Die Poincaré-Vermutung

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Die Poincaré-Vermutung"

Transkript

1 Die Poincaré-Vermutung Dipl.-Math. Bastian Rieck Arbeitsgruppe Computergraphik und Visualisierung Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen 3. September 2012 B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

2 Warum dieser Vortrag? Mehr als 100 Jahre hatten Mathematiker oft verzweifelt versucht, dieses theoretische Problem zu lösen, das für Laien so gut wie unverständlich ist. (süddeutsche.de vom ; Original ohne Hervorhebung) Doch jetzt ist mathematisch beweisbar, dass die vierte Dimension wirklich existiert. (welt.de vom ) B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

3 Warum ist die Poincare -Vermutung wichtig? B. Rieck (CoVis) Die Poincare -Vermutung 3. September / 30

4 Warum ist die Poincare -Vermutung wichtig? Fru her B. Rieck (CoVis) Die Poincare -Vermutung 3. September / 30

5 Warum ist die Poincare -Vermutung wichtig? Fru her B. Rieck (CoVis) Heute Die Poincare -Vermutung 3. September / 30

6 Henri Poincaré B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

7 Henri Poincaré * 29. April 1854 in Nancy B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

8 Henri Poincaré * 29. April 1854 in Nancy 17. Juli 1912 in Paris B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

9 Henri Poincaré * 29. April 1854 in Nancy 17. Juli 1912 in Paris 1873: Mathematikstudium an der École Polytechnique B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

10 Henri Poincaré * 29. April 1854 in Nancy 17. Juli 1912 in Paris 1873: Mathematikstudium an der École Polytechnique 1879: Abschluss der Promotion B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

11 Henri Poincaré * 29. April 1854 in Nancy 17. Juli 1912 in Paris 1873: Mathematikstudium an der École Polytechnique 1879: Abschluss der Promotion Beiträge zur Mathematik (algebraische Geometrie, algebraische Topologie Zahlentheorie), Physik (Optik, Thermodynamik, spezielle Relativitätstheorie) und Philosophie. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

12 Henri Poincaré * 29. April 1854 in Nancy 17. Juli 1912 in Paris 1873: Mathematikstudium an der École Polytechnique 1879: Abschluss der Promotion Beiträge zur Mathematik (algebraische Geometrie, algebraische Topologie Zahlentheorie), Physik (Optik, Thermodynamik, spezielle Relativitätstheorie) und Philosophie. Letzter Universalist des 20. Jahrhunderts? B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

13 Henri Poincaré * 29. April 1854 in Nancy 17. Juli 1912 in Paris 1873: Mathematikstudium an der École Polytechnique 1879: Abschluss der Promotion Beiträge zur Mathematik (algebraische Geometrie, algebraische Topologie Zahlentheorie), Physik (Optik, Thermodynamik, spezielle Relativitätstheorie) und Philosophie. Letzter Universalist des 20. Jahrhunderts? 1900: Erste Formulierung der Poincaré-Vermutung B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

14 Henri Poincaré * 29. April 1854 in Nancy 17. Juli 1912 in Paris 1873: Mathematikstudium an der École Polytechnique 1879: Abschluss der Promotion Beiträge zur Mathematik (algebraische Geometrie, algebraische Topologie Zahlentheorie), Physik (Optik, Thermodynamik, spezielle Relativitätstheorie) und Philosophie. Letzter Universalist des 20. Jahrhunderts? 1900: Erste Formulierung der Poincaré-Vermutung 1904: Poincaré findet Fehler in vorherigem Beweis B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

15 Henri Poincaré * 29. April 1854 in Nancy 17. Juli 1912 in Paris 1873: Mathematikstudium an der École Polytechnique 1879: Abschluss der Promotion Beiträge zur Mathematik (algebraische Geometrie, algebraische Topologie Zahlentheorie), Physik (Optik, Thermodynamik, spezielle Relativitätstheorie) und Philosophie. Letzter Universalist des 20. Jahrhunderts? 1900: Erste Formulierung der Poincaré-Vermutung 1904: Poincaré findet Fehler in vorherigem Beweis 2001: Poincaré-Vermutung wird zu einem der 7 Millennium-Probleme des Clay Mathematics Institute. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

16 Grigori Perelman B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

17 Grigori Perelman * 13. Juni 1966 in Leningrad (St. Petersburg) B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

18 Grigori Perelman * 13. Juni 1966 in Leningrad (St. Petersburg) 1982: Perfekte Punktzahl bei internationaler Mathematik-Olympiade und Zulassung zum Studium B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

19 Grigori Perelman * 13. Juni 1966 in Leningrad (St. Petersburg) 1982: Perfekte Punktzahl bei internationaler Mathematik-Olympiade und Zulassung zum Studium 1990: Promotion in Mathematik B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

20 Grigori Perelman * 13. Juni 1966 in Leningrad (St. Petersburg) 1982: Perfekte Punktzahl bei internationaler Mathematik-Olympiade und Zulassung zum Studium 1990: Promotion in Mathematik 2002: Vorläufiger Beweis der Poincaré-Vermutung B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

21 Grigori Perelman * 13. Juni 1966 in Leningrad (St. Petersburg) 1982: Perfekte Punktzahl bei internationaler Mathematik-Olympiade und Zulassung zum Studium 1990: Promotion in Mathematik 2002: Vorläufiger Beweis der Poincaré-Vermutung 2003: Weitere erläuternde Publikationen B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

22 Grigori Perelman * 13. Juni 1966 in Leningrad (St. Petersburg) 1982: Perfekte Punktzahl bei internationaler Mathematik-Olympiade und Zulassung zum Studium 1990: Promotion in Mathematik 2002: Vorläufiger Beweis der Poincaré-Vermutung 2003: Weitere erläuternde Publikationen 2006: Bestätigung der Korrektheit des Beweises durch andere Mathematiker B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

23 Grigori Perelman * 13. Juni 1966 in Leningrad (St. Petersburg) 1982: Perfekte Punktzahl bei internationaler Mathematik-Olympiade und Zulassung zum Studium 1990: Promotion in Mathematik 2002: Vorläufiger Beweis der Poincaré-Vermutung 2003: Weitere erläuternde Publikationen 2006: Bestätigung der Korrektheit des Beweises durch andere Mathematiker 2006: Perelman lehnt Fields-Medaille ab B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

24 Grigori Perelman * 13. Juni 1966 in Leningrad (St. Petersburg) 1982: Perfekte Punktzahl bei internationaler Mathematik-Olympiade und Zulassung zum Studium 1990: Promotion in Mathematik 2002: Vorläufiger Beweis der Poincaré-Vermutung 2003: Weitere erläuternde Publikationen 2006: Bestätigung der Korrektheit des Beweises durch andere Mathematiker 2006: Perelman lehnt Fields-Medaille ab 2010: Perelman lehnt Millenniumspreis ab B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

25 Date: Wed, 20 Nov :46: (MSK) From: Grigory Perelman Reply-To: Grigory Perelman Subject: Re: geometrization To: Vitali Kapovitch That s correct. Grisha On Tue, 19 Nov 2002, Vitali Kapovitch wrote: > Hi Grisha, > Sorry to bother you but a lot of people are asking me about your preprint > "The entropy formula for the Ricci...". Do I understand it correctly > that while you can not yet do all the steps in the Hamilton program > you can do enough so that using some collapsing results you can prove > geometrization? > Vitali > B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

26 Die Poincaré-Vermutung Moderne Formulierung Jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

27 Die Poincaré-Vermutung Moderne Formulierung Jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

28 Im Folgenden Bildquelle: abstrusegoose.com B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

29 Ganz langsam... Jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

30 1-Mannigfaltigkeit Definition Eine 1-Mannigfaltigkeit ist eine Menge von Punkten, die lokal wie der 1-dimensionale euklidische Raum (R) aussieht. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

31 1-Mannigfaltigkeit Definition Eine 1-Mannigfaltigkeit ist eine Menge von Punkten, die lokal wie der 1-dimensionale euklidische Raum (R) aussieht. lokal stellen wir uns aus der Sicht eines kleinen Käfers vor B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

32 1-Mannigfaltigkeit Definition Eine 1-Mannigfaltigkeit ist eine Menge von Punkten, die lokal wie der 1-dimensionale euklidische Raum (R) aussieht. lokal stellen wir uns aus der Sicht eines kleinen Käfers vor R ist die Zahlengerade: B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

33 1-Mannigfaltigkeit Definition Eine 1-Mannigfaltigkeit ist eine Menge von Punkten, die lokal wie der 1-dimensionale euklidische Raum (R) aussieht. lokal stellen wir uns aus der Sicht eines kleinen Käfers vor R ist die Zahlengerade: B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

34 1-Mannigfaltigkeit Definition Eine 1-Mannigfaltigkeit ist eine Menge von Punkten, die lokal wie der 1-dimensionale euklidische Raum (R) aussieht. lokal stellen wir uns aus der Sicht eines kleinen Käfers vor R ist die Zahlengerade: Aus Sicht eines Käfers:. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

35 Beispiel für eine 1-Mannigfaltigkeit Die 1-Sphäre B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

36 Beispiel für eine 1-Mannigfaltigkeit Die 1-Sphäre Achtung Die 1-Sphäre bezeichnet nur die Kreislinie. Der Käfer kann also nicht in das Innere des Kreises vordringen. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

37 2-Mannigfaltigkeit Definition Eine 2-Mannigfaltigkeit ist eine Menge von Punkten, die lokal wie der 2-dimensionale euklidische Raum (R 2 ) aussieht. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

38 2-Mannigfaltigkeit Definition Eine 2-Mannigfaltigkeit ist eine Menge von Punkten, die lokal wie der 2-dimensionale euklidische Raum (R 2 ) aussieht. R 2 ist ein kartesisches Koordinatensystem mit x-achse und y-achse: B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

39 2-Mannigfaltigkeit Definition Eine 2-Mannigfaltigkeit ist eine Menge von Punkten, die lokal wie der 2-dimensionale euklidische Raum (R 2 ) aussieht. R 2 ist ein kartesisches Koordinatensystem mit x-achse und y-achse: B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

40 2-Mannigfaltigkeit Definition Eine 2-Mannigfaltigkeit ist eine Menge von Punkten, die lokal wie der 2-dimensionale euklidische Raum (R 2 ) aussieht. R 2 ist ein kartesisches Koordinatensystem mit x-achse und y-achse: Aus Sicht des Käfers: B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

41 2-Mannigfaltigkeit Definition Eine 2-Mannigfaltigkeit ist eine Menge von Punkten, die lokal wie der 2-dimensionale euklidische Raum (R 2 ) aussieht. R 2 ist ein kartesisches Koordinatensystem mit x-achse und y-achse: Aus Sicht des Käfers: B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

42 Beispiel für eine 2-Mannigfaltigkeit Die 2-Sphäre Bildquelle: Wikipedia B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

43 Beispiel für eine 2-Mannigfaltigkeit Die 2-Sphäre Achtung Die 2-Sphäre bezeichnet nur die Kugeloberfläche. Der Käfer kann also nicht in das Innere der Kugel vordringen. Bildquelle: Wikipedia B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

44 3-Mannigfaltigkeit Definition Eine 3-Mannigfaltigkeit ist eine Menge von Punkten, die lokal wie der 3-dimensionale euklidische Raum (R 3 ) aussieht. Bildquelle: Frédéric Michel B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

45 3-Mannigfaltigkeit Definition Eine 3-Mannigfaltigkeit ist eine Menge von Punkten, die lokal wie der 3-dimensionale euklidische Raum (R 3 ) aussieht. R 3 ist ein kartesisches Koordinatensystem mit x-achse, y-achse und z-achse: Bildquelle: Frédéric Michel B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

46 3-Mannigfaltigkeit Definition Eine 3-Mannigfaltigkeit ist eine Menge von Punkten, die lokal wie der 3-dimensionale euklidische Raum (R 3 ) aussieht. R 3 ist ein kartesisches Koordinatensystem mit x-achse, y-achse und z-achse: Bildquelle: Frédéric Michel B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

47 3-Mannigfaltigkeit Definition Eine 3-Mannigfaltigkeit ist eine Menge von Punkten, die lokal wie der 3-dimensionale euklidische Raum (R 3 ) aussieht. R 3 ist ein kartesisches Koordinatensystem mit x-achse, y-achse und z-achse: Aus Sicht des Käfers unserer Sicht: Bildquelle: Frédéric Michel B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

48 3-Mannigfaltigkeit Definition Eine 3-Mannigfaltigkeit ist eine Menge von Punkten, die lokal wie der 3-dimensionale euklidische Raum (R 3 ) aussieht. R 3 ist ein kartesisches Koordinatensystem mit x-achse, y-achse und z-achse: Aus Sicht des Käfers unserer Sicht: Bildquelle: Frédéric Michel B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

49 Beispiele für 3-Mannigfaltigkeiten Unser Universum ist lokal 3-dimensional. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

50 Beispiele für 3-Mannigfaltigkeiten Unser Universum ist lokal 3-dimensional. Ist unser Universum eine 3-Mannigfaltigkeit? B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

51 Beispiele für 3-Mannigfaltigkeiten Unser Universum ist lokal 3-dimensional. Ist unser Universum eine 3-Mannigfaltigkeit? Gegenwärtige Annahme in Astrophysik: Ja! B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

52 Beispiele für 3-Mannigfaltigkeiten Unser Universum ist lokal 3-dimensional. Ist unser Universum eine 3-Mannigfaltigkeit? Gegenwärtige Annahme in Astrophysik: Ja! Klassischeres Beispiel für 3-Mannigfaltigkeit: Die 3-Sphäre. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

53 Beispiele für 3-Mannigfaltigkeiten Unser Universum ist lokal 3-dimensional. Ist unser Universum eine 3-Mannigfaltigkeit? Gegenwärtige Annahme in Astrophysik: Ja! Klassischeres Beispiel für 3-Mannigfaltigkeit: Die 3-Sphäre. 3-Sphäre ist die höher-dimensionale Verallgemeinerung einer Kugel. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

54 Beispiele für 3-Mannigfaltigkeiten Unser Universum ist lokal 3-dimensional. Ist unser Universum eine 3-Mannigfaltigkeit? Gegenwärtige Annahme in Astrophysik: Ja! Klassischeres Beispiel für 3-Mannigfaltigkeit: Die 3-Sphäre. 3-Sphäre ist die höher-dimensionale Verallgemeinerung einer Kugel. Aber nicht mehr zeichenbar... B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

55 Beispiele für 3-Mannigfaltigkeiten Unser Universum ist lokal 3-dimensional. Ist unser Universum eine 3-Mannigfaltigkeit? Gegenwärtige Annahme in Astrophysik: Ja! Klassischeres Beispiel für 3-Mannigfaltigkeit: Die 3-Sphäre. 3-Sphäre ist die höher-dimensionale Verallgemeinerung einer Kugel. Aber nicht mehr zeichenbar...??? B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

56 Wie stellen sich Mathematiker die 3-Sphäre vor? Trick: Beschreibung durch Koordinaten! Die 1-Sphäre enthält alle Punkte (x, y) mit x 2 + y 2 = 1. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

57 Wie stellen sich Mathematiker die 3-Sphäre vor? Trick: Beschreibung durch Koordinaten! Die 1-Sphäre enthält alle Punkte (x, y) mit x 2 + y 2 = 1. Die 2-Sphäre enthält alle Punkte (x, y, z) mit x 2 + y 2 + z 2 = 1. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

58 Wie stellen sich Mathematiker die 3-Sphäre vor? Trick: Beschreibung durch Koordinaten! Die 1-Sphäre enthält alle Punkte (x, y) mit x 2 + y 2 = 1. Die 2-Sphäre enthält alle Punkte (x, y, z) mit x 2 + y 2 + z 2 = 1. Die 3-Sphäre enthält alle Punkte (x, y, z, w) mit x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = 1. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

59 Zusammenfassung bisher B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

60 Zusammenfassung bisher Die 1-Sphäre ist eine 1-Mannigfaltigkeit, die im 2-dimensionalen Raum lebt. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

61 Zusammenfassung bisher Die 1-Sphäre ist eine 1-Mannigfaltigkeit, die im 2-dimensionalen Raum lebt. Die 2-Sphäre ist eine 2-Mannigfaltigkeit, die im 3-dimensionalen Raum lebt. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

62 Zusammenfassung bisher Die 1-Sphäre ist eine 1-Mannigfaltigkeit, die im 2-dimensionalen Raum lebt. Die 2-Sphäre ist eine 2-Mannigfaltigkeit, die im 3-dimensionalen Raum lebt. Die 3-Sphäre ist eine 3-Mannigfaltigkeit, die im 4-dimensionalen Raum lebt. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

63 Zurück zur Vermutung Jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

64 Was bedeutet einfach zusammenhängend? Am Beispiel der 2-Sphäre B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

65 Was bedeutet einfach zusammenhängend? Am Beispiel der 2-Sphäre B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

66 Eine Mannigfaltigkeit, die nicht einfach zusammenhängend ist Der Torus ( Fahrradschlauch ) Die grünen Schleifen lassen sich auf einen Punkt zusammenziehen. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

67 Eine Mannigfaltigkeit, die nicht einfach zusammenhängend ist Der Torus ( Fahrradschlauch ) Die grünen Schleifen lassen sich auf einen Punkt zusammenziehen. Die rote Schleife kann nicht zu einem Punkt zusammengezogen werden. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

68 Und der Nutzen? B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

69 Und der Nutzen? Stellen wir uns vor, ein kleiner Käfer lebt auf einem Torus. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

70 Und der Nutzen? Stellen wir uns vor, ein kleiner Käfer lebt auf einem Torus. Kann der Käfer herausfinden, dass er nicht auf einer Sphäre lebt? B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

71 Und der Nutzen? Stellen wir uns vor, ein kleiner Käfer lebt auf einem Torus. Kann der Käfer herausfinden, dass er nicht auf einer Sphäre lebt? Selbst wenn er das Loch in der Mitte nicht sehen kann???? B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

72 Und der Nutzen? Stellen wir uns vor, ein kleiner Käfer lebt auf einem Torus. Kann der Käfer herausfinden, dass er nicht auf einer Sphäre lebt? Selbst wenn er das Loch in der Mitte nicht sehen kann? Ja! Denn der Käfer kann überprüfen, ob seine Welt einfach zusammenhängend ist.??? B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

73 Und der Nutzen? Stellen wir uns vor, ein kleiner Käfer lebt auf einem Torus. Kann der Käfer herausfinden, dass er nicht auf einer Sphäre lebt? Selbst wenn er das Loch in der Mitte nicht sehen kann? Ja! Denn der Käfer kann überprüfen, ob seine Welt einfach zusammenhängend ist. Da der Torus nicht einfach zusammenhängend ist, weiß der Käfer, dass er nicht auf einer Sphäre lebt!!!! B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

74 Zurück zur Vermutung Jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

75 Zurück zur Vermutung Jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre. Eine kompakte Mannigfaltigkeit dehnt sich nicht unendlich weit aus. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

76 Zurück zur Vermutung Jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre. Eine kompakte Mannigfaltigkeit dehnt sich nicht unendlich weit aus. Eine Mannigfaltigkeit ohne Rand hat keine Kante, an der die Mannigfaltigkeit aufhört. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

77 Zurück zur Vermutung Jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre. Eine kompakte Mannigfaltigkeit dehnt sich nicht unendlich weit aus. Eine Mannigfaltigkeit ohne Rand hat keine Kante, an der die Mannigfaltigkeit aufhört. Kurz gesagt: Geschlossen = kompakt + ohne Rand B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

78 Beispiele! Die {1, 2, 3}-Sphäre sowie der Torus sind kompakt und ohne Rand, also geschlossen. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

79 Beispiele! Die {1, 2, 3}-Sphäre sowie der Torus sind kompakt und ohne Rand, also geschlossen. Wenn wir zur {1, 2, 3}-Sphäre noch die inneren Punkte dazunehmen, so erhalten wir eine Mannigfaltigkeit mit Rand.? B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

80 Beispiele! Die {1, 2, 3}-Sphäre sowie der Torus sind kompakt und ohne Rand, also geschlossen. Wenn wir zur {1, 2, 3}-Sphäre noch die inneren Punkte dazunehmen, so erhalten wir eine Mannigfaltigkeit mit Rand. R, R 2, R 3 sind keine kompakten Mannigfaltigkeiten, da sie sich unendlich weit ausdehnen.? B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

81 Zurück zur Vermutung Jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

82 Zurück zur Vermutung Jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre. Griechisch: homöo- = gleichartig ; morph = Gestalt B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

83 Zurück zur Vermutung Jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre. Griechisch: homöo- = gleichartig ; morph = Gestalt Zwei Objekte sind homöomorph, wenn sie durch Dehnen, Stauchen, Verbiegen, Verzerren in einander überführt werden können. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

84 Zurück zur Vermutung Jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre. Griechisch: homöo- = gleichartig ; morph = Gestalt Zwei Objekte sind homöomorph, wenn sie durch Dehnen, Stauchen, Verbiegen, Verzerren in einander überführt werden können. Es ist nicht erlaubt, die Objekte zu zerschneiden. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

85 Beispiel Topologen sind Menschen, die einen Donut nicht von einer Kaffeetasse unterscheiden können. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

86 Beispiel Topologen sind Menschen, die einen Donut nicht von einer Kaffeetasse unterscheiden können. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

87 Beispiel Topologen sind Menschen, die einen Donut nicht von einer Kaffeetasse unterscheiden können. Vorstellung: B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

88 Beispiel Topologen sind Menschen, die einen Donut nicht von einer Kaffeetasse unterscheiden können. Vorstellung: B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

89 Beispiel Topologen sind Menschen, die einen Donut nicht von einer Kaffeetasse unterscheiden können. Vorstellung: B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

90 Beispiel Topologen sind Menschen, die einen Donut nicht von einer Kaffeetasse unterscheiden können. Vorstellung: B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

91 Beispiel Topologen sind Menschen, die einen Donut nicht von einer Kaffeetasse unterscheiden können. Vorstellung: B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

92 Beispiel Topologen sind Menschen, die einen Donut nicht von einer Kaffeetasse unterscheiden können. Vorstellung: B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

93 Beispiel Topologen sind Menschen, die einen Donut nicht von einer Kaffeetasse unterscheiden können. Vorstellung: B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

94 Beispiel Topologen sind Menschen, die einen Donut nicht von einer Kaffeetasse unterscheiden können. Vorstellung: B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

95 Am Ziel! Jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

96 Am Ziel! Jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre. Mit anderen Worten: Angenommen, wir haben eine Mannigfaltigkeit. Wenn diese... B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

97 Am Ziel! Jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre. Mit anderen Worten: Angenommen, wir haben eine Mannigfaltigkeit. Wenn diese... einfach zusammenhängend B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

98 Am Ziel! Jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre. Mit anderen Worten: Angenommen, wir haben eine Mannigfaltigkeit. Wenn diese... einfach zusammenhängend geschlossen B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

99 Am Ziel! Jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre. Mit anderen Worten: Angenommen, wir haben eine Mannigfaltigkeit. Wenn diese... einfach zusammenhängend geschlossen 3-dimensional ist B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

100 Am Ziel! Jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre. Mit anderen Worten: Angenommen, wir haben eine Mannigfaltigkeit. Wenn diese... einfach zusammenhängend geschlossen 3-dimensional ist... dann muss es sich um die 3-Sphäre handeln (egal, wie kompliziert sie aussieht oder beschrieben wurde)! B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

101 Wozu ist es gut? B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

102 Wozu ist es gut? Gegenwärtige Annahme in Astrophysik: Das Universum ist eine 3-Mannigfaltigkeit. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

103 Wozu ist es gut? Gegenwärtige Annahme in Astrophysik: Das Universum ist eine 3-Mannigfaltigkeit. Noch ungeklärt: Ist das Universum geschlossen? B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

104 Wozu ist es gut? Gegenwärtige Annahme in Astrophysik: Das Universum ist eine 3-Mannigfaltigkeit. Noch ungeklärt: Ist das Universum geschlossen? Falls ja, so macht die Poincaré-Vermutung eine Aussage über die Struktur unseres Universums! B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

105 Wozu ist es gut? Gegenwärtige Annahme in Astrophysik: Das Universum ist eine 3-Mannigfaltigkeit. Noch ungeklärt: Ist das Universum geschlossen? Falls ja, so macht die Poincaré-Vermutung eine Aussage über die Struktur unseres Universums! Müssen nur noch klären, ob das Universum einfach zusammenhängend ist. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

106 Wozu ist es gut? Gegenwärtige Annahme in Astrophysik: Das Universum ist eine 3-Mannigfaltigkeit. Noch ungeklärt: Ist das Universum geschlossen? Falls ja, so macht die Poincaré-Vermutung eine Aussage über die Struktur unseres Universums! Müssen nur noch klären, ob das Universum einfach zusammenhängend ist. Falls ja, so leben wir in einer 3-Sphäre! B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

107 Weitere Konsequenzen B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

108 Weitere Konsequenzen Perelman hat beiläufig große Gebiete der Mathematik revolutioniert. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

109 Weitere Konsequenzen Perelman hat beiläufig große Gebiete der Mathematik revolutioniert. Seine Arbeit setzt neue Impulse für die Forschung der nächsten Jahrzehnte! B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

110 Weitere Konsequenzen Perelman hat beiläufig große Gebiete der Mathematik revolutioniert. Seine Arbeit setzt neue Impulse für die Forschung der nächsten Jahrzehnte! Physiker haben Poincaré-Vermutung für 2 Dimensionen für String-Theorie und allgemeine Relativitätstheorie genutzt. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

111 Weitere Konsequenzen Perelman hat beiläufig große Gebiete der Mathematik revolutioniert. Seine Arbeit setzt neue Impulse für die Forschung der nächsten Jahrzehnte! Physiker haben Poincaré-Vermutung für 2 Dimensionen für String-Theorie und allgemeine Relativitätstheorie genutzt. Als Resultat haben wir Technologien wie GPS, Handys, Raumsonden... B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

112 Weitere Konsequenzen Perelman hat beiläufig große Gebiete der Mathematik revolutioniert. Seine Arbeit setzt neue Impulse für die Forschung der nächsten Jahrzehnte! Physiker haben Poincaré-Vermutung für 2 Dimensionen für String-Theorie und allgemeine Relativitätstheorie genutzt. Als Resultat haben wir Technologien wie GPS, Handys, Raumsonden... Was wird sich also noch alles aus der Poincaré-Vermutung für 3 Dimensionen ergeben? B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

113 Zum Schluss Wir müssen wissen. Wir werden wissen. David Hilbert B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

114 Lust auf mehr? Donal O Shea. Poincarés Vermutung: Die Geschichte eines mathematischen Abenteuers, ISBN George G. Szpiro. Das Poincaré-Abenteuer: Ein mathematisches Welträtsel wird gelöst, ISBN Tina S. Chang. Perelman s song, Math Horizons, Vol. 15, No. 3, S Jeff Weeks. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

Die Poincaré-Vermutung

Die Poincaré-Vermutung Die Poincaré-Vermutung Dipl.-Math. Bastian Rieck Arbeitsgruppe Computergraphik und Visualisierung Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen 19. Mai 2014 Warum dieser Vortrag? Mehr als 100

Mehr

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte 50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien

Mehr

Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr!

Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr! Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr! Die mit dem Stern * gekennzeichneten Übungen sind nicht verpflichtend, aber sie liefern zusätzliche Punkte. Unten wird immer mit I das reelle Intervall [0, 1]

Mehr

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen Gleichungen Lösen Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Was ist überhaupt eine Gleichung? Eine Gleichung ist, grundsätzlich eine Aussage über zwei mathematische Terme, dass sie gleich sind. Ein Term

Mehr

Das Briefträgerproblem

Das Briefträgerproblem Das Briefträgerproblem Paul Tabatabai 30. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Problemstellung und Modellierung 2 1.1 Problem................................ 2 1.2 Modellierung.............................

Mehr

Jenseits der Endlichkeit. Eine Einführung in die cantorsche Unendlichkeitslehre. Diplom-Informatiker Peter Weigel

Jenseits der Endlichkeit. Eine Einführung in die cantorsche Unendlichkeitslehre. Diplom-Informatiker Peter Weigel Jenseits der Endlichkeit. Eine Einführung in die cantorsche Unendlichkeitslehre. Diplom-Informatiker Peter Weigel Januar 2010 Peter Weigel. Jenseits der Endlichkeit. Eine Einführung in die cantorsche Unendlichkeitslehre.

Mehr

Euklidischer Algorithmus, Restklassenring und seine Struktur, Chinesischer Restklassensatz

Euklidischer Algorithmus, Restklassenring und seine Struktur, Chinesischer Restklassensatz Tobias Kraushaar Kaiserstr. 178 44143 Dortmund Matr.- Nr.: 122964 Euklidischer Algorithmus, Restklassenring und seine Struktur, Chinesischer Restklassensatz 1. EINLEITUNG... 2 2. HAUPTTEIL... 3 2.1. Der

Mehr

Informationsblatt Induktionsbeweis

Informationsblatt Induktionsbeweis Sommer 015 Informationsblatt Induktionsbeweis 31. März 015 Motivation Die vollständige Induktion ist ein wichtiges Beweisverfahren in der Informatik. Sie wird häufig dazu gebraucht, um mathematische Formeln

Mehr

Bericht vom 1. Leipziger Seminar am 25. November 2006

Bericht vom 1. Leipziger Seminar am 25. November 2006 Bericht vom 1. Leipziger Seminar am 25. November 2006 Das Wythoff-Nim-Spiel Wir wollen uns ein Spiel für zwei Personen ansehen, welches sich W.A.Wythoff 1907 ausgedacht hat: Vor den Spielern liegen zwei

Mehr

Wissenschaftliche Grundlagen des Mathematischen Schulstoffs IV. Die erste Stunde. Die erste Stunde

Wissenschaftliche Grundlagen des Mathematischen Schulstoffs IV. Die erste Stunde. Die erste Stunde Wissenschaftliche Grundlagen des Mathematischen Schulstoffs IV Was ist ist Mathematik? Der Inhalt Geometrie (seit (seit Euklid, ca. ca. 300 300 v. v. Chr.) Chr.) Die Die Lehre vom vom uns uns umgebenden

Mehr

Topologie der Fläche von Sebastian Renker

Topologie der Fläche von Sebastian Renker Topologie der Fläche von Sebastian Renker Leitung des Seminars Klassische Probleme der Mathematik : Benjamin Schwarz - 1 - 1. Einfache Flächen und Oberflächen. Homöomorphismen als Abbildungen zwischen

Mehr

Kapitel 0. Einführung. 0.1 Was ist Computergrafik? 0.2 Anwendungsgebiete

Kapitel 0. Einführung. 0.1 Was ist Computergrafik? 0.2 Anwendungsgebiete Kapitel 0 Einführung 0.1 Was ist Computergrafik? Software, die einen Computer dazu bringt, eine grafische Ausgabe (oder kurz gesagt: Bilder) zu produzieren. Bilder können sein: Fotos, Schaltpläne, Veranschaulichung

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Kapitel 6: Induktives Vorgehen Thomas Worsch KIT, Institut für Theoretische Informatik Wintersemester 2015/2016 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische

Mehr

Übung Theoretische Grundlagen

Übung Theoretische Grundlagen Übung Theoretische Grundlagen Berechenbarkeit/Entscheidbarkeit Nico Döttling November 26, 2009 INSTITUT FÜR KRYPTOGRAPHIE UND SICHERHEIT KIT University of the State of Baden-Wuerttemberg and National Laboratory

Mehr

Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen

Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen mathe online Skripten http://www.mathe-online.at/skripten/ Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen Franz Embacher Fakultät für Mathematik der Universität Wien E-mail: franz.embacher@univie.ac.at

Mehr

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also

Mehr

Kurzeinführung zum Plotten in Maple

Kurzeinführung zum Plotten in Maple Kurzeinführung zum Plotten in Maple Dies ist eine sehr kurze Einführung, die lediglich einen Einblick in die Visualisierung von Funktionen und Mengen gestatten soll und keinesfalls um Vollständigkeit bemüht

Mehr

Listening Comprehension: Talking about language learning

Listening Comprehension: Talking about language learning Talking about language learning Two Swiss teenagers, Ralf and Bettina, are both studying English at a language school in Bristo and are talking about language learning. Remember that Swiss German is quite

Mehr

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56 5 Beweistechniken Übersicht 5.1 Drei wichtige Beweistechniken................................. 55 5. Erklärungen zu den Beweistechniken............................ 56 Dieses Kapitel ist den drei wichtigsten

Mehr

Wirtschaftsrechnen. Leseprobe

Wirtschaftsrechnen. Leseprobe Wirtschaftsrechnen Kapitel 1 Darstellung von Größen 1.1 Größen im Koordinatensystem 1.2 Diagramme und Ihre Verwendung 1.2.1 Säulendiagramm 1.2.2 Balkendiagramm 1.2.3 Punktdiagramm (Streudiagramm) 1.2.4

Mehr

PROSEMINAR ONLINE ALGORITHMEN

PROSEMINAR ONLINE ALGORITHMEN PROSEMINAR ONLINE ALGORITHMEN im Wintersemester 2000/2001 Prof. Dr. Rolf Klein, Dr. Elmar Langetepe, Dipl. Inform. Thomas Kamphans (Betreuer) Vortrag vom 15.11.2000 von Jan Schmitt Thema : Finden eines

Mehr

Bin Packing oder Wie bekomme ich die Klamotten in die Kisten?

Bin Packing oder Wie bekomme ich die Klamotten in die Kisten? Bin Packing oder Wie bekomme ich die Klamotten in die Kisten? Ich habe diesen Sommer mein Abi gemacht und möchte zum Herbst mit dem Studium beginnen Informatik natürlich! Da es in meinem kleinen Ort keine

Mehr

Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand Vorlesung für den Bereich Diplom/Master Informatik

Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand Vorlesung für den Bereich Diplom/Master Informatik Vorlesung für den Bereich Diplom/Master Informatik Dozent: Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke PARALLELES RECHNEN INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, FAKULTÄT FÜR INFORMATIK KIT Universität des Landes

Mehr

Was ist Mathematik? Eine Strukturwissenschaft, eine Geisteswissenschaft, aber keine Naturwissenschaft.

Was ist Mathematik? Eine Strukturwissenschaft, eine Geisteswissenschaft, aber keine Naturwissenschaft. Vorlesung 1 Einführung 1.1 Praktisches Zeiten: 10:00-12:00 Uhr Vorlesung 12:00-13:00 Uhr Mittagspause 13:00-14:30 Uhr Präsenzübung 14:30-16:00 Uhr Übungsgruppen Material: Papier und Stift wacher Verstand

Mehr

Studienplan für den Diplomstudiengang Mathematik

Studienplan für den Diplomstudiengang Mathematik Universität Stuttgart Fakultät Mathematik und Physik Studienplan für den Diplomstudiengang Mathematik Februar 2005 Der Diplomstudiengang Mathematik gliedert sich in den ersten und den zweiten Studienabschnitt

Mehr

24. Algorithmus der Woche Bin Packing Wie bekomme ich die Klamotten in die Kisten?

24. Algorithmus der Woche Bin Packing Wie bekomme ich die Klamotten in die Kisten? 24. Algorithmus der Woche Wie bekomme ich die Klamotten in die Kisten? Autor Prof. Dr. Friedhelm Meyer auf der Heide, Universität Paderborn Joachim Gehweiler, Universität Paderborn Ich habe diesen Sommer

Mehr

Eine mathematische Reise ins Unendliche. Peter Koepke Universität Bonn

Eine mathematische Reise ins Unendliche. Peter Koepke Universität Bonn Eine mathematische Reise ins Unendliche Peter Koepke Universität Bonn Treffen sich die Schienen im Unendlichen? Gibt es unendlich ferne Punkte? Gibt es unendliche Zahlen? 1 Antwort: Nein! , so prostestire

Mehr

Militzke Verlag. Muster / Nicht als Kopiervorlage freigegeben. 1. Ich entdecke mich. Was ich im Spiegel sehe

Militzke Verlag. Muster / Nicht als Kopiervorlage freigegeben. 1. Ich entdecke mich. Was ich im Spiegel sehe 1. Ich entdecke mich Was ich im Spiegel sehe Wieder einmal betrachtet sich Pauline im Spiegel. Ist mein Bauch nicht zu dick? Sind meine Arme zu lang? Sehe ich besser aus als Klara? Soll ich vielleicht

Mehr

Wissensmanagement im Enterprise 2.0. Eine Revolution des Wissens in drei Teilen.

Wissensmanagement im Enterprise 2.0. Eine Revolution des Wissens in drei Teilen. Wissensmanagement im Enterprise 2.0 Eine Revolution des Wissens in drei Teilen. Das ist Lisa. Lisa arbeitet in der Produktion. Das ist Brad. Brad arbeitet in der Entwicklung. Beide arbeiten für einen großen

Mehr

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung. Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,

Mehr

Persönliche Zukunftsplanung mit Menschen, denen nicht zugetraut wird, dass sie für sich selbst sprechen können Von Susanne Göbel und Josef Ströbl

Persönliche Zukunftsplanung mit Menschen, denen nicht zugetraut wird, dass sie für sich selbst sprechen können Von Susanne Göbel und Josef Ströbl Persönliche Zukunftsplanung mit Menschen, denen nicht zugetraut Von Susanne Göbel und Josef Ströbl Die Ideen der Persönlichen Zukunftsplanung stammen aus Nordamerika. Dort werden Zukunftsplanungen schon

Mehr

Was können Schüler anhand von Primzahltests über Mathematik lernen?

Was können Schüler anhand von Primzahltests über Mathematik lernen? Was können Schüler anhand von Primzahltests über Mathematik lernen? Innermathematisches Vernetzen von Zahlentheorie und Wahrscheinlichkeitsrechnung Katharina Klembalski Humboldt-Universität Berlin 20.

Mehr

Lange Nacht der Wissenschaft. Ein Klassiker. Die Mathematik der Kürzesten Wege

Lange Nacht der Wissenschaft. Ein Klassiker. Die Mathematik der Kürzesten Wege Lange Nacht der Wissenschaft Ein Klassiker Die Mathematik der Kürzesten Wege 09.06.2007 schlechte@zib.de Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik Berlin (ZIB) http://www.zib.de/schlechte 2 Überblick

Mehr

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Gleichungen Inhalt: 1. Grundlegendes 2. Lineare Gleichungen 3. Gleichungen mit Brüchen

Mehr

+ROLGD\V 1LYHDX$ )HUWLJNHLW+ UYHUVWHKHQ

+ROLGD\V 1LYHDX$ )HUWLJNHLW+ UYHUVWHKHQ +ROLGD\V )HUWLJNHLW+ UYHUVWHKHQ 1LYHDX$ Wenn langsam und deutlich gesprochen wird, kann ich kurze Texte und Gespräche aus bekannten Themengebieten verstehen, auch wenn ich nicht alle Wörter kenne. 'HVNULSWRU

Mehr

Abschlussprüfung Realschule Bayern II / III: 2009 Haupttermin B 1.0 B 1.1

Abschlussprüfung Realschule Bayern II / III: 2009 Haupttermin B 1.0 B 1.1 B 1.0 B 1.1 L: Wir wissen von, dass sie den Scheitel hat und durch den Punkt läuft. Was nichts bringt, ist beide Punkte in die allgemeine Parabelgleichung einzusetzen und das Gleichungssystem zu lösen,

Mehr

Zusatztutorium, 25.01.2013

Zusatztutorium, 25.01.2013 Zusatztutorium, 25.01.2013 David Müßig muessig[at]mi.fu-berlin.de http://page.mi.fu-berlin.de/def/tutorium/ WiSe 12/13 1 Der Homomorphiesatz Der Homomorphiesatz scheint für viele eine Art rotes Tuch zu

Mehr

( ) als den Punkt mit der gleichen x-koordinate wie A und der

( ) als den Punkt mit der gleichen x-koordinate wie A und der ETH-Aufnahmeprüfung Herbst 05 Mathematik I (Analysis) Aufgabe [6 Punkte] Bestimmen Sie den Schnittwinkel α zwischen den Graphen der Funktionen f(x) x 4x + x + 5 und g(x) x x + 5 im Schnittpunkt mit der

Mehr

2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik

2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 57 2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik Uhr: Stunden mod 24, Minuten mod 60, Sekunden mod 60,... Rechnerarithmetik: mod 2 w, w {8, 16, 32,

Mehr

Der perfekte Seminarvortrag

Der perfekte Seminarvortrag 0/17 Der perfekte Seminarvortrag Andreas Zeller Lehrstuhl Softwaretechnik Universität des Saarlandes, Saarbrücken Ziele des Seminars 1/17 Selbstständiges Einarbeiten in wissenschaftliche Fragestellungen

Mehr

Formale Systeme, WS 2012/2013 Lösungen zu Übungsblatt 4

Formale Systeme, WS 2012/2013 Lösungen zu Übungsblatt 4 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Peter H. Schmitt David Farago, Christoph Scheben, Mattias Ulbrich Formale Systeme, WS 2012/2013 Lösungen zu Übungsblatt

Mehr

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u.

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u. Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. C. Hesse PD Dr. P. H. Lesky Dipl. Math. D. Zimmermann Msc. J. Köllner FAQ 3 Höhere Mathematik I 4..03 el, kyb, mecha, phys Vektorräume Vektorräume

Mehr

Computer Vision I. Nikos Canterakis. Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg

Computer Vision I. Nikos Canterakis. Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg Nikos Canterakis Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg Gliederung 6 Endliche Kameras Die Lochkamera Die Projektive Kamera Die projektive Kamera Spalten von P Zeilen von P Hauptpunkt und Hauptachse

Mehr

4 Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen)

4 Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen) Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen) Greedy-Algorithmen werden oft für die exakte oder approximative Lösung von Optimierungsproblemen verwendet. Typischerweise konstruiert ein Greedy-Algorithmus eine

Mehr

Abiturprüfung 2000 MATHEMATIK. als Grundkursfach. Arbeitszeit: 180 Minuten

Abiturprüfung 2000 MATHEMATIK. als Grundkursfach. Arbeitszeit: 180 Minuten Abiturprüfung 000 MATHEMATIK als Grundkursfach Arbeitszeit: 180 Minuten Der Fachausschuss wählt je eine Aufgabe aus den Gebieten GM1, GM und GM zur Bearbeitung aus. - - GM1. INFINITESIMALRECHNUNG I. 10

Mehr

Unit 4: Informationsblatt für Mini-Teachers (schwierige Laute sind unterstrichen)

Unit 4: Informationsblatt für Mini-Teachers (schwierige Laute sind unterstrichen) Unit 4: Informationsblatt für Mini-Teachers (schwierige Laute sind unterstrichen) Was ist euer Ziel? Das Ziel eurer Stunde ist es, die Zahlen zu wiederholen. Dafür habt ihr 20 Minuten Zeit. Wie könnt ihr

Mehr

DAS ABI-PFLICHTTEIL Büchlein

DAS ABI-PFLICHTTEIL Büchlein DAS ABI-PFLICHTTEIL Büchlein für Baden-Württemberg Alle Originalaufgaben Haupttermine 004 0 Ausführlich gerechnete und kommentierte Lösungswege Mit vielen Zusatzhilfen X π Von: Jochen Koppenhöfer und Pascal

Mehr

Mathematikstudium in Frankfurt - und was danach?

Mathematikstudium in Frankfurt - und was danach? info-tage 2005 an den Frankfurter Hochschulen für Schülerinnen und Schüler der Oberstufe Goethe-Universität, 14. März 2005 Mathematikstudium in Frankfurt - und was danach? Ausblicke, Einblicke, Rückblicke

Mehr

MINT-Initiative am FKG: Von der Mathematik zur IT

MINT-Initiative am FKG: Von der Mathematik zur IT MINT-Initiative am FKG: Von der Mathematik zur IT Michael Adam ma@sernet.de 2012-05-23 Hi! Michael Adam Mathe...IT (3 / 12) Mathematik Mathe... Mathematik ist NICHT Rechnen! Reine Wissenschaft Streng logische

Mehr

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann 22 Andreas Gathmann 3. Zusammenhang Eine der anschaulichsten Eigenschaften eines topologischen Raumes ist wahrscheinlich, ob er zusammenhängend ist oder aus mehreren Teilen besteht. Wir wollen dieses Konzept

Mehr

Diplomarbeit in A & O: Diskussion

Diplomarbeit in A & O: Diskussion Diplomarbeit in A & O: Diskussion Die Diskussion das Herzstück der Arbeit!!! Die Qualität der Diskussion entscheidet darüber, ob die Arbeit für immer in der Bibliothek verstauben wird oder ob sich jemand

Mehr

Studium MINT Wie läuft das? STUDIENORIENTIERUNG, STUDIENALLTAG UND BERUFSPERSPEKTIVEN

Studium MINT Wie läuft das? STUDIENORIENTIERUNG, STUDIENALLTAG UND BERUFSPERSPEKTIVEN Studium MINT Wie läuft das? STUDIENORIENTIERUNG, STUDIENALLTAG UND BERUFSPERSPEKTIVEN Ihr wollt wissen wie dieses Ding funktioniert? 2 Was Naturwissenschaft ausmacht. http://popperfont.net/ 2012/05/21/the-scientificmethod-meme-version/

Mehr

Ein kausaler Zusammenhang entspricht einer speziellen wahren Implikation. Beispiel: Wenn es regnet, dann wird die Erde nass.

Ein kausaler Zusammenhang entspricht einer speziellen wahren Implikation. Beispiel: Wenn es regnet, dann wird die Erde nass. Implikation Implikation Warum ist die Tabelle schwer zu schlucken? In der Umgangssprache benutzt man daraus folgt, also, impliziert, wenn dann, nur für kausale Zusammenhänge Eine Implikation der Form:

Mehr

Rhetorik und Argumentationstheorie. [frederik.gierlinger@univie.ac.at]

Rhetorik und Argumentationstheorie. [frederik.gierlinger@univie.ac.at] Rhetorik und Argumentationstheorie 1 [frederik.gierlinger@univie.ac.at] Ablauf der Veranstaltung Termine 1-6 Erarbeitung diverser Grundbegriffe Termine 7-12 Besprechung von philosophischen Aufsätzen Termin

Mehr

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Dipl.-Math. Kevin Everard Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14 Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Einheit 9: Speicher Thomas Worsch Karlsruher Institut für Technologie, Fakultät für Informatik Wintersemester 2009/2010 1/20 Überblick Speicher Bit und Byte Speicher als Tabellen

Mehr

Grundlagen der Künstlichen Intelligenz

Grundlagen der Künstlichen Intelligenz Grundlagen der Künstlichen Intelligenz 27. Aussagenlogik: Logisches Schliessen und Resolution Malte Helmert Universität Basel 28. April 2014 Aussagenlogik: Überblick Kapitelüberblick Aussagenlogik: 26.

Mehr

! "!!!!#! $!%! $ $$ $!! $& $ '! ($ ) *!(!! +$ $! $! $!,- * (./ ( &! ($.$0$.1!! $!. $ 23 ( 4 $. / $ 5.

! !!!!#! $!%! $ $$ $!! $& $ '! ($ ) *!(!! +$ $! $! $!,- * (./ ( &! ($.$0$.1!! $!. $ 23 ( 4 $. / $ 5. ! "!!!!#! $!%! $ $$ $!! $& $ '! ($ ) *!(!! +$ $! $! $!,- * (./ ( &! ($.$0$.1!! $!. $ 23 ( 4 $. / $ 5.! " #$ 4! # / $* 6 78!!9: ;;6 0!.?@@:A+@,:@=@

Mehr

Jetzt kann die Party ja losgehen. Warte, sag mal, ist das nicht deine Schwester Annika?

Jetzt kann die Party ja losgehen. Warte, sag mal, ist das nicht deine Schwester Annika? Zusammenfassung: Da Annika noch nicht weiß, was sie studieren möchte, wird ihr bei einem Besuch in Augsburg die Zentrale Studienberatung, die auch bei der Wahl des Studienfachs hilft, empfohlen. Annika

Mehr

Braucht Social TV ein neues Interface? Felix Segebrecht

Braucht Social TV ein neues Interface? Felix Segebrecht Braucht Social TV ein neues Interface? Felix Segebrecht Braucht Social TV ein neues Interface? Nein! Social TV hat sehr erfolgreiche Interfaces Was ist social TV? Gemeinsam gucken? Im Büro über den Tatort

Mehr

Seminar A - Spieltheorie und Multiagent Reinforcement Learning in Team Spielen

Seminar A - Spieltheorie und Multiagent Reinforcement Learning in Team Spielen Seminar A - Spieltheorie und Multiagent Reinforcement Learning in Team Spielen Michael Gross mdgrosse@sbox.tugraz.at 20. Januar 2003 1 Spieltheorie 1.1 Matrix Game Definition 1.1 Ein Matrix Game, Strategic

Mehr

Mathematik ist überall. Prof. Dr. Roland Speicher Universität des Saarlandes

Mathematik ist überall. Prof. Dr. Roland Speicher Universität des Saarlandes Mathematik ist überall Prof. Dr. Roland Speicher Universität des Saarlandes Ziele meines Vortrages Mathematik ist schön Mathematik ist wichtig Mathematiker werden überall benötigt Mathematiker werden

Mehr

Unterlagen für die Lehrkraft

Unterlagen für die Lehrkraft Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Zentrale Prüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife im Schuljahr 01/01 Mathematik. Juni 01 09:00 Uhr Unterlagen für die Lehrkraft 1. Aufgabe: Differentialrechnung

Mehr

NP-Vollständigkeit. Krautgartner Martin (9920077) Markgraf Waldomir (9921041) Rattensberger Martin (9921846) Rieder Caroline (0020984)

NP-Vollständigkeit. Krautgartner Martin (9920077) Markgraf Waldomir (9921041) Rattensberger Martin (9921846) Rieder Caroline (0020984) NP-Vollständigkeit Krautgartner Martin (9920077) Markgraf Waldomir (9921041) Rattensberger Martin (9921846) Rieder Caroline (0020984) 0 Übersicht: Einleitung Einteilung in Klassen Die Klassen P und NP

Mehr

Expander Graphen und Ihre Anwendungen

Expander Graphen und Ihre Anwendungen Expander Graphen und Ihre Anwendungen Alireza Sarveniazi Mathematisches Institut Universität Göttingen 21.04.2006 Alireza Sarveniazi (Universität Göttingen) Expander Graphen und Ihre Anwendungen 21.04.2006

Mehr

Beispiellösungen zu Blatt 111

Beispiellösungen zu Blatt 111 µ κ Mathematisches Institut Georg-August-Universität Göttingen Beispiellösungen zu Blatt 111 Aufgabe 1 Ludwigshafen hat einen Bahnhof in Dreiecksform. Markus, Sabine und Wilhelm beobachten den Zugverkehr

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Einheit 15: Reguläre Ausdrücke und rechtslineare Grammatiken Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Wintersemester 2008/2009 1/25 Was kann man mit endlichen

Mehr

Linienland, Flächenland und der Hyperraum Ein Ausflug durch die Dimensionen

Linienland, Flächenland und der Hyperraum Ein Ausflug durch die Dimensionen Linienland, Flächenland und der Hyperraum Ein Ausflug durch die Dimensionen Stephan Rosebrock Pädagogische Hochschule Karlsruhe 23. März 2013 Stephan Rosebrock (Pädagogische Hochschule Linienland, Karlsruhe)

Mehr

2.2 Projektionen und Kameramodelle

2.2 Projektionen und Kameramodelle Graphikprog. GRUNDLEGENDE VERFAHREN UND TECHNIKEN. Projektionen und Kameramodelle Nachdem alle Objekte einer Szenerie mittels der besprochenen Transformationen im D-Weltkoordinatensystem platziert sind,

Mehr

Der Big Bang Was sagt die Relativitätstheorie über den Anfang unseres Universums?

Der Big Bang Was sagt die Relativitätstheorie über den Anfang unseres Universums? Der Big Bang Was sagt die Relativitätstheorie über den Anfang unseres Universums? Wir leben in einem Universum, das den Gesetzen der von Einstein gegründeten Relativitätstheorie gehorcht. Im letzten Jahrhundert

Mehr

Welche Chancen bietet ein Mathematikstudium? Prof. Dr. Wolfram Koepf Studiendekan Fachbereich Mathematik, Uni Kassel

Welche Chancen bietet ein Mathematikstudium? Prof. Dr. Wolfram Koepf Studiendekan Fachbereich Mathematik, Uni Kassel Welche Chancen bietet ein Mathematikstudium? Prof. Dr. Wolfram Koepf Studiendekan Fachbereich Mathematik, Uni Kassel Struktur des Fachbereichs 17 Der Fachbereich Mathematik / Informatik wird geleitet vom

Mehr

Kreativ visualisieren

Kreativ visualisieren Kreativ visualisieren Haben Sie schon einmal etwas von sogenannten»sich selbst erfüllenden Prophezeiungen«gehört? Damit ist gemeint, dass ein Ereignis mit hoher Wahrscheinlichkeit eintritt, wenn wir uns

Mehr

Juristenausbildung in China

Juristenausbildung in China Juristenausbildung in China von Yiying Yang, China University of Political Science and Law Wenn wir die Geschichte betrachten, dann wissen wir, dass die Magisterstudium/-ausbildung in Deutschland entstanden

Mehr

25 kann ohne Rest durch 5 geteilt werden! ist wahr

25 kann ohne Rest durch 5 geteilt werden! ist wahr Lehrbrief 2: Lektion 8 - C -Praxis 4-1 - 5.2 Einfache Entscheidungen mit if und die Vergleichsoperatoren Nun tauchen wir immer tiefer in die Geheimnisse von C ein und beschäftigen uns mit einem sehr wichtigen

Mehr

Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG. Serie1

Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG. Serie1 R. Hiptmair S. Pintarelli E. Spindler Herbstsemester 2014 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Serie1 Aufgabe 1.1 Summen Schon bei der Behandlung linearer Gleichungen

Mehr

Projektbeschreibung. 1. Club der jungen Mathematiker/innen Expedition ins Reich der Mathematik (5. & 6. Schulstufe)

Projektbeschreibung. 1. Club der jungen Mathematiker/innen Expedition ins Reich der Mathematik (5. & 6. Schulstufe) Projektbeschreibung 1. Club der jungen Mathematiker/innen Expedition ins Reich der Mathematik (5. & 6. Schulstufe) An fünf spannenden Tagen, die über das Jahr 2015 verteilt sind, erlebst du jeweils eine

Mehr

Spezielle Relativitätstheorie

Spezielle Relativitätstheorie Spezielle Relativitätstheorie Proseminar: Kosmologie und Teilchenphysik von Evangelos Nagel Physik vor dem 20. Jhd. Newton (Principia Mathematica): Der absolute Raum bleibt vermöge seiner Natur und ohne

Mehr

Was ist Gravitation?

Was ist Gravitation? Was ist Gravitation? Über die Einheit fundamentaler Wechselwirkungen Hans Peter Nilles Physikalisches Institut Universität Bonn Was ist Gravitation, Stuttgart, November 2010 p. 1/19 Wie gewiss ist Wissen?...die

Mehr

Junge Kinder fassen Mathematik an. Bildungssituationen mit Kindern bis 6 Jahre

Junge Kinder fassen Mathematik an. Bildungssituationen mit Kindern bis 6 Jahre Junge Kinder fassen Mathematik an Bildungssituationen mit Kindern bis 6 Jahre Fortbildung für Tagespflegepersonen 12. April 2014 Konzept der Mathematik Brückenpfeiler Mathe-Kings Nancy Hoenisch, Elisabeth

Mehr

4. Versicherungsangebot

4. Versicherungsangebot 4. Versicherungsangebot Georg Nöldeke Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät, Universität Basel Versicherungsökonomie (FS 11) Versicherungsangebot 1 / 13 1. Einleitung 1.1 Hintergrund In einem grossen Teil

Mehr

Algebra. Patrik Hubschmid. 8. Oktober 2013

Algebra. Patrik Hubschmid. 8. Oktober 2013 Algebra Patrik Hubschmid 8. Oktober 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Fortführung der Gruppentheorie 7 1.1 Sylowsätze.................................... 7 3 Vorwort Dieses Skript zur Vorlesung Algebra im Wintersemester

Mehr

Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012

Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012 Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012 Kreisbasen, Matroide & Algorithmen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales

Mehr

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt - 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +

Mehr

Lenstras Algorithmus für Faktorisierung

Lenstras Algorithmus für Faktorisierung Lenstras Algorithmus für Faktorisierung Bertil Nestorius 9 März 2010 1 Motivation Die schnelle Faktorisierung von Zahlen ist heutzutage ein sehr wichtigen Thema, zb gibt es in der Kryptographie viele weit

Mehr

Komplexe Zahlen. 1) Motivierende Aufgabe. 2) Historisches

Komplexe Zahlen. 1) Motivierende Aufgabe. 2) Historisches Annelie Heuser, Jean-Luc Landvogt und Ditlef Meins im 1. Semester Komplexe Zahlen Will man nur addieren und subtrahieren, multiplizieren und dividieren, kommt man uneingeschränkt mit reellen Zahlen aus.

Mehr

Was ich dich - mein Leben - schon immer fragen wollte! Bild: Strichcode Liebe Mein liebes Leben, alle reden immer von der gro en Liebe Kannst du mir erklären, was Liebe überhaupt ist? Woran erkenne ich

Mehr

1. Standortbestimmung

1. Standortbestimmung 1. Standortbestimmung Wer ein Ziel erreichen will, muss dieses kennen. Dazu kommen wir noch. Er muss aber auch wissen, wo er sich befindet, wie weit er schon ist und welche Strecke bereits hinter ihm liegt.

Mehr

Persönlichkeit und Persönlichkeitsunterschiede

Persönlichkeit und Persönlichkeitsunterschiede 9 Persönlichkeit und Persönlichkeitsunterschiede 1 Inhalt Die Beschäftigung mit der menschlichen Persönlichkeit spielt in unserem Alltag eine zentrale Rolle. Wir greifen auf das globale Konzept Persönlichkeit

Mehr

Schriftliche Abiturprüfung Leistungskursfach Mathematik

Schriftliche Abiturprüfung Leistungskursfach Mathematik Sächsisches Staatsministerium für Kultus Schuljahr 2000/01 Geltungsbereich: - Allgemein bildendes Gymnasium - Abendgymnasium und Kolleg - Schulfremde Prüfungsteilnehmer Schriftliche Abiturprüfung Leistungskursfach

Mehr

Das RSA-Verschlüsselungsverfahren 1 Christian Vollmer

Das RSA-Verschlüsselungsverfahren 1 Christian Vollmer Das RSA-Verschlüsselungsverfahren 1 Christian Vollmer Allgemein: Das RSA-Verschlüsselungsverfahren ist ein häufig benutztes Verschlüsselungsverfahren, weil es sehr sicher ist. Es gehört zu der Klasse der

Mehr

Kreative Schreibtechnik Clustering

Kreative Schreibtechnik Clustering Kreative Schreibtechnik Clustering Von Heike Thormann, kreativesdenken.com Einführung 2 Clustering Einführung: Kreative Schreibtechnik Clustering Clustering (oder auch Clustern) ist eine von der amerikanischen

Mehr

4. Marketing darf nichts kosten... Ich muss eh so viel Geld ausgeben für meine Selbstständigkeit.

4. Marketing darf nichts kosten... Ich muss eh so viel Geld ausgeben für meine Selbstständigkeit. 3. Ich brauche als Coach keine Spezialisierung... Es ist schließlich egal, ob ich eine Entscheidung zwischen zwei Männern oder zwei Joboptionen aufstelle. Tanja: Aus Coach-Sicht gebe ich Ihnen da absolut

Mehr

Graphic Coding. Klausur. 9. Februar 2007. Kurs A

Graphic Coding. Klausur. 9. Februar 2007. Kurs A Graphic Coding Klausur 9. Februar 2007 Kurs A Name: Matrikelnummer: Hinweise - Es sind keine Hilfsmaterialien erlaubt. (Keine Bücher, Taschenrechner, Handys) - Sie haben zwei Stunden Zeit. - Insgesamt

Mehr

Wasser sparen. Klimaprojekt 2015/2016 KBS Schwyz Sven Suter MAB Möbelfabrik Betschart AG Fabian Trummer login Berufsbildung AG Klasse E1C

Wasser sparen. Klimaprojekt 2015/2016 KBS Schwyz Sven Suter MAB Möbelfabrik Betschart AG Fabian Trummer login Berufsbildung AG Klasse E1C Klimaprojekt 2015/2016 KBS Schwyz Sven Suter MAB Möbelfabrik Betschart AG Fabian Trummer login Berufsbildung AG Klasse E1C Inhaltsverzeichnis 1. Zusammenfassung... 3 2. Einleitung... 3 3. Hauptteil...

Mehr

Interview für die Erstsemesterzeitung: Carl-Friedrich Bödigheimer (Lineare Algebra 1)

Interview für die Erstsemesterzeitung: Carl-Friedrich Bödigheimer (Lineare Algebra 1) Interview für die Erstsemesterzeitung: Carl-Friedrich Bödigheimer (Lineare Algebra 1) Könnten Sie sich kurz vorstellen? Mein Name ist Carl-Friedrich Bödigheimer. Ich bin Professor für Mathematik und mein

Mehr

Unser Sponsor: JO KRAWATTE

Unser Sponsor: JO KRAWATTE Unser Sponsor: JO KRAWATTE Der doppelte Knoten Der kleine Knoten Atlantik Knoten Der Diagonale-Rechts Knoten http://www.krawattenknoten.info/krawatten/krawattenknoten/ary.html (1 di 8) [13/03/2003 11.37.02]

Mehr

Optimalitätskriterien

Optimalitätskriterien Kapitel 4 Optimalitätskriterien Als Optimalitätskriterien bezeichnet man notwendige oder hinreichende Bedingungen dafür, dass ein x 0 Ω R n Lösung eines Optimierungsproblems ist. Diese Kriterien besitzen

Mehr

Was sind die kleinstmöglichen magischen Quadrate? Zwölf Rätsel zum Gewinn von 8.000 und zwölf Flaschen Champagner!

Was sind die kleinstmöglichen magischen Quadrate? Zwölf Rätsel zum Gewinn von 8.000 und zwölf Flaschen Champagner! Was sind die kleinstmöglichen magischen Quadrate? Zwölf Rätsel zum Gewinn von 8.000 und zwölf Flaschen Champagner! Presse Veröffentlichung, 06. April 2010, Frankreich Obwohl magische Quadrate jahrhundertelang

Mehr

Lineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3

Lineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3 Lineare Funktionen Inhaltsverzeichnis 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition............................... 3 1.2 Eigenschaften............................. 3 2 Steigungsdreieck 3 3 Lineare Funktionen

Mehr

Das Dilemma des Einbrechers Wer die Wahl hat, hat die Qual!

Das Dilemma des Einbrechers Wer die Wahl hat, hat die Qual! Das Dilemma des Einbrechers Wer die Wahl hat, hat die Qual! 0kg 4000 Euro Luster 5,5 kg, 430.- Laptop 2,0 kg, 000.- Schatulle 3,2 kg, 800.- Uhr 3,5 kg, 70.- Schwert,5 kg, 850.- Bild 3,4 kg, 680.- Besteck

Mehr