Approximation durch Taylorpolynome

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Approximation durch Taylorpolynome"

Transkript

1 TU Berlin Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften Sekretariat MA 4-1 Straße des 17. Juni Berlin Hochschultag Approximation durch Taylorpolynome Im Rahmen der Schülerinnen- und Schüler-Uni an der Fakultät II der Technischen Universität Berlin Marcel König, Filiz Büyükcaglar und Markus Rausch 10. September 2009 Ansprechpartner Markus Rausch Web Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 1 2 Taylorpolynome 1 3 Restglied Lagrange sche Form des Restglieds Aufgaben 5 5 Lösungen 5 Diese Arbeit ist im Rahmen eines Schülerpraktikums entstanden. Verfasser: Lukas Richter

2 Taylorpolynome Seite 1 1 Grundlagen Funktionen sind im Allgemeinen schwer handhabbar. Bereits das Ausrechnen des Funktionswertes f (x) an einer Stelle x kann Probleme bereiten. Zum Beispiel lässt sich bei der Funktion f (x) = e x per Hand nur schwer ein Funktionswert ermitteln. Weitere Beispiele sind die Sinus- und Cosinus-Funktionen. Auch hier sind konkrete Funktionswerte nur schwer ermittelbar. Der Taschenrechner kann auch nur eine begrenzte Anzahl an Zeichen anzeigen, es reicht also, wenn er eine Annäherung berechnet. Auch in der Physik kann es ausreichend sein, mit einfachen Annäherungen statt mit komplizierten Formeln zu arbeiten. Die oben genannten Funktionen haben eine Besonderheit: sie sind differenzierbar. Das heisst, dass in jedem Punkt x 0 der Differentialquotient f (x) f (x 0 ) lim x x 0 x x 0 existiert. Wenn es nun erwünscht ist, die Ännäherung an einem Punkt x 0 zu haben, dann bietet es sich an, die Tangente an diesen Punkt zu nehmen. Diese ist ein lineare Funktion der Form f (x) = m x + n. Im Punkt x 0 stimmt diese zwar mit der ursprünglichen Funktion überein, für den Rest der Funktion bietet sie aber im Allgemeinen keine gute Annäherung. Eine bessere Methode fanden Brook Taylor ( ) und Colin Maclaurin ( ). Sie fanden eine Möglichkeit, differenzierbare Funktionen durch Polynome, sogenannte Taylorpolynome, anzunähern. Ein Polynom hat die Form p(x) := a k x k = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n wobei gilt, dass a i R. Das Summensymbol n bedeutet, dass beginnend mit k = 0 der hinter dem Summenzeichen stehende Term addiert wird und dabei jedes mal k um eins erhöht wird, bis es n erreicht. Also ist zum Beispiel Beispiel 1. k = n Polynome sind einfach ausrechenbar, problemlos differenzierbar und integrierbar. Taylorpolynome sind von einem Punkt x 0, dem Entwicklungspunkt abhängig. Sie bieten in einem kleinen Intervall meist eine gute Annäherung an die Ausgangsfunktion. Entfernt man sich allerdings weiter vom Entwicklungspunkt, wird die Annäherung schlechter. 2 Taylorpolynome Definition 1. Sei f eine n-mal differenzierbare Funktion und x 0 ein Punkt, dann wird das n-te Taylorpolynom zum Entwicklungspunkt x 0 definiert durch: T n f (x) := f (k) (x 0 ) k! (x x 0 ) k = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! Dabei bezeichnet f (n) die n-te Ableitung von f und n! die n-te Fakultät. Diese ist definiert durch n! := n Beispiel 2. Seien f (x) := 1 + x + x 2 und x 0 := 0, x 1 := 2 Entwicklungspunkte. Taylorpolynom zu den Entwicklungspunkten x 0 und x 1. Berechne das zweite

3 Taylorpolynome Seite 2 Zunächst werden die erste und zweite Ableitung benötigt. Wie leicht nachzurechnen ist, gilt: f (x) = 1 + 2x, f (x) = 2 Wir setzten nun den Punkt x 0 = 0 in die Definition für das Taylorpolynom ein und fassen zusammen T 2 f (x) = f (0) 0! (x 0)0 + f (0) (x 0) ! 2! f (0)(x 0) 2 = 1 + x + x 2 Selbiges tun wir für den Punkt x 1 = 2 T 2 f (x) = f (2) 0! (x 2)0 + f (2) (x 2) ! 2! f (2)(x 2) 2 = 7 + 5(x 2) + (x 2) 2 = 1 + x + x 2 Wir sehen, dass das zweite Taylorpolynom sowohl zum Entwicklungspunkt x 0 = 0 als auch zum Entwicklungspunkt x 1 = 2 mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmt. 3 Restglied Im letzten Beispiel stimmte das Taylorpolynom mit der ursprünglichen Funktion überein. Dies ist nicht immer so, besonders dann nicht, wenn die Ausgangsfunktion kein Polynom ist. In diesem Fall ist es interessant zu wissen, um wie viel das Taylorpolynom von der ursprünglichen Funktion abweicht. Besonders bei praktischen Anwendungen kann es sein, dass die Abweichung einen bestimmten Grenzwert nicht überschreiten darf. So sollte zum Beispiel die Abweichung bei einem Taschenrechner, der das Ergebnis auf 8 Stellen genau angibt, kleiner als 10 8 sein. Um diese Abweichung gut ausdrücken zu können, wird ein Restglied R n(x) eingeführt. Dieses klären wir in folgender Definition 2. R n (x) := f (x) T n f (x) Es ist, wie leicht zu erkennen, sowohl von dem Grad des Taylorpolynoms als auch von der Stelle x abhängig. Zum konkreten Abschätzen des Restglieds gibt es verschiedene Wege. Ist die Funktion nicht nur n-mal differenzierbar, wie für das Taylorpolynom vorrausgesetzt, sondern n + 1-mal differenzierbar lässt sich die Restgliedabschätzung nach Lagrange durchführen. Diese ist meistens einfach durchführbar und liefert eine gute Abschätzung. 3.1 Lagrange sche Form des Restglieds Satz 1. Ist f n + 1-mal differenzierbar dann existiert zu jedem x x 0 ein c zwischen x 0 und x, so dass gilt: R n (x) = f (n+1) (c) (n + 1)! (x x 0) n+1 Wir wollen diese Aussage nun Beweisen. Dazu wird der zweite Mittelwertsatz benötigt. Dieser besagt: Satz 2. Seien f, g auf einem Intervall I := (a, b) differenzierbar und g (x) 0 in I. Dann existiert ein Punkt c in I, so dass gilt: f (c) f (b) f (a) g = (c) g(b) g(a) Hierbei lässt sich der linke Teil als das Verhältnis des Anstiegs der Tangenten an die Funktionen f und g im Punkt c verstehen. Die rechte Seite kann man als Verhältnis des Anstiegs der Sekanten von f und g zwischen a und b verstehen. Der Satz sagt aus, dass, sofern die Voraussetzungen erfüllt sind, immer ein c existiert, so dass die rechte gleich der linken Seite ist.

4 Taylorpolynome Seite 3 Beweis. Wir beginnen den Beweis von Satz 1 damit, dass wir Definition 2 nach f (x) umstellen. Und R n (x) mit 1 = (x x 0) n+1 (x x 0 ) multiplizieren. Da laut Vorraussetzung x x n+1 0 ist, darf mit (x x 0) n+1 (x x 0 ) multipliziert werden. n+1 R n (x) := f (x) T n f (x) f (x) = T n f (x) + R n (x) = T n f (x) + Nun betrachten wir das Taylorpolynom an der Stelle x 0. T n f (x 0 ) = f (k) (x 0 ) (x 0 x 0 ) k = k! Daraus können wir für das Restglied an der Stelle x 0 folgern, dass R n(x) (x x 0 ) n+1 (x x 0) n+1 f (k) (x 0 ) 0 k = f (x 0 ) k! R n (x 0 ) = f (x 0 ) T n f (x 0 ) = f (x 0 ) f (x 0 ) = 0 gilt. Wir sehen also, dass sowohl R n (x 0 ) = 0 als auch das (x 0 x 0 ) n+1 = 0 für n > 0, daraus folgt g(x) := R n (x) (x x 0 ) n+1 = R n (x) R n (x 0 ) (x x 0 ) n+1 (x 0 x 0 ) n+1 Jetzt dürfen wir den zweiten Mittelwertsatz anwenden, da ((x x 0 ) n+1 ) = (n +1)(x x 0 ) n 0 für x x 0. Es existiert also ein c 1 zwischen x und x 0, so dass gilt g(x) = R n (x) R n (x 0 ) (x x 0 ) n+1 (x 0 x 0 ) n+1 = R n(c 1 ) (n + 1)(c 1 x 0 ) n Wenden wir nun den zweiten Mittelwertsatz n + 1-mal an, erhalten wir g(x) = = =. R n(c 1 ) (n + 1)(c 1 x 0 ) n R n(c 2 ) n(n + 1)(c 2 x 0 ) n = R (n+1) n (c n+1 ) n (n + 1) Der Nenner lässt sich nach der Definition der Fakultät zu (n + 1)! zusammenfassen. Für die (n + 1)-te Ableitung von R n(x) gilt R n (n+1) (x) = (f (x) T n f (x)) (n+1) = f (n+1) (x) T n f (n+1) (x) da T n f (x) ein Polynom mit Grad n ist, gilt für die n+1-te Ableitung T n f (n+1) (x) = 0 und damit R (n+1) n (x) = f (n+1) (x). Also ist g(x) = f (n+1) (c n+1 ) (n + 1)! Und damit nach Definition von g(x) R n (x) (x x 0 ) n+1 = f (n+1) (c n+1 ) (n + 1)! Umstellen ergibt für c := c n+1 Rn(x) = f (n+1) (c) (n + 1)! (x x 0) n+1

5 Taylorpolynome Seite 4 Literatur [FRI] K. Fritzsche: Grundkurs Analysis 1: Differentiation und Integration in einer Veränderlichen, 2. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2008 [FUR] P. Furlan: Das Gelbe Rechenbuch 1, 1. Auflage, Martina Furlan Verlag, Dortmund 1995

6 Taylorpolynome Seite 5 4 Aufgaben Aufgabe 1. Sei f : R R, x e x. Berechne das 3. und 4. Taylorpolynom zum Entwicklungspunkt x 0 := 0 und bestimme jeweils die maximale Abweichung in den Intervallen (0, 0.1], (0, 1] und (0, 10]. 5 Lösungen Lösung 1. Zunächst werden die benötigten Ableitungen berechnet: f (x) = e x, f (x) = e x, f (x) = e x Nun wird das dritte Taylorpolynom zum Entwicklungspunkt x 0 = 0 aufgestellt: T 3 f (x) = 1 0! f (0) + 1 1! f (0)(x 0) + 1 2! f (0)(x 0) ! f (0)(x 0) 3 = 1 + x x x 3 Restgliedabschätzung: Für die Restgliedabschätzung wird zusätzlich die 4. Ableitung f (4) (x) = e x gebraucht. Mit der Restgliedabschätzung nach Lagrange folgt: R 3 (x) = f (3+1) (c) (3 + 1)! (x 0)3+1 = ec 24 x 4 Nun suchen wir den größten Wert, den das Restglied annehmen kann. Dieser hängt von x und c ab. x 4 wächst für x > 0 bei zunehmendem x. Wir wählen also für x den größten Wert aus dem Intervall. e c wächst ebenfalls bei zunehmendem c, wir wählen also auch hier den größtmöglichen Wert für c. Es gilt also: Für das 4. Taylorpolynom gilt: Restglied: x (0, 0.1] R 3 (x) e (0.1) x (0, 1] x (0, 10] R 3 (x) e R 3 (x) e T 4 f (x) = 1 + x x x x 4 R 4 (x) = ec 5! x 5 Das Restglied ist wieder für große x und c am größten. Es gilt also: x (0, 0.1] R 4 (x) e0.1 5! x10 8 x (0, 1] x (0, 10] R 4 (x) e1 5! R 4 (x) e10 5!

In der Praxis werden wir häufig mit relativ komplexen Funktionen konfrontiert. y

In der Praxis werden wir häufig mit relativ komplexen Funktionen konfrontiert. y Approximationen In der Praxis werden wir häufig mit relativ komplexen Funktionen konfrontiert. y y = f (x) x Um das Arbeiten mit einer komplizierten Funktion zu vermeiden, können wir versuchen, diese Funktion

Mehr

Mathematik für Bauingenieure

Mathematik für Bauingenieure Mathematik für Bauingenieure von Kerstin Rjasanowa 1. Auflage Mathematik für Bauingenieure Rjasanowa schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG Hanser München 2006 Verlag C.H.

Mehr

Die Taylorreihe einer Funktion

Die Taylorreihe einer Funktion Kapitel 6 Die Taylorreihe einer Funktion Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit Taylorreihen, Taylorpolynomen und der Restgliedabschätzung für Taylorpolynome. Die Taylorreihe einer reellen Funktion ist

Mehr

Satz von Taylor Taylorreihen

Satz von Taylor Taylorreihen Satz von Taylor Taylorreihen Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de Tangente als Näherung Weil sich anschaulich die Tangente anschmiegt, ist die Tangentenfunktion

Mehr

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Analysis 0 Dr DK Huynh Blatt 8 Aufgabe 6 Bestimmen Sie (a) (x + x 7x+)dx (c) (f) x n exp(x)dx (n N fest) sin (x)dx (g) (b) (d) ln(x)dx

Mehr

Taylorentwicklung von Funktionen einer Veränderlichen

Taylorentwicklung von Funktionen einer Veränderlichen Taylorentwicklung von Funktionen einer Veränderlichen 17. Januar 2013 KAPITEL 1. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 1 Kapitel 1 Mathematische Grundlagen 1.1 Stetigkeit, Differenzierbarkeit und C n -Funktionen Der

Mehr

Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik. WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW

Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik. WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik Dr. Antje Kiesel WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW 08.03.2013 Matrikelnummer Platz Name Vorname 1 2 3 4 5 6

Mehr

27 Taylor-Formel und Taylor-Entwicklungen

27 Taylor-Formel und Taylor-Entwicklungen 136 IV. Unendliche Reihen und Taylor-Formel 27 Taylor-Formel und Taylor-Entwicklungen Lernziele: Konzepte: klein o - und groß O -Bedingungen Resultate: Taylor-Formel Kompetenzen: Bestimmung von Taylor-Reihen

Mehr

Kapitel 16 : Differentialrechnung

Kapitel 16 : Differentialrechnung Kapitel 16 : Differentialrechnung 16.1 Die Ableitung einer Funktion 16.2 Ableitungsregeln 16.3 Mittelwertsätze und Extrema 16.4 Approximation durch Taylor-Polynome 16.5 Zur iterativen Lösung von Gleichungen

Mehr

Tutorübung 5. Analysis 2 für Lehramt TU Dortmund, Sommersemester 2014

Tutorübung 5. Analysis 2 für Lehramt TU Dortmund, Sommersemester 2014 Tutorübung 5 Analysis 2 für Lehramt TU Dortmund, Sommersemester 24 Aufgabe T Bestimme die Taylorreihen von (a) cos(x) um a. (b) ln(x) um a. (c) um a 2. +x Bestimme in allen Fällen das Taylorpolynom T n,a

Mehr

Definition: Differenzierbare Funktionen

Definition: Differenzierbare Funktionen Definition: Differenzierbare Funktionen 1/12 Definition. Sei f :]a, b[ R eine Funktion. Sie heißt an der Stelle ξ ]a, b[ differenzierbar, wenn der Grenzwert existiert. f(ξ + h) f(ξ) lim h 0 h = lim x ξ

Mehr

April (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure. Rechenteil

April (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure. Rechenteil April (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure en Rechenteil Aufgabe 7 Punkte (a) Skizzieren Sie die 4-periodische Funktion mit f() = für und f() = für (b) Berechnen Sie für diese Funktion die Fourierkoeffizienten

Mehr

7 Rechnen mit Polynomen

7 Rechnen mit Polynomen 7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn

Mehr

2.12 Potenzreihen. 1. Definitionen. 2. Berechnung 2.12. POTENZREIHEN 207. Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen.

2.12 Potenzreihen. 1. Definitionen. 2. Berechnung 2.12. POTENZREIHEN 207. Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen. 2.2. POTENZREIHEN 207 2.2 Potenzreihen. Definitionen Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen. Eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt x 0 ist eine Reihe a n x x 0 n. Es gilt: es

Mehr

18 Höhere Ableitungen und Taylorformel

18 Höhere Ableitungen und Taylorformel 8 HÖHERE ABLEITUNGEN UND TAYLORFORMEL 98 8 Höhere Ableitungen und Taylorformel Definition. Sei f : D R eine Funktion, a D. Falls f in einer Umgebung von a (geschnitten mit D) differenzierbar und f in a

Mehr

Beispielaufgaben rund um Taylor

Beispielaufgaben rund um Taylor Beispielaufgaben rund um Taylor Mirko Getzin Universität Bielefeld Fakultät für Mathematik 19. Februar 014 Keine Gewähr auf vollständige Richtigkeit und perfekter Präzision aller (mathematischen) Aussagen.

Mehr

(x a) 3 + f (a) 4! x 4 4! Wir werden im Folgenden vor allem Maclaurin-Reihen betrachten, dies alles funktioniert aber auch. f (x) = sin x f (0) = 0

(x a) 3 + f (a) 4! x 4 4! Wir werden im Folgenden vor allem Maclaurin-Reihen betrachten, dies alles funktioniert aber auch. f (x) = sin x f (0) = 0 Taylor-Reihen Einführung Mathematik GLF / 6 Christian Neukirchen Oft können wir bestimmte mathematische Funktionen nicht genau ausrechnen, besonders die trigonometrischen Funktionen wie, cos x, oder die

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Ergänzungen zur Analysis I

Ergänzungen zur Analysis I 537. Ergänzungsstunde Logik, Mengen Ergänzungen zur Analysis I Die Behauptungen in Satz 0.2 über die Verknüpfung von Mengen werden auf die entsprechenden Regelnfür die Verknüpfung von Aussagen zurückgeführt.

Mehr

13. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau

13. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas 3. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS 00/ 07.0.-.0. Aufgabe G Stetigkeit) a) Gegeben

Mehr

Die Tangente als Näherung einer Funktion

Die Tangente als Näherung einer Funktion Die Tangente als Näherung einer Funktion Eine Motivation der Ableitung der Wurzelfunktion Marco Johannes Türk 13. Mai 2014 Marco Johannes Türk Die Tangente als Näherung einer Funktion 13. Mai 2014 1 /

Mehr

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a,

Mehr

Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen

Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen mathe online Skripten http://www.mathe-online.at/skripten/ Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen Franz Embacher Fakultät für Mathematik der Universität Wien E-mail: franz.embacher@univie.ac.at

Mehr

GRUNDLAGEN MATHEMATIK

GRUNDLAGEN MATHEMATIK Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik GRUNDLAGEN MATHEMATIK 4. Differentialrechnung Prof. Dr. Gunar Matthies Wintersemester 2015/16 G. Matthies

Mehr

Höhere Mathematik 1 Übung 9

Höhere Mathematik 1 Übung 9 Aufgaben, die in der Präsenzübung nicht besprochen wurden, können in der darauf folgenden übung beim jeweiligen übungsleiter bzw. bei der jeweiligen übungsleiterin abgegeben werden. Diese Abgabe ist freiwillig

Mehr

Überblick. Kapitel 7: Anwendungen der Differentialrechnung

Überblick. Kapitel 7: Anwendungen der Differentialrechnung Überblick Kapitel 7: Anwendungen der Differentialrechnung 1 Beispiel 1: Kapitel 7.1: Implizites Differenzieren 1 Beispiel 1: Steigung der Tangente Kapitel 7.1: Implizites Differenzieren 2 Beispiel 1: Steigung

Mehr

KAPITEL 9. Funktionenreihen

KAPITEL 9. Funktionenreihen KAPITEL 9 Funktionenreihen 9. TaylorReihen............................ 28 9.2 Potenzreihen............................ 223 9.3 Grenzfunktionen von Funktionenfolgen bzw. reihen........ 230 9.4 Anwendungen............................

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 5. Juni 2016 Definition 5.21 Ist a R, a > 0 und a 1, so bezeichnet man die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion x a x als

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 7 Hausaufgaben Aufgabe 7. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale.

Mehr

Lösungen zum 9. Übungsblatt zur Vorlesung Höhere Mathematik II für biw/ciw/mach/mage/vt

Lösungen zum 9. Übungsblatt zur Vorlesung Höhere Mathematik II für biw/ciw/mach/mage/vt Karlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie PD Dr. F. Hettlich Dr. S. Schmitt Dipl.-Math. J. Kusch Karlsruhe, den 09.06.20 Lösungen zum 9. Übungsblatt zur Vorlesung Höhere Mathematik

Mehr

a n := ( 1) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 10n + 1. a n := 1 3 + 1 2n 5n 2 n 2 + 7n + 8 b n := ( 1) n

a n := ( 1) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 10n + 1. a n := 1 3 + 1 2n 5n 2 n 2 + 7n + 8 b n := ( 1) n Folgen und Reihen. Beweisen Sie die Beschränktheit der Folge (a n ) n N mit 2. Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (a n ) n N mit a n := ( ) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 n +. 4 3. Untersuchen

Mehr

Musterlösungen zu Blatt 15, Analysis I

Musterlösungen zu Blatt 15, Analysis I Musterlösungen zu Blatt 5, Analysis I WS 3/4 Inhaltsverzeichnis Aufgabe 85: Konvergenzradien Aufgabe 86: Approimation von ep() durch Polynome Aufgabe 87: Taylorreihen von cos 3 und sin Aufgabe 88: Differenzenquotienten

Mehr

REIHENENTWICKLUNGEN. [1] Reihen mit konstanten Gliedern. [2] Potenzreihen. [3] Reihenentwicklung von Funktionen. Eine kurze Einführung Herbert Paukert

REIHENENTWICKLUNGEN. [1] Reihen mit konstanten Gliedern. [2] Potenzreihen. [3] Reihenentwicklung von Funktionen. Eine kurze Einführung Herbert Paukert Reihenentwicklungen Herbert Paukert 1 REIHENENTWICKLUNGEN Eine kurze Einführung Herbert Paukert [1] Reihen mit konstanten Gliedern [2] Potenzreihen [3] Reihenentwicklung von Funktionen Reihenentwicklungen

Mehr

Zusammenfassung Mathematik 2012 Claudia Fabricius

Zusammenfassung Mathematik 2012 Claudia Fabricius Zusammenfassung Mathematik Claudia Fabricius Funktion: Eine Funktion f ordnet jedem Element x einer Definitionsmenge D genau ein Element y eines Wertebereiches W zu. Polynom: f(x = a n x n + a n- x n-

Mehr

Mathematik Übungsblatt - Lösung. b) x=2

Mathematik Übungsblatt - Lösung. b) x=2 Hochschule Regensburg Fakultät Informatik/Mathematik Christoph Böhm Sommersemester 204 Technische Informatik Bachelor IT2 Vorlesung Mathematik 2 Mathematik 2 4. Übungsblatt - Lösung Differentialrechnung

Mehr

2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit

2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 2.1) Sei D R. a) x 0 R heißt Häufungspunkt von D, wenn eine Folge x n ) n N existiert mit x n D,x n x 0 und lim n x n = x 0. D sei die Menge der Häufungspunkte von D. b) x 0 D heißt innerer Punkt von D,

Mehr

Vorlesung Mathematik 2 für Ingenieure (Sommersemester 2016)

Vorlesung Mathematik 2 für Ingenieure (Sommersemester 2016) 1 Vorlesung Mathematik 2 für Ingenieure (Sommersemester 216) Kapitel 11: Potenzreihen und Fourier-Reihen Prof. Miles Simon Nach Folienvorlage von Prof. Dr. Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg.

Mehr

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Gleichungen Inhalt: 1. Grundlegendes 2. Lineare Gleichungen 3. Gleichungen mit Brüchen

Mehr

Kapitel 6 Folgen und Stetigkeit

Kapitel 6 Folgen und Stetigkeit Kapitel 6 Folgen und Stetigkeit Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 76 / 226 Definition 6. (Zahlenfolgen) Eine Zahlenfolge (oder kurz: Folge) ist eine Funktion f : 0!. Statt f(n) schreiben wir x n

Mehr

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011 Mathematik für Informatiker II Christoph Eisinger Sommersemester 211 Beispiellösungen zur Probeklausur Aufgabe 1 Gegeben sind die Polynome f, g, h K[x]. Zu zeigen: Es gibt genau dann Polynome h 1 und h

Mehr

Elemente der Analysis II

Elemente der Analysis II Elemente der Analysis II Kapitel 5: Differentialrechnung im R n Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 17. Juni 2009 1 / 31 5.1 Erinnerung Kapitel

Mehr

4.7 Der Taylorsche Satz

4.7 Der Taylorsche Satz 288 4 Differenziation 4.7 Der Taylorsche Satz Die Differenzierbarkeit, also die Existenz der ersten Ableitung einer Funktion, erlaubt bekanntlich, diese Funktion lokal durch eine affine Funktion näherungsweise

Mehr

Modulabschlussklausur Analysis II

Modulabschlussklausur Analysis II Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen

Mehr

Analysis I. 11. Beispielklausur mit Lösungen

Analysis I. 11. Beispielklausur mit Lösungen Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis I 11. Beispielklausur mit en Aufgabe 1. Definiere die folgenden kursiv gedruckten) Begriffe. 1) Ein angeordneter Körper. ) Eine Folge in

Mehr

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt - 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +

Mehr

Rekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt

Rekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Georg Anegg 5. November 009 Beispiel. Die Folge {a n } sei wie folgt definiert (a, d, q R, q ): a 0 a, a n+ a n q + d (n 0) Man bestimme eine explizite Darstellung

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

Taylorreihen. Kapitel 9. Lernziele. Taylorreihe. (x x 0 ) + f (x 0 ) 2! (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n. Taylorreihe und MacLaurinreihe

Taylorreihen. Kapitel 9. Lernziele. Taylorreihe. (x x 0 ) + f (x 0 ) 2! (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n. Taylorreihe und MacLaurinreihe Kapitel 9 Taylorreihen Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden IX Taylorreihen 1 / 25 Lernziele Taylorreihe und MacLaurinreihe Beispiele Alternative Schreibweisen Approimation der Veränderung einer

Mehr

MatheBasics Teil 4 Grundlagen der Mathematik

MatheBasics Teil 4 Grundlagen der Mathematik Fernstudium Guide Online Vorlesung Wirtschaftswissenschaft MatheBasics Teil 4 Grundlagen der Mathematik Version vom 02.11.2015 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jegliche unzulässige Form der

Mehr

Analysis I. 4. Beispielklausur mit Lösungen

Analysis I. 4. Beispielklausur mit Lösungen Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis I 4. Beispielklausur mit en Aufgabe 1. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. (1) Eine bijektive Abbildung f: M N. () Ein

Mehr

7.2.1 Zweite partielle Ableitungen

7.2.1 Zweite partielle Ableitungen 72 72 Höhere Ableitungen 72 Höhere Ableitungen Vektorwertige Funktionen sind genau dann differenzierbar, wenn ihre Koordinatenfunktionen differenzierbar sind Es ist also keine wesentliche Einschränkung,

Mehr

Differenzialrechnung. Mathematik-Repetitorium

Differenzialrechnung. Mathematik-Repetitorium Differenzialrechnung 5.1 Die Ableitung 5.2 Differentiation elementarer Funktionen 5.3 Differentiationsregeln 5.4 Höhere Ableitungen 5.5 Partielle Differentiation 5.6 Anwendungen Differenzialrechnung 1

Mehr

Vorlesung Analysis I / Lehramt

Vorlesung Analysis I / Lehramt Vorlesung Analysis I / Lehramt TU Dortmund, Wintersemester 2012/ 13 Winfried Kaballo Die Vorlesung Analysis I für Lehramtsstudiengänge im Wintersemester 2012/13 an der TU Dortmund basiert auf meinem Buch

Mehr

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte 50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien

Mehr

Berechnungen mit dem Horner-Schema

Berechnungen mit dem Horner-Schema Berechnungen mit dem Horner-Schema Das Hornerschema kann als Rechenhilfsmittel zur Berechnung von Funktionswerten von Polynomfunktionen, zur Faktorisieriung von Polynomen alternativ zur Polynomdivision

Mehr

Informationsblatt Induktionsbeweis

Informationsblatt Induktionsbeweis Sommer 015 Informationsblatt Induktionsbeweis 31. März 015 Motivation Die vollständige Induktion ist ein wichtiges Beweisverfahren in der Informatik. Sie wird häufig dazu gebraucht, um mathematische Formeln

Mehr

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13 TU München Prof. P. Vogl Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13 Übungsblatt 2 Wichtige Formeln aus der Vorlesung: Basisaufgaben Beispiel 1: 1 () grad () = 2 (). () () = ( 0 ) + grad ( 0 ) ( 0 )+

Mehr

Technische Universität Berlin. Klausur Analysis I

Technische Universität Berlin. Klausur Analysis I SS 2008 Prof. Dr. John M. Sullivan Kerstin Günther Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik Klausur Analysis I 4.07.2008 Name: Vorname: Matr.-Nr.: Studiengang: Mit der Veröffentlichung

Mehr

IV. Stetige Funktionen. Grenzwerte von Funktionen

IV. Stetige Funktionen. Grenzwerte von Funktionen IV. Stetige Funktionen. Grenzwerte von Funktionen Definition. Seien X und Y metrische Räume und E X sowie f : X Y eine Abbildung und p ein Häufungspunkt von E. Wir schreiben lim f(x) = q, x p falls es

Mehr

4.4 Taylorentwicklung

4.4 Taylorentwicklung 4.4. TAYLORENTWICKLUNG 83 4.4 Taylorentwicklung. Definitionen f sei eine reellwertige m + -mal stetig differenzierbare Funktion der n Variablen x bis x n auf einem Gebiet M R n. Die Verbindungsgerade der

Mehr

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung

Mehr

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen Gleichungen Lösen Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Was ist überhaupt eine Gleichung? Eine Gleichung ist, grundsätzlich eine Aussage über zwei mathematische Terme, dass sie gleich sind. Ein Term

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2013/14 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen

Mehr

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56 5 Beweistechniken Übersicht 5.1 Drei wichtige Beweistechniken................................. 55 5. Erklärungen zu den Beweistechniken............................ 56 Dieses Kapitel ist den drei wichtigsten

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathemati PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathemati für Informatier II (Sommersemester 00) Lösungen zu Aufgabenblatt

Mehr

Extrema von Funktionen in zwei Variablen

Extrema von Funktionen in zwei Variablen Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Extrema von Funktionen in zwei Variablen Literatur: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,

Mehr

Lineare Näherung. Anwendungen

Lineare Näherung. Anwendungen Lineare Näherung. Anwendungen Jörn Loviscach Versionsstand: 1. Januar 2010, 17:15 1 Lineare Näherung Ist eine Funktion f an der Stelle x 0 differenzierbar, existiert dort ihre Ableitung f und es gilt:

Mehr

Differential- und Integralrechnung

Differential- und Integralrechnung Universität Paerborn, en 16.07.2007 Differential- un Integralrechnung Ein Repetitorium vor er Klausur Kai Gehrs 1 Übersicht Inhaltlicher Überblick: I. Differentialrechnung I.1. Differenzierbarkeit un er

Mehr

RUPRECHTS-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG

RUPRECHTS-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG Die Poisson-Verteilung Jianmin Lu RUPRECHTS-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG Ausarbeitung zum Vortrag im Seminar Stochastik (Wintersemester 2008/09, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Zusammenfassung: In der Wahrscheinlichkeitstheorie

Mehr

Schranken von Folgen

Schranken von Folgen Schranken von Folgen W. Kippels 30. März 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 2 2 Übungsaufgaben 2 2.1 Aufgabe 1................................... 2 2.2 Aufgabe 2...................................

Mehr

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Dipl.-Math. Kevin Everard Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14 Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mehr

20.4 Gleichmäßige Konvergenz von Folgen und Reihen von Funktionen

20.4 Gleichmäßige Konvergenz von Folgen und Reihen von Funktionen 20 Gleichmäßige Konvergenz für Folgen und Reihen von Funktionen 20.1 Folgen und Reihen von Funktionen 20.3 Die Supremumsnorm 20.4 Gleichmäßige Konvergenz von Folgen und Reihen von Funktionen 20.7 Das Cauchy-Kriterium

Mehr

Kevin Caldwell. 18.April 2012

Kevin Caldwell. 18.April 2012 im Rahmen des Proseminars Numerische Lineare Algebra von Prof.Dr.Sven Beuchler 18.April 2012 Gliederung 1 2 3 Mathematische Beschreibung von naturwissenschaftlich-technischen Problemstellungen führt häufig

Mehr

2. Spezielle anwendungsrelevante Funktionen

2. Spezielle anwendungsrelevante Funktionen 2. Spezielle anwendungsrelevante Funktionen (1) Affin-lineare Funktionen Eine Funktion f : R R heißt konstant, wenn ein c R mit f (x) = c für alle x R existiert linear, wenn es ein a R mit f (x) = ax für

Mehr

Aufgaben zur Analysis I aus dem Wiederholungskurs

Aufgaben zur Analysis I aus dem Wiederholungskurs Prof. Dr. H. Garcke, Dr. H. Farshbaf-Shaker, D. Depner WS 8/9 Hilfskräfte: A. Weiß, W. Thumann 6.3.29 NWF I - Mathematik Universität Regensburg Aufgaben zur Analysis I aus dem Wiederholungskurs Die folgenden

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler II (Analysis) 2. Klausur Sommersemester

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler II (Analysis) 2. Klausur Sommersemester Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler II (Analysis) 2. Klausur Sommersemester 2011 30.09.2011 BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN Nachname:...................................................................

Mehr

8 Extremwerte reellwertiger Funktionen

8 Extremwerte reellwertiger Funktionen 8 Extremwerte reellwertiger Funktionen 34 8 Extremwerte reellwertiger Funktionen Wir wollen nun auch Extremwerte reellwertiger Funktionen untersuchen. Definition Es sei U R n eine offene Menge, f : U R

Mehr

Beispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) =

Beispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) = Funktionentheorie, Woche Funktionen und Polstellen. Meromorphe Funktionen Definition.. Sei U C offen und sei f : U gilt, nennt man f meromorph auf U: Ĉ eine Funktion. Wenn folgendes. P := f hat keine Häufungspunkte;.

Mehr

Was der Taylor so alles auf die Reihe kriegt

Was der Taylor so alles auf die Reihe kriegt Was der Taylor so alles auf die Reihe kriegt Approximation von Funktionen - Die Taylorreihe 1. Sinn der Sache Das Approximieren (annähern) von Funktionen ist ein wichtiges Gebiet der Mathematik, da viele

Mehr

11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen

11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen .3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen Definition.) komplexe Folgen: z n = x n + j. y n mit zwei reellen Folgen x n und y n.) Konvergenz: Eine komplexe Folge z n = x n + j. y n heißt

Mehr

De Taschäräschnr Casio (Reihe: 9750, 9850,...)

De Taschäräschnr Casio (Reihe: 9750, 9850,...) De Taschäräschnr Casio (Reihe: 9750, 9850,...) Übersicht: 1. Nullstellen 2. Gleichungen 2. oder 3. Grades lösen 3. Gleichungen lösen 4. Schnittpunkte bestimmen 5. Extrempunkte 6. Wendepunkte 7. Steigung

Mehr

2004, x 0 (e 2x + x) x 1, x > 0. Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit an der Stelle x 0 = 0!

2004, x 0 (e 2x + x) x 1, x > 0. Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit an der Stelle x 0 = 0! Klausur 25.02.2004 Aufgabe 5 Gegeben ist die Funktion f(x) = 2004, x 0 (e 2x + x) x 1, x > 0. Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit an der Stelle x 0 = 0! Klausur 06.08.2003 Aufgabe 5 Gegeben ist

Mehr

Lösung. Prüfungsteil 1: Aufgabe 1

Lösung. Prüfungsteil 1: Aufgabe 1 Zentrale Prüfung 01 Lösung Diese Lösung wurde erstellt von Cornelia Sanzenbacher. Sie ist keine offizielle Lösung des Ministeriums für Schule und Weiterbildung des Landes. Prüfungsteil 1: Aufgabe 1 a)

Mehr

ur Ingenieure (Maschinenbau und Sicherheitstechnik) 2. Semester Apl. Prof. Dr. G. Herbort Dr. T. Pawlaschyk

ur Ingenieure (Maschinenbau und Sicherheitstechnik) 2. Semester Apl. Prof. Dr. G. Herbort Dr. T. Pawlaschyk Mathematik f ur Ingenieure (Maschinenbau und Sicherheitstechnik) 2. Semester Apl. Prof. Dr. G. Herbort Dr. T. Pawlaschyk www.math.uni-wuppertal.de/ herbort SoSe16 Arbeitsheft Blatt 1 Tutorium Hinweis:

Mehr

ε δ Definition der Stetigkeit.

ε δ Definition der Stetigkeit. ε δ Definition der Stetigkeit. Beweis a) b): Annahme: ε > 0 : δ > 0 : x δ D : x δ x 0 < δ f (x δ f (x 0 ) ε Die Wahl δ = 1 n (n N) generiert eine Folge (x n) n N, x n D mit x n x 0 < 1 n f (x n ) f (x

Mehr

Taylor-Entwicklung der Exponentialfunktion.

Taylor-Entwicklung der Exponentialfunktion. Taylor-Entwicklung der Exponentialfunktion. Betrachte die Exponentialfunktion f(x) = exp(x). Zunächst gilt: f (x) = d dx exp(x) = exp(x). Mit dem Satz von Taylor gilt um den Entwicklungspunkt x 0 = 0 die

Mehr

Das Mathematik-Abitur im Saarland

Das Mathematik-Abitur im Saarland Informationen zum Abitur Das Mathematik-Abitur im Saarland Sie können Mathematik im Abitur entweder als grundlegenden Kurs (G-Kurs) oder als erhöhten Kurs (E-Kurs) wählen. Die Bearbeitungszeit für die

Mehr

Bayern FOS BOS 12 Fachabiturprüfung 2015 Mathematik (Nichttechnische Ausbildungsrichtungen) Analysis A I

Bayern FOS BOS 12 Fachabiturprüfung 2015 Mathematik (Nichttechnische Ausbildungsrichtungen) Analysis A I Bayern FOS BOS Fachabiturprüfung 05 Mathematik (Nichttechnische Ausbildungsrichtungen) Analysis A I.0 Nebenstehende Abbildung zeigt den Graphen G f ' der ersten Ableitungsfunktion einer in ganz 0 definierten

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. gehalten von Claus Diem

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. gehalten von Claus Diem Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler gehalten von Claus Diem Übungen Die Seminare / Übungsgruppen / Tutorien finden wöchentlich statt. Alle zwei Wochen am Montag wird ein Übungsblatt ausgegeben. Dies

Mehr

Absolute Stetigkeit von Maßen

Absolute Stetigkeit von Maßen Absolute Stetigkeit von Maßen Definition. Seien µ und ν Maße auf (X, Ω). Dann heißt ν absolut stetig bezüglich µ (kurz ν µ ), wenn für alle A Ω mit µ(a) = 0 auch gilt dass ν(a) = 0. Lemma. Sei ν ein endliches

Mehr

Klausur Mathematik 2

Klausur Mathematik 2 Mathematik für Ökonomen WS 2014/15 Campus Duisburg PD Dr. V. Krätschmer, Fakultät für Mathematik Klausur Mathematik 2 17.02.2015, 12:30-14:30 Uhr (120 Minuten) Erlaubte Hilfsmittel: Nur reine Schreib-

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1 Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe Für jedes t f t () + t R ist die Funktion f t gegeben durch = mit R. Das Schaubild von f t heißt K t.. (6 Punkte)

Mehr

Leitfaden a tx t

Leitfaden a tx t Leitfaden -0.7. Potenz-Reihen. Definition: Es sei (a 0, a, a 2,...) eine Folge reeller Zahlen (wir beginnen hier mit dem Index t 0). Ist x R, so kann man die Folge (a 0, a x, a 2 x 2, a 3 x 3,...) und

Mehr

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als

Mehr

Schlussrechnung, Modellbildung und Interpolation

Schlussrechnung, Modellbildung und Interpolation Schlussrechnung, Modellbildung und Interpolation Franz Pauer Institut für Fachdidaktik und Institut für Mathematik Universität Innsbruck Tag der Mathematik Graz, 7. Februar 2013 Beispiele für Schlussrechnungen

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.

Mehr

Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max. Hoffmann

Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max. Hoffmann Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max Hoffmann 1 Ganzrationale Funktionen Im Folgenden wollen wir uns mit ganzrationale Funktionen und der Untersuchung solcher beschäftigen. Dabei werden

Mehr

Lernzettel Mathe Inhaltsverzeichnis

Lernzettel Mathe Inhaltsverzeichnis Lernzettel Mathe Inhaltsverzeichnis Aufgabe 1 - Vollständige Induktion 2 Aufgabe 2 - Grenzwertbestimmung 2 Aufgabe 3 - Lin/Log 2 Aufgabe 4 - Barwert/Endwert 3 Aufgabe 5 - Maximalstellen, steigend/fallend

Mehr

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen Kapitel 2 Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen In diesem Abschnitt sollen im wesentlichen Verfahren zur Bestimmung des Minimums von nichtglatten Funktionen in einer Variablen im Detail vorgestellt

Mehr

3.1.3 Newtonsche Interpolationsformel / Dividierte Differenzen

3.1.3 Newtonsche Interpolationsformel / Dividierte Differenzen KAPITEL 3 INTERPOLATION UND APPROXIMATION 4 33 Newtonsche Interpolationsformel / Dividierte Differenzen Das Verfahren von Neville ist unpraktisch, wenn man das Polynom selbst sucht oder das Polynom an

Mehr