O1 Linsen. Versuchsprotokoll von Markus Prieske und Sergej Uschakow (Gruppe 22mo) Münster, 27. April 2009

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1 Versuchsprotokoll von Markus Prieske und Sergej Uschakow (Gruppe 22mo) Münster, 27. April

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Theorie Linsentypen Abbildungseigenschaften Bildkonstruktion Dicke Linsen Linsensysteme Besselmethode Linsenfehler Versuchsaufbau Zubehör Versuchsanordnung Durchführung Bestimmung der Brennweite Sphärische Aberration Chromatische Aberration Linsensystem Messwerte und Auswertung Brennweite der Sammellinse Sphärische Aberration Chromatische Aberration Brennweite des Linsensystems Diskussion 14 7 Literaturangabe 15 2

3 1 Einleitung Bei optischen Linsen wird zwischen Sammel- und Zerstreuungslinsen unterschieden. Der Versuch behandelt die Untersuchung der Eigenschaften von Linsen und Linsensystemen anhand achsnaher bzw. paraxialer Strahlen. Demnach ist der Abstand und die Neigung des Strahls gegen die optische Achse sehr klein. 2 Theorie 2.1 Linsentypen Bei optischen Linsen handelt es sich um Glas- oder Kunststoffkörper, deren Begrenzungsflächen Ausschnitte aus Kugeloberflächen mit dem Radius R sind. Im Allgemeinen wird angenommen, dass das Linsenmaterial eine höhere Brechzahl als ihre Umgebung hat. Bei konvex geformten Linsen (in der Mitte dicker als am Rand) handelt es sich um Sammellinsen, eine konkave Form (am Rand dicker als in der Mitte) bewirkt eine Zerstreuung der Lichtstrahlen. 2.2 Abbildungseigenschaften Mit Hilfe der Vorstellung von Strahlenablenkung in Prismen lässt sich die Wirkungsweise von Linsen begründen. Trifft ein Lichtstahl ausgehend vom Punkt G auf die Linse, so wird er um den Winkel δ abgelenkt. Der Abstand des Auftreffpunktes von der optischen Achse sei r. Da es sich um genügend kleine Winkel handelt, kann aufgrund der Taylorentwicklung in guter Näherung der Tangens eines Winkels, als der Winkel selbst geschrieben werden, d.h. tan x x. Abbildung 1: Zur Herleitung der Abbildungsgleichung Mit den Bezeichnungen aus Abbildung 1 ergeben sich folgende Verhältnisse: α = r g β = r b ϕ = r R (1) Der Winkel δ ist die Summe aus α und β, mit der von Prismen bekannten Formel für δ erhält man also: δ = (n L 1) ϕ = α + β (2) 3

4 Durch Einsetzen von (1): 1 g + 1 b = n L 1 R mit der Brechzahl n L der Linse. Aus dieser Gleichung ist ersichtlich, dass die Bildweite b unabhängig vom Öffnungswinkel α ist, demnach wird jeder von G ausgehende Lichtstrahl im Bildpunkt B zu einer Abbildung fokussiert. Die Brennweite f ist definiert als die für eine Linse charakteristische Bildweite von parallel einfallenden Stahlen (g ). Die reziproke Brennweite wird als Brechkraft D bezeichnet: (3) 1 f = D = n L 1 R (4) Für Linsen aus zwei sphärischen Flächen mit unterschiedlichen Krümmungsradien R 1 und R 2, muss statt mit dem Kehrwert von R mit der Summe aus den Kehrwerten von R 1 und R 2 multipliziert werden. Handelt es sich um konkave Linsenflächen, so sind die Krümmungsradien negativ einzusetzen. Die für dünne Linsen und achsnahe Strahlen gültige Abbildungsgleichung erhält man durch Einsetzen der Brennweite in Formel (3): 1 g + 1 b = 1 f (5) 2.3 Bildkonstruktion Abbildung 2: Bildkonstruktion bei einer Sammellinse Bei dünnen Linsen kann in guter Näherung angenommen werden, dass nur eine einzige Brechung an der Mittelebene H der Linse stattfindet. Sind Gegenstandsweite g und Brennweite f bekannt, reichen zwei der folgenden drei Regeln für die Konstruktion aus: Achsenparallele Strahlen werden so gebrochen, dass sie durch den Brennpunkt austreten. Strahlen durch den Linsenmittelpunkt werden nicht abgelenkt 4

5 Strahlen durch den gegenstandsseitigen Brennpunkt der Linse verlassen diese achsenparallel. Bei einer Zerstreuungslinse entsteht immer ein aufrechtes, verkleinertes, virtuelles Bild im Gegenstandsraum. Für Sammellinsen ist die Art der Abbildung abhängig von der Gegenstandsweite relativ zur Brennweite. Es gilt: Gegenstandsweite Bildweite Eigenschaften g b = f reell, punktförmig 2f < g < f < b < 2f reell, umgekehrt, verkleinert g = 2f b = 2f reell, umgekehrt, gleich groß f < g < 2f 2f < b < reell, umgekehrt, vergrößert 0 < g < f b vor der Linse virtuell, aufrecht, vergrößert (Linse) Tabelle 1: Abbildungseigenschaften einer Sammellinse Unter der Lateralvergrößerung V L (Abbildungsmaßstab) versteht man den Quotienten aus Bildgröße und Gegenstandsgröße. 2.4 Dicke Linsen Da bei dicken Linsen der optische Weg in der Linse nicht vernachlässigt werden kann, muss die Konstruktion statt an einer, an zwei Hauptebenen erfolgen. Ermittelt werden die bildseitige und gegenstandsseitige Hauptebene jeweils durch folgende Überlegung: Achsenparallele Strahlen treffen auf eine Linse und werden in einem Punkt F fokussiert. Verlängert man gedanklich die achsenparallelen und die Brennpunktsstrahlen in das innere der Linse, so befindet sich die Hauptebene auf Höhe des Schnittpunktes. Die Konstruktion der Abbildung ist wie bei einer dünnen Linse durchzuführen, die Konstruktionsstrahlen zwischen den Hauptebenen verlaufen parallel zur optischen Achse. In Fällen, wo die Hauptebenen bezüglich Gegenstands- und Bildraum vertauscht sind, ist der Hauptebenenabstand negativ zu nehmen. 2.5 Linsensysteme Systeme aus zwei oder mehr Einzellinsen lassen sich wie eine einzige Linse mit der Brennweite f beschreiben. Mit der Brennweite der ersten Linse f 1 = h A tanα (6) 5

6 Abbildung 3: Strahlengang eines Parallelbündels in einem aus zwei Linsen bestehenden Linsensystem der entsprechend defninierten Brennweite des Linsensystems und der aus Abbildung 3 ersichtlichen Relation f = h B tanα (7) ergibt sich nach Umformen h A h B = f 1 f = f 2 = d f 1 f 2 f 2 (8) 1 f = d (9) f 1 f 2 f 1 f 2 Für zwei dicht aufeinanderliegende Linsen ist der letzte Term der Gleichung zu vernachlässigen (d=0). 2.6 Besselmethode Abbildung 4: Bestimmung der Brennweite einer Linse mit der Besselmethode Die Besselmethode ist geeignet, um die Brennweite von Linsen zu bestimmen, deren Hauptebenenlage unbekannt ist. Wird ein genügend großer Abstand zwischen Gegenstands- und Bildebene 6

7 (mindestens vierfache Brennweite der Linse) gewählt, so ergeben sich bei verschieben der Linse über eine Strecke der Länge l zwei Positionen, in denen die Abbildung scharf erscheint, einmal vergrößert und einmal verkleinert; diese Positionen sind symmetrisch zueinander. Es gilt: g + b = L (10) g b = l (11) Durch Addition bzw. Subtraktion der Gleichungen ergeben sich für Gegenstands- und Bildweite: g = 1 (L + l) (12) 2 b = 1 (L l) (13) 2 Einsetzen in die Linsengleichung liefert: f = 1 4 ( ) L l2 L (14) In dieser Rechung wurde der Hauptebenenabstand a vernachlässigt. Unter Berücksichtigung dieses Korrekturfaktors ergibt sich: f = 1 ) ((L a) l2 (15) 4 L a Die Brennweite lässt sich also aus der Messung der Längen L und l ermitteln. 2.7 Linsenfehler Die bisher genannten Abbildungsgleichungen gelten nur im Rahmen gewisser Näherungen, z.b. für achsennahe Strahlen, monochromatischem Licht und ideal geformte Linsen. Man unterscheidet drei Arten von Linsenfehlern: 1. Chromatische Abberation: Weißes Licht besteht aus Licht verschiedener Wellenlängen. Die Brennpunkte von beispielsweise rotem und blauem Licht unterscheiden sich also, die Differenz f ist Maß für die Dispersion. n rot < n blau f rot > f blau 2. Sphärische Aberration: Aus produktionstechnischen Gründen sind Linsen kugelsegmentförmig gefertigt, eine perfekte Linse hätte eine geringfügig andere Form. Als Resultat dieser Ungenauigkeit werden Randstrahlen stärker gebrochen als solche in Achsennähe. f Rand < f Zentrum 3. Astigmatismus: Wird ein Punkt P abgebildet, der sich seitlich der Linsenachse befindet, findet die Abbildung nicht mehr in einem Bildpunkt statt, sondern in zwei zueinander senkrechten Bildlinien. Der Abstand dieser Bildlinien wird als astigmatische Differenz bezeichnet. 7

8 3 Versuchsaufbau 3.1 Zubehör 1 optische Bank 1 Lichtquelle mit Pfeilblende 1 Beobachtungsschirm 1 Sammellinse 1 Zerstreuungslinse mit Abstandsstücken 2 Blenden (Kreisblende, Ringblende) 2 Farbfilter (rot, blau) 3.2 Versuchsanordnung Abbildung 5: Versuchsaufbau Es wird eine optische Bank verwendet (siehe Abbildung 5); auf der einen Seiten wird die Lichtquelle mit Pfeilblende mithilfe einer Halterung befestigt, auf der anderen Seite, genau 60 cm von der Pfeilblende entfernt, wird der Beobachtungsschirm mit einer Halterung befestigt. Zwischen diese beiden Bauteile wird zunächst die Sammellinse auf einer Halterung befestigt. Sie soll während des weiteren Verlaufs zwischen Lichtquelle und Blende verschoben werden. Pfeilblende, Linse und Schirm sollen auf einer Höhe und in einer Geraden liegen, sodass der Pfeil auf der optischen Achse abgebildet wird. An der Halterung der Sammellinse befinden sich bereits die Ring- und die Lochblende, die bei Bedarf vor die Linse geschoben werden können. Die Farbfilter werden im dritten Versuchsteil in eine Halterung direkt vor der Pfeilblende an der Lichtquelle geschoben. Im letzten Versuchs- 8

9 teil kann die Zertreuungslinse auf das Abstandsstück aufgesteckt werden, das wiederum auf die Halterung der Sammellinse gesteckt werden kann. 4 Durchführung 4.1 Bestimmung der Brennweite Zu Beginn des Versuchs wird die Brennweite durch Abbildung der Deckenleuchte auf die Handfläche abgeschätzt. Die genauere Bestimmung erfolgt mit der Besselmethode. Als Bild dient eine Lampe mit einer Blende, die einen Pfeil zeigt. Die Positionen von Lampe und Schirm bleiben fest, während die Linse so verschoben wird, dass die Abbildung scharf ist (nacheinander für beide möglichen Positionen); L und l werden gemessen. Um Messungenauigkeiten zu reduzieren, wird die Einstellung für jede Abbildung fünf Mal vorgenommen. 4.2 Sphärische Aberration Die Methodik aus Kapitel 4.1 wird wiederholt, wobei die Linse im ersten Schritt mit einer Ringblende, im zweiten Schritt mit einer Lochblende versehen wird. Aus dem Brennweitenunterschied lässt sich die sphärische Aberration bestimmen. 4.3 Chromatische Aberration Analog zu Kapitel 4.1 wird der Versuch nun für rotes und blaues Licht durchgeführt, die chromatische Aberration ergibt sich aus der Differenz der Brennweiten. 4.4 Linsensystem Auf die bisher verwendete Linse wird eine Zerstreuungslinse aufgesteckt. Der Versuch erfolgt wiederum nach der Besselmethode. Durch Verschieben von Linsensystem und Schirm wird eine Einstellung ermittelt, bei der Bildgröße und Gegenstandsgröße identisch sind. Aus dem Abstand L zwischen Gegenstand und Bild lassen sich Hauptebenenabstand a und Brennweite f berechnen. Es gilt L = 4f + a. 9

10 5 Messwerte und Auswertung Alle Messunsicherheiten der während der Versuchsdurchführung abgelesenen Messwerte orientieren sich an der Skala des Messgerätes bzw. ihrer Ablesegenauigkeit. Die Messerte sind im Anhang aufgelistet. Im Folgenden wird der Mittelwert berechnet über: X = 1 n X i n Die Standardabweichung wird mit der folgenden Formel berechnet: s = 1 n (X i X) n 1 2 Daraus ergibt sich die Messunsicherheit: i=1 i=1 u(x) = s n Die Messunsicherheit ergibt sich aus der Fehlerfortpflanzung zu: a = ( da dx x)2 + ( da dy y)2 + ( da dz z)2 5.1 Brennweite der Sammellinse Abstand zw. Gegenstand und Bild: L = (60, 0 ± 0, 2)cm geschätze Brennweite f = (12 ± 0, 2)cm linke Einstellung rechte Einstellung x in cm ± 0, 2 cm y in cm ± 0, 2 cm 1 25,6 53,3 2 25,6 53,3 3 25,4 53,4 4 25,4 53,4 5 25,5 53,2 Mittelwert 25,50 53,32 Standardabweichung 0,09 0,07 Unsicherheit 0,04 0,03 Tabelle 2: Messwerte zur Bestimmung der Brennweite der Sammellinse Aus den Messwerten erhält man folgende Größen: x = (25, 50 ± 0, 04)cm y = (53, 32 ± 0, 03)cm l = y x = (27, 82 ± 0, 07)cm Es gilt Gleichung (14): f = 1 ( ) L l2 4 L 10

11 Man erhält die Brennweite der Sammellinse zu: f = (11, 78 ± 0, 05)cm 5.2 Sphärische Aberration Abstand zwischen Gegenstand und Bild: L = (60, 0 ± 0, 2)cm Für die Randstrahlen (mit Ringblende) wurde gemessen: linke Einstellung rechte Einstellung x in cm ± 0, 2 cm y in cm ± 0, 2 cm 1 24,0 54,1 2 24,3 53,9 3 23,9 53,9 4 23,8 54,0 5 24,0 54,0 Mittelwert 24,00 53,98 Standardabweichung 0,17 0,07 Unsicherheit 0,08 0,03 Tabelle 3: Messwerte für Randstrahlen Aus den Messwerten erhält man folgende Größen: x = (24, 00 ± 0, 08)cm y = (53, 98 ± 0, 03)cm l = y x = (29, 98 ± 0, 11)cm Mit Gleichung (14) ergibt sich die Brennweite der Sammellinse für Randstrahlen zu: f Rand = (11, 25 ± 0, 06)cm Für die Zentralstrahlen (mit Kreisblende) wurde gemessen: linke Einstellung rechte Einstellung x in cm ± 0, 2 cm y in cm ± 0, 2 cm 1 25,3 53,2 2 25,5 53,2 3 25,4 53,4 4 25,6 53,3 5 25,5 53,3 Mittelwert 25,46 53,28 Standardabweichung 0,10 0,07 Unsicherheit 0,05 0,03 Tabelle 4: Messwerte für Zentralstrahlen 11

12 Aus den Messwerten erhält man folgende Größen: x = (25, 46 ± 0, 05)cm y = (53, 28 ± 0, 03)cm l = y x = (27, 82 ± 0, 08)cm Analog ergibt sich die Brennweite der Sammellinse für Zentralstrahlen zu: f Zentral = (11, 78 ± 0, 05)cm Der Unterschied in den Brennweiten für Rand- und Zentralstrahlen beträgt: f = f Zentral f Rand = (0, 53 ± 0, 11)cm 5.3 Chromatische Aberration Abstand zw. Gegenstand und Bild: L = (60, 0 ± 0, 2)cm Für die rote Blende wurde gemessen: linke Einstellung rechte Einstellung x in cm ± 0, 2 cm y in cm ± 0, 2 cm 1 25,7 53,1 2 25,6 53,0 3 25,7 53,0 4 25,7 53,1 5 25,8 53,1 Mittelwert 25,70 53,06 Standardabweichung 0,06 0,05 Unsicherheit 0,03 0,02 Tabelle 5: Messwerte mit roter Blende Aus den Messwerten erhält man folgende Größen: x = (25, 70 ± 0, 03)cm y = (53, 06 ± 0, 02)cm l = y x = (27, 36 ± 0, 05)cm Die Brennweite der Sammellinse für rotes Licht ergibt: f Rot = (11, 88 ± 0, 05)cm 12

13 Für die blaue Blende wurde gemessen: linke Einstellung rechte Einstellung x in cm ± 0, 2 cm y in cm ± 0, 2 cm 1 25,1 53,3 2 25,4 53,4 3 25,1 53,5 4 25,3 53,6 5 25,2 53,3 Mittelwert 25,22 53,42 Standardabweichung 0,12 0,12 Unsicherheit 0,05 0,05 Tabelle 6: Messwerte mit blauer Blende Aus den Messwerten erhält man folgende Größen: x = (25, 22 ± 0, 05)cm y = (53, 42 ± 0, 05)cm l = y x = (28, 20 ± 0, 10)cm f Blau = (11, 69 ± 0, 06)cm Der Unterschied in den Brennweiten für rotes und blaues Licht beträgt: f = f Rot f Blau = (0, 19 ± 0, 11)cm 5.4 Brennweite des Linsensystems Abstand zw. Gegenstand und Bild: L = (60, 0 ± 0, 2)cm Abstand der Linsen: d = (7, 5 ± 0, 2)cm Abstand bei V L = 1: L = (53, 7 ± 0, 2)cm Daraus ergibt sich: x = (31, 56 ± 0, 11)cm y = (50, 22 ± 0, 02)cm linke Einstellung rechte Einstellung x in cm ± 0, 2 cm y in cm ± 0, 2 cm 1 31,2 50,2 2 31,4 50,2 3 31,7 50,2 4 31,9 50,2 5 31,6 50,3 Mittelwert 31,56 50,22 Standardabweichung 0,24 0,04 Unsicherheit 0,11 0,02 Tabelle 7: Messwerte für Linsensystem 13

14 l = y x = (18, 66 ± 0, 13)cm Wenn die Bildgröße gerade gleich der Gegenstandsgröße ist (b = g d.h. V L = 1), so gilt nach Tabelle 1, dass b = g = 2f. Also gilt für den Abstand L zwischen Gegenstand und Bild L = g + b + a = 4 f + a, wobei a der Abstand der Hauptebenen des Linsensystems ist. Außerdem gilt Gleichung (15): f = 1 4 Man erhält durch Einsetzen und Auflösen: ) ((L a) l2 L a f = l2 (L L ) 2 4 (L L ) a = L l2 L L Für die Brennweite des Linsensystems ergibt sich: f = (12, 24 ± 0, 70)cm Man erhält für den Hauptebenenabstand: a = (4, 73 ± 2, 73)cm Da sowohl Brennweite des Linsensystems f als auch Brennweite der Sammellinse f 1 bekannt sind, kann die Brennweite der Zertreuungslinse f 2 berechnet werden. Es gilt Gleichung (9). Aus dieser folgt nach Umformung: f 2 = 1 d f 1 1 f 1 f 1 Daraus ergibt sich der folgende Wert für die Brennweite der Zerstreuungslinse: f 2 = (113, 88 ± 167, 43)cm 6 Diskussion Für die Brennweite der Sammellinse ergab sich f Sammellinse = (11, 78±0, 05) cm. Die Brennweite des Linsensystems wurde zu f Linsensystem = (12, 24 ± 0, 70) cm bestimmt; anschließend konnte für die Zerstreuungslinse die Brennweite f Zertreuungslinse = (113, 88 ± 167, 47) cm berechnet werden. Die Tatsache, dass die Brennweite negativ ist, wurde erwartet, da es sich in diesem Fall um eine Zerstreuungslinse handelte. Desweiteren fällt auf, dass die errechnete Ungenaugkeit sehr groß ist. Diese resultiert aus den kaum unterschiedlichen Brennweiten der Sammellinse und des Linsensystems, deren Differenz quadratisch in den Nenner der Fehlerfortpflanzung eingeht und damit einen hohen Wert verursacht. Die Messungen der sphärischen und chromatischen Aberration entsprechen den theoretischen Erwartungen, d.h. die Brennweite f Rand = (11, 25 ± 0, 06) cm der Randstrahlen ist kleiner als die der Zentralstrahlen f Zentral = (11, 78 ± 0, 05) cm und die Brennweite für rotes Licht f rot = (11, 88 ± 0, 05) cm ist größer als die für blaues f blau = (11, 69 ± 0, 06) cm. Daraus ergibt sich eine Dispersion von: f = (0, 19 ± 0, 11)cm 14

15 Um zu verdeutlichen, dass die Bestimmung der Brennweite, nach der hier verwendeten Besselmethode (Gleichung (14)) mit einer kleineren Messunsicherheit behaftet ist als die der Linsenformel (Gleichung (5)), wird eine Fehlerfortpflanzung für beide Methoden durchgeführt. Mit Gleichung (18) und (19), sowie der Annahme, dass alle Messgrößen die gleiche Messunsicherheit u besitzen folgt: Besselmethode: u f,b = 1 ( u 4 l (L l2 L ) + u ) L (L l2 L ) = 1 4 u 2l L l2 L 2 = 1 + L)2 u(l 4 L 2 b 2 = u (g + b) 2 Die Linsengleichung (7) nach f umgestellt ergibt: f = g b g + b Daraus berechnet sich die Messunsicherheit der Linsenformel zu: u f,l = u fg l f + g + u f g L f + g = u b(g + b) gb g(g + b) gb (g + b) 2 + (g + b) 2 Durch einen Vergleich ist zu sehen, dass u b2 + g 2 (g + b) 2 = u b 2 (g + b) 2 + u g 2 u f,b < u f,l (g + b) 2 ist und damit ist gezeigt, dass bei gleicher Meßunsicherheit u die resultierende Unsicherheit der Brennweite, bei der Linsenformel um u g2 größer ist, im Vergleich zu der Besselmethode. (g+b) 2 Eine maßstabsgetreue Zeichnung mit der Lage der Brennpunkte, Hauptebenen und Linsenfassungen befindet sich im Anhang. 7 Literaturangabe Halliday - Resnick - Walker, Fundamentals of Physics, Wiley-VCH GmbH & Co.KGaA Tipler, Physik, 2. Auflage, Spektrum WWU Münster, Anleitungen zu den Experimentellen Übungen zur Optik, Wärmelehre und Atomphysik Auflage

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