Approximationsverfahren zur Überführung nichtäquidistanter Messwertfolgen in äquidistante Zeitreihen.

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1 Fakultät Informatik, Institut für Angewandte Informatik, Professur für Technische Informationssysteme Approximationsverfahren zur Überführung nichtäquidistanter Messwertfolgen in äquidistante Zeitreihen. Dresden, Thomas Nemuth

2 Inhalt 1. Überblick über Zeitreihen 2. Problematik durch nichtäquidistante Messwerte 3. Approximationsverfahren für die Überführung 4. Zusammenfassung TU Dresden, Folie 2 von 18

3 1.Überblick Was ist eine Zeitreihe? Folge von N zahlenwertigen Beobachtungsergebnissen Besitzt Halbordnungsrelation (Zeit) Abstände äquidistant oder nichtäquidistant Zeitindex Wert TU Dresden, Folie 3 von 18

4 1.Überblick Was versteht man unter Zeitreihenanalyse? Analyse und Modellierung von Zeitreihen Ziel Vorhersage des weiteren Verlaufes Besteht aus folgenden Phasen: Identifikationsphase Schätzphase Diagnosephase Einsatzphase TU Dresden, Folie 4 von 18

5 Prozess X(t) Messwertabtastung Modellschätzung X(t) t k TU Dresden, Folie 5 von 18

6 Modellbewertung Modellschätzung Prognose Originalpunkte k Vergangenheit Zukunft k Linear: Logarithmisch: y = 2,751x + 7,030 R² = 0,867 y = 13,49ln(x) + 2,445 R² = 0,915 R² = Bestimmtheitsmaß Wertebereich : 0 R ² 1 TU Dresden, Folie 6 von 18

7 1.Überblick Nutzen der Zeitreihenanalyse Predictive Maintenance Aktienkursvorhersage Wettervorhersagen Erkennung von Veränderung in Zeitreihen(EKG) Statistik TU Dresden, Folie 7 von 18

8 2.Problematik Alle Verfahren basieren auf äquidistanten Zeitreihen! Alle Varianten der ARIMA Modelle Bestimmung von Eigenschaften: AKF Häufigkeitsverteilung Wie entstehen nichtäquidistante Zeitreihen? Ereignisorientierte Aufzeichnungen Änderungen vom Zuständen Z.B: Lagerbestandsänderung, Temperaturüberwachung TU Dresden, Folie 8 von 18

9 2.Problematik Was passiert bei nichtäquidistanten Abständen? Kein definierter Wert an benötigten Stellen t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 k Fehler bei der Berechnung wird zu groß Keine brauchbaren Ergebnisse für die Auswertung/Prognose TU Dresden, Folie 9 von 18

10 3.Problemlösung Gewählte Strategie Min Δt = T????? X-Achse mit T unterteilen Fehlende Punkte Interpolieren Optimierungsmöglichkeiten: Interpolationsstrategie t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 Δt=T k T so wählen, dass möglichst viele Originalwerte enthalten sind Anzahl Originalwerte > Anzahl interpolierter Werte TU Dresden, Folie 10 von 18

11 3.Problemlösung Interpolation Abschätzung des Verlaufes zwischen zwei bekannten Abtastpunkten Originalwerte werden exakt wiedergegeben Annahme: relativ glatter Verlauf zwischen zwei Punkten Problem bei hochfrequenten Prozessen TU Dresden, Folie 11 von 18

12 3.Problemlösung Lineare Interpolation Methode Interpolation der Werte zwischen zwei bekannten Punkten durch eine Gerade y = m x + n Berechnungsvorschrift: Beispiel: X s = 3 Y s = 2, R(1; 4) S(X s ; Y s ) T(5; 0,8) TU Dresden, Folie 12 von 18

13 3.Problemlösung Lineare Interpolation Beispiel Originalwerte Interpoliert t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12 k t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12 k Logarithmisch: y = 12,59ln(x) + 3,189 R² = 0,932 TU Dresden, Folie 13 von 18

14 3.Problemlösung Spline Verfahren Begriff stammt aus dem Schiffsbau (lange, dünne, elastische Latten werden so gebogen das sie den Schiffsrumpf formen; Verlauf durch Punkte definiert) Zuerst von Isaac Jacob Schoenberg 1946 erwähnt Formt Funktion die Stückweise aus Polynomen zusammengesetzt ist Übergänge sind glatt, d.h. n-1 mal stetig differenzierbar Ziel von Splines: Reduzierung der Gesamtkrümmung einer Funktion TU Dresden, Folie 14 von 18

15 3.Problemlösung Spline Verfahren Beispiel (Kubischer Spline) Originalwerte Interpoliert t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12 k t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12 k Logarithmisch: y = 11,03ln(x) + 5,123 R² = 0,750 TU Dresden, Folie 15 von 18

16 3.Problemlösung Bewertung der Verfahren R² R²-diff Original 0,915 Linear 0,932 0,017 Kub. Spline 0,750 0,165 Keine allgemeingültige Aussage möglich, welches Verfahren besser ist Interpolationsmethode je nach vorliegendem Prozess wählen TU Dresden, Folie 16 von 18

17 4.Zusammenfassung Approximation ist notwendig und möglich Es entsteht ein zusätzlicher Fehler Anzahl Originalwerte > Anzahl interpolierte Werte Vielzahl von Approximationsmöglichkeiten Wahl basiert auf Erfahrungswerten und grundlegenden Eigenschaften der Zeitreihe Ein minimaler Fehler bei der Interpolation wirkt sich direkt auf die Anwendung aus z.b. Verluste durch ungenaue Vorhersage TU Dresden, Folie 17 von 18

18 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! TU Dresden, Folie 18 von 18