Aufgabensammlung zur Vorlesung. Höhere Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler

Transkript

1 Aufgabensammlung zur Vorlesung Höhere Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Freiberg, den 7. Juni 0

2

3 Inhaltsverzeichnis Kapitel. Folgen und Reihen 5. Folgen, Reihen, Grenzwerte 5. Finanzmathematik 9.3 Lösungen 5 Kapitel. Funktionen einer Veränderlicher 37. Grenzwerte, Stetigkeit, Dierenzierbarkeit 37. Ableitungen mit Anwendungen 39.3 Dierential, Elastizität und Taylorpolynom 4.4 Ökonomische Anwendungen 45.5 Lösungen 50 Kapitel 3. Funktionen mehrerer Veränderlicher Höhenlinien, Denitions- und Wertebereiche Vollständiges Dierential, Taylorentwicklung, partielle Elastizitäten und implizite Funktionen Extremwertrechnung Komplexe Aufgaben und Anwendungen Methode der kleinsten Quadrate Lösungen 99 3

4

5 KAPITEL Folgen und Reihen. Folgen, Reihen, Grenzwerte Aufgabe.: Geben Sie eine Bildungsvorschrift für die Folge aller durch 7 teilbaren positiven ganzen Zahlen an. Wieviele dieser Zahlen liegen zwischen 9 und 87 und wie groÿ ist deren Summe? Aufgabe.: Weisen Sie nach, dass jedes Glied einer arithmetischen Folge das arithmetische Mittel seiner Nachbarglieder ist. Aufgabe.3: Ist jedes Glied einer geometrischen Folge das geometrische Mittel seiner Nachbarglieder? Aufgabe.4: Würde man Briefmarken von Automaten drucken lassen mit den Werten von 0 Cent an aufwärts bis 0 e in Abständen von jeweils 0 Cent. Wieviel müsste ein Sammler für den gesamten Satz aufwenden? Aufgabe.5: Die Zuschauertribüne eines Freilichttheaters werde so angelegt, dass - insgesamt 35 Reihen vorhanden sind, - sich in der ersten Reihe 0 Plätze benden, - jede weitere Reihe Plätze mehr besitzt als die vor ihr liegende. (a) Wieviel Plätze sind in den Reihen 3, 5, 35? (b) Wie groÿ ist die Gesamtzahl der Plätze? (c) Wieviel Reihen müssten angebaut werden, um die Platzkapazität um 0% zu erhöhen? Aufgabe.6: Dezimalgeometrischen Folgen sind geometrische Folgen mit q = k 0, mit fest vorgegebenem k. Weisen Sie nach, dass unsere Geldstückelung (Münzen und Banknoten) von Cent bis 500 e einer derartigen dezimalgeometrischen Folge näherungsweise entspricht, und geben Sie das Bildungsgesetz dieser Folge an! 5

6 Aufgabe.7: 0 m Papier der Stärke 0, mm soll auf eine Rolle mit dem Radius 7,5 cm gewickelt werden. Wieviele Lagen ergeben sich und wie groÿ ist der Duchmesser der Rolle zum Schluÿ? (Zur Vereinfachung soll angenommen werden, dass jede Lage einen Kreis bildet!) Aufgabe.8: Gegeben sind für n N die Folgen a n = n3 n 3 n, b n = e 0,5n und c n = n ln. (a) Begründen Sie, weshalb {b n } n N eine geometrische und {c n } n N eine arithmetische Folge ist. (b) Bestimmen Sie den Grenzwert lim (a n + b n ). n 0 (c) Berechnen Sie die Partialsumme s 0 = c n. n= Aufgabe.9: Gegeben seien eine Folge {a n } n N mit der Bildungsvorschrift a n = q qn, wobei q > ist, n q eine Folge {b n } n N mit der Bildungsvorschrift b n = 0, 64 n, eine arithmetische Folge {c n } n N mit c 4 = 7 und c 44 = 9. (a) Berechnen Sie den Grenzwert lim n a n. (b) Weisen Sie nach, dass {b n } n N eine geometrische Folge ist. Für welche Folgeglieder gilt 0 < b n < 0 6? (c) Geben Sie eine explizite Bildungsvorschrift für die Folge {c n } n N an. Addieren Sie die ersten 00 Glieder dieser Folge. Aufgabe.0: Gegeben sind zwei Folgen {a n } n N und {b n } n N (a) Für die arithmetische Folge {a n } n N gilt: a 7 = 9 und a 4 = 78. Berechnen Sie das Folgeglied a 99 und die Summe der ersten 00 Folgeglieder. (b) Weisen Sie nach, dass {b n } n N mit b n = n +, n N, keine geometrische Folge n ist. Aufgabe.: Für eine reelle Zahl z sei mit z die kleinste ganze Zahl gröÿer oder gleich z bezeichnet, d.h. z wird aufgerundet. 00 Gegeben sei die Folge {a n } n N mit den ganzzahligen Folgegliedern a n =, n N. n (a) Berechnen Sie die ersten 6 Folgeglieder der Folge {a n } n N. (b) Zeigen Sie, dass a n = für alle n N mit n 00 gilt. 6

7 (c) Welchen Grenzwert besitzt die Folge {a n } n N? (d) Konvergiert die Reihe a n? n= Aufgabe.: Gegeben sind Folgen {a n } n N, {b n } n N und {c n } n N (a) Begründen Sie, weshalb eine nichtkonstante arithmetische Folge {a n } n N nicht beschränkt ist. (b) Gegeben ist eine geometrische Folge {b n } n N mit b = 64, b 5 = 4 und b 6 < 0. Berechnen Sie die Folgeglieder b 7 und b 8. (c) Berechnen Sie den Grenzwert der Folge c n = ( )n n Aufgabe.3: + n3 n 3, n N. n + Gegeben sei die Folge a n = n n +. (a) Weisen Sie nach, dass die Folge {a n } n N keine arithmetische Folge ist. (b) Berechnen Sie den Grenzwert lim a n. n Aufgabe.4: Papierformate der A-Reihe genügen den folgenden Bedingungen: Das Format A 0 ist ein Rechteck von m Flächeninhalt, dessen Seitenlängen a 0 und b 0 sich wie : verhalten. Alle Formate A k (k=,...,0) entstehen aus A k durch Halbieren der längeren Rechteckseite b k. Untersuche Sie die Zahlenfolgen {a k } der kürzeren und {b k } der längeren Rechteckseiten, sowie die Folge der Maÿzahlen der Flächeninhalte {F k }. Aufgabe.5: Gegeben sei eine Folge {a n } n N. Für die zugehörige Partialsummenfolge {s n } n N gelte n s n = a i = n n +, n N. i= (a) Bestimmen Sie das Folgeglied a. (b) Geben Sie eine explizite Bildungsvorschrift der Zahlenfolge {a n } n N für n an. (c) Welche Grenzwerte besitzen die Folgen {a n } n N und {s n } n N? 7

8 Aufgabe.6: Gegeben sei eine Folge {a n } n N gemäÿ der Vorschrift { ( ) n, für n =,,..., 00 a n = ( ) n 00, für n = 0, 0,... (a) Berechnen Sie die Folgeglieder a 99, a 00, a 0 und a 0. (b) Begründen Sie, weshalb {a n } n N keine geometrische Folge ist. (c) Besitzt die Folge {a n } n N eine Monotonieeigenschaft? (d) Welchen Grenzwert besitzt die Folge {a n } n N? (e) Berechnen Sie die Summe S = a n. n= Aufgabe.7: Gegeben ist die Folge a k = 4k, k N. k+ (a) Weisen Sie nach, dass {a k } k N eine geometrische Folge ist. (b) Berechnen Sie den Grenzwert der Folge {a k } k N. (c) Welche Monotonieeigenschaft besitzt die zur Folge {a k } k N gehörende Folge der Partialsummen? Aufgabe.8: Viele Wachstumsvorgänge verlaufen wie folgt: Zuerst wird das Wachstum immer schneller, dann verlangsamt es sich immer mehr und nähert sich einer Grenze. Beispiele dafür sind das Wachstum vieler Panzen oder das Wachsen der Verkaufszahlen einiger Gebrauchsgüter bestimmter Marken. Beim logistischen Wachstum einer Gröÿe a hängt der Zuwachs z n im n-ten Zeittakt von ihrem Ausgangswert a n und der Dierenz zwischen Sättigungsgrenze G und a n ab. Für den Zuwachs gilt z n = c a n (G a n ) mit 0 < c < G. Das logistische Wachstum selbst ist rekursiv deniert durch: a = a, a (0; G), a n+ = a n + z n, n =,,... (a) Zeigen Sie: Die Folge {a n } ist streng monoton wachsend, durch G nach oben beschränkt und besitzt G als Grenzwert. (b) Berechnen Sie für a = 0,, G =, c = 0, 5 die ersten 5 Glieder der Folge und veranschaulichen Sie das Wachstum damit grasch. Hinweis: Zeigen Sie die Gültigkeit von 0 < a n < a n+ < G (z.b. durch vollständige Induktion). Beachten Sie dabei die gegebenen Schranken für c und a, insbesondere ist stets 0 < c a n <. 8

9 . Finanzmathematik Aufgabe.9: Eine Bank bietet für einen einmaligen Anlagebetrag in Höhe von 5.000, e bei einer Laufzeit von 6 Jahren eine Verzinsung mit Zinseszins in Höhe von 4, % an. Am Ende der Laufzeit gibt es einen Bonus von % auf den eingezahlten Betrag. Welchen Endwert erhält man nach 6 Jahren ausgezahlt? Wie hoch müsste der Zinssatz sein, wenn es keinen Bonus gibt und eine Auszahlung von 7.000, e erwartet wird? Aufgabe.0: Auf ein Konto werden 9 Jahre lang jeweils zu Jahresbeginn.000, e eingezahlt. Es wird mit einer Verzinsung mit,0 % p.a. (Verzinsung mit Zinseszins) gerechnet. Wie hoch ist der Kontostand am Ende des 9. Jahres? Nach wieviel Jahren benden sich erstmals mehr als 9.000, e auf dem Konto? Aufgabe.: Eine Rentenvereinbahrung sieht im ersten Jahr ihrer Auszahlung einen monatlichen Betrag von.000, e vor, der in jedem Folgejahr um 80, e erhöht wird. (a) Welcher monatliche Betrag wird im 0. Jahr und welcher Gesamtbetrag innerhalb von 0 Jahren ausbezahlt? (b) Nach welcher Zeit (volle Jahre) übersteigt der insgesamt ausgezahlte Betrag erstmalig , e? (c) Wie müsste der jährliche Steigerungssatz des Monatsbetrages vereinbart werden, damit nach Ablauf von 0 Jahren genau , e erreicht werden? Bei der bisher betrachteten Vereinbahrung erfolgt eine jährliche Steigerung von 8 % des monatliche Grundbetrages von.000, e aus dem. Jahr. Wie ändern sich die Verhältnisse, wenn der Monatsbetrag jährlich um 5 % des Vorjahressatzes erhöht wird. Lösen Sie für diesen Fall die ersten beiden Teilaufgaben. Aufgabe.: Ein Kapital K wird jährlich mit p % verzinst. Zu jedem Jahresende werden jeweils a % von dem verzinsten Kapital abgehoben. (a) Zu bestimmen sind der Kontostand K n am Ende des Jahres, der dann abzuhebende Betrag A n und die Summe S n der bis dahin insgesamt abgehobenen Beträge. (b) Unter welchen Bedingungen für p und a nimmt das Kapital ab, bleibt es unverändert, wächst es an? (c) Nach wieviel Jahren übersteigt die Summe S n erstmals eine Schranke M? (d) Rechnen Sie Zahlenbeispiele für K = 0 000, n = 0, a { 3 ; 50 ; 5 }, p = 4 und M =

10 Aufgabe.3: Eine Bank macht folgendes Sparangebot: Der eingezahlte Betrag K wird im ersten Jahr mit 5 %, im zweiten Jahr mit 7 % und dann jährlich mit 9 % verzinst. Bei welchem konstanten Jahreszins p würde sich nach nach 6 Jahren der gleiche Kontostand ergeben? Aufgabe.4: Nach 3 Jahren sollen 0 000, e verfügbar sein. (a) Welcher einmalige Betrag K muss dafür auf ein Konto mit 5 % Jahreszins eingezahlt werden? (b) Im Unterschied zu (a) soll der Betrag durch Einzahlung von drei gleichen Jahresraten bei ebenfalls 5 % jährlicher Verzinsung angespart werden. Wie hoch ist die dafür notwendig Jahresrate R? (c) Welcher vierteljährliche Zinssatz entspricht einem eektiven Jahreszins von 5 % und welche Rate V müsste dabei vierteljährlich eingezahlt werden, um das Sparziel zu erreichen? Aufgabe.5: Auf ein Konto wird zum Jahresbeginn jeweils ein Betrag von 000, e eingezahlt. Zu jedem. Juli werden 70 % des Guthabens abgehoben (Urlaubsgeld). Die Verzinsung erfolgt jeweils zu Jahresende mit 5 %. (a) Wie hoch ist der Kontostand a n am Ende des Jahres n (nach Verzinsung)? (b) Zeigen Sie, dass die Folge {a n } streng monoton wachsend und nach oben beschränkt ist, und berechnen Sie den Grenzwert a = lim a n der Folge. n (c) Welcher Betrag ist einmalig bei der ersten Zahlung zusätzlich zu leisten, damit der Kontostand am Ende jedes Jahres gleich ist? (d) Bei welchen zusätzlichen Einmalzahlungen zum ersten Zahlungstermin sind die Kontostände a n streng monoton fallend? Hinweis: Als rekursive Folge a n = f(a n ) ansetzen, dabei a 0 = 0 für (a), a 0 > 0 für (c), (d). Aufgabe.6: Frau Pia Müller geht zur Bank um einen Sparplan beginnend am abzuschlieÿen. Die Auszahlung soll am erfolgen. Die Bank macht die zwei folgenden Angebote: (A) 5 Einzahlungen á.000,00 e jeweils am 0.0. der Jahre 00 bis 006, Verzinsung mit Zinseszins jeweils am 3.. mit einem Zinssatz von 3% ; (B) ebenso, jedoch mit nur % Zinsen, aber einem am Laufzeitende zusätzlich ausgezahlten Bonus von b = 5 % auf den von Frau Pia Müller insgesamt eingezahlten Betrag. (a) Bestimmen Sie die Auszahlungen der beiden Kapitalanlagen am Laufzeitende. (b) Wie groÿ müsste der Bonus b sein, damit die Auszahlungen bei beiden Sparformen gleich hoch sind? 0

11 Aufgabe.7: Frau Ginsterbusch erhält eine Rechnung über e, die sie spätestens in 60 Tagen bezahlen muss. Begleicht sie den Rechnungsbetrag sofort, darf sie 3 % Skonto vom Rechnungsbetrag abziehen. Da aber ihr Girokonto schon überzogen ist, beschlieÿt sie, die Rechnung erst in 60 Tagen zu begleichen. Hat Frau Ginsterbusch richtig gehandelt, wenn man beachtet, dass für das Überziehen des Girokontos,5 % Zinsen zu zahlen sind? Begründen Sie Ihre Aussage. Aufgabe.8: Bei manchen Kapitalanlagen ndet die Verzinsung nicht jährlich, sondern in kürzeren gleichlangen Zeitabständen statt. Ist m die Anzahl der Zinszahlungen pro Jahr, so ist pro Zinszahlung der relative Zinssatz i zu verwenden. m Welchen Zinssatz müssten Sie für einen festen Anlagebetrag bei einer jährlichen Verzinsung bekommen, um das gleiche Kapital nach einem Jahr wie bei einer monatlichen Verzinsung mit 4 % zu erhalten? Aufgabe.9: Welchen Wert haben 00, e in zwei Jahren bei einer Verzinsung von 3,5 % und einer jährlichen Ination von, %? Stellen Sie für diesen inationsbereinigten Wert eine allgemeine Formel auf. Aufgabe.30: Eine Bank bietet drei verschiedene Sparbriefe mit einer Laufzeit von 5 Jahren für einen Mindestanlagebetrag von 000, e an: Sparbrief A einfache Verzinsung mit 5, 0% Sparbrief B Sparbrief C 4, 5 % Verzinsung mit Zinseszins 3, 0 % Verzinsung mit Zinseszins und am Ende der Laufzeit ein Bonus von 0% auf den Anlagebetrag (a) Welcher Sparbrief liefert den höchsten Endwert? (b) Mit welchem Zinssatz müsste Sparbrief B verzinst werden, damit er den gleichen Endwert wie Sparbrief C erzielt? Aufgabe.3: Eine Studentin möchte in 5 Jahren ein Vermögen von 0.000, e zur Verfügung haben. Zur Erreichung dieses Zieles machen ihr zwei Banken folgende Angebote: Bank A: Einzahlung von einmalig 6.000, e, jährliche Verzinsung mit 4,5 % (einschlieÿlich Zinseszins). Bank B: Einzahlung von einmalig 5.900, e, jährliche Verzinsung mit 3 % (einschlieÿlich Zinseszins). Nach 5 Jahren würde die Bank zusätzlich noch einen Bonus von 0 % des Anlagebetrages zahlen. (a) Welche der Anlageformen ergibt nach 5 Jahren tatsächlich einen Betrag von mindestens 0.000, e?

12 (b) Welcher Betrag müsste in jeder der Banken eingezahlt werden, damit nach 5 Jahren genau 0.000, e zur Verfügung stehen? Aufgabe.3: Herr Zackenbarth erönete zu Beginn des Jahres 00 ein Konto mit einem Startkapital von 0.000, e. Es wird Verzinsung mit Zinseszins und ein Zinssatz von 4 % vereinbart. Herr Zackenbarth wird in den Jahren 005 bis 04 jeweils am Jahresende 5.000, e einzahlen. Am Ende des Jahres 00 soll das Konto ein Guthaben von , e ausweisen. (a) Welchen Betrag muss Herr Zackenbarth noch einmalig am Ende des Jahres 00 einzahlen, um das gewünschte Guthaben zu erreichen? (b) Nach dem Jahr 00 leistet Herr Zackenbarth keine weiteren Einzahlungen. In welchem Jahr weist das Konto erstmalig mehr als , e aus? Aufgabe.33: Frau Ginsterbusch liegen drei Angebote für Sparanlagen mit einer Laufzeit von 0 Jahren vor, bei denen jeweils insgesamt 0.000, e eingezahlt werden und die Verzinsung mit Zinseszins erfolgt. Angebot X 0 Jahre werden zu Beginn eines jeden Jahres.000, e bei 3 % Verzinsung angelegt. Am Ende der Laufzeit gibt es einen Bonus von 0 % auf den insgesamt eingezahlten Betrag. Angebot Y Zu Beginn der 0-jährigen Laufzeit erfolgt eine Einmalzahlung in Höhe von.000, e. Danach werden jeweils am Jahresende 900, e eingezahlt. Die Verzinsung beträgt 4 %. Angebot Z Zu Beginn der ersten 0 Jahre werden jeweils.000, e eingezahlt. Danach erfolgen bis zum Ende des 0. Jahres keine weiteren Einzahlungen. Der Zinssatz für die ersten 0 Jahre beträgt 3 % und für die letzten 0 Jahre 3, %. (a) Berechnen Sie die Auszahlungswerte der drei Sparanlagen am Ende des 0. Jahres. Frau Ginsterbusch favorisiert die Anlage X. Hat Frau Ginsterbusch damit die ertragreichste Anlage gewählt? (b) Welcher Betrag muss bei Anlage X jeweils zu Beginn eines jeden Jahres bei 3 % Verzinsung angelegt werden, wenn am Ende der Laufzeit von 0 Jahren kein Bonus gezahlt wird und der gleiche Auszahlungsbetrag wie bei der vorgeschlagenen Anlage entstehen soll? (c) Welcher Betrag muss bei Anlage Y jeweils am Ende eines jeden Jahres bei 4 % Verzinsung angelegt werden, wenn die Einmalzahlung zu Beginn der Laufzeit entfällt und am Ende der Laufzeit von 0 Jahren der gleiche Auszahlungsbetrag wie bei der vorgeschlagenen Anlage entstehen soll? (d) Um welchen Betrag ändert sich der Auszahlungsbetrag bei Anlage Z, wenn der Zinssatz für die ersten 0 Jahre 3, % und für die letzten 0 Jahre 3 % beträgt?

13 (e) Herr Zackenbarth verfügt sofort über 0.000, e und möchte diesen Betrag für 0 Jahre anlegen. Am Ende erwartet er eine Auszahlung von mindestens , e. Welche Mindestverzinsung ist für dieses Sparziel notwendig? Aufgabe.34: Die Familie Zackenbarth muss neulich folgende nanzmathematische Aufgaben lösen: (a) Herr Zackenbarth kauft 0 m 3 Kies zu einem Preis von 56,60 e einschlieÿlich 6 % Mehrwertsteuer. Welchen Betrag weist die Rechnung für die Mehrwertsteuer aus? (b) Frau Zackenbarth legt zu Beginn des Jahres 005 einen Betrag von , e auf ein Konto an, wobei Verzinsung mit Zinseszins und ein konstanter Zinssatz von 4,0 % vereinbart wurden. Künftig wird Frau Zackenbarth jeweils am Jahresende 0.000, e abheben. Welcher Betrag bendet sich am Ende des Jahres 00 nach der Abhebung auf dem Konto? Aufgabe.35: Zu Beginn eines Jahres benden sich auf einem Konto 0.000, e. Danach werden 0 Jahre lang am Ende jedes Jahres 000, e eingezahlt. Es wird mit 3 % Zinsen mit Zinseszins gerechnet. Wie hoch ist der Kontostand am Ende des 0. Jahres? Aufgabe.36: Eine Einmalanlage mit einem Mindestanlagebetrag von 0.000, e wird in den ersten beiden Jahren mit 4 % und in den folgenden Jahren mit 3 % verzinst. Die Zinsen werden automatisch wieder angelegt. Die maximale Laufzeit beträgt 7 Jahre. Über das Guthaben kann frühestens nach zwei Jahren, aber jeweils nur am Ende eines Jahres verfügt werden. Nur am Ende einer 7-jährigen Laufzeit gibt es einen zusätzlichen Bonus von 8 % auf den Anlagebetrag. Stellen Sie den Endwert der Anlage in Abhängigkeit vom Anlagebetrag und der Laufzeit dar. Hinweis: Endwerte für konkrete Anlagebeträge und Laufzeiten sollen nicht berechnet werden. Aufgabe.37: Frau Zackenbarth legt zu Beginn des Jahres 008 einen Betrag von , e auf ein Konto an, wobei Verzinsung mit Zinseszins und ein konstanter Zinssatz von 4,0 % vereinbart wurden. Ab 0 wird Frau Zackenbarth jeweils am Jahresende 5.000, e abheben. Welcher Betrag bendet sich am Ende des Jahres 05 nach der Abhebung auf dem Konto? Aufgabe.38: Herr Zackenbarth möchte etwas für seine Altersvorsorge tun und will daher zu Beginn eines jeden Jahres den Betrag von.000, e bei der Privatbank Mooshamm einzahlen. Die Laufzeit des Vertrages soll 5 Jahre betragen. Die Auszahlung des Ertrages erfolgt am Ende der Laufzeit. Die Bank unterbreitet ihm nun die folgenden beiden Angebote: 3

14 A: Verzinsung der Sparraten mit 3,6 % Zinseszins A: Verzinsung der Sparraten mit 3 % Zinseszins. Auÿerdem bekommt Herr Zackenbarth für jede seiner Sparraten einen Bonus zum Vertragsende ausgezahlt, und zwar für die k-te Sparrate einen Bonus in Höhe von k % auf diese Sparrate. Für welches der beiden Angebote sollte sich Herr Zackenbarth entscheiden? Aufgabe.39: Herr und Frau Zackenbarth planen langfristig den Kauf eines Hauses. Sie schlieÿen deshalb einen Sparvertrag mit ihrem Kreditinstitut ab. Der Vertrag sieht Einzahlungen von jährlich 7.000, e am Jahresanfang vor. Der Zinssatz für die Verzinsung mit Zinseszins beträgt 4 %. (a) Wie hoch ist das Guthaben am Ende des 7. Jahres? (b) Nach wieviel Jahren beträgt das Guthaben mindestens , e? Aufgabe.40: Graf Mosgorovski legt zu Beginn des Jahres 009 einen Betrag in Höhe von e an, wobei Verzinsung mit Zinseszins bei einem festen Zinssatz von 3,0 % vereinbart wurden. Ab dem Jahr 07 wird Graf Mosgorovski jeweils am Jahresanfang e abheben. Welcher Betrag bendet sich am Ende des Jahres 08 auf dem Konto? Aufgabe.4: Zu Beginn eines Jahres benden sich 0.000, e auf einem Konto. Danach werden 0 Jahre lang am Ende eines jeden Jahres 5.000, e eingezahlt. Der Zinssatz für die jährliche Verzinsung mit Zinseszins ist mit 3,0 % festgeschrieben. Nach Ablauf der 0 Jahre wird nichts mehr eingezahlt. Die jährliche Verzinsung des Kontos beträgt für die folgenden 7 Jahre nur noch,0 %. Wie hoch ist der Kontostand am Ende des 7. Jahres? 4

15 .3 Lösungen Zur Lösung der Aufgaben in diesem Kapitel werden die Formeln aus dem Skript S. -5 sowie folgende nanzmathematische Formeln benötigt: (a) Kapitalrechnung, einfache Verzinsung: p ) K t = K 0 ( + t, t 0, 00 wobei K t den Kapitalendwert, K 0 das Startkapital, t Laufzeit (stetig) und p Zinsfuÿ bezeichnet. Verzinsung mit Zinseszins: K n = K 0 ( + i) n, n =,,..., wobei K n den Kapitalendwert, K 0 das Startkapital, n Laufzeit (ganze Jahre) und i Zinssatz bezeichnet (es gilt zusätzlich i = p ). 00 (b) Rentenrechnung, nachschüssige endliche Renten: R n = r qn, n =,,..., q vorschüssige endliche Renten: Rn = rq qn, n =,,..., q mit R n - Rentenendwert, r - Rentenhöhe, q - Aufzinsungsfaktor (q = + i) und n - Laufzeit. Lösung der Aufgabe.: Gesucht ist eine arithmetische Folge (Dierenz zwei aufeinanderfolgenden Zahlen, die durch 7 teilbar sind, beträgt 7). Aus dem Bildungsvorschrift: a n = a + (n )d, n N mit a = 7 und d = 7 folgt: a n = 7 + (n )7 = 7( + n ) = 7n, n N. Bestimmung der Anzahl n der durch 7 teilbaren Zahlen, die sich zwischen 9 und 87 benden: n - Anzahl durch 7 teilbaren Zahlen, die kleiner gleich 87 sind; a n = 7n 87 n N = n 6, 7 n N = n = 6 n - Anzahl durch 7 teilbaren Zahlen, die kleiner als 9 sind; a n = 7n < 9 n N = n <, 7 n N = n = n = n n = 6 = 4 Zwischen 9 und 87 benden sich 4 durch 7 teilbare Zahlen. 5

16 Die Summe dieser Zahlen beträgt: S = s 6 s = 6 (a + a 6 ) (a + a ) = 3( ) (7 + 7) = 457 = 436. Lösung der Aufgabe.: Sei das Folgenglied a n (n beliebig) einer arithmetischen Folge betrachtet. Das arithmetische Mittel der Nachbarglieder beträgt: a n+ + a n = a + nd + a + (n )d = a + (n )d = a n. = a + nd d = (a + (n )d) Lösung der Aufgabe.3: Das geometrische Mittel von zwei Zahlen x und y beträgt xy. Sei das Folgenglied a n (n beliebig) einer geometrischen Folge betrachtet. Somit kann das geometrische Mittel der Nachbarglieder von a n wie folgt bestimmt werden: an a n+ = a q n a q n = a q n = (a q n ) = a n = a n. Lösung der Aufgabe.4: Die Briefmarken bilden eine Arithmetische Folge: (Rechnung in e) a = 0,; d = 0,; a n = a + (n )d = 0 0, n = 0; n = s 00 = a k = 00 (a + a 00 ) = 50 (0, + 0) = 505 e. k= Lösung der Aufgabe.5: Die Anzahl der Plätze in einer Reihe bildet eine arithmetische Folge mit a = 0 und d =. Somit: a n+ = a n +, n =,..., 34, a n = 0 + (n ) = (n + 9), n =,..., 35, (a) a 3 = 44, a 5 = 68, a 35 = 88, (b) s 35 = 35 (a + a 35 ) = 35 (0 + 88) = 890, (c) Gesucht ist die kleinste natürliche Zahl n mit s n = 079 : s n = n (a + a n ) = n (0 + (n + 9)) = n + 9n 079 NR: (Berechnung der Nullstellen der Parabel n + 9n 079 um festzustellen, wann diese Funktion gröÿer gleich null ist) n + 9n 079 = 0 n = 56, 08; n = 37, 08 Die gesuchte natürliche Zahl ist n = 38. 6

17 Lösung der Aufgabe.6: a = (Cent); a 4 = a q 4 = 0 q 3 = 0 q = 3 0 und somit: das xierte k beträgt 3 und a n = ( 3 0) n entspricht der Bildungsvorschrift der Folge. Es gilt weiterhin: a = 3 0 =, 5 ; a 3 = ( 3 0) = 4, 64 5; a 5 =, 5 0 = e; a 6 = 46, 4 50 = 5 e; a 7 = ( 3 0) 6 = 00 usw. Lösung der Aufgabe.7: Die Lagen bilden eine arithmetische Folge von Kreisen mit Radien r k und Umfängen u k : r 0 = 75 (mm) - Radius der Rolle ohne Papier, d = 0, (mm), r k = , k, k =,,... - Radien inklusive k Lagen von Papier, u 0 = πr 0 = 50π - Umfang der Rolle ohne Papier, u k = πr k = 50π + 0, 4kπ, k =,,... - Umfänge inklusive k Lagen von Papier, (Es werden nur die Lagen von Papier aufsummiert, somit wird u 0 in s n nicht betrachtet) n s n = u k = n(u + u n ) = n((50π + 0, 4π) + (50π + 0, 4nπ)) = 0, πn + 50, πn k= Gesucht ist eine natürliche Zahl n mit s n 0000: 0, πn + 50, πn 0000 = 0 n + 75n 35040, 87 = 0 n < 0 entfällt n = 35, 3 Mit n = 36 Lagen erhält man r 36 = 40, und damit einen Durchmesser von etwa 8 cm. Lösung der Aufgabe.8: (a) Da der Quotient b n+ b n = e 0,5 für n N konstant ist, ist {b n } n N eine geometrische Folge. Da die Dierenz c n+ c n = für n N konstant ist, ist {c n } n N eine arithmetische Folge. ( ) n 3 (b) lim n (c) s 0 = 0 n 3 n + e 0,5n = + 0 =. n= (n ln ) = 0 n= n 0 ln 0 n= n kann als Summe einer Folge d n = {,, 3,...} interpretiert werden. Da {d n } n N eine arithmetische Folge mit a =, a n = n und d = ist folgt: 0 n= n = 0 ( + 0) = 0und somit: s 0 = 0 0 ln 96, 37. Lösung der Aufgabe.9: 7

18 (a) ( ) lim a n = lim n n q qn = ( q n q lim ) = n q n q (q >!) (b) Aus b n = 0, 64 n = 0, 8 n folgt b n+ b n = 0, 8 für n N, d.h. {b n } n N ist geometrische Folge. Oensichtlich gilt b n = 0, 8 n > 0 für n N. Aus b n = 0, 8 n < 0 6 folgt ( 6) ln 0 (n ) ln 0, 8 < 6 ln 0 und n > 6, 9 (Beachte: ln 0, 8 < 0!). ln 0, 8 Damit gilt 0 < b n < 0 6 für n 63, n N. (c) Da {c n } n N eine arithmetische Folge ist, gilt c n = c + (n )d, n N. Aus den bekannten Folgegliedern c 4 und c 44 resultiert das lineare Gleichungssystem 7 = c + 3d 9 = c + 43d. Die eindeutige Lösung ist c = 6, d = 3 und damit gilt c n = 6 + 3(n ) = 3n Für die Summe gilt 00 n= c n = 00 (c + c 00 ) = 50 ( ) = 050. Lösung der Aufgabe.0: (a) Da {a n } n N eine arithmetische Folge ist, gilt a n = a + (n )d, n N. Aus den bekannten Folgegliedern a 7 und a 4 resultiert das lineare Gleichungssystem 9 = a + 6d 78 = a + 3d Die eindeutige Lösung ist a = 7, d = 7 und damit gilt a n = 7 + 7(n ) = 7n + 0. Damit erhält man auch a 99 = 703. Für die Summe gilt s 00 = 00 n= a n = 00 (a + a 00 ) = 50 (7 + 70) = (b) Die Folge {b n } n N ist keine geometrische Folge, da der Quotient b n+ b n = n+ n+ n+ n = n(n + ) (n + ) nicht für alle n N gleich ist. Es gilt z.b. b b = = b 3 b. Lösung der Aufgabe.: (a) a = = 00, a = = 50, a 3 = = a 4 = = 5, a 5 = = 0, a 6 = = = 34, 3 6 = 7. 3

19 (b) Für n 00 gilt 0 < n und folglich =. n (c) Nach b) gilt a n =, n 00, und deshalb lim a n =. n (d) Da lim a n = ist die notwendige Konvergenzbedingung n Alternative Begründung: ( Wegen a n > ist a n divergent n= n= n= lim a n = 0 nicht erfüllt. n ist divergente Minorante n= ). Lösung der Aufgabe.: (a) Für eine nichtkonstante arithmetische Folgen {a n } n N gilt a n = a + (n )d mit d 0. Im Fall d > 0 wächst die Folge unbeschränkt, es gilt lim a n =. Im Fall d < 0 n fällt die Folge unbeschränkt, es gilt lim a n =. n (b) Für eine geometrische Folge {b n } n N gilt b n = b n q = b q n. Aus den bekannten Folgegliedern b = 64 und b 5 = 4 resultiert daher die Gleichung 4 = 64 q 4 mit den Lösungen q = ± 4 4 = ±. 64 Weil b 5 = 4 > 0 gilt und b 6 = b 5 q < 0 gelten soll, muss q = < 0 sein. Damit erhält man b 7 = b 6 q = b 5 q = 4 = und b 4 8 = b 7 q =. ( ( ) n (c) lim + ) n3 n 3 ( ) lim ( ) n = 0 + lim 3 n n n 3 n n 3 ( ) = n n 3 lim ( ) =. n 3 n n 3 Lösung der Aufgabe.3: (a) Zu zeigen ist, dass die Dierenz a n+ a n aufeinander folgender Folgeglieder für verschiedene n nicht gleich ist, die Dierenz also von n abhängig ist. Dazu genügen Beispiele: (b) lim n a n = lim a = 3, a = 3 0, a 3 = 3 n + n n + n n\ = lim n a a = = a 3 a. ( n + n ) ( n\ + ) = n =. Lösung der Aufgabe.4: a Aus den Bedingungen für A 0 ergibt sich (das Gleichungssystem) a 0 b 0 =, 0 b 0 =. Durch Auösen und Einsetzen ndet man für die Anfangsglieder der Seitenlängen-Folgen: a 0 = b 0, b 0 =, b 0 = 4,9 m, a 0 = 0,84 m. 4 Aus der Enstehung von A k aus A k ergibt sich (das System rekursiver Folgen) a k = b k, b k = a k, k =,,

20 Das System läÿt sich oensichtlich entkoppeln nach a k = a k, k =, 3,... 0 mit den zwei Anfangsgliedern a 0 = 4, a = b 0 = bzw. b k = b k, k =, 3,... 0 mit den zwei Anfangsgliedern b 0 = 4, b = a 0 =. 4 Für die Flächeninhalte gilt F 0 = a 0 b 0 = und F k = a k b k = b k a k = F k. Sie bilden demnach die geometrische Folge F k = F k, k =,,... 0, F 0 = in rekusiver Darstellung, bzw. F k = ( ) k, k = 0,,,... 0 in expliziter Form. Lösung der Aufgabe.5: n Gegeben ist s n = a i = n n +, n N. (a) a = s = 3. i= (b) a n = s n s n = = n (n ) n + n + = n(n + ) (n )(n + ) (n + )(n + ) (c) lim n a n = lim n 4 lim s n = lim n n = (n + )(n + ) = 0, + =. n n n + = lim n n (n ) n + n + 4 (n + )(n + ), n. 4 Lösung der Aufgabe.6: (a) a 99 = ( ) 99 =, a 00 = ( ) 00 = +, a 0 = ( ) 0 00 =, a 0 = ( ) =. 4 (b) Für eine geometrische Folge müsste gelten a n+ = q = const. n N. a n Hier ergeben sich jedoch z.b. schon für a 00 = und a 0 = verschiedene Quotienten a 99 a 00 aufeinanderfolgender Folgeglieder. (c) Für eine monotone Folge müsste gelten a n a n+, n N oder a n a n+, n N. Hier gilt z.b. a 99 < a 00, jedoch a 00 > a 0. Die Folge ist also (insgesamt betrachtet) nicht monoton (auch wenn sie ab n = 0 monoton fällt). (d) Die ersten 00 Glieder alternieren in den Werten zwischen - und. Für das Konvergenzverhalten sind diese (endlich vielen) Anfangsglieder jedoch unwesentlich, weil die Folge ab den 0. Glied eine geometrische Folge ist, die das Konvergenzverhalten der gesamten Folge bestimmt. Es gilt deshalb ( ) n lim a n = lim a n+00 = lim = 0. n n n 0

21 (e) S = 00 a n = ( ) n + n= n= n=0 ( ( ) n 00 = ) n = ( ) 50 ( ) + 50 (+) + n= ( ) n = 0 + =. n= Die Berechnung der letzten (Reihen-)Summe erfolgt dabei nach der bekannten Summenformel für die geometrische Reihe: n= a q n = a q (für q < ). Lösung der Aufgabe.7: (a) a k = 4k k+ = 4k k = k, k N Wegen a k+ =, k N, ist {a k } k N eine geometrische Folge. a k Die rekursive Vorschrift lautet a =, a k+ = a k, k N. (b) lim k a k = lim k k =. (c) Für die Folge der Partialsummen {s n } n N mit s n = n a k, n N, gilt: s n+ = s n + a n, n N. Wegen a n < 0, n N, folgt s n+ < s n, n N. Damit ist die Folge der Partialsummen {s n } n N streng monoton fallend. k= Lösung der Aufgabe.8: (a) Für die Monotonie und Beschränktheit ist zu zeigen: a n < a n+ < G, n =,, 3,... Vollständige Induktion: n = : (Induktionsanfang) Nach Voraussetzung gelten 0 < a = a < G und 0 < c < G, deshalb auch 0 < a c < und G a > 0. Damit erhält man >0 >0 {}}{ { }} { a = a + z = a + ca (G a ) }{{} < d.b. 0 < a < a < G. { > a > 0 < a + (G a ) = G n = k: Es gelte 0 < a k < a k+ < G (Induktionsvoraussetzung). Wegen 0 < c < G ndet man damit 0 < a k+ c < und G a k+ > 0. Analog wie oben ergibt sich somit für n = k + (Induktionsbeweis) { > ak+ > 0 a k+ = a k+ + z k+ = a k+ + ca k+ (G a k+ ) < a k+ + (G a k+ ) = G d.b. 0 < a k+ < a k+ < G.

22 Die Folge der a k ist monoton (wachsend) und (nach oben) beschränkt, damit existiert der Grenzwert g und es gilt lim a n = lim a n+ = g. n n Aus a n+ = a n + ca n (G a n ) folgt für n somit g = g + cg(g g) bzw. g(g g) = 0 und aus dieser quadratischen Gleichung für den Grenzwert schlieÿlich g = G (die zweite Lösung g = 0 entfällt). (b) a = a = 0., c = 0.5, G =.0 n a(n) z(n)

23 Lösung der Aufgabe.9: Zur Berechnung des Endwertes nach 6 Jahren benötigt man für den ersten Summanden die gewöhnliche Zinseszinsformel, der zweite Summand berücksichtigt den Bonus auf dem Anlagebetrag: ( K Ende = K 6 + K B = , ) 6 + 0, = 6.399, , 00 = 6.999, Zur Bestimmung des Zinssatzes muss dann die Gleichung ( = p ) 6 00 gelöst werden. Man erhält p = 00 ( 6, 4 ) = 5, 768, also einen Zinssatz von 5,77 %. Lösung der Aufgabe.0: Sparrate R = 000, e, Aufzinsungsfaktor q =, 0, Kontostand nach n Jahren: n K n = Rq n + Rq n Rq = Rq q k = Rq qn. q k= Kontostand nach 9 Jahren: Kontostand über e : K 9 = 000, 0, 09 0, 0 000, 0, 0n 0, 0 > , 0 n >, 3759 = 3. 97, 37 e. Erstmalig für n 0 = 6. n > ln, 3759 ln, 0 = 5, 99 Lösung der Aufgabe.: (a) Die monatliche Auszahlungen bilden eine Folge, deren jeweils Folgenglieder (entsprechend für jedes Jahr) gleich sind. a i = 000 für i =,...,, a j = 080 für j = 3,..., 4 usw. Wenn wir jedoch nur einen Monat von jedem Jahr betrachten, erhalten wir eine arithmetische Folge, deren Glieder den monatlichen Rentenbetrag in dem Jahr n wiedergeben. b = 000, d b = 80 und mit dem Bildungsvorschrift für arithmetische Folge b n = b + (n )d folgt b n = (n ) 80. Somit wird im 0. Jahr monatlich b 0 = (0 ) 80 = 70 e ausbezahlt. Um den Gesamtbetrag nach 0 Jahren zu bestimmen, können wir auch eine arithmetische Folge {c n } formulieren mit c n - jährliche Auszahlung. Dann gilt: c = 000 =. 000 und d c = 80 =

24 Der Gesamtbetrag über 0 Jahre kann also mithilfe der Summenformel bestimmt werden: s n = nc + (n )n d c s 0 = (0 ) = (b) Gesucht ist jetzt die kleinste natürliche Zahl n die folgende Ungleichung erfüllt: s n = n (n )n 960 =. 000n + 480n 480n = 480n +. 50n > NR (Berechnung von Nullstellen der Parabel 480n +. 50n ) 480n +. 50n = 0 n + 4n = 0 n = 43, 6; n = 9, 6 Die gesuchte natürliche Zahl ist n = 0. (c) Wir berechnen zuerst d c (Steigerungssatz des Jahresbetrages), das folgende Gleichung erfüllt: d c = d c = d c = 84, Jetzt können wir den monatlichen Satz d b wie folgt bestimmen: d c = d b d b = dc = 70, 8. Verzunsung mit Zinseszins (i=5 %) (a) Jetzt muss eine geometrische Folge {b n } für die monatlichen Beträge mit b = 000 und q b =, 05 betrachtet werden. Es gilt: b n = b q n b b 0 = 000 (, 05) 9 = 55, 3. In diesem Fall wird also im 0. Jahr monatlich 55, 3 e ausbezahlt. Der Jährliche Gesamtbetrag bildet ebenfalls eine geometrische Folge mit c =. 000 und q c = q b =, 05. Es gilt also für die Summe aller Auszahlungen innerhalb von 0 Jahren: s n = c ( qn c q c ) und für n = 0 gilt s 0 =. 000(,050 0,05 ) = , 7. (b) Gesucht ist nun die kleinste natürliche Zahl n die folgende Ungleichung erfüllt:. 000, 05n 0, 05 > , 05 n >, 666 n > ln, 666 ln, 05 Die gesuchte natürliche Zahl ist n =. = 0,. Lösung der Aufgabe.: Gegeben ist ein Startkapital K > 0, ein Zinsfuÿ p > 0, eine Auszahlungsquote a mit 0 < a < 00 und eine Schranke M > 0. (a) Kontostände K n, n =,,... p K = K + K 00 (K + K p 00 ) a 00 = K ( + p 00 ) ( a 00 ) = K Q (Wegen p > 0 und 0 < a < 00 gilt Q > 0.) 4

25 K n = K Q n, n =,,... Auszahlungen A n, n =,,... (geometrische Folge) A = a 00 K ( + p 00 ) A n = a 00 K n ( + p 00 ) = a 00 K Qn ( + p 00 ) = A Q n, n =,,... (geometrische Folge) Summe der abgehobenen Beträge S n, n =,,... S n = n A j = j= n A Q j = j= { A Q n Q, falls Q n A, falls Q = (Partialsummen der geometrischen Folge (A n ) n N ) (b) Untersuchungen zur Monotonie der Folge der Kontostände K n = K Q n, n =,,..., n =,,... {K n } n N ist monoton nicht fallend, falls Q, d.h. ( + p 00 )( a 00 ). Nach Umformung erhält man die Bedingung p 00 a 00 a. (Für den Fall monoton nicht steigend sind nur die Relationszeichen zu ändern.) Beachte: Im Spezialfall p = a gilt Q <! Hier fallen die Kontostände! (c) Mindestlaufzeit zum Überschreiten einer vorgegebenen Schranke Gesucht ist die kleinste natürliche Zahl n mit der Eigenschaft S n > M. Fall : Q = Fall : Q > Aus S n = na > M folgt n > M A. Aus S n = A Q n Q > M folgt Qn > + M A (Q ). (Beachte: Die rechte Seite der Ungleichung ist gröÿer als Eins!) Nach Logarithmieren erhält man n log Q > log ( + M A (Q )). Wegen log Q > 0 folgt n > log ( + M A (Q )). log Q (Die rechte Seite der Ungleichung stellt eine positive Zahl dar!) Fall 3: Q < Die Folge (A n ) n IN ist monoton fallend und wegen 0 < Q < gilt: Q n S = lim S n = lim A n n Q = A Q = A Q 5

26 (Der Wert S ist eine obere Schranke für die Summe aller Auszahlungen!) Damit ist im Fall M S die Ungleichung S n > M für keine natürliche Zahl n erfüllbar. Im Fall M < S folgen aus M < A Q die Beziehungen 0 < M A ( Q) < und 0 < + M A (Q ) <. Aus S n = A Q n Q > M folgt (Q <!) nun Qn < + M A (Q ). (Beachte: Die rechte Seite der Ungleichung liegt zwischen Null und Eins!) Nach Logarithmieren erhält man n log Q < log ( + M A (Q )). (Beachte: Die rechte Seite der Ungleichung ist jetzt negativ!) Aus Q < folgt log Q < 0 und damit n > log ( + M A (Q )) log Q (Die rechte Seite der Ungleichung stellt eine positive Zahl dar!) (d) Zahlenbeispiele: K = 0000 n = 0 p = 4 a {3; 50 ; 5} M {5000; 50000} 3 n Min für n Min für a Q K 0 A S 0 M = 5000 M = , , 0 3, , , , , , , , 87 50, , 57 ( ) ( ) S = 43333, 333 Lösung der Aufgabe.3: Kontostand nach 6 Jahren: K 6 = K, 05, 07, 09 4 =, 5859K Kontostand bei konstanter Verzinsung: K 6 = K ( + p 00 )6 Bestimmungsgleichung für p :, 5859 K = K ( + p 00 )6 6

27 Lösung: p = ( ) 00 = 7, 99. Lösung der Aufgabe.4: (a) Kontostand nach 3 Jahren:, 05 3 K = 0000 K = , 38, 053 (b) Kontostand nach 3 Jahren: [(R, 05 + R), 05 + R], 05 = R(, , 05 +, 05) =, 05R( +, 05 +, 05 ) =, 05R R 30, 03, 053, 05 = 0000 (c) Der vierteljährliche Zinssatz p ist so zu wählen, dass ( + p = ( 4.05 ) 00.7 p ) 4 =, 05 also 00 Sei nun K i der Kontostand nach i-vierteljahren bei vierteljährlich (vorschüssig) eingezahlter Rate V und dem vierteljährlichen Zinssatz p. Dann gilt: K = V q, wobei q = + p 00 K = (K + V )q = K q + V q = V (q + q) K 3 = (K + V )q = K q + V q = V (q 3 + q + q) K n = (K n + V )q = V (q n + q n q) n K n = V q n = V q qn q k= Bei 3 Jahren, d.b. n = Vierteljahren, q = + für die gesuchte Rate V V = K q q = q 4 769,..05, 053 p 00 = 4.05 und K = 0000 folgt Lösung der Aufgabe.5: Seien a 0 zusätzliche Einmalzahlung zum ersten Zahlungstermin, a n Kontostand nach n-jahren (nach Verzinsung), Zinsen für Jahr n (5 % Jahreszinsen), z n dann sind a n Guthaben im. Halbjahr (im Jahr n), (a n + 000)0, 3 Guthaben im. Halbjahr. Für die Zinsen gilt damit 7

28 [ z n = (a n + 000) + ] (a n + 000)0, 3 0, 05 = 0, 035 (a n + 000), für den Kontostand erhält man a n = (a n + 000) 0, 3 + z n = 0, 335 (a n + 000). Mit der Setzung q = 0, 335 ergibt sich die rekursive Darstellung a n = (a n + 000)q, n =,,, 3..., a 0 0, und daraus sukzessiv a = (a )q, a = (a + 000)q = ((a )q + 000)q = a 0 q + 000(q + q),... a n = (a n + 000)q = a 0 q n + 000(q n + q n q) = a 0 q n + 000q qn q, die explizite Darstellung ( a n = a q ) q n q q q. (a) Die ( obige Darstellung gilt für den allgemeinen Fall a 0 0, speziell für a 0 = 0 gilt: a n = 000 q ) q n q q q = 000 q q ( qn ). (b) Unabhängig von a 0 gilt wegen q <, dass lim q n = 0 und damit n ( lim a n = a q ) lim n q n qn q q = 000 q = a = 996, 65 q Die Folge {q n } ist monoton fallend, deshalb ist die Folge a n = (a 0 a)q n + a der Kontostände monoton wachsend und durch a nach oben beschränkt, wenn a 0 < a gilt (in diesem Fall ist die Dierenz a 0 a negativ und somit jedes Folgenglied kleiner als a). (c) Gesucht ist also solches a 0, so dass die Folge a n konstant a n = a, n =,, 3,... ist. Dies ist der Fall, wenn a 0 = a = 996, 65, da dann die Dierenz a 0 a null beträgt. (d) Die Kontostände a n sind dann monoton fallend und durch a nach unten beschränkt, wenn a 0 > a = 996, 65. Die Dierenz a 0 a ist dann positiv und somit ist jedes Folgenglied a n gröÿer als a. Wegen der Monotonieeigenschaft der Folge {q n } (streng monoton fallende Nullfolge) ist die Folge a n ebenfalls streng monoton fallend. Lösung der Aufgabe.6: (a) Rentenendwert bei nachschüssiger Verzinsung mit Aufzinsungsfaktor q und regelmäÿiger Einzahlung k, Laufzeit n Jahre: R = kq qn q 8

29 Mit k =.000, n = 5, q A =, 03, q B =, 0 ergeben sich die Rentenendwerte R A =.000, 03, 035 0, 03 R B =.000, 0, 05 0, 0 Für die Endwerte K der Kapitalanlage gilt folglich = 5.468, 4 e, = 5.5, 0 e. K A = R A = 5.468, 4 e (da kein Bonus), K B = R B + 0, = 5.40, 0 e (Bonus von 5 % auf e). (b) Sparformen gleichwertig bedeutet, dass der Bonus den Unterschied der Rentenendwerte R A und R B aufwiegen muss: b = 5.468, 4 5.5, 0 = 36, 39 e b = 0, 0638 = 6, 33 %. Die Sparformen sind gleichwertig, wenn der in (B) ausgezahlte Bonus 6,33 % beträgt. Lösung der Aufgabe.7: Frau Ginsterbusch müsste bei Sofortzahlung ( 3.600, 00 3% ) = 3.49, 00 e 00% aufbringen. Die wegen der Überziehung ihres Girokontos fälligen Sollzinsen für 60 Tage belaufen sich bei einem Zinssatz von,5 % dann auf, 5% 3.49, 00 00% 60 = 65, 48 e. 360 Folglich muss für die Einsparung von 08,00 e des Rechnungsbetrages nur eine Zinslast von 65,48 e beglichen werden. Frau Ginsterbusch hat also falsch gehandelt, da sie bei weiterer Überziehung ihres Girokontos 4,5 e eingespart hätte. Lösung der Aufgabe.8: Bei den m Zinszahlungen pro Jahr lässt sich das Endkapital nach dem n-ten Jahr mit einem festen Anlagenbetrag K 0 > 0 wie folgt darstellen: K n,m = K 0 ( + i m )m n, n =,,.... Da an dieser Stelle der Kontostand nach einem Jahr betrachtet wird und die Zinszahlungen monatlich erfolgen, gilt n =, m = und somit: K, = K 0 ( + i ). Es soll also der Zinssatz i bestimmt werden, für den gilt: 4 K 0 ( + i) = K 0 ( + 00 ) (die linke Seite der Gleichung entspricht dem Kapitalwert nach einem Jahr bei einer jährlichen Verzinsung von i %). 9

30 So erhält man: 4 + i = ( + 00 ) 4 i = ( + 00 ) 4 i = ( + 00 ) i = 0, 0407 i = 4, 07 %. Bei einer jährlichen Verzinsung müsste der Zinssatz 4,07 % betragen. Lösung der Aufgabe.9: Sei G t Wert des Warenkorbes und i infl die Ination, so lässt sich der inationsbereinigte Wert des Warenkorbes Jahr später wie folgt darstellen: G t+ = G t ( + i infl ). Nach zwei Jahren gilt (falls Inationsrate unverändert bleibt): G t+ = G t ( + i infl ). Daraus folgt, dass der inationsbereinigte Wert eines Warenkorbes in Jahren beträgt: G t = G t+ ( + i infl ). Somit ergibt sich formel für den inationsbereinigten Kapitalendwert bei Verzinsung mit Zinseszins (mit Zinssatz i) nach n Jahren: K n = K ( ) 0( + i) n n + i ( + i infl ) = K n 0. + i infl Nach Jahren bei einer Verzinsung von 3,5 % und einer jährlichen Ination von, % beträgt der Wert von 00 e: K n = 00 ( + 3,5 ) 00 + = 04, 60 e., 00 Lösung der Aufgabe.30: (a) Die Endwerte K n können mit K 0 = und n = 5 für jedes Sparbrief wie folgt berechnet werden: K A 5 = K 0 ( + 5 0, 05) =, 5 K 0 K B 5 = K 0, =, 46 K 0 K C 5 = K 0 (, , ) =, 59 K 0 Höchsten Endwert liefert Sparbrief C. (b) Die Endwerte der Sparbriefe B und C werden gleich gesetz, d.h.: K B 5 = K C 5 K 0 ( + p B 00) 5 =, 59 K0 30

31 ( ) 5 p B = 00, 59 = 4, 7 %. Sparbrief B müsste mit 4,7 % verzinst werden. Lösung der Aufgabe.3: (a) Kapitalendwert kann für jedes Angebot wie folgt bestimmt werden: K A 5 = 6 000, = 9 938, 6 K B 5 = (, , ) = 0 0, 46. Nach 5 Jahren überstaigt der Kapitalendwert der Anlage im Bank B den Betrag von 0.000, e. (b) Beim gegebenen Kapitalendwert K n und Zinssatz i, kann die Höhe des Anlagebetrages wie folgt bestimmt werden (Umformung der Formel für K n ): K 0 = K n ( + i) n. Für die einzelne Banken folgt mit K n = 0.000, e: K0 A = = 6 049, 0, 0455 K0 B = = 5 88, 7., , Damit nach 5 Jahren der Kapitalendwert in Höhe von 0.000, e erreicht wird, muss bei der Bank A 6.049,0 e und bei der Bank B 5.88,7 e eingezahlt werden. Lösung der Aufgabe.3: (a) Wert des Startkapitals nach 9 Jahren: K 9 = 0.000, 04 9 =.068, 49 Wert der 0 jährlich nachschüssigen Rentenzahlungen nach einer anschlieÿenden Wartezeit von 6 Jahren: R = 5.000, 040, 04 6 = , 78 0, 04 Die Höhe der Einzahlung am Ende des Jahres 00 (Z) ergibt sich aus der Dierenz der Summe der beiden berechneten Werte zum gewünschten Guthaben: Z = (.068, , 78) =.973, 73 Am ende des Jahres 00 muss Herr Zackenbarth zusätzlich.973,73 e einzahlen um den gewünschten Betrag von ,,e zu erreichen. (b) Aus dem im Jahre 00 vorliegenden Guthaben von e soll nach n 0 Jahren ein Guthaben von mindestens e entstehen. Gesucht ist die kleinste natürliche Zahl n, für die folgende Ungleichung gilt: , 04 n

32 Daraus folgt:, 04 n n ln, 04 ln n ln = 7, ln, 04 Damit ist die Ungleichung erstmals für n 0 = 8 erfüllt. Am Ende des Jahres 038 liegt erstmals ein Guthaben von mindestens e vor. Lösung der Aufgabe.33: (a) Die einzelne Rentenendwerte für die Angebote X, Y und Z nach 0 Jahren Laufzeit können wie folgt bestimmt werden: R X 0 =.000, 03, 030 0, 03 R Y 0 =.000, , 040 0, , = 7.676, , 00 = 3.676, 49 = , 7 = 3.8, 5 R0 Z =.000, 03, 030, 03 0 = 3.65, 59, 03 0 = 3.359, 05 0, 03 Somit gilt: R0 Z > R0 X > R0. Y Frau Ginsterbusch hat nicht die ertragreichste Anlage gewählt. (b) R0 X = r, 03, 030 = 3.676, 49 r =.44, 53 0, 03 Statt.000, e müssten zu Jahresbeginn jeweils.44,53 e eingezahlt werden. (c) R 0Y > = r, 040 = 3.8, 5 r =.047, 6 0, 04 Statt 900, e müssten zu Jahresende jeweils.047,6 e eingezahlt werden. (d) R Z 0 =.000, 03, 030 0, 03 R Z 0 = R Z 0 R Z 0 = 65, 59. Man erhält 65,59 e weniger. (e) Mit K 0 = folgt für den Kapitalendwert: K 0 = ( + p 00 ) p 00 0 p 3, 53 Die Verzinsung darf nicht unter 3,53 % liegen., 03 0 = 3.880, 55, 03 0 = 3.093, 46 Lösung der Aufgabe.34: (a) Mehrwertsteuer: 6% 56, 60 e =,60 e. 6% 3

33 (b) Zur Endwertberechnung nach 6 Jahren benötigt man für die Einzahlung die gewöhnliche Zinseszinsformel und für die Auszahlungen die nachschüssige Rentenendwertformel: K 00 = , , 046 = , , 3 = , 06 0, 04 Bemerkung: Der Endwert ist gröÿer als e, weil die jährlichen Zinszahlungen nicht unter.000 e liegen und damit höher als die jährlichen Auszahlungen sind. Lösung der Aufgabe.35: Gegeben: K 0 = 0000 e, Sparrate A = 000 e, Aufzinsungsfaktor q = Gesucht: K n Kontostand am Ende des Jahres n (nach Verzinsung). K = K 0 q + A K = K q + A = K 0 q + A q + A (jede Sparrate A erst im Folgejahr erstmalig verzinst!) K n = K n q + A = K 0 q n + A q n + A q n A n = K 0 q n + A q k k= = K 0 q n + A qn, n =,,.... q =, 03, Zahlenbeispiel: K 0 = 0000, , = 4493, 48 e. Lösung der Aufgabe.36: Anlagebetrag K 0, Verzinsung mit Zinseszins, Aufzinsungsfaktoren: q = + 4 =,04 00 (am Ende des. und des. Jahres), q = + 3 =,03 00 (ab Ende des 3. Jahres). Bonus am Ende der 7-jährigen Maximallaufzeit b = 0,08 K 0. Damit ergib sich für den Endwert K n (K 0 ) in Abhängigkeit vom Anlagebetrag K 0 und der Laufzeit (Jahre) n N, n 7, K 0,04, n =, K n (K 0 ) = K 0,04,03 n, n = 3, 4, 5, 6, K 0,04, ,08 K 0, n = 7. Lösung der Aufgabe.37: Gegeben sind: Startkapital K 0 = , Zinsfuÿ p = 4, Aufzinsungsfaktor q = ( ) und jährliche Abhebung ab Ende 0 R = Sei K n der Kontostand am Ende des Jahres n, n =,,... 8 (nach Verzinsung 33

34 und Abhebung). Dann gilt: K n = K 0 q n, n =,, 3 (008 00) K 4 = K 3 q R = K 0 q 4 R (0) K 5 = K 4 q R = K 0 q 5 R q R = K 0 q 5 R(q + ) (0) K 6 = K 5 q R = K 0 q 6 R q R q R = K 0 q 6 R(q + q + ) (03)... K n = K n q R = K 0 q n R(q n 4 + q n ), n = 4, 5,... 8 (0 05) Zu berechnen ist: K 8 = K 0 q 8 R(q 4 + q ) = K 0 q 8 R Zahlenbeispiel: 5 k= q k = K 0 q 4 R q5 q K 4 = , , 045, 04 = , (, 04 5 ) = 0.90, ,94 =.7,89 e. Lösung der Aufgabe.38: Bezeichnungen: jährliche Sparrate r, Zinssatz p %, Aufzinsungsfaktor q = Laufzeit n-jahre. ( + p ), 00 Guthaben aus Sparraten und deren Verzinsung: k-te Jahresrate wird (n k + )-mal verzinst, k =,,..., n, deshalb gilt R n (r; q) = rq n + rq n rq + rq = rq(q n + q n... + q + ) = rq = rq qn q. Angebot A: r =.000; p = 3,6; q =,036; n = 5; R A = R 5 (.000;,036) =.000,036,0365 0,036 = ,08 e. Angebot A: r =.000; p = 3,0; q =,03; n = 5; k Bonus für k-te Sparrate B k =.000 = 0 k, k =,,..., 5, 00 R A = R 5 (.000;,03) + 5 k= B k =.000,03,035 0,03 = , Herr Zackenbarth sollte das Angebot A wählen (5 + ) 5 k= k n k= = ,04 e. q k 34

35 Lösung der Aufgabe.39: Bezeichnungen: jährliche Sparrate (vorschüssig zu Jahresbeginn) r, Zinssatz p %, ( Aufzinsungsfaktor q = + p ), Laufzeit n-jahre. 00 Guthaben aus Sparraten und deren Verzinsung: k-te Jahresrate wird k-mal verzinst, k =,,..., n, deshalb gilt für den Kontostand am Ende des Jahres n n R n = rq n + rq n rq + rq = rq(q n + q n... + q + ) = rq q k = rq qn q. (a) r = 7.000; p = 4; q =,04; n = 7 R 7 = 7.000,04,047 0,04 = ,58 e. (b) r = 7.000; p = 4; q =,04; Gesucht ist n N, n minimal, so dass R n (r; q) M = Wegen r > 0, q > (damit q > 0, ln q > 0 ) ndet man rq qn q M qn M r q ( M + n ln q ln q r q ) + q n ( M ln q ln r q ) + q = ( ln,04 ln ,04 ),04 + = ( ) 4 ln,04 ln 7,8 + = ln,8 ln 7,8 ln,04 k= =,8 ln ln,04 7,8, 7 Am Ende des. Jahres übersteigt das Guthaben (erstmalig) e. Lösung der Aufgabe.40: Gegeben sind: Startkapital K 0 = , Zinsfuÿ p = 3, Aufzinsungsfaktor q = ( ) und Rate der jährlichen Abhebung ab Anfang 07 R = Sei K n der Kontostand am Ende des Jahres n, n =,,... 0 (nach Verzinsung). Dann gilt (bei schrittweiser Entwicklung der gesuchten Formel): 35

36 K n = K 0 q n, n =,,..., 8 (009 06) K 9 = (K 8 R) q = (K 0 q 8 R) q = K 0 q 9 R q (07) K 0 = (K 9 R) q = K 0 q 0 R q R q = K 0 q 0 Rq (q + ) (08) K = (K 0 R) q = K 0 q Rq (q + q + ) (09)... K n = K 0 q n Rq (q n 9 + q n ), n = 9, 0,..., 0 (07 08) Zu berechnen ist K 0 = K 0 q 0 Rq (q +q ) = K 0 q 0 Rq Zahlenbeispiel: K 0 = , ,03,03,03 k= = , ,44 = ,8 e. q k = K 0 q 0 Rq q q ( ) Wenn man die entsprechenden Formeln kennt, kann man natürlich die gesuchte Endformel ( ) auch gleich direkt zusammensetzen aus der Zinseszinsformel für den Endwert der anfänglichen Einmaleinlage K 0 über die Laufzeit von 0 Jahren, vermindert um die periodischen Abhebungen nach der Endwertformel für vorschüssige Renten (Raten R) über die Laufzeit von Jahren. Lösung der Aufgabe.4: Die Formel setzt sich zusammen aus Zinseszinsformel für den Endwert der anfänglichen Einmaleinlage K 0 über die Laufzeit von 0 sowie periodischen Einzahlungen nach der Endwertformel für nachschüssige Renten über die Laufzeit von 0 Jahren. Für die restlichen 7 Jahre wird wieder Zinseszinsformel auf den gesamten Betrag angewendet (vgl. Aufgaben.40 und.37). ( K 7 = 0.000, , ) 030, 0 7 = 96.76, 73 e. 0, 03 36

37 KAPITEL Funktionen einer Veränderlicher. Grenzwerte, Stetigkeit, Dierenzierbarkeit Aufgabe.: Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte: ( 3x (a) lim 4 4x 3 + x (b) lim (x ) x ) 3 x x 3 (c) lim x 0 x+ x x (d) lim x /e +ln x. Aufgabe.: Untersuchen Sie die Funktion 0, x < π y = cos x, π x + π, + π < x an den Stellen x 0 = π und x = π auf Stetigkeit und Dierenzierbarkeit. Aufgabe.3: Zeigen Sie, dass die Funktion f(x) = Aufgabe.4: e x x (x ), x > x, x im Punkt x 0 = stetig ist. Gegeben sind die Funktionen {, x 0 f(x) = ln ( + x ) und g(x) = x f(x)., x > 0 x (a) Untersuchen Sie die Funktion f(x) auf Stetigkeit an der Stelle x 0 = 0. Berechnen Sie dazu auch den rechtsseitigen Grenzwert lim f(x). x 0+ (b) Begründen Sie, weshalb die Funktion f(x) keine reellen Nullstellen besitzt. (c) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion g(x). (d) Für welche reellen Zahlen x gilt f(x) = g(x)? 37