Partikelmethoden. - Eine Übersicht - DEM-Simulation eines Schneidprozesses (Quelle: Lehrstuhl für Felsmechanik, TU BAF)

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1 Technische Universität Bergakademie Freiberg Fakultät für Geowiss., Geotechnik und Bergbau Institut für Geotechnik Lehrstuhl für Felsmechanik Partikelmethoden - Eine Übersicht - DEM-Simulation eines Schneidprozesses (Quelle: Lehrstuhl für Felsmechanik, TU BAF) Dipl.-Geophys. Christian Jakob, Prof. Dr.-Ing. habil. Heinz Konietzky Freiberg, den 23. Oktober 2012

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Diskrete Elemente Kontaktdetektion Kontaktgesetze Physik DEM-Partikel Zeitintegration Komplexere Ansätze Beispiele Smoothed Particles Interpolation Physik SPH-Partikel Beispiele Lattice Boltzmann Boltzmann Gleichung Zeitrelaxation nach Bhatnagar, Gross und Krook Beispiele Molekulardynamik Schrödingergleichung Potentiale Physik MD-Partikel Beispiele Literatur 22 1

3 1 Einleitung Was sind Partikelmethoden? Numerische Berechnungsverfahren lassen sich prinzipiell einteilen in: - Explizite und implizite Verfahren bzgl. der zeitlichen Diskretisierung - Kontinuumsmechanische (netzbehaftete) und diskontinuumsmechanische (netzfreie) Verfahren bzgl. der räumlichen Diskretisierung Alle Verfahren können unabhänging von der räumlichen Diskretisierung als implizite oder explizite Berechnung ausgeführt werden. Typische Vertreter der netzbehafteten Verfahren sind die FEM (Finite-Elemente-Verfahren), die REM (Rand- Elemente-Verfahren) oder auch die VEM (Volumen-Elemente-Verfahren). Typische Vertreter der netzfreien Methoden sind die DEM (Diskrete-Elemente- Methode), die SPH (Smooth-Particle-Hydrodynamics) oder auch die MD (Molecular-Dynamics). Während bei der klassischen Kontinuumsmechanik der Zusammenhalt des Körpers (Kontinuum) erhalten bleibt (Nachbarschaftsbeziehungen bleiben erhalten bzw. werden vordefiniert), erlaubt die Diskontinuumsmechanik die Betrachtung der Wechselwirkung mehrere einzelner Körper (Kontinua). Dafür benötigen diese Methoden einen automatischen Kontakt-Detektions-Algorithmus sowie entsprechende Kontaktstoffgesetze, die bei Wechselwirkung (physisch oder als Feldkraft über weitere Entfernungen) aktiv werden. Abbildung 1: Modellbeispiele für finite (links) und diskrete Elemente (rechts) (Quelle: Lehrstuhl für Felsmechanik, TU BAF) Wo finden Partikelmethoden Anwendung? - Simulation granularer Medien und Festgesteine (DEM) - Fluidsimulation (SPH, LBM) - Simulation von Molekülen und Nanopartikeln (MD) - Berechnungen in der Astrophysik (SPH) 2

4 2 Diskrete Elemente Die Diskrete-Element-Methode (DEM) ist eine Partikelmethode, die auf den Newton schen Bewegungsgesetzen basiert. Die Partikel können sich mit sechs Freiheitsgraden bewegen (drei für die Translation und drei für die Rotation). Die Partikel sind starr und somit nicht deformierbar. Prinzipiell können die Partikel jede beliebige geometrische Form haben, wobei die Kugelform numerisch am effizientesten ist. Wenn sich Partikel berühren wirken Kräfte, die vom Kontaktgesetz abhängig sind. Weiterhin können äußere Kräfte (z.b. Gravitation) auf die Partikel wirken. Während einer Modellrechnung können sich Kontakte bilden oder auflösen. Daher ist eine effiziente automatische Kontaktdetektierung eine der Kernkomponenten einer DEM-Software. Die Modellierung mit diskreten Elementen erfolgt in sechs Phasen: 1. Generierung der Partikel + Definition der Rand- und Anfangsbedingungen 2. Ermittlung der Kontakte (zw. Partikeln und zw. Partikel und Rand) 3. Berechnung der Kräfte F und der Momente M aller Partikel 4. Berechnung der Beschleunigungen ü und ω, der Geschwindigkeiten u und ω, und der Verschiebungen u und Rotation aller Partikel 5. Berechnung der neuen Positionen x aller Partikel 6. Punkt 2. bis 5. in jedem Zeitschritt t bis zum Abbruchkriterium wiederholen Pionierarbeit bei der Entwicklung von diskreten bzw. distinkten Elementen leistete hauptsächlich Peter A. Cundall, der in zahlreichen Publikationen die Methode immer weiter verbessert und erweitert hat. Seit 1995 ist die DEM-Software PFC (Particle Flow Code) der Firma Itasca auf dem Markt. Es lassen sich damit sowohl zweidimensionale (PFC2D), als auch dreidimensionale (PFC3D) Modelle rechnen. In der folgenden Beschreibung wird sich ausschließlich auf diese Software bezogen. 2.1 Kontaktdetektion Der Rechenaufwand zur Kontaktermittlung steigt quadratisch mit der Anzahl der Partikel im Modell. Daher ist es notwendig einen rechenzeitoptimierten Algorithmus für die DEM zu verwenden. Dabei werden im ersten Schritt alle nichtmöglichen Kontakte in einer Vorsortierung ausgeschlossen. Im zweiten Schritt wird dann genauer (und somit rechenintensiver) berechnet, ob die restlichen möglichen Kontakte wirklich vorhandene Kontakte sind. Bei wirklich vorhandenen Kontakten (engl. real contacts) wird das Kontaktgesetz angewendet, um die auf die Partikel wirkenden Kontaktkräfte zu berechnen (s. Abschnitt 2.2). Man unterscheidet bei der Vorsortierung, die mögliche von nicht-möglichen Kontakten trennt, in zellenbasierte Methoden und Methoden mit Verlet-Listen. Zellenbasierte Methoden teilen das Modell in kleinere Zellen auf, die parallel zu den Raumachsen sind (engl. axis-aligned bounding box). Je grösser eine Zelle ist, desto mehr mögliche Kontakte werden vorsortiert. Dadurch erhöht sich der Rechenaufwand. Je kleiner die Zellen sind, desto mehr Zellen müssen durchsucht 3

5 werden, wodurch ebenfalls mehr Rechenzeit benötigt wird. In den meisten DEM- Codes wird deshalb bei Initialisieren eines Modells die optimale Zellengröße durch ein heuristisches Verfahren abgeschätzt. Bei der Methode mit Verletlisten wird jedem Partikel ein Beobachtungsradius zugeordnet, in dem sich alle möglichen Kontaktpartner finden. r Abbildung 2: Zellenbasierte Methode (links) und Methode mit Verlet-Listen (rechts) 2.2 Kontaktgesetze Bei Kontakt zweier Partikel werden die wirkenden Kräfte nach einem Kontaktgesetz (auch Stoffgesetz genannt) berechnet. Kontaktgesetze werden aus verschiedenen Basiselementen zusammengebaut, die mit einem Schaltplan visualisiert werden können. Die Basiselemente sind dabei die Feder (engl. spring), der viskose Dämpfer (engl. dashpot) und der Reibungswiderstand (engl. frictional slider, frictional resistance oder auch shear slider). Im einem rein elastischen Gesetz wird die Kontaktkraft durch zwei Federn mit den Steifigkeiten k n (für die Normalrichtung) und k s (für die Scherrichtung) beschrieben (s. Abb. 3). Partikel 2 k n Partikel 1 Partikel 2 k s Partikel 1 Abbildung 3: Elastisches Kontaktgesetz Die Normalkontaktkraft F n ist beim linear-elastischen Kontaktgesetz das Produkt aus der konstanten Normalsteifigkeit k n und dem Überlappungsbetrag u n. F n = k n u n (1) Die aktuelle Scherkontaktkraft Fs neu ergibt sich aus der Summe der Scherkontaktkraft des vorhergehenden Zeitschritts Fs alt und F s. F neu s = F alt s + F s mit F s = k s u s (2) Beim nicht-linearen Hertz-Mindlin-Kontaktgesetz werden die Steifigkeiten k n und k s in Abhängigkeit von den Eingangsparametern Schermodul G und Poissonverhältnis ν, den Radien der Partikel R 1 und R 2 und dem Überlappungsbetrag u n 4

6 berechnet. ( ) G 2Rd un k n = mit R d = 2R 1R 2 (3) (1 ν) R 1 + R 2 ( ) 2 (3G 2 (1 ν)r d ) 1 3 k s = (F n ) 1 3 (4) 2 ν Jedes mechanische System verliert Energie (z.b. in Form von Wärme durch Reibung oder plastischer Verformung). Um den Energieverlust beim Kontakt von Partikeln im Modell zu berücksichtigen, wird im Kontaktgesetz ein Dämpfungselement parallel zur Feder geschaltet. Im Falle einer Scherung geht Energie aufgrund der Gleitreibung verloren. Daher wird im Kontaktgesetz zusätzlich ein Reibungswiderstand in Reihe geschaltet (s. Abb.4). Partikel 2 k n c n Partikel 2 µ c s Partikel 1 k s Partikel 1 Abbildung 4: Kontaktgesetz mit viskoser Dämpfung und Reibungswiderstand Die Dämpfung wirkt geschwindigkeitsproportional auf die Normalkontaktkraft F n, wodurch diese um den Anteil der viskosen Dämpfung c n u n ergänzt wird. F n = k n u n c n u n (5) Im gedämpften Fall setzt sich die zu aktualisierende Scherkontaktkraft F s aus k s u s und dem Anteil der viskosen Dämpfung c s u s zusammen. F s = k s u s c s u s (6) Dabei sind c n und c s die Normal- und Scherdämpfungskoeffizienten. c n (bzw. c s ) ist das Produkt aus dem Dämpfungsverhältnis β n (bzw. β s ) und der kritischen Dämpfungskonstante c krit n (bzw. c krit s ). Es gilt c n = β n c krit n = 2β n mkn, (7) wobei m die effektive Systemmasse ist. Die Berechnung für c s erfolgt analog. Das Gleitverhalten bei Scherbewegung wird durch den Reibungskoeffizienten µ beschrieben. µ ist definiert als das Verhältnis aus maximaler Scherkontaktkraft Fs max und Normalkontaktkraft und limitiert im Falle des Gleitens die Scherkontaktkraft auf Fs max = µ F n. (8) 5

7 2.3 Physik DEM-Partikel Im Folgenden wird sich aus Gründen der Übersichtlichkeit auf die Betrachtung eines Kontaktes zwischen zwei Partikeln beschränkt. Die verwendeten Bezeichnungen sind in Abb. 5 dargestellt. R1 R 2 n u n x 1 x x t c 2 d a Abbildung 5: Kontakt zweier Partikel im PFC-Modell Die Vektoren x 1 und x 2 sind die Ortsvektoren zu den Mittelpunkten der Partikel und n und t bezeichnen den Normal- bzw. Tangenteneinheitsvektor. Aus der in Abb. 5 gezeigten Geometrie ergeben sich folgende Zusammenhänge. d a = x 2 x 1 n = x 2 x 1 d a u n = R 1 + R 2 d a (9) Der Ortsvektor des Kontaktpunkts x c ergibt sich dann wie folgt. x c = x 1 + (R 1 1/2 u n ) n (10) Mit den Steifigkeiten k n und k s werden die Normal- und die Scherkomponente der Kontaktkraft F c ermittelt. Die Normalkomponente wird direkt bei Kontaktbildung errechnet. Die Scherkomponente ist bei Kontaktbildung Null. Sie wird bei jedem Zeitschritt um F s vergrößert (bzw. verkleinert). F s = k s u s und F n = k n u n (11) Der Scherverschiebungsanteil bei jedem Zeitschritt u s wird am Ende des Abschnitts in Gl. (21) beschrieben. Die Kontaktkraft zwischen zwei Partikeln wird dann durch F c = F n n + F s t (12) bestimmt. Die Gesamtkraft F ( ˆ= F i ), die auf ein Partikel wirkt, setzt sich zusammen aus der Summe aller Kontaktkräfte durch die Nachbarpartikel und der Schwerkraft F g = m g. F = F c + F g (13) c 6

8 Die Gesamtkraft in i-richtung (i {1, 2, 3}) F i, die auf ein Partikel wirkt, wird nach dem zweiten Gesetz von Newton (Gesetz der Dynamik einer Masse) bestimmt. Sie berechnet sich durch Multiplikation der Masse m des Partikels mit der Summe seiner Beschleunigungen (ü i und g i ). Nach Umstellen der Gleichung (14) ergibt sich F i = m (ü i + g i ) (14) ü i = F i m g i. (15) Durch zweifache Integration nach der Zeit t wird die Geschwindigkeit u i und die Verschiebung u i bestimmt. u i = ü i dt und u i = u i dt (16) Für die Beschreibung der Rotationsbewegung wird der Vektor r c eingeführt. Er verbindet das Zentrum des Partikels mit dem Punkt, wo die Kontaktkraft F c am Partikel angreift. Das Drehmoment M ergibt sich somit aus folgender Beziehung. M = ( r c ) F c mit r c = x c x und x = x 1 (für Partikel 1) (17) c Das Drehmoment in i-richtung M i wird aus Multiplikation des Trägheitsmoments J mit der Winkelbeschleunigung ω i bestimmt. M i = J ω i (18) Da alle Partikel Kugeln sind, ist das Trägheitsmoment gegeben durch J = 2/5 mr 2. Durch Umstellen und Integration nach t ergibt sich die Winkelgeschwindigkeit ω i des Partikels. 5Mi ω i = dt (19) 2mR2 Mit den ermittelten Geschwindigkeiten v 1 ˆ= u i1 und v 2 ˆ= u i2 und den Winkelgeschwindigkeiten ω 1 und ω 2 wird nun die Relativgeschwindigkeit v rel errechnet. v rel = ( v 2 + ω 2 ( x c x 2 )) ( v 1 + ω 1 ( x c x 1 )) (20) Der Scherverschiebungsanteil bei jedem Zeitschritt u s aus Gl. (11) wird aus Multiplikation der Schergeschwindigkeit v s mit der Schrittweite t bestimmt. v s wiederum berechnet sich aus der Relativgeschwindigkeit v rel = v rel durch Subtrahieren der Normalgeschwindigkeit. u s = v s t mit v s = v rel v n und v n = v rel n (21) 7

9 2.4 Zeitintegration PFC berechnet die Geschwindigkeiten ẋ i und ω i zu den mittleren Zeitintervallen t ± n t/2 und die Werte für x i, ẍ i, ω i, F i und M i zu den primären Intervallen t ± n t. Die numerische Lösung der Integrationen aus Gl. (16) und (19) erfolgt über die zentralen Differenzenquotienten ü (t) i ω (t) i = 1 t = 1 t ( u (t+ t/2) i ( ω (t+ t/2) i ) u (t t/2) i ) ω (t t/2) i. Aus den Gleichungen (22), (15) und (18) werden die neuen Geschwindigkeiten zum Zeitpunkt t + t/2 ( ) u (t+ t/2) i = u (t t/2) F (t) i i + m + g i t und ω (t+ t/2) i = ω (t t/2) i + ( ) 5M (t) i t 2mR 2 und und die neuen Partikelpositionen zum Zeitpunkt t + t bestimmt. x (t+ t) i = x (t) i (22) (23) + u (t+ t/2) i t (24) Mit den neuen Positionen der Partikel werden, wieder bei Gl. (9) beginnend, die Kräfte und Verschiebungen für den nächsten Zeitschritt berechnet. Für eine vollständige numerische Beschreibung des Bewegungs- und Kontaktverhaltens wird auf das Handbuch Itasca (2008) verwiesen. 2.5 Komplexere Ansätze Die auf starren Kugeln basierenden Partikelansätze können in mehrfacher Hinsicht erweitert werden: Clumps können aus zwei oder mehreren Partikeln gebildet und damit komplexere Partikelformen erzeugt werden. Abbildung 6: Beispiele für clumps erzeugt durch sich überlappende Kugeln (Quelle: Lehrstuhl für Felsmechanik, TU BAF) 8

10 Bonds sind Bindungen mit denen die Partikel kohäsiv miteinander verbunden werden. Mehrere Partikel können so zu einem Korn (oder Cluster) verbunden werden, welches bei entsprechender Einwirkung entlang der kohäsiven Bindungen aufbrechen kann. Somit ist es möglich Festgesteine und auch Festkörperbrücken zwischen granularen Medien zu simulieren. Abbildung 7: Festkörper bestehend aus kugelförmigen Einzelpartikeln und verschiedenen größeren Partikeln, die aus mehreren Kugeln aufgebaut sind (Cluster) (Quelle: Lehrstuhl für Felsmechanik, TU BAF) Modellränder werden durch Flächen oder durch Partikel selbst definiert. Flächen können aus Vierecken bestehen, aber auch komplexere Geometrien (bestehend aus dreieckigen Teilflächen) haben. Partikel können als Berandung verwendet werden, indem man sie fixiert (Beschränkung der Freiheitsgrade) oder periodische Ränder definiert. Bei periodischen Rändern bilden Partikel, die die Berandung berühren die Masterpartikel. Diese generieren auf der gegenüberliegenden Seite der Berandung ein Slavepartikel. Dadurch stützt sich das Modell am Rand selbst. Abbildung 8: DEM-Modell mit verschiedenen Modellrändern, ebene Flächen (links) und periodische Ränder (rechts) 9

11 2.6 Beispiele Die DEM ermöglicht es einen Festkörper hinsichtlich seines Deformations-, Spannungs- und Festigkeitsverhalten inklusive Rissausbreitung zu untersuchen (s. Abb. 9). Abbildung 9: Eindringen eines Keils in einem Festkörper, bestehend aus Voronoi-Partikeln, mit Rissbildung (Quelle: Lehrstuhl für Felsmechanik, TU BAF) Durch bonds können Verkittungen zwischen Sandkörnern, wie sie beim Sandstein vorhanden sind, simuliert werden. Folgendes Beispiel zeigt die Probe (links) und die durch einen Scherbruch aufgelösten Bindungen (visualisiert durch graue Zylinder). Abbildung 10: Sandsteinprobe, Aufbau (links) und kohäsive Bindungen nach Scherbruch (rechts), (Quelle: Lehrstuhl für Felsmechanik, TU BAF) 10

12 Weitere Beispiele sind in folgender Tabelle aufgelistet. Anwendung Literaturhinweis Nukleartest te Kamp u. a. (1998) Mikromechanik Ton te Kamp und Konietzky (2002) ineinander greifende Geogitter Ermüdung bei Metalen Konietzky u. a. (2004)b Konietzky u. a. (2004)a Schneid-/Bohrprozess Lunow und Konietzky (2009) Deckwerk/Uferböschung Herbst u. a. (2010) Zerkleinerungsprozess Al-Khasawneh und Konietzky (2010) Bruchprozess/Mikromechanik Beton Groh u. a. (2011) Sand/granulare Materialien Stahl und Konietzky (2011) Bodenverflüssigung/HM Kopplung Jakob u. a. (2012) Tabelle 1: Liste von DEM-Anwendungen mit Literaturhinweisen 11

13 3 Smoothed Particles Die Methode Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) wurde von Monaghan (1988) zur Berechnung von astrophysikalischen Phänomenen eingeführt. Die Methode wurde weiterentwickelt und es ist möglich damit Flüssigkeiten jeglicher Art zu simulieren. Dabei wird das zu untersuchende Kontinuum durch diskrete Partikel approximiert. Jedes SPH-Partikel hat einen Kern, der durch eine Kernfunktion W (x, h) (engl. smoothing kernel, kernel function oder interpolating kernel) beschrieben wird. Dabei ist h der Wirkungsbereich des Partikels und x der Abstand von Mittelpunkt. Die Kernfunktion kann im eindimensionalen Fall zum Beispiel eine Gaußverteilung sein (s. Abb. 11). W W (x, h) = 1 h x 2 π e h 2 x Abbildung 11: Gaußkern Den Partikeln werden die physikalischen Größen Dichte ρ, Position x und Geschwindigkeit v zugeordnet. Diese müssen in jedem Zeitschritt neu berechnet werden. 3.1 Interpolation Die Integralinterpolierende einer beliebigen Funktion A( x) ist definiert durch A( x) = A( x )W ( x x, h)d x, (25) wobei über den gesamten Raum integriert wird und die Kernfunktion W folgende Eigenschaften besitzt (Monaghan (1992)). W ( x x, h)d x = 1 und lim W ( x x, h) = δ( x x ) (26) h 0 Die Integralinterpolierende der Feldvariablen A eines SPH-Partikels an der Position x kann durch eine Summationsinterpolation seiner Nachbarpartikel (b) approximiert werden. A( x) = m b A b W ( x x b, h) (27) ρ b b Dabei sind m b, ρ b, A b und x b die Masse, die Dichte, der Wert der Feldvariable und der Ortsvektor der Nachbarpartikel. Der Gradient von A wird durch A( x) = b A b m b ρ b W ( x x b, h) (28) bestimmt. Daher ist zur Berechnung partieller Ableitungen mit der SPH-Methode kein Gitter notwendig. 12

14 3.2 Physik SPH-Partikel Die für die Massenerhaltung (Kontinuitätsgleichung) und die Impulserhaltung ρ t + ρ v = 0 (29) v t + 1 p = 0 (30) ρ notwendigen Ableitungen v und p ergeben sich mit v ba = v b v a und W ab = W ( x a x b ) durch Summationsinterpolation (s. Gl.(28)). Es gilt für alle Partikel a ( v) a = m b v ba W ab (31) ρ b b und wobei die Dichte durch ( p) a = b m b ρ b p b W ab, (32) ρ( x) = b m b W ( x x b, h) (33) gegeben ist. Somit ist die diskrete Form der Kontinuitätsgleichung gegeben durch und die diskrete Form der Impulserhaltung durch ρ a t = ρ m b a v ab W ab (34) ρ b b v a t = 1 ρ a b m b ρ b p b W ab. (35) Die Geschwindigkeit v der Partikel ergibt sich aus der Ableitung v a = x a t. (36) 13

15 3.3 Beispiele SPH kommt häufig bei Computeranimationen mit Wasser zum Einsatz, da man mit SPH sehr realistisch wirkende Ergebnisse erzielen kann. Abbildung 12: Wassersimulation mit SPH (Quelle: Bell u. a. (2005)) Ein weiteres Beispiel zeigt die sogenannte Millenium Simulation, die die Entstehung großskaliger Massenverteilungen (Galaxien und Galaxienhaufen) simuliert. Es wurden für die Rechnung mehr als 10 Milliarden Partikel verwendet (s. Abbildung 13: Millenium Simulation mit > 1010 Partikeln (Quelle: Springel u. a. (2005)) 14

16 4 Lattice Boltzmann Die Lattice-Boltzmann Methode (LBM) basiert auf der Theorie von Ludwig Boltzmann ( ). Boltzmann betrachtete ein Gas als Medium, dass aus miteinander wechselwirkenden Partikeln (Moleküle oder Atome) besteht, die mit der klassischen Mechanik und einer statistischen Betrachtung beschrieben werden können. Diese Grundidee wurde in die LBM übernommen, wo Gase durch Strömungsvorgänge und Kollisionen von Partikeln simuliert werden (Sukop und Thorne (2006)). Der Ansatz ist auf die Simulation von Fluiden (Gase und Flüssigkeiten) erweitert worden. e 6 e 2 e 5 node e 3 e 1 lattice cell e 7 e 8 e 4 lattice unit Abbildung 14: Gitteranordnung für ein D2Q9 Modell Für die LBM wird ein Gitter bestehend aus Knotenpunkten (engl. nodes) benötigt. In Abbildung 14 ist die Gitteranordnung für ein D2Q9 Modell (2 Dimensionen, 9 Knotenpunkte) dargestellt. Die Vektoren e i bezeichnen die Partikelgeschwindigkeiten in Richtung i. Im einfachsten Ansatz haben die Partikel eine einheitliche Masse (mu - mass unit) und das Gitter einen einheitlichen Gitterabstand (lu - lattice unit). 4.1 Boltzmann Gleichung Ein System aus N Partikeln (Molekülen) kann durch eine Dichtefunktion F ( x, e, t) beschrieben werden. Wenn die Positionen x und Geschwindigkeiten e aller Partikel (Moleküle) zum Zeitpunkt t bekannt sind, so ist es (zumindest hypothetisch) möglich Vorhersagen zur Mechanik des Systems zu treffen. Angenommen eine externe Kraft f wirkt auf die Partikel, dann haben die Partikel zum Zeitpunkt t + dt die Positionen x + edt und die Geschwindigkeiten e + fdt. Wenn keine Kollisionen stattfanden, dann gilt F ( x, e, t)d xd e = F ( x + edt, e + fdt, t + dt)d xd e. (37) Wenn es zu Kollisionen kommt, wird in Gl. (37) ein Kollisionsterm Ω hinzugefügt, welcher die Änderungsrate zwischen End- und Anfangszustand des Systems 15

17 beschreibt (Mohamad (2007)). F ( x, e, t)d xd e = F ( x + edt, e + fdt, t + dt)d xd e + Ω(F )d xd edt (38) Die zeitliche Ableitung von Gl. (38) ergibt df dt = Ω(F ), (39) d.h. die totale Änderungsrate der Dichtefunktion ist gleich der Kollisionsrate. Ist F eine Funktion von x, e und t, dann gilt Wird Gl. (40) durch dt dividiert, erhält man df = F F F d x + d e + dt (40) x e t df dt = F d x x dt + F d e e dt + F t. (41) Mit der Geschwindigkeit e = d x/dt, der Beschleunigung a = d e/dt, des zweiten Newton schen Gesetzes a = f/m (Masse m) und Gl. (39) ergibt sich die Boltzmann sche Bewegungsgleichung (Mohamad (2007)). F t + F x e + f F m e = Ω (42) 4.2 Zeitrelaxation nach Bhatnagar, Gross und Krook Die genaue Berechnung des Kollisionsterms Ω in Gl. (42) ist aufgrund seiner Komplexität sehr schwierig. Deshalb wird Ω durch einen einfacheren Operator approximiert, der aber keine signifikanten Fehler in die Lösung einbringt. Bhatnagar, Gross und Krook (BGK) stellten 1954 erstmals ein vereinfachtes Modell für den Kollisionsoperator vor (Mohamad (2007)). Dabei werden die lokale Ausgleichsdichteverteilung (engl. equilibrium distribution function) F eq und ein Relaxationsfaktor τ eingeführt. Ω = 1 τ (F eq F ) (43) Mit dieser Approximation (s. Gl.(38)) und Diskretisierung (Index i) erhält man die linearisierte BGK-Relaxationsform der LB Gleichung (Cook und Noble (2004)). F i ( x + e i dt, t + dt) = F i ( x, t) dt } {{ } τ (F i( x, t) F eq i ( x, t)) } {{ } Strömung Kollision Die Gleichung (44) besteht aus einen Strömungs- und einem Kollisionsteil. An jedem Knotenpunkt gibt es acht Dichteverteilungen F i und eine Restverteilung F 0. Die Gleichgewichtsbedingungen sind, bezogen auf Sukop und Thorne (2006), durch ( F eq i ( x) = a i ρ( x) e i v f + 9 ( e i v f ) 2 3 v 2 ) f (45) c 2 2 c 4 2 c 2 16 (44)

18 gegeben. Die Wichtungen a i sind 4/9 für die Restpartikel mit i = 0, 1/9 für i {1,2,3,4} und 1/36 für i {5,6,7,8}. c ist die Grundgeschwindigkeit auf dem Gitter und die makroskopische Dichte ρ ist definiert als Summe über alle gerichteten Dichten (ρ = i F i). Die makroskopische Geschwindigkeit v f ist der Durchschnitt der mikroskopischen Geschwindigkeiten e i, gewichtet mit den Dichten F i. v f = 1 ρ 8 F i e i (46) i=0 4.3 Beispiele Die LBM-Anwendung von Schenkengel und Vrettos (2011) simuliert eine induzierte Bodenverflüssigung. Das 2D-Modell besteht aus Gitterpunkten und stellt eine Böschung mit einem Böschungswinkel von 18 dar. Eine Explosion innerhalb der Böschung führt zum Böschungsversagen, wobei das Material verflüssigt. Folgende Abbildung zeigt die Geschwindigkeiten im Material zu den Zeitpunkten t = 0, 01s, t = 0, 29s und t = 1, 17s während der Verflüssigung. Abbildung 15: 2D-LBM Modell einer Explosion innerhalb einer Böschung, Geschwindigkeiten im LBM-Gitter sowohl als Vektoren, als auch farblich dargestellt (Quelle: Schenkengel und Vrettos (2011)) Mit dem Modell von Schenkengel und Vrettos (2011) wurde erstmalig der rheologische Übergang von fest nach flüssig mit einem LBM-Ansatz gelöst und in einem 17

19 Modell umgesetzt. Ein weiteres Beispiel zeigt eine Phasenseparation zweier Fluide mit unterschiedlicher Dichte. Abbildung 16: Phasenseparation zweier Fluide (Quelle: 18

20 5 Molekulardynamik Mit der Molekulardynamik (MD, auch Moleküldynamik genannt) können Wechselwirkungen zwischen Teilchen im atomaren Bereich (Atome, Moleküle, Nanopartikel, etc.) simuliert werden. Die Gesetze der klassischen Mechanik finden hier keine Gültigkeit mehr. Zur Beschreibung der Mechanik der Partikel müssen die Gesetze der Quantenmechanik herangezogen werden. Trotzdem sind sich DEM und MD sehr ähnlich. Die erste Anwendung der MD ist mit einem Artikel von Alder und Wainwright auf das Jahr 1957 datiert. Somit ist die MD die älteste angewandte Partikelmethode. Im Gegensatz zur DEM, wo die Newtonschen Gleichungen als Grundlage der Bewegungsbeschreibung der Partikel dient, basiert die MD auf der Schrödingergleichung. Diese ist sehr komplex und kann nur in den seltensten Fällen analytisch gelöst werden. Selbst numerische Ansätze beschränken die Anwendung der Schrödingergleichung auf sehr einfache Systeme und wenige Partikel. Daher werden Näherungsverfahren verwendet, um das Lösen der Gleichung zu vereinfachen (Griebel u. a. (2004)). 5.1 Schrödingergleichung In quantenmechanischen Systemen lassen sich Aussagen über den Zustand des Systems aus der Zustandsfunktion Ψ (auch Wellenfunktion genannt) ableiten. Ein System aus N Kernen und K Elektronen mit den Variablen R i bzw. r i ist durch seine Zustandsfunktion wie folgt charakterisiert (Griebel u. a. (2004)). Ψ = Ψ(R 1,..., R N, r 1,..., r K, t) (47) Die Variable t kennzeichnet die Zeitabhängigkeit der Zustandsfunktion. Ψ ergibt sich aus der Lösung der Schrödingergleichung (mit R = R 1,..., R N und r = r 1,..., r K ). Ψ(R, r, t) i = HΨ(R, r, t) (48) t Dabei ist i die imaginäre Einheit, H der Hamiltonoperator und = h/2π mit h dem Plank schen Wirkungsquantum. Der Hamiltonoperator beschreibt die zeitliche Entwicklung der möglichen Energiemesswerte im System basierend auf dessen Potentialen. 5.2 Potentiale Wechselwirkungen zwischen zwei Partikeln, die nur vom Abstand der Partikel abhängen, werden durch Paar-Potentiale beschrieben. Solche Potentiale sind z.b. das Gravitationspotential, das Coulomb-Potential (elektrische Punktladung), das van-der-waals-potential (schwache Anziehung bei Edelgasen) und das Lennard- Jones-Potential (ungeladene, nicht gebundene Atome). Das Lennard-Jones-Potential [( ) n ( ) m ] σ σ U(r ij ) = αε, m < n (49) r ij 19 r ij

21 mit α = 1 ( nn n m n m wird durch σ und ε parametrisiert. ε definiert dabei die Stärke der Abstoßungs- bzw. Anziehungskräfte. Dadurch können Materialien verschiedener Festigkeit simuliert werden. σ gibt den Nulldurchgang des Potentials an. Abb. 17 zeigt ein Lennard-Jones-Potential für n = 12 und m = 6. m m ) 1 U(r ij ) σ ε r ij Abbildung 17: Lennard-Jones-Potential mit ε = 1 und σ = 1 Bewegt sich ein Partikel in einem Potential, so ergibt sich die zugehörige potentielle Energie wie folgt. E pot (R) = N N U ij (r ij ) (50) i=1 j=1,j>i Dabei ist r ij = R j R i der Abstand beider Partikel. Als Potentialfunktion für das Lennard-Jones-Potential mit n = 12 und m = 6 erhält man dann [ N N ( ) 12 ( ) ] 6 σ σ E pot (R) = 4 ε. (51) i=1 j=1,j>i Die zugehörige Kraft F i, die auf das Partikel i wirkt, ergibt sich durch Gradientenbildung nach R i. F i = Ri E pot (R) (52) Für das Lennard-Jones-Potential ist die Kraft also durch die Gleichung N ( ) ( 6 ( ) ) 6 1 σ σ F i = 24 ε 1 2 r ij (53) r 2 j=1,j i ij r ij gegeben, wobei r ij der Richtungsvektor zwischen den Partikeln i und j ist (Griebel u. a. (2004)). 5.3 Physik MD-Partikel Die Physik der MD-Partikel ist im Wesentlichen die Gleiche wie bei den DEM- Partikeln (s. 2.3). Über das zweite Newtonsche Gesetz lassen sich Beschleunigungen, Geschwindigkeiten und Verschiebungen (nach Zeitintegration) ermitteln. 20 r ij r ij r ij

22 Damit erhält man die neuen Positionen der Partikel. Im Gegensatz zur DEM haben MD-Partikel einen Abschneideradius, der aus der Reichweite des Potentials resultiert. Als Vereinfachung wirken keine Kräfte auf das Partikel, wenn sich keine weiteren Partikel im Einflußbereich liegen. 5.4 Beispiele In Abb. 18 ist eine Kollision zweier Körper dargestellt. Die Partikelgeschwindigkeiten sind farbcodiert (rot - hohe Geschwindigkeit, blau - niedrige Geschwindigkeit). Abbildung 18: Kollision zweier Körper, zeitliche Entwicklung der Partikelverteilung (Quelle: Lipidmoleküle im Wasser bilden typischerweise Doppelschichtmembranen, da ein Ende hydrophil und das andere hydrophob ist (Bsp. Ölteppich). Diese Membranen bilden spontan Blasen oder Vesikel aus. Folgende Abbildung zeigt die Simulation einer Fusion eines solchen Vesikels mit einer Lipidmembran. Abbildung 19: Fusion eines Vesikels mit einer Membran aus 2018 Diblock-Copolymeren, Vesikeldurchmesser 40 nm (Quelle: 21

23 Literatur Al-Khasawneh, Y. und Konietzky, Heinz (2010): Interpretation and optimization of vertical shaft crushers with DEEM. In: Proceedings European Conference on Fracture (ECF-18), Bundesanstalt für Materialprüfung und -forschung (BAM), Berlin, S Alder, B. und Wainwright, T. (1957): Phase transition for a hard sphere system. In: Journal for Chemical Physics 27, S Bell, Nathan, Yu, Yizhou und Mucha, Peter J. (2005): Particle based simulation of granular materials. In: Proceedings of the 2005 ACM SIG- GRAPH/Eurographics Symposium on Computer animation. Cook, Benjamin K. und Noble, David R. (2004): A direct simulation method for particle-fluid systems. In: Engineering Computations 21, S Griebel, Michael, Knapek, Stephan, Zumbusch, Gerhard und Calgar, Attila (2004): Numerische Simulation in der Moleküldynamik. Springer. isbn: Groh, Ulrich, Konietzky, Heinz, Walter, Katrin und Herbst, Martin (2011): Damage simulation of brittle heterogeneous materials at the grain size level. In: Theoretical and Applied Fracture Mechanics 55. 1, S Herbst, Martin, Pohl, M. und Konietzky, Heinz (2010): Numerische Simulation der Interaktion Wasser - Deckwerk im Tidegebiet. In: Wasserbauliche Mitteilungen 40, S Itasca (2008): PFC3D Version 4.0 Theory and Background. Manual. Jakob, Christian, Hüls, Wilfried und Konietzky, Heinz (2012): Mikromechanische Modellierung verflüssigungsempfindlicher Sande. In: Tagungsband Freiberger Forschungsforum - FK 4: Bodenverflüssigung bei Kippen des Lausitzer Braunkohlebergbaus. Konietzky, Heinz, Gröger, T. und te Kamp, Lothar (2004): Simulation of timedependend damage and microfracturing via particle methods. In: Proceedings ICLODC SFB 398 Ruhr-University Bochum, S Konietzky, Heinz, te Kamp, Lothar und Jenner, C. (2004): Use of DEM to model the interlocking effect of geogrids under static and cyclic loading. In: Numerical Modeling in Micromechanics via Particle Methods. A.A. Balkema Publishers, S Lunow, Christian und Konietzky, Heinz (2009): Two dimensional simulation of the pressing and the cutting rock destruction. In: Proceedings 2nd Int. Conf. on Computational Methods in Tunneling. Aedificatio Publishers, S Mohamad, Abdulmejeed A. (2007): Applied Lattice Boltzmann Method. Dept. of Mechanical und Manufacturing Engineering, Schulich School of Engineering, The University of Calgary. isbn: Monaghan, J. J. (1988): An introduction to SPH. In: Computer Physics Communications 48, S (1992): Smoothed Particle Hydrodynamics. In: Annual Review of Astronomy and Astrophysics 30, S Schenkengel, Kay-Uwe und Vrettos, Christos (2011): Modelling of liquefactioninduced lateral spreading using the Lattice Boltzmann Method. In: 5th International Conference on Earthquake Geotechnical Engineering. 22

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