5. ZWEI ODER MEHRERE METRISCHE MERKMALE

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1 5. ZWEI ODER MEHRERE METRISCHE MERKMALE wenn an ener Beobachtungsenhet zwe (oder mehr) metrsche Varablen erhoben wurden wesentlche Problemstellungen: Frage nach Zusammenhang: Bsp.: Duxbury Press (sehe Kap. 1, "Enletende Bespele" 3) Anzahl verschenkte Freexemplare - Verkaufserlös Besteht ene drekte Bezehung (en Zusammenhang) zwschen der Anzahl verschenkter Exemplare und der Anzahl verkaufter Bücher, bzw. der Verkaufserträge? Frage nach Unterscheden: Bsp: Enfluß der Helmtragepflcht auf Fahrradfahren - Dskusson über Enführung ener Helmtragepflcht - Krtker behaupteten, dese Pflcht entmutgt Rad zu fahren - probewese Enführung der Helmtragepflcht n Testorten - repräsentatve Stchprobe: wevele km wurde n der Woche vor und der Woche nach Enführung des Gesetzes mt dem Rad zurückgelegt Hat de Enführung der Helmtragepflcht Enfluß auf de Anzahl gefahrener Klometer? (oder anders formulert) Besteht en Untersched n der Anzahl gefahrener km vor und nach Enführung der Helmtragepflcht? 5-1

2 WICHTIGE FRAGESTELLUNGEN BEI ZWEI METRISCHEN MERKMALE We stark st der Zusammenhang zwschen zwe metrschen Varablen? wenn man wssen möchte, we eng zwe metrsche Varablen mt enander verknüpft snd und ob der Zusammenhang postv oder negatv st. Bespel: Besteht en Zusammenhang zwschen den Ausgaben für alkoholsche Getränke und Tabakwaren? Welche Form hat der Zusammenhang zwschen zwe Varablen? Läßt sch der Wert ener Varable anhand des Wertes ener zweten vorhersagen? wenn man wssen möchte, ob ene Varable von ener anderen abhängg st und we dese Abhänggketsstruktur ausseht. Bespel: Ist der Gebrauchtwagenpres abhängg von der Zahl gefahrener Klometer? Kann man den Gebrauchtwagenpres vorhersagen? Unterscheden sch de Mttelwerte zweer Varablen, de an ener Beobachtungsenhet erhoben wurden? Bespel: Besteht en Untersched n der Anzahl gefahrener km vor und nach Enführung der Helmtragepflcht? Snd Doptrenzahlen an lnken und rechten Augen glech? 5-

3 FRAGESTELLUNG 1: We stark st der Zusammenhang zwschen zwe metrschen Varablen? Bsp.: Ausgaben für Alkohol und Tabak Besteht en Zusammenhang zwschen den Ausgaben für alkoholsche Getränke und Tabakwaren? erhoben wurden de durchschnttlchen Haushaltsausgaben pro Woche n Pfund für Alkohol und Tabakwaren n 11 brtschen Regonen (1981) Varablen: - Ausgaben für Tabak (x-achse) - Ausgaben für Alkohol (y-achse) grafsche Darstellung: Streudagramm (Scattergram) 7,0 6,0 5,0 ALCOHOL 4,0,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 TOBACCO 5-3

4 KORRELATIONSKOEFFIZIENT (Korrelaton msst Stärke des Zusammenhangs) m Bsp.: postver Zusammenhang klene y klene x große y große x 6.5 II I ( x / y) u Blden der Produkte: ( )( ) u = x x y y III IV Egenschaften d. u () legen de Beobachtungen n I oder III: u postv () n II oder IV: u negatv Zusammenhangsmaß: Mttelwert der u KOVARIANZ: 1 ( ) = ( x x)( y y) Cov x,y n n = 1 5-4

5 Egenschaften der Kovaranz: wenn de mesten Beobachtungen n I, III: Cov(x,y) > 0 n II, IV Cov(x,y) < 0 wenn glechmäßg n I,II,III,IV Cov(x,y) 0 Nachtel: Kovaranz st abhängg von Größe der Maßenhet Lösung: Normeren! KORRELATIONSKOEFFIZIENT: r xy (von K. Pearson) r xy, Cov x y = r( x, y) = = s s x 1 n 1 1 n n (, ) ( x x)( y y) y y ( x x) ( y ) Egenschaften: st en normertes Zusammenhangsmaß, 1 r 1 bldet nur lneare Zusammenhänge ab: r xy = 1 wenn: r xy = 1 wenn: xy, Unkorrelerthet: st ncht das Gleche we Unabhänggket r xy = 0 z.b. exakter ncht-lnearer Zusammenhang 5-5

6 Bespele für Zusammenhänge 5-6

7 zur Berechnung des Korrelatonskoeffzenten: Bespel: gegeben: x: y: Berechnung von r XY x y x x y y Summe Mttelwert 5,8 1, 38, 154, 75,6 r XY 1 xy xy = n = 75,5 5,8 1, 1 1 x 38, 5,8 154, 1, x y y n n = 0,979 Y 18, X 5-7

8 zurück zu Fragestellung 1: Besteht en Zusammenhang zwschen den Ausgaben für alkoholsche Getränke und Tabakwaren? Grafk: Nordrland st en besonderer Fall (outler), Ausgaben für Tabak hoch, für Alkohol nedrg (Irland bllg?) Berechnung des Korrelatonskoeffzenten enmal mt und enmal ohne Nordrland r = 0,784 (ohne) bzw. r = 0,4 (mt) XY XY Test enes Korrelatonskoeffzenten: H O : ρ = 0 (ρ sprch "rho" st Korrelaton n Populaton) H A : ρ 0 oder HA: ρ < 0 oder HA: ρ > 0 Teststatstk: T = r n 1 XY rxy für ktschen Wert: t-vertelung mt df = n - wenn T größer als krtscher Wert H O verwerfen zwesetge p-values (Sgnfkanzwerte) aus SPSS, bzw. R: p value = 0,007 (ohne Nordrland) p value = 0,509 (mt Nordrland) Resultat: es besteht en starker Zusammenhang zwschen durchschnttlchen Ausgaben für Alkohol und Tabakwaren, wenn Nordrland ncht berückschtgt wrd 5-8

9 RANGKORRELATION (Spearman's Rho) Voraussetzung für Pearson's Korrelatonskoeffzent r XY : bede Varablen ntervallskalert und normalvertelt wenn dese Voraussetzung ncht erfüllt snd: Auswechen auf Methoden für ordnale Daten dese werden auch nchtparametrsche oder parameterfree Methoden genannt wenn Voraussetzungen für bestmmte Methoden für metrsche Daten ncht erfüllt snd, verwendet man de entsprechende Methoden für ordnale Daten (wenn möglch) Idee: Rangrehung der Daten (we be Medan) dese Zahlen (Ränge) als Daten verwenden Problem: Bndungen (engl. tes ) wenn mehrere Daten glech groß snd, z.b. Daten: usw. Ränge: Lösung: Vergeben des Mttelwerts der Ränge, d.h. Ränge: 1,5, SPEARMAN'S RANGKORRELATION: - jede der beden Varablen rangrehen - Berechnung we r XY, aber mt Rängen (ncht mt Daten) - Vorgehen bem Testen ebenso we be r XY 5-9

10 FRAGESTELLUNG : Welche Form hat der Zusammenhang zwschen zwe Varablen? Läßt sch der Wert ener Varable anhand des Wertes ener zweten vorhersagen? Bsp.: Gebrauchtwagenprese (USA) Ist der Gebrauchtwagenpres abhängg von der Zahl gefahrener Melen? Kann man den Gebrauchtwagenpres aufgrund der gefahrenen Melen vorhersagen? Erstellung ener Rchtpreslste für Gebrauchtwagen Untersuchung von 100 Ford Taurus, 3 Jahre alt erhoben wurden: - gefahrene Melen (x-achse) - Pres (y-achse) 6,0 5,5 Pres n 1000 $ 5,0 4, gefahrene Melen (n Tausend) 5-10

11 REGRESSION beschrebt de Form enes Zusammenhangs Unterschedung (m Gegensatz zur Korrelaton): Y-Varable: abhängge Varable oder Responsevarable X-Varable: unabhängge Varable oder erklärende Varable be Regresson mmer folgende Bezehung: WENN DANN X Y (unabhängg) (abhängg von X) Was st n folgenden Bespelen de abhängge (Y) und de unabhängge (X) Varable? Das Verkehrsmnsterum möchte das Verhältns zwschen Straßenunebenheten und Benznverbrauch untersuchen. En Händler, der sene Waren be Fußballspelen verkauft, möchte de Verkaufszahlen auf de Anzahl von Segen des Hemteams bezehen. En Sozologe möchte de Anzahl von Wochenenden, de en Student zu Hause verbrngt m Verhältns zur Entfernung zwschen Wohn-und Studenort untersuchen. zur Unterschedung zwschen Regresson und Korrelaton: wenn man de WENN DANN Bezehung auch umdrehen kann, dann snd bede Varablen glechwertg, dann Korrelaton wenn man das ncht kann, dann Regresson 5-11

12 (enfache) lneare Regresson: wr betrachten her (we be Korrelaton) nur lneare Zusammenhänge Y = a + b X Pres = a + b gefahrene Melen a und b (Regressonskoeffzenten) snd de nteresserenden Größen Problemstellung: aus Werten für X und Y müssen de unbekannten Größen a und b errechnet werden jedem Punkt ( x, y ) wrd en Punkt ( x, y ˆ zugeordnet ) e y yˆ ( x, y ) ( x, yˆ ) b 1 a... ntercept b... Ansteg y ˆ... geschätztes y e... Resduum a x ( x, y ) : y = a + bx + e alle beobachteten Punkte ( x, y ˆ ): y = a + bx Punkte auf der Geraden ˆ 5-1

13 Berechnung von a und b: Klenstquadrate Prnzp (OLS) Lösen der Glechung: n n e ( y a bx) = 1 = 1 = = mn! de Summe der quadrerten Abstände der Punkte von der Regressonsgeraden soll mnmert werden Lösungen für a und b: b 1 xy Kovaranz cov(, ) xy x y n sx = = = r Varanz von X XY s 1 = x x s x y n a= y bx (Regressongerade geht mmer durch x und y ) zurück zum Bespel aus Fragestellung : (X... gefahrene Melen, Y... Gebrauchtwagenpres) b = -0,031 a = 6533,38 Pres = 6533,38-0,031 Melen Y = a + b X Interpretaton: je gefahrener Mele snkt der Pres um 0,031 Dollar, d.h. ca. 3 Dollar wenger je 100 Melen Verwendung der Glechung zur Vorhersage: welchen Pres erzelt en 3 Jahre alter Ford Taurus mt Melen x = y ˆ = 6533,38-0, = 593,

14 zur Berechnung der Regressonsparameter Bespel: (gleche Daten we be Bsp.Korrelaton) gegeben: x: y: Berechnung von b: x y x x y y Summe Mttelwert 5,8 1, 38, 154, 75,6 b 1 xy xy n 75,6 5,8 1, = = 1 x 38, 5,8 x n = 1,006 a= y bx = 1, 1,006 5,8 = 6,37 0 Zechnen der Regressonsgeraden: 15 Punkte notwendg: gemensamer Mttelwert Y X entweder: a für x = 0 oder geegnetes x wählen und dazugehörges ŷ ausrechnen 5-14

15 Testen m Regressonsmodell: n Populaton: Y = α+ βx Testen von β : (α mestens ncht so nteressant) weder 3 möglche Alternatvhypothesen: H O : β = 0 (ken lnearer Zusammenhang) H A : β 0 oder HA: β < 0 oder HA: β > 0 n SPSS: Modell 1 (Konstante) MEILEN a. Abhängge Varable: PREIS Koeffzenten a Ncht standardserte Koeffzenten Standard serte Koeffzen ten Standard B fehler Beta T Sgnfkanz 6533,383 84,51 77,307,000 -,031,00 -,806-13,495,000 p-wert (Sgnfkanz) < 0,001 (wrd zwesetg ausgegeben) zum SPSS output: "B" snd de Regressonskoeffzenten a, b "(Konstante)" st ntercept a "Beta" hat nchts mt obgem β zu tun "T" st der t - vertelte Wert (deshalb "T") der Teststatstk 5-15

16 Voraussetzungen enes lnearen Regressonsmodells Voraussetzungen ähnlch we be Korrelaton: Lneartät der Bezehung Intervallskala für de abhängge Varable y y normalvertelt Resduen e normalvertelt Achten auf outler! Voraussetzungen lassen sch grafsch prüfen: (für Gebrauchtwagenbespel) Erwarteter Wert von Normal Q-Q-Dagramm QQ-Plot der Resduen: (zur Überprüfung der Normalvertelungsannahme) Punkte sollen entlang ener o 45 Geraden legen Beobachteter Wert der Resduen 400 Resduen Plot: Resduen y-achse: Resduen x-achse: vorhergesagte Werte ŷ soll ken we mmer geartetes Muster zegen Vorhergesagte Werte wenn Voraussetzungen ncht erfüllt: eventuell Daten transformeren, sonst kene enfachen Alternatven! 5-16

17 We gut st en Regressonsmodell? Regressonsmodell dent dazu ene abhängge Varable zu erklären bzw. vorherzusagen 1. Voraussetzungen sollten erfüllt sen. Resduen sollten klen sen: je klener de Resduen umso exakterer Vorhersagen möglch y a+ bx beobachteter vorhergesagter unerklärter = + e Wert Wert Rest allgemenes Maß zur Beurtelung des Erklärungswertes enes Regressonsmodells: Var( y) Var( e) R = "Bestmmthetsmaß" Var( y) - st Antel der erklärten Varanz von y - st quadrerter Korrelatonskoeffzent n SPSS: (Gebrauchtwagenbespel) Modell 1 Modellzusammenfassung b Korrgertes Standardfehler R R-Quadrat R-Quadrat des Schätzers,806 a,650, ,57 a. Enflußvarablen : (Konstante), MEILEN b. Abhängge Varable: PREIS "Korrgertes R " st R, um de Frehetsgrade korrgert, damt de Stchprobengröße berückschtgt wrd R korr = R - [(k-1)/(n-k)] R, k...anzahl erklärender Varablen x nkl. a 5-17

18 Multple Regresson manchmal läßt sch Modell verbessern, wenn man zusätzlche erklärende Varablen berückschtgt multples Regressonsmodell: y = a+ b x + b x Berechnung von a und den b 's ohne Computer ncht mehr so enfach Bespel: Gebrauchtwagen zusätzlche Varable: Anzahl der Servceüberprüfungen mttels SPSS: Modell 1 (Konstante) MEILEN SERVICE a. Abhängge Varable: PREIS Koeffzenten a Ncht standardserte Koeffzenten Standard serte Koeffzen ten Standard B fehler Beta T Sgnfkanz 606,18 4,966 48,581,000 e -,031,001 -,814-49,788, ,837 3,903,569 34,807,000 korrgertes R jetzt 0,974 bede Enflußgrößen MEILEN und SERVICE sgnfkant zusätzlche Interpretaton für SERVICE: pro durchgeführtem Servce erhöht sch durchschnttlch der Pres um ca. 136 $ Überprüfen der Voraussetzungen we be enfachem lnearen Modell 5-18

19 FRAGESTELLUNG 3A: Unterscheden sch de Mttelwerte zweer Varablen, de an ener Beobachtungsenhet erhoben wurden? Bsp.: Helmpflcht (USA) - Dskusson über Enführung ener Helmtragepflcht - Krtker behaupteten, dese Pflcht entmutgt, Rad zu fahren - probewese Enführung der Helmtragepflcht n Testorten - repräsentatve Stchprobe: we vele km wurde n der Woche vor und der Woche nach Enführung des Gesetzes mt dem Rad zurückgelegt Besteht en Untersched n der Anzahl gefahrener km vor und nach Enführung der Helmtragepflcht? Dfferenz (nach - vor) Mttelwert von 00 Personen: 0,77 (s = 3,07) 5-19

20 t - Test für abhängge Stchproben "abhängg" heßen Stchproben dann, wenn zwe oder mehrere Varablen an ener Beobachtungsenhet erhoben worden snd (n SPSS: "gepaarte" Stchproben) funktonert we der t -Test für ene Stchprobe, allerdngs prüft man de Dfferenz der Mttelwerte H O : µ µ 1= 0 (oder: HO: µ 1= µ ) H A : µ µ oder HA: µ > oder HA: µ < µ 1 1 µ 1 Voraussetzung: Intervallskala Normalvertelung der Dfferenzen Bespel: Helmtragepflcht SPSS Output: (her Zelen und Spalten vertauscht) Test be gepaarten Stchproben Gepaarte Dfferenzen Mttelwert Standardabwechung Paaren KMNACH - KMVOR,7700 3,0650 Standardfehler des Mttelwertes,167 T df Sg. (-setg) 95% Konfdenzntervall der Dfferenz Untere Obere,346 1,1974 3, ,000 Ergebns: de Enführung der Helmtragepflcht hat kene negatven Auswrkungen, es werden nach Enführung durchschnttlch um 0,77 km mehr (pro Woche) mt dem Fahrrad zurückgelegt 5-0

21 FRAGESTELLUNG 3B: Unterschedet sch de Lage zweer Varablen, de an ener Beobachtungsenhet erhoben wurden? Bsp.: Alkohol und Beurtelung der Attraktvtät In enem Club n Oho wurden Mtgleder gebeten, de Attraktvtät der Anwesenden des jewels anderen Geschlechts auf ener "100mm Skala" (0...extrem unattraktv,..., extrem attraktv) zu beurtelen. De Enschätzungen wurden 3 Stunden vor und unmttelbar vor der Sperrzet abgegeben. Gbt es enen Untersched n der Beurtelung der Attraktvtät des jewels anderen Geschlechts vor und nach Alkoholkonsum? N = Stunden vorher 180 Sperrstunde abhängge Varable Beurtelung st ncht ntervallskalert wenn Voraussetzungen für t-test ncht erfüllt snd dann 5-1

22 Wlcoxon - Test (auch Wlcoxon Matched Pars Sgned Ranks Test) für Fragestellungen: unterscheden sch abhängge Stchproben bezüglch der Lage ener ordnalen (oder metrschen) Varable oder wenn Voraussetzungen für t -Test für abhängge Stchproben ncht erfüllt snd Voraussetzungen: abhängge Stchproben ordnale Daten (oder ncht normalvertelte Dfferenzen) (ncht zuvele Bndungen) Hypothesen: H 0 : F(x) = G(x) H A : F(x) > G(x) (Lage n Gruppen st glech) zu Test (mttels SPSS): p-value (Sgnfkanz) be klenen Stchproben exakt, sonst Normalvertelungsapproxmaton n SPSS: be ensetger Fragestellung p-value halberen Negatve Ränge Postve Ränge Bndungen Gesamt Ränge N Mttlerer Rangsumme Rang 39 a 61,67 405, b 96, c 180 a. Sperrstunde < 3 Stunden vorher b. Sperrstunde > 3 Stunden vorher c. 3 Stunden vorher = Sperrstunde Z Statstk für Test b Asymptotsche Sgnfkanz (-setg) Sperrstunde - 3 Stunden vorher -8,015 a,000 a. Basert auf negatven Rängen. b. Wlcoxon-Test Ergebns: Anwesende des anderen Geschlechts werden kurz vor Sperrzet deutlch attraktver beurtelt als 3 Stunden vorher 5-