.14) a = 1, (.15) b = i. (.16) Z = x + iy, (.17) Z = x iy. (.18) I diesem Artikel bezeiche wir die komplexe Variable mit dem große Buchstabe Z. Der kleie Buchstabe z wird im ächste Abschitt als die dritte Koordiate außer x ud y bezeichet. X ud Y sid der Realteil bzw. der Imagiärteil vo Z : Im -dimesioale Fall ach (.17) habe wir Z = X + iy. (.19) X = x, (.0) Y = y. (.1) Nach (.) ist jede Fuktio φ(z) = φ(x + iy) eie Lösug der -dimesioale Laplace-Gleichug. Wir tree de Real- ud Imagiärteil vo φ : 5

6 ud setze sie i die Gleichug (.1) ei: φ = U(x, y) + iv (x, y), (.) U xx + U yy + i [V xx + V yy ] = 0. (.) Eie komplexe Größe ka ur gleich Null sei, we der Realteil ud der Imagiärteil gleichzeitig gleich Null sid: U xx + U yy = 0, (.4) V xx + V yy = 0. (.5) U ud V sid daher Lösuge der -dimesioale Laplace-Gleichug. Als Beispiel ehme wir mit φ(z) = (X + iy ) = X Y + ixy (.6) U = X Y = x y, (.7) V = XY = xy. (.8) 6

7 Allgemeie Lösuge der -dimesioale Laplace-Gleichug ud ihre komplexe Variable Für die Laplace-Gleichug φ xx + φ yy + φ zz = 0 (.1) mit drei reelle Variable x, y ud z suche wir solche Lösuge, die ur vo eier eizige Variable Z abhägig sid: Z ist eie Fuktio vo x, y ud z : φ = φ(z). (.) Z = Z(x, y, z). (.) Wir differeziere (.) ach x, y ud z ud setze die Ableituge i (.1) ei ud erhalte φ (Z xx + Z yy + Z zz ) + φ (Z x + Z y + Z z ) = 0. (.4) φ(z) ist ur da eie Lösug, we Z ud Z xx + Z yy + Z zz = 0 (.5) Z x + Z y + Z z = 0 (.6) gleichzeitig erfülle ka. Eie lieare Fuktio Z = ax + by + cz (.7) mit drei Kostate a, b ud c erfüllt (.5) automatisch. Die zweite Bedigug (.6) wird a + b + c = 0. (.8) Aus der Beziehug zwische Wurzel ud Koeffiziete vo eier algebraische Gleichug wisse wir, dass die drei Wurzel vo 1 die Bedigug (.8) erfülle. Mit Hilfe der Formel vo De Moivre (cos θ + i si θ) 1 = cos θ + (κ 1)π + i si θ + (κ 1)π mit κ = 1,,..., erhalte wir bei Afagswikel θ = 0 ud = : (.9) 7

8 a = cos 0 + i si 0 = 1, (.10) b = cos π + i si π = 1 + i c = cos 4π + i si 4π = 1 i Nochmal ziehe wir die Quadratwurzel:, (.11). (.1) Die gesuchte Z lautet daher a = 1, (.1) b = cos π + i si π = 1 + i, (.14) c = cos π + i si π = 1 + i. (.15) mit Z = X + iy (.16) X = x + 1 (y z), (.17) Y = (y + z). (.18) Da x, y ud z gleichwertig sid, sid sie miteiader vertauschbar, z. B. gelte auch X = z + 1 (x y), (.19) Y = (x + y). (.0) Jede Fuktio vo φ(x + iy ) ist eie Lösug der -dimesioale Laplace- Gleichug, wobei X ud Y aus (.17) ud (.18) oder aus (.19) ud (.0) sid. 8

9 Der Realteil U ud der Imagiärteil V vo φ erfülle für sich die Laplace- Gleichug: ud U xx + U yy + U zz = 0 (.1) V xx + V yy + V zz = 0. (.) Es ist mit (.17) ud (.18) leicht zu bestätige, dass folgede Beziehug richtig ist: φ xx + φ yy + φ zz = (φ XX + φ Y Y ). (.) Jede Lösug der -dimesioale Laplace-Gleichug wird zu eier Lösug der -dimesioale Laplace-Gleichug durch Eisetze vo (.17) ud (.18). Ei Beispiel aus (.7) ud (.8): U = X Y [ = x + 1 ] [ ] (y z) (y + z), (.4) V = XY [ = x + 1 ] (y z) (y + z). (.5) 9

10 4 Allgemeie Lösuge der -dimesioale Laplace-Gleichug ud ihre komplexe Variable I diesem Abschitt wolle wir die uabhägige reelle Variable mit x 1, x,..., x bezeiche. Die Laplace-Gleichug ist φ xk x k = 0. (4.1) Wir suche jetzt solche Lösuge, die formell ur vo eier eizige Variable Z abhägig sid: φ = φ(z). (4.) Z ist aber eie Fuktio vo de Variable: Z = Z(x 1, x,..., x ). (4.) Wir setze die zweimalige Ableituge vo (4.) i die Gleichug (4.1) ei ud erhalte φ Z xk x k + φ Zx k = 0. (4.4) Diese Gleichug ist erfüllt, we Z folgede Voraussetzuge befriedige ka: ud Eie lieare Fuktio Z xk x k = 0 (4.5) Zx k = 0. (4.6) Z = a k x k (4.7) mit Kostate a 1, a,..., a erfüllt (4.5). Dadurch wird (4.6) a k = 0. (4.8) 10

11 Die Berechug vo a k bleibt gleich wie im Abschitt. Für k = 1 bis wird (k 1)π (k 1)π a k = cos + i si. (4.9) Wir erhalte mit Es gilt außerdem Z = X + iy (4.10) X = Y = x k cos x k si (k 1)π (k 1)π, (4.11). (4.1) φ xk x k = [φ XX + φ Y Y ]. (4.1) Dabei habe wir die folgede Beziehuge beutzt: (k 1)π cos (k 1)π si = =, (4.14). (4.15) Ma ka dies mit der Methode der Iduktio oder mit Hilfe eies Tascherechers bestätige. Dieser kleie Beitrag zur Trigoometrie liefert us bei = 5 das ugewöhliche Ergebis cos 6 i (4.). Jede Fuktio φ vo Z aus (4.10), (4.11) ud (4.1) ist eie Lösug der -dimesioale Laplace-Gleichug. Der Realteil ud der Imagiärteil vo φ = U + iv erfülle für sich die -dimesioale Laplace-Gleichug U xk x k = 0, (4.16) V xk x k = 0. (4.17) Wir habe scho die Lösuge für die - ud -dimesioale Fälle i (.17), (.17) ud (.18) gezeigt. Weiter zeige wir ur och die Ergebisse für = 4, 5 ud 6. 11

12 = 4: = 5: X = x 1 + (x x 4 ), (4.18) Y = x + (x + x 4 ). (4.19) X = x 1 + c 1 (x x 5 ) + c (x x 4 ), (4.0) Y = s 1 (x + x 5 ) + s (x + x 4 ). (4.1) mit 4 Kostate: c 1 = cos = =, (4.) 8 4 c = cos = =, (4.) 8 4 s 1 = si =, (4.4) 8 s = si =. (4.5) 8 = 6: X = x 1 + (x x 6 ) + 1 (x x 5 ), (4.6) Y = x (x + x 6 ) + (x + x 5 ). (4.7) Als Beispiel betrachte wir si(x + iy ) = si X cosh Y + i cos X sih Y (4.8) ud erhalte die Lösuge für die 4-dimesioale Laplace-Gleichug: [ ] [ ] U = si x 1 + (x x 4 ) cosh x + (x + x 4 ), (4.9) [ ] [ ] V = cos x 1 + (x x 4 ) sih x + (x + x 4 ). (4.0) 1

13 5 Zusammefassug Jede Fuktio der komplexe Variable x + iy ist eie Lösug der -dimesioale Laplace-Gleichug. Dies ist bekat aus der Theorie der komplexe Fuktioe. Im -dimesioale Raum existiert auch eie spezielle komplexe Variable. Jede Fuktio dieser -dimesioale komplexe Variable ist eie Lösug der -dimesioale Laplace-Gleichug. 1

14 Literatur [1] I. N. Brostei, K. A. Semedjajew, G. Musiol, H. Mühlig Taschebuch der Mathematik, 5. Auflage Verlag Harry Deutsch 001 [] Frederick S. Woods Advaced Calculus Gi ad Compay, Bosto 196 [] Arold Sommerfeld Partial Differetial Equatios i Physics Acadmic Press, New York

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