Formen der Arbeit mit mathematisch begabten Schülern in Russland 1

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1 Boris Averboukh Forme der Arbeit mit mthemtisch begbte Schüler i Russld Eie Ursche der mthemtische ud techische Erfolge i Russld des 0. Jhrhuderts wr die ktive Arbeit mit mthemtisch begbte Kider, der viele hervorrgede russische Mthemtiker teilhme. Whrscheilich wird es für deutsche Mthemtiker iteresst sei, vo dieser Arbeit zu erfhre ud Aufgbe, die russische Schüler löse, zu sehe.. PMS ud ds ormle Gymsium i Russld Eie Orgistiosform zur Pflege der Mthemtik ist die sogete physiklisch-mthemtische Schule (PMS), die vor c. 40 Jhre etstd ud jetzt i jeder große Stdt zu fide ist. I Mosku zum Beispiel gibt es mehr ls 0 solcher Schule. Wisseschftliche Zetre, die oft i kleie oder mittlere Städte utergebrcht sid, hlfe dort PMS zu orgisiere ud uterstütze sie jetzt. Trotz Erscheiuge des Zerflls i der Wirtschft ud i verschiedee dere Bereiche des gesellschftliche Lebes eischließlich der Schule gibt es och sehr viele Fmilie ud sehr viele Kider, die de Ausweg us ihrer schwierige Lge i eier gute Ausbildug sehe. PMS wähle mthemtisch begbte Jugedliche us; sie lere dort mit Spß ud Begeisterug ud sid bereit, viele Stude täglich zu rbeite. Lere i PMS begit meistes erst im 6. oder 7. Schuljhr, mchml och später, ud um dhi zu komme, muss m eie schwierige Aufhmeprüfug bestehe. Im Folgede ist eie Mthemtikprüfug zur Aufhme i die 0. Klsse eier PMS drgestellt. Für eie solche Prüfug hbe die Schüler 4 Stude Zeit. Um i die Schule zu komme, muss m uch eie Physikprüfug bestehe ud dbei us 40 miml mögliche Pukte (0 i der Mthemtik ud 0 i der Physik) midestes 0 bekomme.. Aufhmeprüfug i eie PMS. Vereifche die Ausdrücke: ) ( Pukt) b b) : b b b + ( Pukte). Zwei LKW trsportiere zusmme 4 Stude lg Sd. Wie viele Stude muss jeweils jeder LKW llei fhre, um geu soviel Sd zu trsportiere, we der erste dfür 6 Stude mehr beötigt, ls der zweite? ( Pukte). Löse ds folgede Ugleichugssystem: ud < 4 ( Pukte) 4. Die Summe der drei erste Glieder eier geometrische Folge ist, ud die Summe ihrer Qudrte ist 89. Fide ds erste Glied ud de Quotiet dieser Folge. (4 Pukte) α. Bereche cos, we cos α = für π< α < π ( Pukt) 8 6. Die Summe der dritte Poteze der Lösuge der Gleichug 8 + p = 0 ist gleich 4. Fide p. ( Pukte) Der Autor dkt Herr Heio Güther herzlich für seie Hilfe bei der Vorbereitug des Tetes.

2 6 7. I eier Rute mit dem Wikel 60 ist ei Kreis eibeschriebe, ud i diesem Kreis ist ei Qudrt eibeschriebe. Fide ds Verhältis des Flächeihlts der Rute zum Flächeihlt des Qudrts. (4 Pukte) Die Schüler der obere Klsse eier PMS hbe 8 bis 0 Stude Mthemtik pro Woche. Aber im Vergleich zu deutsche Gymsie muss m berücksichtige, dss die. Klsse i Russld scho die Abggsklsse ist. Die Lehrpläe im Fch Mthemtik für ei deutsches Gymsium ud für die russische - jährige Schule sid zwr ählich, ber im übliche russische Lehrpl gibt es viel mehr Geometrie ls im deutsche ud es gibt keie Stochstik. Der Lehrpl Mthemtik für PMS ethält dieses Them (i eiem gerigere Umfg ls i Deutschld) ud mch deres, ws im deutsche Lehrpl fehlt (z. B. komplee Zhle). Der Schwerpukt des Mthemtikuterrichts i obere Klsse i Russld ist ber ds Erlere der Eigeschfte der elemetre Fuktioe. Der wichtigste Uterschied zwische eiem deutsche Gymsium ud eier übliche russische -jährige Schule eierseits ud PMS dererseits besteht im Niveu der Kompliziertheit ud der Aforderuge: A PMS löst m viel schwierigere Aufgbe. I der. Klsse üblicher russischer Schule oder deutsche Gymsie gibt es z. B. viele Schüler, die icht qudrtische Gleichuge löse köe. Es gibt ber keie solche Schüler b der 8. Klsse eier PMS. Hier möchte ich übliche Aufgbe der Abggsmthemtikprüfuge zeige. Für die Prüfugsrbeit erhlte die Schüler 4 Stude. Die beste Note (ds ist "" i Russld) bekommt ei Schüler och, we er midestes Aufgbe ohe Fehler gelöst ht. Dbei köe zwei icht gz richtige Lösuge icht eie fehlerlos gemchte Aufgbe ersetze. Um die Prüfug zu bestehe, muss m midestes Aufgbe richtig löse. Schüler dürfe keie Tscherecher ud keie Formelsmmlug beutze. Es ist uch wichtig zu wisse, dss die Abggsprüfuge zetrlisiert sid. Ddurch ist ds Niveu der Prüfug mit der Autorität des Sttes ud der Gesellschft bekräftigt. Mchml schützt es Lehrer gege Probleme mit Schüler ud Elter.. Abggsprüfug der PMS π. Fide Sie lle komplee Zhle z 0 mit rg z =, für die z 8z eie reelle Zhl ist. 4. Zeiche Sie die Mege der Pukte der (, y)-ebee, dere Koordite ds Ugleichugssystem y ud. erfülle. Bereche Sie de Flächeihlt der Figur, die us diese Pukte besteht.. Fide Sie die Gleichug der Tgete de Grphe der Fuktio f mit f () = (+ ) + +, die keie gemeisme Pukte mit der Gerde zu y = ht. 4. Fide Sie die Whrscheilichkeit, dss eie Zhl, die im Dezimlsystem us de Ziffer,,, besteht ud jede dieser Ziffer geu eiml ethält, durch 4 teilbr ist. y+ 7. Löse Sie die Ugleichug log y + 0. y 6. Für welche Werte des Prmeters eistiert midestes ei solcher Wert des Prmeters b, dss die b ;b+4π ht? Gleichug cos + 4 si = geu eie Lösug im Itervll ] [ y. Abggsprüfug der übliche -jährige Schule 4. Löse Sie die Ugleichug log ( ) +.. Utersuche Sie die Fuktio f() = uf Mootoie ud Etrempukte hi. ; 0. Fide Sie ihre größte ud kleiste Wert uf dem Itervll [ ]

3 7. Löse Sie die Gleichug si 6 + cos = Löse Sie die Gleichug = 0.. Löse Sie die Gleichug + =. 6. Fide Sie de Flächeihlt der Figur, die vo ute durch die Liie + y = 4 ud vo obe durch de Grph der Fuktio y = + begrezt ist..4 Ei Beispiel eies physiklisch - mthemtische Iterts (PMS) Beispielhft berichte ich jetzt über eie PMS, der ich c. 0 Jhre lg gerbeitet hbe. Diese PMS wurde vor Jhre i der Stdt Koroljov ebe Mosku mit Hilfe des russische Leitugszetrums für Rumflüge, ds sich dort befidet, orgisiert. Die Schule immt jährlich 0 Kider i die 8. Klsse ud 0 i die 0. uf. Die Schüler der 0. ud der. Klsse hbe 8 Stude Mthemtik pro Woche: Stude Vorlesuge ud Stude prktische Uterricht. Die Vorlesuge hlte Professore eier Techische Uiversität. De prktische Uterrichte führe die Lehrer der Schule i Gruppe us bis Schüler durch. Zusätzlich hält m eie fkulttive Kurs ud es gibt mthemtische Zirkel für verschiedee Klsse. Eiige Mle erreichte Schüler der Schule hervorrgede Erfolge gesmtrussische mthemtische Olympide. Ds Leitugszetrum für Rumflüge verstltete lljährlich seie eigee Olympide. Sie duert Tge. Am erste ud zweite Tge löse Teilehmer mthemtische ud physiklische Aufgbe, m dritte Tg erzähle sie über ihre techische oder turwisseschftliche Ausrbeituge. Oft ethlte sie Computerprogrmme. I de letzte Jhre hme diese Olympide ebe Schüler eiiger russischer PMS, uch solche eier Schule us de USA ud eier us Egld teil. Die russische Teilehmer erreichte bessere Erfolge ls die dere. I Russld sid die Schulbggsprüfuge och icht die Uiversitätsufhmeprüfuge. Diese Lge ht ihre Vor- ud Nchteile, ber sie ist uvermeidlich i Russld. Die Uiversitätsufhmeprüfuge sid oft viel schwieriger ls Schulbggsprüfuge (siehe ds folgede Beispiel eier solche Prüfug). Alle Schüler meier PMS setze i der Regel ihre Ausbildug Uiversitäte fort. C. 60 ehemlige Schüler studiere jetzt zwei mthemtische Fchbereiche der Moskuer Uiversität M.W. LOMONOSOW. Ds sid c. % der Studete dieser Fchbereiche. Allei i Mosku komme Absolvete vo eitused -jährige Schule. Ei pr ehemlige Schüler sid scho Doktore der Mthemtik. Durch die Erfolge ihrer Schüler ist diese PMS whrscheilich. oder 6. Stelle im Großrum vo Mosku. Die beste Schule für mthemtisch begbte Kider i Mosku ist ds physiklisch-mthemtische Itert A.N. KOLMOGOROFF, ds vor c. 40 Jhre vo diesem im 0. Jhrhudert bedeutedeste russische Mthemtiker gegrüdet wurde. Dort lere besoders begbte Kider, dere Fmilie weit vo Mosku etfert lebe. Aber ich will hier über ei deres, whrscheilich och erfolgreicheres Itert berichte, ds zur selbe Zeit i Sibirie gegrüdet wurde: Im Jhr 960 wurde die Sibirische Abteilug der Russische Akdemie der Wisseschfte (SO RAW) i der Stdt Novosibirsk gegrüdet. Seit 96 verstltet sie Sibirische Physiklische ud Mthemtische Olympide. Ugefähr die 000 beste Teilehmer lädt m ch Novosibirsk ei. Im August währed der Schulferie wohe sie im Cmpus der Novosibirsk Uiversität (NSU). Morges höre sie Vorlesuge vo Professore, chmittgs löst m mit ihe schwierige Aufgbe. Abeds hbe sie Möglichkeite für Sport ud Erholug. Ds heißt physiklisch-mthemtische Sommerschule bei NSU. I Russld gibt es uch dere solche Sommerschule, ber sie sid kleier ls diese. Zum Abschluss verstltet m eie Wettbewerb, ud die beste c. 00 Teilehmer bekomme ds Recht, dem physiklisch-mthemtische Itert M.A. LAWRENTJEW zu studiere. Dieses Itert ud diese Sommerschule wurde vo dem Präsidete vo SO RAW M.A. LAWRENTJEW (er wr Mthemtiker) ud vo dem Direktor des Kerphysikistituts G.I. BUDKER gegrüdet. Beide strbe vor viele Jhre. Ds Itert ist jetzt ei Bestdteil der NSU. De Uterricht führe Lektore der Uiversität durch. C. 000 bis 00 Schüler isgesmt lere dort. Sie verbrige im Itert ihre letzte zwei (mchml drei) Schuljhre ud setze ihre Ausbildug verschiedee Fchbereiche der NSU (icht ur Mthemtik ud Physik ) fort.

4 8 Um de Lebesweg ehemliger Schüler des Iterts ufzuzeige, zitiere ich jetzt eie Brief des bekte Algebrprofessors BOKUT der NSU. Sei ehemliger Doktord E.I. ZELMANOV bekm im Jhr 994 eie Medille des Itertiole Mthemtische Kogresses ud ist jetzt ei Professor der Yle Uiversität (USA), ei Mitglied der Ntiolkdemie der Wisseschfte der USA ud Akdemie der Wisseschfte Spies. Professor BOKUT schreibt mir, dss us 0 seier ehemlige Doktorde im Itert lerte. Füf vo ihe sid jetzt Mthemtikprofessore i Russld ud siebe i dere Läder (USA, Egld, Brsilie, Meiko). Sie kme irgedw ch Novosibirsk us verschiedee Orte Sibiries, vom Url bis zum Pzifik ud vom Polrkreis bis die Greze mit der Mogolei.. Mthemtische Zirkel ud Olympide Eie Form der ußerschulische Arbeit mit mthemtisch begbte Kider sid mthemtische Zirkel. Sie eistiere Uiversitäte, bei verschiedee Orgistioe, die mit Kider rbeite (zum Beispiel ehemlige Pioierpläste) ud viele Schule. Mthemtische Zirkel der Moskuer Uiversität M.W. LOMONOSOW eistiere seit midestes 0 Jhre. Der Autor besuchte sie i de Jhre 9 / 94. User Leiter N.S. BACHVALOW wr dmls ei Doktord, jetzt ist er ei Professor der Uiversität ud ei Mitglied der Russische Akdemie der Wisseschfte. Aus c. 0 bis 0 Schüler, die dmls de Zirkel besuchte, wurde midestes 0 Mthemtikprofessore. Der größte Teil vo ihe rbeitet och heute verschiedee Uiversitäte i Russld, i de USA ud i Frkreich. Professor W. I. ARNOLD ist ei Mitglied der Russische Akdemie der Wisseschfte. Der Zirkel rbeitet jetzt für die Schüler b dem 7. Schuljhr. Für die Schüler der. ud 6. Klsse verstltet m mthemtische Feier. Solche Feier für die Schüler der utere Klsse orgisiert m im ehemlige Stdtpioierplst. Jetzt möchte ich über russische mthemtische Olympide erzähle. Whrscheilich die älteste ist die Moskuer Mthemtische Olympide. Die Moskuer Uiversität verstltet sie jährlich für die Schüler der vier obere Klsse ud ds scho seit ugefähr 70 Jhre. Ugefähr vor 40 Jhre schlosse sich verschiedee örtliche Olympide (uch sibirische) zusmme, ud die lljährliche llgemeirussische Olympide etstd. M verstltet sie uch für die Schüler der vier obere Klsse. Die Olympide besteht us füf Rude (Schule Kreis Gebiet Gruppe der Gebiete Ld). Alle Rude b der dritte verstltet m zwei Tge. Jede Tg fidet eie vierstüdige Klusur mit vier Aufgbe sttt. Die russische Mschft der Teilehmer der Itertiole Mthemtik-Olympide bildet m us de Sieger der llgemeirussische Olympide. Diese Mschft bekommt immer eie der beste Plätze (999:. ud. Pltz, 000:. Pltz, 00:. Pltz). Zum Vergleich htte i diese Jhre die USA die Plätze 0, bzw. ud Deutschld die Plätze 7, 0 bzw. 4. Als Beispiel führe ich Aufgbe der zweite Rude der llgemeirussische Olympide, die vor eiige Jhre de Schüler des 8. ud des. Schuljhres i eier kleie utoome Republik der Wolg gebote wurde (siehe []). Die Schüler htte vier Stude zum Löse Zeit. Vermutlich löste die Sieger drei oder sogr dreieihlbe Aufgbe. Es kommt ur selte vor, dss jemd lle Aufgbe richtig löst. Aufgbe der llgemeirussische Olympide für ds 8. Schuljhr:. Ei Qudrt ist so mit Zhle usgefüllt, dss ds Produkt der Zhle i jeder Zeile egtiv ist. Beweise, dss eie Splte eistiert, i der ds Produkt der füf Zhle egtiv ist.. Auf wie viele Nulle köe die Zhle der Art 9 + mit N ede?. Beweise: We + b + c = 0 ist, d ist + b + c = bc. 4. Die Digole uterteile ei Viereck i vier Dreiecke mit gleiche Umfäge. Beweise, dss dieses Viereck eie Rute ist.

5 9 für ds. Schuljhr:. Beweise Sie, dss für beliebige türliche Zhl gilt: = ( ) ( ) ( ). Fide Sie lle Fuktioe f, die für lle Werte ud y die folgede Gleichug erfülle: f(y) y f() = ( y) f(y). + cos. Beweise Sie, dss die folgede Ugleichug für lle ]0; π[ gilt. si 4. Gegebe ist ei regulärer Tetreder. Beweise Sie: Es eistiert eie Ebee so, dss die Schittfläche des Tetreders mit dieser Ebee ei Qudrt ist. Außer der llgemeirussische Olympide, gibt es dere gesmtrussische mthemtische Olympide. Beispiele sid Ds Turier der Städte, ds m uf Iititive des Lehrers eier der beste Moskuer PMS, K. KONSTANTINOW, vor eiige Jhre zu verstlte beg, oder die Olympide der Zeitschrift Qut (ds ist eie physiklisch-mthemtische Zeitschrift für Schüler). I verschiedee Städte, uch i Mosku, gibt es lljährliche mthemtische Olympide für die Schüler der. 7. Klsse, ud irgedwo sogr für die Schüler der. 4. Klsse. Es ist sehr wichtig i Russld, dss lle diese Forme der Zustzmthemtik (PMS ud Iterte, mthemtische Zirkel, Olympide) uetgeltlich für die Fmilie sid. Die Zirkel de Uiversitäte ud die Olympide werde vo Studete ud Doktorde durchgeführt, die selbst vor kurzem och ls Schüler solche Verstltuge teilhme. Sie mche ds kostelos oder fst kostelos. I Russld wird m Studet mit 7 Jhre, mchml sogr früher (I.R. SCHAFAREWITSCH mit 4, ud bereits ch drei Jhre beedete er sei Studium der Moskuer Uiversität; er ist icht der eizige, dem dies so gelg.). Es ist sehr wichtig für juge Mthemtiker, früh eie Uiversität zu komme, weil sich mthemtische Begbuge früh zeige. Scho mit 9 bis Jhre schreibe die beste Studete ihre erste Publiktioe. M soll Jugedliche die Möglichkeit gebe, mit der Geschwidigkeit vorzukomme, zu der sie idividuell fähig sid. Viele Bücher ud Broschüre für mthemtisch begbte Kider ud ihre Lehrer sid i Russld veröffetlicht. Oft sid sie vo bekte Mthemtiker geschriebe. Mchml ethlte solche Broschüre eie usführliche Drlegug eies Thems, ds sich de Schullehrpl schließt (ds sid zum Beispiel komplee Zhle oder lgebrische Gleichuge höhere Grdes). Mchml ist es eie Atwort uf eie eifche Frge ( Ws ist eie Liie? ) oder eie populäre Drstellug irgedeier mthemtische Theorie. Es gibt Smmluge der Aufgbe für mthemtische Zirkel. Besoders große Auflge hbe Smmluge der Musterufgbe für die Vorbereitug zu de Uiversitätsufhmeprüfuge. Eiige Huderte vo hochqulifizierte Mthemtiker deke sich jährlich eue schwierige ud oft schöe Aufgbe für diese Prüfuge us. Allmählich werde sie schwieriger, ud eue solche Smmluge etstehe.. Aufhmeprüfug zur Hochschule Die folgede Prüfug wurde vor eiige Jhre Abituriete zur Aufhme i de Fchbereich "Physik" der Moskuer Uiversität "M.W. LOMONOSOW" vorgelegt (siehe []). Die Aufhmeprüfuge für mthemtische Fchbereiche Uiversitäte sid schwieriger, ud die Aufhmeprüfuge für Techische Uiversitäte sid gewöhlich ei bissche eifcher. Abituriete dieser Fchbereiche solle meistes schriftliche ud müdliche Prüfuge i der Mthemtik ud eie müdliche Prüfug i der Physik bestehe. Ds Resultt hägt vo der Summe der Note dieser Prüfuge b, ber wer ur füf ute geführte Aufgbe richtig löste, htte gerige Chce, der Uiversität immtrikuliert zu werde.. Löse die Gleichug si + si = 4 cos.

6 0. Löse die Ugleichug Löse die Gleichug log9 + log(+ ) = Der Schekel eies gleichscheklige Dreiecks ist gleich 0, ud der Umkreisdurchmesser ist gleich. Fide de Ikreisrdius.. Löse die Ugleichug < Die Pukte N ud L liege uf de Seite PQ bzw. PR eies Dreiecks PQR, dbei sei NQ = LR. Der Schittpukt der Strecke QL ud NR teilt die Strecke QL im Verhältis m: begied vo dem Pukt Q. Fide ds Verhältis PN : PR. 7. Fide lle Werte vo, für welche die Ugleichug log ( + 4) > für beliebige Werte vo erfüllt ist. 8. Die Bsis ABCD eier Pyrmide SABCD ist ei Rechteck, dbei seie SA =, SB= ud SC = 4. Fide SD. Um Schüler für Aufhmeprüfuge vorzubereite, führe gewöhlich Uiversitäte Vorlesuge für Abituriete durch, ud drum hbe die meiste Schüler der Abggsklsse der Uiversitätsstädte zusätzlich bis 4 Stude Zustz-Mthemtik pro Woche. Aber diese Vorlesuge sid icht kostelos. 4. Hiweise zu de Lösuge der Aufgbe Die folgedede Notize sid für Lehrer gedcht ud stelle keie Musterlösuge dr. 4. Aufhmeprüfug i eie PMS. ) = = 4 ( ) = ( 4) + ( 4)( + 4) ( + 4) + 4 = b b b + b) : b = ( + b) ( + b+ b) : b =. Für die gesuchte Größe m ud erhlte wir ds Gleichugssystem: + = ud m = 6 m 4 Wir elimiiere ud löse die qudrtische Gleichug m m 4 = 0. Wir erhlte m = ud = 6.. Zuerst forme wir die erste Ugleichug um zu + 0 ( ) ud erhlte hierus 0.

7 Ihre Lösugsmege ist ] ; [ { } ]-; [. Die Schittmege dieser beide ist die Lösugsmege ] ;[ { }. Die Lösugsmege der zweite Ugleichug ist ds Itervll. 4. Wir bezeiche ds zweite Glied mit = ud de Quotiete dieser Folge mit q ud erhlte ds folgede Gleichugssystem :q + + q = ud :q + + q =89. Jetzt substituiere wir mit q + = t ud erhlte ds System () q ( + t) = ud (t ) = 89. Setzt m die erste Gleichug i die zweite ei, so erhält m (t ) = 9. t Deshlb gilt =. Hierus folgt t=. Mit () folgt q = oder q =. I beide Fälle erhält t+ 7 m = 6. Hierus ergibt sich = oder =. α + cosα 9 π α. Mit de Agbe folgt cos = = ud < < π. 6 α Dher ist cos = Es seie ud die Lösuge der gegebee Gleichug. D gibt es ch VIETA die folgede p Formel: + = ( + )( ( + ) ) = 46 = 4 ; hierus folgt p =. 7. Es sei O der Schittpukt der Digole der gegebee Rute, M der Berührugspukt ihrer Seite o AB mit dem Ikreis ud OM = r. Wir köe ehme, dss BAO=0 ist. Jetzt fide wir us dem Dreieck AMO, dss AO = r ist, ud us dem Dreieck ABO, dss BO = r ist. Der 8 Flächeihlt der Rute ist dher gleich F = AO BO = r Die Seite des eibeschriebee Qudrts ist gleich r ud sei Flächeihlt ist gleich F = r. Die Atwort ist: F : F 4 : =. 4. Abggsprüfug der PMS. Die gesuchte Zhl k m mit z = ( + i) mit us R + bezeiche. D gilt ( 8z) = 8= 0 Im z. Hierus berechet sich ls positive Lösug = ud somit ist z = + i.. Der Teil der gegebee Figur, der im Streife 0 liegt, ist vo de Prbel y = ( + ) ud y = - ( + ) begrezt. Ihr Teil im Streife 0 ist vo de Prbel y = ( ) ud y = - ( ) begrezt. Die Figur ist symmetrisch zu de Achse des Koorditesystems, ud ihre Flächeihlt ist gleich 8 F= 4 ( ) d= 0. Wir fide die Ableitug, stelle sie gleich ud erhlte die Gleichug + + = ; Sie führt zur qudrtische Gleichug = 0.Die eizige Lösug, die de Rdikte der Wurzel positiv lässt, ist. Die Gleichug der Tgete lutet lso y = Eie Zhl, die us Ziffer,, ud besteht, ist d ud ur d durch 4 teilbr, we ihre letzte! Ziffer ist. Die gesuchte Whrscheilichkeit ist gleich p = =. 4! 4 y+. Die gegebee Ugleichug k m umschreibe i log y( 7) 0.

8 Jetzt muss m zwei Fälle uterscheide: y < Flls 0<, d.h. 0 < y < ist, d ist diese Ugleichug der Ugleichug y+ 7 äquivlet. Die Bediguge sid whr für lle y > 0. Flls y > d.h. y < 0 ist, d ist die betrchtete Ugleichug der Ugleichug y+ 0 < 7 äquivlet. Ihre Lösugsmege ist ( log 7 );.. Die Atwort ist ( log 7 ); ] 0;[ 6 Zuerst dividiere wir beide Seite der gegebee Gleichug durch ud schreibe sie wie folgede um: si( + ϕ) =, wobei ϕ = rcsi sei möge. Ist >, d ht diese Gleichug keie <, d ethält jedes Itervll [ ] R Lösuge. Ist c;c+ π mit c midestes zwei Lösuge dieser Gleichug. Ist = oder = -, d hbe lle ihre Lösuge die Form π π = + π ϕ für Z bzw. = + π ϕ für Z. Eie beliebige solche Zhl k m ls b ehme, ud ds Itervll ] b ;b+ 4π[ wird geu eie Lösug der Gleichug ethlte. Die Atwort ist = ±. 4. Abggsprüfug der übliche -jährige Schule. Zuerst schreibe wir die gegebee Ugleichug i 0< + 4 um. ; 0;. Die Lösugsmege der rechte Die Lösugsmege der like Ugleichug ist ] [ ] [ Ugleichug ist [ 4;]. Die Schittmege der beide Mege ist Lösugsmege: [ 4; [ ] 0; ]. Aus f () = 7 = ( + )( ) etehme wir: Die Fuktio f steigt uf de Itervlle ]- ; 0[ ud ]; [. Die Fuktio f fällt uf de Itervlle ]- ; - [ ud ]0; [. Die Pukte 9 ud 84) 0 ist ei Hochpukt. Um de größte ud de ( ) ( sid Tiefpukte, der Pukt ( ) kleiste Wert zu fide, bereche wir och f(-) =. Der größte Wert ist lso gleich, der kleiste Wert ist gleich -9.. Zuerst schreibe wir die Gleichug um i (8 si + ) cos = 0. Hierus erhlte wir: π π cos = 0 ud dmit = + für gzzhlige. 6 si = ist reell ulösbr Wir dividiere beide Seite der Gleichug durch, substituiere mit y = ud erhlte die Gleichug y + y 0 = 0 mit de Lösuge y = ud y = -. Nur die erste Lösug führt zu eier Lösug =.. Wir substituiere mit y= + ud erhlte die Gleichug y y 6 = 0 mit de Lösuge ud ; die letztere spielt keie Rolle, weil Wurzel icht egtiv sid. Die Gleichug + = 9 (ud dher uch die gegebee Gleichug) ht die Lösuge ud. M müsste dies der Ausggsgleichug überprüfe..

9 6. Der gesuchte Flächeihlt F ist gleich der Summe der Flächeihlte des Hlbkreises ud des Dreiecks: F = π Der mthemtische Wettbewerb, 8. Schuljhr. Jede Zeile ethält eie ugerde Azhl egtiver Zhle. Also gibt es eie ugerde Azhl egtiver Zhle i diesem Qudrt. Drus folgt, dss midestes eie Splte mit eier ugerde Azhl egtiver Zhle eistiert.. Jede Zhl der Art 9 ht die Form 4k + mit türlichem k. Drus folgt, dss die Zhle der Art 9 + icht durch 4 teilbr sid ud icht uf zwei Nulle ede köe.. Es gilt: + b ( + b) = b( + b) = bc 4. Wir bezeiche die Ecke des gegebee Vierecks mit A, B, C ud D, de Schittpukt der Digole mit O ud beweise, dss die Digole sekrecht zueider sid ud der Pukt O sie hlbiert: Ahme: Es sei z. B. AO OC ud AOB π, wobei midestes eie Ugleichug streg ist. D bekomme wir mit Hilfe des Cosiusstzes, dss AB < BC ist. Also ist der Umfg des Dreiecks AOB kleier ls der Umfg des Dreiecks BOC im Widerspruch zur Vorussetzug. Also ist ds Gegeteil der Ahme richtig ud es hdelt sich um eie Rute. Ist der Wikel AOB stumpf, d muss m die Dreiecke AOD ud DOC sttt der Dreiecke AOB ud BOC betrchte. 4. Der mthemtische Wettbewerb,. Schuljhr. Es gilt: = ( ) ( ) ( ) = + + = =. Wir setze y = ei ud erhlte f() f() = ( ) f() ud hierus f() = f() lso f() = c für 0 costt für 0, d. h.: f () = c für = 0 Jetzt bleibt ur och zu prüfe, dss lle solche Fuktioe die gegebee Gleichug erfülle. ' + cos cos +cos. Es gilt =. M k leicht prüfe, dss die Fuktio ihr bsolutes si si si Miimum uf dem Itervll ] 0; π [ der Stelle = π ht ud ihr Wert dieser Stelle ist. 4. Wir bezeiche die Ecke des Tetreders mit A, B, C ud D. Die Gerde AC ud BD scheide sich icht ud sid zueider sekrecht. Die Strecke, die cheider die Mittelpukte der Kte AB, BC, CD ud DA verbide, bilde ei Qudrt. Um ds zu beweise, muss m die Eigeschfte der Dreiecksmittelliie verwede.

10 4 4.6 Aufhmeprüfug zur Hochschule. Zuerst schreibe wir die Gleichug i die Form 4 si cos = 4 cos um. Jetzt gibt es zwei π Möglichkeite: Etweder ist cos = 0 ud + π für Z oder si = cos ud π + π für Z. 4. Wir erhlte durch Umformug die Ugleichug ( + )( + )( ) 0. Der Zähler ist überll positiv, der Neer wechselt sei Vorzeiche de Stelle = -, = - ud ; ;. =. Die Lösugsmege lutet deshlb ] [ ] [. Die folgede Zeile sid äquivlet: log9 + log9( + ) = 4 ( + ) = 6 (+) = ± 6 Jetzt muss m diejeige Lösuge ussuche, für die + > 0 ist. Ds sid, - ud. 4. Wir bezeiche die Läge des Schekels des Dreiecks mit ud die Läge seier Bsis mit c. Die gegeüber liegede Wikel sid etspreched α, β ud γ, wobei α = β ist. R ud r sid der Umkreisbzw. der Ikreisrdius Zuerst bereche wir si α ud si γ: si α = = =, si γ = si( π α) = R Jetzt k m de Flächeihlt F ud de Umfg U des Dreiecks fide: F = siγ 9 = F, c = R siγ= 4, U = + c = 64. Schließlich erhlte wir r = = 6. U. Wir logrithmiere uf beide Seite zur Bsis ud bekomme die Ugleichug ( )( ) < 0. Die Lösugsmege ist lso ] ; 0[ ] ; [. < oder 6. Wir bezeiche de Schittpukt der Strecke QL ud RN mit O ud die Läge der Strecke PR, PN ud NQ etspreched mit q, t bzw. s. Es seie e ud i solche Eiheitsvektore, dss ud PN= ti sid. D erhlte wir: ( ) ( q s) ( t+ s) PL PQ = e OL= i m+ m+ m+ q+ ms ( t+ s) OR = OL+ LR= e i m+ m+ NR = qe ti PR = qe D N, O ud R kollier sid, hbe die Vektore OR ud NR proportiole Koordite, d. h. es gilt (q + ms)t = (t + s)q. Hierus errechet sich t:q = :m. 7. M muss zwei Fälle behdel: Ist 0 < <, d ist die gegebee Ugleichug der Ugleichug + 4 < äquivlet. Diese Ugleichug ht für die zu betrchtede Werte vo keie Lösuge. Ist >, d ist die gegebee Ugleichug der Ugleichug + 4 > äquivlet. Diese Ugleichug ist d ud ur d für beliebige Werte vo erfüllt, we < 4 ist. Die gesuchte Lösuge sid durch < < 4 gekezeichet.

11 8. We m i der Bsisebee ei Koorditesystem mit dem Ursprug A ud zueider sekrechte Achse so eiführt, dss die Gerde AB ud AD seie Achse sid, d k m für die Projektio S, A, B, C ud D der Pyrmide i die Bsisebee leicht die folgede Formel beweise: S ' A + S'C = S' B + S' D, wobei S ei beliebiger Pukt i der Rechteckebee ist. Hierus ergibt sich der Zusmmehg SA + SC = SB + SD. Dher gilt: SD = =. Litertur Merzljkov, A.S., Medikov, L.E. []: Mthemtische Olympide (Russisch), Switok Ishewsk 997 Melikov, I.I., Olechik, S.N., Sergeev, I.N. []: Mthemtik. Aufgbe der Aufhmeprüfuge mit de Lösuge (99-997) (Russisch), UNZ DO MGU Mosku 998 Aschrift des Autors: Dr. Boris Averboukh Megsbergerstrße Gilserberg