e βεa = 1 β eα Z 1 (β,v ), über die allgemeine Beziehung e αn Z (kl) N (β,v )

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1 Im Limes e α lautet das großkanonische Potential XII.29) Ωβ,,α)= ln ± e α βεa β β eα a a e βεa = β eα Z β, ), XII.62) mit Z β, ) der kanonischen Zustandssumme für ein Teilchen. Der ergleich mit der allgemeinen Beziehung III.27a) zwischen Ω und der großkanonischen Zustandssumme führt zu ln Zβ,,α) e α eα Z β, ) Z kl) β,,α)= N e αn Z β, ) N N!. wobei Z kl) die klassische großkanonische Zustandssumme bezeichnet. Da die letztere durch mit der kanonischen Zustandssumme Z kl) N über die allgemeine Beziehung Z kl) β,,α)= N e αn Z kl) N β, ) verknüpft wird, findet man für die letztere in Übereinstimmung mit Gl. X.6a) Z kl) N β, )= Z β, ) N kl) Z β, ) N =, N! N! mit dem aus dem Symmetrisierungspostulat folgenden Faktor /N!. Literatur Fließbach 6], Kapitel 29. Huang 7], Kapitel Landau & Lifschitz 4], Kapitel Nolting 8], Kapitel 3.. Reif 5], Kapitel Schwabl 6], Kapitel XII.3 Ideales Fermi-Gas Dieser Abschnitt befasst sich mit der Thermodynamik eines dreidimensionalen idealen Fermi- Gases, d.h. eines Gases aus nicht-wechselwirkenden identischen Fermionen, insbesondere bei tiefer Temperatur, wobei die quantenmechanischen Effekte, verknüpft mit dem Pauli-Prinzip, eine wichtige Rolle spielen. Der Einfachheit halber werden nur Teilchen mit der Masse m und dem Spin s = 2 betrachtet, so dass der Spin-Entartungsfaktor 2s +=2ist. Dann lautet die Zustandsdichte Dε) =2 2m)3/2 4π 2 3 ε Θε). XII.63) Die erallgemeinerung der folgenden Ergebnisse zum Fall eines beliebigen halbzahligen Spins ist einfach. XII.3. Ideales Fermi-Gas bei Temperatur Null Einige wichtige Begriffe für Fermi-Gase lassen sich am einfachsten im Grenzfall einer verschwindenden Temperatur definieren. XII. Ideales Quantengas 7

2 XII.3. a Kanonische Beschreibung. Fermi-Energie und Fermi-Temperatur Das erhältnis der Wahrscheinlichkeit für einen angeregten Zustand ε a zu der Wahrscheinlichkeit für den Grundzustand ε ist p a /p = e βεa ε). Im mathematischen Grenzfall einer Temperatur Null bzw. β gilt p a /p 0 für ε a > ε. Somit wird nur der Zustand niedrigster Energie besetzt. Im kanonischen Gleichgewicht bei Temperatur Null befindet sich also ein System aus N identischen Fermionen im Grundzustand des N-Teilchen-Hamilton-Operators. Im letzteren besetzen die Fermionen die sukzessiven Eigenzustände des Ein-Teilchen-Hamilton-Operators, beginnend mit den Zuständen niedrigster Energien, mit 2s + = 2 Teilchen pro Energieniveau ε a. Die Energie des letzten besetzten Ein-Teilchen-Zustands heisst Fermi-Energie und wird als ε F bezeichnet. Definitionsgemäß wird jeder Zustand mit einer Energie ε a ε F besetzt, so dass die Teilchenzahl durch N = XII.64) a; ε a ε F gegeben ist. Mithilfe der Zustandsdichte kann man auch N = εf Dε) dε. schreiben. Daraus leitet man unter Nutzung des Ausdrucks XII.63) die Fermi-Energie her: XII.65) ) ε F = 3π 2 2/3 2 N 2/3 ). XII.66) 2m Dieses wichtige Ergebnis kann anders wiedergefunden werden, mithilfe einer Berechnung im Impuls-Raum. Im letzteren werden alle Ein-Teilchen-Zustände besetzt, deren Impulsbetrag kleiner als der Fermi-Impuls p F = 2m ε F XII.67) ist, wobei jeder Zustand den olumen 2π ) 3 / besetzt. Mithilfe der Zustandsdichte im Impulsraum XII.54) lautet das Integral über die Fermi-Kugel p p F N = 2 D p p) d 3 4π p = 2 p p F 2π ) 3 3 p3 F, XII.68) wobei der Faktor 2 den Spin-Entartungsfaktor darstellt. Zusammen führen Gl. XII.67) und XII.68) sofort zur Fermi-Energie XII.66). Schließlich kann man ausgehend aus der Fermi-Energie die zugehörige Fermi-Temperatur T F definieren: ε F = k B T F. XII.69) Bemerkung: T F hat zwar die Dimension einer Temperatur, wird aber nur durch die Teilchendichte N / bestimmt. Als Beispiel kann man das Elektronengas, bestehend aus der Leitungselektronen eines Metalls, betrachten. Im Fall von Natrium Ordnungszahl Z =, Massenzahl A = 23) trägt nur eines der Elektronen zur elektrischen Leitfähigkeit bei, das ohne weitere Begründung als frei angenommen wird. Somit können die Leitungselektronen eines Natriumstücks als ein Fermi-Gas aus nicht-wechselwirkenden Teilchen, die in einem Kasten entsprechend dem olumen des Stücks eingeschlossen sind, modelliert werden. Aus der Massendichte 0, kg-m 3 und der atomaren Masse 23, kg von Natrium folgt die Teilchendichte, die gleich der Anzahl N/ der Leitungselektronen pro olumeneinheit ist. Damit kann man den Zahlenwert ε F 3 e der Fermi-Energie XII.66) berechnen, sowie die entsprechende Fermi-Temperatur XII.69) T F K. XII. Ideales Quantengas 8

3 XII.3. b Großkanonische Beschreibung Bei Temperatur Null können die Eigenschaften des idealen Fermi-Gases im Rahmen des kanonischen Ensembles, entsprechend einer festen Teilchenzahl, hergeleitet werden. Wenn die Temperatur endlich ist, soll man aber die großkanonische Beschreibung benutzen, in Übereinstimmung mit der einfacheren Anwendbarkeit des großkanonischen Formalismus. Fermi-Energie und chemisches Potential Damit die mittlere Teilchenzahl konstant bleibt, wenn die Temperatur verändert wird, soll gleichzeitig das chemische Potential geändert werden. Sei angenommen, dass das chemische Potential im Limes T 0 nach einem endlichen Wert µt = 0) konvergiert. Dementsprechend konvergiert die Fermi Dirac-erteilung f F) ε) nach einer Stufen-Funktion Θ µt = 0) ε ), so dass die mittlere Teilchenzahl XII.45) durch N = µt =0) Dε) dε XII.70) gegeben wird. Der ergleich dieser Beziehung mit Gl. XII.65) zeigt, dass die Fermi-Energie den Grenzwert des chemischen Potentials für T 0 ist: lim µt ) = ε F. N / fest Dann gilt für die Fermi Dirac-erteilung im Limes verschwindender Temperatur lim f F) ε) = Θε F ε). XII.7) XII.72) Innere Energie und Druck Mithilfe des vereinfachten Ausdrucks XII.72) der Fermi Dirac-erteilung wird die innere Energie XII.46) des idealen Fermi-Gases zu UT =0) = εf ε Dε) dε. XII.73) Aus Dε) = C ε Θε) folgen die innere Energie UT =0) = 2 5 C ε5/2 und die durch Gl. XII.45) gegebene Teilchenzahl N = 2 3 C ε3/2. Somit gilt UT =0) = 3 5 N ε F, XII.74) d.h. die mittlere kinetische Energie pro Teilchen beträgt 3 5 ε F. Im Gegensatz zur inneren Energie des klassischen idealen Gases verschwindet die innere Energie eines Fermi-Gases also nicht im Limes einer Temperatur Null. Dies folgt aus dem Pauli-Prinzip, gemäß dem alle Fermionen nicht im Ein-Teilchen-Grundzustand sein können und deshalb die angeregten Energieniveaus ausfüllen sollen. Beispielsweise ist für Natrium die mittlere kinetische Energie eines Leitungselektrons 3 5 ε F 2 e, entsprechend einer typischen Geschwindigkeit von ca. 800 km-s. Die Definition Ω = U T S µn des großkanonischen Potentials und die Beziehung Gl..4)] Ω = P führen zu P = U T S µn, d.h. für ein Fermi-Gas bei Temperatur T = 0 mit dem chemischen Potentials XII.7) und der inneren Energie XII.74) P T =0) = 2 N 5 ε F = 2 ) 5 3π2 2/3 2 N 5/3 ). XII.75) 2m Hier auch verschwindet dieser Fermi-Druck nicht für T 0, im Gegensatz zum Druck eines klassischen idealen Gases. XII. Ideales Quantengas 9

4 XII.3.2 Ideales Fermi-Gas bei endlicher Temperatur Bei endlicher Temperatur ist die Fermi Dirac-erteilung nicht mehr eine Stufen-Funktion, sondern nimmt Werte wesentlich unterschiedlich von 0 oder in einem Bereich der Breite ca. k B T um den Wert ε = µ an. Teilchen mit einer Energie nah am chemischen Potential das jetzt von der Fermi-Energie abweicht werden angeregt, mit einer typischen Anregungsenergie der Ordnung k B T. orausgesetzt die Temperatur klein genug ist, kann man die Eigenschaften des idealen Fermi- Gases berechnen, wobei der Unterschied mit den Eigenschaften bei T = 0 in Potenzreihen von k B T ausgedrückt werden kann. XII.3.2 a Entartetes Fermi-Gas Für Teilchen mit dem Spin 2 lässt sich die in Gl. XII.58) definierte Funktion u +α) als ) x N 2 3/2 u + α) e x α dx = 2π2 + 2mk B T 0 umschreiben. Drückt man die Teilchendichte N / durch die Fermi-Energie aus vgl. Gl. XII.66)], dann wird die rechte Seite der obigen Gleichung zu u + α) = 2 εf ) 3/2. XII.76) 3 k B T Somit hängt α, und dabei die ganze Physik des Fermi-Gases, nur vom Zahlenwert des erhältnisses ε F /k B T = T F /T ab: Für T T F ist der rechte Glied von Gl. XII.76) viel kleiner als, woraus α folgt. Dies entspricht dem im Abschn. XII.2.5 betrachteten klassischen Limes. Das Kriterium eines Abstands zwischen Teilchen viel größer als die thermische Wellenlänge kann also durch die äquivalente Formulierung mit Hilfe des erhältnisses der Temperatur zur Fermi-Temperatur ersetzt werden: ) /3 klassischer Limes: λ th T T F. XII.77) N Der Fall T T F entspricht einem großen Wert von α, so dass man den Grenzfall einer Temperatur Null wieder findet und anwenden darf. Im obigen Beispiel der Leitungselektronen von Natrium war T F K, so dass diese Elektronen auch unter normalen Temperatur-Bedingungen als ein Fermi-Gas bei T = 0 beschrieben werden können. Ähnlicherweise können die Neutronen eines Neutronensterns Masse M, 4 3 M, entsprechend ca Teilchen) trotz dessen Temperatur T 0 8 K als nicht-relativistische Fermi- Gase bei Temperatur Null beschrieben werden, weil die entsprechende Fermi-Temperatur T F 3 bis 4 Zehnerpotenzen größer ist. Somit können quantenmechanische Effekte auch in makroskopischen Körpern bei nicht unendlich kleinen Temperaturen auftreten. Schließlich können auch große Atomkerne als ein ideales Zweikomponenten-Fermi-Gas aus Protonen und Neutronen, eingeschlossen in jeweiligen Potentialen, bei Temperatur Null beschrieben werden. Dabei beträgt die Fermi-Energie ε F 40 Me. In diesem Modell lässt sich einfach erklären, warum die Gesamtenergie eines Kerns einen Beitrag enthält Asymmetrieterm ), der minimal ist, wenn die Protonen- und Neutronenzahl des Kerns gleich groß sind. Bemerkung: Wenn quantenmechanische Effekte nicht vernachlässigbar sind, d.h. wenn das Kriterium XII.77) nicht gilt, T T F, spricht man von einem entarteten Fermi-)Gas. Wenn e βµ ist das Gas stark entarteten ; bei Fermionen ist dies der Fall wenn T T F. XII. Ideales Quantengas 20

5 XII.3.2 b Quantitative Eigenschaften eines idealen Fermi-Gases bei niedriger Temperatur Die Untersuchung der Eigenschaften stark entarteter Fermi-Gase beruht auf der Sommerfeld- Entwicklung der Fermi Dirac-erteilung bei kleiner Temperatur. Im Sinne der Distributionen gilt f F) ε) = e ε µ)/k BT + π2 Θµ ε) 6 k BT ) 2 δ ε µ) + OT 4 ), XII.78a) d.h. für eine beliebige Test-Funktion F ε) man hat die Entwicklung F ε) µ e ε µ)/kbt + dε F ε) dε + π2 6 k BT ) 2 F µ) + OT 4 ). XII.78b) Beweis: Sei F ε) eine Test-Funktion. Zieht man von der Fermi Dirac-erteilung deren Limes für T 0 bei festem chemischem Potential Θµ ε) ab, dann erhält man F ε) f F) ε) Θµ ε) ] µ ] dε = F ε) e ε µ)/k BT + F ε) dε+ e ε µ)/k BT + dε. Das Integrand des ersten Integrals im rechten Glied kann als /e ε µ)/kbt +] umgeschrieben werden. Mit der Substitutionen x = ε µ)/k B T in diesem ersten Integral und x = ε µ)/k B T im zweiten ergibt sich F µ + xk B T ) F µ xk B T ) = k B T 0 e x dx. + Dann führt eine Taylor-Entwicklung des Zählers im Integrand zu = k B T ) 2n+2 F 2n+) µ) I n mit I n n=0 während F k) die k-te Ableitung von F bezeichnet. Indem man 2 2n + )! 0 µ x 2n+ e x + dx, e x + = e x + e x in Potenzen von e x Taylor-entwickelt, findet man ) k I n = 2 k + ) 2n+2. Wenn man die Summe der geraden und die der ungeraden Terme trennt, und die erstere als 2 2n+2 mal der Summe aller Terme umschreibt, findet man ) 2j ] )2j+ I n = 2 + 2j + ) 2n+2 2j + 2) 2n+2 = 2 2j + ) 2n+2 ] 2 2n+2 k + ) 2n+2 j=0 j=0 = 2 k + ) 2n+2 2j + 2) 2n+2 ] 2 2n+2 k + ) 2n+2 j=0 = 2 k + ) 2n n+2 ] k + ) 2n+2 = 2 2 2n ) k + ) 2n+2, d.h. I n = 2 2 2n ) ζ2n + 2) mit ζ der Riemann-Funktion, die bei den geraden ganzen Zahlen einfache Werte annimmt: ζ2) = π 2 /6, ζ4) = π 4 /90,.... Insgesamt gilt somit F ε) µ e ε µ)/k BT + dε = F ε) dε+ k B T ) 2n n ) ζ2n+2)f 2n+) µ), XII.78c) n=0 woraus Gl. XII.78a) durch Trunkierung folgt. Mit der Sommerfeld-Entwicklung erhält man beispielsweise die mittlere Teilchenzahl XII.45) bei gegebenen chemischem Potential und Temperatur N µ Dε) dε + π2 6 k BT ) 2 D µ) + OT 4 ). XII.79a) XII. Ideales Quantengas 2

6 Unter Berücksichtigung des Ausdrucks XII.63) der dreidimensionalen Zustandsdichte wird dies zu 2m) 3/2 ) N 3π 2 2 µ3/2 + π2 kb T 2 + OT )] 4. XII.79b) 8 µ Für die innere Energie XII.46) ergibt sich U µ d.h. mit der Zustandsdichte XII.63) 2m) 3/2 U 5π 2 2 µ5/2 + 5π2 kb T 8 µ mit εdε) dε + π2 6 k BT ) 2 µd µ) + Dµ) ] + OT 4 ), XII.80a) ) 2 + OT 4 )]. XII.80b) Durch partielle Integration findet man für das großkanonische Potential Ω = k B T ln + e µ ε)/k BT ] Dε) dε = N ε) f F) ε) dε N ε) ε Dε ) dε XII.8) XII.82) der Anzahl der Ein-Teilchen-Zustände mit einer Energie kleiner als ε. Im Grenzfall T T F erhält man mit der Sommerfeld-Entwicklung Ω µ N ε) dε π2 6 k BT ) 2 Dµ) + OT 4 ). XII.83a) Mit der Zustandsdichte XII.52) gilt N ε) = 2m)3/2 3π 2 3 ε3/2 und somit ) Ω 22m)3/2 5π 2 2 µ5/2 + 5π2 kb T 2 + OT )] 4. XII.83b) 8 µ Der ergleich mit der inneren Energie XII.80b) gibt Ω = 2U 3 P = 2U 3. XII.84) Diese Gleichheit gilt in der Tat nicht nur bei kleiner Temperatur, sondern allgemeiner bei beliebiger Temperatur, 34 insbesondere im Regime, wo das entartete Fermi-Gas durch das klassische ideale Gas ersetzt wird vgl. X.23) und X.25)]. Schließlich kann man aus der inneren Energie U, der Teilchenzahl N und dem großkanonischen Potential Ω die Entropie folgern: S = ) U µ N Ω T Zusammen führen Gl. XII.79b), XII.80b) und XII.83b) zu S = 2m)3/2 6 2 µ k 2 BT. XII.85) Diese Entropie und genauer das erhältnis S/ N verschwindet im Limes T 0, in Übereinstimmung mit dem dritten Hauptsatz der Thermodynamik, und im Gegensatz zur Entropie des klassischen idealen Gases. Bemerkung: S und N können auch aus dem großkanonischen Potential XII.83b) mittels partieller Ableitungen gewonnen werden. 34 Man kann einfach zeigen, dass Gl. XII.84) durch die Dimension des Raums hier 3) und die Potenz 2) des Impulses im Ausdruck ε = p 2 /2m der Energie völlig bestimmt ist. XII. Ideales Quantengas 22

7 Die Beziehungen XII.79), XII.80), XII.83) und XII.85) gelten für ein Fermi-Gas mit festem chemischem Potential, entsprechend einer variierenden mittleren Teilchenzahl wenn T verändert wird. Um die Eigenschaften eines idealen Fermi-Gases mit fester mittlerer Teilchenzahl N zu erhalten, muss man µ durch N und somit durch die Temperatur ausdrücken. Die Inversion der Gl. XII.79a) und der Grenzwert XII.7) liefern µ 3π 2 2/3 2 ) 2m N d.h. mit dem Ausdruck XII.66) der Fermi-Energie µ ε F π2 T 2 ) 2/3 ) π2 kb T 2 + OT )] 4, 2 ε F T F ) 2 + OT 4 )]. XII.86) Setzt man diesen Ausdruck in die innere Energie XII.80b) ein, dann erhält man 3 U 5 N ε F + 5π2 T 2 Daraus folgert man die isochore Wärmekapazität bei Temperaturen T T F T F ) 2 + OT 4 )]. XII.87) C π 2 2 N k B T. T F XII.88) Dies weicht vom Temperatur-unabhängigen Ausdruck der Wärmekapazität eines klassischen idealen Gases ab. Bemerkung: Zusammen mit der Beziehung XII.84) gibt Gl. XII.87) einen Zusammenhang zwischen Druck, olumen, mittlerer) Teilchenzahl und Temperatur, entsprechend der thermischen Zustandsgleichung des stark entarteten Fermi-Gases. Literatur Fließbach 6], Kapitel 32. Huang 7], Kapitel..2. Landau & Lifschitz 4], Kapitel Nolting 8], Kapitel 3.2. Schwabl 6], Kapitel 4.3. Woods Halley 9], Kapitel 5. XII. Ideales Quantengas 23

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