1 Grundlagen: Abbildung mit Linsen

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1 C B KOP/ Koppelprobleme KOP Dieses Kapitel beschäftigt sich mit Fragestellungen bezüglich der Verkopplung von Wellenleitern sowie Stecker oder Spleiÿe. Grundlagen: bbildung mit Linsen Zunächst werden die Linsenabbildungen mit geometrischer Optik beschrieben. Einige Grundbegrie sind siehe auch bb. : Brennweite der Linse: f Gegenstandsweite: a Bildweite: b Gegenstandsgröÿe: r Bildgröÿe: r B > Es gilt die bbildungsgleichung bbildung : Linsenabbildung in geometrischer Optik a + b f Wenn sowohl die Gegenstandsweite, als auch die Bildweite gröÿer sind als die Brennweite a > f, b > f, spricht man von gegenständlicher bbildung und es gilt für den bbildungsmaÿstab r r b a Beispiel: Der Gegenstand soll : auf das Bild abgebildet werden. r b r a a b f 3 uf der Linse soll nun der Bereich d ausgeleuchtet werden. Wenn die Winkel ; sind, dann gilt 4 d a ; d b

2 KOP/ und damit r r 5 Für gröÿere, wird daraus die sogenannte bbe'sche Sinusbedingung ohne Beweis r sin r sin 6 oder mit den numerischen perturen N sin und N sin r N r N 7 Nun soll eine kreisförmige Lichtquelle der Fläche F r und der numerischen pertur N betrachtet werden. us Gl. 7 folgt, dass diese Fläche F auf eine Fläche F r mit der numerischen pertur N abgebildet wird gemäÿ F N F N 8 Da die numerische Empfangsapertur N nicht beliebig gesteigert werden kann, gibt Gl. 8 auch die maximal mögliche Verkleinerung an, d.h. auf welche minimale Fläche F eine verlustfreie bbildung möglich ist. Für die numerische pertur der abgebildeten Fläche gilt N <, da auf jeden Fall < 90 gilt. Sind F und N vorgegeben gilt also: N F N F < F F N 9 Das bedeutet, dass die Fläche F, auf die verlustfrei abgebildet werden kann, mindestens die Gröÿe des Produktes aus strahlender Fläche und dem Quadrat der numerischen pertur haben muss. Beispiel: Die Lichtquelle wird durch eine voll ausgeleuchtete Stufenfaser mit dem Kerndurchmesser a 50µm und der numerischen pertur N 0; dargestellt. Die minimale Fläche, auf die verlustfrei abgebildet werden kann ist dann F 5µm. F entspricht also einer Fläche mit mindestens 0 µm Durchmesser. Gl. 8 soll nun in bezug auf Stufenfasern näher betrachtet werden. Es ist Daraus folgt F a und N n n 0 F N a n n n 4 a n 4 k 0a N 4 V M M V ist die nzahl der ausbreitungsfähigen Wellen in der Stufenfaser vergl. Kapitel GR, Gl. 7. llgemein kann M auch als nzahl der Freiheitsgrade der Lichtquelle interpretiert werden. Damit lässt sich Gl. 8 auch so interpretieren, dass die nzahl der Eigenwellen bzw. Freiheitsgrade

3 C KOP/3 beim Durchgang durch optische Systeme erhalten bleibt. Insbesondere ist es nicht möglich, von einer Faser mit M Eigenwellen verlustfrei in eine Faser mit M Eigenwellen einzukoppeln, wenn M < M. Dies ist ähnlich zum. auptsatz der Thermodynamik. Ein System in Unordnung lässt sich nicht in ein geordnetes System überführen.. bsolute Grenze des uösungsvermögens Für die einwellige Faser M, wegen Polarisationen wird das Produkt F N in Gl. minimal. Für M wird aus Gl. : F Nj min Gl. steht in engem Zusammenhang zur Beziehung zwischen Wirkäche und Gewinn bei ntennen siehe ochfrequenztechnik I.. bbildung : Der Strahlkegel mit halbem Önungswinkel beschreibt für in der Einheitskugel eine Fläche Wenn für den halben Önungswinkel des Strahlkegels bb. gilt, so ist N sin x x für x. Der Raumwinkel ist dann: N 3 Bei ntennen ist der Gewinn Giso deniert als das Verhältnis des Raumwinkels des gesamten Raums 4 ^ Oberäche der Einheitskugel zum bestrahlten Raumwinkel: Giso 4 4 F Giso F N 4 4 wobei sich F als ntennenwirkäche interpretieren lässt. Dieses Verhältnis zwischen Wirkäche F und Gewinn Giso entspricht genau der in "ochfrequenztechnik I" abgeleiteten Beziehung. Innerhalb der minimalen Fläche F min in Gl. lassen sich Details nicht mehr auösen. Unter nnahme einer Kreisäche erhält man mit F min d min4 die uösungsgrenze: dmin 5 N 6

4 C C C C KOP/4 Die gleiche Beziehung erhält man aus der Gleichung 0 w 0 n aus dem Kapitel STR mit N n 0 und dmin w 0. dmin N 8 Die uösungsgrenze dmin gibt sowohl an, inwieweit Details aufgelöst werden können, als auch bis zu welcher minimalen Gröÿe ein Strahl fokussiert werden kann. Beispiel: Bei einer typischen numerischen pertur N 0; 3 und einer Wellenlänge 0; 6µm ist die minimale uösungsgrenze durch dmin µm gegeben. Verkopplung von vielmodigen Stufenfasern bb. 3 zeigt die Verkopplung von zwei Stufenfasern mit einem Versatz von x zwischen den Fasern. Es soll hier zunächst angenommen werden, dass die Fasern und sehr viele Eigenwellen führen, so dass die geometrische Optik anwendbar ist. 7. I. I bbildung 3: Verkopplung von Stufenfasern Entsprechend Gl. 8 gilt bei bbildungen, dass das Produkt aus strahlender Fläche und dem Quadrat der numerischen pertur F N a sin g 9 auch bei bbildung erhalten bleibt. Die verlustfreie bbildung von Faser in Faser ist nur für a sin g a sin g 0 möglich. ndernfalls beträgt bei gleichmäÿiger usleuchtung von Faser der maximale Koppelwirkungsgrad a sin max g a N a sin g a N

5 N., O N KOP/5 bzw. mit der nzahl der geführten Wellen in Faser und M, M max M für M M < M sonst uch für Gradientenfasern ist dies der maximal erreichbare Koppelwirkungsgrad.. Stoÿkopplung von Stufenfasern., N.. I. I bbildung 4: Stoÿkopplung von Stufenfasern mit Versatz x von der Seite a und im Querschnitt b Es soll der Wirkungsgrad der Stoÿkopplung zwischen zwei Stufenfasern bestimmt werden, die einen Versatz von x zwischen ihren Mittelpunkten aufweisen bb. 4. Die beiden Fasern seien durch ihre Kernradien a, a und numerischen perturen N, N charakterisiert. Der Koppelwirkungsgrad von Faser nach Faser ist dann gegeben durch Dabei ist F F > F 3 ^ F Flächenüberlappung 4 für N N ^ Raumwinkelüberlappung 5 für N < N N N Beispiel: Bei der Verbindung gleicher Stufenfasern a a a, N N gilt für einen Versatz, der sehr viel kleiner ist als der Kernradius der Stufenfasern x a x a Eventuelle Verluste durch Reexionen sind dabei vernachlässigt. 6

6 C G KOP/6 3 Stoÿkopplung zwischen vielmodigen Gradientenfasern Zunächst wird angenommen, dass die Gradientenfaser nicht am Fasermittelpunkt, sondern an der Stelle r mit einem Strahlkegel mit dem Önungswinkel r beleuchtet wird bb. 5. bbildung 5: Die Gradientenfaser wird an der Stelle r mit einem Strahlkegel Önungswinkel r beleuchtet. Bei der Einkopplung wird der Strahl unter dem Winkel r in einen eingekoppelten Strahl mit dem Winkel r gebrochen nach Maÿgabe des Snellius'schen Brechungsgesetzes, sinr nr sinr. Jedem Winkel r lässt sich nun eine Eigenwelle mit der Phasenkonstante zuordnen. Da bei geführten Wellen > n k 0 ist, folgt und damit nrk 0 cosr 7 cosr > n nr sinr nr sinr nr cos r < n r n! Nl r sin m r 9 Dabei ist Nl r die lokale numerische pertur und m r der maximale kzeptanzwinkel, beides in bhängigkeit von der radialen Position r des Strahlkegels. Es ist: 8 Nl 0 N n n mit n nrj r0 30 Entsprechend bb. 6 lässt sich die lokale numerische pertur als Funktion von r darstellen, wobei diese Darstellung auch als Phasenraumdiagramm bezeichnet wird. Der Flächeninhalt unter dem Graphen in bb. 6 ist bestimmt durch F a 0 a Nlr dr nr n r dr k 0 0 und ist damit proportional zur nzahl der von der Faser geführten Wellen. M M 3

7 KOP/7 I E C I E C bbildung 6: Die lokale numerische pertur Nl in bhängigkeit vom radialen Ort r in einem Phasenraumdiagramm. Der schraerte Bereich stellt dabei die für eine Einkopplung erlaubten Winkel r dar. 3. Bestimmung des Koppelwirkungsgrades Die Berechnung des Koppelwirkungsgrades ist ähnlich wie bei der Stufenfaser. Die numerische pertur ist nun jedoch ortsabhängig. Für die Kopplung von Faser nach Faser vergl. bb. 4 ergibt sich der Koppelwirkungsgrad zu Sx; yx; y dx dy Sx; y dx dy 3 Sx; y ist die Leistungsdichte in Faser an der Stelle x,y und x; y ist der lokale Koppelwirkungsgrad, für den gilt für Nl x; y Nl x; y x; y 33 für Nl x; y < Nl x; y Nl Nl Nl und Nl bezeichnen dabei jeweils die lokalen numerischen perturen der Fasern und. Im allgemeinen nimmt man an, dass die Faser gleichmäÿig ausgeleuchtet wird entspricht einer gleichmäÿigen nregung aller Eigenwellen, so dass dann gilt ohne Beweis: Sr Nlr n r n : 34 Ein Beispiel ist die Kopplung von zwei gleichen Fasern mit einem Potenzprol und einem Versatz x a. Der Koppelwirkungsgrad ist in diesem Fall x g + a g + Für den Grenzfall g! Stufenprol geht Gl. 35 in Gl. 6 über. Ein Sonderfall ist die Verkopplung von zwei verschiedenen Fasern ohne Versatz x 0. ier gilt: r r r, so dass der Koppelwirkungsgrad mit ilfe des Phasenraumdiagramms in bb. 7 bestimmt 35

8 C KOP/8 werden kann. Die Fasern seien folgendermaÿen dimensioniert: Faser : a, N Faser : a < a, N > n N I E. I.? D..? D.. I.? D. bbildung 7: Bestimmung des Koppelwirkungsgrades mit ilfe des Phasenraumdiagramms Der Koppelwirkungsgrad lässt sich dann beschreiben als. Faser! Faser : F 36 F. Faser! Faser : F 37 F Durch bbildungen z.b. mit ilfe von Linsen lässt sich der Koppelwirkungsgrad bis zu max nach Gl. erhöhen z.b. mit Linsensteckern. 4 bbildung von Gauÿ'schen Strahlen Zunächst soll untersucht werden, wie eine sphärische Linse mit der Brennweite f ein einfallendes Feld verändert. Die Funktion einer Linse besteht bezüglich eines einfallenden elektromagnetischen Feldes ausschlieÿlich darin, eine ortsabhängige Phasenänderung herbeizuführen. Eine sphärische Linse führt dabei zu einer Phasenänderung proportional zu r, wobei r den lateralen bstand zur Linsenmitte beschreibt. Wenn mit E x das Feld unmittelbar links neben der Linse bezeichnet wird, dann gilt für E x unmittelbar rechts neben der Linse: E x r; ' E x r; ' exp jp 0 + j k 0r f 38

9 - N KOP/9 E - N bbildung 8: Durchgang eines Feldes durch eine Linse Dabei ist P 0 die Phasenverschiebung für r 0. Die Phasenänderung mit r wird durch den Vorfaktor k 0 f bestimmt, wobei f die Brennweite der Linse charakterisiert, was im folgenden noch genauer deutlich wird. Reexionen an der Linse werden vernachlässigt. 4 4 > M M > bbildung 9: Transformation eines Gauÿ'schen Strahls mit einer Sammellinse Im folgenden soll nun die bbildung eines Gauÿ'schen Strahls behandelt werden. Eine solche bbildung ist schematisch in bb. 9 skizziert, wobei mit der axialen Koordinate z der Gauÿ'sche Strahl links von der Linse und mit z der Gauÿ'sche Strahl rechts von der Linse beschrieben werden soll. Der Fleckradius der einfallenden Welle Medium Luft: n am Ort z wird beschrieben durch siehe auch bb. 9 z + 39 w z w 0 w 0

10 KOP/0 Der Krümmungsradius der Phasenfront ist R z z + w 0 z Mit der Felddarstellung aus dem Kapitel STR folgt daraus E x z a E 0 exp jp jk 0 r R a und mit Gl. 38 folgt nach dem Durchgang durch die Linse E x z b E 0 exp jp jk 0 r R b 40 r w a r w b mit P P 0 +P und w a w b, d.h. das Feld hat die gleiche radiale usdehnung unmittelbar vor und nach der Linse. uÿerdem folgt für die Krümmungsradien: R b R a Für bbildungen wie in bb. 9 hat R a positives und R b negatives Vorzeichen, d.h. für eine solche bbildung muss gelten R a > f. ls Beispiel seien Fasern mit den Fleckradien w 0 und w 0, sowie eine Linse der Brennweite f vorgegeben. Gesucht sind nun die bstände a und b für eine optimale bbildung. Gemäÿ Kapitel STR lässt sich sowohl dem Strahl links der Linse ein q z und dem Strahl rechts der Linse ein q z zuordnen. In Verallgemeinerung von Gl. 43 gilt und es folgt q b q a q a q 0 + a mit q 0 j w 0 q b q 0 b mit q 0 j w 0 Nach Einsetzen in Gl. 44 folgt: f f q 0 + af q 0 bf q 0 + aq 0 b 47 Die Betrachtung des Realteiles von Gl. 47 führt auf die Gleichung mit a f b f + a b + f 0 48 f 0 p q 0 q 0 w 0 w 0 49

11 O, N KOP/ Mit den Fernfeldwinkeln 0 w 0 und 0 w 0 f 0 lässt sich f 0 auch schreiben als Nach Division durch a, b und f folgt aus Gl. 48 die bbildungsgleichung für Gauÿ'sche Strahlwellen a + b f + f 0 a b f Für f 0! 0 d.h.! 0 in Gl. 50 geht Gl. 5 in die geometrisch optische bbildungsgleichung über. Damit ist geklärt, dass f in Gl. 38 wirklich die Brennweite der Linse darstellt. Die Betrachtung des Imaginärteiles von Gl. 47 führt auf 5 q 0 f q 0 f + q 0 b q 0 a 5 Daraus folgt w0 f b w0 f a 53 us Gl. 5 und Gl. 53 folgt schlieÿlich a f w 0 f f w 0 b f w 0 f f w In Gl. 54 und Gl. 55 muss jeweils das gleiche Vorzeichen gewählt werden. Für eine möglichst kompakte bbildung sollte f f 0 gewählt werden, was zu a b f führt. Beispiel: Das Licht eines ene-lasers mit w 0 0; 5mm und 0; 63µm soll in eine einwellige Faser mit w 0 5µm gekoppelt werden. Es ergibt sich ein f 0 ; 5mm, so dass dann für eine möglichst kompakte bbildung auch f f 0 gewählt werden sollte mit a b f 0 ; 5mm. 4. Stoÿkopplung von einwelligen Fasern. I. I bbildung 0: Stoÿkopplung zwischen einwelligen Fasern mit Versatz x

12 KOP/ Die sich in Faser ausbreitende Welle fällt auf die Stirnäche von Faser. Reexionsverluste werden vernachlässigt. Die Feldverteilung e r; ' der einfallenden Welle sei an der Stirnäche von Faser vorgegeben. Zunächst gilt in Faser allgemein für Eigenwellen der Ordnung mit der Feldverteilung und der usbreitungskonstanten die Dierentialgleichung t + n rk 0 Für Eigenwellen mit unterschiedlicher usbreitungskonstante und reellem nr gilt die Beziehung Orthogonalität der Wellen d 0 für 6, 57 wobei die Querschnittsäche der Faser ist Beweis siehe nhang. Es soll sich zwar hier um einwellige Fasern handeln, aber die Feldverteilungen sollen auch Wellen beschreiben, die sich im Fasermantel ausbreiten sogenannte Mantelwellen. Da die Feldverteilung des einfallenden Feldes e im allgemeinen nicht mit der Feldverteilung 0 der Grundwelle in der Faser übereinstimmt, wird die Feldverteilung des einfallenden Feldes in der Faser entwickelt nach den Eigenwellen der Faser gemäÿ er; ' C r; ' 58 Dabei ist C der nregungskoezient für die Eigenwelle der Ordnungszahl. Wenn C 0 ist, wird die entsprechende Eigenwelle in Faser nicht angeregt. Gl. 58 wird nun mit r; ' multipliziert und über den Querschnitt integriert. e d C d 59 wobei auf der rechten Seite von Gl. 59 wegen Gl. 57 alle Terme bis auf den Term mit zu Null werden, so dass sich aus Gl. 59 für den nregungskoezienten C ergibt: C e d d Mit Gl. 60 sind die nregungskoezienten für alle Wellen in Faser berechenbar. Für die einwellige Faser interessiert die Grundwelle mit 0 und C! C 0. Die Leistung des einfallenden Feldes ist P e E x y d Z F 60 j e j d 6 mit dem Feldwellenwiderstand in Faser Z F n 0 " 0. Die Brechzahl n ist die repräsentative Brechzahl für Faser. Die geführte Leistung in der Grundwelle in Faser ist analog P 0 Z F jc 0 0 j d 6

13 KOP/3 Bei gleichen Fasern n n und Vernachlässigung der Reexionsverluste gilt Z F Z F. Damit ergibt sich der Koppelwirkungsgrad zu P 0 P e jc 0 j j 0j d j ej d e 0 d j ej d j 0j d Beispiel: Es soll der Koppelwirkungsgrad zwischen zwei einwelligen Fasern ohne Versatz x 0 bestimmt werden. Die Feldverteilungen seien Dann ist der Koppelwirkungsgrad 0 exp 0 exp r w Mit 0 e exp 0 exp exp r w r w r w + r dr w r dr exp r w 0 ar r dr a r dr siehe Bronstein, Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik lassen sich die Integrale in Gl. 66 lösen und es ergibt sich: Bei einem zusätzlichen Versatz x gilt 5 nhang w w w + w 68 w w w + w exp x w + w Um die Gl. 57 zu beweisen, wird zunächst Gl. 56 mit multipliziert und es ergibt sich 4 t + n rk Gl. 56, geschrieben für und multipliziert mit, ergibt 4 t + n rk0 0 7

14 KOP/4 Die Dierenz zwischen Gl. 70 und Gl. 7 ist 4 t 4 t Entsprechend den Rechenregeln der Vektoranalysis vergl. VL "Theoretische Elektrotechnik" gilt r' r ' 4 +r' r 73 Daraus folgt 4 t 4 t r t r t r t 74 Der Index "t" bedeutet, dass nur transversale Komponenten berücksichtigt werden. In nlehnung an den Gauÿ'schen Satz gilt: r t ~V d ~V ~ds 75 stellt die Querschnittsäche der Faser dar und das Längenelement ~ds erstreckt sich entlang der Begrenzungskontur von. Da ;! 0 für r! führt die Integration über von Gl. 7 mit Gl. 74 zu Damit ist Gl. 57 bewiesen. d 0 76

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