MATLAB. Control System Toolbox

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1 MATLAB Control System Toolbox Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 1

2 Umfang Beschreibung linearer, zeitinvarianter Systeme (LTI): zeitkontinuierlich und zeitdiskret Single Input/Single Output (SISO) und Multiple Input/Multiple Output (MIMO) Umwandeln und Bearbeiten der Systeme Analysieren der Systemeigenschaften Entwurf und Optimierung von Reglern Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 2

3 Beschreibung von LTI-Systemen Beschreibung linearer, zeitinvarianter Systeme (LTI-Systeme) Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 3

4 Lineare, zeitinvarianter Systeme (LTI Modelle) Parametrische Beschreibung Übertragungsfunktion/Transfer Function (TF) Nullstellen Polstellen Darstellung/Zero Pole Gain (ZPK) Zustandsdarstellung/State Space (SS) Nichtparametrische Beschreibung Frequenzgang Daten Modelle/Frequency Response Data (FRD) Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 4

5 Übertragungsfunktion/Transfer Function (TF) Übertragungsverhalten im Laplace Bereich Rationale Funktion in s: h(s) = num(s) den(s) = a m s m + a m 1 s m a 1 s + a 0 b n s n + b n 1 s n b 1 s + b 0 Zählerpolynom num und Nennerpolynom den Zählerordnung m und Nennerordnung n Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 5

6 TF SISO Übertragungsfunktion erstellen 1. Befehl tf(num, den): num und den als Vektoren mit Koeffizienten von s in absteigender Reihenfolge. >> h = tf([2-3],[1 1]) 2. Rationale Funktion in s a) Definieren von s als TF System >> s = tf( s ) b) Übertragungsfunktion als rationale Funktion in s >> h = (s+2) / (s^2 + 5*s + 4) Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 6

7 TF MIMO Übertragungsfunktion zweidimensionale N y N u Matrix H von SISO TF: H = h 11 h 12 h 21 h 22 = num 11 den 11 num 12 den 12 num 21 den 21 num 22 den 22 Matrixelement h ij : Übertragungsfunktion vom Eingang j zum Ausgang i Ny Zeilen = Ausgänge, Nu Spalten = Eingänge Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 7

8 TF MIMO Übertragungsfunktion erstellen 1. Definieren der einzelnen SISO TF: a) Befehl tf(num, den) / rationale Funktion in s b) Matrix H definieren 2. Befehl tf(num,den): Cell Array NUM für Zählerpolynome und DEN für Nennerpolynome (N y N u) NUM = num 11 num 12 num 21 num 22 DEN = den 11 den 12 den 21 den 22 Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 8

9 Null-/Polstellen Darstellung/Zero Pole Gain (ZPK) Übertragungsverhalten im Laplace Bereich Rationale Funktion in s mit Nullstellen und Polstellen: h (s) = k (s z 1)... (s z m 1 ) (s z m ) (s p 1 )... (s p n 1 ) (s p n ) k z 1,..., z m p 1,..., p m Verstärkungsfaktor (reell) Zähler Nullstellen (reell/konj. komplex) Nenner Nullstellen (reell/konj. komplex) Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 9

10 ZPK SISO Übertragungsfunktion erstellen 1. Befehl zpk (z,p,k): Nullstellenvektor z, Polstellenvektor p und Verstärkungsfaktor k. >> h = zpk([-6 1 1],[-5 1],3) 2. Rationale Funktion in s a) Definieren von s als ZPK System >> s = zpk( s ) b) Übertragungsfunktion als rationale Funktion in s >> h = 2 * 1 / ((s-1)*(s+2)) Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 10

11 ZPK MIMO Übertragungsfunktion zweidimensionale N y N u Matrix H von SISO ZPK: H = h 11 h 12 h 21 h 22 = k 11 z11 p 11 k 21 z21 p 21 k 12 z12 p 12 k 22 z22 p 22 Matrixelement h ij : Übertragungsfunktion vom Eingang j zum Ausgang i Ny Zeilen = Ausgänge, Nu Spalten = Eingänge Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 11

12 ZPK MIMO Übertragungsfunktion erstellen 1. Definieren der einzelnen SISO ZPK: a) Befehl zpk(z,p,k) / rationale Funktion in s b) Matrix H definieren 2. Befehl zpk (Z,P,K): Cell Array Z für Nullstellenpolynome und P für Polstellenpolynome (N y N u), N y N u Matrix K der Verstärkungsfaktoren Z = z 11 z 12 z 21 z 22 P = p 11 p 12 p 21 p 22 K = k 11 k 12 k 21 k 22 Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 12

13 Zustandsdarstellung/State Space (SS) DGL 1. Ordnung für jedes Speicherelement (Integrator) n DGLs 1. Ordnung statt eine DGL n ter Ordnung Zustands DGL: ẋ = A x + B u Ausgangsgleichung: y = C x + D u x: Zustandsvektor (N x 1) u: Eingangsvektor (N u 1) y: Ausgangsvektor (N y 1) A: Zustandsmatrix (N x N x) B: Eingangsmatrix (N x N u) C: Ausgangsmatrix (N y N x) D: Durchschaltmatrix (N y N u) Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 13

14 SS Modell erstellen Befehl ss(a,b,c,d): A = [ ] B = [ ] C = D = >> ss([1 2 ; 3 4],[1 1 ; 0 1],[0 1 ; 1 2 ; 3 1],0) Durchschaltanteil oft 0: D = 0 SISO Systeme: u u y y B b C c T Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 14

15 Frequenzgang Daten Modelle (FRD) Frequenz Daten aus Messung oder Simulation Sinus Anregung: y(t) = G(ω) sin (ωt + ϕ(ω)) y(t) phasenverschoben und amplitudenmoduliert Frequenzgangfunktion: F (jω) = F (jω) e j ϕ(ω) Betrag: F (jω) = Re{F (jω)} 2 + Im{F (jω)} 2 Phase : ϕ(ω) = arctan Im{F (jω)} Re{F (jω)} Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 15

16 Frequenzgang Daten Modelle erstellen Befehl frd(ant, freq, eh): ant f req eh Vektor mit den komplexen Frequenzantworten Vektor mit gespeicherten Frequenzen Einheit der Frequenz ( rad/s oder Hz ) Beispiel: >> freq = [ ] ; >> ant = (1-j*freq)./(1+freq.^2) >> sysfrd = frd(ant,freq, Units, rad/s ) MIMO System: ant ist Tensor (Ny Nu Nf) Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 16

17 Zeitdiskrete Modelle Zusätzlicher Parameter: tf(num,den,ts) ss(a,b,c,d,ts) Abtastzeit Ts zpk(z,p,k,ts) frd(ant,freq,ts) Abtastzeit unspezifiziert: Ts = -1 DSP Format: h = filt ([1-0.5],[1 1-2],0.01) Zustandsdarstellung: x(k + 1) = A x(k) + B u(k) y(k) = C x(k) + D u(k) Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 17

18 Zeitverzögerungen Zeitkontinuierlich: Zwischen Ein- und Ausgängen (TF, ZPK, FRD): set(sys, IODelay,Td) Am Ein- oder Ausgang (SS): set(sys, InputDelay,Tde) set(sys, OutputDelay,Tda) Zeitdiskret: Pade-Approximation: pade(sys,n) Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 18

19 Umwandeln und Bearbeiten von LTI Modellen Umwandeln und Bearbeiten von LTI Modellen Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 19

20 LTI Objekte LTI Modelle gespeichert als Cell Arrays mit vordefinierten Modell Eigenschaften und ihren Werten Allgemeine Modell Eigenschaften: Ts, InputDelay, OutputDelay, iodelaymatrix, InputName, OutputName, InputGroup, OutputGroup, Notes, Userdata Modellspezifische Modell Eigenschaften: TF: ZPK: SS: FRD: num, den, Variable (s, p; z, q, z^-1) z, p, k, Variable (s, p; z, q, z^-1) a, b, c, d, StateName Frequency, ResponseData, Units Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 20

21 Modell Eigenschaften setzen, ändern und abrufen Setzen und Ändern von Modell Eigenschaften: direkt: sys = tf(..., EigName,EigW ert) Befehl set: set(sys, EigN ame,eigw ert,...). Befehl: sys.eign ame = EigW ert Abrufen von Modell Eigenschaften: Befehl get: get(sys, EigN ame ). Befehl: sys.eigname Schnellabfrage: tfdata, zpkdata, ssdata, frddata Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 21

22 Rangfolge und Vererbung von Modell Eigenschaften Vorrangliste: FRD > SS > ZPK > TF Umwandeln: vorher: sys = systf + tf(sysss) nachher: sys = tf(systf + sysss) Vererbung von Modell Eigenschaften Diskret: alle Abtastzeiten gleich bzw. unspezifiziert Variable Variable: kont.: p > s diskret: z^-1 > q > z Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 22

23 Umwandlung von Modell Typen Explizite Umwandlung: Übergabe des Systems an Befehle tf(sys), ss(sys), zpk(sys) oder frd(sys,freq) Umwandlung mit MATLAB Befehlen: zp2tf(z,p,k) tf2zp(num,den) tf2ss(num,den) ss2tf(a,b,c,d,iu) ss2zp(a,b,c,d,i) zp2ss(z,p,k) Automatische Umwandlung: Operationen wandeln Modelle automatisch in benötigten Modelltyp um Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 23

24 Arithmetische Operatoren Addition und Subtraktion: Parallelschaltung y = G 1 u + G 2 u sys = sys1 + sys2 Multiplikation: Reihenschaltung y = G 1 v = G 1 (G 2 u) sys = sys1 * sys2 Matrix-Inversion: u = G 1 y sys = inv(sys) links- und rechtsseitige Matrix Division: G 1 1 G 2 sys1 \ sys2 G 1 G 2 1 sys1 / sys2 Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 24

25 Extrahieren und Ändern von LTI Modellen Ansprechen der Ein- und Ausgänge mit sys(i,j) Teilsystem: extrahieren: subsys = systf(1,2) ändern: systf(2,1) = subsys Ein-/Ausgänge: löschen: systf(:,1) = [] hinzufügen: systf = [systf,sys] (Typ nach Rang) systf(:,2) = sys (Typ systf) Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 25

26 Verknüpfen von LTI Modellen Horizontal: sys = [ sys1, sys2 ] Vertikal: sys = [ sys1 ; sys2 ] Diagonal: sys = append(sys1,sys2) Parallel und seriell: sys = parallel(sys1,sys2,in1,in2,out1,out2) sys = series(sys1,sys2,outputs1,inputs2) Rückkopplung: sys = feedback(sys1,sys2) Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 26

27 Zeitkontinuierliche und zeitdiskrete Systeme Kontinuierlich diskret: Diskret kontinuierlich: sysd = c2d(sysc,ts) sysc = d2c(sysd,methode) Diskretisierung: Halteglied 0. Ordnung: zoh Halteglied 1. Ordnung: foh Tustin Approximation: tustin Diskretisierung verzögerter Systeme Geänderte Abtastzeit: sys = d2d(sys,ts) Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 27

28 Analyse der Systemeigenschaften Analyse der Systemeigenschaften Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 28

29 Übersicht Allgemeine Eigenschaften Modell Dynamik Systemantwort im Zeitbereich Systemantwort im Frequenzbereich Ordnungsreduktion Zustandsbeschreibungen Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 29

30 Allgemeine Eigenschaften Überprüfung und Abfrage von durch MATLAB bestimmte Systemeigenschaften Nützlich für die Programmierung komplexer Skripts und Funktionen: Auswerteroutinen Komplexe Plots erstellen Systemeigenschaften oder Boolsche Werte (ja/nein) als Rückgabewerte Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 30

31 Modelltyp, Zeitdaten, Struktur, Größe Modelltyp: ausgeben: class(sys) prüfen: isa(sys, classname ) Zeitdaten: zeitkontinuierlich: isct(sys) zeitdiskret: isdt(sys) Verzögerungen: hasdelay(sys) Struktur: Ein- & Ausgänge: isempty(sys) Ordnung: isproper(sys) SISO Modell: issiso(sys) Größe: size(sys) Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 31

32 Modell Dynamik Stationäre (Gleich )Verstärkung: dcgain(sys) Frequenz ist s = 0 bzw. z = 1 Reine Integratoren: Verstärkung Natürliche Frequenzen und Dämpfungen: damp(sys) Pole: p i = α ± j β Frequenzen: ω n = α 2 + β 2 Dämpfungen: D = α α 2 + β 2 Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 32

33 Nullstellen und Pole eines LTI Modells Nullstellen: zero(sys) Polstellen: Eigenwerte der Matrix A: pole(sys) Wurzeln des Polynoms c: roots(c) Sortieren: zeitkontinuierlich: [s,ndx] = esort(p) zeitdiskret: [s,ndx] = dsort(p) Null Polstellen Verteilung: [p,z] = pzmap(sys) Linien gleicher Dämpfung und natürlicher Frequenz: kontinuierlich: sgrid zeitdiskret: zgrid Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 33

34 Systemantwort im Zeitbereich Systemantwort kontinuierlich/diskret: y(t) = Ce At x 0 + t τ=0 y[k] = CA k x 0 + k 1 i=0 ( Ce A(t τ) ) B + D u(τ) dτ ( CA k i 1 ) B + D u[i] Befehlsaufruf: Zeitvektor: [y,t,x] = bef ehl(sys,par) t = 0:dt:Tf Ausgang y: SIMO: length(t) Ny MIMO: length(t) Ny Nu Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 34

35 Freie Bewegung, Impuls- und Sprungantwort Freie Bewegung: [y,t,x] = initial(sys,x 0,[,t]) Eingänge zu Null gesetzt Anfangswerte des Zustandsvektors x 0 Impulsantwort: [y,t,x] = impulse(sys[,t]) zeitkontinuierlich: Dirac Impuls δ(t) zeitdiskret: Einheitsimpuls δ[k] Sprungantwort: [y,t,x] = step(sys[,t]) zeitkontinuierlich: Einheitssprung σ(t) zeitdiskret: Folge von δ[k] Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 35

36 Systemantwort auf Testsignal Systemantwort: [y,t,x] = lsim(sys,u,t,[,x 0 ]) beliebiger Eingangssignalvektor u lsim wählt automatisch passende Abtastzeit dt Testsignal: [u,t] = gensig(typ,tau[,tf,t s]) typ : sin Sinus pulse Pulse square Rechteck tau : Periodendauer Tf : Gesamtdauer T s : Abtastzeit Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 36

37 Systemantwort im Frequenzbereich Frequenzgang: Komplexe Antwort auf sinusförmige Anregung im eingeschwungenen Zustand Voraussetzung: System asymptotisch stabil, d.h. Realteile aller Eigenwerte kleiner null Frequenzgang ÜF: F (jω) = F (jω) e j ϕ(ω) Betrag: F (jω) = Re{F (jω)} 2 + Im{F (jω)} 2 Phase : ϕ(ω) = arctan Im{F (jω)} Re{F (jω)} Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 37

38 Frequenzantwort und Bode Diagramm Frequenzantwort berechnen: Einzelne Frequenz f: f rsp = evalfr(sys,f) Frequenzvektor w: H = freqresp(sys,w) Bode Diagramm: [mag,phase,w] = bode(sys) Frequenzvektor ω (w) als logarithmische x-achse Amplitudengang F (jω) (mag) doppeltlogarithmisch Phasengang ϕ(ω) (phase) halblogarithmisch Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 38

39 Amplituden- und Phasenrand Befehl [Gm,P m,wcg,wcp] = margin(sys) Amplitudenrand Gm, Phasen Durchtrittsfrequenz Wcg Phasenrand P m, Amplituden Durchtrittsfrequenz Wcp Stabilität für: ω A < ω ϕ F R > 1 ϕ R > 0 Struktur stabil = allmargin(sys) Amplitudenrand: Phasenrand: Totzeitrand: Stabilität: GainMargin und GMFrequency PhaseMargin und PMFrequency DelayMargin und DMFrequency Stable, 1 bei Stabilität, 0 sonst. Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 39

40 Plot des Bode Diagramms 20 Bode Diagram Gm = db (at rad/sec), Pm = deg (at rad/sec) Phase (deg) Magnitude (db) Frequency (rad/sec) Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 40

41 Nyquist Diagramm Nyquist Diagramm: [re,im,w] = nyquist(sys) Real- und Imaginärteil der Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises von ω = 0 bis (Ortskurve): F 0 (jω) = Z 0(jω) N 0 (jω) e jωt t ; n 0 > m 0, T t 0 Stabilität: ω=+ ω=+0 φ soll = n r π + n a π2 n r, n a : Anzahl in- bzw. grenzstabiler Pole Kritischer Punkt: 1 + j 0 Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 41

42 Plot des Nyquist Diagramms Nyquist Diagram 3 2 Imaginary Axis Real Axis Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 42

43 LTI View GUI für LTI Systeme Import und Export von Systemen Start mit: >> ltiview Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 43

44 Beobachtbarkeit Beobachtbarkeitsmatrix: obsv(a,c) [ Ob = C T A T C T (A T ) 2 C T... (A T ) n 1 C T ] T Rang(Ob) = Anzahl der beobachtbaren Zustände Beobachtbarkeitsform: obsvf(a,b,c,[tol]) Transformation: A = TAT T, B = TB, C = CT T Transformiertes System: A = A no A 12 0 A o B = B no B o C = [ 0 C o ] Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 44

45 Steuerbarkeit Steuerbarkeitsmatrix: ctrb(a,b) Co = [ B AB A 2 B... A n 1 B ] Rang(Co) = Anzahl der steuerbaren Zustände Steuerbarkeitsform: ctrbf(a,b,c,[tol]) Transformation: A = TAT T, B = TB, C = CT T Transformiertes System: A = A nc 0 A 21 A c B = 0 B c C = [ C nc C c ] Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 45

46 Entwurf und Optimierung von Reglern Entwurf und Optimierung von Reglern Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 46

47 Übersicht Wurzelortskurvenverfahren Interaktiver Reglerentwurf mit dem SISO Design Tool Polplazierung in Verbindung mit Zustandsrückführung und Zustandsbeobachtung Linear quadratisch optimale Regelung Kalman Filter als Zustandsbeobachter für verrauschte Signale Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 47

48 Reglerentwurf mit Wurzelortskurvenverfahren Wurzelortskurve: Verhalten der Pole des geschlossenen Regelkreises in Abhängigkeit des Rückführverstärkungsfaktors k in der komplexen Null Polstellen Ebene Übertragungsfunktion offener Regelkreis G 0 = k G R G S G M = k nr n S n M d R d S d M Pole von G 0 = Wurzeln des Nennerpolynoms von G d 0 + k n 0 = d R d S d M + k n R n S n M = 0 Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 48

49 Befehle zum Wurzelortskurvenverfahren Wurzelortskurve: rlocus(sys[,k]) [r,k] = rlocus(sys) r = rlocus(sys,k) u G R k G S G M y Verstärkungsfaktoren interaktiv auslesen: [k,r] = rlocfind(sys) [k,r] = rlocfind(sys,p) Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 49

50 SISO Design Tool SISO Design Tool Reglerentwurf mit: Bode-Diagramm WOK Verfahren Start mit: sisotool (sys) Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 50

51 Zustandsregelung Vollständige Zustandsrückführung mit Rückführmatrix K Strecke: ẋ = A x + B u y = C x + D u w u B K D ẋ x C y A Regelgesetz (w = o): u = K x Geschlossener Regelkreis: ẋ = (A B K) x Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 51

52 Zustandsbeobachtung - Luenberger Beobachter Rückführung des Ausgangsfehlers über L Beobachter: ˆx = A ˆx + B u + L e ŷ = C ˆx + D u D u ẋ B x C y A L e Ausgangsfehler: B ˆx ˆx ŷ C e = y ŷ = C (x ˆx) A D Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 52

53 Polplazierung Polplazierung: Rückführmatrix K so berechnen, daß Pole des geschlossenen Regelkreis den Polen eines vorgegebenen Wunschpolynoms entsprechen. Zustandsregler Rückführvektor k/rückführmatrix K k = acker(a,b,p) K = place(a,b,p) [K,prec,message] = place(a,b,p) Zustandsbeobachter Rückführmatrix L L = acker(a,c,p). L = place(a,c,p). Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 53

54 Zustandsregler und Zustandsbeobachter erstellen Zustandsbeobachter erstellen est = estim(sys,l) est = estim(sys,l,sensors,known) Zustandsregler mit Zustandsbeobachter erstellen rsys = reg(sys,k,l) rsys = reg(sys,k,l,sensors,known,controls) u d (known) y (sensors) est (L) ˆx K u Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 54

55 Linear quadratisch optimale Regelung Minimierung eines quadratischen Gütekriteriums: (Q gewichtet Zustände, R gewichtet Eingänge) J (x, u) = t=0 ( x T Q x + u T R u + 2 x T ) N u dt Algebraische Matrix Riccati Gleichung lösen 0 = A T S + S A ( S B + N ) R 1 ( B T S + N T ) + Q Rückführmatrix: K = R 1 ( B T S + N T ) Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 55

56 LQ optimierte Regler Rückführmatrix K LQ optimierte Regler Rückführmatrix K [K,S,e] = lqr(a,b,q,r[,n]) [K,S,e] = dlqr(a,b,q,r[,n]) [Kd,S,e] = lqrd(a,b,q,r[,n],t s) [K,S,e] = lqry(sys,q,r[,n]) Befehl lqrd: Abtastzeit T s Befehl lqry: J (y, u) = t=0 ( y T Q y + u T R u + 2 y T ) N u dt Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 56

57 Probleme der numerischen Darstellung Probleme der numerischen Darstellung Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 57

58 Numerische Mathematik Algorithmen zur näherungsweisen Lösung mathematischer Probleme, z.b. aus Mathematik, Naturwissenschaft, Technik,... Bewertung der Lösungsverfahren nach verschiedenen Kriterien, z.b. Rechenaufwand und -geschwindigkeit Speicherplatzbedarf Fehleranalyse Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 58

59 Fehlerbegriffe in der numerischen Mathmatik Fehlerklassen: 1. Datenfehler/Eingangsfehler Konditionierung 2. Verfahrensfehler unvollständige Modellierung 3. Rundungsfehler numerische Instabilität Absoluter Fehler ε k und relativer Fehler δ k : ε k = x k x k δ k = x k x k x k Exakte Werte x k und Näherungswerte x k mit 1 k n Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 59

60 Kondition eines Problems Natürliche Instabilität Auswirkung von Datenfehlern auf Ergebnisse: Kondition Änderungen Eingangsdaten Ergebnisse gut geringe geringe schlecht geringe große Konditionszahlen: Matrix Inversion: cond(a[,p]) condest(a) Eigenwerte: condeig(a) Faustregeln: Verlorene Dezimalstellen log10(cond (A)) schlecht konditioniert cond(a) >> 1/sqrt(eps) Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 60

61 Numerische Instabilität Auswirkungen des Lösungsalgorithmus auf Ergebnis Stellen für Gleitkomma Zahlen begrenzt Rundung der Ergebnisse Auslöschung von Stellen bei Berechnung Fehlerfortpflanzung Multiplikation und Division: gutartig Addition und Subtraktion: gutartig, bei gleichem/entgegengesetztem Vorzeichen bößartig, bei entgegengesetztem/gleichem Vorzeichen und ungefähr gleich großen Zahlenwerten Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 61

62 Bewertung der LTI Modelle Zustandsdarstellung (SS) Grundsätzlich am Besten geeignet! Algorithmen oft für SS LTI Modelle implementiert Übertragungsfunktion (TF) Nur für Systeme niedriger Ordnung (< 10) Oft schlecht konditioniert Nullstellen Polstellen Darstellung (ZPK) Meist besser als TF LTI Modell Probleme: mehrfache Polstellen/Polstellen bei Null Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 62

63 Empfehlung zur Programmierung Modelle möglichst als SS LTI Modell beschreiben. Hierbei möglichst eine normierte bzw. austarierte Beschreibung bei verwenden. Konvertierungen zwischen Modelltypen vermeiden. Ergebnisse auf ihre Verläßlichkeit und Realitätsnähe überprüfen. Wichtigste Ingenieuraufgabe! Dipl.-Ing. U. Wohlfarth 63