1 Einführung. 2 Theoretische Grundlagen. 2.1 Kurzeinführung in MATLAB

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1 Versuch: Bildabtastung 1 Einführung Wird bei der Digitalisierung analoger Signale das Abtasttheorem verletzt, treten Aliasing- Effekte auf. Während man die Bandbegrenzung auf die halbe Abtastfrequenz durch Filterung von Audio-Signalen oft gewährleistet, wird dieses Problem bei der Digitalisierung von Bildern kaum beachtet. Aber auch bei vielen Bildbearbeitungsprogrammen treten diese Effekte beim Vergrößern oder Verkleinern von Bildern mit feinen, regelmäßigen Strukturen auf. Die Frage, mit der sich dieser Versuch unter anderem beschäftigt, lautet: Wie entstehen diese, als Bildstörung empfundenen Effekte und welche Maßnahmen können zur Unterdrückung bzw. Minderung angewendet werden? Zum besseren Verständnis werden die Grundlagen im Theorieteil auf eindimensionale Signale angewandt, und auch der praktische Versuchsteil besteht zum Teil aus Operationen im eindimensionalen Bereich mit Hilfe des Mathematik-Programmpakets MATLAB. Für die Arbeitsschritte, die auf eine abzufotografierende Bildvorlage bezogen sind, ist jedoch eine Erweiterung ins Zweidimensionale nötig. Betrachtet werden in diesem Versuch, Abtastung, Interpolation und Antialiasing-Filterung. Zusätzlich werden die Themen Farbunterabtastung und Quantisierung behandelt. 2 Theoretische Grundlagen Dieses Kapitel gibt eine kurze Übersicht über die wichtigsten Begriffe und die für den Laborversuch relevanten Grundlagen, mit deren Hilfe eine erfolgreiche Versuchsdurchführung ermöglicht wird. 2.1 Kurzeinführung in MATLAB MATLAB (Abkürzung für MATrix LABoratory) ist ein sehr umfangreiches Programmsystem, mit dem unter anderem Aufgaben der digitalen Signalverarbeitung gelöst werden können. Es integriert Berechnungen, Visualisierung und Programmierung in eine einfach zu bedienende Programmierumgebung, wobei Probleme und Lösungen mittels gängiger mathematischer Formeln ausgedrückt wird. Typische Anwendungen sind: Mathematische Berechnungen Entwicklung von Algorithmen Modellierung und Simulation Analyse, und Visualisierung von Daten Wissenschaftliche und technische Graphen Entwicklung von Applikation, die in ein GUI (Graphical User Interface) eingebettet sind. Das Grundelement von MATLAB ist ein Array, das keine Dimensionsdeklaration braucht. Dies erlaubt es insbesondere Aufgaben zu lösen, die sich mit Hilfe von Vektoren bzw. Matrizen formulieren lassen. 1

2 Nach dem Aufruf von MATLAB erscheint der MATLAB Desktop (Abb. 2.1), der 3 wesentliche Fenster beinhaltet: Command Window (rechts), um die Befehle direkt einzugeben. Command History (links unten), um die bereits eingegebenen Befehle anzuzeigen Workspace (links oben), um die geladenen Variablen zu sehen Außerdem ist es wichtig zu wissen in welchem Ordner man sich gerade befindet (oben rechts). Abb. 2.1: MATLAB-Oberfläche der OS X Version Vom MATLAB-Kommandofenster aus kann man nach dem Befehlsprompt >> sämtliche MATLAB-Befehle eingeben und auch Grafiken ausgeben. Es lassen sich auch sogenannte Scripts erstellen, wozu der MATLAB-Editor/Debugger vom Kommandofenster aus aufgerufen (mit New File oder Open File) und in diesen eine MATLAB-Befehlssequenz eingegeben wird. Nach dem Speichern unter einem frei wählbaren Namen mit der Erweiterung.m kann die Befehlssequenz unter diesem Namen aufrufen. Elementare MATLAB-Befehle Die vier Grundrechenarten und die Potenzfunktion werden in MATLAB durch die Zeichen +, -, *, /, ^ repräsentiert. MATLAB arbeitet mit Vektoren, in denen in diesem Versuch Abtastwerte von Signalverläufen gespeichert werden. Beispielsweise werden mit >> x = (1:10)*2; die geraden Zahlen zwischen 2 und 20 im Zeilenvektor x gespeichert. Das Semikolon unterdrückt die Ausgabe von Werten ins MATLAB-Kommandofenster. Der Vektor lässt sich anschließend durch die Eingabe von >> x ausgeben. Der erste Wert eines Vektors wird stets mit 1 indiziert. Beispielsweise erscheint nach dem vorletzten Befehl und >> x(1) 2

3 die Zahl 2 im Kommandofenster. >> x erzeugt die zu x transponierte und ggf. konjugiert komplexe Matrix, d.h. wenn es sich bei x um ein Zeilenvektor handelt, dann ist x ein Spaltenvektor. Auf Vektoren lassen sich die Standardfunktionen anwenden. Beispielsweise liefert die Befehlsfolge >> x = (0:1000)/1000*2*pi; >> y = sin(x); 1001 äquidistante Abtastwerte einer vollen Periode der Sinusfunktion im Vektor y. WennSie zwei Vektoren x und y addieren oder subtrahieren, müssen beide die gleiche Länge haben. Ansonsten gibt es eine Fehlermeldung. Der MATLAB-Befehle >> y = x(n1:n2); bildet aus dem n1-ten bis n2-ten Element des Vektors x einen neuen Vektor y, >> length(y) liefert die Länge des Vektors y. >> z = x.*y; bildet aus der elementweisen Multiplikation der Zeilenvektoren x und y einen neuen Vektor z. Ohne den Punkt vor dem Multiplikationszeichen wird eine Matrix-Multiplikation ausgeführt, was in diesem Fall wegen falscher Dimensionen nicht definiert ist und zu einer Fehlermeldung führt. Demnach erhält man das Skalarprodukt s durch >> s = x*y ; und eine Matrix Z durch >> Z = x *y; Beispielsweise werden Grauwert-Bilder in 2-dimensionalen Matrizen gespeichert, Farbbilder in 3-dimensionalen. Den Logarithmus zur Basis 10 liefert >> y = log10(x); und die DFT über den Vektor x wird mit >> X == fft(x); gebildet. Die DFT-Länge ist gleich der Länge des Vektors x. Man beachte, dass der Ergebnisvektor X im allgemeinen aus komplexen Werten besteht. >> y= abs(x); bildet die Absolutbeträge des Vektors x, der reelle oder komplexe Werte enthalten kann. >> plot(x,y); bildet aus den Werten des Vektors x (für die x-achse) und y (für die y-achse) eine Grafik mit einer Kurve. Dabei wird der n-te Wert des Vektors y dem n-ten Wert des Vektors x zugeordnet. x und y müssen die gleiche Länge haben. >> grid; 3

4 zeichnet ein Gitter in die Grafik, was das Ablesen von Werten erleichtert. >> title( Titel ); gibt der Grafik einen Titel. >> xlabel( Bezeichnung ); fügt eine Beschriftung an die x-achse an. >> ylabel( Bezeichnung ); fügt eine Beschriftung an die y-achse an. >> axis([xmin xmax ymin ymax]); dient zur Ausgabe eines Ausschnitts aus einer Grafik. Dabei sind Minimal- und Maximalwerte für die x- und y-achsen in der aufgeführten Reihenfolge anzugeben. >> int2str(n); wandelt eine Zahl n in einen Text-String. Dieser Befehl kann verwendet werden, um Strings zu erzeugen, mit denen z.b. Grafiken beschriftet werden. Beispiel: Ein Programm berechnet Kurven, die als Grafik ausgegeben werden sollen. Angenommen, während des Programmflusses zur Berechnung der 5. Kurve wurde der Variablen n der Wert 5 zugewiesen. Weiter wurde mit dem Plot-Befehl eine Grafik der 5. Kurve erstellt. Anschließend kann dann mit dem Befehl title([ int2str(n),. Kurve ]); der Grafik der Titel 5. Kurve gegeben werden. Zusammengesetzte Strings sind also in eckige Klammern einzuschließen. >> pause; unterbricht den Programmfluss und wartet auf einen Tastendruck. >> i= input( Text ); gibt einen Text im Kommandofenster aus und wartet auf die Eingabe einer Zahl, die mit >CR< abgeschlossen werden muss und der Variablen i zugeordnet wird. Man beachte, dass MATLAB immer in einem aktuellen Ordner arbeitet. Mit >> pwd; läst sich der Name des aktuellen Ordners abfragen und mit >> cd Name; kann man in den Ordner Name wechseln. >> dir zeigt den Inhalt des aktuellen Ordners im MATLAB-Kommandofenster an. Lesen und schreiben von Bilddaten MATLAB kennt folgende Bildformate:.jpeg,.tiff,.bmp,.png,.hdf,.pcx,.xwd. Um ein Bild in eine Matrix img einlesen zu können, benötigt man den imread Befehl, zum Schreiben den imwrite Befehl. 4

5 >> img = imread( name.typ ); >> imwrite(name, name.typ ); Graphische Darstellung von Bilddaten Der Befehl image zeichnet die Bilddaten. >> image(img); >> colormap(gray(2)); >> axis image; Der Befehl axis image bewirkt, dass nicht das ganze Bild mit der Zeichnung ausgefüllt wird, sondern dass das Bild einheitlich reskaliert und in die Zeichnung eingefügt wird. Die colormap Funktion legt fest, welche Colormap verwendet wird (d.h. welche Farben im Bild vorkommen). Im obigen Fall hat man ein Grauwertbild mit nur zwei möglichen Werten: 0 und 1 (also ein binäres Bild). Daher muss die Colormap auf den Wert gray(2) gesetzt werden. Für normale Grauwertbilder wird der Wert auf gray(256) gesetzt. Bildformate in MATLAB MATLAB liest Bilder im uint8 Format, ein Integer Format mit geringer Genauigkeit. Das Programm kennt auch die Formate uint16 und double. Viele mathematische Operationen sind nur für das double Format definiert, also muss man die Bilddaten in dieses Format umwandeln, um Operatoren wie +, -, * benutzen zu können. >>img= double(img) + 1; Dieser Befehl wandelt uint8-daten in double -Daten um. Der Offset 1 muss immer dann addiert werden, wenn man uint8 oder uint16 Daten in double Daten konvertiert. Somit muss man 1 abziehen, wenn man double Daten in integer Daten umwandelt. >>img = unit8(img) - 1; RGB-Bilder Die Angabe, um welchen Farbanteil des RGB-Bildes es sich handelt, wird als dritte Dimension der Pixel-Matrix img gespeichert. R: >>img(i,j,1); G: >>img(i,j,2); B: >>img(i,j,3); Diese Grundlagen können in ausführlicher Form in (siehe unten stehender Link) nachgelesen werden. Links zu MATLAB-Tutorials: Einfuehrung.pdf 5

6 2.2 Das Abtasttheorem für bandbegrenzte Signale Die Abtastung überführt ein analoges Signal in ein zeitdiskretes wertkontinuierliches Signal. Sie liefert also nur die zeitdiskreten Abtastwerte ohne Flächen. Betrachtet wird das Spektrum S(f) (Abb. 2.2a) eines Signals s(t) mit dem periodisch fortgesetzten Fourier-Spektrum S p (f) (Abb. 2.2b). Das Signal ist bandbegrenzt auf die Bandbreite f g,wenn S(f) =0für f > f g gilt. Abb. 2.2: a) Spektrum eines bandbegrenzten Signals, b) periodisch fortgesetztes Spektrum Durch periodische Fortsetzung mit F p 2 f g ergibt sich die periodische Spektralfunktion S p (f). ZwischenS p (f) und S(f) gilt der Zusammenhang: (2.1) Die periodische Funktion S p (f) lässt sich nun wiederum als Fourier-Reihe darstellen. Dabei gelten folgende Beziehungen: (2.2). (2.3) Über die Formel des Fourier-Rückintegrals (2.4) ergibt sich für die Koeffizienten c k folgende Beziehung:.. (2.5) Die Fourier-Koeffizienten des periodisch fortgesetzten, bandbegrenzten Spektrums sind also gleich den mit 1/F p multiplizierten Abtastwerten der Zeitfunktion s(t) an den Stellen t=-k/f p. Dies soll Abbildung 2.3 verdeutlichen. 6

7 Abb. 2.3: Zur Erläuterung des Abtasttheorems Aus den Abtastwerten von s(t) erhält man über (2.5) die Koeffizienten c k. Diese bestimmen über (2.3) das periodisch fortgesetzte Fourier-Spektrum S p (f). Über (2.1) ist somit auch das Fourier-Spektrum S(f) gegeben. Die Formel für das Fourier-Rückintegral (2.4) liefert uns die komplette Zeitfunktion s(t). Für das zeitliche Abtasttheorem lässt sich also zusammengefasst sagen: Bei bandbegrenzten Signalen s(t) der Grenzfrequenz f g bestimmen die zeitlichen Abtastwerte s(k/f p ) mit k = 0, ± 1, +- 2,... die komplette Zeitfunktion s(t), sofern F p 2 f g.für den zeitlichen Abtastabstand gilt:. (2.6) Das entsprechende Gegenstück dazu ist das spektrale Abtasttheorem für zeitbegrenzte Signale mit den zeitlichen Grenzen ±T. Die Abtastwerte S(kf 0 ) bestimmen das gesamte Spektrum S(f), wenn gilt:. (2.7) Um die Spektralfunktion S(f) wiederzugewinnen, kann diese aus S p (f) durch einen Tiefpass rekonstruiert werden. Der Tiefpass soll im Bereich f F p /2 alle Spektralanteile ungedämpft durchlassen und im Bereich f > f g = F p /2 alle Spektralanteile sperren, siehe Abbildung 2.4. Abb. 2.4: Rekonstruktion von S(f) mit einem Tiefpass Das Abtasttheorem gilt sinngemäß auch bei der Abtastung von analogen 2-dimensionalen Funktionen, also von Bildern. Jedes abgetastete Bild besitzt neben dem Ortsbereich mit x- und y-koordinaten auch einen Frequenzbereichsdarstellung mit einem sich periodisch wiederholenden 2-dimensionalen Spektrum. Die Bildrekonstruktion mit einem 2-D Tiefpass ist nur dann fehlerfrei möglich, wenn sich die am 2-D Frequenzgitter periodisch fortgesetzten 2-D Spektren, die aus der Bildabtastung resultierenden, nicht überlappen. 2.3 Aliasing Die bei der Abtastung nicht exakt bandbegrenzter Signale entstehenden Fehler werden als Aliasing bezeichnet. Signalanteile, die oberhalb der halben Abtastfrequenz liegen (in Abbildung 2.5 als Ausläufer bezeichnet), können z.b. als niederfrequente Komponenten, d. h. mit einer anderen Frequenz ( Alias ), wiedergegeben werden. Der Anteil (Leistung, 7

8 Amplitude) dieser Fehlerkomponenten lässt sich durch eine Tiefpassfilterung mit einem sogenannten Anti-Aliasingfilter vor der Abtastung reduzieren. Mit steigender Filterordnung n werden bei konstanter Grenzfrequenz hohe Signalfrequenzen stärker gedämpft ( G(f) ~ 1/f n ). Abb. 2.5: Verlauf eines nicht bandbegrenzten Spektrums S(f)desSignalss(t) Bei der Abtastung mit der Abtastfrequenz f 0 =2f g kommt es aufgrund der Ausläufer außerhalb ± f g zur Überlappung der überlagerten, frequenzversetzten Spektren, wie man in Abbildung 2.6 sieht. Abb. 2.6: Überlagerung der frequenzverschobenen Spektren Mit einem Rekonstruktionstiefpass lässt sich das Spektrum S (f) herausfiltern. Dieses stimmt jedoch nicht mehr mit dem ursprünglichen Spektrum S(f) überein, denn. (2.8) Kommt es bei der 2-D Abtastung eines Bildes mit zu hohen Ortsfrequenzen (zu feine Strukturen) zu einer spektralen Überlappung, tritt auch hier Aliasing auf. Es kann sich in Form von Moiré-Bildfehlern, d.h. im Ursprungsbild nicht vorhandene Strukturen, bemerkbar machen. 2.4 Faltung Die Faltung wird durch das Operationssymbol ( * ) dargestellt und wird mit folgender Formel (2.9) berechnet:. (2.9) Abbildung 2.7 zeigt den Ablauf der Faltungsoperation: 8

9 Abb. 2.7: Zur Berechnung des Faltungsintegrals Die Zeitfunktionen s 1 (t) und h(t) seien der Einfachheit halber als zeitbegrenzt vorausgesetzt. Zur Berechnung des Integrals mit der Integrationsvariablen τ werden die Funktionen s 1 (τ) und h(t-τ) über der τ-achse aufgetragen. Für t=0 ergibt sich h(-τ) in zeitinverser Lage, als würde man die Zeitachse im Ursprung falten. Mit wachsendem t wird die Impulsantwort nach rechts verschoben. Für jede Position ist das Integral über das Produkt s 1 (τ) h(t-τ) zu bilden, um den Verlauf von s 2 (t) zu gewinnen. Entsprechend der 1-D Faltung existiert eine 2-D Faltung, die auch zur Filterung von Bilddaten verwendet werden kann. Hierbei kommt es jedoch zu einem wesentlich höheren Rechenaufwand. Für den besonderen Fall, dass ein Filter separierbar ist, d.h. dass sich die 2-D Filterfunktion in zwei 1-D Filterfunktionen (horizontaler und vertikaler Anteil) faktorisieren lässt, kann dieser Rechenaufwand wesentlich vermindert werden, denn die Filterung erfolgt nun durch zwei 1-D Faltungsoperationen. Das folgende Beispiel mit den diskreten 1-D Filterkoeffizienten h x, h y und den 2-D Koeffizienten h xy verdeutlicht dies: h y 1 = 2, hx = und hyx = hy hx = Diskrete Fourier-Transformation Die Definition der diskreten Fourier-Transformation (DFT) erfolgt in Anlehnung an die kontinuierliche Fourier-Transformation Die Zeitfunktion s(t) sei zeitbegrenzt und beschränkt: (2.10). (2.11) 9

10 Abb. 2.8: Zur numerischen Berechnung des Fourier-Integrals Zur Berechnung werden nun statt der kontinuierlichen Zeitfunktion s(t) nur N äquidistante Abtastwerte s(t n ) im Abstand t = t n-1 t n = t g /(N-1) verwendet. Durch die Verwendung der diskreten Werte wird s(t) in Form der in Abbildung 2.8 dargestellten Treppenkurve approximiert. Für diese Treppenkurve berechnet sich der Wert des Fourier-Integrals (2.11) an der festen Stelle f=f k zu:. (2.12) (2.12) bildet den Ansatzpunkt für die Definition der Diskreten Fourier-Transformation. Die eigentliche Definition beruht auf zwei Vorgaben. Die erste Vorgabe betrifft den zeitlichen Abstand der Funktionswerte, welcher festgelegt wird durch:. (2.13) Die zweite Vorgabe betrifft die Werte der festen Frequenzen f k, für welche die Transformation durchgeführt wird. Es werden N diskrete Frequenzen festgelegt:. (2.14) Mit (2.13) und (2.14) wird die DFT für die N Folgeglieder s(nt) wie folgt definiert: DFT:. (2.15) Die zugehörige Umkehrformel wird als inverse Diskrete Fourier-Transformation (IDFT) bezeichnet. IDFT:. (2.16) Mit ihr lassen sich aus den diskreten Spektralwerten S(k/nT) die diskreten Funktionswerte s(nt) zurückgewinnen. 10

11 Wie bereits in Abschnitt 2.2 erwähnt, besitzt jedes Bild neben einer Orts- auch eine Frequenzbereichsdarstellung. Um 2-D Funktionen in den 2-D Frequenzbereich zu transformieren, kann die entsprechend der eindimensionalen DFT definierte 2-D DFT verwendet werden. 2.6 Besonderheiten der FFT in MATLAB Nimmt man als Ausgangspunkt einen idealen Rechteck-Tiefpass im Frequenzbereich an, und transformiert diesen mit Hilfe der IDFT, die in MATLAB als inversen Fast Fourier Transformation (IFFT) ausgeführt wird, in den Zeitbereich, erhält man aus der reellen Funktion im Frequenzbereich wiederum eine reelle Funktion im Zeitbereich, sofern es sich bei der Rechteckfunktion um eine gerade, symmetrische Funktion handelt. Abbildung 2.9 veranschaulicht diese Zusammenhänge. Abb. 2.9 : Idealer Tiefpass im Frequenzbereich und zugehörige Impulsantwort im Zeitbereich In MATLAB besteht die Rechteckfunktion lediglich aus einem Vektor, der bis zur Grenzfrequenz aus n Einsen und oberhalb der Grenzfrequenz aus Nullen besteht (Abb.2.10). Die Nummerierung der Indizes beginnt mit n=1, MATLAB kennt nur positive Indizes und damit keine negativen Frequenzen. Abb. 2.10: idealer Tiefpass im Frequenzbereich 11

12 Daraus ergibt sich folgendes Problem: Es handelt sich nun nicht mehr um ein symmetrisches Signal und die Anwendung der IFFT würde ein komplexes Signal im Zeitbereich ergeben. Eine Möglichkeit das Problem zu lösen, wäre die Tiefpassfunktion vor der Transformation periodisch fortzusetzen, also das Ende des Vektors mit Einsen aufzufüllen, wie dies in Abbildung 2.11 zu sehen ist. Dabei ist jedoch darauf zu achten, dass der Nullpunkt, der in MATLAB den Index n=1 trägt, ausgelassen werden muss. Es werden also nur die n-1 letzten Stellen des Vektors auf den Wert 1 gesetzt. Dieses Verfahren müsste man ebenso bei der Verwendung der FFT anwenden. Abb. 2.11: Periodische Fortsetzung der Rechteckfunktion Achtung! Durch Rechenungenauigkeiten von MATLAB ergeben sich trotz dieser Maßnahme Imaginärteile in der Größenordung von Diesekönnen jedoch vernachlässigt werden und es reicht aus, den Realteil zu betrachten. Alternativ zur periodischen Fortsetzung besteht die Möglichkeit dem Programm mitzuteilen, dass die Anwendung der IFFT symmetrisch erfolgen soll. Dies ist leider nur bei der IFFT, jedoch nicht bei der FFT möglich. >> h = ifft(h, symmetric ); Abb. 2.12: Zeitbereichsdarstellung nach IFFT Abb. 2.13: Detailansicht der Zeitbereichsdarstellung Der Verlauf wird, wie man in Abbildung 2.12 erkennt, automatisch vom Programm periodisch fortgesetzt. Abbildung 2.13 zeigt eine Detailansicht der ersten 100 Samples bei gleicher Amplitudenskalierung. 12

13 2.7 Quantisierung m Rahmen der Analog-Digital-Umsetzung müssen Signale in Zahlenwerte (digitale Darstellung) überführt werden, damit diese, beispielsweise von einem Signalprozessor, weiterverarbeitet werden können. Die zeitdiskreten Werte von Abtastsignalen können nur in Datenworte endlicher Wortlänge abgebildet werden. Das bedeutet: jeder Amplitudenwert kann nur mit einer endlichen Genauigkeit aufgelöst werden, die unmittelbar mit der Datenwortlänge verbunden ist. Der zulässige Amplitudenbereich wird in eine endliche Anzahl diskreter Amplitudenintervalle aufgeteilt. Diese Aufteilung bezeichnet man als Amplitudenquantisierung, die Differenz zum tatsächlichen Signalwert wird als Quantisierungsfehler bezeichnet. Abbildung 2.14 zeigt die Abtastung und Quantisierung eines Signals auf 3 Bit. Das erste Bit gibt das Vorzeichen an, die letzten beiden Bits spiegeln den Wert der Signalamplitude wieder. Abb. 2.14: Abtastung und Quantisierung 2.8 Fensterfunktionen Anwendung finden Fensterfunktionen beim Entwurf von digitalen Filtern mit endlicher Impulsantwortlänge (FIR-Filter). Dabei wird der gewünschte Frequenzgang des Filters definiert und mittels inverser Fourier-Transformation (IFT) die ideale Impulsantwort im Zeitbereich ermittelt. Das Ergebnis der IFT ist jedoch unendlich lang. Um ein Filter der endlichen Länge N zu erhalten, wird durch eine Fensterfunktion ein Ausschnitt der unendlichen Impulsantwort ausgewählt. Die Fensterfunktion beschreibt einen Funktionsverlauf, der die Gewichtung der einzelnen Abtastwerte festlegt. Dieser Vorgang entspricht einer Faltung des Frequenzgangs mit der Fourier-Transformierten der Fensterfunktion. Es kommt also zu Abweichungen vom gewünschten Frequenzgang. Der Effekt, der durch das Abschneiden der Impulsantwort (Rechteckfenster) auftritt, resultiert aus dem Gibb schen Phänomen, das das typische Verhalten von Fourier-Reihen an Sprungstellen bezeichnet. Entwickelt man eine Fourier-Reihe aus einer unstetigen Funktion, kommt es in der Umgebung der Sprungstellen zu Über- bzw. Unterschwingern. Mit wachsender Zahl N an Koeffizienten steigt die Frequenz der Überschwinger, währendsichdie Abklingzeit reduziert. Die Amplitude der Überschwinger ändert sich dabei nicht. Abbildung 2.15 zeigt das Gibb sche Phänomen anhand einer Rechteckimpulsfolge für N =3, 9 und

14 Abb. 2.15: Endliche Fourier-Reihe einer Rechteckimpulsfolge für N =3, N =9 und N =99 Durch Verwendung von Fensterfunktionen ohne Sprungstellen lässt sich das Gibb sche Phänomen vermeiden. Beispiele für Fensterfunktionen Rechteck-Fenster: (2.17) Dreieck-Fenster: (2.18) Hann-Fenster: (2.19) Hamming-Fenster: (2.20) Blackman-Fenster: (2.21) Welche Fenster-Funktion gewählt wird hängt von den Anforderungen an das digitale Filter ab. Allgemein lässt sich sagen, dass für eine geringere Welligkeit eine flachere Filterflanke in Kauf genommen werden muss. 14

15 Die hier aufgeführten Fensterfunktionen in den 2-D Bereich umgesetzt und somit auch zur Fensterung von 2-D Impulsantworten verwendet werden. 2.9 Interpolation Von Interpolation spricht man, wenn anhand gegebener Stützstellen eines Funktionsverlaufs Zwischenwerte ermittelt werden. Insofern handelt es sich bei der Rekonstruktion eines bandbegrenzten Signals aus äquidistanten Abtastwerten durch einen Tiefpass um eine Interpolation. Hier soll die Interpolation anhand eines abgetasteten Bildes betrachtet werden. Bei der Interpolation handelt es sich dann um eine diskrete geometrische Operation. Da Bilddaten oft nicht für diegewünschten Gitterpunkte sondern für Zwischenplätze vorliegen, ergibt sich die Notwendigkeit der Interpolation. Vorraussetzung dafür, dass aus dem diskreten Bild das kontinuierliche Bild fehlerfrei rekonstruiert werden kann, ist die Einhaltung des Abtasttheorems. Das bedeutet, dass jede im Bild auftretende periodische Struktur mindestens zweimal pro Wellenlänge abgetastet werden muss. Die maximale Wellenzahl k, die ohne Fehler abgetastet werden kann, wird als Nyquist-Wellenzahl bezeichnet. Im Folgenden wird die dimensionslose Wellenzahl verwendet, die auf die Nyquist-Wellenzahl normiert ist. Ausgehend von dieser Tatsache kann ein allgemeines Verfahren für die Interpolation abgeleitet werden: Man rekonstruiert zunächst das kontinuierliche Bild und führt dann eine erneute Abtastung auf neuen Gitterpunkten durch. Das neue Gitter darf hierbei nicht weiter sein als das alte, da sonst Aliasing-Effekte auftreten können. In diesem Falle müsste das Bild vorgefiltert werden, ehe es abgetastet werden kann. Wie in Abschnitt 2.2 gezeigt wurde, kann die Rekonstruktion einer kontinuierlichen Funktion aus Abtastpunkten als Faltungsoperation (2.9) betrachtet werden, denn im Falle der idealen Interpolation ist die Interpolations-Übertragungsfunktion eine Rechteckfunktion, siehe Abb. 2.4, und die Impulsantwort entspricht der unendlich ausgedehnten sinc-funktion. Daraus folgt, dass eine ideale Rekonstruktion des kontinuierlichen Bildes nur mit unendlichem Aufwand und damit praktisch unmöglich ist. Deshalb muss die ideale Interpolation durch Einschränkungen vereinfacht und in realen Systemen die Impulsantwort beschnitten werden Lineare Interpolation Die lineare Interpolation ist der klassische Interpolationsansatz. Benachbarte Gitterpunkte werden durch Geraden, auf denen die interpolierten Punkte liegen, verbunden. Zur Vereinfachung werden im Folgenden normierte räumliche Koordinaten benutzt. Aus Symmetriegründen seien die beiden vorhandenen Gitterpunkte bei ½ und ½. Daraus ergibt sich die Interpolationsgleichung: Vergleicht man (2.22) mit der Faltungsformel (2.9) ergibt sich die kontinuierliche Interpolationsmaske für die lineare Interpolation: (2.22) (2.23) 15

16 Abb. 2.16: Veranschaulichung der linearen Interpolation a) Bei x=0 wird der Mittelwert von g 1/2 und g -1/2 genommen, b) bei x=1/2 wird g 1/2 repliziert Die lineare Interpolation ist in Abbildung 2.16 dargestellt. Die Interpolationsmaske (2.23) ist eine Dreiecksfunktion, deren Übertragungsfunktion einer quadrierten sinc-funktion entspricht: (2.24) Interpolation mit Splines Neben der Methode der linearen Interpolation besteht die Möglichkeit mit Polynomen höherer Ordnung zu interpolieren. Jedoch ist die Genauigkeit auch hier begrenzt und es ergibt sich ein weiteres Problem. Die interpolierte Kurve ist schon in der ersten Ableitung an den Stützstellen unstetig, da für jedes Intervall zwischen den Stützstellen ein anderes Polynom verwendet wird. Somit ist zwar die interpolierte Funktion stetig, ihre Ableitung aber nicht. Genau diese Tatsache wird durch die Verwendung von Splines vermieden. Dies geschieht durch zusätzliche Stetigkeitsbedingungen für die Ableitungen an den Stützstellen. Die verschiedenen Spline-Funktionen sind in Klassen unterteilt, im Folgenden wird die Klasse der B-Splines genauer betrachtet. Da diese separierbar sind, genügt die Betrachtung der eindimensionalen Funktion. Eine B-Splinekurve der Ordnung P wird durch eine (P+1)- fach mit sich selbst gefaltete Rechteckfunktion erzeugt (Abb. 2.17a). (2.25) a) b) Abb. 2.17: a) B-Spline-Interpolationskerne, erzeugt durch eine kaskadierte Faltung des Rechteckkerns, nullter Ordnung (nächster Nachbar), erster (lineare Interpolation), zweiter (quadratischer B-Spline) und dritter Ordnung (kubischer B-Spline); b) zugehörige Transferfunktionen 16

17 Wie in Abbildung 2.17b zu sehen ist, nimmt die Übertragungsfunktion der B-Spline-Funktion sehr schnell ab und es kommt zu einer zu starken Glättung. Um die B-Spline-Funktion zur Interpolation nutzen zu können, müssen die diskreten Stützstellen so transformiert werden, dass die Faltung mit einer B-Spline-Kurve das Originalbild an den Stützstellen wiederherstellt. Diese Transformation heißt B-Spline- Transformation und wird aus der folgenden Bedingung konstruiert: (2.26) Nach einigen Rechenschritten ergibt sich die effektive Übertragungsfunktion für die kubische B-Spline-Interpolation: (2.27) Interpolation mit idealem Tiefpass Die Interpolation mit einem idealen Tiefpass entspräche einer idealen Interpolation. Programmtechnisch lässt sich dies mittels FFT leicht approximieren: In der Zeitbereichsdarstellung der zu interpolierenden Funktion werden zwischen den einzelnen zeitdiskreten Werte, je nach Skalierungsfaktor p, p -1 Nullen eingefügt. Anschließend wird mittels FFT in den Frequenzbereich transformiert. Die Multiplikation des Spektrums mit der Rechteckfunktion eines idealen Tiefpasses entspricht einer Faltung mit der sinc-funktion im Zeitbereich. Um die resultierende Zeitbereichsdarstellung zu erhalten, muss das entsprechend beschnittene Spektrum mit Hilfe der IFFT wieder zurück transformiert werden. Dadurch hat man erreicht, dass durch die Faltung mit der sinc-funktion der Verlauf der Funktion mit den zusätzlich eingefügten Nullen geglättet und interpoliert wird. Um aus diskreten Werten des Zeitbereichs beliebige Zwischenwerte zu berechnen, kann auch die folgende Filter-Realisierung benutzt werden: (2.28) Da die sinc-funktion jedoch unendlich ausgedehnt ist, ist der Rechenaufwand nicht praktikabel, und deshalb gerade bei Bildern, bei denen eine zweidimensionale Faltung erforderlich ist, nicht brauchbar. Es besteht jedoch die Möglichkeit, mit einem realen Tiefpass zu interpolieren, indem man eine Fensterung der sinc-funktion durchführt. Hierzu können die Fensterfunktionen (2.17) (2.21) genutzt werden. Dabei ist zu beachten, dass die Filterkoeffizienten mit dem Skalierungsfaktor p multipliziert werden müssen. Analog dazu ist es ebenfalls möglich die Interpolation eines 2-D Bildes mit einem 2-D Tiefpass durchzuführen. Ist die Separierbarkeit gewährleistet (vgl. Abschnitt 2.4) kann auch nacheinander in horizontal und vertikaler Richtung mit dem entsprechenden 1-D Filtern interpoliert werden. 17

18 2.10 Die Zonenplatte Die Fresnelsche Zonenplatte besteht aus einer Anordnung konzentrischer Kreise, deren Ortsfrequenz zum Rand hin zunimmt. Die Zonen unterscheiden sich in ihrer Transparenz und ihrer optischen Wellenlänge. Zu unterscheiden ist zwischen der binären (Abb. 2.18a) und der sinus- bzw. kosinusförmigen Verlauf (Abb. 2.18b). Strahlung wird an den ringförmigen Platten gebeugt und durch konstruktive Interferenz in Brennpunkten verstärkt. Werden die schwarzen Zonen durch ein Material genau bestimmter Dicke ersetzt, das eine Phasenverschiebung des Lichts um 180 bewirkt, kann die transmittierte Strahlung ebenfalls in Brennpunkten interferieren. Für den Versuch wird aber diese Eigenschaft nicht verwendet. a) b) Abb. 2.18: Fresnelsche Zonenplatte a) binär, b) Kosinus-Verlauf Die Abbildung der Kosinus-Zonenplatte eignet sich auch sehr gut um das Auftreten des Aliasing-Effektes bei der Digitalisierung zu zeigen, da aufgrund der von innen nach außen steigenden Frequenzen des konzentrischen Kosinussignals ein breites Spektrum an Ortsfrequenzen enthalten ist. Je nach Abtastfrequenz kommt es durch hohe Ortsfrequenzen zu einer Verletzung des Abtasttheorems und somit zu Aliasing-Effekten Der RGB-Farbraum und das YUV-Farbmodell Die Farbmetrik versucht das Farbempfinden des Menschen durch mathematische Formeln und Zahlen auszudrücken. Ziel ist es, eine Farbe als einen Farbort in einem Farbsystem darzustellen, und ihn in einem Farbraum (Gamut) abzubilden. Das Farbraumsystem quantifiziert die Farben eines Farbraumes. Diese Farbräume bestimmen die Menge an theoretisch darstellbaren Farben, zum Beispiel kann ein Farbraum alle Farbreize des menschlichen Auges umfassen, oder auch die von einem Monitor darstellbare Farbmenge sein (RGB-Geräte-Farbraum). Abbildung 2.19 zeigt den RGB-Farbraum. Die einzelnen Farben setzen sich jeweils aus den Komponenten Rot, Grün und Blau zusammen. Je nach Gewichtungsfaktoren ergeben sich die einzelnen Farborte des Farbraumes. 18

19 Abb. 2.19: RGB-Würfel Das YUV-Farbmodell unterteilt die Farbinformation in Helligkeit (Luminanz) und Farbanteil (Chrominanz). Der Farbanteil wird wiederum in zwei Farbdifferenzsignale unterteilt, das U- und das V-Signal. Anwendung findet dieses Modell auch in Video- und TV-Standards wie PAL oder NTSC. Die einzelnen Signale ergeben sich aus den Anteilen des RGB-Farbraums und erfolgen nach fest definierten Beziehungen. Y = 0,299 R + 0,587 G + 0,114 B (2.29) U=(B Y) 0,493 (2.30) V=(R Y) 0,877 (2.31) Umgekehrt lassen sich aus dem YUV-Modell die Einzelkomponenten des RGB-Farbraumes berechnen: B = Y + U/0,493 (2.32) R = Y + V/0,877 (2.33) G=Y 0,39466 U 0,5806 V (2.34) Bei der Berechung des Grünanteils handelt es sich um eine Näherungsformel. Die Gewichtungsfaktoren des YUV-Farbmodells berücksichtigen die Farbwahrnehmung des menschlichen Auges. So wird beispielsweise grün heller wahrgenommen als rot, dieses wiederum heller als blau. Durch den Aufbau der menschlichen Netzhaut ergibt sich außerdem, dass die Helligkeitsinformation in höherer Auflösung wahrgenommen wird als die Farbinformation, so dass eine Reduzierung der Ortsauflösung (Unterabtastung) der Chrominanz vorgenommen werden kann, ohne große Qualitätsverluste hinnehmen zu müssen. Auf diese Weise kann bei der Übertragung Bandbreite eingespart werden Farbunterabtastung Wie bereits im voran gegangenen Teilabschnitt erwähnt, ist es in vielen Formaten üblich die Farbdifferenzsignale des YUV-Modells mit einer geringeren Ortsauflösung zu übertragen. Je nach Verteilung der Farbinformation unterscheidet man zwischen folgenden, in Abbildung 2.20 dargestellten, Abtastrastern. 19

20 Abb. 2.20: Abtastraster 4:4:4 : Bei dieser Art der Abtastung wird jeder Kanal des RGB-Signals mit der gleichen Bandbreite übertragen. Das heißt die Farbsignale Rot, Grün und Blau werden vollständig übertragen, es findet also keine Unterabtastung statt. 4:2:2 : Ausgangspunkt ist nun das YUV-Modell. Es findet eine horizontale Unterabtastung der Farbdifferenzsignale U und V statt. Während die Helligkeitsinformation in Y vollständig übertragen wird, steht für die Farbinformation nur die halbe Bandbreite zur Verfügung, was auch durch die Faktoren 4 und 2 zum Ausdruck gebracht wird. 4:2:0 : Die Bezeichnung dieses Abtastrasters kann leicht falsch verstanden werden. Es ist nicht der Fall, dass ein Farbkanal gar nicht übertragen wird, sondern dass sowohl eine horizontale, als auch eine vertikale Unterabtastung beider Farbdifferenzsignale erfolgt. Vier Pixel des Luminanzsignals Y wird also nur ein Pixel mit Farbinformation zugeordnet. 4:1:1 : Es wird auf eine vertikale Unterabtastung verzichtet und stattdessen eine stärkere horizontale Unterabtastung gewählt. Vier nebeneinander liegenden Bildpunkten wird die gleiche Farbinformation zugeordnet Glossar Abtasttheorem: Das Nyquist-Shannonsche-Abtasttheorem besagt, dass ein kontinuierliches, bandbegrenztes Signal mit einer Minimalfrequenz von 0 Hz und einer Maximalfrequenz f max, mit einer Frequenz größer als 2 f max abgetastet werden muss, um aus dem so entstehenden zeitdiskreten Signal das ursprüngliche Signal exakt rekonstruieren zu können, ohne dass Informationen verloren gehen. 20

21 Aliasing-Effekte: Als Aliasing-Effekte werden Fehler beim digitalen Abtasten von Signalen bezeichnet, die durch Verletzung des Abtasttheorems auftreten. In der Bildverarbeitung treten diese Effekte bei der Abtastung von Bildern auf und führen zu Mustern, welche ursprünglich nicht im Bild enthalten waren (vgl. Moiré-Effekt). Antialiasing: Als Antialiasing werden sämtliche Maßnahmen zur Beseitigung oder Minderung der Aliasing-Effekte bezeichnet. Durch Tiefpassfilterung werden die für die Aliasing-Effekte verantwortlichen, hohen Frequenzen des Ausgangssignals gedämpft. Fensterfunktion: Um eine endlich lange Impulsantwort mit der gewünschten Filterlänge N zu erhalten, wird durch eine Fensterfunktion ein Ausschnitt der unendlichen Impulsantwort ausgewählt. Der tatsächliche Frequenzgang des Filters entspricht somit der Faltung des gewünschten Frequenzgangs mit der Fourier-Transformierten der Fensterfunktion. Gibb sches Phänomen: Als Gibb sches Phänomen bezeichnet man das typische Verhalten von Fourier-Reihen an Sprungstellen. Entwickelt man eine Fourier-Reihe aus einer unstetigen Funktion, kommt es in der Umgebung der Sprungstellen zu Über- bzw. Unterschwingern. Interpolation: Die Interpolation [lateinisch»einschaltung«] beschreibt die Konstruktion einer Näherungsfunktion f* zu einer Funktion f, von der bekannt ist, dass sie an vorgegebenen Stellen x 1,x 2,..., x n (den Stützstellen) vorgegebene Werte f(x 1 ), f(x 2 ),..., f(x n ) (Stützwerte) annimmt. Die Näherungsfunktion muss überall zwischen den Stützstellen stetig sein. Durch Auswerten der Näherungsfunktion können Näherungswerte für die Funktion f an beliebigen Stellen zwischen den Stützstellen bestimmt werden. Der einfachste Fall ist die lineare Interpolation, bei der benachbarte Stützpunkte durch Geradenabschnitte verbunden werden. Ein weiteres Verfahren ist die Interpolation durch Polynome oder durch Tiefpassfilter. Moiré-Effekt: Der Moiré-Effekt (von frz. moirer marmorieren ) macht sich bei der Überlagerung von Rastern oder Linien durch die Entstehung neuer Linien bemerkbar. Nyquistfrequenz: Die Nyquistfrequenz entspricht der halben Abtastfrequenz. Schnelle Fourier-Transformation: Die schnelle Fourier-Transformation (FFT: Fast Fourier-Transformation) ist ein Algorithmus zur schnelleren Berechnung der Diskreten Fourier-Transformation (DFT). Bei der Berechnung werden zuvor errechnete Zwischenwerte verwendet und somit arithmetische Rechenoperationen eingespart. Unterabtastung: Wird ein Signal mit weniger als seiner doppelten Bandbreite (vgl. Nyquistfrequenz) abgetastet spricht man von Unterabtastung des Signals. Dabei wird das Abtasttheorem bewusst verletzt, was zu Problemen bei der späteren Rekonstruktion des Signals führt, da Informationen verloren gehen. Überabtastung: Überabtastung beschreibt die Abtastung eines Signals mit einer Frequenz, die oberhalb der doppelten Bandbreite dieses Signals liegt. 21

22 3. MATLAB-Funktionen Die folgende Tabelle enthält die für den Versuch benötigten MATLAB-Funktionen. Diese sind zum Teil im MATLAB Programmpaket enthalten, zum Teil für diesen Versuch programmiert. Die Reihenfolge ist am Versuchsablauf orientiert. Für die einzelnen Funktionen existieren Hilfen. Diese können mit >> help(funktionsname); aufgerufen werden. Darin finden sich detaillierte Beschreibungen und Beispiele. Funktion Beschreibung idealtp(fg,fa) Erzeugen eines idealen Tiefpasses mit fg = Grenzfrequenz und fa = Abtastfrequenz. Das Verhältnis fa/fg entspricht dem halben Abtastfaktor q/2 bzw. p/2 plot(x) Darstellung eindimensionaler Signale fft(x) Schnelle Fourier-Transformation ifft(x) Inverse schnelle Fourier-Transformation window(x,n, win ) Symmetrische Fensterung von x über n Samples mit der Fensterfunktion win (2.17)-(2.21). real(x) Zeigt den Realteil von x an imread( img.typ ) Einlesen der Bilddateien img.typ imwrite(x, img.typ ) Speichern von x in die Bilddatei img.typ shift(x,n) Verschiebt die Koeffizienten der gefensterten Impulsantwort x um n Werte so, dass eine zusammenhängende Impulsantwort entsteht zoneplate(n,per) Erzeugung einer digitalen Abbildung der Zonenplatte mit Kantenlänge n und der kleinsten vorkommenden Periodenlänge von per Samples imgfilter(f,x) Filterung der Bilddaten x mit dem Filter f in horizontaler und vertikaler Richtung downsample2(x,q)7 Unterabtastung der Bilddaten x in horizontaler und vertikaler Richtung; q entspricht dem Faktor der Unterabtastung a:s:b Erzeugt eine Zahlenreihe von a bis b mit Schrittweite s stem(x) Zeigt die Stützstellen der Funktion x an interp1(x,y,xx) Lineare Interpolation spline(x,y,xx) Spline Interpolation filter(a,b,x) Filterung der eindimensionalen Daten x mit den Filterkoeffizienten a, b upsample2(x,p) Zeilen- und spaltenweises Einfügen von p-1 Nullen in die Daten von x rgb2yuv(rgb) Erzeugt ein Array aus den Komponenten Y, U und V des YUV- Farbmodells aus dem RGB-Bild rgb ; Beispiel: [Y,U,V]=rgb2yuv(RGB); yuv2rgb(y,u,v) Erzeugt ein Array aus den Komponenten RGB, R, G und B des RGB-Modells aus den Komponenten des YUV-Farbmodells; Beispiel: [RGB,R,G,B]=yuv2rgb(Y,U,V); quant(x,s) Quantisierung der Daten x mit Schrittweite s zwischen den Quantisierungsstufen 22

23 4. Versuchsdurchführung 4.1 Benötigte Hilfsmittel FürdieAusführung des Versuchs werden folgende Mittel benötigt: - Rechner mit einer aktuellen Version von MATLAB und Schnittstelle zum Anschließen einer Digitalkamera / eines Druckers. - Digitalkamera - Ausdruck der Zonenplatte als Foto-Vorlage - Drucker 4.1 Versuchsaufgaben 1. Aufgabe: Motivation Nehmen Sie mit der eigenen oder einer gestellten Digitalkamera ein bildfüllendes Foto der Zonenplatte auf. Übertragen Sie dieses auf den Rechner und öffnen Sie es. Ändern Sie nun die Darstellungsgröße durch Zoomen oder durch Vergrößern bzw. Verkleinern der Fenstergröße. Welche Effekte treten dabei im Bild auf? Stellen Sie Überlegungen an, was mit den Bilddaten geschehen muss, damit Größenänderungen ohne Artefakte möglich sind! Öffnen Sie für die nachfolgenden Aufgaben die auf dem Rechner installierte Version von MATLAB. Die durchgeführten Einzelschritte sind jeweils graphisch zu dokumentieren. Für einen reibungslosen Ablauf ist es sinnvoll Variablen nicht zu überschreiben, sondern neue Variablennamen einzuführen. Die Fensterungen sollen über 5 Nulldurchgänge der jeweiligen Impulsantwort erfolgen, falls im entsprechenden Aufgabenteil keine explizite Vorgabe enthalten ist. 2. Aufgabe: FFT und Fensterung in MATLAB 2a) Erzeugen Sie in MATLAB einen Tiefpass mit rechteckförmiger Filterflanke bei der Grenzfrequenz f g = 128 Hz. Der Tiefpass soll aus insgesamt 1024 Samples bestehen, wodurch sich bei einer Frequenzauflösung von 1 Hz eine Abtastfrequenz von f a = 1024 Hz ergibt. StellenSiedenBetragderÜbertragungsfunktion graphisch dar! Der Tiefpass soll nun mittels inverser schneller Fourier-Transformation (IFFT) in den Zeitbereich transformiert werden. Dies muss symmetrisch zur Frequenz Null erfolgen (siehe Kapitel 2.7). Dazu wird der ifft- Funktion, neben dem zu transformierenden Tiefpass, der Zusatz symmetric übergeben. Welcher Funktionsverlauf ergibt sich im Zeitbereich für die Impulsantwort? Welchen zeitlichen Abstand besitzen aufeinander folgende Abtastwerte? 2b) Führen Sie eine Rechteck-Fensterung über die ersten 5 Nulldurchgänge der Impulsantwort durch. Transformieren Sie die gefensterte Zeitbereichsdarstellung mittels schneller Fourier- Transformation (FFT) in den Frequenzbereich zurück und betrachten Sie den Realteil der Frequenzbereichsdarstellung. Erläutern Sie die Auswirkung der Fensterung auf den idealen Tiefpass! 23

24 2c) Wiederholen Sie Aufgabe 1b und verwenden Sie statt dem Rechteck- ein Hann-Fenster. Welche Unterschiede stellen Sie im Vergleich zu Aufgabe 1b fest? Wie lassen sich diese erklären? 3. Aufgabe: Bildabtastung und Antialiasing-Filterung 3a) Erzeugen Sie mit Hilfe der Funktion zoneplate(n, per) das digitale Bild einer Kosinus-Zonenplatte mit der Kantenlänge n=640. Die kleinste periodische Struktur im Bild soll aus 6 Samples bestehen. 3b) Führen Sie eine Antialiasing-Filterung des Bildes durch. Dazu wird eine zusammenhängende Impulsantwort des Tiefpassfilters benötigt. Erzeugen Sie diese aus der gefensterten Impulsantwort aus Aufgabe 2c (n = 21) durch Verschieben der Samples. Nutzen Sie die dafür vorgesehene Funktion shift. Achten Sie beim Anwenden der Funktion imgfilter unbedingt auf die Reihenfolge der Parameter! Vergleichen Sie das gefilterte Bild mit dem Ergebnis aus Aufgabe 3a. Begründen Sie die Auswirkung der Filterung auf das Bild. 3c) Das gefilterte Bild soll nun vierfach unterabgetastet werden (q=4). Dies geschieht, indem in horizontaler und vertikaler Richtung nur jeder q-te Bildpunkt verwendet wird. Stellen Sie das unterabgetastete Bild auf dem Bildschirm dar und drucken Sie es aus! 3d) Führen Sie analog zu Aufgabe 3c eine vierfache Unterabtastung mit dem ungefilterten Bild aus Aufgabe 3a durch. Welche Unterschiede sind im Vergleich zum Ergebnis aus Aufgabe 3c festzustellen und wie kommen diese zustande? 4. Aufgabe: Interpolation 4a) Erzeugen Sie in MATLAB eine Sinus-Wellenzug der Länge 5 Perioden. Die Stützstellen sollen im Abstand von π/2 berechnet und graphisch dargestellt werden. Führen Sie zunächst eine lineare Interpolation, eine Interpolation mit Splines und zuletzt eine Interpolation mit einem passenden Tiefpass durch (vgl. Kapitel 2.9.3). Wie unterscheiden sich die Verläufe der Sinus-Funktion nach den verschiedenen Interpolationsarten? Begründen Sie die Unterschiede! Welche Besonderheit ergibt sich bei der Tiefpassfilterung und warum? 4b) Erzeugen Sie ein Bild der Zonenplatte mit n=160. Die kleinste vorhandene Struktur soll aus zwei Samples bestehen. Vergrößern Sie das Bild um den Faktor p=4. Nutzen Sie zur Interpolation einen auf den Skalierungsfaktor ausgelegten Tiefpass. Vergrößern Sie das erzeugte Bild mittels einfacher Pixelwiederholung. Stellen Sie die beiden Vergrößerten Darstellungen auf dem Bildschirm dar und drucken Sie die Bilder aus. Vergleichen Sie die Ergebnisse! Hinweis: Die Pixelwiederholung entspricht einer Interpolation Nullter Ordnung (Faltung mit [1111]). 24

25 5. Aufgabe: Farbunterabtastung und Quantisierung 5a) Lesen Sie die Bilddatei Farbtest.jpg aus dem Versuchsordner in MATLAB ein. Es soll nun eine 4:2:0 Farbunterabtastung durchgeführt werden, wozu Sie zunächst die Komponenten des YUV-Modells aus dem RGB-Bild erzeugen müssen. Betrachten Sie die einzelnen Komponenten! Für beide Farbdifferenzsignale soll eine Antialiasing-Filterung, eine Unterabtastung mit dem Faktor q = 2 und eine anschließende Interpolation durchgeführt werden. Dazu muss zunächst ein entsprechendes Filter konstruiert werden. Rekonstruieren Sie nun aus dem Y-Signal sowie den gerade unterabgetasteten und interpolierten Farbdifferenzsignalen U und V das RGB-Bild des Testbildes. Vergleichen Sie das rekonstruierte Bild mit dem Original auf dem Bildschirm! In welchen Bereichen des Bildes erkennen Sie Unterschiede? Wiederholen Sie den Versuchsteil mit der Bilddatei Lena.jpg. 5b) Mit Hilfe der MATLAB-Funktion quant ist es möglich, Wertemengen auf bestimmte Schrittweiten zu quantisieren. Wenden Sie diese Funktion mit verschiedenen Schrittweiten zwischen den Quantisierungsstufen auf beide Testbild an. Welchen Effekt hat die Beschränkung auf bestimmte Werte, die gleichermaßen für Rot-, Grün-, und Blauanteil gilt? Ab welcher Schrittweite können Sie auf dem Bildschirm keine Farbunterschiede mehr erkennen? Führen Sie die gleichen Untersuchungen für eine Quantisierung von Y sowie von U und V durch, wobei für U und V andere Quantisierungsstufenzahlen als für Y gewählt werden könne. Wie viele Bit wurden im Originalbild verwendet und wie viele Bit können durch die Quantisierung von RGB bzw. YUV eingespart werden? 4. Literatur [1] Jähne, B.: Digitale Bildverarbeitung, Springer, 2005 [2] Pandit, M.: Methoden der Digitalen Bildverarbeitung für die Anwendung, Fortschritt-Berichte VDI Reihe 10 Nr.669, VDI Verlag GmbH, 2001 [3] Rupprecht,W.: Signale und Übertragungssysteme, Springer, 1993 [4] Wahl, F.: Digitale Bildsignalverarbeitung, Springer, 1984 [5] Haberäcker: Digitale Bildverarbeitung (Grundlagen und Anwendungen), Hanser, 1991 [6] Kammeyer, K.; Kühn, V.: Matlab in der Nachrichtentechnik, J.Schlembach Fachverlag, 2001 Stand: