Ein einfaches neu-keynesianisches Gleichgewichtsmodell

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1 Zusammenfassung Ein einfaches neu-keynesianisches Modell Geldheorie und Geldpoliik Winersemeser, 200/ Lieraurhinweise: Gali, Jordi, "Moneary Policy, Inflaion and he Business Cycle", 2008, Princeon Universiy Press. Ein einfaches neu-keynesianisches Gleichgewichsmodell Das klassische Modell is vor allem geeigne eine mehodische Einsich in mikrofundiere Makromodelle zu gewinnen. Es kann einen Großeil makroökonomischer Schwankungen abbilden implizier aber gleichzeiig Neuraliä der Geldpoliik in der kurzen und langen Fris. Dies is empirisch nich zu halen. Es beseh ein weireichender Konses, daß zumindes kurzfrisig ein Teil der ökonomischen Schwankungen durch Änderungen in der Geldpoliik hervorgerufen/beeinfluss wird. Firmen ihre Preise nur unregelmäßig anpassen. Die Annahmen perfeken Webewerbs und flexibler Preise sind empirisch nich zu halen sind. Darauf bau das, heue zum Sandard gewordene, neu-keynesianische Modell auf. Haushale Wir nehmen an Haushale maximieren ihren ineremporalen Nuzen max C,N,M,B E 0 β U =0 C, N, M und leben unendlich lang, sie diskonieren zukünfigen Nuzen mi dem Diskonfakor β, konsumieren das Konsumbündel C über Varieäen von Konsumgüern C i C = C i η η η η di und bieen Arbei N an. Zusäzlich ziehen Haushale Nuzen aus realer Geldhalung. Wir nehmen an, dass U = α ln C + α ln M/P ϕn Ferner können die Hauhale zero-bonds handeln. Jeder Schuldiel B zahl eine Geldeinhei in + und kose + r in. Die ineremporale Budgeresrikion der Haushale is durch i C i di + + r B + M W N + B + M + T + Γ gegeben, mi einem saalichen lump-sum Transfer T, nominaler Geldhalung M, Unernehmensgewinnen Γ, dem Nominallohn W und den differenzieren Güerpreisen i. Um Ponzi-Schemes auszuschließen gele die langfrisige Solvenzbedingung Transversaliäsbedingung lim E B T + M T 0 T Wir definieren den Preisindex := i η η di.

2 Dami läss sich die Budgeresrikion schreiben als C + + r B + M W N + B + M + T + Γ wenn man opimales Nachfrageverhalen für die einzelnen Güer unersell Beweis als Übung Das Opimierungsproblem des Haushals L C, N, M, B, λ = E 0 β U =0 η P i C i = C C, N, M Die inraemporale Bedingung erser Ordnung liefer +λ W N + B + M + T + Γ C + r B M, ϕ α C = W Die ineremporale Opimaliäsbedingung liefer die Konsum-Euler Gleichung wie gehab { } + r C = βe C + Für die opimale Geldhalung gil weierhin α C M / = i c i = m p + cons. Das neu-keynesianische Modell unerscheide sich vom neu-klassischen Modell nich wesenlich in der Modellierung des Haushalssekors. Demensprechend unerscheide sich auch das Arbeisangebos-, Geldund Konsumnachfrageverhalen der Haushale zwischen den beiden Modellen nich. Firmen Den zenralen Unerschied zum klassischen Modell bilden die Firmen. Zwar produzier der produzierende Sekor weier mi der Technologie Y = A N γ wobei A die Toale Fakorprodukiviä und N die Zahl der Beschäfigen is. Im Unerschied zum klassischen Modell werden die Endproduke durch den Handel diversifizier. Der Einzelhandel kauf ein Produk i zum Preis V vom Produzenen und biee es den Konsumenen zum Preis i an. Der Handelssekor selbs seh im monopolisische Webewerb. Die Handelsfirmen sind Preissezer, sie maximieren ihren Gewinn Unernehmenswer i Y i V Y i über die Wahl von i. Der Einzelhandel kann jedoch nich in jeder Periode die Preise anpassen sondern unerliegen Calvo Preisanpassungskosen. Ha eine Handelsfirma zulez in Periode den Preis neu gesez, so erziel sie in Periode + s den Gewinn i Y +s [ i] V +s Y +s [ i]. Um nun den Barwer dieses Gewinnes zu besimmen, müssen wir überlegen, wie Haushale Unernehmenseigner zukünfiges Einkommen aus den Handelsunernehmen beweren, wie sich die Preise des Vorproduks V +s enwickeln, sowie, wie wahrscheinlich es is, dass der Preis i besehen bleib. 2

3 Wir nehmen an, dass mi Wahrscheinlichkei θ der Preis der Vorperiode behalen werden muss. Dies implizier, dass die Wahrscheinlichkei s Perioden lang nich den Preis neu sezen zu können θ s beräg. Daneben wollen wir annehmen, dass die Haushale Einkommen in Periode + s relaiv zu Periode mi Q,+s beweren, wobei diese Bewerung prizipiell auf die Konsumsiuaion beding, welche die Haushale im Gleichgewich in + s realisieren. Uner diesen beiden Voraussezungen laue der Barwer des Einkommens aus dem Handelsunernehmen bis zur Neusezung des Preises BW i = θ s E Q,+s [ i Y +s i V +s Y +s i], η P i mi Y +s i = C +s. Durch die Wahl von i versuch das Handelsunernehmen diesen Barwer zu maximieren. Prinzipiell beschreib Q,+s, der sochasische Diskonfakor für s Perioden von Periode aus, zu welchem Preis ein Haushal berei is Konsum in Periode gegen Konsum in Periode + s zu auschen, wobei er auf die sochasische Enwicklung zwischen und + s kondiionier. Approximaiv gil aber, wenn Preise und Konsum nich schwanken Nullinflaions Seady-Sae Somi laue der Barwer ungefähr BW i +s Q,+s β s. θβ s E [ i Y +s i V +s Y +s i], η P i mi Y +s i = C +s. Maximieren über i liefer die Bedingung erser Ordnung θβ s E Y +s i η P η i P i C + η V η +s P i C = 0. +s +s +s +s und dami [ θβ s P i E Y +s i +s η η } {{ } Handelsspanne ] V +s +s = 0. +s } {{ } Grenzkosen Das Handelsunernehmen versuch die Abweichung vom gesezen Preis relaiv zum Preisniveau und den Grenzkosen im Miel möglichs nahe einer konsanen Handelsspanne zu halen, wobei erwaree Abweichungen von dieser Handelsspanne mi der Ausbringungsmenge gewiche werden und mi θβ diskonier. Der normale Diskonfakor β spiegel die Zeipräferenzen der Haushale wieder, Log-lineare Approximaion so erhäl man formulier Formulier man diese Bedingung erser Ordnung nun in Logarihmen neu, βθ s E {exp y i+s [exp p i p exp µ + mc +s + p +s p ]} = 0 wobei mc +s := log V+s +s, die logarihmischen realen Grenzkosen und µ := log η η > 0 die avisiere Handelsspanne sind. Wenn wir nun die reche Seie der obigen Gleichung als Funkion φ p i, p, p,..., mc, mc +,... 3

4 auffassen und um p i = p, p +s = p und mc +s = µ Taylor approximieren, so erhalen wir φ θ s β s E {exp y [p i p +s mc +s + µ]} { } = exp y θβ p i µ θ s β s E {p +s + mc +s } Diese Approximaion ensprich einer Näherung, der Funkion φ um den nich-sochasischen Nullinflaionsseadysae. Die Bedingung erser Ordnung implizier φ = 0. Also gil approximaiv für den in gesezen opimalen Preis p i p i = µ + θβ θ s β s E {mc +s + p +s }. } {{ } nominale Grenzkosen Im neu-keynesianischen Modell sezen die Firmen ihre Preise so, dass der Preis einem konsanen Aufschlag auf die erwareen nominalen Grenzkosen ensprich, wobei zukünfige Grenzkosen mi dem Diskonfakor β s und der Wahrscheinlichkei θ s, bis in die Periode s noch nich den Preis wieder angepaß zu haben, gewiche werden. Neu-keynesianische Phillipskurve Preise als Funkion der Grenzkosen Subrahier man das akuelle Preisniveau von beiden Seien, so erhäl man p p µ = θβ θ s β s E mc +s + p +s p Man kann nun diese Darsellung in Form einer Reihe erwareer nominaler Grenzkosen auch in eine Differenzengleichungsdarsellung überführen Da für die aggregiere Preissezung p p βθe p + p = βθ µ + βθ mc + π π = θ p p gil, erhalen wir π θ βθe π+ = βθ µ + βθ mc + π θ θ βθ π = βe π + + mc + µ θ Reale Grenzkosen als Funkion des Oupus Insofern sehen wir, dass die Enwicklung der Grenzkosen enscheidend für das Preissezungsverhalen der Firmen und die Inflaion is. Die realen Gesamhersellungskosen des Zwischenproduks ergeben sich, indem man die Produkionsfunkion Y = A N γ nach N auflös und mi W muliplizier: W Y A γ. 4

5 Für die realen Grenzkosen in Logarihmen, mc, gil somi W Y γ mc = log p γ A A = log γ + w p + γ y a y Nun läß sich der Reallohn aber durch die Arbeisangebosfunkion der Haushale vereinfachen: so dass wobei ψ := log log ϕ α + c = w p mc = ψ + y a γ + c y, ϕ γα. Im Güermarkgleichgewich gil ungefähr y = c, so dass der leze Term enfäll. Neu Keynesianische Phillipskurve Wir definieren nun den "naürlichen" Oupu, als den Oupu y n bei dem die Realen Grenzkosen gerade gleich der Inversen der Handelsspanne sind, also mc = µ gil. Diese Ausbringungsmenge is y n = a + ψ µ γ. Dies erlaub uns die realen Grenzkosen kompaker zu schreiben als mc = µ + y y n γ 2 Sez man ensprechend obiger Gleichung 2 für mc in Gleichung ein, so erhäl man die "Neukeynesianische Phillipskurve" π = βe π + + κ y y n wobei κ = θ βθ γθ. Inflaion heue sez sich zusammen aus erwareer Inflaion morgen und Oupugap, y y n, heue. Dabei besimm das Oupu-gap die akuellen Grenzkosen und die Inflaionserwarungen die erwareen Grenzkosenseigerungen. Neu-keynesianische IS-Kurve Durch einsezen der Fisher Gleichung in die Konsum Euler Gleichung erhalen wir die Gleichgewichsbedingung y = E y + i E π + ρ Diese schreiben wir ebenfalls in Oupu-gap Form y y n = E y+ y+ n + E y n + y n i E π + ρ y y n = E y+ y+ n + E a + i E π + ρ ŷ = E ŷ + i E π + r n r n = ρ + E a + 5

6 Gleichgewich: Neu-keynesianische Phillipskurve und dynamische IS-Kurve Der privae Sekor im neu-keynesianischen Modell wird durch die neu-keynesianische Phillipskurve Firmensekor π = βe π + + κ ŷ κ = θ βθ γ θ und die dynamische IS-Gleichung Haushals-Sparenscheidung ŷ = E ŷ + r r n r n = ρ + E a + r = i E π + beschrieben. Im Gegensaz zum klassischen Modell is aber die reale ökonomische Akiviä nich mehr unabhängig von der Zenralbankpoliik fesgeleg: Geldpoliik is nich neural! Geldpoliik Da die reale Akiviä nur im Zusammenhang mi der Geldpoliik fesgeleg is, benöigen wir noch eine Verhalensgleichung für die Zenralbank, um das Modell zu schließen. Wir nehmen an, die Zenralbank sez den Nominalzins ensprechend folgender Regel π i = ρ + φ π π + φŷŷ + ν Dann Enwickel sich Einsezen in PC und DIS die Ökonomie gemäß ŷ E ŷ = A + + B ˆr n E π + ν Die Lösung der Differenzengleichung ŷ π A = βφπ ω κ κ + β + φŷ ω = + φ π + φŷ E ŷ = A + E π + ; B = ω κ + B ˆr n ν is nur dann lokal eindeuig, wenn die Eigenwere von A im Einheiskreis liegen. Man kann zeigen, dass beide Eigenwere im Einheiskreis liegen, genau dann wenn κ φ π + β φŷ > 0 Dies können wir wieder als ein Beispiel für das Taylor Prinzip versehen - angenommen die ZB reagier nich auf das Oupu-gap, dann muss sie hinreichend sark und im Nominalzinssaz überproporional auf Inflaion reagieren. 6

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