Mathematik in eigenen Worten

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1 Sieglinde Wsmier Mtemtik in eigenen Worten Lernumgeungen für die Sekundrstufe I Klett und Blmer Verlg

2 Mtemtik in eigenen Worten Scülerinnen und Scüler screien ire Lern- und Denkwege uf : Sieglinde Wsmier zeigt in irem Buc, wie ser es sic für ds mtemtisce Verständnis lont, diesen Weg zu geen. «Mtemtik in eigenen Worten» ietet prxiserprote Lernumgeungen, ufsclussreice Scüler dokumente sowie Areitslätter und Kopiervorlgen ls Downlod. Von den prktiscen Erfrungen der Autorin profitieren Auc für scwäcere Scülerinnen und Scüler Sieglinde Wsmier unterrictet n einer yeriscen Mittelscule Jugendlice der Sekundrstufe I. In den vergngenen Jren t sie mit zlreicen Lernumgeungen gereitet drunter uc einigen us dem «mtu.c», diese weiter entwickelt und n ds Begungsspektrum irer Scülerinnen und Scüler ngepsst. Die Aufgen sind ntürlic differenzierend. Ire Erfrungen möcte die Autorin in diesem Buc mit llen Lerpersonen teilen, die iren Scülerinnen und Scülern nict nur elfen, sondern uc etws zutruen wollen. Neen der neuen Areitsweise, die Lernumgeungen mit sic ringen, gewönten sic die Scülerinnen und Scüler uc drn, ire Lern- und Denkwege scriftlic zu dokumentieren. Die Autorin zeigt und kommentiert zlreice solce Dokumente. Sie elegt, dss durc ds Protokollieren nict nur strke, sondern gerde uc scwäcere Lernende mtemtisce Einsicten gewinnen und ir Selstvertruen stärken. Für die Lerpersonen sind die notierten Gednken der Lernenden eenflls nützlic und informtiv, denn sie entlten ein grosses Dignosepotenzil. Diese Erkenntnis findet ürigens uc im neuen «mtuc» Eingng, indem die Lernenden ngeregt werden, im «Merkeft» regelmässig «Areitsrückscu» zu lten. Sieglinde Wsmier ermuntert Lerpersonen, sic uf diese erfolgversprecende Unterrictsrt einzulssen. Sie zeigt Wege uf, wie Scwierigkeiten eim Protokollieren im Mtemtikunterrict üerwunden werden können. Informtiver einfürender Teil Der einfürende, teoretisce Teil ietet Kpitel zu : Definition, Konzeption von Lernumgeungen Aufu von Unterrictseineiten Areit mit Lerntgeücern Bedeutung von Lernumgeungen für die Lernenden und die Lerpersonen Anforderungen n Lerpersonen Lernumgeungen und Bildungsstndrds Umfngreicer prktiscer Teil Eines der zlreicen Scülerdokumente us «Mtemtik in eigenen Worten» Der Huptteil des Buces ist den prktiscen Beispielen gewidmet. Er entält 3 Lernumgeungen zu Aritmetik, Geometrie und Screcnen.

3 Klrer Aufu der Lernumgeungen Eine Üersictsox zu Beginn jeder Lernumgeung git Auskunft üer : Stufe zw. Sculjr Anzl enötigter Lektionen Areitsltt oder Kopiervorlge, die dzu ls Downlod ngeoten wird zusätzlic enötigtes Mteril Wurzeln Die verkleinerten Aildungen von Areitslättern oder Kopiervorlgen stellen den Bezug zu den Aufgen rsc und verständlic er. Wurzeln Der Stz von Pytgors zeigt, wie sic zwei elieige Qudrte in ein grosses Qudrt verwndeln lssen. Ds grosse Qudrt t die gleice Fläce wie die eiden kleineren zusmmen. Oft estet ds Prolem drin, die Seitenlänge des grossen Qudrtes zu erecnen. Dzu ruct es Wurzeln. Treffender ist der Begriff der Qudrtwurzeln. Diese steen in enger Bezieung zu Qudrtzlen. 9. Sculjr 2 Lektionen Areitsltt Aritmetik Stufe Duer Downlod mteril Bei Qudrten, deren Fläce eine Qudrtzl ist, lässt sic die Seitenlänge einfc estimmen. Bestimme die Seitenlängen der einzelnen Qudrte. 4 möglices Vorgeen Die Scülerinnen und Scüler setzen sic zunäcst in Einzel reit mit den Aufgen uf dem Areitsltt useinnder. Sie knüpfen mit den ersten Aufgen n ds Vorwissen n, estim men durc Scätzen näerungsweise die Wurzeln und wen den diese Ergenisse ei der Berecnung von Seitenlängen von Qudrten in Zusmmenng mit dem Stz des Pytgors n. Nc der Einzelreit tuscen sie ire Erfrungen und Erkenntnisse im Klssenvernd us und screien eine Refle xion üer gewonnene Erkenntnisse, Erfrungen und Scwie rigkeiten. Weitere Aufgen entlten strukturierte Aufgen zur Berecnung der Wurzel. Dei knn den Scülerinnen und Scülern ewusst werden, wie sic us eknnten Ergenissen die Ergenisse nderer Wurzeln leiten lssen. In einer Reflexionspse m Lektionsende lten die Scü lerinnen und Scüler Rückscu uf die Unterrictsstunde und screien diese uf. Als Husufge ist die Weiterfü rung strukturierter Üungen zu Wurzeln möglic. In einer weiteren Lektion ereiten die Scülerinnen und Scüler Aufgen, in denen sie Wurzeln m Zlenstrl dr stellen und Vorstellungen ezüglic der Wurzeln weiterent wickeln. Ds Berecnen von Seitenlängen in Rectecken und Qudrten üen sie mitilfe des Stzes des Pytgors und der drus resultierenden Wurzelerecnung. Pse tätigkeiten der Scülerinnen und Scüler / Lerperson mterilien Kopfrecnen SuS gestlten die Kopfrecenpse. Folie Inszenierung LP teilt die Areitslätter us. Areitsltt Eigentätigkeit SuS lesen selstständig Informtionen zur Wurzel und ringen Vorerfrungen ein. Austusc SuS ericten üer gewonnene Erkenntnisse und Erfrungen mit dem neuen Tem. SuS-Dokumente reflexion SuS screien üer den Inlt der Lerneineit, üer sictr gewordene Verindungen zu nderen Temenereicen und üer den eigenen Lernzuwcs. SuS-Dokumente usufge SuS ereiten weiterfürende Aufgen zur Wurzel. Areitsltt In den Ruriken «Worum get es?» und «Möglices Vorgeen» findet die Ler person eine kurze Bescreiung der Lernumgeung mit den Zielen sowie Vorscläge zum Vorgeen. Scülerinnen und Scüler lösen Aufge, indem sie ir Vorwissen einringen. Areitsltt, Aufge Bei Qudrten, deren Fläcenzl A keine Qudrtzl ist, ezeicnet mn die Seitenlänge mit A. Spric: «Wurzel us A». 5 A A Wie gross sind die folgenden Wurzeln ungefär? Screie deine Üerlegungen uf. 0; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90; 00 B Qudriere deine gescätzten Werte us Aufge A mit dem Tscenrecner. Screie deine Ergenisse uf. Ws stellst du fest? C Verwende nun die Wurzeltste uf deinem Tscenrecner und estimme. die folgenden Wurzeln: 0; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90; 00 3 Ds Berecnen von Wurzeln ruct mn ei Anwendungen des Stzes des Pytgors. A Berecne die Seiten,, c, d, e und f. Screie deine Üerlegungen uf. B Zeicne die folgenden Längen: 3; 8; 26; 29; 32; 34. Ws üerlegst du dir dei? C Zeicne die Wurzeln nderer Zlen, scätze und erecne sie. c f d e Aus: Affolter, W. u.. (2003): mtu.c 8, S. 30 Mtemtik in eigenen Worten Klett und Blmer AG, 203; ls Kopiervorlge freigegeen Die Scülerin estimmt die Seitenlänge der Qudrte und verwendet ei iren Erklärungen ereits den Begriff der Wurzel. Bei der Fläcennge verwendet sie fälsclicerweise cm ls Eineit nsttt cm². Diese Scülerin eziet sic uf eine ls Husufge durcgefürte Aufge. In irer Erklärung des Wurzelegriffs verwendet sie den Begriff des Verdoppelns, ergänzt dnn er «diesele Zl». Um ire Vorstellung zu vernsculicen, nennt sie zwei Beispiele. 90 Wurzeln 89 DO0_ _00_208_Inlt_30522.indd 89 Dokumente us der Erproung Worum get es? Ds Berecnen von Wurzeln escäftigte scon die lten Grie cen. Sie gluten noc, dss lle Wurzeln sic uc ls Brü ce zw. ls Quotienten zweier ntürlicer Zlen drstellen liessen. Diese klssisce mtemtisce Prolemstellung ist nict Gegenstnd dieser Lernumgeung. Der Tscenrecner git für 2 einen Wert n, der sic von rtionlen Zlen op tisc nict untersceidet. Ausserdem lässt sic die Wurzel ex kt konstruieren. In der Lernumgeung setzen sic die Scülerinnen und Scüler mit Wurzeln useinnder, smmeln erste Erfrun gen und vertiefen geometrisce Deutungen. Sie erecnen Längen von Dreiecks und Qudrtseiten und stellen sie dr. Durc meist strukturierte Üungen uen sie ein Verständnis für den Wurzelegriff uf :8 DO0_ _00_208_Inlt_30522.indd 90 Anscliessend folgt eine Telle, die die einzelnen Psen der Lern umgeung und die Tätigkeiten der Scülerinnen und Scüler escreit :9

4 Scülerinnen und Scüler estimmen Wurzeln durc Scätzen und nscliessendes Qudrieren. Areitsltt, Aufge 2 Scülerinnen und Scüler screien in der reflexionspse. Scülerinnen und Scüler escreien die Ergenisse us Aufge 3. Areitsltt, Aufge 3 Der Scüler formuliert seine Erkenntnisse. Wurzeln und den Stz des Pytgors erkennt er ls notwendig und ilfreic. Er stellt für sic einen Lernerfolg und den Spss n Mtemtik fest. Wie sie die Wurzel vorgegeener Zenerzlen estimmt, escreit diese Scülerin ser genu. Diese Scülerin formuliert iren Lernzuwcs ezüglic des Begriffs der Wurzel ls Seitenlänge eines Qudrts. Sie stellt den Stz des Pytgors ls Notwendigkeit für den Umgng mit der Wurzel erus. Die Scülerin skizziert die Figuren uf dem Areits- ltt und notiert iren Recenweg zur Bestimmung der felenden Seitenlänge. Eine Verindung zwiscen zwei mtemtiscen Temenereicen stellt dieser Scüler er. Er erkennt dmit deren Bedeutsmkeit. Die Scülerin estimmt die Wurzeln der vorgegeenen Zenerzlen zum Teil uf zwei Dezimlstellen. Bei der Üerprüfung durc Qudrieren stellt sie fest, dss sie die Wurzeln rect genu estimmen konnte. Ws wr ei der Durcfürung zu eocten? Die Scülerinnen und Scüler reiteten ser selstständig und motiviert. D die Ler nenden ereits früer eim Kopfrecnen eine Seite eines Qudrts oder den Rdius eines Kreises ei gegeenem Fläceninlt erecneten, wr inen der Recenweg im Prinzip eknnt. Sie wussten nur nict, dss mn dies ls Wurzel ezeicnet und dss diese mit dem Tscenrecner für jede elieige Zl erecnet werden knn. Scwierigkeiten tten einige Scülerinnen und Scüler nfngs ei Aufge 3. Inen wr nict klr, dss ds ngegeene Qudrt jeweils die Summe us zwei Qudrten ist. Für sie wr es zuerst scwierig, jeweils die zwei pssenden Summnden zu finden und die Qudrte (Ktetenqudrte) zum vorgegeenen Qudrt (Hypotenusenqudrt) zu zeic nen. Nc einem kurzen individuellen Gespräc fnden sie dnn eine Lösung. Auf dem Areitsltt zeicnet die Scülerin die recten Winkel sowie die Kteten- und ds Hypotenusenqudrt mit untersciedlicen Fren ein DO0_ _00_208_Inlt_30522.indd :9 Von der Autorin kommentierte Scülerdokumente us der Prxis ieten eine wertvolle Unterstützung. DO0_ _00_208_Inlt_30522.indd :9 Eine Sclussfolgerung in der Rurik «Ws wr ei der Durcfürung zu eocten?» rundet die Lern umgeung.

5 Ausscnitte us dem Buc 22. Pyrmiden Zeicnung des felenden Scrägildes. Areitsltt 22., Aufge 3 B Ägyptisce Pronen liessen vor mer ls 4500 Jren ire Gräer mit Pyrmiden üeruen. Die mäctigste Pyrmide ist die Ceops- Pyrmide in Gise. Sie entstnd etw um 2500 v. Cr. und zält zu den sieen Weltwundern. Ire ursprünglice Höe etrug 46,6 m. Heute ist sie nur noc 38,75 m oc. Die Länge einer Knte m Boden misst 230,37 m. Die Ceops-Pyrmide estet us etw 2,3 Millionen Steinlöcken mit je einem Durcscnittsgewict von 2,5 t. Ws weisst du üer Pyrmiden? Wo kommen sie vor? Screie uf. 2 Scrägilder I II III Der Scüler escreit, wie er zum felenden Scrägild kommt. Zunäcst trifft er die Untersceidung Pyrmide Dreieckssäule. Anscliessend ordnet er die Fläcen entsprecend zu. IV Bescreie die vier im Scrägild drgestellten Körper. 3 Scnittogen c c c d) = 0 cm, = 7, cm 0,5 0,5 e) = 0 cm Der Scnittogen ist unvollständig. Ein Teil felt. = 200 4, cm ) = 0 cm, = 0² + 0² ) = 0 cm, = 0² + 0² = 200 4, cm Scülerinnen und Scüler wenden ds neu erworene Wissen selstständig n. Areitsltt 22.2, Aufge 4 c c) = 0 cm A Ordne die vier Scrägilder us Aufge 2 den Scnittogen zu. Begründe deine Zuordnung genu. B Ein Scrägild felt. Zeicne es. C Stelle die Körper us den Scnittogen ( is e) er. Aus: Affolter, W. u.. (2004): mtu.c 9, S. 4; Foto: istockpoto/sculpies Mtemtik in eigenen Worten Klett und Blmer AG, 203; ls Kopiervorlge freigegeen Die Scülerin wendet die neu gewonnene Erkenntnis n. Dokumente us der Erproung Scülerinnen und Scüler ktivieren ir Vorwissen. Areitsltt 22., Aufge Die Scülerin findet Änlickeiten zwiscen Prismen und Pyrmiden. Sie weiss, dss es uc Pyrmiden git, die nict us Rectecken/Qudrten und vier Dreiecken ufgeut sind. Scülerinnen und Scüler formulieren in der Reflexionspse. Der Scüler escreit ds intensive Areiten, die Bedeutung der Gruppenreit und den Lernerfolg dieser Areitsweisen.

6 Mit Scülereispielen und Kopiervorlgen Sieglinde Wsmier Mtemtik in eigenen Worten Lernumgeungen für die Sekundrstufe I Spektrum Scule Beiträge zur Unterrictsprxis Klett und Blmer Verlg Mtemtik in eigenen Worten Aus der Reie «Spektrum Scule» Buc mit 54 Kopiervorlgen 208 Seiten Fr Zur Autorin Dr. Sieglinde Wsmier ist Lererin und Konrektorin n der Mittelscule Frontenusen ( Niederyern ) sowie Lereuftrgte m Mtemtiscen Institut der Universität Müncen. Inspiriert vom «Zlenuc 5/6», vom «mtu.c» sowie vom Dilogiscen Lernen t sie in den Jren 2005 is 2008 ein Konzept zur mtemtiscen Förderung durc ktiventdeckendes und metkognitives Lernen entwickelt und durcgefürt. Dfür wurde sie mit dem. Preis des Mte-Könner-Wettewers 20 in der Ktegorie «Förderkonzepte einzelner Lerkräfte» usgezeicnet. Der ufgefürte Preis einltet die Merwertsteuer und gilt für den Direktkuf ei Klett und Blmer. Änderungen vorelten, Preisstnd P ( 08/203 ) Klett und Blmer AG, Verlg, Grenstrsse 7, Postfc 464, 634 Br Telefon , Telefx ,

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