Die Poincaré-Vermutung

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1 Die Poincaré-Vermutung Dipl.-Math. Bastian Rieck Arbeitsgruppe Computergraphik und Visualisierung Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen 3. September 2012 B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

2 Warum dieser Vortrag? Mehr als 100 Jahre hatten Mathematiker oft verzweifelt versucht, dieses theoretische Problem zu lösen, das für Laien so gut wie unverständlich ist. (süddeutsche.de vom ; Original ohne Hervorhebung) Doch jetzt ist mathematisch beweisbar, dass die vierte Dimension wirklich existiert. (welt.de vom ) B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

3 Warum ist die Poincare -Vermutung wichtig? B. Rieck (CoVis) Die Poincare -Vermutung 3. September / 30

4 Warum ist die Poincare -Vermutung wichtig? Fru her B. Rieck (CoVis) Die Poincare -Vermutung 3. September / 30

5 Warum ist die Poincare -Vermutung wichtig? Fru her B. Rieck (CoVis) Heute Die Poincare -Vermutung 3. September / 30

6 Henri Poincaré B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

7 Henri Poincaré * 29. April 1854 in Nancy B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

8 Henri Poincaré * 29. April 1854 in Nancy 17. Juli 1912 in Paris B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

9 Henri Poincaré * 29. April 1854 in Nancy 17. Juli 1912 in Paris 1873: Mathematikstudium an der École Polytechnique B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

10 Henri Poincaré * 29. April 1854 in Nancy 17. Juli 1912 in Paris 1873: Mathematikstudium an der École Polytechnique 1879: Abschluss der Promotion B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

11 Henri Poincaré * 29. April 1854 in Nancy 17. Juli 1912 in Paris 1873: Mathematikstudium an der École Polytechnique 1879: Abschluss der Promotion Beiträge zur Mathematik (algebraische Geometrie, algebraische Topologie Zahlentheorie), Physik (Optik, Thermodynamik, spezielle Relativitätstheorie) und Philosophie. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

12 Henri Poincaré * 29. April 1854 in Nancy 17. Juli 1912 in Paris 1873: Mathematikstudium an der École Polytechnique 1879: Abschluss der Promotion Beiträge zur Mathematik (algebraische Geometrie, algebraische Topologie Zahlentheorie), Physik (Optik, Thermodynamik, spezielle Relativitätstheorie) und Philosophie. Letzter Universalist des 20. Jahrhunderts? B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

13 Henri Poincaré * 29. April 1854 in Nancy 17. Juli 1912 in Paris 1873: Mathematikstudium an der École Polytechnique 1879: Abschluss der Promotion Beiträge zur Mathematik (algebraische Geometrie, algebraische Topologie Zahlentheorie), Physik (Optik, Thermodynamik, spezielle Relativitätstheorie) und Philosophie. Letzter Universalist des 20. Jahrhunderts? 1900: Erste Formulierung der Poincaré-Vermutung B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

14 Henri Poincaré * 29. April 1854 in Nancy 17. Juli 1912 in Paris 1873: Mathematikstudium an der École Polytechnique 1879: Abschluss der Promotion Beiträge zur Mathematik (algebraische Geometrie, algebraische Topologie Zahlentheorie), Physik (Optik, Thermodynamik, spezielle Relativitätstheorie) und Philosophie. Letzter Universalist des 20. Jahrhunderts? 1900: Erste Formulierung der Poincaré-Vermutung 1904: Poincaré findet Fehler in vorherigem Beweis B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

15 Henri Poincaré * 29. April 1854 in Nancy 17. Juli 1912 in Paris 1873: Mathematikstudium an der École Polytechnique 1879: Abschluss der Promotion Beiträge zur Mathematik (algebraische Geometrie, algebraische Topologie Zahlentheorie), Physik (Optik, Thermodynamik, spezielle Relativitätstheorie) und Philosophie. Letzter Universalist des 20. Jahrhunderts? 1900: Erste Formulierung der Poincaré-Vermutung 1904: Poincaré findet Fehler in vorherigem Beweis 2001: Poincaré-Vermutung wird zu einem der 7 Millennium-Probleme des Clay Mathematics Institute. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

16 Grigori Perelman B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

17 Grigori Perelman * 13. Juni 1966 in Leningrad (St. Petersburg) B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

18 Grigori Perelman * 13. Juni 1966 in Leningrad (St. Petersburg) 1982: Perfekte Punktzahl bei internationaler Mathematik-Olympiade und Zulassung zum Studium B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

19 Grigori Perelman * 13. Juni 1966 in Leningrad (St. Petersburg) 1982: Perfekte Punktzahl bei internationaler Mathematik-Olympiade und Zulassung zum Studium 1990: Promotion in Mathematik B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

20 Grigori Perelman * 13. Juni 1966 in Leningrad (St. Petersburg) 1982: Perfekte Punktzahl bei internationaler Mathematik-Olympiade und Zulassung zum Studium 1990: Promotion in Mathematik 2002: Vorläufiger Beweis der Poincaré-Vermutung B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

21 Grigori Perelman * 13. Juni 1966 in Leningrad (St. Petersburg) 1982: Perfekte Punktzahl bei internationaler Mathematik-Olympiade und Zulassung zum Studium 1990: Promotion in Mathematik 2002: Vorläufiger Beweis der Poincaré-Vermutung 2003: Weitere erläuternde Publikationen B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

22 Grigori Perelman * 13. Juni 1966 in Leningrad (St. Petersburg) 1982: Perfekte Punktzahl bei internationaler Mathematik-Olympiade und Zulassung zum Studium 1990: Promotion in Mathematik 2002: Vorläufiger Beweis der Poincaré-Vermutung 2003: Weitere erläuternde Publikationen 2006: Bestätigung der Korrektheit des Beweises durch andere Mathematiker B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

23 Grigori Perelman * 13. Juni 1966 in Leningrad (St. Petersburg) 1982: Perfekte Punktzahl bei internationaler Mathematik-Olympiade und Zulassung zum Studium 1990: Promotion in Mathematik 2002: Vorläufiger Beweis der Poincaré-Vermutung 2003: Weitere erläuternde Publikationen 2006: Bestätigung der Korrektheit des Beweises durch andere Mathematiker 2006: Perelman lehnt Fields-Medaille ab B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

24 Grigori Perelman * 13. Juni 1966 in Leningrad (St. Petersburg) 1982: Perfekte Punktzahl bei internationaler Mathematik-Olympiade und Zulassung zum Studium 1990: Promotion in Mathematik 2002: Vorläufiger Beweis der Poincaré-Vermutung 2003: Weitere erläuternde Publikationen 2006: Bestätigung der Korrektheit des Beweises durch andere Mathematiker 2006: Perelman lehnt Fields-Medaille ab 2010: Perelman lehnt Millenniumspreis ab B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

25 Date: Wed, 20 Nov :46: (MSK) From: Grigory Perelman Reply-To: Grigory Perelman Subject: Re: geometrization To: Vitali Kapovitch That s correct. Grisha On Tue, 19 Nov 2002, Vitali Kapovitch wrote: > Hi Grisha, > Sorry to bother you but a lot of people are asking me about your preprint > "The entropy formula for the Ricci...". Do I understand it correctly > that while you can not yet do all the steps in the Hamilton program > you can do enough so that using some collapsing results you can prove > geometrization? > Vitali > B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

26 Die Poincaré-Vermutung Moderne Formulierung Jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

27 Die Poincaré-Vermutung Moderne Formulierung Jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

28 Im Folgenden Bildquelle: abstrusegoose.com B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

29 Ganz langsam... Jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

30 1-Mannigfaltigkeit Definition Eine 1-Mannigfaltigkeit ist eine Menge von Punkten, die lokal wie der 1-dimensionale euklidische Raum (R) aussieht. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

31 1-Mannigfaltigkeit Definition Eine 1-Mannigfaltigkeit ist eine Menge von Punkten, die lokal wie der 1-dimensionale euklidische Raum (R) aussieht. lokal stellen wir uns aus der Sicht eines kleinen Käfers vor B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

32 1-Mannigfaltigkeit Definition Eine 1-Mannigfaltigkeit ist eine Menge von Punkten, die lokal wie der 1-dimensionale euklidische Raum (R) aussieht. lokal stellen wir uns aus der Sicht eines kleinen Käfers vor R ist die Zahlengerade: B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

33 1-Mannigfaltigkeit Definition Eine 1-Mannigfaltigkeit ist eine Menge von Punkten, die lokal wie der 1-dimensionale euklidische Raum (R) aussieht. lokal stellen wir uns aus der Sicht eines kleinen Käfers vor R ist die Zahlengerade: B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

34 1-Mannigfaltigkeit Definition Eine 1-Mannigfaltigkeit ist eine Menge von Punkten, die lokal wie der 1-dimensionale euklidische Raum (R) aussieht. lokal stellen wir uns aus der Sicht eines kleinen Käfers vor R ist die Zahlengerade: Aus Sicht eines Käfers:. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

35 Beispiel für eine 1-Mannigfaltigkeit Die 1-Sphäre B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

36 Beispiel für eine 1-Mannigfaltigkeit Die 1-Sphäre Achtung Die 1-Sphäre bezeichnet nur die Kreislinie. Der Käfer kann also nicht in das Innere des Kreises vordringen. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

37 2-Mannigfaltigkeit Definition Eine 2-Mannigfaltigkeit ist eine Menge von Punkten, die lokal wie der 2-dimensionale euklidische Raum (R 2 ) aussieht. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

38 2-Mannigfaltigkeit Definition Eine 2-Mannigfaltigkeit ist eine Menge von Punkten, die lokal wie der 2-dimensionale euklidische Raum (R 2 ) aussieht. R 2 ist ein kartesisches Koordinatensystem mit x-achse und y-achse: B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

39 2-Mannigfaltigkeit Definition Eine 2-Mannigfaltigkeit ist eine Menge von Punkten, die lokal wie der 2-dimensionale euklidische Raum (R 2 ) aussieht. R 2 ist ein kartesisches Koordinatensystem mit x-achse und y-achse: B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

40 2-Mannigfaltigkeit Definition Eine 2-Mannigfaltigkeit ist eine Menge von Punkten, die lokal wie der 2-dimensionale euklidische Raum (R 2 ) aussieht. R 2 ist ein kartesisches Koordinatensystem mit x-achse und y-achse: Aus Sicht des Käfers: B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

41 2-Mannigfaltigkeit Definition Eine 2-Mannigfaltigkeit ist eine Menge von Punkten, die lokal wie der 2-dimensionale euklidische Raum (R 2 ) aussieht. R 2 ist ein kartesisches Koordinatensystem mit x-achse und y-achse: Aus Sicht des Käfers: B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

42 Beispiel für eine 2-Mannigfaltigkeit Die 2-Sphäre Bildquelle: Wikipedia B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

43 Beispiel für eine 2-Mannigfaltigkeit Die 2-Sphäre Achtung Die 2-Sphäre bezeichnet nur die Kugeloberfläche. Der Käfer kann also nicht in das Innere der Kugel vordringen. Bildquelle: Wikipedia B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

44 3-Mannigfaltigkeit Definition Eine 3-Mannigfaltigkeit ist eine Menge von Punkten, die lokal wie der 3-dimensionale euklidische Raum (R 3 ) aussieht. Bildquelle: Frédéric Michel B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

45 3-Mannigfaltigkeit Definition Eine 3-Mannigfaltigkeit ist eine Menge von Punkten, die lokal wie der 3-dimensionale euklidische Raum (R 3 ) aussieht. R 3 ist ein kartesisches Koordinatensystem mit x-achse, y-achse und z-achse: Bildquelle: Frédéric Michel B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

46 3-Mannigfaltigkeit Definition Eine 3-Mannigfaltigkeit ist eine Menge von Punkten, die lokal wie der 3-dimensionale euklidische Raum (R 3 ) aussieht. R 3 ist ein kartesisches Koordinatensystem mit x-achse, y-achse und z-achse: Bildquelle: Frédéric Michel B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

47 3-Mannigfaltigkeit Definition Eine 3-Mannigfaltigkeit ist eine Menge von Punkten, die lokal wie der 3-dimensionale euklidische Raum (R 3 ) aussieht. R 3 ist ein kartesisches Koordinatensystem mit x-achse, y-achse und z-achse: Aus Sicht des Käfers unserer Sicht: Bildquelle: Frédéric Michel B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

48 3-Mannigfaltigkeit Definition Eine 3-Mannigfaltigkeit ist eine Menge von Punkten, die lokal wie der 3-dimensionale euklidische Raum (R 3 ) aussieht. R 3 ist ein kartesisches Koordinatensystem mit x-achse, y-achse und z-achse: Aus Sicht des Käfers unserer Sicht: Bildquelle: Frédéric Michel B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

49 Beispiele für 3-Mannigfaltigkeiten Unser Universum ist lokal 3-dimensional. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

50 Beispiele für 3-Mannigfaltigkeiten Unser Universum ist lokal 3-dimensional. Ist unser Universum eine 3-Mannigfaltigkeit? B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

51 Beispiele für 3-Mannigfaltigkeiten Unser Universum ist lokal 3-dimensional. Ist unser Universum eine 3-Mannigfaltigkeit? Gegenwärtige Annahme in Astrophysik: Ja! B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

52 Beispiele für 3-Mannigfaltigkeiten Unser Universum ist lokal 3-dimensional. Ist unser Universum eine 3-Mannigfaltigkeit? Gegenwärtige Annahme in Astrophysik: Ja! Klassischeres Beispiel für 3-Mannigfaltigkeit: Die 3-Sphäre. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

53 Beispiele für 3-Mannigfaltigkeiten Unser Universum ist lokal 3-dimensional. Ist unser Universum eine 3-Mannigfaltigkeit? Gegenwärtige Annahme in Astrophysik: Ja! Klassischeres Beispiel für 3-Mannigfaltigkeit: Die 3-Sphäre. 3-Sphäre ist die höher-dimensionale Verallgemeinerung einer Kugel. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

54 Beispiele für 3-Mannigfaltigkeiten Unser Universum ist lokal 3-dimensional. Ist unser Universum eine 3-Mannigfaltigkeit? Gegenwärtige Annahme in Astrophysik: Ja! Klassischeres Beispiel für 3-Mannigfaltigkeit: Die 3-Sphäre. 3-Sphäre ist die höher-dimensionale Verallgemeinerung einer Kugel. Aber nicht mehr zeichenbar... B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

55 Beispiele für 3-Mannigfaltigkeiten Unser Universum ist lokal 3-dimensional. Ist unser Universum eine 3-Mannigfaltigkeit? Gegenwärtige Annahme in Astrophysik: Ja! Klassischeres Beispiel für 3-Mannigfaltigkeit: Die 3-Sphäre. 3-Sphäre ist die höher-dimensionale Verallgemeinerung einer Kugel. Aber nicht mehr zeichenbar...??? B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

56 Wie stellen sich Mathematiker die 3-Sphäre vor? Trick: Beschreibung durch Koordinaten! Die 1-Sphäre enthält alle Punkte (x, y) mit x 2 + y 2 = 1. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

57 Wie stellen sich Mathematiker die 3-Sphäre vor? Trick: Beschreibung durch Koordinaten! Die 1-Sphäre enthält alle Punkte (x, y) mit x 2 + y 2 = 1. Die 2-Sphäre enthält alle Punkte (x, y, z) mit x 2 + y 2 + z 2 = 1. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

58 Wie stellen sich Mathematiker die 3-Sphäre vor? Trick: Beschreibung durch Koordinaten! Die 1-Sphäre enthält alle Punkte (x, y) mit x 2 + y 2 = 1. Die 2-Sphäre enthält alle Punkte (x, y, z) mit x 2 + y 2 + z 2 = 1. Die 3-Sphäre enthält alle Punkte (x, y, z, w) mit x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = 1. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

59 Zusammenfassung bisher B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

60 Zusammenfassung bisher Die 1-Sphäre ist eine 1-Mannigfaltigkeit, die im 2-dimensionalen Raum lebt. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

61 Zusammenfassung bisher Die 1-Sphäre ist eine 1-Mannigfaltigkeit, die im 2-dimensionalen Raum lebt. Die 2-Sphäre ist eine 2-Mannigfaltigkeit, die im 3-dimensionalen Raum lebt. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

62 Zusammenfassung bisher Die 1-Sphäre ist eine 1-Mannigfaltigkeit, die im 2-dimensionalen Raum lebt. Die 2-Sphäre ist eine 2-Mannigfaltigkeit, die im 3-dimensionalen Raum lebt. Die 3-Sphäre ist eine 3-Mannigfaltigkeit, die im 4-dimensionalen Raum lebt. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

63 Zurück zur Vermutung Jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

64 Was bedeutet einfach zusammenhängend? Am Beispiel der 2-Sphäre B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

65 Was bedeutet einfach zusammenhängend? Am Beispiel der 2-Sphäre B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

66 Eine Mannigfaltigkeit, die nicht einfach zusammenhängend ist Der Torus ( Fahrradschlauch ) Die grünen Schleifen lassen sich auf einen Punkt zusammenziehen. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

67 Eine Mannigfaltigkeit, die nicht einfach zusammenhängend ist Der Torus ( Fahrradschlauch ) Die grünen Schleifen lassen sich auf einen Punkt zusammenziehen. Die rote Schleife kann nicht zu einem Punkt zusammengezogen werden. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

68 Und der Nutzen? B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

69 Und der Nutzen? Stellen wir uns vor, ein kleiner Käfer lebt auf einem Torus. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

70 Und der Nutzen? Stellen wir uns vor, ein kleiner Käfer lebt auf einem Torus. Kann der Käfer herausfinden, dass er nicht auf einer Sphäre lebt? B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

71 Und der Nutzen? Stellen wir uns vor, ein kleiner Käfer lebt auf einem Torus. Kann der Käfer herausfinden, dass er nicht auf einer Sphäre lebt? Selbst wenn er das Loch in der Mitte nicht sehen kann???? B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

72 Und der Nutzen? Stellen wir uns vor, ein kleiner Käfer lebt auf einem Torus. Kann der Käfer herausfinden, dass er nicht auf einer Sphäre lebt? Selbst wenn er das Loch in der Mitte nicht sehen kann? Ja! Denn der Käfer kann überprüfen, ob seine Welt einfach zusammenhängend ist.??? B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

73 Und der Nutzen? Stellen wir uns vor, ein kleiner Käfer lebt auf einem Torus. Kann der Käfer herausfinden, dass er nicht auf einer Sphäre lebt? Selbst wenn er das Loch in der Mitte nicht sehen kann? Ja! Denn der Käfer kann überprüfen, ob seine Welt einfach zusammenhängend ist. Da der Torus nicht einfach zusammenhängend ist, weiß der Käfer, dass er nicht auf einer Sphäre lebt!!!! B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

74 Zurück zur Vermutung Jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

75 Zurück zur Vermutung Jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre. Eine kompakte Mannigfaltigkeit dehnt sich nicht unendlich weit aus. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

76 Zurück zur Vermutung Jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre. Eine kompakte Mannigfaltigkeit dehnt sich nicht unendlich weit aus. Eine Mannigfaltigkeit ohne Rand hat keine Kante, an der die Mannigfaltigkeit aufhört. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

77 Zurück zur Vermutung Jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre. Eine kompakte Mannigfaltigkeit dehnt sich nicht unendlich weit aus. Eine Mannigfaltigkeit ohne Rand hat keine Kante, an der die Mannigfaltigkeit aufhört. Kurz gesagt: Geschlossen = kompakt + ohne Rand B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

78 Beispiele! Die {1, 2, 3}-Sphäre sowie der Torus sind kompakt und ohne Rand, also geschlossen. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

79 Beispiele! Die {1, 2, 3}-Sphäre sowie der Torus sind kompakt und ohne Rand, also geschlossen. Wenn wir zur {1, 2, 3}-Sphäre noch die inneren Punkte dazunehmen, so erhalten wir eine Mannigfaltigkeit mit Rand.? B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

80 Beispiele! Die {1, 2, 3}-Sphäre sowie der Torus sind kompakt und ohne Rand, also geschlossen. Wenn wir zur {1, 2, 3}-Sphäre noch die inneren Punkte dazunehmen, so erhalten wir eine Mannigfaltigkeit mit Rand. R, R 2, R 3 sind keine kompakten Mannigfaltigkeiten, da sie sich unendlich weit ausdehnen.? B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

81 Zurück zur Vermutung Jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

82 Zurück zur Vermutung Jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre. Griechisch: homöo- = gleichartig ; morph = Gestalt B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

83 Zurück zur Vermutung Jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre. Griechisch: homöo- = gleichartig ; morph = Gestalt Zwei Objekte sind homöomorph, wenn sie durch Dehnen, Stauchen, Verbiegen, Verzerren in einander überführt werden können. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

84 Zurück zur Vermutung Jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre. Griechisch: homöo- = gleichartig ; morph = Gestalt Zwei Objekte sind homöomorph, wenn sie durch Dehnen, Stauchen, Verbiegen, Verzerren in einander überführt werden können. Es ist nicht erlaubt, die Objekte zu zerschneiden. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

85 Beispiel Topologen sind Menschen, die einen Donut nicht von einer Kaffeetasse unterscheiden können. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

86 Beispiel Topologen sind Menschen, die einen Donut nicht von einer Kaffeetasse unterscheiden können. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

87 Beispiel Topologen sind Menschen, die einen Donut nicht von einer Kaffeetasse unterscheiden können. Vorstellung: B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

88 Beispiel Topologen sind Menschen, die einen Donut nicht von einer Kaffeetasse unterscheiden können. Vorstellung: B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

89 Beispiel Topologen sind Menschen, die einen Donut nicht von einer Kaffeetasse unterscheiden können. Vorstellung: B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

90 Beispiel Topologen sind Menschen, die einen Donut nicht von einer Kaffeetasse unterscheiden können. Vorstellung: B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

91 Beispiel Topologen sind Menschen, die einen Donut nicht von einer Kaffeetasse unterscheiden können. Vorstellung: B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

92 Beispiel Topologen sind Menschen, die einen Donut nicht von einer Kaffeetasse unterscheiden können. Vorstellung: B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

93 Beispiel Topologen sind Menschen, die einen Donut nicht von einer Kaffeetasse unterscheiden können. Vorstellung: B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

94 Beispiel Topologen sind Menschen, die einen Donut nicht von einer Kaffeetasse unterscheiden können. Vorstellung: B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

95 Am Ziel! Jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

96 Am Ziel! Jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre. Mit anderen Worten: Angenommen, wir haben eine Mannigfaltigkeit. Wenn diese... B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

97 Am Ziel! Jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre. Mit anderen Worten: Angenommen, wir haben eine Mannigfaltigkeit. Wenn diese... einfach zusammenhängend B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

98 Am Ziel! Jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre. Mit anderen Worten: Angenommen, wir haben eine Mannigfaltigkeit. Wenn diese... einfach zusammenhängend geschlossen B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

99 Am Ziel! Jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre. Mit anderen Worten: Angenommen, wir haben eine Mannigfaltigkeit. Wenn diese... einfach zusammenhängend geschlossen 3-dimensional ist B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

100 Am Ziel! Jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre. Mit anderen Worten: Angenommen, wir haben eine Mannigfaltigkeit. Wenn diese... einfach zusammenhängend geschlossen 3-dimensional ist... dann muss es sich um die 3-Sphäre handeln (egal, wie kompliziert sie aussieht oder beschrieben wurde)! B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

101 Wozu ist es gut? B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

102 Wozu ist es gut? Gegenwärtige Annahme in Astrophysik: Das Universum ist eine 3-Mannigfaltigkeit. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

103 Wozu ist es gut? Gegenwärtige Annahme in Astrophysik: Das Universum ist eine 3-Mannigfaltigkeit. Noch ungeklärt: Ist das Universum geschlossen? B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

104 Wozu ist es gut? Gegenwärtige Annahme in Astrophysik: Das Universum ist eine 3-Mannigfaltigkeit. Noch ungeklärt: Ist das Universum geschlossen? Falls ja, so macht die Poincaré-Vermutung eine Aussage über die Struktur unseres Universums! B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

105 Wozu ist es gut? Gegenwärtige Annahme in Astrophysik: Das Universum ist eine 3-Mannigfaltigkeit. Noch ungeklärt: Ist das Universum geschlossen? Falls ja, so macht die Poincaré-Vermutung eine Aussage über die Struktur unseres Universums! Müssen nur noch klären, ob das Universum einfach zusammenhängend ist. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

106 Wozu ist es gut? Gegenwärtige Annahme in Astrophysik: Das Universum ist eine 3-Mannigfaltigkeit. Noch ungeklärt: Ist das Universum geschlossen? Falls ja, so macht die Poincaré-Vermutung eine Aussage über die Struktur unseres Universums! Müssen nur noch klären, ob das Universum einfach zusammenhängend ist. Falls ja, so leben wir in einer 3-Sphäre! B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

107 Weitere Konsequenzen B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

108 Weitere Konsequenzen Perelman hat beiläufig große Gebiete der Mathematik revolutioniert. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

109 Weitere Konsequenzen Perelman hat beiläufig große Gebiete der Mathematik revolutioniert. Seine Arbeit setzt neue Impulse für die Forschung der nächsten Jahrzehnte! B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

110 Weitere Konsequenzen Perelman hat beiläufig große Gebiete der Mathematik revolutioniert. Seine Arbeit setzt neue Impulse für die Forschung der nächsten Jahrzehnte! Physiker haben Poincaré-Vermutung für 2 Dimensionen für String-Theorie und allgemeine Relativitätstheorie genutzt. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

111 Weitere Konsequenzen Perelman hat beiläufig große Gebiete der Mathematik revolutioniert. Seine Arbeit setzt neue Impulse für die Forschung der nächsten Jahrzehnte! Physiker haben Poincaré-Vermutung für 2 Dimensionen für String-Theorie und allgemeine Relativitätstheorie genutzt. Als Resultat haben wir Technologien wie GPS, Handys, Raumsonden... B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

112 Weitere Konsequenzen Perelman hat beiläufig große Gebiete der Mathematik revolutioniert. Seine Arbeit setzt neue Impulse für die Forschung der nächsten Jahrzehnte! Physiker haben Poincaré-Vermutung für 2 Dimensionen für String-Theorie und allgemeine Relativitätstheorie genutzt. Als Resultat haben wir Technologien wie GPS, Handys, Raumsonden... Was wird sich also noch alles aus der Poincaré-Vermutung für 3 Dimensionen ergeben? B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

113 Zum Schluss Wir müssen wissen. Wir werden wissen. David Hilbert B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

114 Lust auf mehr? Donal O Shea. Poincarés Vermutung: Die Geschichte eines mathematischen Abenteuers, ISBN George G. Szpiro. Das Poincaré-Abenteuer: Ein mathematisches Welträtsel wird gelöst, ISBN Tina S. Chang. Perelman s song, Math Horizons, Vol. 15, No. 3, S Jeff Weeks. B. Rieck (CoVis) Die Poincaré-Vermutung 3. September / 30

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