Informationsblatt Induktionsbeweis

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1 Sommer 015 Informationsblatt Induktionsbeweis 31. März 015 Motivation Die vollständige Induktion ist ein wichtiges Beweisverfahren in der Informatik. Sie wird häufig dazu gebraucht, um mathematische Formeln zu vereinfachen. Zum Beispiel werden Summen über Laufvariablen ( i...) in eine geschlossene, einfachere Form ohne Summenzeichen gebracht. Aber nicht nur mathematische sondern auch strukturelle Eigenschaften von zum Beispiel Bäumen und Graphen können mit vollständiger Induktion gezeigt werden. Bei einem Induktionsbeweis setzt man sich mit der Struktur eines Problems auseinander und entwickelt damit ein tiefes Verständnis für dieses Problem. Im Folgenden erklären wir kurz das Induktionsprinzip und zeigen am klassischen Beispiel der Summenregel von Gauß, wie man mit der vollständigen Induktion Aussagen beweisen kann. Ziel ist, dass Sie das Prinzip der vollständigen Induktion verstehen und vorbereitet sind, andere Anwendungen der vollständigen Induktion schneller zu erfassen. Induktionsprinzip Häufig wollen wir Behauptungen formulieren in der Art Für alle ganzen Zahlen n gilt die Aussage P (n) und diese Behauptung dann auch beweisen. Wenn wir diese Aussage nur für endlich viele n beweisen wollten, dann könnten wir auch einfach nur alle Fälle komplett durchspielen (auch dies ist je nach Anzahl der Fälle recht aufwendig). In den meisten Fällen wollen wir aber die Aussage für alle möglichen n also unendlich viele beweisen. Je nach Art der Aussage P ist eine Möglichkeit P (n) für alle ganze Zahlen n (n N) zu beweisen die vollständige Induktion. Dazu müssen wir erst die Aussage für den Grundfall beweisen den Induktionsanfang das ist meistens P (1). Man macht dies durch Einsetzen und Überprüfen. Dann machen wir eine Induktionsannahme und tun einfach mal so als würde P (n) gelten. Wenn wir unter der Annahme, dass P (n) gilt, die Aussage P (n1) zeigen können der Induktionsschritt dann haben wir P (n) für alle n N gezeigt. Warum? Wir haben ja schon P (1) gezeigt und wir wissen, dass wenn P (n) gilt, dass dann P (n 1) gilt. Also gilt zumindest P (). Wenn aber P () gilt, dann muss mit derselben Logik auch P (3) gelten. Dann ja aber auch P (4). Und P (5). Und so weiter.... Also gilt P (n) für alle n N. Der kleine Gauß Ein Mathematiklehrer soll die folgende Aufgabe an seine Schüler in der Grundschule gestellt haben: Berechnen Sie die Summe der Zahlen von 1 bis

2 Sommer 015 Unter den Schülern saß der kleine Gauß der später ein sehr berühmter Mathematiker werden sollte. Der Lehrer hatte wohl mit einer ruhigen Stunde gerechnet, allerdings nicht mit dem kleinen Gauß, der ihm schon nach kurzer Zeit das Ergebnis 5050 mitteilte. Zu der Überraschung des Lehrers war das Ergebnis richtig und sehr schnell berechnet. Während die anderen Schüler begonnen haben die Zahlen von vorne schrittweise zu addieren, also nach und nach zusammen zu rechnen, hat der kleine Gauß erst mal nachgedacht 1. Statt von links nach rechts zusammenzufassen ist ihm aufgefallen, dass er wenn er die erste Zahl, die 1, und die letzte Zahl, die 100, zusammenzählt auf 101 kommt, da Wenn er dasselbe für die zweite Zahl, die, und die vorletzte Zahl, die 99, tut, dann kommt auch 101 raus, da Das kann er tun bis er bei 50 und 51 ankommt und auch hier 101 erhält, da Er hat also 50 mal eine solche Ersetzung durchgeführt und kann so das Problem vereinfachen zu Dies entspricht aber gerade mal { }} { und so ist das Ergebnis schnell berechnet. Interessanterweise kann man das für alle möglichen Summen von ganzen Zahlen von 1 bis n tun. Die Summe der Zahlen von 1 bis 100 ist ja mit Summenzeichen dargestellt 1 meistens ein guter Ansatz 100. i

3 Sommer 015 Was ist also im allgemeinen Fall mit n statt 100 i? Aus obigen Beispiel sehen wir, dass 50 die Hälfte von 100 ist. Und 101 ist Ganz naiv könnten wir vermuten, dass i? n (n 1) ist. Für n 100 ist das richtig. Aber den allgemeinen Fall (etwas anders aufgeschrieben) i? müssen wir zeigen. Wir tun das mit vollständiger Induktion. Ein Induktionsbeweis Wir zeigen nun obige Aussage formal als Induktionsbeweis. Satz: Für alle ganzen Zahlen n, die größer oder gleich 1 sind, ist die Summe der Zahlen von 1 bis n gleich /. n N n 1 : Beweis: Vollständige Induktion über n i Induktionsanfang: n 1 : P (1) Wir müssen zeigen, dass die Aussage für n 1 gilt. Wir setzen n auf 1 und rechnen nach. Die Summe der Zahlen von 1 bis 1 ist genau 1. Wenn wir in die Formel / für n die Zahl 1 einsetzen erhalten wir 1 (1 1)/. Das ist aber 1 / Die Formel stimmt für n 1. 1 i (1 1) 3

4 Sommer 015 Induktionsschritt: n n 1 : P (n) P (n 1) Wir müssen nun zeigen, dass wenn die Formel für n gilt, dann gilt sie auch für n1. Induktionsannahme (IA): P (n) Wir nehmen an, dass die Summe der Zahlen von 1 bis n gleich dem Ausdruck / ist. i Wir werden die Induktionsannahme später nutzen. Zu zeigen: P (n 1) Wir müssen nun zeigen, dass die Summe der Zahlen von 1 bis n 1 gleich dem Ausdruck (n 1) ((n 1) 1)/ ist. In dem Ausdruck haben wir jeweils n durch n 1 ersetzt. i? (n 1) (n ) Beweis: Wir formen die linke Seite so um, dass wir die Induktionsannahme einsetzen können. Die Summe der Zahlen von 1 bis n 1 ist gleich der Summe der Zahlen von 1 bis n plus die Zahl n 1. i ( i) (n 1) Da die Induktionsannahme gilt, können wir jetzt die Summe n i ersetzen durch /. ( i) (n 1) IA (n 1) Wir drücken mit IA aus, dass wir die Induktionsannahme verwendet haben. Wir formen n 1 um zu (n 1)/ um zu dem gemeinsamen Teiler zu kommen (n 1) und fassen zusammen (n 1) (n 1) (n 1) Jetzt haben wir zwei mal n 1 und noch einmal n mal n 1. Das heißt zusammen haben wir n (oder n ) mal n 1. (n 1) (n ) (n 1) 4

5 Sommer 015 Wir sortieren richtig und erhalten Zusammengefasst: (n ) (n 1) i (n 1) (n ) (n 1) (n ) i ( i) (n 1) IA (n 1) (n 1) (n 1) (n ) (n 1) (n 1) (n ) Da wir für den Beweis nur P (n) verwendet haben und daraus P (n 1) gefolgert haben, gilt P (n) für alle ganzen Zahlen größer oder gleich 1. n N n 1 : i 5

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