Zahlensysteme. Formale Methoden der Informatik WiSe 2010/2011 Folie 1 (von 71)

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1 Zahlensysteme Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie (von 7)

2 Teil I: Zahlensysteme. Einführung und Zahlensysteme. Zahlensysteme / Algorithmik. Zahlendarstellung im Rechner. Gleitkommazahlen / Fließpunktzahlen Franz-Josef Radermacher, Fakultät für Ingeneurwissenschaften und Informatik, Universität Ulm, WiSe 9/ Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie (von 7)

3 . Einführung und Zahlensysteme Modell Wirklichkeit Die einfachste Form der Darstellung einer Zahl Basis-Zahlendarstellung Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie (von 7)

4 Modell Wirklichkeit Phänomen Anzahl Äpfel 5 Äpfel? Autos Autos? 7 Häuser Häuser? Rinder Rinder? Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie (von 7)

5 Operationen Zahlen Summenbildung Differenz Produkt Division Potenzen etc.. Frage: Wie notiert man Zahlen? Wie aufwendig ist das Notieren?. Frage: Wie addiert man Zahlen? Wie aufwendig ist das addieren? Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 5 (von 7)

6 Die einfachste Form der Darstellung einer Zahl 7 5 Vorteil: Nachteil: unmittelbar verständlich zu großer Aufwand bei großen Zahlen, außerdem nicht wirklich benennbar, damit praktisch nicht kommunizierbar. Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 6 (von 7)

7 Addition Wie addiert man solche Zahlen? 9 Vorteil: Nachteil: Algorithmus trivial: Man hängt die einen Striche an die anderen Striche. (Algorithmus z.b. durch Wegstreichen) hoher Aufwand, Ergebnis schwer nutzbar. Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 7 (von 7)

8 Basis-Zahlendarstellung Man nehme eine Zahl b, z.b. b,,, Betrachtet man die Zahl b n für n,,, dann ergibt sich b b b b b b b b b b b b wächst exponentiell schnell b x wächst schneller als jedes Polynom ist schon größer als die Anzahl aller Atome im Universum Mit -Tupeln aus und (,,,,,,, ) lassen sich schon 56 verschiedene Dinge unterscheiden bzw. beschreiben. Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie (von 7)

9 Basis-Zahlendarstellung () die Basis b ist aus den natürlichen Zahlen die Ziffer a i ist aus den natürlichen Zahlen a i b- die Darstellung ist eindeutig Schreibweise: zahl (a n... a ) b Beispiel: () gebräuchliche Zahlenbasen: - (Binär-System) - (Oktal-System) - (Dezimal-System) - 6 (Hexadezimal-System) zahl Σ a i b i n i Beispiel: 5 5 D (Ziffern:,..., 9, A, B, C, D, E, F) Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 9 (von 7)

10 Konvertierung zwischen zwei Basen zahl n i a i n n b a b i n an b K ab Basis b Basis - Eingabe: b, Ziffernfolge a, a,..., a n - Ausgabe: Dezimalzahl a Basis besonders wichtig, weil wir diese gewöhnt sind Basis Basis b - Eingabe: Dezimalzahl, neue Basis b - Ausgabe: Ziffernfolge a, a,..., a n Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie (von 7)

11 Basis-Zahlendarstellung () Vorteile: Mit Basis-Zahlendarstellungen (Stellenwertsystemen) gelingt eine exponentielle Verkürzung der Darstellung gegenüber dem Strichcode. Sie basiert im wesentlichen auf der Größe b i daher gibt es auch entsprechende Bezeichnungen z.b. Milliarden Man braucht Namen im Zehnersystem: aktuelles Programm der US Bundesregierung zur Stärkung US Finanzsystems: US$ 7 Milliarden,,,, 9 zehn hundert 6 Million Googol (Namensgeber der Suchmaschine google ) Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie (von 7)

12 Basis-Zahlendarstellung () 9 im Französischen: quatre vingt douce Wesentlich:. Potenzen spielen eine zentrale Rolle.. Man braucht die Null ( ). (Kulturhistorische Revolution). In größeren Systemen (z.b. im -er System / im 6-er System) benötigt man außerdem neue Zeichen (im -er System für und / im 6-er System für bis 5) Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie (von 7)

13 . Zahlensysteme / Algorithmik Summenbildung Addition mit Übertrag Multiplikation Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie (von 7)

14 Summenbildung Kann man in der kurzen Codierung eine (bzgl. der kurzen Codierung) schnelle, d.h. polynomische Addition hinbekommen? Summenbildung zentraler Algorithmus (Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenz, Wurzel werden darauf zurückgeführt) Im französischen heißt die Rechnung im Lokal l addition Zentraler Algorithmus für das -er System: Übertrag ist immer oder Addieren von Zahlen -er Addition, von denen eine nur aus -en und -en besteht Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie (von 7)

15 Summenbildung () Weitere Beispiele: Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 5 (von 7)

16 Summenbildung () Addition ist also realisierbar über eine Sequenz von sogenannten Volladdierern (beinhalten den Übertrag) bzw. über spezielle Algorithmen, die ohne eine solche Sequenz auskommen. (wird später genauer behandelt) Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 6 (von 7)

17 Summenbildung () Formale stellenweise Addition (mit Übertrag) a n b n a n- b n- a b a b a n bn a n- bn- a b a b ü s b s b ü, falls a a < b, falls a a b s a a, falls a a < b (a a )-b, falls a a b Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 7 (von 7)

18 Summenbildung () Konkretes Beispiel: Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie (von 7)

19 Addition im 5-er System () Ziffern:,,,, größte Zahl bei der Addition zweier 5-er Zahlen, wenn noch ein Übertrag von dazu kommt, da () 9 5 Additionstabelle Die grün gekennzeichneten Fälle erzeugen einen Übertrag Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 9 (von 7)

20 Addition im 5-er System () mit Übertrag: () Die grün gekennzeichneten Fälle erzeugen einen Übertrag Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie (von 7)

21 Addition im 5-er System () einfache Beispiele zur Konvertierung: 5 Vorgehensweise: () 5 5 () 5 () 5 5 () 5 () 5 5 () 5 (5) 5 5 () 5 () 5 5 () 5 III III ( 5 ) ist die größte 5-er Potenz, die gerade noch kleiner ist als die gegebene 6. 5 passt genau mal in 6 hinein. (bisher) 5 Nun die 5 ( 5) von den bisherigen 6 abziehen. Es bleibt ein Rest von. 5 ( 5 ) passt genau mal in den Rest ( ) hinein. (bsiher) 5 5 Nun die 5 ( ) vom bisherigen Rest ( ) abziehen. Es bleibt ein Rest von. ( 5) passt genau mal in den Rest ( ) hinein. (bisher) Nun die 5 ( ) vom bisherigen Rest ( ) abziehen. Es bleibt ein Rest von. Wir sind fertig! (6) () 5 Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie (von 7)

22 Addition im 5-er System () einfache Beispiele zur Addition: () 5 () 5 (7) () 5 direkter Weg: () 5 () 5? Umweg über das -er System (eigentlich unschön und hier nur zur Veranschaulichung) () (5) (7) Übertrag (7) Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie (von 7)

23 Addition im 5-er System (5) Beispiel Addiere () 5 () 5 () ( ) 5 ( ) 5 ( ) 5 (5) (65) (5) (5) (5) (965) Rechnen im 5-er System () 5 (65) (5) (5) (5) () () 5 (65) (75) () (5) () (6) () 5 (65) (5) (5) (5) () () 5 (5) (5) (75) () () (9) Σ (965) Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie (von 7)

24 Addition im -er System () Ziffern:,,,,, 5, 6, 7,, 9, A, B A B B größte Zahl bei der Addition zweier -er Zahlen, wenn noch ein Übertrag von dazu kommt, da B B () () B Additionstabelle A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B 9 A B 9 A B A B B A Die grün gekennzeichneten Fälle erzeugen einen Übertrag Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie (von 7)

25 Addition im -er System () mit Übertrag: () A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B 9 A B A B B A 9 A B Die grün gekennzeichneten Fälle erzeugen einen Übertrag Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 5 (von 7)

26 Addition im -er System () Beispiel Addiere (6A5) (5B) () (6 A 5) (5 B ) ( ) (76) (7) () () () (76) (7) () () () Rechnen im -er System () (6A5) 6 A 5 () 5 6(7) () () 5() () 5 (6) () () 5(5) (95) (5B) 5 B () 5 5(7) () () () () 5 5(6) (5) () () (75) Σ () Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 6 (von 7)

27 Multiplikation Gegeben zwei Zahlen: 7 5 Wie erhält man das Produkt? mehrfaches Addieren der Zahl I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I 7 Summanden I I I I I I I I I I I I I I I Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 7 (von 7)

28 Multiplikation () Multiplikationstabelle (das kleine im -er-system) Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie (von 7)

29 Multiplikation () Multiplikationstabelle (das kleine im 5-er-System) Bemerkung: kleiner, einfacher Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 9 (von 7)

30 Multiplikation () Wie multipliziert man effizienter als durch mehrfache Addition? Beispiel: (im -er-system) 5 6? Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie (von 7)

31 Multiplikation () D.h. Multiplikation beliebiger Zahlen im -er System wird zurückgeführt auf Multiplikation mit,, durch Anhängen keiner, einer, zweier etc. Nullen Multiplikation mit einstelligen Zahlen ( Multiplikationstabelle!) Addition ( Additionstabelle!) ( 5 6) Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie (von 7)

32 Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie (von 7) Multiplikation (5) Kurzdarstellung

33 . Zahlendarstellung im Rechner Das -er System Konvertierung Negative Zahlen und Subtraktion -er Komplement Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie (von 7)

34 Das -er System Vorteil: nur noch und gut identifizierbare und technisch realisierbare Zustände (Strom fließt vs. Strom fließt nicht, positive Spannung vs. negative Spannung) Wie sieht die Zahl im Zweier-System aus? 5 Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie (von 7)

35 Addition im -er System () Ziffern:, 5 6 Additionstabelle: mit Übertrag: Die grün gekennzeichneten Fälle erzeugen einen Übertrag () Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 5 (von 7)

36 Addition im -er System () Summenbildung: 5 Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 6 (von 7)

37 Konvertierung Konvertierung vom -er System in -er System (77) (?) : : : : 9 7 Rest Rest Rest Rest Ergebnis: Rückwärtsanordnung der Reste, d.h. ( ) (77) : Rest 5 : : 5 Rest Rest Probe, d.h. Konvertierung vom -er System in -er System : : Rest Rest Stop bei Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 7 (von 7)

38 Konvertierung () Wieso werden Reste rückwärts angeordnet? () (?) : 6 Rest 6 : Rest : Rest : Rest : Rest : Rest () () Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie (von 7)

39 Endliche Zahlenbereiche () Digitalrechner sind endlich! Es gibt nur endlich viele Stellen, endlich viele Plätze, die zur Zahlendarstellung verwendet werden können. Häufig werden bit, d.h. Dualstellen bereitgestellt. / /. / / Kleinste Zahl ( ) () Größte Zahl ( ) ( ) Größere Zahlenbereiche als der bit sind möglich z.b. bit oder 6 bit. Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 9 (von 7)

40 Endliche Zahlenbereiche () Problem endlicher Zahlenbereiche: Summe, Produkt darstellbarer Zahlen ist u.u. nicht mehr darstellbar ( Überlauf, overflow) Hypothetisch kleines Beispiel: nur Bits? Summenbildung nicht ausführbar! Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie (von 7)

41 Negative Zahlen und Subtraktion Ziel: Sowohl Darstellung negativer Zahlen als auch Arithmetik damit Grundsätzlich Wege denkbar: Extra Substraktionsalgorithmus Rückführung auf Addition ( bevorzugt) Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie (von 7)

42 Negative Zahlen und Subtraktion (). Versuch: (signed integer) Ein Bit wird als Vorzeichen reserviert. Dann sind nun weniger Bits zur eigentlichen Zahlendarstellung (Betragsdarstellung) verfügbar. Typischerweise wird das Bit ganz links als Vorzeichen verwendet. Vorzeichenbit Vorzeichenbit Beispiel: ( ( 6 6 ) ) Darstellbarkeit negativer Zahlen erscheint in Ordnung 6 6 Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie (von 7)

43 Negative Zahlen und Subtraktion () kleines Problem: Die hat zwei Darstellungen. Alle anderen darstellbaren Zahlen haben eindeutige Darstellungen. ( ) ( ) (gewöhnungsbedürftig, aber beherrschbar) großes Problem: Addition einer negativen Zahl Subtraktion dieser Zahl? Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie (von 7)

44 Negative Zahlen und Subtraktion () Beispiel: 9 ( 9) ( ) ( ) so nicht Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie (von 7)

45 Negative Zahlen und Subtraktion () Vorzeichenbit Vorzeichenbit 9 ( 9) ( ) ( ) so auch nicht Aber: Für eine reine Darstellung gemischt auftretender positiver und negativer Zahlen ist die Vorzeichenkonvention brauchbar! Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 5 (von 7)

46 -er Komplement. Versuch: (-er Komplement) Finde zu irgendeiner Binärzahl, z.b. eine Binärzahl, so dass deren Summe ist. (Beschränkung auf Bit) z.b. 9 9 Löse das Problem rückwärts!? Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 6 (von 7)

47 -er Komplement. Versuch: (-er Komplement) Finde zu irgendeiner Binärzahl, z.b. eine Binärzahl, so dass deren Summe ist. (Beschränkung auf Bit) z.b. 9 9 Löse das Problem rückwärts!. Beobachtung:. Beobachtung: Die zu addierende Zahl ist das Komplement der ursprünglichen Zahl bis auf die letzte Stelle. Es entsteht eine neue Stelle. ignorieren Komplement: Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 7 (von 7)

48 -er Komplement () Das -er Komplement wird in zwei Schritten gebildet. Bildung des reinen Komplements. Addition von, wobei eine vorne ggf. entstehende neue Stelle ignoriert wird. Beispiele für -er Komplement: Komplementbildung Komplementbildung Addition von Addition von Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie (von 7)

49 -er Komplement () Komplement ( Komplement ( Zahl ) ) Zahl aber auch -er Komplement ( -er Komplement ( Zahl ) ) Zahl Beispiel: -er Komplement von ist (vorige Folie) Davon das -er Komplement: Komplementbildung Addition von Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 9 (von 7)

50 Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 5 (von 7) Addition des -er Komplements () ( 9). Schritt: Bildung des -er Komplements von 9. Schritt: Addition von und dem -er Komplement von 9 -er Komplement von (9) () -er Komplement von (9) () ignorieren des Übertrags!

51 Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 5 (von 7) Addition des -er Komplements () (9 ) (Die Darstellung negativer Zahlen ist im Zusammenhang mit dem -er Komplement im bisherigen Verlauf ungeklärt.). Schritt: Bildung des -er Komplements von. Schritt: Addition von 9 und -er Komplement von -er Komplement von () ( )? -er Komplement von () (9) kein Übertrag entstanden Darstellung negativer Zahlen noch nicht festgelegt möglicherweise sinnvoll

52 -er Komplement von -Bit Zahlen () Addition von von Position zu Position Das erste Bit ist das Vorzeichen -er Komplemente nebeneinander -er Komplemente liegen sich in diesem Zahlenkreis nicht gegenüber, sind aber betragsmäßig gleich. Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 5 (von 7)

53 -er Komplement von -Bit Zahlen () Subtraktion wurde tatsächlich auf Addition mit -er Komplement zurückgeführt. Die Bildung des -er Komplements kann wiederum auf Addition zurückgeführt werden, denn die Komplementbildung kann auf Addition zurückgeführt werden allerdings auf Addition ohne Überträge Beispiel: Überträge ignorieren Diese beiden Zahlen sind die reinen Komplemente voneinander. Es wird stets diese Zahl zum Binärmuster addiert. Subtraktion vollständig auf Addition(en) zurückgeführt! Komplementbildung durch ziffernweise / bitweise Negation. Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 5 (von 7)

54 -er Komplement von -Bit Zahlen () Zahlenbereichsüberschreitungen beim -er Komplement werden in dieser Vorlesung (Übungen, Tutorien, Klausur) nicht behandelt. Multiplikationen beim -er Komplement werden in dieser Vorlesung (Übungen, Tutorien, Klausur) auch nicht behandelt. Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 5 (von 7)

55 . Gleitkommazahlen / Fließpunktzahlen Kommazahlen im Dezimalsystem Beispiel im er-system (Zehner-)Exponenten Normierung Gleitkommazahlen-Darstellung in Rechnern Besonderheiten Konsequenzen Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 55 (von 7)

56 Kommazahlen im Dezimalsystem Bisher bekannt sind Zahlen wie: Wie aber stellt man das Ergebnis der folgenden Rechnung dar? 7 Tafeln Schokolade sollen gerecht auf Freunde verteilt werden. 7 : : Rest Rest? (was ist?) Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 56 (von 7)

57 Kommazahlen im Dezimalsystem () Man kann die Darstellung des Zahlensystems fortsetzen, indem man sich einfach ein paar Stellen leiht : 7 : Rest : 7 Rest geliehen : 5 Rest geliehen Ergebnis:, 7 5 Man muss die Stelle markieren, an der man begonnen hat, sich Stellen auszuleihen. Einführung des Kommas Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 57 (von 7)

58 Kommazahlen im Dezimalsystem () Dies lässt sich auch wie folgt darstellen: { 7 5 { { D.h. das Verfahren, Zahlen in verschiedenen Basis-Systemen darzustellen, lässt sich auch für Zahlenwerte < fortsetzen. Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 5 (von 7)

59 Beispiel im er-system Was ist (,75) im er-system?,75,,75,,75,,75,,75,,75,,75,5,5,5, < < < 6,5,5, ,5 -,5 -,5 - Ergebnis: (, ), Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 59 (von 7)

60 (Zehner-)Exponenten Für besonders große und betragsmäßig kleine Zahlen ist die Exponentialschreibweise bekannt: ,, Das gleiche ist natürlich auf Systeme anderer Basen übertragbar: -7,, Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 6 (von 7)

61 Normierung Üblich ist häufig auch eine Normierung, so dass nicht mehr mehrere Vorkommastellen vorkommen. Über den Exponenten lässt sich dies ausgleichen: 5-5 Analog im er-system: 9 5 5,5,5,,, -, -,, Ob auf x,xxx oder,xxxx normiert wird ist letztendlich eine willkürliche Festlegung -7,,, -, - Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 6 (von 7)

62 Gleitkommazahlen-Darstellung in Rechnern Wieder basierend auf dem er System. Aufteilung eines Bereiches für die Nachkommazahlen (bestimmte Anzahl von Stellen / Bits als Genauigkeit) und eines Bereiches für den Exponenten. Mantisse Exponent Vorzeichen der Mantisse Vorzeichen des Exponenten Bemerkung: Es gibt viele unterschiedliche Standards, bekanntester IEEE 75 (hier nicht dargestellt). Nicht in allen Fällen werden die Spezifikationen der Norm IEEE 75 vollständig erfüllt; Beispiele dafür sind einige IBM-Großrechnersysteme, die VAX-Architektur und einige Supercomputer wie die von Cray, aber auch die Sprache Java. Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 6 (von 7)

63 Besonderheiten Aufgrund der Normierung steht die erste entweder direkt vor oder nach dem Komma. Ein freies Setzen des Kommas ist nicht mehr möglich. Solche Fälle würden (per Definition) immer durch den Exponenten ausgeglichen. immer fest immer fest standardmäßig auftretender Fall:,xxxxx oder,xxxxx Erst ab hier können beliebige Ziffernfolgen auftreten ( oder ) Um Platz zu sparen, hat man sich daher entschieden, das erste Bit einzusparen und einfach anzunehmen, dass es auf gesetzt ist. (so genanntes hidden Bit ) Die restliche Mantisse hat daher Bit mehr zur Verfügung. Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 6 (von 7)

64 Konsequenzen. Aufgrund der Normierung und des Verbots von -en direkt nach dem Komma existiert direkt um den Nullpunkt eine Lücke, in der keine Zahlen darstellbar sind. (siehe auch Übungen). Über den Zahlenstrahl herrscht eine unterschiedliche Dichte, welche Zahlen in welcher Entfernung vom Nullpunkt dargestellt werden können. negative overflow negative underflow Null ausdrückbare negative Zahlen positive underflow jede Gleitkommazahl repräsentiert ein Intervall der reellen Zahlen; das Intervall wächst mit zunehmendem Betrag der Zahl, d.h. die Dichte der Repräsentation nimmt mit zunehmendem Betrag der Zahl ab Eine Abschätzung des Einflusses der Ungleichverteilung der Repräsentanten auf die Rechenoperationen ist nicht trivial Behandlung von overflow / underflow, Null, undefiniert? ausdrückbare positive Zahlen positive overflow Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 6 (von 7)

65 Darstellung der Null. Aufgrund dieser Design-Entscheidung lässt sich nun theoretisch keine Null mehr darstellen. Abhilfe: Eine bestimmte Abfolge der Bits über die gesamte Länge (Mantisse und Exponent) wird als Darstellung der Null definiert. Einige besondere Zahlen, die auf diese Weise definiert werden:, positive null, negative null positive infinity negative infinity undefinierte Zahl not-a-number (NaN) Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 65 (von 7)

66 Interne Darstellung besonderer Zahlen Wie werden die besonderen Zahlen (wie ±, ± oder NaN) intern dargestellt? Exponent E Mantisse M Bedeutung Salopp Bezeichnung E E min M ( ) S ± Null (gehört zu denorm.) E E min M > ( ) S M / p E min ±,M E min denormalisierte Zahl E min < E < E max M ( ) S ( M / p ) E ±,M E normalisierte Zahl E E max M Unendlich ± Unendlich E E max M > keine Zahl (NaN) keine Zahl (NaN) wobei: S Wert des Vorzeichenbits (S sign) E Wert des Exponenten (E min mininaler Expon., E max maximaler Expon.) M Wert der Mantisse p Anzahl der Mantissenbits (p precision) Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 66 (von 7)

67 Die Lücke in der Mitte Wie lassen sich kleine Zahlen um Null darstellen? Aufgrund der Normierung und des implizit immer gesetzten hidden Bits ist es nach den vorangegangenen Regeln nicht möglich Zahlen darzustellen, die kleiner sind als der kleinste Exponent. Es bildet sich eine Lücke um die Null herum. Abhilfe: Beim kleinsten Exponenten wird auf die Normierung und auf das implizite hidden Bit verzichtet. Nun sind auch Zahlen der Form, xxxx erlaubt und man kommt somit (im Rahmen der Genauigkeit des vorletzten Exponenten) beliebig an die Null heran. Die Null ist sogar nur ein Spezialfall dieser so genannten denormalisierten Zahlen. Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 67 (von 7)

68 Rechenoperationen. Addition und Multiplikation sind nicht trivial. Addition:,,56 auf gleichen Exponenten bringen,,56, 5,6 oder 56 6,,56 dann Mantissen addieren 6,,6 6,,6 Multiplikation: Mantisse Exponent Mantisse Exponent, x,56 Mantisse und Exponenten einzeln zusammenfassen, x,56, x,56 x x Mant x Mant Exp x Exp und dann jeweils verrechnen 5,67 5,67 7 Mant x Mant Exp Exp Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 6 (von 7)

69 Zahlenumwandlungen 5. Berechnung mit sowohl einer Ganzen Zahl als auch einer Gleitkommazahl erfordert Umwandlung: Sollen Zahlen unterschiedlicher Darstellungsarten miteinander verrechnet werden, so müssen sie zunächst in eine gemeinsame Darstellungsart überführt werden. Beispiel: Wandlung in Ganze Zahlen, 567, , 5,67,,567,67 Wandlung in Fließpunktzahlen Dabei können Informationen verloren gehen, 567, , 5,67, 5,67 5,79 Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 69 (von 7)

70 Rundungsfehler 6. Rechenungenauigkeiten / Rundungsfehler Test: Assoziativgesetz (Beispiel mit -stelliger Arithmetik) x 9,9; y,; z,999 (x y) z,9 (,999) 9,9 x (y z) 9,9, 9,9 Test: Distributivgesetz (Beispiel mit -stelliger Arithmetik) x,; y 5,; z 5, (x y) (x z) ( 55) 55, x (y z),,, Auslöschung Bei der Subtraktion zweier fast gleich großer Werte heben sich die signifikanten Ziffern auf und die Differenz verliert dadurch an Signifikanz (z.b. Differenzenquotient) Überlaufgefahr... bei Division durch kleine Werte Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 7 (von 7)

71 Fazit Gleitkommazahlen können nicht gleichgesetzt werden mit Rationalen Zahlen (Q) oder mit Reellen Zahlen (R) Probleme der Numerik ( eigener Fachbereich in der Mathematik) Formale Methoden der Informatik WiSe / Folie 7 (von 7)