Einführung in Maple. Kap. 2: Graphik mit Maple. Graphik mit Maple. Stand Januar 2015 (Version 3.0) - F.Wünsch
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- Sabine Ziegler
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1 Einführung in Maple Stand Januar 2015 (Version 3.0) - F.Wünsch Dieses Skript basiert auf Kursen von Julian Berwanger Martin Decker Thomas Pruschke Joachim Keller und Harald Dobler Florian Chmela und Roland Winkler. Kap. 1: Grundlagen Kap. 2: Graphik mit Maple Kap. 3: Lösung von Differentialgleichungen mit Maple Kap. 4: Programmierung und Prozeduren Kap. 5: Lineare Algebra Graphik mit Maple Noch paar einfache Plots Ein paar Plots hatten wir ja schon. Maple ist sehr reich an Darstellungsmöglichkeiten. Hier zunächst noch ein paar einfache in den anschließenden Abschnitten zeigen wir auch ziemlich komplizierte. Auch mehrere Funktionen pro Plot sind möglich. Dazu muss man als Argument eine Menge {f1f2...} oder eine Liste [f1f2...] mit den Funktionen übergeben: > plot([exp(-x)sin(x)cos(x)1/(1+x)]x=0..4*picolor=[red bluegreenblack]); Plotten kann man eine Funktion f in der Form f(x) x=a..b. Verschiedene Darstellungsstile und Auflösungen sind beim Plot-Befehl möglich und können unter?plot eingesehen werden: > restart; > plot(sin(x)x=0..4*pistyle=point symbol=circlecolor=rednumpoints=100); Page 1 Auch Parameterdarstellungen lassen sich plotten: 1. Funktion Abszisse (horizontal). 2. Funktion Ordinate (vertikal) auch der Bereich muss mit in den eckigen Klammern stehen: > plot([sin(2*t)cos(t)t=0..200*pi]scaling=constrainednum Page 2
2 points=1000); schon: durch Anklicken der Figur erscheint eine Menue-Leiste mit der man die Figur drehen und mit Achsen versehen kann. Bei manchen Rechnern kann man die Graphik wärend des Drehens nicht erkennen. Man sieht nur eine Box um den jeweilen Bereich. Dies hängt mit der Leistung und Speicherausstattung des Computers zusammen. Darstellung von (externen) Daten Eine Linie hatten wir ja schon gezeichnet. Wie kann man nun Daten (z.b. von einer externen Berechnung Experiment etc.) graphisch darstellen? Dazu muss man dem plot-befehl eine geeignete Liste übergeben. Die Form dieser Liste ist [[x1y1][x2y2]...[xnyn]] (also ein listlist - Objekt). Man beachte die eckigen Klammern um die Wertepaare. Beispiel: > restart; > a:=[00][11][21][30]; a := [ 0 0 ] [ 1 1 ] [ 2 1 ] [ 3 0 ] > plot([a]symbol=circle); 'constrained' bedeutet dass für x und y die gleiche Skala genommen wird. Und nun noch ein 3D-Bild > plot3d(x^2-y^2x=-1..1y=-1..1axes=boxed scaling=constrained); Durch die zusätzliche Klammer [a] entsteht aus der Folge [x1y1] [x2y2]... von Punkten mit je zwei Koordinaten eine Liste die Plot dann durch gerade Linien verbindet. Dadurch werden Funktionen von zwei Variablen 3-dimensional dargestellt. Wir kennen es ja Page 3 Wem die Herstellung solch einer Liste von Hand zu dumm ist kann das auch durch ein Programm erledigen. Eine einfache Form davon ist wieder der seq-befehl eine Art do-schleife. Die einfachste From ist seq(f(i)i=n..m): > seq(x*ii=1..10); x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x oder > a:=seq([evalf(pi*i/50.0)sin(evalf(pi*i/50.0))]i=0..100): Page 4
3 > a[1];a[2]; [ 0 0 ] [ ] Man beachte die eckigen Klammern innerhalb der seq-anweisung wodurch jeweils korrekt ein Wertepaar definiert wird. Diese Liste von Wertepaaren lässt sich jetzt plotten: > plot([a]); Oder erzeuge eine Folge von Zufallszahlen: > data:=seq([nrand(100)()]n=1..100); data := [ 1 97 ] [ 2 53 ] [ 3 75 ] [ 4 28 ] [ 5 48 ] [ 6 94 ] [ 7 53 ] [ 8 49 ] [ 9 75 ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 18 9] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 38 7 ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 43 80] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 57 0 ] [ ] [ ] [ 60 66] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 78 2 ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 85 70] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 92 4 ] [ ] [ 94 25] [ ] [ 96 8 ] [ ] [ ] [ ] [ ] > plot([data]style=pointsymbol=circle); Page 5 Jetzt wollen wir mal echte Messdaten plotten. Die Daten stehen in einer ASCII-Datei in der Form Die Daten sind wie folgt abgespeichert: Zuerst ist der jeweilige x-wert abgespeichert dann ein Wert welche hier nicht interessieren soll und dann ist der y-wert abgespeichert. Die Textdatei besteht also aus einer Auflistung von Float-Zahlenwerten wobei immer 3 aufeinanderfolgende zusammengehören. Um die benötigten Daten nun paarweise herauszulösen geht man am Besten so vor: > restart; > fd:=fopen( "C:\\Users\\Julian's\\Dropbox\\Universitäre Materialien\\Lehre\\Maple-Kurs\\Vorlesung Frühjahr 2015\\8_Frequency_7.20GHz_I10_mA.dat" READ); # Datei öffnen und lediglich lesen; Deshalb die option "READ"(siehe Hilfe "?fopen"). Vorsicht! Maskierung des Pfades mit "\\" := fd 0 Page 6
4 > data:=readdata(fdfloat3): data[1]; # lese Floatzahlen in oben erzeugten Feld "fd" und erzeuge daraus eine Liste welche wiederum aus Listen mit drei Einträgen besteht. [ ] > fclose(fd); # schließe das erzeugte Feld "fd" damit der Speicher nicht unnötig belegt wird > nops(data); # Maple-Hilfe: "the number of operands of an expression" 750 > kurve:=seq([data[i][1]data[i][3]]i=1..nops(data)): Animationen und implizite Abbildungen animate (create an animation of 2d plots of functions) Wir hatten schon gesehen: besonders hübsch ist animate(3d) mit der man bewegte Grafiken herstellen kann. Hiier ein einfaches Beispiel: > restart; > with(plots): #für anspruchsvollere Plot-Strukturen muss man zunächst immer das Paket "plots" laden > animate(sin(x-t)x=0..20t=0..8*pi numpoints=100frames=50); # 50 Einzelbilder # baue xy-paare aus dem Datenfeld > plot([kurve]style=point); # Plot der Liste Es werden eine Reihe von Bildern (frames) durch den zweiten Parameter t hergestellt die dann nacheinander gezeigt werden. Wenn die Zahl groß genug ist entsteht ein kontinuierlicher Ablauf. Bild anwählen nicht vergessen dann Animation starten in der Menuleiste. Ein weiteres Beispiel ist: > animate(x^2*cos(t) x=-1..1 t=0..8*pi color=blue frames=500); Es gibt zahlreiche weitere Ein-/Ausgabebefehle in Maple. Maple kann mit save und read Maple-Text in Dateien auslagern z.b. Funktionsdefinitionen. Man kann mit entsprechenden Befehlen Daten und Texte in unterschiedlichen Formaten schreiben und lesen. Nicht zuletzt kann man Maple-Output (Formeln!) als LaTeX oder in C- oder Fortran-Syntax abspeichern. Benötigt man hier weitere Hilfe ist die Maple-Hilfe oder auch Google ein gutes Nachschlagewerk. Page 7 Page 8
5 > implicitplot( x^2+y^2=1 x= y= scaling=constrained); animatecurve (create an animation of the drawing of 2d plots) Man kann auch eine Kurve durchlaufen lassen (nützlich für die zeitgerechte Darstellung einer Bahnkurve): > animatecurve(sin(x) x=-pi..piframes=100color=red); So ist's wohl nicht sinnvoll! Maple nimmt automatisch immer eine begrenzte Anzahl von Stützstellen im angegebenen Definitionsbereich. Entweder erhöht man die (mit der Option numpoints=xxx z.b.) oder nimmt besser einen sinnvollen Definitionsbereich hier -1..1: > implicitplot(x^2+y^2=1x=-1..1y=-1..1 scaling=constrained); implicitplot (two dimensional implicit plotting) Eine ebenfalls recht nützliche Prozedur stellt implicitplot dar wir hatten sie ja schon einmal. Hier nochmal an Hand einer simplen Kreisgleichung: Page 9 Page 10
6 f := x = 9 y 2 g := x 2 y 2 = 1 In diesem Beispiel lassen sich zwar die Gleichungen nach y auflösen. Zum Zeichnen ist das aber nicht notwendig. Im Beispiel weiter oben hatten wir beide Kurven zu einer Menge zusammengefasst und auf einmal gezeichnet. Jetzt erzeugen wir zwei Plot-Strukturen und legen sie in Variablen ab. Am Ende verwenden wir dann den Befehl display - Display a list of plot structures: > b:=implicitplot(gx=-4..4y=-4..4color=blue): > a:=implicitplot(fx=-4..4y=-4..4color=red): > display(abscaling=constrained); Die Option view definiert übrigens wie groß der dargestellte Bereich ist (unabhängig vom Rechnen): > implicitplot(x^2+y^2=1x=-1..1y=-1..1 scaling=constrained view=[ ]); Im Folgenden seien nun zwei Kurven durch implizite Gleichungen gegeben. > f:=x^2+2/y^2=9; g:=x^2-y^2=1; Page 11 Mit display lassen sich die vorher generierten Plot-Strukturen (zusammen) darstellen durchaus aus unterschiedliche wie z.b. einen impliziten und einen normalen Plot. Die Option scaling=constrained steht am besten im Display-Befehl man könnte sie auch in jeden Plot-Befehl hineinschreiben. Jetzt wissen wir ungefähr wo die Schnittpunkte liegen und können sie exakt berechnen lassen: > fsolve({fg}{x=-1y=-0.5}); { y = x = } > fsolve({fg}{x=-1y=0.5}); { y = x = } > fsolve({fg}{x=1y=-0.5}); { x = y = } Ein anderes Beispiel: Nehmen wir einmal an eine Rechnung hätte uns das Ergebnis Page 12
7 > lsg:=cos(pi*x)+cos(pi*y)-1/2*cos(pi*x)*cos(pi*y)=c; 1 lsg := cos( π x ) + cos( π y ) cos( π x ) cos( π y) = c 2 mit einem reellen Parameter c beschert. Was wir wissen wollen ist aber das Verhalten von y( x ). Nun ist es zwar hier im Prinzip möglich nach y( x ) aufzulösen aber vielfach geht das nicht. Mit implicitplot kann man sich dennoch recht schnell einen Überblick über die Lösung verschaffen z.b. für c = 0: > implicitplot(subs(c=0lsg)x =-1..1y =-1..1 scaling=constrained); Diese Sequenz von plots kann man jetzt mittels display anzeigen: > display([a]); Will man das für mehrere Werte von c machen und in einem gemeinsamen plot darstellen dann kann man das zwar im Prinzip über die bekannte Methode erreichen (mehrere Funktionsaufrufe in geschweiften Klammern) aber oftmals ist auch das zu mühselig. Einen Ausweg bietet hier wieder die Funktion display und zwar folgendermaßen: Zunächst verschafft man sich eine Sequenz von Plots (diesen Befehl sollte man unbedingt mit einem Doppelpunkt abschließen sonst schreibt einem Maple den ewig langen Inhalt der Plotstrukturen auf den Bildschirm): > a:=seq(implicitplot(subs(c=i/10lsg) x =-1..1 y =-1..1 scaling=constrained view=[ ]) i= ): > a[1]; # das ist der erste Frame! Eine zusätzliche Spielerei erhält man mit der Option insequence=true im display -Befehl: > display([a]insequence=true); Page 13 Page 14
8 Auf diese Weise lassen sich also Animationen erzeugen! Bild anklicken mit der rechten Maustaste Animation starten. Dreidimensionale Darstellungen spacecurve (plotting of 3d space curves) Bekannt ist das bereits angesprochene plot3d das auch außerhalb des plots-paket zur Verfügung steht. Eine weitere Möglichkeit 3d-Plots zu erzeugen bietet spacecurve aus dem plots - Paket. Oftmals hat man nicht eine Fläche im Raum vorliegen sondern eine Kurve die man darstellen möchte. Das geht mit spacecurve: > restart;with(plots): spacecurve([sin(t)cos(t)t/20]t=0..12*pi numpoints=1000axes=boxedscaling=constrained); surfdata (create a 3-d surface plotting from data) Oftmals ist es so dass man z.b. aus Experimenten numerischen Berechnungen oder Umfragen einen Satz von Daten erhält die von zwei Variablen abhängen. Im eindimensionalen Fall konnte man eine entsprechende Liste einfach an plot übergeben. Im Falle von Flächen ist das nicht so ohne Weiteres möglich. Hierzu gibt es die surfdata-prozedur. Zur Demonstration arbeiten wir an dieser Stelle nicht mit Messdaten sondern mit simplen Sinus- und Cosinusfunktionen. Die könnte man natürlich ganz 'klassisch' plotten mit > plot3d({cos((x+y)/5)sin((x+y)/5)}x=-5..5y=-5..5); Page 15 Page 16
9 > sindata := [seq([ seq([ijevalf(sin((i+j)/5))] i=-5..5)] j=-5..5)]: Analog zum 2-dimensionalen Fall wäre Folgendes naheliegend: > plot3d( {sindatacosdata} axes=frame labels=[xyz] ); Error (in plot3d) first argument must be either in standard or parametric form Das funktioniert wie bereits erwähnt nicht. Die korrekte Version ist > surfdata( {sindatacosdata} axes=frame); Jetzt wollen wir (zwei) dreidimensionale Datensätze darstellen. Wir basteln uns die Demodaten erst mal aus den Sinus- und Cosinus-Funktionen: cosdata := [ seq([ seq([ ijevalf(cos((i+j)/5)) ] i=-5..5) ] j=-5..5) ]: > cosdata[113]; Dies sind also im Prinzip 3dimensionale Arrays: > cosdata[111];cosdata[112];cosdata[113]; # die xyz - Werte > cosdata[1]; # ein Tupel [xyz] [ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ] Page 17 implicitplot3d (three-dimensional implicit plotting) Auch implizit gegebene Flächen kann man graphisch darstellen. Dazu dient der Befehl implicitplot3d. > f := x^3+y^3+z^3+1 = (x+y+z+1)^3; f := x 3 + y 3 + z = ( x + y + z + 1 ) 3 > implicitplot3d(f x=-2..2y=-2..2z=-2..2 grid=[ ] # wieviele Stützstellen? scaling=constrained axes=boxed style=patchnogridcolor=redlightmodel=light1 ); Page 18
10 Die Verwendung anderer Koordinaten erfolgt mit der Option coords hier mit spärischen Koordinaten r φ θ > implicitplot3d(r=1 r=0..1.2phi=0..2*pitheta=0..pi axes=boxed coords=spherical grid=[252525]scaling=constrained); Page 19
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