Lambacher Schweizer. Mathematik für Gymnasien. Baden-Württemberg. herausgegeben von Matthias Janssen

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1 Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien 5 Baden-Württemberg herausgegeben von Matthias Janssen erarbeitet von Wiebke Janzen Klaus-Peter Jungmann Karen Kaps Joachim Krick Emilie Scholl-Molter Colette Simon Ernst Klett Verlag Stuttgart Leipzig

2 Inhalt I Die natürlichen Zahlen 3 Der Zahlenstrahl größer und kleiner 3 Das Zehnersystem Runden von Zahlen 4 Addieren 5 Subtrahieren 6 Multiplizieren 7 Dividieren 8 Schriftliches Dividieren 9 Römische Zahlzeichen 10 Training 11, 12 II Messen 13 Rechnen mit Größen 13 Messen mit der Waage 14 Messen mit der Uhr 15 Rechnen mit Geld 16 Diagramme 17 Maßstab 18 Training 19, 20 III Figuren und Körper 21 Achsensymmetrie Orthogonale Geraden 21 Vierecke Parallele Geraden 22 Das Koordinatensystem 23 Kreise 24 Punktsymmetrische Figuren 25 Quader 26 Schrägbilder 27 Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel 28 Training 29, 30 IV Rechengesetze 31 Mehrgliedrige Rechenausdrücke Klammern 31 Summen und Differenzen 32 Punkt-vor-Strich-Regel 33 Ausmultiplizieren Ausklammern (1) 34 Ausmultiplizieren Ausklammern (2) 35 Potenzen 36 Teilbarkeitsregeln 37 Primzahlen 38 Training 39, 40 V Ganze Zahlen Addieren und Subtrahieren 41 Negative Zahlen (1) 41 Negative Zahlen (2) 42 Anordnung und Betrag 43 Vereinfachte Schreibweise 44 Addieren von Zahlen mit gleichem Vorzeichen 45 Addieren von Zahlen mit beliebigem Vorzeichen 46 Subtrahieren von ganzen Zahlen 47 Mehrgliedrige Summen 48 Training 49, 50 VI Flächeninhalte und Rauminhalte 51 Flächeninhalte messen 51 Flächeneinheiten 52 Flächeninhalte von Rechtecken 53 Umfang von Figuren 54 Rauminhalte messen 55 Volumeneinheiten 56 Rauminhalte von Quadern 57 Oberflächen von Körpern 58 Training 59, 60 VII Ganze Zahlen Multiplizieren und Dividieren 61 Multiplizieren ganzer Zahlen 61 Dividieren von ganzen Zahlen 62 Multiplizieren und Dividieren ganzer Zahlen 63 Rechengesetze und Rechenvorteile (1) 64 Rechengesetze und Rechenvorteile (2) 65 Plusklammerregel Minusklammerregel 66 Training 67, 68 2 Inhalt

3 I Die natürlichen Zahlen Der Zahlenstrahl größer und kleiner 1 Notiere die angezeigten Zahlen auf dem Zahlenstrahl. a) Notiere den angezeigten Zahlenwert. a) b) c) b) mm 240 ml 68 km/h 3 Trage die Zahlen mit Pfeilen in den Zahlenstrahl ein. a) 5; 7; 18; 23; 32; 36; 49; 51; 79; 85 b) 2700; 1250; Setze das passende Zeichen <, > oder ein. a) 123 < 133 b) 82 > 29 c) d) 1233 > 1232 e) 4789 > 4780 f) < g) Ordne die Zahlen a) absteigend: 122; 245; 232; 199; > 232 > 213 > 199 > 122 b) aufsteigend: 1222; 2122; 899; < 989 < 1222 < In jeder Reihe ist ein Fehler versteckt. Korrigiere, indem du eine der Zahlen streichst. a) 313 < 316 < 325 < 318 < 335 b) 2072 < 2282 < 2188 < 2189 c) 371 > 317 > 289 > 299 > 282 d) 5823 > 5824 > 4735 > 4734 e) 8499 > 4899 > 8500 > 999 f) 6405 < 6450 < < a) Hier siehst du einen Zahlenstrahl. Ergänze die fehlenden Zahlen an den Markierungen. Schreibe auf, wie du die Zahlen ermittelt hast. Abstand der Zahlen: ( ) : Markierung in 2000er-Schritten. b) Teile den Zahlenstrahl ein und trage die Zahlen 0; 150; 300; 450; 600; 750 auf dem Zahlenstrahl ein Markiere alle Zahlen auf dem Zahlenstrahl mit einem Punkt, a) die größer als 10 und kleiner als 30 sind b) für die gilt: 0 < < 10 c) die größer als 35 sind I Die natürlichen Zahlen 3

4 Das Zehnersystem Runden von Zahlen 1 Eine Zahl kann man unterschiedlich darstellen. Ergänze jeweils die Lücken. Zahl Zahlwort ZM M HT ZT T H Z E a) einhundertsiebentausenddrei b) vierhundertzwölftausendeins c) zehntausendsiebenhundertdrei d) elf Millionen achtzehntausendacht e) 1897 eintausendachthundertsiebenundneunzig f) elf Millionen einhundertachttausendacht Ergänze die Tabelle. Zahl Rundungsstelle Ziffer an der Rundungs stelle Ziffer, die der Rundungs stelle folgt Runden a) 1235 Z b) T auf ab Gerundetes Ergebnis c) M d) HT / / / 3 Überprüfe, ob richtig gerundet wurde. Wenn ein Fehler vorliegt, dann korrigiere ihn. a) Runde auf Zehntausender. b) Runde auf Millionen Entscheide, ob das Runden hier sinnvoll ist. ja nein / / ja nein ja nein / ja nein / / ja nein 5 Jana und Leo waren bei einem Fußballspiel. Am nächsten Tag steht in der Zeitung: Im Fußballstadion waren rund Fans. Leo fragt: Wie viele Zuschauer waren es genau? Jana antwortet: Dafür gibt es 999 Antwortmöglichkeiten. Hat Jana Recht? [T1] Begründe in Worten. Verwende die Begriffe Differenz mindestens höchstens Es sind mindestens Zuschauer und höchstens Zuschauer. Die Differenz von und beträgt 999. Da die erste Zahl mitgezählt wird, sind es 1000 Antwortmöglichkeiten. Jana hat nicht Recht. [T1] Der Zahlenstrahl hilft dir, die Aufgabe zu verstehen I Die natürlichen Zahlen

5 Addieren 1 Rechne im Kopf. a) b) c) Überschlage wie im Beispiel. Welche der angebotenen Lösungen sind sicherlich falsch? Streiche die falschen Lösungen durch. a) ; 3268; 3286; 3682; b) ; 6423; 6223; 6221; c) ; ; ; ; d) ; ; ; Welche Fehler wurden in den Rechnungen gemacht? Notiere. Rechne anschließend die Aufgabe richtig. Ü: Ü: a) b) f f Fehler: nicht stellengerecht untereinander Fehler: Übertrag nicht beachtet 4 Berechne die fehlenden Zahlen. a) b) Notiere den Rechenausdruck und bestimme die fehlende Zahl. a) Berechne die Summe von 467 und 698. b) Addiere 2345 und Ergänze die fehlenden Ziffern. a) b) Statistik zu den Besucherzahlen der Bäder aus Bad Nass im Freibad im Hallenbad Besucherzahlen insgesamt a) Berechne die Gesamtbesucherzahlen pro Jahr. b) Ordne die Gesamtbesucherzahlen > > > c) Beschreibe die Entwicklung der Besucherzahlen im Freibad von Insgesamt gehen sie um ungefähr die Hälfte zurück. I Die natürlichen Zahlen 5

6 Subtrahieren 1 Rechne im Kopf und bilde die Umkehraufgabe. a) b) c) d) Mache einen Überschlag. Löse dann die Aufgabe schriftlich. a) Ü: b) Ü: 6000 c) Ü: d) Ü: Untersuche die Beispiele und ordne sie den Fehlerarten zu. Korrigiere die Fehler. a) b) c) Falsch untereinander: c), Übertrag falsch: a), b) Milly und Jan machen mit dem Schiff eine Rheintour mit ihren Eltern. Ergänze die Kilometertafeln, die zur Kilometerzählung am Ufer des Rheins angebracht sind, und die fehlenden Entfernungen zwischen den Städten Schreibe als Rechenaufgabe und berechne im Kopf. a) Subtrahiere von 5678 die Zahl b) Berechne die Differenz von und c) Wie viel muss man zu addieren, um zwei Millionen zu erhalten? d) Welche Zahl muss man von subtrahieren, um die kleinste vierstellige Zahl zu erhalten? I Die natürlichen Zahlen

7 Multiplizieren 1 Multipliziere. Mache erst einen Überschlag. Rechne dann schriftlich. a) Ü: b) Ü: c) Ü: Welche Aufgabe gehört zu welchem Ergebnis? Durch Überschlagen bist du blitzschnell fertig. a) M b) A c) T d) H e) E T H E A 1564 M a) Bilde die größtmögliche fünfstellige Zahl. Multipliziere sie mit der übrig gebliebenen Ziffer b) Bilde aus den sechs Ziffernkarten eine fünf stellige und eine einstellige Zahl, sodass das Produkt beider Zahlen so groß wie möglich wird a) Setze die Rechenreihen fort. A) B) b) Schreibe auf, was dir auffällt. Verwende die Begriffe: Faktor, Produkt, verdoppeln, halbieren. A) Wenn sich ein Faktor verdoppelt und sich der andere Faktor halbiert, dann bleibt der Wert des Produkts gleich. B) Wenn sich beide Faktoren verdoppeln, dann vervierfacht sich der Wert des Produkts. 5 Schülerinnen und Schüler der Burgschule nehmen am Citylauf für einen guten Zweck teil. Fülle die Lücken in der Tabelle. Teilnehmeranzahl Gelaufene km Lauf km 750 km Lauf km 625 km Lauf km 96 km Die Schüler erlaufen mit insgesamt 1471 km Lauf 1 Hauptlauf Lauf 2 Lauf 3 10 km 5 km 2 km Der Sponsor zahlt pro gelaufenen Kilometer 2,00. 6 Welche Ziffern gehören in die Lücken? a) b) c) d) I Die natürlichen Zahlen 7

8 Dividieren 1 Dividiere im Kopf : : : : : : : a) Fülle die Tabelle aus. 300 : : : : : : : b) Erkennst du eine Regelmäßigkeit? : Berechne. Gib das Ergebnis mit Rest an. a) 27 : 4 6 R 3 b) 27 : 12 2 R 3 c) 79 : 25 3 R 4 52 : 7 7 R 3 52 : 17 3 R : R : 9 4 R 5 41 : 19 2 R : R Berechne im Kopf. a) : 200 b) : : : Setze die Rechenreihe fort. Schreibe auf, welche Regelmäßigkeit dir auffällt. Verwende die Begriffe: Quotient, Dividend, Divisor, halbieren : : : : : Wenn der Dividend gleich bleibt und wenn sich der Divisor verdoppelt, dann halbiert sich der Wert des Quotienten. 6 Den Geheimnissen der schnellen Fortbewegung in der Natur auf der Spur. a) Das Riesenkänguru ist ein sensationeller Hüpfkünstler. Wie viele Sprünge macht es, um 144 m zurückzulegen? a) b) 144 m : 9 m 16 Das Riesenkänguru macht 16 Sprünge. b) Der Strauß, der größte lebende Vogel, ist ein rasanter Läufer. Welche Entfernung legt er bei 18 Schritten zurück? 18 8 m 144 m Der Strauß legt 144 m zurück. c) Wie viele Schritte würdest du auf 144 m machen? Schreibe eine Rechnung auf cm : 60 cm 240 Bei einer Schrittlänge von 60 cm würde ich 240 Schritte machen. 8 I Die natürlichen Zahlen

9 Schriftliches Dividieren 1 Mache einen Überschlag und berechne. Führe anschließend die Probe durch. a) Ü: : b) Ü: 7200 : : : Probe: 6 0 Probe: Dividiere und gib das Ergebnis mit Rest an. Mache anschließend die Probe : R : R Probe: Probe: a) Hier ist jeweils ein Fehler unterlaufen. Umrahme ihn und führe die Division richtig aus. A) B) : R : R : R : R b) Welche Fehlerart liegt vor? Kreuze an. Im Ergebnis fehlt die Endnull. A) B) Im Ergebnis fehlt die Zwischennull. A) B) / / 4 Die Gesamtlänge aller Adern eines Menschen beträgt rund einhunderttausend Kilometer. Wie oft könnte man die Gesamtlänge der Adern um die Erde am Äquator legen? km : km 2 R Die Länge der Adern könnte man 2 _ 1 ªmal um den Äquator legen. 2 I Die natürlichen Zahlen 9

10 Römische Zahlzeichen 1 In welchem Jahr wurde das Bauwerk gebaut? Fülle die Lücken. MDCCCLXXXIX LXX MDCCCXCIV MDCCCVI n. Chr Berechne im Kopf und schreibe mit römischen Zahlzeichen auf. 3 Bis auf eine Zahl sind alle nach der gleichen Regel gebildet. a) Streiche die Ausnahme. IV IX XL XC XVI CM III IV V XLI IV XL D V XII CLX MMD CCV b) Kreuze für die passende Regel die richtigen Begriffe an. Wenn ein Zahlzeichen links //rechts von einem niederen /höheren / Zahlzeichen steht, wird die kleinere //größere Zahl von der kleineren / größeren Zahl subtrahiert. / CXXV CXC CXI XI VIII XX V XI M MMMDCCC DLV CXXI 4 Ein Künstler hat sich das Geburtsjahr 1965 seiner Mutter auf den Arm tätowieren lassen. a) Leider falsch? Begründe. CCI X MMX Er hat ziffernweise übersetzt. MCXI II MMCCXXII b) Korrigiere. MCMLXV 5 Bei den Spielen der römischen Kinder, den Ludi Romani, ging es spannend und lustig zu. a) Die Kinder legten aus Zeitvertreib z. B. interessante Muster aus Steinen. Setze das Muster fort. b) Schreibe die Anzahl der benötigten Steine mit römischen Zahlen auf. c) Eine Dreieckszahl kann man aus der vorigen ohne abzuzählen herausfinden. Ergänze die Lücken. a) b) I III VI X XV XXI c) I + II III + III VI + IV X + V XV + VI XXI 10 I Die natürlichen Zahlen

11 Training 0 1 Trage zu den angegebenen Zahlen den Vorgänger und den Nachfolger ein und verbinde Die nebenstehende Zeichnung ist kein Zahlenstrahl. Begründe. Die Abstände der Zahlen sind nicht überall gleich Setze das passende Zeichen ein: <, > oder. a) b) : 3 < c) d) e) f) dreihundert Million < > < < zweitausend Milliarde 99 Billionen $ 4 Vervollständige die Tabelle durch Runden. Zahl Gerundet auf Hunderter Gerundet auf Tausender Gerundet auf Zehntausender $ 5 Ordne die Zahlen der Größe nach. Beginne mit der größten Zahl. 4 Mio.; ; ; ; > > > > Mio $ 6 Mache eine Überschlagsrechnung und ordne dann das richtige Ergebnis zu. Überschlag a) b) c) : : d) e) 7380 : : A 850 B 8695 D 5800 E F 1476 C $ 7 Fülle die Kästchen aus, sodass eine korrekte Rechnung entsteht. a) b) c) d) I Die natürlichen Zahlen 11

12 Training $ 8 Berechne. Mache einen Überschlag und die Probe. $ 9 Addiere die kleinste fünfstellige Zahl, die größte sechsstellige Zahl und die Hälfte von 1 Milliarde. Ü: 4500 : : R Probe: $ 10 Leo geht mit Jana ins Fastfood-Restaurant. Jana kommentiert Leos Bestellung: Das ist aber eine Kalorien- und eine Zuckerbombe! a) Begründe, ob Jana Recht hat. Ergänze dazu die Tabelle. Big Mat Große Cola Große Pommes Dessert Gesamt Durchschnittlicher Tagesbedarf Differenz zum Tagesbedarf Brennwert (kcal) Zucker (g) Begründung: Es ist eine Zuckerbombe, denn Leo hat mit dem Menü den Tagesbedarf an Zucker voll gedeckt. Die große Cola enthält sehr viel Zucker. Es ist eine Kalorienbombe, er hat mehr als die Hälfte des Tagesbedarfs an Kalorien zu sich genommen. b) Berechne, wie viele Äpfel Leo stattdessen essen könnte, um seinen Tagesbedarf an Zucker zu decken, wenn ein Apfel ungefähr 15 g Zucker enthält. 95 : 15 6 R 5. Statt des Menüs könnte Leo 6 Äpfel essen, um seinen Tagesbedarf an Zucker zu decken.. 11 In einem magischen Quadrat ergibt die Summe der Zahlen aus jeder Zeile, jeder Spalte und jeder der beiden Diagonalen dieselbe Zahl, die magische Zahl. a) Bestimme die magische Zahl: 34. Ergänze die fehlenden Lücken. b) Multipliziere jede Zahl mit 300. Überprüfe, ob wieder ein magisches Quadrat entstanden ist. Wenn ja, gib die magische Zahl an: c) Was fällt dir auf, wenn du die Ergebnisse der Summen in den beiden Quadraten vergleichst? Die magische Zahl des neuen Quadrates kann man direkt aus der magischen Zahl des Ursprungsquadrates berechnen. 12 I Die natürlichen Zahlen