Vorlesung bzw. 23. Januar Determinanten 1. Cramersche Regel

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1 Vorlesung 2 22 bzw 23 Januar 204 Lineares Gleichungssystem a a 2 b b 2 = F a a 2 a 3 b b 2 b 3 c c 2 c 3 = V V =< a, b c > c b a b a F V Seite 70 a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 b = 0 < a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 b, a 2 a 3 >= 0 < a, a 2 a 3 > x =< b, a 2 a 3 > det(a, a 2, a 3 )x = det < b, a 2, a 3 > Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 / 88 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 2 / 88 Seite 7 Cramersche Regel mit a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 = b det(a, a 2, a 3 ) 0 a, a 2, a 3 l u x = det (b, a2, a 3 ) det (a, a 2, a 3 ) x 2 = det (a, b, a 3 ) det (a, a 2, a 3 ) x 3 = det (a, a 2, b) det (a, a 2, a 3 ) Aber!!! Wende Cramer nur für kleine Dimension und bei dringender Notwendigkeit (Die gibt es so gut wie nie) an Beispiel: a a x x 2 x 3 x i = x i (a) = 2 3 Wenn Determinante verallgemeinert Cramersche Regel verallgemeinert Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 3 / 88 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 4 / 88

2 Überhaupt Man schätze die Bedeutung der in der linearen Algebra nicht zu hoch ein Sie sind nur später wichtiges Hilfsmittel in der Analysis Vereinbarung Zu A R (n,n) und i, j {,, n} Sei A ij R (n,n ) die Matrix, die durch Streichen der i ten Zeile und j ten Spalte aus A entsteht a a 2 a 3 a 4 A = a 2 a 22 a 23 a 24 a a 2 a 4 a 3 a 32 a 33 a 34 A 23 = a 3 a 32 a 34 a a 4 a 42 a 43 a 4 a 42 a Definition 52 (Rekursiv) Seite 7 det A := Determinante n = : A = (a ) det A = a n > : det A = ( ) +j a j det A j Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 5 / 88 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 6 / 88 A = Andere Schreibweise a a n a n a nn a a n det A = a n a nn Seite 72 n = 2 a a 2 a 2 a 22 = +a a a 2 a 2 a 22 a 2 a a 2 a 2 a 22 = a a 22 a 2 a 2 a a 2 a 3 n = 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 = a a 2 a 3 +a a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 a a a 2 a 3 2 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 + a a a 2 a 3 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 7 / 88 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 8 / 88

3 Für n = 2, 3 spezielle Merkregel (Sarrus) a a 2 a 2 a 22 = a a 22 a 2 a 2 a a 2 a 3 a a 2 a 2 a 22 a 23 a 2 a 22 a 3 a 32 a 33 a 3 a 32 Seite 72 Aber wie komme ich an die Determinante für n 4? Effiziente Berechnung von mit dem Gaussalgorithmus Dafür müssen wir aber noch einige Eigenschaften der näher kennenlernen (auch für später, in der Analysis, nützlich) blaue Produkte addieren, rote Produkte subtrahieren Achtung! Für n 4 FALSCH Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 9 / 88 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 0 / 88 Satz 54 n 2; A R (n,n) B R (n,n) ergibt sich aus A durch Vertauschung zweier Zeilen det B = det A Seite 73 a a 2 a n a i a i2 a in A = vertauschen a j a j2 a jn a n a n2 a nn a a 2 a n a j a j2 a jn B = a i a i2 a in a n a n2 a nn Dann det B = det A Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 / 88 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 2 / 88

4 Beweis zu Satz ist etwas länglich Deshalb: Beweisskizze - Beweis ist induktiv - 2 Fälle unterscheiden Vertausche benachbarte Zeilen a) Nicht die ersten beiden Zeilen tauschen b) Vertausche Zeile mit Zeile 2 2 Vertausche beliebige Zeilen Beweis zu Satz 54 det ist induktiv definiert Beweis muss induktiv sein: Induktion über n 2 Induktionsverankerung: n = 2 A = ( ) a a 2 B = a 2 a 22 ( ) a2 a 22 a a 2 det A = a a 22 a 2 a 2 ; det B = a 2 a 2 a 22 a det B = det A (n = 2) Sei Behauptung bewiesen für det von (n, n ) Matrizen (n 3) Induktionsschluß: n n Wir betrachten nacheinander 2 Fälle - Vertauschung benachbarter Zeilen i i + - Vertauschung beliebiger Zeilen i j Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 3 / 88 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 4 / 88 Fall : Vertauschung benachbarter Zeilen i i + Definiton von det hängt an der ersten Zeile det A = ( ) +j a j det A j zu i 2: Zeile von A = Zeile von B dh a j = b j j =, 2,, n Induktionsannahme sagt det B j = det A j j =, 2,, n (n, n ) Matrix mit zwei vertauschten Zeilen noch unterscheiden i 2 und i = det B = = ( ) +j b j det B j ( ) +j a j ( det A j ) = det A Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 5 / 88 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 6 / 88

5 Nun zur det -Berechnung zu i = : (etwas schwieriger) Vertauschen der ersten und zweiten Zeile a a j a n a 2 a 2,j a 2,j+ a 2n a 2 a 2j a 2n A = A a 3 a 3,j a 3,j+ a 3n j = a n a nj a nn a n a n,j a n,j+ a nn a 2 a 2k a 2n a a,k a,k+ a n a a k a n B = B a 3 a 3,k a 3,k+ a 3n k = a n a nk a nn a n a n,k a n,k+ a nn A j ˆ= Streiche in A Zeile und Spalte j mit mit det A = ( ) +j a j det A j j det A j = ( ) +k a 2k det A j,2k + ( ) k a 2k det A j,2k k= k=j+ det B = ( ) +k a 2k det B k = ( ) +k a 2k det A 2k k= k= k det A 2k = ( ) +j a j det A 2k,j + ( ) j a j det A 2k,j j=k+ B k ˆ= Streiche in A Zeile 2 und Spalte k ˆ=A 2k A j,2k ˆ= Streiche in A Zeile und Spalte j und streiche Zeile 2 und Spalte k ˆ=A 2k,j det A j,2k = det A 2k,j Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 7 / 88 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 8 / 88 det A besteht aus den Summanden ( ) +j ( ) +k a j a 2k det A j,2k ; k < j n ( ) +j ( ) k a j a 2k det A j,2k ; j < k n det B besteht aus den Summanden ( ) +k ( ) +j a j a 2k det A j,2k ; j < k n ( ) +k ( ) j a j a 2k det A j,2k ; k < j n det B = det A Zwischenbilanz: Bisher bewiesen Vertauschen benachbarter Zeilen ändert Vorzeichen der det Fall 2: Vertauschung beliebiger Zahlen i j te Zeile i te Zeile A = (i < j) j te Zeile n te Zeile j i mal tausche i te Zeile mit unterem Nachbar i te Zeile steht an Position j weiterer Tausch i te Zeile steht an Position j j te Zeile steht an Position j j i mal tausche j te Zeile mit oberem Nachbar Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 9 / 88 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 20 / 88

6 Seite 74 Insgesamt mit (j i ) + + (j i ) = 2 (j i ) + Vertauschungen det B = ( ) 2 (j i )+ det A = det A Zusammenfassend Vertauschen zweier beliebiger Zeilen ändert das Vorzeichen der det Satz 55 von Laplace A R (n,n) i {,, n} : det A = ( ) i+j a ij det A ij Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 2 / 88 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 22 / 88 Definition 56 Entwicklung von det A nach i ter Zeile det A ij Minor zu a ij ( ) i+j det A ij Kofaktor zu a ij oder algebraisches Komplement oder Adjunkte a a j a n A ij = a i a ij a in i te Zeile in A a n a nj a nn j te Spalte in A Seite 74 Beweis zu Satz 55 Durch mehrfaches Anwenden von Satz 54 a a j a n A = a i a ij a in vertauschen a n a nj a nn Nach i Vertauschungen der i ten Zeile mit der jeweils darüberliegenden Zeile a i a ij a in a a j a n B = a n a nj a nn Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 23 / 88 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 24 / 88

7 oder Satz det B = ( ) i det A det A = ( ) i det B = ( ) i ( ) +j b j det B j = ( ) i ( ) +j a ij det A ij = ( ) i+j a ij det A ij Was soll das nun? Definition von det A ˆ= Entwicklung nach ter Zeile Entwicklungssatz von Laplace (Satz 2) ˆ= Es ist egal, nach welcher Zeile man det A entwickelt Egal bedeutet für uns dann natürlich, eine möglichst einfache Zeile zu wählen Einfach ˆ= viele 0-en in der Zeile Gilt für Rechnungen zu Fuß Computer: Gauss-Algorithmus Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 25 / 88 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 26 / 88 Berechne det A von A = Entwickel nach letzter Zeile Beispiel Leichte Folgerung aus Satz 54 und Satz 55 Satz 59 A R (n,n) besitzt zwei identische Zeilen Beweis det A = 0 Seite 76 det A = 0 det A det A det A 43 + det A = det die ist einfach [ ( ) ( ) ( ) ] = 0 det + 0 det + 9 det = 9 ( 6 2 5) = 99 ( 4) = 396 Entwickeln nach ter Zeile = viel mehr Arbeit = mehr Möglichkeiten, sich zu verrechnen Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 27 / 88 a) Zeile i = Zeile j (i j) Vertausche i te Zeile mit j ter Zeile; nenne die neue Matrix B Satz det B = det A aus a) B = A det B = det A Also det A = det A det A = 0 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 28 / 88

8 Satz 58 (i) det( ) ist linear in jeder Zeile a T a T 2 det λai T = λ det a T ị, Seite 75 Seite 76 Satz 50 A R (n,n), λ R; B R (n,n) ergebe sich aus A durch Addition von λ Zeile k auf Zeile i (mit i k) Beweis det B = det A det a T n b T i a T + c T i a T n a T n a T = det bị T (ii) A R (n,n), λ R Dann det(λ A) = λ n det(a) Beweis durch Entwickeln a T n + det a T c T ị a T n A = (a ij )ij =, 2,, n a a j a n a k a kj a kn Nach dieser B = Zeile entwickeln! a i + λa k a ij + λa kj a in + λa kn a n a nj a nn Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 29 / 88 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 30 / 88 Worin det B = = ( ) i+j (a ij + λa kj )det A ij ( ) i+j a ij det A ij +λ Zwei gleiche Zeilen det C = 0 } {{ } det A ( ) i+j a kj det A ij a a j a n a k a kj a kn C = a k a kj a kn a n a nj a nn det B = det A } {{ } λ det C Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 3 / 88 Satz 50 erinnert schon an Gauss-Algorithmus für berechnung: Eliminationsschritt ändert det nicht! Zeilenvertauschung (Pivotsuche) ändert Vorzeichen der det! Gauss-Algorithmus Dreiecksmatrix det dafür einfach: Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 32 / 88

9 Satz 52 untere oder obere Dreiecksmatrix (a ij )ij =,, n = A R (n,n) det A = Beweis A obere Dreiecksmatrix a a 2 a,n a,n 0 a 22 a 2,n a 2,n A = an,n a n,n 0 0 a n,n n i= a ii Seite 77 a a,n det A = a nn det a n,n a a,n 2 = a nn a n,n det a n 2,n 2 = a nn a n,n a n 2,n 2 a 22 det(a ) n = i= a ii Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 33 / 88 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 34 / 88 Einfaches Beispiel A untere Dreiecksmatrix a 0 0 A = a 2 a 22 0 a n a n2 a nn Jeweils nach oberster Zeile entwickeln det A = n i= a ii Dann 0 E n = 0 det E n = n N Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 35 / 88 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 36 / 88

10 Alles bereit für det -Berechnung mit Gauss-Algorithmus: Führe Eliminationsschritte durch Merke die Zeilenvertauschungen (bei Pivotsuche) in einem Zähler i Bricht Elimination vorzeitig ab (dh kein Pivotelement 0 in Spalte; es entsteht eine Nullzeile) det A = 0 Sonst (dh A R) i ˆ=Anzahl Zeilenvertauschungen det A = ( ) i det R n = ( ) i r jj Seite 77 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 37 / 88 Beispiel Berechne det A von A = (Eliminationsschritt) Zähler i = vertauschen Zähler i = = R det R = ( ) ( 6) ( 4) = 24 det A = ( ) i= det R = ( 24) = 24 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 38 / 88 Seite 78 Jetzt kennengelernt det -Berechnung über Gauss-Algorithmus oder Entwicklungs-Satz Wie denn nun? Grob überschlagen, wieviel man jeweils rechnen muss: Multiplikationen/Divisionen Rechenaufwand für Entwicklungssatz Behauptung: RA E (n) n! Für n 2 (n! = 2 3 (n ) n) Beweis: Induktion n = 2 : ( ) a a det 2 = a a 2 a a 22 a 2 a 2 RA E (2) = 2 2! 22 n n : det A = ( ) i+j a ij deta ij } {{ } RA E (n) n (n )! + n = n! + n n! RA E (n ) (n )! Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 39 / 88 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 40 / 88

11 Aufwand für Elimination unterhalb i ter Zeile Rechenaufwand für Gauss-Algorithmus Elimination unterhalb i ter Zeile: Für jede Zeile darunter: a) Berechne Eliminationsfaktor Mult/Div b) Multipliziere damit die i te Zeile n i Mult c) Eliminiere (keine Mult/Div) zusammen: n i + Mult/Div (n i) (n i + ) = (n i) 2 + (n i) Multipikationen Gesamtaufwand für Eliminationsprozeß: n { } (n i) 2 + (n i) i= rückwärts zählen n = {i 2 + i} vorwärts zählen i= = = n3 n (n ) (n + ) 3 3 Multipikationen n det R = r ii n Multipikationen i= Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 4 / 88 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 42 / 88 Also Gauss-Algorithmus für det: Entwicklungssatz für det: RA G (n) = n (n ) (n + ) + (n ) 3 RA E (n) n! RA(n) BEACHTE Logarithmische Skalierung! RA E RA G η Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 43 / 88 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 44 / 88

12 n RA E (n) RA G (n) Sätzchen A R (n,n) besitzt eine Nullzeile det A = 0 Beweischen a a 2 a n A = entwickeln (sei i-te Zeile) a n a n2 a nn det A = ( ) i+j 0 det A ij = 0 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 45 / 88 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 46 / 88 Nochmal Gauss-Algorithmus Seite 78 A singuläre Matrix Eliminationsprozeß produziert eine Nullzeile det A = 0 Satz 54 A R (n,n) A reguläre Matrix Eliminationsprozeß bildet R mit r ii 0 i =, 2,, n A regulär det A 0 det A 0 (det A = ( ) i n i= r ii 0) Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 47 / 88 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 48 / 88

13 Kleine Anwendung 56 Seite 79 a = (a, a 2, a 3 ) T, b = (b, b 2, b 3 ) T, c = (c, c 2, c 3 ) T Ortsvektoren von Punkten a, b, c nicht kollinear a, b, c legen Ebene fest Ebenengleichung einfach: x x 2 x 3 det a a 2 a 3 b b 2 b 3 = 0 c c 2 c 3 Entwicklung nach Zeile zeigt det() = 0 x + x 2 + x 3 + = 0 Ende der Vorlesung 2 ACHTUNG! Wenn a, b, c auf einer Geraden liegen det() = 0 x 0 + x x 3 0 = 0 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 49 / 88 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 50 / 88 Seite 80 Satz 58 A, B R (n,n) det(a B) = det A det B Vorlesung 3 39 bzw 30 Januar Beweis Einige Vorüberlegungen det l n+,i A = det A l n,i Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 5 / 88 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 52 / 88

14 2 A R = M n M P A 3 weil Zeile = B + n j=2 f j B j 2 Zeile = B 2 + n j=0 f 2j B j det(a) = ( ) v det R det(a B) = ( ) v det RB f 2 f n det 0 fn 2,n B = det B 4 det(diag(d,, d n ) B) = d B d 2 B 2 d n B n n d i det B i= Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 53 / 88 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 54 / 88 Leichte Folgerung Seite 8 Und damit ist der Beweis zack-zack erledigt: det(ab) = 2 ( ) v det(rb) = f 2 f n ( ) = ( ) v det diag(r r nn ) 0 fn 2,n B f 2 f n n 4 = ( ) v r ii det i= } {{ } 0 fn 2,n B = det(a)det(b) =( ) v det R } {{ } 3 det(b) Korollar 59 A R (n,n) regulär det A = = (det A) det A Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 55 / 88 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 56 / 88

15 Beweis (einfach) Also 0 det E n = det = 0 = det E n = det(a A) = deta det A A regulär det A 0 det A = det A A B = A = B = ( ) 2 ; det A = 5 2 ( ) 2 ; det B = Beispiel ( ) 5 8 ; det(a B) = 0 = 5 ( 2) = det A det B 5 6 A = 5 ( ) 2 ; deta = ( 2 5 )2 5 = 5 = det A Seite 8 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 57 / 88 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 58 / 88 P R (n,n) Permutationsmatrix e T i e T i2 P = P entsteht aus E n = e T e T n e T in durch k faches Vertauschen von Zeilen Noch ein Beispiel: Permutationsmatrizen (i, i 2,, i n ) Permutation von (, 2,, n) = { }} { det P = ( ) k det E n = ( ) k = + oder Seite 82 P ist orthogonale Matrix: P P T = E n = det E n = det(p P T ) = det P det P T Also = ( ) k det P T det P T = ( ) k = det P Merken für später!!! Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 59 / 88 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 60 / 88

16 Seite 8 Bisher nur ZEILEN manipuliert und daraus Regeln für det hergeleitet Alles bleibt auch gültig für SPALTEN-Manipulationen, denn Satz 52 A R (n,n) A = A A n det A = det A T = A T = ((A ) T,, (A n ) T ) = (a a 2 a n ) (a 2 a 22 a 2n ) (a n a n2 a nn ) a a 2 a 2 a 22 a n a 2n a n a n2 a nn Beweis zu Satz 520 Fall: A singulär A T singulär Dann det A = 0 = det A T 2 Fall: A regulär P R (n,n) Permutationsmatrix L, R Dreiecksmatrizen P A = L R det L = det L T, det R = det R T Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 6 / 88 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 62 / 88 Jetzt rechnen Wir haben Wir wissen aber schon det P det A = det(p A) = det(l R) = det L det R = det L T det R T = det R T det L T = det(r T L T ) = det((l R) T ) = det((p A) T ) = det A T det P T det P det A = det A T det P T det P = det P T Alle Aussagen über det, die sich auf ZEILEN beziehen, gelten auch für SPALTEN Und das bedeutet det A = det A T Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 63 / 88 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 64 / 88

17 A = (a ij ) i,,n R (n,n) Vertauschungen { } SPALTEN Vertauschen zweier ZEILEN Ändert das Vorzeichen von det A Entwicklungssatz von Laplace det A = ( ) i+j a ij det A ij Entwicklung nach j ter Spalte i= Additionen { SPALTEN } Addition des Vielfachen einer ZEILEN { } SPALTEN zu einer Anderen ändert die det A nicht ZEILEN Multiplikationen { } SPALTEN Multiplizieren einer mit dem Faktor ZEILEN λ R liefert B R (n,n) mit det B = λ det A det A = Entwicklung nach i ter Zeile ( ) i+j a ij det A ij Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 65 / 88 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 66 / 88 Nimmt man noch folgende Eigenschaften dazu det A = (a, a 2,, a n) = ã T ã T 2 ã T n Bemerkung det(a,, a i + b,, a n) = det(a,, a i,, a n) + det(a,, b,, a n) ã T ã T ã T + b T = det + det b T ã T i ã T n so sieht man, dass det : R (n,n) R multilineare Abbildung ist det E n = ã T i ã T n n N und der Vorzeichenwechsel bei Zeilentausch legen det als alternierende, normierte, multilineare Abbildung fest Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 67 / 88 ã T n Kurze Wiederholung det : R (n,n) R Definition: Rekursiv det(a ) = a A R (n,n), n 2 det A = ( ) +j a j det A j Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 68 / 88

18 Berechnung: n = 2, 3 : Sarrusche Regel n 2 allgemein Entwicklung nach beliebiger Zeile Entwicklung nach beliebiger Spalte Gauss-Algorithmus A singulär det A = 0 regulär PA = L R n det } {{ P } det A = det L det R det A = i= r ii ( ) Anzahl Zeilentausche det A = ( ) Anzahl Zeilentausche n i= r ii Rechenregeln Vertauschen zweier Addition eines Vielfachen einer ändert det A nicht Multiplikation einer det(a B) = det(a) det(b) det(a ) = (det(a)) det A T = det A { ZEILEN } SPALTEN ändert das Vorzeichen (um ) { ZEILE } { ZEILE } SPALTE zu einer anderen SPALTE { ZEILE } SPALTE mit λ R multipliziert det A mit λ R Hiermit kann man noch eine Menge von Rechenregeln herleiten (Zur Anwendung in den nächsten Übungen) nur einige Beispiele: Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 69 / 88 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 70 / 88 Ist A R (n,n) Blockdreiecksmatrix A A 2 A k A = 0 A A kk mit A ii R (n i,n i ), so ist k det A = det A ii i= Beweis: Nur für k = 2 notwendig (Warum?) ( ) A A A = 2 0 A 22 wenn A singulär wenn A 22 singulär Determinante bleibt erhalten Gauss Zeilen Gauss 2 Zeilen 0 ( ) R Ã 2 wenn A 0 R, A 22 regulär 22 λ 2 det A = det R det R 22 = det A det A 22 0 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 7 / 88 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 72 / 88

19 Definition 522 Seien t,, t n+ R(C) Dann heißt t t 2 t n t 2 t2 2 t n 2 B : = t n+ tn+ n Vandermondesche Matrix und det B Vandermondesche Determinante ( zu t,, t n+ ) Wozu die gut ist? zb zum Interpolieren! Was das ist? Seite 83 Durch zwei Datenpunkte geht genau eine Gerade Ansatz: y(t) = a 0 t 0 + a t y(t ) = a 0 t 0 + a t! = y y(t 2 ) = a 0 t a t 2! = y 2 Lineares ( ) ( Gleichungssystem ) ( ) t a0 y = t 2 a y 2 Vandermonde (t, t 2 ) y y 2 y t t 2 Ansatz: y(t) = a 0 t 0 + a t + + a n t n (n + ) Unbekannte (n + ) Bedingungen y(t i) = y i legen fest t 0 t t n tn+ 0 tn+ tn+ n a 0 a n = y 0 y n Vandermonde System t Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 73 / 88 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 74 / 88 Lemma 523 Lesehilfe Folgerung t t n det = t n+ tn+ n t t 2 t 3 t 2 t2 2 t2 3 t 3 t3 2 t3 3 = t 4 t4 2 t4 3 n n+ i= j=i+ (t j t i ) (t 2 t ) (t 3 t ) (t 4 t ) (t 3 t 2 ) (t 4 t 2 ) (t 4 t 3 ) i = i = 2 i = 3 det Vandermonde (t,, t n+ ) 0 Seite 83 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 75 / 88 t i t j, i j Beweis von Lemma 523 (Induktion) n = : ( ) t det = (t t 2 t ) 2 Sei Aussage für n-reihige richtig Dann: t t 2 t n t n t 2 t 2 2 t n t n 2 2 det t n+ t 2 n+ t n t n n+ n t 2 t t 2 2 t 2t t n t 2 t n 2 t n 2 2 t t n 2 = det t n+ t t 2 n+ t n+t t n n+ t t n 2 t n n+ n+ t t n n+ t 2 t (t 2 t )t 2 (t 2 t )t n 2 (t 2 2 t )t n 2 = det t n+ t (t n+ t )t n+ (t n+ t )t n 2 = n+ j=2 (t j t ) ( t 2 t n 2 det t n+ t n n+ (t n+ n+ t )t n n+ = ) n+ n+ i=2 j=i+ (t j t ) Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 76 / 88

20 Seite 84 Seite 84 Korollar Zu jedem Datensatz t t 2 t n+ y y 2 y n+ mit t i t j für i j gibt es genau ein Polynom p Π n (p(t) = a 0 + a t + + a n t n ) mit p(t i ) = y i, i =,, n + Hinweis: Es muss p nicht unbedingt den Grad n haben p hat höchstens diesen Grad y i = i =,, n + p(t) Grad 0 } y i = 0, i =,, n + p(t) 0 t Korollar 524 Ein Polynom p(t) = n i=0 α i t i hat höchstens n Nullstellen, oder α i = 0, i = 0,, n Beweislein Annahme p hat die (n + ) Nullstellen t,, t n+ Dann ist also p(t i ) = 0 i =,, n + p 0, dh α i = 0, i = 0,, n Korollar 525 Stimmen zwei Polynome p, p 2 Π n in mindestens n + Punkten t < t 2 < t n+ überein, so ist p = p 2 Beweislein: p : = p p 2 Dann p Π n und p(t ) = p(t 2 ) = p(t n+ ) = 0, also p 0, also p = p 2 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 77 / 88 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 78 / 88 Hinweis Man berechnet die Koeffizienten a o,, a n des Polynoms p(t) = a 0 + a t + a 2 t a n t n Π n mit p(t i ) = y i, i =,, n + Um Gottes Willen NICHT aus dem linearen Gleichungssystem t t 2 t n a 0 = t n+ tn+ 2 tn+ n a n Das ist Rechenzeitaufwendig 2 Numerisch instabil 3 Geht es besser! y y n Es folgen eine explizite Angabe der Inversen einer regulären Matrix eine explizite Lösungsformel für reguläre Gleichungssysteme (Cramersche Regel) Beide Formeln benutzt man praktisch nur bis n = 3 und sonst nur für THEORETISCHE ZWECKE! Praktisch viel zu TEUER! Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 79 / 88 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 80 / 88

21 Zu A R (n,n) regulär definiere B R (n,n) durch b ij : = ( ) i+j det A ji /det A Beispiel a a 2 a 3 A = a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 + A A 2 + A 3 det A B = A 2 + A 22 A 32 + A 3 A 23 + A 33 Seite 85 Satz 527 Behauptung: B = A Beweis von B = A? Einfach A B = E finden: Sei C = A B Dann c ij = = ( = a ik b kj k= ( ) k+j a ik det A jk )/det A k= { für i = j 0 für i j Seite 85 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 8 / 88 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 82 / 88 Ax = b, A regulär x = A b x i = a ( ) ij b j = ( ) i+j b j det A ji /det A = ( ) ( ) i+j b j det A ji /det A } {{ } det B i Seite 86 B i R (n,n) entsteht aus A durch Ersetzen der i ten Spalte von A durch b Satz 529: Cramersche Regel x = x 2 = = Beispiel Ax = b x i = det B i det A = +3 = 3 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 83 / 88 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 84 / 88

22 Eine weitere Darstellung der Determinante Interessant für theoretische Zwecke Erhält man durch Einsetzen von a j a j = = a ij e i a i= xj in det A = det(a, a 2,, a n ) i Seite 87 Endresultat: Sei S n die Menge aller Permutationen von {,, n} Dann det A = a i a inn det(e i,, e in ) } {{ } (i,,i n) S n {+, } Definition Permutation (i,, i n ) ist gerade falls (i,, i n ) (,, n) mit gerader Anzahl von Vertauschungen, sonst ungerade { (i,, i sign(i,, i n ) = n ) gerade (i,, i n ) ungerade Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 85 / 88 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 86 / 88 det A = (i,,i n) S n a i a inn sign(i,, i n ) Man wird mit dieser Regel nur zur Strafe berechnen (lassen) Berechnen Sie einmal die Komplexität dieser Formel Ende des WS 203/204 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 87 / 88 Mackens/Voss (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 3/4 88 / 88

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