Betreuer: Lars Grüne. Dornbirn, 12. März 2015

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1 Betreuer: Lars Grüne Universität Bayreuth Dornbirn, 12. März 2015

2 Motivation Hedging im diskretisierten Black-Scholes-Modell: Portfolio (solid), Bank (dashed) Portfolio (solid), Bank (dashed) Kurs Portfolio (solid), Bank (dashed) Kurs Abbildung : Verschiedene Entwicklungen des Hedgingportfolios: Im Normalfall (links) verhält sich das diskrete Hedgingportfolio im Mittel wie der Bond. Simulation plötzlicher Kurssprünge: Plötzlicher Kursabfall (Mitte) Plötzlicher Kursanstieg (rechts)

3 Inhalt Europäische Call-Option Ein-Perioden Binomialbaum Analyse im Ein-Perioden Baum Geometrische Brownsche Bewegung Black-Scholes-Formel (BS) Analyse im BS-Modell Mögliche Abhilfe

4 Europäische Call-Option (1) Eine Europäische Call-Option V stellt das Recht (aber nicht die Pflicht) dar, ein Finanzprodukt S zum Ausübungszeitpunkt T zu einem festgelegten Preis K zu kaufen. V (T ) = max{s(t ) K, 0} =: (S(T ) K) + V (T ) (dashed) K S(T ) Abbildung : Wert V (T ) einer Option V auf S zum punkt t = T in Abhängigkeit von S(T ).

5 Europäische Call-Option (2) V (T ) = (S(T ) K) + Was kostet die Option V (t) heute? Anwendungen Spekulation Potentiell (viel) höhere Rendite Niedrigere Markteintrittsbarriere Absicherung Bessere Verlustdeckelung Robustheit gegenüber Kursschwankungen

6 Ein-Perioden Binomialbaum (1a) S = S u S V K=9? B 1 t 0 S = S d 8 V = V u 3 V = V d 0 B = Be r 1,1 1 S S {S d, S u } B B = Be r r > 0 S u > Se r > S d (Non-Arbitrage) V V = (S K) + S u > K > S d Abbildung : Option im Binomialbaum.

7 Hedging im Ein-Perioden Binomialbaum Absicherung für alle möglichen Fälle, das heißt, wir suchen (, β) R 2 so, dass: S u + βb = V u S d + βb = V d Dieses lineare Gleichungssystem ist lösbar und es gilt: Π := V + S + βb 0 für S {S u, S d } Die Bank muss in t = 0 Anteile von S und β Anteile von B kaufen, um sich gegen Risiken abzusichern: V := S + βb

8 Ein-Perioden Binomialbaum (1b) S = S u S V K=9 2, 05 t B 1 0 S = S d 8 V = V u 3 V = V d 0 B = Be r 1,1 1 S S {S d, S u } B B = Be r r > 0 S u > Se r > S d (Non-Arbitrage) V V = (S K) + S u > K > S d Abbildung : Option im Binomialbaum.

9 Analyse im Ein-Perioden Baum V S + βb für S {S u, S d } Π = V + S + βb 120 V (dashed), S + βb (dotted), Π (solid) (Su K)(K S d ) Su S d S d K S u -60 S Abbildung : Wert des Hedingportfolios Π Ausübungszeitpunkt in Abhängigkeit von S.

10 Geometrische Brown sche Bewegung (1) Die geometrische Brown sche Bewegung ist die Basis des Black-Scholes-Modells. Kursentwicklung als Lösung der (Itô-)Stochastischen Differentialgleichung ds = µdt + σdw t, mit t 0, µ R der Trend, σ > 0 die Volatilität und W t ein Wiener-Prozess: σ2 (µ S(t, S 0 ) = S 0 e 2 )t+σwt (µ = r (Non-Arbitrage), S 0 > 0)

11 Geometrische Brown sche Bewegung (2) Wiener Prozess t geometrische brownsche Bewegung t Abbildung : Fünf zufällige Pfade des Wiener Prozesses und die entsprechenden Pfade der geometrischen Brown schen Bewegung.

12 Black-Scholes-Modell (1) Mit Hilfe des Itô-Lemmas kann man die Black-Scholes-Formel V t σ2 S 2 2 V V rv + rs S 2 S = 0 zeigen. Diese partielle Differentialgleichung ist nicht (!) stochastisch, da (t) := V (t, S(t)) S in der Herleitung gesetzt wurde. Für die Europäische Call-Option sind die Gleichungen für V (t, S) und (t, S(t)) explizit lösbar.

13 Black-Scholes-Modell (2) V (t, S) = SΦ(a) Ke r(t t) Φ(b) V_Call S Abbildung : Optionswert V (t, S) in Abhängigkeit von S und t. Von t = 0 (oben) äquidistant bis t = T (unten).

14 Analyse des s (1) Wir betrachten das selbstfinanzierte Hedgingportfolio Π(i) = V (i) + (i)s(i) + β(i)b(i), mit festverzinslichem B und V sowie aus der Black-Scholes-Gleichung ({0, τ, 2τ,..., T } ˆ={0, 1, 2,..., N}). Portfolio (solid), Bank (dashed) Kurs Abbildung : Hedgingportfolioentwicklung im Vergleich zur Entwicklung des Bonds mit Kurssprüngen bei t = 5 und t = 10.

15 Analyse des s (2) Π(i + 1, S(i + 1)) = V (i + 1, S(i + 1)) + (i)s(i + 1) + β(i)b(i + 1) Pi_{i+1} V_Call S_{i+1} S Abbildung : Abhängigkeit zwischen Π i+1 und S i+1, wobei S i und Π i eingezeichnet sind.

16 Interpretation und Abhilfeidee Interpretation Kunde kauft um sich gegen Kursschwankungen abzusichern. Dieses Risiko trägt nun die Emittentin der Option. Abhilfe Gibt es wirklich Kurssprünge, oder sind das nur beliebig steile Kursänderungen? Durch eine Verfeinerung des gitters können Kursänderungen auf viele Perioden aufgeteilt werden.

17 Abhilfe (1) Portfolio fein (dotted), Portfolio grob (solid), Bank (dashed) Kurs (dotted und solid), Bond (dashed) Abbildung : Hedging mit verschieden feinem gitter: τ fein = 0, 01 und τ grob = 0, 1.

18 Abhilfe (2) Portfolio fein (dotted), Portfolio grob (solid), Bank (dashed) Kurs (dotted und solid), Bond (dashed) Abbildung : Hedging mit verschieden feinem gitter und Kursabfall bei t = 5: τ fein = 0, 01 und τ grob = 0, 1. Der Kursverlust wurde gleichmäßig auf zehn punkte verteilt.

19 Referenzen H. Föllmer, A. Schied: Stochastic Finance, An Introduction in Discrete Time. De Gruyter Graduate 2011 M. Günther and A. Jüngel: Finanzderivate mit MATLAB R. Springer Vieweg 2010 D. J. Higham: An introduction to financial option valuation, Mathematics, stochastics and computation. Cambridge University Press 2004 P. E. Kloeden and E. Platen: Numerical Solution of Stochastic Diferential Equations. Springer Verlag 1992 R. U. Seydel: Tools for computational finance. Universitext Springer 2012

20 Danke für Ihre Aufmerksamkeit!

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