RISIKO UND VERSICHERUNG

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1 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 1 RISIKO UND VERSICHERUNG WISSENSCHAFTSTHEORIE DER VERSICHERUNG DR. B. KOLLER VERSICHERUNGSWISSENSCHAFTLICHE ABTEILUNG VWA UNIVERSITÄT BASEL

2 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 2 LEISTUNGSÜBERPRÜFUNG Besuch der vorlesung 1 vortrag, minuten Aufgaben Prüfungstermin 20. Februar 2009

3 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 3 INHALT DER VORLESUNG RISIKO UND RISIKOBEWÄLTIGUNG 1. Risiko 2. Risikomanagement EXPLIKATION DER VERSICHERUNG 3. Klassischer versicherungsbegriff 4. Zins 5. Wahrscheinlichkeit 6. Statistik und information 7. Nutzen 8. Moderner versicherungsbegriff VERSICHERUNGSTECHNIK 9. Produktgestaltung 10. Prämienberechnung 11. Tarife und finanzierung 12. Risiko und rendite WARUM? WAS? WIE?

4 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 4 LITERATUR Erb Heinz Grundzüge des versicherungswesens Verlag Schweizer. Kaufmännischer Verb., 1986 Gruss Willi Versicherungswirtschaft Verlag Schweizer. Kaufmännischer Verb., 1991 Riege Jürgen Das versicherungsprodukt Zeitschrift f. d. gesamte versicherungswirtschaft 22.3, s.403 Bowers, Gerber, Hickman, Jones, Nesbitt Actuarial mathematics Society of Actuaries 1986 Helten Elmar Die erfassung und messung des risikos Gabler Verlag 1994 Koller Bruno Folien, begleitartikel, übungen Download:

5 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S R I S I K O Themen - Risikobegriff - Risikowahrnehmung - Sicherheitsbedürfnis - Objektives und subjektives risiko Literatur Athearn J.L. & Pritchett S.T. & Schmit J.T. Risk and insurance West 1998 Morgan M. G. Risk analysis and management Scientific American, July 1993

6 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 6 RISIKO-BEGRIFF Klassische definition von Mahr 1951 Dem begriff der gefahr als einer nur existentiell erhellbaren gegebenheit allen seins schlechthin entspricht wirtschaftlich der engere begriff des risikos: die instabile ordnung des seins bringt in die wirtschaftsführung unsicherheiten hinein, die, wenn sie sich verwirklichen, eine abträgliche diskrepanz zwischen plan-daten und faktischen daten aufreissen. Rechtliche definition Abstrakte möglichkeit des eintritts eines schädigenden ereignisses. Ökonomische definition von Haller 1975 Möglichkeit, dass sich positive erwartungen nicht erfüllen. Versicherungsspezifische definition gemäss Dictionary of insurance terms 1987 Möglichkeit eines finanziellen verlustes.

7 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 7 RISIKOWAHRNEHMUNG Gefühlsmässig Sichtbarkeit bekanntes risikoausmass <=> unbek. risikoausmass exponierung sichtbar <=> exponierung unsichtbar bereits bekannt <=> neu unmittelbare wirkung <=> aufgeschobene wirkung Kontrollierbarkeit nicht furchterregend <=> furchterregend nicht global <=> global keine tödliche wirkung <=> tödliche wirkung tendenziell abnehmend <=> tendenziell zunehmend kurzfristig <=> langfristig reduzierbar <=> nicht reduzierbar freiwillig eingegangen <=> unfreiwillig eingegangen Verstandesmässig Häufigkeit pro zeitperiode sehr selten/häufig/ständig Regelmässigkeit periodisch/unregelmässig/stark schwankend Grösse des schadens maximum/häufigster/langjähriger durchschnitt

8 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 8

9 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 9 BEDÜRFNISHIERARCHIE NACH MASLOW Motivation Grund für das verhalten einer person. Grundbedürfnisse nach maslow physiologische bedürfnisse existenz sicherheitsbedürfnisse schutz soziale bedürfnisse kontakt geltungsbedürfnisse ego bedürfnis nach selbstverwirklichung individualität bedürfnis nach transzendenz sinn des lebens Hierarchische stufen Die bedürfnisse des menschen sind hierarchisch gegliedert. Erst wenn eine bedürfnis-stufe gesättigt ist, melden sich ansprüche der nächsten stufe. Motivierend für die entscheidungen des menschen sind hauptsächlich die bedürfnisse der ersten ungesättigten stufe.

10 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 10 OBJEKTIVES UND SUBJEKTIVES RISIKO Objektives risiko (physical hazard) Gefahren, die hinsichtlich der wahrscheinlichkeit des eintreffens des befürchteten ereignisses und der höhe des schadens vom versicherten nicht beeinflusst werden können. - alter, geschlecht einer person - bauart von gebäuden - technische merkmale von kraftfahrzeugen - rechtslage Subjektives risiko (intangible hazard) Gefahren, die sich aus den charaktereigenschaften und dem verhalten des versicherten ergeben. - charakter - autofahrverhalten - ehrlichkeit Moralisches risiko (moral hazard) Verminderte sorgsamkeit bei versicherten sachen. Im extremfall versicherungsbetrug d.h. vorsätzliche täuschung mit bereicherungsabsicht.

11 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 11 AUFGABEN 01 A) Vortrag: sicherheit durch versicherung? Artikel von Mathias Haller B) Vortrag: Riskanalysis and management Artikel von Granger Morgan C) Zufall Schreiben sie in wenigen sätzen auf, was sie unter zufall verstehen.

12 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S R I S I K O M A N A G E M E N T Themen - Vom verkäufermarkt zum käufermarkt - Gefährdung des menschen - Risikopolitik/risikomanagement - Adäquate versicherungsdeckung Literatur Mathias Haller Sicherheit durch versicherung? 1975 Matthias Haller Risiko-management und versicherung In: Versicherungsenzyklopädie, Band 1 Matthias Haller Risiko- und versicherungsprobleme des privaten haushalts - aus der sicht der privatversicherung Zeitschrift für die gesamte Versicherungswissenschaft 71, 1982 Widmer Ulrich Risikomanagement in der praxis Gerling Akademie Verlag, Risiko - Störfall - Kommunikation 2, 1995 Athearn J.L. & Pritchett S.T. & Schmit J.T. Risk and insurance West 1998

13 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 13 URSPRUNG DER VERSICHERUNG Gefahrengemeinschaft Personengruppe von gleichartiger gefahr bedroht gefahr bedroht jeden nur wenige werden von schaden betroffen die wenigen schäden sind meist so gross, dass sie nicht im rahmen der selbstvorsorge gedeckt werden können Grundgedanke der versicherung Gleichmässige verteilung des gesamtschadenaufwandes auf die gefahrengemeinschaft. Beispiele

14 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 14 ENTWICKLUNGSSTATIONEN Professionelle versicherer Genossenschaftsgedanke -> Kapitalbereitstellung Bedürfnisse und bedarf Was sind die bedürfnisse des menschen? Wie kann der bedarf am besten gedeckt werden? Marktsättigung Wachsende konkurrenz Verkäufermarkt -> käufermarkt -> marketing - Verkäufermarkt (sellers market) Bezeichnung für marktsituation mit steigenden preisen. Ursache eines verkäufermarktes ist ein angebotsdefizit oder ein nachfrageüberschuss. - Käufermarkt (buyers market) Bezeichnung für marktsituation mit sinkenden preisen. Ursache eines käufermarktes ist ein angebotsüberschuss oder ein nachfragedefizit. - Marketing Ausrichtung der produkte und dienstleistungen einer gesellschaft an den wünschen der kunden.

15 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 15 GEFÄHRDUNG DES MENSCHEN Ganzheitliche sicht Viele störungen der unterschiedlichsten art gefährden das sicherheitsbedürfnis der menschen. Haller: hauptaufgabe des versicherers ist nicht die geldleistung sondern die sicherheitsleistung (s. 70) Alle störungen, nicht nur versicherbare, managen. Kausalkette gefährdung störung/gefahr -> system (person, sache, vermögen) -> wirkung

16 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 16 GEFÄHRDUNG FAMILIE personen SYSTEM GEFAHR WIRKUNG person mit haupteinkommen ehegatte (erwerbstätig) invalidität invalidität verdienstausfall unterhalt besondere auslagen verdienstausfall unterhalt besondere auslagen ehegatte (nicht erwerbstätig) person mit haupteinkommen ehegatte (erwerbstätig) ehegatte (nicht erwerbstätig) invalidität tod tod tod unterhalt besondere auslagen verdienstausfall unterhalt besondere auslagen verdienstausfall unterhalt besondere auslagen unterhalt besondere auslagen kind invalidität besondere auslagen kind tod besondere auslagen alle krankheit heilungskosten sachen haus beschädigung, zerstörung, abhandenkommen wertverlust besondere auslagen fahrzeug beschädigung, zerstörung, abhandenkommen wertverlust besondere auslagen andere sachwerte beschädigung, zerstörung, abhandenkommen wertverlust besondere auslagen vermögen abhängig von der tätigkeit juristisches verfahren vermögenseinbusse, besondere auslagen abhängig vom eigentum juristisches verfahren vermögenseinbusse, besondere auslagen

17 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 17 RISIKOMANAGEMENT/RISIKOPOLITIK Risiko Vermeiden Vermindern - hygiene - kontrolluntersuchungen - sicherheitsvorrichtungen - vorsicht - sorgfalt - verkehrserziehung - unfallverhütung - diversifizieren... Auf dritte überwälzen - versichern Selbst tragen - bildung von rücklagen

18 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 18 RISIKOMANAGEMENTPROZESS Risikomanager Identifiziert risiken basierend auf bestimmten sicherheitszielen und optimiert die schadenvorsorge. Risikomanagement Sicherheitsziele vereinbaren Gefährdung identifizieren Gefährdung quantifizieren Wahl der methode gemäss kosten/nutzen Implementierung Ständige überwachung

19 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 19 ADÄQUATE VERSICHERUNGSDECKUNG Leistung des versicherers (haller 1975) Sicherheitsleistung nicht geldleistung Die versicherung befreit den versicherten von der lähmenden sorge, dass die versicherte gefahr ständig seine existenz bedroht, solange er noch keine genügenden rücklagen ansammeln konnte. Wirkungsprinzip Versicherungsdeckung nach wirkung zusammenstellen und nicht nach störung (-> wirkungsversicherung). Vollkreisprinzip Zu einer gewissen wirkung möglichst alle störungen abdecken. Katastrophenprinzip Vordringlich jene risiken mit grosser wirkung versichern. Ursprungsprinzip Die massnahmen der risikoverminderung müssen bei den ursachen der störungen ansetzen. Interessenprinzip Keine versicherungsdeckung ohne selbstbehalt. Kosten/nutzenanalyse Der genaue deckungsumfang der versicherung ergibt sich aus einer analyse der kosten und des nutzens der verschiedenen deckungsvarianten.

20 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 20 AUFGABEN 02 A) Vortrag: Klassischer versicherungsbegriff Lesen Sie den artikel von Alfred Manes B) Vortrag: Risikomanagement in der praxis Lesen Sie den artikel von U. Widmer C) Beantworten sie folgende fragen - Wenn während der versicherungsdauer kein schaden aufgetreten ist, wäre es dann besser gewesen, man hätte die versicherung nicht abgeschlossen? - Ist die ALV eine versicherung oder eine steuer? - Kann man atomkraftwerke gegen haftplichtschäden versichern? - Kann man die stimme von Madonna versichern? - Wieviele risiken (policen) sollte eine versicherungsgesellschaft mindestens haben?

21 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S K L A S S I S C H E E X P L I K A T I O N D E R V E R S I C H E R U N G Themen - Definition und explikation - Klassische explikation von Manes - Versicherung und steuer - Zufall - Vorsehbarkeit - Andere explikationen - Grenzen der versicherbarkeit? Literatur Alfred Manes, Teubner, Berlin 1930 Versicherungswesen Anton Zeilinger Informatik mit einzelnen quanten. Neue wege des rechnens und der datenübertragung NZZ, 13. Dezember 2000, Ernst Nagel The structure of science Hackett, Indianapolis 1979, seiten Werner Leinfellner Einführung in die erkenntnis- und wissenschaftstheorie BI Hochschultaschenbücher, Mannheim 1980

22 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 22 WAS IST VERSICHERUNG? Umgangssprache 'Versicherung' verschwommener begriff Wird unterschiedlich verstanden Wissenschaft 'Versicherung' exakter begriff Wird einheitlich verstanden Was ist wissenschaft?

23 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 23 DEFINITION UND EXPLIKATION Definition Bedeutungsgleicher begriff für längeren ausdruck. Definiendum: jungeselle Definiens: unverheirateter mann Operationale definition kochrezept Aufzählende definition baupläne Explikation Präzisierung eines unklaren begriffes, durch einen adäquaten, exakten begriff. 4 adäquatheitsforderungen: - ähnlichkeit - exaktheit - fruchtbarkeit - einfachheit Beispiele Explikandum: Explikat: warm/kalt temperaturbegriff der physik

24 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 24 KLASSISCHE EXPLIKATION ALFRED MANES 1930 Versicherung ist - gegenseitige - deckung - zufälligen, - schätzbaren - geld- - bedarfs - zahlreicher, - gleichartig - bedrohter - wirtschaften. Bedarfsdeckungstheorie Die versicherung deckt gegebenenfalls einen geldbedarf. Die versicherten bilden eine gefahrengemeinschaft, bei der alle in gleicher weise bedroht sind. Jedermann bezahlt beiträge - jedermann hat anrecht auf eine leistung. Die gemeinschaft sollte so gross sein, dass der ausgleich im kollektiv spielt (gesetz der grossen zahl).

25 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 25 ALTERNATIVE EXPLIKATIONEN Rechtlicher ansatz Versicherung als rechtlicher vertrag Planungssicherungstheorie Versicherung gleicht planabweichungen aus. Informationsproduktionstheorie Versicherung erhöht die information über den zukünftigen verlauf der geldmittel. Transfer/transformationstheorie Versicherung transformiert das risiko des versicherten durch transfer. Siehe kapitel 8

26 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 26 ZUFÄLLIGES EREIGNIS Zufall Ein zufälliges ereignis liegt vor, wenn bezüglich - eintritt - zeitpunkt und - ausmass eines ereignisses nur unvollständige informationen vorliegen. Indeterministisches system quantenmechanik Chaotisches system schmetterlingsschlag, 3-körperproblem, roulette Komplexes system wirtschaft, menschliches verhalten Nicht inspizierbares system - nicht zugänglich - geheimhaltung - moralisch nicht vertretbar - zu hohe kosten Informationsasymmetrie Der informationsstand über das risiko ist beim versicherer und versicherten unterschiedlich.

27 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 27 QUANTITATIVE MODELLE Deterministische modelle Einfaches system Starke korrelation Bsp. mechanik Stochastische modelle Komplexes system Schwache korrelation Bsp. thermodynamik Chaotische prozesse System, dessen zeitliche entwicklung sehr stark von den anfangsbedingungen abhängt. Keine oder nur beschränkte vorhersagen Bsp. roulette, wetter, wirtschaft

28 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 28 VERSICHERUNG UND STEUER Handel käufer <-> verkäufer entgelt wert der ware deterministisch deterministisch determin. äquivalenz => freiwilligkeit Versicherung versicherungsnehmer <-> versicherungsträger prämie erwartungswert leistung deterministisch stochastisch stochastische äquivalenz => freiwilligkeit Steuer steuerzahler <-> staat steuer staatliche leistung deterministisch stochastisch keine äquivalenz => keine freiwilligkeit

29 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 29 AUFGABEN 03 A) Vortrag: Renditeberechnung Präsentieren sie den artikel von R. Eller B) Definition, explikation Geben sie jeweils ein beispiel an für: operationale definition aufzählende definition explikation C) Wissenschaft Was verstehen sie unter wissenschaft? D) Cashflow Jemand bietet ihnen an, nach ablauf eines jahres 100 franken zu zahlen und nach ablauf von 2 jahren nochmals 100 franken. Wieviel sind sie bereit heute dafür zu bezahlen?

30 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S Z I N S Themen - Exkurs: axiomensysteme und deduktive methode - Zeitlich verteilte, sichere cashflows - Bewertung von cashflows - Der bewertungszinsfuss - Zinsrechnung - Internal rate of return Literatur Tarski A. Einführung in die mathematische logik Vandenhoeck & Ruprecht 1971 Bühlmann N. & Berliner B. Einführung in die Finanzmathematik UTB 1992 Sharpe W.F. & Alexander G.J. Investments Prentice Hall 1990 Norberg R. Payment measures, interest, and discounting Scandinavian Actuarial J Eller Roland Die renditeberechnung von festverzinslichen wertpapieren Versicherungswirtschaft 1990, heft 10

31 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 31 SEMIOTIK - SPRACHANALYSE Semiotik Die theorie über eine objektsprache wird semiotik genannt. Die semiotik wird in der metasprache formuliert. Metasprache: sprache, in der über eine sprache gesprochen wird. Objektsprache: sprache, über die in der metasprache gesprochen wird. Sprachphilosophie Philosophische position, die davon ausgeht, dass erkenntnisse in irgendeiner sprache formulierbar sein müssen. Der philosoph analysiert die syntaktischen, semantischen und pragmatischen dimensionen von aussagen. In der sprache (natürliche sprachen, logik/mathematik) wird ein modell der umwelt formuliert. Gewisse terme des modells werden mit objekten und eigenschaften der umwelt verbunden. Ein modell ist wahr, wenn es mit der umwelt übereinstimmt (korrespondenztheorie der wahrheit).

32 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 32 SYNTAX - SEMANTIK - PRAGMATIK Syntax Gegenstand: bildung grammatikalisch richtiger aussagen. Logik: nichtinterpretierter kalkül Ziel: korrekt gebildete aussagen Beispiel: äquivalenzrelation, R(x,x) (reflexiv), R(x,y) => R(y,x) (symmetrisch), R(x,y), R(y,z) => R(x,z) (transitiv) Semantik Gegenstand: bedeutung der aussagen, realitätsbezug Logik: interpretierter kalkül, modell Ziel: feststellen ob wahre oder falsche aussage Beispiel: gleichheitsrelation "=" auf den zahlen Pragmatische ebene Gegenstand: anwendungsmöglichkeiten der aussagen Logik: angewandte mathematik Ziel: feststellen des nutzens von aussagen Beispiel: klassenbildung Alle aussagen einer jeden sprache können nach drei gesichtspunkten analysiert werden: gemäss der syntaktischen, gemäss der semantischen und gemäss der pragmatischen ebene. Zuerst muss die syntax (bau und gliederung des satzes) geklärt werden. Nur wenn die aussage den grammatikalischen regeln der sprache genügt, kann die semantische ebene analysiert werde. Und erst wenn die bedeutung der aussage bekannt ist, wenn angegeben werden kann unter welchen bedingungen eine aussage wahr oder falsch ist, kann die pragmatische seite erforscht werden.

33 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 33 DEDUKTIVE METHODE Alfred Tarski: Mathematik ist die lehre von den deduktiven theorien, d.h. theorien, die nach der deduktiven methode abgeleitet werden. Deduktive methode - undefinierte begriffe => definierte begriffe - axiome => beweis/deduktion gemäss gesetzen der logik => theoreme Axiom Ein unbewiesener, als wahr angenommener grundsatz, der als ausgangspunkt für deduktive systeme dient. Theorem/satz Aussage, die durch logisches schliessen (deduktion) aus den axiomen gewonnen wird.

34 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 34 CASHFLOW Cashflow {b i } n zahlungen der höhe b i zur zeit t i i=1 n b i ganze positive zahl Zahlungsfunktion (paymentfunction) B(t) = Σ b i für t i t Nullcashflow B 0 (t) = 0 für alle t Einheitscashflow für zeitpunkt t i 0 t < t i E(t;t i ) = 1 t t i Zahlungsfunktion B(t) = Σ b i E(t;t i ) für i = 1,...,n Barwert V(T,B(t)) Wert von B(t) zum zeitpunkt T Welcher einmalige und sichere wert V ist im zeitpunkt T gleich viel wert wie der cashflow B(t)?

35 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 35 AXIOME DER CASHFLOW-BEWERTUNG Axiomensystem von Norberg (I) Nullpunkt V(T,B 0 (t)) = 0 (II) Dominanz Für alle t: B 1 (t) B 2 (t) => V(T,B 1 (t)) V(T,B 2 (t)) (III) Additivität V(T,B 1 (t)+b 2 (t)) = V(T,B 1 (t)) + V(T,B 2 (t)) (IV) Äquivalente einmalzahlung V(T 1,B(t)) = V(T 1, V(T 2,B(t)) E(t,T 2 ) )

36 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 36 BARWERT Eigenschaften a) V(T,B(t)) 0 b) V(T,B(t)) = Σ b i V(T,E(t,t i )) i=1,...,n c) V(T 1,E(t,T 2 )) = V(T 1,E(t,T 3 )) V(T 3,E(t,T 2 )) d) V(T,E(t,T)) = 1 Spezialfall unabhängigkeit von zeitpunkt, abhängigkeit von dauer V(T 1,E(t,T 2 )) = v(t 2 -T 1 ) => v(t 2 -T 1 ) = v(t 3 -T 1 ) v(t 2 -T 3 ) v( t 1 + t 2 ) = v( t 1 ) v( t 2 ) m perioden der dauer 1: v(m 1) = v(1) m = v m V(T,B(t)) = Σ b i v ti-t

37 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 37 ZINSRECHNUNG Jahreszinssatz, jahreszinsfuss i = r - 1 = 1/v - 1 Aufzinsungsfaktor r = (1+i) = 1/v = v -1 Abzinsungsfaktor/diskontierungsfaktor v = 1/(1+i) = 1/r = r -1 Diskont d = i v = i/(1+i) Unterjährige verzinsung n zinsperioden pro jahr Nomineller zins - effektiver zins nomineller zins pro periode: i n effektiver zins pro jahr: (1+i n /n) n -1 Zinsintensität - effektiver zins zinsintensität: lim i n = δ n -> effektiver zins pro jahr: e δ -1 Barwert Die einmalige zahlung V(T,B(t)) ist äquivalent zum cashflow {b i }, wenn gilt: V(T,B(t)) = (1+i) T-t1 b t1 + (1+i) T-t2 b t (1+i) T-tn b tn

38 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 38 BEWERTUNGSZINSFUSS Zeitpräferenz 0 < v < 1 <=> i > 0 Je früher die zahlung desto wertvoller. v = 1 <=> i = 0 Zahlungen sind immer gleich wertvoll, ob früher oder später. v > 1 <=> -1 < i < 0 Je später die zahlung desto wertvoller. Höhe des bewertungszinsfusses - Rendite einer sicheren kapitalanlage - Subjektiver zu/abschlag - Inflation/deflation beim cashflow/zahlungen einrechnen - Keine risikokosten!!!

39 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 39 BERECHNUNG EFFEKTIVER ZINS Näherungsformel V 0 V 1 J i zinstragendes vermögen anfang jahr zinstragendes vermögen ende jahr zinseinnahmen während des jahres effektiver zins i J / (½ (V 0 + V 1 - J)) Exakte berechnung Interner zinsfuss mit V 0 negativ

40 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 40 INTERNER ZINSFUSS Investition Cashflow mit positiven und negativen zahlungen. Meist: 1 negative zahlung zu beginn. Internal rate of return Derjenige zinsfuss, bei dem der barwert einer investition null ist. Duale probleme der investitionsrechnung Renditemethode Berechnung des barwerts einer investition auf grund eines bewertungszinsfusses. Anschaffungswertmethode Berechnung des bewertungszinsfusses auf grund des anschaffungswertes, d.h. der zinsfuss wird so berechnet, dass der barwert gleich dem anschaffungswert wird. Existenz des internen zinsfusses Eindeutigkeit des internen zinsfusses Berechnung des internen zinsfusses

41 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 41 INTERNER ZINSFUSS: BEISPIEL

42 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 42 NULLSTELLEN VON POLYNOMEN Vorzeichenregel von descartes x n + a n-1 x n a 0 = 0 a n-1,...,a 0 reell Ist n ungerade, so besitzt die gleichung mindestens 1 reelle nullstelle. Ist n gerade und gilt a 0 <0, dann besitzt die gleichung mindestens zwei reelle nullstellen mit unterschiedlichen vorzeichen. Die anzahl der (in ihrer vielfachheit) gezählten positiven nullstellen ist gleich der anzahl der vorzeichenwechsel in der folge 1, a n-1,...,a 0 oder um eine gerade zahl kleiner. Beispiel: x 4 +2x 3 -x 2 +5x-1 = 0 -> 3 oder 1 pos. nullstelle.

43 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 43 UNTERJÄHRIGE ZINSZAHLUNG

44 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 44 BARWERT IN ABHÄNGIGKEIT DER VERZINSUNGSDAUER BARWERT FÜR KAPITAL ZAHLBAR IN n JAHREN Kapital 1000 zins i -5% 0% 5% 100% n v barwert v barwert v barwert v barwert BARWERT FÜR KAPITAL ZAHLBAR IN n JAHREN % 0% 5% 100% JAHRE

45 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 45 ZINSABHÄNGIGKEIT DES BARWERTES

46 DIVIDENDENZAHLUNG UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 46

47 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 47 VERDOPPELUNGSDAUER

48 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 48 AUFGABEN 04 A) Vortrag: The valuation of riskless securities Man präsentiere das kapital 4 aus dem buch 'investments'. B) Vortrag: Interner zins Gegen eine investition von 1000 zum zeitpunt t=0 erhält man folgenden cashflow: B(1)=60, B(2)=50, B(3)=20, B(4)=530, B(5)=50, B(6)=510. Wieviele reelle lösungen hat dieses problem mindestens? Wieviele davon sind positiv? Skizzieren Sie den graphen des polynoms im intervall [-2,2]. Man berechne den internen zinsfuss mittels näherungsverfahrens. C) Zins-axiom IV Man überlege sich, was axiom IV besagt und wieso das axiom plausibel ist. D) Zeitpunkt des barwerts Cashflow B(t) mit B(n)=100 für n=0,1,2,3. In welchem zeitpunkt T ist bei einem zins von 5% der barwert V(T,B(t))=400. E) Obligation Eine obligation laufe über 10 jahre. Der nominelle zins betrage 5%. Am markt ist für sichere anlagen ein zins von 3% zu erhalten. Wie hoch ist momentan der kurs der obligation in prozent des nominalwertes? F) Effektiver zins Man überlege sich, unter welchen voraussetzungen die näherungsformel (4.j) schlechte/gute resultate liefert.

49 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S W A H R S C H E I N L I C H K E I T Themen - Explikation von wahrscheinlichkeiten - Messung - Zustände der welt - Die relation "wahrscheinlicher als" - Axiome der subjektiven wahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Gesetz der grossen zahlen - Risikoausgleich im kollektiv Literatur Savage L.J. The foundations of statistics Dover Publications 1972 Peter C. Fishburn Mathematics of decision theory Mouton 1972 Peter C. Fishburn Utility theory for decision making Wiley 1970 F.v. Kutschera Wissenschaftstheorie I UTB 1972 Rényi A. Wahrscheinlichkeitsrechnung DVW 1962 Feller W. An introduction to probability theory and its applications John Wiley, 1968 Ulrich Krengel Einführung in die wahrscheinlichkeitstheorie und statistik Vieweg 1998 Kreyszig E. Statistische methoden und ihre anwendungen Vandenhoeck & Ruprecht 1977

50 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 50 EXPLIKATION WAHRSCHEINLICHKEIT Syntaktische ebene Wahrscheinlichkeitskalkül: axiome von Kolmogoroff Semantische ebene - subjektiver (rationaler) wahrscheinlichkeitsbegriff - objektiver wahrscheinlichkeitsbegriff

51 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 51 MESSUNG Struktur Eine STRUKTUR S ist ein tripel S=<M,<R i >,<f j >> mit der menge M, den relationen R i (i=1,2,3..) und den funktionen f j (j=1,2,3..) über M. S ist eine NUMERISCHE STRUKTUR, wenn M die menge der reellen zahlen ist. Sind die relationen R i und die funktionen f j m i -stellig bzw. n j -stellig, so ist der TYPUS der struktur gleich <<m i >,<n j >>. Homomorphismus Es seien S und S' zwei strukturen vom gleichen typus mit den mengen M, M', den relationen R i, R i ' und den funktionen f j, f j '. Die abbildung v von M in M' heisst HOMOMORHP, wenn gilt: R i (a 1,...,a ni ) <=> R i '(v(a 1 ),...,v(a ni )) v(f j (a 1,...,a nj )) <=> f j '(v(a 1 ),...,v(a nj )) Messung Unter der MESSUNG einer struktur S versteht man die homomorhpe abbildung v von S in eine numerische struktur S'. v heisst die MESSFUNKTION. Eine messung ist eine zuweisung von zahlen zu den zu messenden objekte, so dass gewisse operationen auf den objekten im bereich der zahlen eine entsprechung haben.

52 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 52 ZUSTÄNDE DER WELT Begründer L.J. Savage: The foundations of statistics, 1954 Die zustände der welt Die welt Z habe n mögliche zustände Z i Z = {Z 1,Z 2,...,Z n } Ein zustand ist eine beschreibung der welt, so dass genau 1 zustand gilt, d.h. je zwei zustände schliessen sich gegenseitig aus und 1 zustand ist immer realisiert. Ereignis Eine teilmenge von Z ist ein ereignis z. Verknüpfen von ereignissen ODER-VERKNÜPFUNG: Die vereinigung z 1 z 2 zweier ereignisse ist wiederum ein ereignis. UND-VERKNÜPFUNG: Der schnitt z 1 z 2 zweier ereignisse ist wiederum ein ereignis. KOMPLEMENTÄR-EREIGNIS: Das komplement z c eines ereignisses ist wiederum ein ereignis. UNMÖGLICHES EREIGNIS: Die leere menge ist ein ereignis. SICHERES EREIGNIS: Die grundmenge Z ist ein ereignis.

53 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 53 RELATION "WAHRSCHEINLICHER ALS" DIE RELATION Zweistellige relation auf der menge der ereignisse Schreibweise: z 1 z 2 Das ereignis z 2 ist wahrscheinlicher als z 1. Axiome der subjektiven wahrscheinlichkeit (I) z: nicht z (II) (III) (IV) (V) (VI) Z asymmetrie z 1,z 2 : z 1 z 2 => nicht z 2 z 1 negative transitivität z 1,z 2,z 3 : z 1 z 3 => (z 1 z 2 oder z 2 z 3 ) monotonie z 1 z 3 = z 2 z 3 = => (z 1 z 2 <=> z 1 z 3 z 2 z 3 ) endliche zerlegung z 1,z 2 mit z 1 z 2 existiert eine endliche zerlegung {y 1,...,y m } von Z mit y 1... y m = Z, y i y k =, i k, für die gilt: z 1 y i z 2 für i=1,...,m.

54 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 54 EXISTENZ DER WAHRSCHEINLICHKEIT Existenz und eindeutigkeit Es gibt eine eindeutige funktion W mit (I) z 1 z 2 <=> W(z 1 ) < W(z 2 ) (II) (z 1 z 2 ) = => W(z 1 z 2 ) = W(z 1 ) + W(z 2 ) (III) W(z i ) 0 (IV) W(Z) = 1 Beweis: Fishburn 1970 Axiomensystem von kolmogoroff (II), (III), (IV)

55 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 55 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Partition/zerlegung von Z z 1... z m = Z, z i z k = für i k Wahrscheinlichkeitsverteilung Partition von Z mit W(Z) = 1: W(z 1 ) W(z m ) = 1 W(z i z k ) = 0 für i k Definition der bedingten wahrscheinlichkeit W(z i z 0 ) = W(z i z 0 ) / W(z 0 ), W(z 0 ) > 0 Multiplikationssatz W(z i z 0 ) = W(z i ) W(z 0 z i ) = W(z 0 ) W(z i z 0 ) Additionssatz W(z i z 0 ) = W(z i ) + W(z 0 ) - W(z i z 0 ) Satz von der totalen wahrscheinlichkeit W(z 0 ) = W(z 0 z 1 ) W(z 0 z n ) = W(z 0 z 1 ) W(z 1 ) W(z 0 z n ) W(z n ) Satz von bayes W(z i z 0 ) = W(z 0 z i ) W(z i ) / (W(z 0 z 1 ) W(z 1 ) W(z 0 z n ) W(z n ))

56 UNI BASEL VwA 2008 KOLLER: RISIKO UND VERSICHERUNG S. 56 UNABHÄNGIGE EREIGNISSE Definition unabhängiger ereignisse z i,z 0 sind unabhängig, wenn gilt: W(z i z 0 ) = W(z i ) Additionssatz für unabhängige ereignisse W(z i z 0 ) = W(z i ) + W(z 0 ) - W(z i ) W(z 0 ) Multiplikationssatz für unabhängige ereignisse W(z i z 0 ) = W(z i ) W(z 0 )

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