8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz"

Transkript

1 O Forster: Prizahlen 8 Quadratische Reste Rezirozitätsgesetz 81 Definition Sei eine natürliche Zahl 2 Eine ganze Zahl a heißt uadratischer Rest odulo (Abkürzung QR, falls die Kongruenz x 2 a od eine Lösung x Z besitzt Andernfalls heißt a uadratischer Nichtrest odulo (Abkürzung NR Dies lässt sich auch so ausdrücken: a ist genau dann uadratischer Rest odulo, wenn die Klasse von a i Ring Z/ ein Quadrat ist Wegen des Chinesischen Restsatzes kann an den allgeeinen Fall darauf zurückführen, dass der Modul eine Prizahlotenz ist, k Wir beschäftigen uns in dieser Vorlesung hautsächlich it de Fall k 1, dh uadratischen Resten odulo einer Prizahl Der Fall 2 ist trivial (jede ganze Zahl ist Quadrat odulo 2 Sei daher jetzt eine ungerade Prizahl Die Frage nach den uadratischen Resten odulo ist dann gleichbedeutend it der Frage nach den Quadraten i Körer Z/ Da 0 stets ein Quadrat ist, kann an sich auf (Z/ beschränken Betrachten wir zunächst ein Beisiel 11 x x od 11 Es sind also die Restklassen von 1,3,4,5,9 Quadrate in (Z/11, die Restklassen von 2,6,7,8,11 sind Nicht-Quadrate Es sind also genau die Hälfte der Eleente von (Z/11 Quadrate Wir werden sehen, dass dies auch für beliebige ungerade Prizahlen gilt Dies gilt nicht ehr für zusaengesetzte Moduln ZB haben wir für für 15 folgende Quadrate-Tafel für (Z/15 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14} x x od 15 Hier gibt es also nur zwei Quadrate Dies lässt sich so erklären: Nach de Chinesischen Restsatz gilt (Z/15 (Z/3 (Z/5 In (Z/3 gibt es nur ein Quadrat und in (Z/5 zwei Quadrate, also i Produkt auch nur zwei Quadrate 82 Definition (Legendre-Sybol Sei a Z und eine ungerade Prizahl Dann wird das Legendre-Sybol wie folgt definiert: 0, falls a, : +1, falls a und a ist QR od, 1, falls a und a ist NR od Ka 8 zuletzt geändert a:

2 8 Quadratische Reste Rezirozitätsgesetz Die Gleichung x 2 a od ist also genau dann lösbar, wenn 0 Offenbar gilt a b od ( b 83 Satz (Euler-Kriteriu Sei eine ungerade Prizahl Dann gilt für jede ganze Zahl a a ( 1/2 od Beweis Falls a, sind beide Seiten 0 od Wir können also i folgenden voraussetzen, dass a 1 Fall: a ist uadratischer Rest odulo Dann gibt es eine ganze Zahl b it a b 2 od Natürlich gilt auch b Daher folgt aus de kleinen Satz von Ferat a ( 1/2 b 1 1 od b 2 Fall: a ist uadratischer Nichtrest Sei g eine Priitivwurzel odulo Dann ist a g it einer ungeraden Zahl 2k + 1 Dait folgt a ( 1/2 g (2k+1( 1/2 g k( 1 g ( 1/2 g ( 1/2 1 od b Beerkung Wegen des schnellen Potenzierungs-Algorithus liefert Satz 83 eine effiziente Methode, das Legendre-Sybol zu berechnen Wir werden aber säter sehen, dass an ittels des uadratischen Rezirozitätsgesetzes das Legendre-Sybol noch schneller berechnen kann 84 Corollar Für jede ungerade Prizahl und alle ganzen Zahlen a, b gilt ( b b Aus der Multilikativität des Legendre-Sybols folgt zb dass das Produkt zweier uadratischer Nichtreste ein uadratischer Rest ist Das Corollar bedeutet, dass die Abbildung ( ( x : (Z/ ±1}, x ein Gruen-Hooorhisus ist Dieser Hooorhisus ist surjektiv, da eine Priitivwurzel g odulo sicher ein uadratischer Nichtrest ist Der Kern dieser Abbildung ist die Menge der Quadrate in (Z/ Dies ist eine Untergrue vo Index 2 Es gibt also ebenso viele Quadrate wie Nichtuadrate in (Z/ 82

3 O Forster: Prizahlen 85 Quadratisches Rezirozitätsgesetz Das uadratische Rezirozitätsgesetz acht eine Aussage darüber, wie sich die Legendresybole ( und ( zueinander verhalten, wobei zwei ungerade Prizahlen sind Es stellt sich heraus, dass beide Sybole denselben Wert haben, falls wenigstens eine der beiden Prizahlen 1 od 4 ist; dagegen sind die Sybole entgegengesetzt gleich, falls 3 od 4 Das Rezirozitätsgesetz wurde zuerst von Gauß bewiesen, nachde sich vorher schon ua Legendre und Euler vergeblich daru beüht hatten Gauß selbst hat 8 Beweise gegeben und bis heute wurden rund 200 Beweise veröffentlicht, wenn auch die eisten nur Varianten von vorherigen sind Wir bringen hier einen eleentaren, auf Gauß zurückgehenden Beweis Dazu brauchen wir einige Vorbereitungen Sei eine ungerade Prizahl Wir bezeichnen it H( das Halbsyste odulo, H( : 1, 2,, 1 2 } Für jede ganze Zahl n, die nicht durch teilbar ist, lässt sich ihre Restklasse odulo eindeutig schreiben als n ε u od it ε ±1} und u H( Man nennt εu den absolut kleinsten Rest von n odulo Sei nun eine Zahl a Z it a vorgegeben Für x H( definieren definieren wir ε a (x ±1} und σ a (x H( durch die Bedingung ax ε a (xσ a (x od Es ist leicht zu sehen, dass die Abbildung σ a : H( H( bijektiv, dh eine Perutation von H( ist 86 Satz (Gaußsches Lea Sei eine ungerade Prizahl und a eine zu teilerfrede ganze Zahl Dann gilt ε a (x x H( Dies ist äuivalent it folgender Aussage: Sei die Anzahl der Eleente von a,, 3a,, 1 2 a }, deren absolut kleinster Rest odulo negativ ist Dann ist 1, wenn gerade, und 1, wenn ungerade ist Beweis Es gilt (ax x H( x H( ε a (x x H( σ a (x 83 x H( ε a (x x H( x,

4 8 Quadratische Reste Rezirozitätsgesetz denn durchläuft x alle Eleente von H(, so durchläuft auch σ a (x alle Eleente von H( Andrerseits ist (ax a ( 1/2 x, x H( x H( also folgt it de Euler-Kriteriu ε a (x a ( 1/2, ed x H( Beisiel Sei 7 Dann ist H( 1, 2, 3} Für a 2 haben wir 2 1 2, , , also ε 2 (1 1, ε 2 (2 1, ε 2 (3 1, woraus folgt 1, dh 2 ist uadratischer 7 Rest odulo 7 In der Tat ist od 7 Für die Anwendung des Gaußschen Leas ist eine Uforulierung nützlich Sei weiter eine ungerade Prizahl und a eine ositive, zu teilerfrede ganze Zahl Für ν 1,, a betrachten wir die Intervalle I ν : x R : (ν 1 2 < x < ν 2 Offenbar ist für k H( 1,, ( 1/2} der absolut kleinste Rest von ka odulo genau dann negativ, dh ε a (k 1, wenn ka in eine Intervall I ν it gerade Index ν liegt Wir bezeichnen it r ν die Anzahl der ka, k H, die in I ν liegen Da kein ka auf eine Randunkt eines der I ν liegt, folgt r ν ν (ν 1, wobei x für eine reelle Zahl x die größte ganze Zahl x bezeichnet Nach de Gaußschen Lea ist ( 1 it Soit folgt 0<2ν a r 2ν 87 Corollar Sei eine ungerade Prizahl und a eine ositive, zu teilerfrede ganze Zahl Dann gilt } ( a/2 a ( ( 1 it k a k1 (k 1 2 a Als erste Anwendung beweisen wir die sog Ergänzungssätze zu Rezirozitätsgesetz 84

5 O Forster: Prizahlen 88 Satz Sei eine ungerade Prizahl Dann gilt: i (1 Ergänzungssatz ii (2 Ergänzungssatz ( 1 ( 1 ( 1/2 ( 1 (2 1/8 +1 für 1 od 4, 1 für 3 od 4 +1 für ±1 od 8, 1 für ±3 od 8 Beweis i Dies folgt aus de Gaußschen Lea, da ε 1 (x 1 für alle x H( Die Behautung ist aber auch eine direkte Anwendung des Euler-Kriterius 83 ii Für a 2 ergibt die Forel des Corollars 87 ( 1 it /2 /4 Wir werten dies durch Fallunterscheidung aus /2 /4 ( 1 8k + 1 4k 2k 2k +1 8k 1 4k 1 2k 1 2k +1 8k + 3 4k + 1 2k 2k k 3 4k 2 2k 1 2k 1 1 Daraus folgt die Behautung 89 Satz Sei eine ungerade Prizahl und a eine ositive, zu teilerfrede ganze Zahl Sei eine weitere Prizahl it ± od 4a Dann folgt Beweis Nach de Corollar 87 gilt ( 1 it a/2 (s 2ν s 2ν 1, wobei s k ν1 k und entsrechend ( 1 it a/2 (s 2ν s 2ν 1, wobei s k ν1 k 85

6 8 Quadratische Reste Rezirozitätsgesetz i Wir behandeln zunächst den Fall od 4a Dann ist + 4at it einer ganzen Zahl t Es folgt s k k + 4at k + 2kt k + 2kt s k + 2kt Also gilt od 2, woraus die Behautung folgt ii Sei jetzt od 4a, dh 4at it einer ganzen Zahl t Dann ist s k + s k k 4at + für 1 k a, da dann k k 2kt + k + k 2kt 1 keine ganze Zahl ist Es folgt (s 2ν s 2ν 1 + (s 2ν s 2ν 1 0 od 2 für 1 ν a/2, also od 2, ed 810 Satz (Quadratisches Rezirozitätsgesetz Seien zwei ungerade Prizahlen Dann gilt ( ( ( Dies lässt sich auch so aussrechen: Ist wenigstens eine der Prizahlen 1 od 4, so gilt ( ( ; falls aber 3 od 4, so folgt ( ( Beweis i Wir behandeln zuerst den Fall od 4 Dann ist + 4r it einer ganzen Zahl r, die wir als ositiv annehen können (sonst vertausche an die Rollen von und Außerde gilt r Nach Satz 89 ist Andrerseits ist ( 4r ( 4r + ( und unter Benutzung des 1 Ergänzungssatzes ( 4r ( ( ( ( 1 1 2, also ( (, falls 1 od 4 und ( (, falls 3 od 4 ii Falls od 4, gilt od 4, also + 4r it einer ganzen Zahl r Wieder gilt nach Satz 89 86

7 O Forster: Prizahlen und sowie ( 4r ( 4r ( 4r ( ( 4r (, also ( ( Dait ist das uadratische Rezirozitätsgesetz vollständig bewiesen Beerkung Wir haben hier das Rezirozitätsgesetz aus Satz 89 abgeleitet Ugekehrt lässt sich Satz 89 auch leicht ithilfe des Rezirozitätsgesetzes beweisen (Übung Als Anwendung der Ergänzungssätze zu uadratischen Rezirozitätsgesetz beweisen wir jetzt die Existenz von unendlich vielen Prizahlen in arithetischen Progressionen zu Modul Satz In jeder der arithetischen Progressionen 8k + 1, 8k + 3, 8k + 5, 8k + 7, (k N, gibt es unendlich viele Prizahlen Beweis Sei B > 0 eine vorgegebene Schranke und U das Produkt aller ungeraden natürlichen Zahlen B Wir definieren N 1 : (2U 4 + 1, N 3 : U 2 + 2, N 5 : U 2 + 4, N 7 : 8U 2 1 Da ein Quadrat einer ungeraden Zahl stets 1 od 8 ist, folgt U 2 1 od 8 und N k k od 8 für k 1, 3, 5, 7 Außerde besitzt N k keinen Priteiler < B Denn ein solcher Priteiler ist ungerade und teilt U Also kann nicht N k ohne Rest teilen Unser Satz wird deshalb bewiesen sein, wenn wir zeigen, dass N k einen Priteiler N k it k od 8 besitzt i Sei ein Priteiler von N 1 (2U Dann gilt (2U od, dh x 4 1 od it x : 2U Daraus folgt, dass das Eleent x in (Z/ die Ordnung 8 besitzt Daher ist 8 ein Teiler von #(Z/ 1, dh 1 od 8, ed 87

8 8 Quadratische Reste Rezirozitätsgesetz ii Sei ein Priteiler von N 3 U Dann folgt U 2 2 od ( 2 1 Aus den Ergänzungssätzen zu uadratischen Rezirozitäts-Gesetz folgt dann 1 od 8 oder 3 od 8 Es können aber nicht alle Priteiler von N 3 kongruent 1 od 8 sein, denn dann wäre N 3 1 od 8 Es gibt also indestens einen Priteiler N 3 it 3 od 8 iii Sei ein Priteiler von N 5 U Dann folgt U 2 4 od ( 1 1 Daraus folgt 1 od 4, dh 1 od 8 oder 5 od 8 Es können aber nicht alle Priteiler von N 5 kongruent 1 od 8 sein, denn dann wäre N 5 1 od 8 Es gibt also indestens einen Priteiler N 5 it 5 od 8 iv Sei ein Priteiler von N 7 8U 2 1 Dann folgt 8U od, also nach Multilikation it 2 (4U 2 2 od 1 Nach de 2 Ergänzungssatz zu uadratischen Rezirozitäts-Gesetz ist daher ±1 od 8 Es können aber nicht alle Priteiler von N 7 kongruent 1 od 8 sein, denn dann wäre N 7 1 od 8 Es gibt also indestens einen Priteiler N 7 it 1 7 od 8, ed 812 Das Jacobi-Sybol Es ist für anche Zwecke nützlich, das Legendre-Sybol auf den Fall zu verallgeeinern, dass der Nenner keine Prizahl ehr ist Sei 3 eine ungerade Zahl und 1 2 r die Prifaktor-Zerlegung von (die j sind nicht notwendig aarweise verschieden Dann definiert an für eine ganze Zahl a das Jacobi-Sybol durch : r j j1 Das Jacobi-Sybol genügt folgenden Rechenregeln: 1 ( b, falls a b od, 2 b, 88

9 O Forster: Prizahlen 3 4 für ungerade, k 3, k k 0 gcd(a, 1 Diese Regeln folgen unittelbar aus der Definition und den entsrechenden Regeln für das Legendre-Sybol Man beachte jedoch folgenden Unterschied zu Legendre-Sybol: Ist a uadratischer Rest odulo und gcd(a, 1, so folgt zwar 1, aber ugekehrt kann an aus 1 nicht schließen, dass a uadratischer Rest odulo ist ZB ist 2 weder uadratischer Rest od 3 noch od 5, also auch nicht uadratischer Rest od 15, aber ( 1 ( Satz (Quadratisches Rezirozitätsgesetz für das Jacobi-Sybol Sei 3 eine ungerade Zahl (1 1 Ergänzungssatz: (2 2 Ergänzungssatz: ( 1 ( 1 ( 1/2 ( 1 (2 1/8 +1 für 1 od 4, 1 für 3 od 4 +1 für ±1 od 8, 1 für ±3 od 8 (3 Ist k 3 eine weitere, zu teilerfrede ungerade Zahl, so gilt ( k ( k dh ( k und ( k ( k 1 2, ( k, falls 1 od 4 oder k 1 od 4 (, falls k 3 od 4 k Beweis (Zurückführung auf die entsrechenden Aussagen für das Legendre-Sybol 814 Effiziente Berechnung des Jacobi-Sybols Mit de Rezirozitätsgesetz kann an einen effizienten Algorithus zur Berechnung des Jacobi-Sybols herleiten: Es sei, a, Z, 3 ungerade, zu berechnen 89

10 8 Quadratische Reste Rezirozitätsgesetz (1 Zunächst reduziere an a od, dh an bestie ein a it a a od und 0 a < Natürlich ist Falls a 0 oder a 1 ist an fertig (2 Falls a gerade, schreibe an a 2 ν b it b ungerade (Falls a ungerade, ist b a und ν 0 Dann ist ν ( b, und ±1 kann nach de zweiten Ergänzungssatz berechnet werden Falls b 1, ist an fertig (3 Auf ( b kann jetzt das Rezirozitätsgesetz angewendet werden: ( b ( 1 b 1 2 ( 1 2 b Dies gilt auch, wenn b und nicht teilerfred sind, denn dann sind beide Seiten 0 Auf ( kann an jetzt wieder (1 anwenden Da die Nenner des Jacobi-Sybols b ier kleiner werden, ist an nach endlich vielen Schritten fertig Die Anzahl der Schritte ist vergleichbar it den bei Euklidischen Algorithus für die Berechnung von gcd(a, nötigen Schritte, wächst also nur linear it der Stellenzahl von Man beachte: Selbst wenn an nur ein Legendre-Sybol it einer Prizahl it dieser Methode ausrechnet, kann an zwischenzeitlich auf die allgeeineren Jacobi- Sybole stoßen Beisiel ( ( 85 ( ( ( 85 ( 3 (

16. Das Quadratische Reziprozitätsgesetz

16. Das Quadratische Reziprozitätsgesetz O Forster: Einführung in die Zahlentheorie 16 Das Quadratische Rezirozitätsgesetz 161 Das uadratische Rezirozitätsgesetz acht eine Aussage darüber, wie sich die Legendresybole ( und ( zueinander verhalten,

Mehr

1 Ordnung muß sein. 1.1 Angeordnete Körper. 1.2 Folgerungen aus den Anordnungsaxiomen. ( c) (b a) > 0. Somit a c b c > 0.

1 Ordnung muß sein. 1.1 Angeordnete Körper. 1.2 Folgerungen aus den Anordnungsaxiomen. ( c) (b a) > 0. Somit a c b c > 0. 1 Ordnung uß sein 1.1 Angeordnete Körper Wir nehen einal an, daß es in eine Körper Eleente gibt, die wir positiv nennen. Welche Eigenschaften sollen diese haben? O1) Wenn x und y positiv sind, dann auch

Mehr

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also

Mehr

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Dipl.-Math. Kevin Everard Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14 Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mehr

7 Rechnen mit Polynomen

7 Rechnen mit Polynomen 7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn

Mehr

11. Primfaktorzerlegungen

11. Primfaktorzerlegungen 78 Andreas Gathmann 11 Primfaktorzerlegungen Euch ist sicher aus der Schule bekannt, dass sich jede positive ganze Zahl a als Produkt a = p 1 p n von Primzahlen schreiben lässt, und dass diese Darstellung

Mehr

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt - 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +

Mehr

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in

Mehr

Einführung in die Algebra

Einführung in die Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 13 Einheiten Definition 13.1. Ein Element u in einem Ring R heißt Einheit, wenn es ein Element v R gibt mit uv = vu = 1. DasElementv

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

Zusatztutorium, 25.01.2013

Zusatztutorium, 25.01.2013 Zusatztutorium, 25.01.2013 David Müßig muessig[at]mi.fu-berlin.de http://page.mi.fu-berlin.de/def/tutorium/ WiSe 12/13 1 Der Homomorphiesatz Der Homomorphiesatz scheint für viele eine Art rotes Tuch zu

Mehr

7. Ringe und Körper. 7. Ringe und Körper 49

7. Ringe und Körper. 7. Ringe und Körper 49 7. Ringe und Körper 49 7. Ringe und Körper In den bisherigen Kapiteln haben wir nur Gruppen, also insbesondere nur Mengen mit lediglich einer Verknüpfung, untersucht. In der Praxis gibt es aber natürlich

Mehr

Algebra. Patrik Hubschmid. 8. Oktober 2013

Algebra. Patrik Hubschmid. 8. Oktober 2013 Algebra Patrik Hubschmid 8. Oktober 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Fortführung der Gruppentheorie 7 1.1 Sylowsätze.................................... 7 3 Vorwort Dieses Skript zur Vorlesung Algebra im Wintersemester

Mehr

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte 50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien

Mehr

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56 5 Beweistechniken Übersicht 5.1 Drei wichtige Beweistechniken................................. 55 5. Erklärungen zu den Beweistechniken............................ 56 Dieses Kapitel ist den drei wichtigsten

Mehr

7 Untergruppen, Faktorgruppen, Ideale, Restklassenringe

7 Untergruppen, Faktorgruppen, Ideale, Restklassenringe 7 Untergruppen, Faktorgruppen, Ideale, Restklassenringe und Homomorfismen Wir verallgemeinern den Übergang von Z zu Z/m. Sei im folgenden G eine (additiv geschriebene) abelsche Gruppe, H eine Untergruppe.

Mehr

Kongruenzrechnung. 2 Kongruenzrechnung 7 2.1 Rechnenregeln Addition und Multiplikation... 7 2.2 Rechenregeln bzgl. verschiedener Moduln...

Kongruenzrechnung. 2 Kongruenzrechnung 7 2.1 Rechnenregeln Addition und Multiplikation... 7 2.2 Rechenregeln bzgl. verschiedener Moduln... Kongruenzrechnung Inhaltsverzeichnis 1 Einführung und Definitionen 2 1.1 Einige Beispiele aus dem Alltag..................... 2 1.2 Kongruenzrechnung im Alltag und Rechenproben........... 3 1.3 Kongruenzen

Mehr

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS Herbstsemester 2015 gehalten von Harald Baum 2. September 2015 Inhaltsverzeichnis 1. Stichpunkte zur Linearen Algebra I 2. Körper 3. Vektorräume

Mehr

Bestimmung einer ersten

Bestimmung einer ersten Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,

Mehr

Mathematische Grundlagen der Kryptographie. 1. Ganze Zahlen 2. Kongruenzen und Restklassenringe. Stefan Brandstädter Jennifer Karstens

Mathematische Grundlagen der Kryptographie. 1. Ganze Zahlen 2. Kongruenzen und Restklassenringe. Stefan Brandstädter Jennifer Karstens Mathematische Grundlagen der Kryptographie 1. Ganze Zahlen 2. Kongruenzen und Restklassenringe Stefan Brandstädter Jennifer Karstens 18. Januar 2005 Inhaltsverzeichnis 1 Ganze Zahlen 1 1.1 Grundlagen............................

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Sei K ein Körper, a ij K für 1 i m, 1 j n. Weiters seien b 1,..., b m K. Dann heißt a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2... a m1

Mehr

Q(n) = n 0 +n 1 +n 2 +...+n k.

Q(n) = n 0 +n 1 +n 2 +...+n k. 25 2 Kongruenzen Mit Hilfe der hier definierten Kongruenz können Aussagen über Teilbarkeit einfacher formuliert und bewiesen werden, und man erhält eine Differenzierung der Zahlen, die bezüglich einer

Mehr

Algebraische Kurven. Vorlesung 26. Die Schnittmultiplizität

Algebraische Kurven. Vorlesung 26. Die Schnittmultiplizität Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2012 Algebraische Kurven Vorlesung 26 Die Schnittmultiplizität Es seien zwei ebene algebraische Kurven C,D A 2 K gegeben, die keine Komponente gemeinsam haben. Dann besteht

Mehr

Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen

Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen mathe online Skripten http://www.mathe-online.at/skripten/ Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen Franz Embacher Fakultät für Mathematik der Universität Wien E-mail: franz.embacher@univie.ac.at

Mehr

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist.

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist. Matrizennorm Es seien r,s N Mit M r,s (R bezeichnen wir die Menge der reellen r s- Matrizen (also der linearen Abbildungen R s R r, und setze M s (R := M s,s (R (also die Menge der linearen Abbildungen

Mehr

Stackelberg Scheduling Strategien

Stackelberg Scheduling Strategien Stackelberg Scheduling Strategien Von Tim Roughgarden Präsentiert von Matthias Ernst Inhaltsübersicht Einleitung Vorbetrachtungen Stackelberg Strategien Ergebnisse Seminar Algorithmische Spieltheorie:

Mehr

2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik

2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 57 2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik Uhr: Stunden mod 24, Minuten mod 60, Sekunden mod 60,... Rechnerarithmetik: mod 2 w, w {8, 16, 32,

Mehr

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Gleichungen Inhalt: 1. Grundlegendes 2. Lineare Gleichungen 3. Gleichungen mit Brüchen

Mehr

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen Gleichungen Lösen Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Was ist überhaupt eine Gleichung? Eine Gleichung ist, grundsätzlich eine Aussage über zwei mathematische Terme, dass sie gleich sind. Ein Term

Mehr

Lösungen zu Kapitel 7

Lösungen zu Kapitel 7 Lösungen zu Kapitel 7 Lösung zu Aufgabe 1: Nach Definition 7.1 ist eine Verknüpfung auf der Menge H durch eine Abbildung : H H H definiert. Gilt H = {a 1,..., a m }, so wird eine Verknüpfung auch vollständig

Mehr

Lenstras Algorithmus für Faktorisierung

Lenstras Algorithmus für Faktorisierung Lenstras Algorithmus für Faktorisierung Bertil Nestorius 9 März 2010 1 Motivation Die schnelle Faktorisierung von Zahlen ist heutzutage ein sehr wichtigen Thema, zb gibt es in der Kryptographie viele weit

Mehr

Absolute Stetigkeit von Maßen

Absolute Stetigkeit von Maßen Absolute Stetigkeit von Maßen Definition. Seien µ und ν Maße auf (X, Ω). Dann heißt ν absolut stetig bezüglich µ (kurz ν µ ), wenn für alle A Ω mit µ(a) = 0 auch gilt dass ν(a) = 0. Lemma. Sei ν ein endliches

Mehr

Gleichungen und Ungleichungen

Gleichungen und Ungleichungen Gleichungen Ungleichungen. Lineare Gleichungen Sei die Gleichung ax = b gegeben, wobei x die Unbekannte ist a, b reelle Zahlen sind. Diese Gleichung hat als Lösung die einzige reelle Zahl x = b, falls

Mehr

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 8. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/ schulz/elan-ws1011.html

Mehr

Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr!

Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr! Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr! Die mit dem Stern * gekennzeichneten Übungen sind nicht verpflichtend, aber sie liefern zusätzliche Punkte. Unten wird immer mit I das reelle Intervall [0, 1]

Mehr

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011 Mathematik für Informatiker II Christoph Eisinger Sommersemester 211 Beispiellösungen zur Probeklausur Aufgabe 1 Gegeben sind die Polynome f, g, h K[x]. Zu zeigen: Es gibt genau dann Polynome h 1 und h

Mehr

3. Die Eigenschaften der reellen Zahlen II: Geordnete Körper

3. Die Eigenschaften der reellen Zahlen II: Geordnete Körper 32 Andreas Gathmann 3. Die Eigenschaften der reellen Zahlen II: Geordnete Körper Wir haben bisher von den reellen Zahlen nur die Körpereigenschaften, also die Eigenschaften der vier Grundrechenarten ausgenutzt

Mehr

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt SS, Lineare Algebra Die Lösungen wurden erstellt von: Isabel Voigt, Vanessa Lamm und Matthias Rehder Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com aufrufbar.

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Friedrich Roesler Ralf Franken, PhD Max Lein Lineare Algebra 1 WS 26/7 en Blatt 4 13.11.26 Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität

Mehr

1. Übung zur Vorlesung,,Diskrete Strukturen (SS 01)

1. Übung zur Vorlesung,,Diskrete Strukturen (SS 01) 1 Übung zur Vorlesung,,Disrete Struturen (SS 01 Lösung zu Aufgabe Es ist zu zeigen: Für, n N 0 gilt Algebraischer Beweis ( ( n + n + + 1 0 Es sei n N 0 beliebig Wir beweisen die Behauptung durch Indution

Mehr

6 Berechnung der Kapitalentwicklung auf der Basis der Zinseszinsrechnung

6 Berechnung der Kapitalentwicklung auf der Basis der Zinseszinsrechnung 6 Berechnung der Kaitalentwicklung auf der Basis der Zinseszinsrechnung 61 Wertentwicklung ohne Gut- oder Lastschrift von Zinsen Beisiele: 1 Konstante Produktionszunahme Produktion im 1 Jahr: P 1 Produktion

Mehr

Ergänzungen zur Analysis I

Ergänzungen zur Analysis I 537. Ergänzungsstunde Logik, Mengen Ergänzungen zur Analysis I Die Behauptungen in Satz 0.2 über die Verknüpfung von Mengen werden auf die entsprechenden Regelnfür die Verknüpfung von Aussagen zurückgeführt.

Mehr

Modul Diskrete Mathematik WiSe 2011/12

Modul Diskrete Mathematik WiSe 2011/12 1 Modul Diskrete Mathematik WiSe 2011/12 Ergänzungsskript zum Kapitel 4.2. Hinweis: Dieses Manuskript ist nur verständlich und von Nutzen für Personen, die regelmäßig und aktiv die zugehörige Vorlesung

Mehr

Kapitel 4. Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform. 4.1 Euklidische Ringe

Kapitel 4. Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform. 4.1 Euklidische Ringe Kapitel 4 Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform 4.1 Euklidische Ringe Die Ringe der ganzen Zahlen, Z, sowie Polynomringe über Körpern, K[X], wobei K ein Körper ist, haben die folgenden Gemeinsamheiten:

Mehr

Das Briefträgerproblem

Das Briefträgerproblem Das Briefträgerproblem Paul Tabatabai 30. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Problemstellung und Modellierung 2 1.1 Problem................................ 2 1.2 Modellierung.............................

Mehr

TEILWEISE ASYNCHRONE ALGORITHMEN

TEILWEISE ASYNCHRONE ALGORITHMEN TEILWEISE ASYNCHRONE ALGORITHMEN FRANK LANGBEIN Literatur: D. Berseas, J. Tsitsilis: Parallel and distributed computatoin, pp. 48 489 URI: http://www.langbein.org/research/parallel/ Modell teilweiser asynchroner

Mehr

Euklidischer Algorithmus, Restklassenring und seine Struktur, Chinesischer Restklassensatz

Euklidischer Algorithmus, Restklassenring und seine Struktur, Chinesischer Restklassensatz Tobias Kraushaar Kaiserstr. 178 44143 Dortmund Matr.- Nr.: 122964 Euklidischer Algorithmus, Restklassenring und seine Struktur, Chinesischer Restklassensatz 1. EINLEITUNG... 2 2. HAUPTTEIL... 3 2.1. Der

Mehr

Anhang I zur Vorlesung Kryptologie: Elementare Zahlentheorie

Anhang I zur Vorlesung Kryptologie: Elementare Zahlentheorie Anhang I zur Vorlesung Kryptologie: Elementare Zahlentheorie von Peter Hellekalek Fakultät für Mathematik, Universität Wien, und Fachbereich Mathematik, Universität Salzburg Tel: +43-(0)662-8044-5310 Fax:

Mehr

Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr.

Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr. Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr. Kurzweil Florian Franzmann André Diehl Kompiliert am 10. April 2006 um 18:33

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Linearkombinationen, Basen, Lineare Abbildungen 2.1 Lineare Unabhängigkeit Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig? (a) 1, 2, 3 im Q Vektorraum R (b)

Mehr

Quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen Aufgabe: Versuche eine Lösung zu den folgenden Zahlenrätseln zu finden:.) Verdoppelt man das Quadrat einer Zahl und addiert, so erhält man 00..) Addiert man zum Quadrat einer Zahl

Mehr

Mathematik 1. Lösungsvorschläge zum 2. Übungsblatt

Mathematik 1. Lösungsvorschläge zum 2. Übungsblatt Hochschule Regensburg Fakultät Informatik/Mathematik Christoph Böhm Wintersemester 0/0 Wirtschaftsinformatik Bachelor IW Informatik Bachelor IN Vorlesung Mathematik Mathematik Lösungsvorschläge zum Übungsblatt

Mehr

Beispiellösungen zu Blatt 111

Beispiellösungen zu Blatt 111 µ κ Mathematisches Institut Georg-August-Universität Göttingen Beispiellösungen zu Blatt 111 Aufgabe 1 Ludwigshafen hat einen Bahnhof in Dreiecksform. Markus, Sabine und Wilhelm beobachten den Zugverkehr

Mehr

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u.

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u. Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. C. Hesse PD Dr. P. H. Lesky Dipl. Math. D. Zimmermann Msc. J. Köllner FAQ 3 Höhere Mathematik I 4..03 el, kyb, mecha, phys Vektorräume Vektorräume

Mehr

Vorlesung. 1 Zahlentheorie in Z. Leitfaden. 1.1 Teilbarkeit. Angela Holtmann. Algebra und Zahlentheorie. (natürliche Zahlen ohne die Null)

Vorlesung. 1 Zahlentheorie in Z. Leitfaden. 1.1 Teilbarkeit. Angela Holtmann. Algebra und Zahlentheorie. (natürliche Zahlen ohne die Null) Algebra und Zahlentheorie Vorlesung Algebra und Zahlentheorie Leitfaden 1 Zahlentheorie in Z Bezeichnungen: Z := {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} (ganze Zahlen) und N := {1, 2, 3,...} (natürliche Zahlen

Mehr

Projektive Moduln. Lemma/Definition 1.1. Folgende Aussagen für einen R-Modul P sind äquivalent: (i) P erfüllt folgende Liftungseigenschaft:

Projektive Moduln. Lemma/Definition 1.1. Folgende Aussagen für einen R-Modul P sind äquivalent: (i) P erfüllt folgende Liftungseigenschaft: Seminar Summen von Quadraten und K-Theorie Projektive Moduln Im Folgenden sei R ein assoziativer Ring mit Eins, nicht notwendigerweise kommutativ. R-Modul ist im Folgenden stets ein Rechts-R-Modul. Ein

Mehr

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen Kapitel 2 Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen In diesem Abschnitt sollen im wesentlichen Verfahren zur Bestimmung des Minimums von nichtglatten Funktionen in einer Variablen im Detail vorgestellt

Mehr

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 $Id: jordan.tex,v.6 /6/7 8:5:3 hk Exp hk $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5.4 Die Jordansche Normalform Wir hatten bereits erwähnt, dass eine n n

Mehr

Vorlesung Analysis I / Lehramt

Vorlesung Analysis I / Lehramt Vorlesung Analysis I / Lehramt TU Dortmund, Wintersemester 2012/ 13 Winfried Kaballo Die Vorlesung Analysis I für Lehramtsstudiengänge im Wintersemester 2012/13 an der TU Dortmund basiert auf meinem Buch

Mehr

RSA Verfahren. Kapitel 7 p. 103

RSA Verfahren. Kapitel 7 p. 103 RSA Verfahren RSA benannt nach den Erfindern Ron Rivest, Adi Shamir und Leonard Adleman war das erste Public-Key Verschlüsselungsverfahren. Sicherheit hängt eng mit der Schwierigkeit zusammen, große Zahlen

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen.

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. 13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. Sie heißt linear, wenn sie die Form y (n) + a n 1 y (n 1)

Mehr

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x

Mehr

1 Mathematische Grundlagen

1 Mathematische Grundlagen Mathematische Grundlagen - 1-1 Mathematische Grundlagen Der Begriff der Menge ist einer der grundlegenden Begriffe in der Mathematik. Mengen dienen dazu, Dinge oder Objekte zu einer Einheit zusammenzufassen.

Mehr

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Aufgabe. Man betrachte die Matrix A := über dem Körper R und über dem Körper F und bestimme jeweils die Jordan- Normalform. Beweis. Das charakteristische

Mehr

Basis und Dimension. Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren.

Basis und Dimension. Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren. Basis und Dimension Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren. Definition. Sei V ein K-Vektorraum und (v i ) i I eine Familie von Vektoren

Mehr

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Das Eigenwertproblem Sei A eine quadratische Matrix vom Typ m,m. Die Aufgabe, eine Zahl λ und einen dazugehörigen Vektor x zu finden, damit Ax = λx ist, nennt

Mehr

Charakteristikenmethode im Beispiel

Charakteristikenmethode im Beispiel Charakteristikenmethode im Wir betrachten die PDE in drei Variablen xu x + yu y + (x + y )u z = 0. Das charakteristische System lautet dann ẋ = x ẏ = y ż = x + y und besitzt die allgemeine Lösung x(t)

Mehr

6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion)

6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion) 6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion) Scan-Konvertierung ist die Rasterung von einfachen Objekten (Geraden, Kreisen, Kurven). Als Ausgabemedium dient meist der Bildschirm, der aus einem Pixelraster

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume?

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2013/14 Isomorphie Zwei Graphen (V 1, E 1 ) und (V

Mehr

Werkstatt Euler und die Lösung der quadratischen Gleichung

Werkstatt Euler und die Lösung der quadratischen Gleichung Werkstatt Leonhard Euler und die Lösung der quadratischen Gleichungen Im Jahr 1767 hat der Mathematiker Leonhard Euler (1707 1783) das Buch Vollständige Anleitung zu Algebra im russischen Original veröffentlicht,

Mehr

Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach)

Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach) MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Prof. Dr. D. Rost SS 0 Blatt.06.0 Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach) Abgabe: Dienstag, 0. Juli 0, bis 4:00

Mehr

a n + 2 1 auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert:

a n + 2 1 auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert: Beispiel: Wir untersuchen die rekursiv definierte Folge a 0 + auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert: ( ) (,, 7, 5,...) Wir können also vermuten, dass die Folge monoton fallend

Mehr

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen

Mehr

7 Die Sätze von Fermat, Euler und Wilson

7 Die Sätze von Fermat, Euler und Wilson 53 7 Die Sätze von Fermat, Euler und Wilson Es gibt einige Sätze aus der elementaren Zahlentheorie, die Spezialfälle von Aussagen über endliche Gruppen sind. Z.B. gilt für ein beliebiges Element x einer

Mehr

Kleiner Satz von Fermat

Kleiner Satz von Fermat Kleiner Satz von Fermat Satz Kleiner Satz von Fermat Sei p P. Dann gilt a p a mo p für alle a Z. Wir führen zunächst eine Inuktion für a 0 urch. IA a = 0: 0 p 0 mo p. IS a a+1: Nach vorigem Lemma gilt

Mehr

Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung

Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Klaus-R. Löffler Inhaltsverzeichnis 1 Einfach zu behandelnde Sonderfälle 1 2 Die ganzrationale Funktion dritten Grades 2 2.1 Reduktion...........................................

Mehr

Lange Nacht der Wissenschaft. Ein Klassiker. Die Mathematik der Kürzesten Wege

Lange Nacht der Wissenschaft. Ein Klassiker. Die Mathematik der Kürzesten Wege Lange Nacht der Wissenschaft Ein Klassiker Die Mathematik der Kürzesten Wege 09.06.2007 schlechte@zib.de Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik Berlin (ZIB) http://www.zib.de/schlechte 2 Überblick

Mehr

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x

Mehr

2. Teilbarkeit. Euklidischer Algorithmus

2. Teilbarkeit. Euklidischer Algorithmus O. Forster: Einführung in die Zahlentheorie 2. Teilbarkeit. Euklidischer Algorithmus 2.1. Wir benutzen die folgenden Bezeichnungen: Z = {0, ±1, ±2, ±3,...} Menge aller ganzen Zahlen N 0 = {0, 1, 2, 3,...}

Mehr

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann 22 Andreas Gathmann 3. Zusammenhang Eine der anschaulichsten Eigenschaften eines topologischen Raumes ist wahrscheinlich, ob er zusammenhängend ist oder aus mehreren Teilen besteht. Wir wollen dieses Konzept

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Eines der am häufigsten auftretenden Standardprobleme der angewandten Mathematik ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder

Mehr

Satz. Für jede Herbrand-Struktur A für F und alle t D(F ) gilt offensichtlich

Satz. Für jede Herbrand-Struktur A für F und alle t D(F ) gilt offensichtlich Herbrand-Strukturen und Herbrand-Modelle Sei F eine Aussage in Skolemform. Dann heißt jede zu F passende Struktur A =(U A, I A )eineherbrand-struktur für F, falls folgendes gilt: 1 U A = D(F ), 2 für jedes

Mehr

6 Allgemeine Theorie des elektromagnetischen Feldes im Vakuum

6 Allgemeine Theorie des elektromagnetischen Feldes im Vakuum 6 ALLGEMEINE THEORIE DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES IM VAKUUM 25 Vorlesung 060503 6 Allgemeine Theorie des elektromagnetischen Feldes im Vakuum 6.1 Grundaufgabe der Elektrodynamik Gegeben: Ladungsdichte

Mehr

Bericht vom 1. Leipziger Seminar am 25. November 2006

Bericht vom 1. Leipziger Seminar am 25. November 2006 Bericht vom 1. Leipziger Seminar am 25. November 2006 Das Wythoff-Nim-Spiel Wir wollen uns ein Spiel für zwei Personen ansehen, welches sich W.A.Wythoff 1907 ausgedacht hat: Vor den Spielern liegen zwei

Mehr

1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage:

1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 1 1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Für alle m, n N gilt m + n = n + m. in den Satz umschreiben:

Mehr

Über Potenzsummenpolynome

Über Potenzsummenpolynome Über Potenzsuenpolynoe Jörg Feldvoss I Sande 4b, D-21369 Nahrendorf Gerany Einleitung Für jede natürliche Zahl n bezeichnen wir it P n das n-te Potenzsuenpolyno, welches dadurch gegeben ist, dass es für

Mehr

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Kapitel 6: Induktives Vorgehen Thomas Worsch KIT, Institut für Theoretische Informatik Wintersemester 2015/2016 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische

Mehr

Approximation durch Taylorpolynome

Approximation durch Taylorpolynome TU Berlin Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften Sekretariat MA 4-1 Straße des 17. Juni 10623 Berlin Hochschultag Approximation durch Taylorpolynome Im Rahmen der Schülerinnen- und Schüler-Uni

Mehr

Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme

Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Wir befassen uns nun mit der Lösung im allgemeinen nichthomogener linearer Gleichungssysteme in zweifacher Hinsicht. Wir studieren

Mehr

PROSEMINAR ONLINE ALGORITHMEN

PROSEMINAR ONLINE ALGORITHMEN PROSEMINAR ONLINE ALGORITHMEN im Wintersemester 2000/2001 Prof. Dr. Rolf Klein, Dr. Elmar Langetepe, Dipl. Inform. Thomas Kamphans (Betreuer) Vortrag vom 15.11.2000 von Jan Schmitt Thema : Finden eines

Mehr

!(0) + o 1("). Es ist damit möglich, dass mehrere Familien geschlossener Orbits gleichzeitig abzweigen.

!(0) + o 1(). Es ist damit möglich, dass mehrere Familien geschlossener Orbits gleichzeitig abzweigen. Bifurkationen an geschlossenen Orbits 5.4 167 der Schnittabbldung konstruiert. Die Periode T (") der zugehörigen periodischen Lösungen ergibt sich aus =! + o 1 (") beziehungsweise Es ist also t 0 = T (")

Mehr

Ringe und Moduln. ausgearbeitet von. Corinna Dohle Matrikelnummer 6299128 corinna@math.upb.de

Ringe und Moduln. ausgearbeitet von. Corinna Dohle Matrikelnummer 6299128 corinna@math.upb.de Ringe und Moduln ausgearbeitet von Corinna Dohle Matrikelnummer 6299128 corinna@math.upb.de Seminar Darstellungstheorie Prof. Dr. H. Krause, PD Dr. D. Kussin Wintersemester 2007/2008 Grundlagen 1 Grundlagen

Mehr

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a,

Mehr

DLP. Adolphe Kankeu Tamghe papibobo@informatik.uni-bremen.de ALZAGK SEMINAR. Bremen, den 18. Januar 2011. Fachbereich Mathematik und Informatik 1 / 27

DLP. Adolphe Kankeu Tamghe papibobo@informatik.uni-bremen.de ALZAGK SEMINAR. Bremen, den 18. Januar 2011. Fachbereich Mathematik und Informatik 1 / 27 DLP Adolphe Kankeu Tamghe papibobo@informatik.uni-bremen.de Fachbereich Mathematik und Informatik ALZAGK SEMINAR Bremen, den 18. Januar 2011 1 / 27 Inhaltsverzeichnis 1 Der diskrete Logarithmus Definition

Mehr

Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen - Einführung in die Theorie, Numerische Methoden und Anwendungen

Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen - Einführung in die Theorie, Numerische Methoden und Anwendungen Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen - Einführung in die Theorie, Numerische Methoden und Anwendungen Dr. Abebe Geletu Ilmenau University of Technology Department of Simulation and Optimal Processes

Mehr

Vorbemerkungen zur Optionsscheinbewertung

Vorbemerkungen zur Optionsscheinbewertung Vorbeerkungen zur Optionsscheinbewertung Matthias Groncki 24. Septeber 2009 Einleitung Wir wollen uns it den Grundlagen der Optionsscheinbewertung beschäftigen. Dazu stellen wir als erstes einige Vorraussetzungen

Mehr

Was ist Mathematik? Eine Strukturwissenschaft, eine Geisteswissenschaft, aber keine Naturwissenschaft.

Was ist Mathematik? Eine Strukturwissenschaft, eine Geisteswissenschaft, aber keine Naturwissenschaft. Vorlesung 1 Einführung 1.1 Praktisches Zeiten: 10:00-12:00 Uhr Vorlesung 12:00-13:00 Uhr Mittagspause 13:00-14:30 Uhr Präsenzübung 14:30-16:00 Uhr Übungsgruppen Material: Papier und Stift wacher Verstand

Mehr

Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme

Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Übung Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Diese Übung beschäftigt sich mit Grundbegriffen der linearen Algebra. Im Speziellen werden lineare Abbildungen, sowie

Mehr