Optimierung. eppler

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1 Optimierung Karsten Eppler Technische Universität Dresden Institut für Numerische Mathematik eppler Vorlesungsassistent: Dr. G. Scheithauer scheith

2 Organisatorische Hinweise K. Eppler: Willersbau, Zi.: C 318, Tel.: Sprechzeit: Di Uhr G. Scheithauer: Willersbau, Zi.: C 317, Tel.: Übungsaufgaben: s. Homepage Modalitäten für Prüfung bzw. Scheinerwerb: Mathematik: Testatklausur im Juli Mathematik: Prüfungsklausur im (Ende) September Informatik: Prüfungsklausur im Juli Jeder an einem Leistungsnachweis Interessierte meldet sich beim jeweiligen Übungsleiter an (2. bzw. 3. Semesterwoche; Name, Vorname, Matr.-nr., Studiengang)

3 Scheinanforderungen Bearbeitung von 2 theoretischen Aufgaben (einzeln): 2 6 = 12 Punkte Bearbeitung von 2 Computerrealisierungen (in MATLAB): 2 6 = 12 Punkte (einzeln oder Zweiergruppen) Bewertung der aktiven Mitarbeit und Leistung in Übungen: 6 Punkte Testatklausur (in der letzten Semesterwoche): 30 Punkte Maximal zu erreichende Punktzahl: Für Schein erforderliche Punktzahl: 60 Punkte 30 Punkte Weitere Hinweise zu Abgabe/Korrektur/Bewertung: s. homepage (in Kürze)

4 Inhaltsübersicht VL Optimierung (4+2) Einführung Ausgewählte Grundlagen Lineare Optimierung (Simplexverfahren, Dualitätsaussagen, Transportoptimierung) Diskrete Optimierung (branch and bound, Rundreiseproblem) Optimierung über Graphen (Grundbegriffe, Verfahren, Netzplantechnik) Elemente der Spieltheorie

5 Literatur Begrenzte Auswahl, jeweils mit Bezug zu Teilbereichen der VL Großmann, C.; Terno, J.: Numerik der Optimierung. Teubner, Geiger, C., Kanzow, C.: Theorie und Numerik restringierter Optimierungsaufgaben, Springer Alt, W.: Nichtlineare Optimierung, Vieweg Neumann, K.: Morlock, M.: Operations Research. Hanser, Jarre, F., Stoer, J.: Optimierung. Springer, Nocedal, J., Wright, S.J.: Numerical Optimization, Springer, Padberg, M.: Linear Optimization and Extensions, Springer, 2001.

6 Borgwardt, K.H.: Optimierung, Operations Research, Spieltheorie. Birkhäuser, Nemhauser, G.L., Wolsey, L.A.: Integer and Combinatorial Optimization, Wiley, Floudas, C.A.: Nonlinear and Mixed-Integer Optimization, Oxford University Press Korte B., Vygen, j.: Combinatorial Optimization, Springer, Zusatzliteratur: Vogel, W.: Lineares Optimieren. Geest and Portig, und: Aubin, J.-P.: Mathematical Methods of game and economic theory. North-Holland, 1979.

7 Optimales Aufheizproblem (stationärer Zustand) gegeben: Gebiet Ω R 3 (Festkörper) mit Rand Γ = Ω homogenes Material mit isotroper Wärmeleitfähigkeit Steuerung: Wärmequelldichte u(x), x Ω, beschränkte Intensität Randtemperatur konstant, Maximaltemperatur für Zustand y = y(x) einhalten vorgegene Verteilung y d bestmöglichst approximieren (L 2 ), zusätzlich: Heizkostenanteil J(u) = (y(x) y d (x)) 2 + αu 2 (x) dx min bei Ω y = u, in Ω, y = 0 auf Γ Zustandsgl. (RWA) u(x) 1; y(x) c Steuer- und Zustandsbeschr.

8 Wiederholung 2. VL Lemma 2.2: Erfüllt ˆx die Bedingung (2.1) (ˆx ist lokales Minimum des Problems (1.1) aus Kap.1), so gilt f(ˆx), d X 0, für alle d Z(ˆx). (2.2) Dabei bezeichnet, : X X R die übliche Dualitätsabbildung. Ist G konvex, kann (2.2) wie folgt vereinfacht werden f(ˆx), (x ˆx) X 0, für alle x G. (2.3)

9 Wiederholung 3. VL Lemma 2.10: Polyedrische Kegel der Form (2.7) sind nichtleer, konvex und abgeschlossen. Analoges gilt für Kegel der Form (2.8). Beweis: Klar : nichtleer und konvex. Zum Nachweis der Abgeschlossenheit zeigen wir zunächst, daß jedes x K eine Darstellung der Form (2.7) besitzt, in der nur linear unabhängige a j auftreten: Es sei x = A T u, I + (x) := {i {1,...,m} : u i > 0}, also x = Annahme: {a i }, i I + (x) sind linear abhängig. i I + (x) u i a i,

10 Die KKT-Bedingungen für NLOA Satz 3.2: Seien f, g i stetig diffbar. Ist ˆx (lokale) Lsg. von (3.10), und gilt zusätzlich die Regularitätsbedingung ( constraint qualification ) (CQ) cl(z(ˆx))(= Z(ˆx)) = T(ˆx). dann ist die Bedingung (2.2) äquivalent zur Existienz einer Lsg. û von (KKT-System) f(ˆx) + m û i g i (ˆx) = 0, i=1 û 0, g(ˆx) 0, û T g(ˆx) = 0.

11 Austauschregel im Simplexverfahren k J N mit j J B mit [ c T N c T BB 1 N ] e k < 0 (ZF-Wert verbesserbar ) [ B 1 Ne k] > 0 (endliche Schrittweite). j Austauschregel: Bestimme l J B mit [ B 1 Ne k] > 0 und l [ B ˆt 1 b ] { [ B 1 b ] l j = [B 1 Ne k = min ] l [B 1 Ne k : j J B, [ } B 1 Ne k] ] > 0 j j

12 Satz 1.11 und Folgerung 1.12 Für eine lineare Optimierungsaufgabe sei ein erstes zulässiges Schema bekannt. Dann generiert im Fall der Nichtentartung (oder bei Verwendung zusätzlicher Auswahlkriterien) die Simplexmethode nach endlicher Zahl von Austauschschritten stets ein entscheidbares Schema. Folgerung: Sei G und z R. Dann besitzt die LOA (1.1) eine optimale Lösung, insbesondere auch eine optimale Ecke.

13 Austauschregeln ˆP lk = 1 P lk, ˆp k = p l P lk, ˆq l = q k P lk, ˆP kj = P lj P lk, ˆq j = q j P lj P lk q k, j J N (x) \ {k}, ˆP il = P ik P lk, ˆp i = p i p l P lk P ik, i J B (x) \ {l}, ˆp ij = P ij P lj P lk P ik, j J N (x) \ {k}, i J B (x) \ {l}, x l = j J N (x) x k = x l p lk p l p lk ˆq 0 = q 0 p l P lk q k,. p lj x j + p l j J N (x)\{k} Umstellen nach x k p lj p lk x j Einsetzen...

14 Erstes Schema für Phase 2 (h min = 0) (i) Falls alle Variable y i nicht mehr in der Basis - dann werden diese gestrichen (mit zugehöriger Spalte) erstes Simplexschema für Phase 2. (ii) Sei (ein) y l noch in der Basis. Da h min = 0, muß p l = 0 (= Wert von y l ) gelten: (iia) k ÎN mit P lk 0: Austausch y l x k. (iib) P lj = 0, j ÎN Streichung der l-ten Zeile (Nullzeile, lin. abhängig) Bemerkung: - Künstliche Variable nur bei Bedarf einführen. - Bei Handrechnung (Orig.)-ZF mit umrechnen.

15 Duale Optimierungsaufgaben Satz 3.1(Charakterisierungssatz): Ein x R n ist genau dann eine optimale Lösung von (3.15), wenn ein ū R m existiert, so daß insgesamt folgendes System von Gleichungen und Ungleichungen erfüllt ist. A x b 0, x 0, (1) A T ū c 0, ū 0, (2) ū T (A x b) = 0, x T ( A T ū c ) = 0. (3)

16 Parametrische LOA (Sensitivitätsanalyse Lemma 3.14: Sei ein ˆb B mit f min (ˆb) =. Dann gilt f min (b) = b B. Satz 3.15: Sei f min (ˆb)> für ein ˆb B. Dann ist f min : B R konvex und es gilt (u (ˆb): Lösung von (D(ˆb))) f min (b) f min (ˆb) + u (ˆb) T( b ˆb ), b B. Verschärfung: Ist x = x (b) eine nichtentartete Ecke von G(b) (damit x (b) eindeutige OL von (P(b))), so ist die Optimalwertfunktion f min an der Stelle b differenzierbar und die (partiellen) Ableitungen berechnen sich wie folgt f min (b) b j = u j, j = 1(1)m, (u OL des Dualproblems)

17 Aufgabenstellung der Transportoptimierung Es seien r Betriebe (Quellen) A 1,...,A r gegeben, die alle die gleiche Ware produzieren. Die Kapazität (Vorräte) der Betriebe seien: α 1 0,...,α r 0 (in Einheiten des Gutes). Diese Ware soll an s Verbraucher (Senken) B 1,...,B s ausgeliefert werden. Der Bedarf der Verbraucher ist ebenfalls bekannt: β 1 0,...,β s 0 (in Einheiten des Gutes). Dabei treten beim Transport von A 1 nach B k pro Einheit die Transportkosten c ik auf. Gesucht sind die optimalen Transportmengen x ik für den jeweiligen Transport A i B k, d.h., ein optimaler Transportplan.

18 Transportoptimierung - Datenstruktur I Im weiteren wird die Darstellung der Daten und dazu assoziert die Darstellung eines (zulässigen) Transportplanes (d.h., des Lösungsvektors x), sowie der Optimalitätsindikatoren in Tableauform verwendet. Allgemeine Übersicht zu den Belegungsschemata: R β 1 β 2... β s α 1 c 11 c 12.. α 2 c 21 c α r c r1.. c rs T β 1 β 2... β s α 1 x 11 x 12.. α 2 x 21 x α r x r1.. x rs

19 Transportoptimierung - Datenstruktur II Optimalitätsindikatoren und komprimierter Transportplan (unter Benutzung der Eigenschaften von BL und zugeordneten Optimalitätsindikatoren): T v 1 v 2... v s ū 1 d 11 d 12.. ū 2 d d pq. ū r d r1 d r2. d rs T v 1 v 2... v s ū 1 x 11 d 12.. ū 2 d d pq. ū r d r1 x r2. d rs

20 Transportoptimierung- Modellmodifikation (i) Verbotene Wege (A i B k ): Strafk.: ĉ ik max i,k {c ik} (ii) Überkapazität r α i > i=1 s k=1 β k r i=1 α i Strohmann B s+1 : β s+1 = r α i i=1 s β k, c i,s+1 : Lagerk. k=1 (iii) Unterversorgung r α i < i=1 s k=1 β k Strohfabrik : A r+1, α r+1 = s β k k=1 r α i, c r+1,k : Verlustk.. i=1

21 Auswahlregel im Alg. v. Dijkstra Satz : Sei A i die Menge der Knoten, zu denen im i-ten Schritt kürzeste Wege von v 1 V berechnet wurden, und es sei B i die Menge der unmittelbaren Nachfolger. Ferner sei v r B i mit d(v r ) d(z), für alle z B i. Dann ist d(v r ) die Länge eines kürzesten Weges von v 1 nach v r. Beweis: Sei µ = {v 1,...,v r } ein beliebiger Weg von v 1 nach v r. Wegen Konstruktion gilt v r / A i.

22 Ereignis Dauer Vorgänger A Vertrautmachen mit Aufgabe 2 - B Einweisung RT 1 - C 1. Konsultation 1 A D Aufarbeiten der Aufgabe 2 A,C E Rohentwurf Programm 2 A,B F Verfeinerung, Testung 1 E,D G Rohentwurf Ausarbeitung 2 D H 2. Konsultation 1 F,G I Abschlußrechnung 1 H J Auswertung 1 I K Abschluß Theorie, Manuskript 3 H L Abgabe d. Ausarbeitg., Abschlußkons. 1 K,J

23 Wiederholung Flüsse in Graphen Definition Fluß: (Kapazitätsbeschr. l, u) (i) l(x) y(x) u(x) x X (ii) y(x) = y(x) v V \ {v 1, v n } x ω + (v) x ω (v) Lemma 3.2: s = s(y) R : s = y(x) y(x). x ω + (P) x ω (P) ( ) Algorithmus: (i) Ermittle eine Kette µ von v 1 zu v n derart, daß ŷ(x) < u(x), x µ +, ŷ(x) > l(x), x µ, µ = µ \ µ +. Kette als Weg interpretieren: µ + := { richtig orientierte Bögen } { } minx µ +[u ŷ] (ii) Setze δ := min, y(x) := ŷ(x) ± δ, x µ ± min x µ [ŷ l] (iii) Abbruch, falls keine unabgesättigte Kette µ mehr existiert.

24 Matrixspiele mit positivem Spielwert Satz 2.9: Ist A die Matrix eines Spiels mit positiven Wert λ > 0, so lassen sich optimale Strategien x S n, y S m aus optimalen Lösungen u R n +, v R m + der zueinander dualen LOA ui max Au 1 ( ) u 0 und vj min A T v 1 ( ) v 0 bestimmen durch die Vorschrift x = λu, y = λv, mit λ := 1 u i = 1 v j.

25 Achtung(!): Tutoren gesucht! Für Mathematik I (für MW) ab WS 10/11 Vergütung nach den üblichen Tarifen verbessert Bewerbungen an (mündlich, schriftlich, ): Dr. Guntram Scheithauer: Willersbau, Zi.: C 317 Tel.: ( ) 32002; Fax: guntram.scheithauer@tu-dresden.de