Vorgeschrittenenpraktikum Anomaler Zeemaneffekt

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1 Vorgeschrittenenpraktikum Anomaler Zeemaneffekt Rüdiger Reitinger David Neubauer WS 2004/05 1

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Theorie Normaler Zeemaneffekt Anomaler Zeemaneffekt Versuchsaufbau Homogenität des Magnetfelds Daten Kalibration des Magnetfelds Messung der Aufspaltungsweiten Auswertung Bestimmung der Frequenzverschiebung ν Bestimmung von e m Zusammenfassung 21 2

3 1 Einleitung Die Spektrallinie einer Lichtquelle spaltet sich in einem äusseren Magnetfeld in mehrere Komponenten auf, weil die magnetischen Momente der Valenzelektronen nur bestimmte Werte annehmen können. Die Wechselwirkungsenergie der Elektronen mit dem äusseren Magnetfeld nimmt deshalb äquidistante, aber je nach dem Wert des Gesamtdrehimpulses verschiedene, Werte an. Die Aufspaltung der Energieniveaus führt zu einer Aufspaltung der Frequenzen die man z.b. mit einem Interferenzapparat beobachten kann. Dies wird als Zeemaneffekt bezeichnet. Beim Normalen Zeemaneffekt ergeben sich drei Linien, zwei senkrecht zum Magnetfeld und eine parallel dazu. Dieser Effekt tritt bei Atomen mit dem Gesamtspin S=0 auf. Der allgemeinere Fall für S 0 wird anomaler Zeemaneffekt genannt. Bei diesem treten mehr Linien auf. Aus der Breite der gemessenen Aufspaltungen kann der Unterschied der Energieniveaus und somit die Frequenzverschiebung berechnet werden. Die Frequenzverschiebung ist proportional zum Betrag des Bohrschen Magnetons µ B = e h und somit zum m 4π Verhältnis e. Dieses Verhältnis soll durch Messung des anomalen Zeemaneffekts bestimmt werden. Als Lichtquelle wurde eine Hg-Spektrallampe m verwendet. Zur Messung des anomalen Zeemaneffekts wird ein präzise einstellbares Magnetfeld benötigt. Um dieses kalibrieren zu können wird die Hysteresekurve eines Elektromagneten aufgenommen. 3

4 2 Theorie 2.1 Normaler Zeemaneffekt Die Wechselwirkungsenergie der Valenzelektronen in einem äußeren Magnetfeld ist gegeben durch: E M = M JZ B = g L µ B M J B (2.1) Wobei das magnetische Moment der Elektronen M J nur ganzahlige Werte zwischen J (dem Gesamtdrehimpuls) und -J annehmen kann. Der Gesamtdrehimpuls ergibt sich als Summe aus Spin und Bahndrehimpuls J = S + L. Für die Berechnung der Magnetischen Momente werden die Landéfaktoren g L benötigt: g L = 3J(J + 1) + S(S + 1) L(L + 1) 2J(J + 1 (2.2) Die Elektronen dürfen nur zwischen bestimmten Energieniveaus wechseln. Erlaubte Übergänge gibt es nur, wenn der Unterschied zwischen der Magnetquantenzahl des Anfangszustands M A und des Endzustands M E M = M A M E ɛ [0,+1,-1] ist. Die auftretenden Linien sind polarisiert. Solche normal zum Magnetfeld B werden als σ-linien bezeichnet, parallel verlaufende als π-linien. Bei den σ-linien ist M = ±1, für die π-linien gilt M = 0. Beim normalen Zeemaneffekt sind alle Landéfaktoren gleich eins: g L (L,S=0,J=L) = 1. Die möglichen Engerieunterschiede im Ausgangs- und im Endterm E A bzw. E E sind somit gleich gross. Ebenso wie die Frequenzen für gleiche M gleich gross sind. Mittels eines Termschemas können die möglichen Übergänge von Ausgangs- zu Endterm veranschaulicht werden. Im hier beschriebenen Experiment wird die Aufspaltung der grünen Hg-Linie mit einer Wellenlänge von λ = 546,074 nm untersucht, sie entspricht dem Übergang von 73 S 1 - zu 6 3 P 2 -Zustand des Atoms. Es gibt eine π-linie für M = 0 und zwei σ-linien, eine für M = 1 und eine für M = -1. 4

5 2.2 Anomaler Zeemaneffekt Im Falle des anomalen Zeemaneffekts ist der Gesamtspin S 0. Dadurch ergeben sich verschiedene Landéfaktoren für verschiedene Werte des Gesamtdrehimpulses und somit unterscheiden sich die Frequenzen für die verschiedenen Werte von M. Man erhält sechs σ-linien und 3 π-linien. (Abbildung 1) Abbildung 1: Termschema der grünen Cd-Linie, mit λ=546,074 nm. 5

6 3 Versuchsaufbau 3.1 Homogenität des Magnetfelds Zuerst wird die Hystereseschleife des Elektromagneten mit einem X-Y-Plotter aufgenommen. Dazu wird als erstes der homogene Bereich des Magnetfelds mit einer Hallsonde bestimmt. Die Spannung der Hallsonde ist dem äusseren Magnetfeld proportional: U H = k 0 I H B (3.1) k 0 ist eine Konstante die von der Art der verwendeten Sonde abhängt. Für die verwendete Hallsonde beträgt sie: k 0 = 0,78571 [ V ]. Die Sonde wird bei einem konstanten A T Strom von I H = 250 [ma] betrieben. Die Hallsonde ist in Serie mit einem Amperemeter an eine Stromquelle angeschlossen. Parallel an die Sonde ist ein Präzissionsvoltmeter angeschlossen um die Hallspannung U H zu messen. Die Sonde befindet sich auf einer optischen Bank und kann auf dieser in der Höhe (z-richtung) sowie vor und zurück (x-richtung) verschoben werden. Dadurch kann die Sonde auf der ganzen Fläche normal zum Magnetfeld B positioniert werden. Der Elektromagnet ist in Serie mit einem Amperemeter an eine stabilisierte Stromquelle angeschlossen Daten Die Ergebnisse der Messung des homogenen Bereichs des Elektromagneten in x-richtung bei z = (14,3±0, 1) mm sind in Tabelle 1 und Abbildung 2 dargestellt. Die Ergebnisse der Messung des homogenen Bereichs des Elektromagneten in z-richtung bei x = (70±1) mm in Tabelle 2 und Abbildung 3. Die Position bei der sich die Hallsonde in der geometrischen Mitte des Magnetfelds befunden hat ist: x = (70 ± 1)mm (3.2) z = (14, 3 ± 0, 1)mm (3.3) 6

7 x-richtung [mm] U H [V] x-richtung [mm] U H [V] ±1mm ± V ±1mm ± V 0 0, , , ,5 0, , , , ,5 0, , , , ,5 0, , , , ,5 0, , , , ,5 0, , , , , , , , , , , , , , , ,5 0, , , , ,5 0, , , , ,5 0, , , , ,5 0, , , , ,5 0, , , , ,5 0, , , , ,5 0, , , , ,5 0, , , , ,5 0, , , , ,5 0, , , , ,5 0, , , , ,5 0, , ,5 0,1674 Tabelle 1: Stärke des Magnetfelds in x-richtung. 7

8 Abbildung 2: Homogener Bereich des Elektromagneten in x-richtung. z-richtung [mm] U H [V] z-richtung [mm] U H [V] ±0, 1mm ± V ±0, 1mm ± V 0 0, , , , , , , , , , , , , , , ,1660 8,2 0, ,1648 Tabelle 2: Stärke des Magnetfelds in z-richtung. 8

9 Abbildung 3: Homogener Bereich des Elektromagneten in z-richtung. 3.2 Kalibration des Magnetfelds Zur Aufnahme der Hystereseschleife wird der gleiche Aufbau wie zur Überprüfung des homogenen Bereichs des Elektromagneten benützt. In den Schaltkreis des Magneten wird zusätzlich ein Widerstand in Serie geschaltet. An diesem wird parallel die x-richtung des Plotters angeschlossen. In diesem Stromkreis befindet sich auch ein Schalter um die Richtung des Stroms und damit die Polarisation des Magneten zu ändern. Die y-richtung wird anstelle des Präszissonsvoltmeters in den Schaltkreis der Hallsonde geschaltet. Mit dem Plotter kann nun die Stärke des Magnetfelds über den Erregerstrom aufgezeichnet werden. Es wurden zwei Hysteresekurven aufgenommen. Eine vollständige auf ein unliniertes A3-Papier (siehe Abbildung 4), und nur die obere Hystereseschleife auf ein A3- Millimeterpapier (Abbildung 5). Mit Hilfe der zweiten Aufnahme wurde das Magnetfeld kalibriert und sechs äquidistante Magnetfeldstärken für die Messung des Zeemaneffekts ausgewählt. Der Erregerstrom wurde dabei zwischen 0-13 [A] variiert. Bei der Änderung des Stroms ist darauf zu achten das man immer im richtigen Bereich der Hysteresekurve bleibt. Bewegt man sich zum Beispiel vom oberen Maximum zu einem niedrigeren Wert und möchte dann wieder einen höheren Wert einstellen, muss man zuerst zurück zum Maximalwert und von diesem wieder herunterregeln. Die Kalibrations des Magnetfelds ergab folgende Ströme und dazugehörige Magnet- 9

10 Abbildung 4: Gesamte Hystereseschleife feldstärken (Tabelle 3): 1T (19, 65 ± 0, 12)cm (3.4) Aus der Auswertung der Hystereseschleife folgt weiters: Remanenzmagnetisierung: 1cm (0, 498 ± 0, 003)A (3.5) B rem = (0, 066 ± 0, 003)T (3.6) Magnetfeldstärke B [T] Erregerstrom I [A] 0,45 (0,80 ±0, 05 ) 0,57 (1,25 ±0, 05 ) 0,69 (2,05 ±0, 05 ) 0,81 (3,75 ±0, 05 ) 0,93 (7,10 ±0, 05) 1,05 (13,0 ±0, 08) Tabelle 3: Äquidistante Magnetfeldstärken und dazugehörige Erregerströme. * Der Fehler ergibt sich aus der Genauigkeit mit der man den Strom einstellen kann. 10

11 Abbildung 5: Hystereseschleife zur Kalibration des Magnetfelds. Strom der Koerzitivfeldsta rke: IKOERZ = (0, 199 ± 0, 025)A (3.7) 3.3 Messung der Aufspaltungsweiten Der Schaltkreis des Elektromagneten bleibt unvera ndert analog zum Kalibrationsaufbau. Zwischen den Polschuhen des Magneten wird nun die Hg-Lampe montiert (siehe Abbildung 6). Bei der Lampe handelt es sich um ein Quecksilberentladungsrohr. Dieses wird in Serie mit einem Hochspannungstrafo, einem Amperemeter, einem Regelwiderstand und einem Vorwiderstand von R = 16,5 [kω]geschaltet. Die Lampe wird bei einem Strom von 35 ma betrieben. Anstelle der Hallsonde wird auf der optischen Bank die Apperatur zur Messung des Zeemaneffekts angebracht. Diese besteht aus einem Doppelkondensor, einem Nicol-Prisma, einem Wrattonfilter, der Lummer-Gehrcke Platte, einem Fernrohr und einer Digitalkamera. Der Doppelkondensor dient dazu die Strahlen der Quecksilberentladungslampe zu bu ndeln. Durch das Nicolsche Prisma, das als Polarisationsfilter dient, ko nnen π- und σ-linien separat beobachtet werden. Der Filter ist dazu da nur die gru ne Linie aus dem Spektralbereich der Lampe auszuwa hlen. Die Lummer-Gehrcke Platte erzeugt Interferenzstreifen die mit dem Fernrohr vergro ßert werden. Das am Okular entstehende Bild wird mit der Digitalkamera aufgenommen. 11

12 Abbildung 6: Die Versuchsanordnung. Für die Messung wurde die Lummer-Gehrcke Platte abgedeckt. Für die Justierung wird zuerst versucht in der Ebene der Lummer-Gehrcke Platte einen möglichst gut fokusierten Strahl zu erhalten der parallel zur Durchlaufrichtung der Platte liegt. Danach wird mit dem Auge das Fernrohr so eingestellt, das man möglichst viele π- als auch σ-linien erkennen und voneinander unterscheiden kann. Dies ist schwierig da sich vor allem die σ-linien der einzelnen Strahlen überlappen können. Anschließend wird die Kamera in Position gebracht und der Raum abgedunkelt, um Störungen durch andere Lichtquellen zu vermeiden. Zuerst werden ein paar Probeaufnahmen gemacht um die besten Einstellungen für die Belichtungszeit und die ISO-Werte zu erhalten. Für die ISO-Werte 400 und 200 werden jeweils Belichtungszeiten von 125 ms, 250 ms und 500 ms ausprobiert. Bei zu geringem ISO-Wert bzw. zu kurzer Belichtungszeit sind die Linien nur schwach zu erkennen. Für die Messung wird deshalb für die Belichtungszeit 250 ms und 400 ISO ausgewählt. Mit diesen Einstellungen wird sowohl für die π- als auch für die σ-linien bei den sechs äquidistanten Einstellungen des Magnetfelds jeweils eine Aufnahme gemacht (siehe Abbildungen 7 und 8). 12

13 Abbildung 7: σ-linien-aufspaltung in einem äusseren Magnetfeld von 0,93 T. 4 Auswertung 4.1 Bestimmung der Frequenzverschiebung ν Zur Auswertung werden nur die π-linien herangezogen, da sich die σ-linien leichter überlappen können. Um dies zu demonstrieren ist in Abbildung 9 das Spektrum der σ-linien für ein Magnetfeld von B = 0,45 T dargestellt. Die mit der Digitalkamera aufgenommen Bilder werden mit dem Programm Irfanview in Graustufen umgewandelt, invertiert und so bearbeitet, dass möglichst viele Linien zu erkennen sind. Mit dem Programm Fit2d wird aus dem Bild ein Histogramm erzeugt in dem die Intensität der einzelnen Linien über ihre Position aufgetragen ist(abbildungen 10,11 und 12). Mit dem Programm Fityk werden an die Maxima der Histogramme Gausskurven angefittet. Dadurch wird der Abstand der Linien zueinander bestimmt. Zur Erhöhung der Genauigkeit wird über mehrere Abstände der Maxima gemittelt. Der Abstand der Linien die den Hauptlinien ohne äusseres Magnetfeld entsprechen wird als S bezeichnet. Der Abstand zwischen den einzelnen π- bzw. σ-linien ist gleich groß und wird mit δs bezeichnet. 13

14 Abbildung 8: π-linien-aufspaltung in einem äusseren Magnetfeld von 0,93 T. Um die Verschiebung der Wellenlänge und damit die gesuchte Frequenzverschiebung zu erhalten, kann die in erster Näherung geltende Formel: δλ = δs λ S (4.1) verwendet werden. λ ist der Dispersionsbereich der Lummer-Gehrcke Platte. Er hängt von der Wellenlänge λ, der Dicke der Platte d, dem Brechungsindex n und der Dispersion dn dλ ab. λ = λ2 2d n2 1 n 2 1 n λ dn dλ (4.2) Die Dicke der Lummer-Gehrcke Platte ist angegeben und beträgt: d = 5, 042mm (4.3) Den Brechungsindex n Hg der Lummer-Gehrcke Platte erhält man aus den Angaben der Brechungsindizes des Herstellers für verschiedene Fraunhoferlinien (Tabelle 4): 14

15 Abbildung 9: Histogramm der σ-linien-aufspaltung in einem äusseren Magnetfeld von 0,45 T. Selbst bei diesem Magnetfeld ist bereits eine Überlappung der σ-linien vorhanden. Fraunhoferlinie Wellenlänge [nm] Brechungsindex Hα 656,281 1,50765 Na 589,296* 1,51000 Hβ 486,134 1,51559 Fe 438,356 1,52008 Tabelle 4: Brechungsindizes der Lummer-Gehrcke Platte für verschiedene Fraunhoferlinien. 15

16 Abbildung 10: Histogramm der π-linien-aufspaltung in einem äusseren Magnetfeld von 0,45 T.Die Peaks der π-linien sind zu erahnen. *Mittelwert der beiden Na-Linien (λ=588,997 nm bzw nm) und der Dispersionformel: n(λ) = A + B λ C (4.4) Die Konstanten ergeben sich durch numerische Berechnung mittels dem Computerprogramm Excel(Solver) zu: A = (1, ± 0, )B = (6, ± 0, )C = (197, ± 0, ) (4.5) n Hg = (1, ± 0, ) (4.6) Aus der Dispersionsformel erhält man durch Ableitung auch die Dispersion dn dλ : dn dλ = ( 5, ± )[ nm ] (4.7) 16

17 Abbildung 11: Histogramm der π-linien-aufspaltung in einem äusseren Magnetfeld von 0,57 T.Die Peaks der π-linien sind zu erkennen. Man erhält somit: λ = (0, ± 0, )[nm] (4.8) Die Strahlen der Lampe legen bis zur Kamera unterschiedliche Wege zurück. Um dies zu berücksichtigen wird nicht die oben angeführte Formel zur Berechnung von δλ verwendet, sondern es wird n λ über die Positionen der S aufgetragen und an diese Punkte ein quadratischer Fit angelegt. Setzt man nun die Positionen der δs in die so erhaltene Funktion ein erhält man die Positionen der δλ. In Abbildung 13 ist dies für ein Magnetfeld von B = 1,05 T dargestellt. Fit: y = a S 2 + b S + c (4.9) Aus den Wellenlängenverschiebungen können die Frequenzverschiebungen berechnet werden (siehe Tabelle 5): ν = ν 1 ν 2 2 = 1 2 ( c λ 1 c λ 2 ) = 1 2 ( c λ δλ c λ + δλ ) = c δλ λ 2 (δλ) 2 (4.10) 17

18 Abbildung 12: Histogramm der π-linien-aufspaltung in einem äusseren Magnetfeld von 1,05 T.Die Peaks der π-linien sind deutlich sichtbar. 4.2 Bestimmung von e m Das Verhältnis e m ergibt sich dann aus: ν = E h = M A g A L M E g E L h µ B B (4.11) Für M A gl A M E gl E ergibt sich: = 0 ergibt sich keine Frequenzverschiebung. Für M = ±1 ν = E h = ±(2 3) 2 µ B B. (4.12) h Mit µ B = e m h 4π (4.13) folgt dann 18

19 Abbildung 13: quadratischer Fit der π-linien-aufspaltung in einem äusseren Magnetfeld von 1,05 T zur Bestimmung von δλ. B [T] δλ ν [MHz] 1,0500 8, ,5912 0,9300 7, ,0784 0,8100 6, ,6848 0,6900 5, ,4288 0,5700 4, ,6013 0,4500 3, ,4207 Tabelle 5: Wellenlängen- und Frequenzverschiebungen bei verschiedenen Magnetfeldstärken. 19

20 B [T] ν [MHz] e m kg 1, ,5912 1, , ,0784 1, , ,6848 1, , ,4288 2, , ,6013 2, , ,4207 2, Tabelle 6: e m für verschiedene Magnetfeldstärken. In Tabelle 6 sind die e m = e m = 8π ν B. (4.14) für die sechs äquidistanten Magnetfeldstärken dargestellt: Aus einer linearen Regression (Abbildung 14) erhält man als Endergebniss: Abbildung 14: Lineare Regression zur Bestimmung von e m aus den Einzelmessungen. e m = (1, 794 ± 0, 036) 1011 [ C ]. (4.15) kg 20

21 5 Zusammenfassung Zur Auswertung wurden die π-linien verwendet, da sich diese nicht überlappen. Aus der Hysteresekurve ergeben sich folgende Werte: Remanenzmagnetisierung: B rem = (0,066 ±0, 003) T Strom der Koerzitivfeldstärke: I KOERZ = (0,199 ±0, 025) A Für das Verhältnis e m ergibt sich: e m = (1, 794 ± 0, 036) 1011 [ C ]. (5.1) kg Der Literaturwert für e = 1, m [ C ] liegt innerhalb der Fehlergrenzen des in dem kg vorliegendem Experiment erhaltenen Werts. 21

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