Physik für Bauingenieure

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1 Fachbereich Physik Prof. Dr. Rudolf Feile Dipl. Phys. Markus Domschke Sommersemster Mai 010 Physik für Bauingenieure Übungsblatt 4 1. Wie viele Luftmoleküle befinden sich im Hörsaal Gruppenübungen Ein Student fragt sich, wie viele Luftmoleküle sich im Hörsaal befinden. Dazu misst er die Temperatur mit T= C und den Luftdruck mit p= 1013 hpa. Der Saal hat die Abmessungen 10 m 0 m 8 m. a) Helfen Sie dem Studenten bei der Berechnung der Teilchenzahl. b) Wie vielen Mol entspricht diese Teilchenzahl? a) Die Teilchenzahl des Gases wird mit den Gesetz für ideale Gase berechnet. Es gilt: p V= N k B T = N Gas = p V k B T = Teilchen b) Um die Mol zu berechnen, muss die Teilchenzahl durch die Lohschmidtsche Zahl geteilt werden. = N mol = N Gas = 6, Mol. Dichte von Luft Berechnen Sie die Dichte von Luft (Volumenanteile: 80% N, 0% O ) bei Normalbedingungen (p=1013 hpa, T= 0 C). Die Atomgewichte der beiden Bestandteile sind m O = 16 m u, m N = 14 m u die atomare Masseneinheit ist m u = 1 g mol. Um die Dichte von Luft zu berechnen, muss das Massenverhältnis von Sauerstoff und Stickstoff berücksichtigt werden. Dann kann mit einem Mol des Gases gearbeitet werden. Man beachte, dass die Molekülmassen für die Gase verwendet werden müssen. Für Die Masse m mol, Luft gilt: ρ Luft = m mol, Luft V mol, 0 C m mol, Luft = 0.m O + 0,8m N = NA 0. m O + 0,8 m N Das Volumen berechnet sich wie folgt: V mol,0 C = k B T p Das ergibt = 0. (16m u )+0,8 (14m u ) = 8,8g=0,088kg = 0,0406 = 4,06l = ρ Luft = m mol, Luft V mol, 0 C = 1,197 kg 3. Temperatur und Volumen Sie führen einem Mol Helium-Gas und einem Mol Sauerstoff-Gas jeweils dieselbe Wärmemenge zu, während Sie deren Volumen konstant halten. Was können Sie über die Temperaturänderung aussagen? Begründen Sie Ihre Antwort.

2 Die innere Energie eines Mol eines Gases mit f Freiheitsgraden ist U(f, T)= f k B T. Die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen eines Gases mit f Freiheitsgraden ist c V (f)= d dt U(f, T)= f k B = f J R mit R=8,3145 mol K Die Freiheitsgrade eines atomaren Gases wie Helium sind: f He = 3 Die Freiheitsgrade eines molekularen Gases wie Sauerstoff mit zwei Atomen pro Molekül, dessen Atome bei üblichen Temperaturen nicht gegeneinander schwingen ist: f O = 5 Daraus folgt für die Temperaturerhöhung bei einer Wärmezufuhr von Q: T V (f, Q)= Q c V (f) = Q R 1 1 f f Die Temperaturerhöhung bei Helium ist größer als bei Sauerstoff. Sauerstoff hat mehr Bewegungsfreiheitsgrade als Helium, die bei Wärmezufuhr Energie aufnehmen können. 4. Temperatur von Gasen Um wieviel erhöht sich die Temperatur, wenn Sie einem Mol Helium-Gas die Wärmemenge Q=5 kj zuführen und Sie a) das Gas bei konstantem Druck erwärmen oder b) das Volumen des Gases dabei konstant halten. c) Welche Temperaturen stellen sich ein, wenn Sie statt Helium Luft für Ihr Experiment nehmen. a) Bei konstantem Druck expandiert das Gas bei Erwärmung und verrichtet somit Arbeit, das heißt die innere Energie U nimmt weniger zu als bei Erwärmung mit konstantem Volumen. Die spezifische Wärme bei konstantem Druck ist definiert als c p (f)= c V (f)+r. Für die Temperaturänderung bei konstantem Druck folgt damit: T p (f, Q)= Q c p (f) = Q R 1 f+ Hiermit ergibt sich: T p (f He,5kJ)=40,5K b) Aus der obigen Aufgabe folgt: T V (f He,5kJ)=400,9K als Temperaturerhöhung von Helium bei konstantem Volumen. c) Verwendet man Luft, so ist ein zweiatomiges Gas zu verwenden mit f Luft = 5. Damit folgt: Temperaturerhöhung von Luft bei Wärmezufuhr unter konstantem Druck: Temperaturerhöhung von Luft bei konstantem Volumen: T p (f Luft,5kJ)=171,8K T V (f Luft,5kJ)=40,5K

3 5. Spezifische Wärme von Flüssigkeiten Sie mischen sich einen Latte Macchiato, indem Sie 100 c Kaffee aus der Kaffeemaschine (Temperatur 95 C) mit 100 c 80 C heißer Milch auffüllen. Nachdem Sie die Schichtung bewundert haben, rühren Sie das Ganze um. Welche Temperatur hat Ihr Milchkaffee nach dem Rühren, wenn Sie annehmen, dass Kaffee dieselbe spezifische Wärmekapazität wie Wasser und die Milch, wegen Ihres Anteils an Fett und Eiweiß, eine im Vergleich mit Wasser um 10% geringere spezifische Wärmekapazität hat. (Wasser hat die Dichteρ Wasser = 1000 kg und Milchρ Milch = 950 kg die weiteren notwendige Zahlenwerte finden Sie im Vorlesungsskript) Um die Mischtemperatur berechnen zu können, müssen die spezifische Wärme c spez, die Masse und die Temperatur der beiden Komponenten Kaffee und Milch bekannt sein. Dann verwendet man folgende Gleichung: Es werden also die fehlenden Werte berechnet. T misch = c Kaffeem Kaffee T Kaffe + c Milch m Milch T Milch c Kaffee m Kaffee + c Milch m Milch Die Masse erhält man mit m=ρ V. Für den Kaffee wir die gleiche Dichte wie für Wasser angenommen. Also m Kaffee =ρ Wasser V Kaffee = 0,1kg und m Milch =ρ Milch V Milch = 0,095kg Die spezifische Wärme des Kaffees ist die von Wasser (c Kaffee = 4186,8 J kg K ). Damit ergibt sich c Milch = 0.9 c Kaffee = 3768,1 J kg K. Die Temperaturen müssen normalerweise in Kelvin umgerechnet werden. In diesem Fall kann man darauf aber ausnahmsweise verzichten (wieso?). Alle Werte eingesetzt ergeben so: T misch = 361,36K= 88,09 C A. Spezifische Wärme von Beton Hausübungen Für die Auslegung eines Wärmespeichers im ADELE-Projekt wird die spezifische Wärmekapazität von Beton benötigt. Um diese zu bestimmen wird ein auf T Beton = 100 C aufgeheiztes Stück des verwendeten Betons m Beton = 00 g in einen wärmeisolierten Behälter mit Wasser m Wasser = 300 g, T Wasser = C gegeben. Nach Temperaturausgleich zwischen Wasser und Beton wird eine Temperatur von T mix = 9, 6 C gemessen. a) Wie groß ist die spezifische Wärmekapazität des verwendeten Betons? b) Wie groß ist die Wärmemenge, die in einem zylinderförmigen Betontank gespreichert ist, wenn dieser die Temperatur von 300 C hat? (Innendurchmesser d i = 10 m, freie Länge innen L i = 0 m und Wandstärke d Wand = 50 cm. Die Dichte des Betons istρ Beton =, 4 g c ) c) Geben Sie diese Wärmemenge in der Einheit kwh an. a) Es gilt die Energieerhaltung, das heißt die Energie vor dem Mischen muss die Gleiche sein, wie nach dem Mischen. Es gilt also: c Wasser m Wasser T Wasser + c Beton m Beton T Beton = c Wasser m Wasser + c Beton m Beton Tmix Daraus folgt c Beton = c Wasser mwasser m Beton TWasser T mix T mix T Beton = 678 J kg K

4 b) Um die Energiemenge zu erhalten, muss die Wärmekapazität C Tank des Tanks mit der Temperatur multipliziert werden. Die Wärmekapazität des Betontanks erhält man mit C Tank = m Tank c Beton. Die unbekannte Masse berechnet man mit der Dichte und dem Volumen über die Maße des Tanks. m Tank =ρ Beton V Tank =ρ Beton V Boden + V Wand di + d Wand di + d Wand =ρ Beton π d Wand+π Nun kann C Tank angegeben werden. = 400 kg 44,9 = kg C Tank = 6, J K di L i Damit folgt die Energiemenge E=C Tank T= 6, J K 573,15K= J. c) Eine kwh entspricht 3, J. Damit sind im Tank 1, kwh gespeichert. B. Energie zum Anheben einer Brücke Ein Brückensegment der Masse m=1 t soll mit einem zylinderförmigen Hubkolben (Grundfläche A Z = m ) angehoben werden. Das Volumen des Zylinders wird durch den Druck des Segments von oben bestimmt. Die Höhe h Z = 1 m stellt sich ein. Nun soll das Brückensegment um einen Meter angehoben werden. Berechnen Sie die Energie, die benötigt wird, um das Brückensegment anzuheben. Die Energie, die benötigt wird, um das Brückensegment anzuheben, setzt sich aus dem Zuwachs der potentiellen Energie durch das Anheben und der Wärmeenergie, die durch das Ausdehnen des Gases entsteht, zusammen. E=E pot + Q=mg h+ n c pmol T Die Höhe h ist ein Meter. Also müssen noch n= N Gas und T berechnet werden. Die Gasteilchenzahl N Gas im Kolben ergibt sich aus dem idealen Gasgesetz n= N Gas = pv k B T = pv R T wobei der Druck p durch den Athmosphärendruck p 0 und den Druck des Segments p= F zusammengesetzt ist. A p= p 0 + F g A = 1013hPa+ 1000kg g m = 106,03hPa Wenn die Gasmenge im Kolben während des Hubs gleich bleibt, so muss die Temperatur des Gases erhöht werden um dem Kolben auf eine Länge von h Z = m auszudehnen. Alles eingesetzt gibt(c pmol = f+ R) T= p V N Gas k B V=V = T. E=mg h+ pv T f+ f+ R T= mg h+ pv R = 9806,65J J=7539,65J= 753,kJ

5 C. Spezifische Wärme von Metallen In der Vorlesung wurde ein Experiment zur Verdeutlichung der spezifischen Wärme durchgeführt. Dabei wurden zwei Metallblöcke der Masse m=43, 7 g aus Aluminium (c Al = 0, 9 J ) und Blei (c K g P b= 0, 13 J ) in einem K g Wasserbad (c H O= 4, 1868 J ) bis zum Siedepunkt von Wasser erhitzt. Danach wurden beide Blöcke jeweils in K g ein weiteres Wasserbad der Masse m H 0= 350, 3 g und der Temperatur T W = 7, 9 C gegeben. a) Berechnen Sie die Temperatur des zweiten Wasserbades, nachdem sich die Metallblöcke jeweils mit der Temperatur angeglichen haben. Im Experiment wurden für den Aluminiumblock die Temperatur T W, Alu = 36, 1 C und für den Bleiblock die Temperatur T W, P b = 9, C abgelesen. b) Begründen Sie die Abweichung des Experiments von der Theorie. Hinweis: Schätzen Sie mit Hilfe der Fehlerabschätzung (Taylor-Entwicklung) ab, wie sich eine Massenabweichung von ±0,1g oder eine Temperaturabweichung des siedenden Wassers auf 98 C auswirken würde. a) Auch hier gilt die Energieerhaltung, das heißt die Energie bevor die Metallblöcke in das Wasserbecken kommen muss die Gleiche sein, wie nach der Zugabe. Es gilt also für den Aluminiumblock: c Wasser m Wasser T Wasser + c Al m Al T Al = c Wasser m Wasser + c Al m Al Tmix = T mix = c Wasser m Wasser T Wasser + c Al m Al T Al c Wasser m Wasser + c Al m Al = 310,43K=37,8 C Und für den Aluminiumblock: T mix = c Wasser m Wasser T Wasser + c Pb m Pb T Pb c Wasser m Wasser + c Pb m Pb = 30,57K= 9,4 C b) Offensichtlich ist die Temperaturabweichung bei Aluminium mit der größeren spezifischen Wärme deutlich höher, als bei Blei. Schätze also ab, wie sich die Fehler vom m Al bzw. m Pb und T Al bzw. T Pb auf das Ergebnis auswirken würden. Taylorentwicklung (bis zum ersten Gleid): Die ersten Ableitungen sind T mix = T mix + T mix m x m x + T mix T x T x T mix = c Wasser c x m Wasser (T x T Wasser ) m x c Wasser m Wasser + c x m x und T mix T x = c x m x c Wasser m Wasser + c x m x Damit ergibt sich für den möglichen Temperaturfehler T= C Und für den Massenfehler m=±0,1 g. T mix,al = 37,8 C 0.6 C T mix,pb = 9,4 C 0.04 C. T mix,al = 37,8 C±0,003 C T mix,pb = 9,4 C± C. Die Fehler verhalten sich wie erwartet proportional zur spezifischen Wärme der Metalle. Scheinbar hat der Temperaturfehler eine deutlich größeren Einfluss auf das Ergebnis, als der Fehler der Masse. Daher ist anzunehmen, dass das Wasserbad nicht bei 100 C gesiedet hat. Dieses ist damit zu erklären, dass nur bei einem äußeren Druck von 1013 hpa die Siedetemperatur bei 100 C liegt. Sobald der äußere Druck sinkt (Standort deutlich über dem Meeresspiegel, schlechtes Wetter), sinkt auch die Siedetemperatur!

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