Aufgabe 1 (8 Punkte): Markieren Sie die richtigen Antworten:

Transkript

1 Name:N.. Vorname:.. Matr.-Nr.:. Aufgabe 1 (8 Punkte): Was für eine Rechnung wird mit der Excel-Tabelle auf der Rückseite des Mantelbogens ausgeführt? (A)Es wird die Entwicklung auf einem Sparkonto dargestellt, in das an jedem Jahresanfasng die gleiche Rate eingezahlt wird. (B)Es wird die Entwicklung auf einem Kreditkonto dargestellt, bei dem eine gleichmäßige Tilgung vorgesehen ist. (C)Es wird die Entwicklung auf einem Rentenkonto mit vorschüssiger Zahlung dargestellt. (D)Es wird ein Vergleich von mehreren Angeboten vorgenommen. (E)Es wird die Entwicklung auf einem Rentenkonto mit nachschüssiger Zahlung dargestellt. Welche Sonderregeln gelten, wenn man partielle Ableitungsfunktionen z x und z y einer Funktion z=f(x,y) berechnen soll? (A)Wird partiell nach x differenziert, so wird auch jede Konstante wie x angesehen. (B)Wird partiell nach y differenziert, so wird jedes x wie eine Konstante angesehen. (C)Wird partiell nach x differenziert, so wird jedes y wie eine Konstante angesehen. (D)Wird partiell nach y differenziert, so wird auch jede Konstante wie y angesehen. (E)Alle Produkte, die sowohl aus x als auch aus y bestehen, werden zu Null differenziert. Frau A. und Frau B. nähern sich dem Renteneintrittsalter. Beide beabsichtigen, am Beginn des ersten Jahres nach dem entsprechenden Geburtstag ein verzinstes Rentenkonto mit einem Einmalbetrag zu eröffnen, um dann zwanzig Jahre lang jeweils am Jahreswechsel Euro in Empfang nehmen zu können. Allerdings will Frau A. sofort bei der Konteneröffnung die erste Rente erhalten, Frau B. dagegen will bescheiden erst ein Jahr warten, bis sie die erste Rente bekommt. Was ist richtig? (A)Beide Damen müssen genau einzahlen, um zwanzig Renten erhalten zu können. (B)Beide Damen müssen mehr als einzahlen, um die zwanzig Renten erhalten zu können. (C)Beide Damen können mit weniger als ihre Rentenkonten eröffnen. (D)Frau A. muß mehr einzahlen als Frau B. (E)Frau B. muß mehr einzahlen als Frau A. Was ist richtig? (A)Jede Matrix besitzt immer eine Inverse. (B)Nur jede quadratische Matrix besitzt immer eine Inverse. (C)Eine rechteckige Matrix kann nur dann eine Inverse besitzen, wenn ihre Determinante positiv ist. (D)Eine quadratische Matrix kann eine Inverse besitzen. (E)Die Inverse eines Zeilenvektors ist ein Spaltenvektor. Aufgabe 2 (10 Punkte): Weisen Sie nach, dass Sie die Regeln des Umgangs mit Potenzen und Wurzeln, der Bruchrechnung und der Regeln des Differenzierens beherrschen, indem Sie die rechte Seite der Funktionsformel zuerst so vereinfachen, dass keine Wurzel mehr vorhanden ist, und danach die erste Ableitungsfunktion f (x) und dann die zweite Ableitungsfunktion f (x) bilden. Formen Sie die erhaltenen Ergebnisse danach so um, dass schließlich weder gebrochene noch negative Exponenten mehr zu sehen sind. Nutzen Sie für Ihre Rechnung die Innenseite des Mantelbogens. Gegeben sind der Zeilenvektor A ( 1 1 x) Bilden Sie zuerst mit Hilfe des Schemas von FALK das Produkt A!!B: y = f ( x) = x x Aufgabe 3(8 Punkte): 2 = und der Spaltenvektor B = 1, 1 Lösen Sie dann die Gleichung A!!B=1. Welcher Wert ergibt sich für die Unbekannte x? Tragen Sie ihn hier ein...

2 Was ist richtig? (A)!!Annuität = Restschuld minus Zins (B) Annuität = Tilgung minus Zins (C) Annuität = Tilgung plus Zins (D) Annuität = Tilgung ohne Restschuld (E) Annuität = doppelte Restschuld Was ist richtig für (-n)!!ln a? (A) (-n)!ln a= n-!ln a (B) (-n)!ln a= ln a!!!n (C) (-n)!ln a= ln a!!ln n (D) (-n)!ln a= ln (1!/!a n ) (E) (-n)!ln a=! ln (a!!n) Aufgabe 4 (8 Punkte): Wie ist der Effektivzins definiert? (A)Summe der Zinszahlungen durch Summe der Restschulden (B)Summe der Restschulden mal Summe der Zinszahlungen (C)Mittelwert der ersten und letzten Restschuld durch Zahlungsdauer (D)Ausgereichter Kredit durch Summe der Restschulden (E)Vereinbarter Jahreszinssatz durch Kreditlaufzeit Was heißt abzinsen? (A)Man sucht denjenigen Betrag, der sich nach n Jahren um eine gewisse Summe gemäß Zinssatz verringert. (B)Man sucht denjenigen Betrag, der aufgrund von Zins und Zinseszins sich mit den Jahren auf dem Konto entwickelt. (C)Man fragt nach dem Betrag, der nötig ist, um in n Jahren einen gewissen Kontostand zu erreichen. (D)Wenn der Jahreszinssatz sich ändert, dann fragt man nach dem effektiven Zinssatz. (E)Es werden die Tage gezählt, an denen Verzinsung stattfindet. Aufgabe 5 (7 Punkte): Finden Sie heraus, welche Überschriften in die Zellen A1 bis A3, D6 bis F6 und H6 in der Excel-Tabelle auf der Rückseite des Mantelbogens einzutragen sind, um dem Betrachter dieser Tabelle zu erklären, welche Bedeutung die jeweiligen Einträge haben. Tragen Sie Ihre Erkenntnisse auf der Rückseite des Mantelbogens ein. Aufgabe 6 (6 Punkte): Was ist richtig für ln(a!b)? A) ln(a b)=ln a ln b (B) ln(a b)=ln a + ln b (C) ln(a b)=ln a - ln b (D) ln(a b)=ln a ln b (E) ln(a b)=ln a / ln b Wie findet man Hoch- oder Tiefpunkte eines Graphen einer Funktion einer Veränderlichen? (A)Man muss immer den Graph zeichnen und dann ablesen. (B)Man muss die erste Ableitungsfunktion Null setzen, ist der Wert größer Null, ist es ein Hochpunkt, sonst ein Tiefpunkt. (C)Die Lösungen der Gleichung erste Ableitungsfunktion gleich Null liefern die Kandidaten für Hoch- bzw. Tiefpunkte (D)Die Lösungen der Gleichung zweite Ableitungsfunktion gleich Null liefern die Kandidaten für Hoch- bzw. Tiefpunkte (E)Ist der erste Ableitungswert Null an einer Stelle, dann befindet sich dort gleichzeitig ein Hoch- und Tiefpunkt. Was ist richtig? (A)Eine Potenz wird potenziert, indem die Exponenten addiert werden. (B)Eine Potenz wird potenziert, indem die Exponenten subtrahiert werden. (C)Eine Potenz wird potenziert, indem die Exponenten multipliziert werden. (D)Eine Potenz wird potenziert, indem die Exponenten dividiert werden. (E)Eine Potenz kann niemals noch einmal potenziert werden.

3 Name:N.. Vorname:.. Matr.-Nr.:. Aufgabe 7 (8 Punkte): Die Skizze enthält bereits den linken und rechten Teil des Graphen der Funktion x 1 y = ax 0,5x + 1,5 Ergänzen Sie für a=1, a=2 und a=3 dreimal den Graphen, tragen Sie die drei von Ihnen gefundenen Mittelteile in die Skizze ein. Machen Sie dabei jeweils deutlich (durch Punkt bzw. offenen Halbkreis), welcher Teil des Graphen an den Stellen 1 und +1 zutreffend ist. 4 3,5 x < 1 1 x < 1 x 1 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0-2,0-1,8-1,5-1,3-1,0-0,7-0,5-0,2 0,0 0,3 0,5 0,8 1,0 1,3 1,5 1,8 2,0-0,5-1 -1,5-2 -2,5-3 Lesen Sie dann ab, für welchen Wert von a die gegebene Funktion überall stetig ist: -3,5 Aufgabe 8 (4 Punkte): Was ist richtig für das Matrizenprodukt A A T? (A)Dieses Produkt kann nur gebildet werden, wenn A eine quadratische Matrix ist. (B)Dieses Produkt kann für für rechteckige und quadratische Matrizen gebildet werden, aber nicht für Vektoren. (C)Dieses Produkt kann für Matrizen beliebigen Formats gebildet werden. (D)Dieses Produkt kann überhaupt nicht gebildet werden. (E)Dieses Produkt liefert stets eine einzige Zahl. Wie findet man alle x-werte, die die Ungleichung x-5 <-4 erfüllen? (A)Man erinnert sich an die Eigenschaften des Betrages und kennt dann sofort die Lösung: Es gibt keine. (B)Man ersetzt die senkrechten Striche durch Klammern. (C)Man ersetzt die senkrechten Striche durch Klammern mit einem Minuszeichen. (D)Man formuliert Annahmen über den Betragsinhalt, zieht Schlußfolgerungen und vereinigt dann die Teile der Lösungsmenge. (E)Man muß die linke Seite umformen in x-5 = x + -5 =(x)+(-(-5))=x+5, dann löst sich die Ungleichung leicht.

4 Gegeben sind Aufgabe 9(10 Punkte): 2 = und der Spaltenvektor B = 1 1 der Zeilenvektor A ( 1 1 x) Bilden Sie zuerst mit Hilfe des Schemas von FALK das Produkt B!!A: Berechnen Sie dann mit der Regel von SARRUS den Wert det(b!!a): Beantworten Sie dann die folgende Frage: Für welchen Wert von x ergibt sich det(b!!a)=0?... In welchem der angegebenen Intervalle liegt die Zahl x=log! 3!! 111? Was ist richtig für ln a ln b? Aufgabe 10 (8 Punkte): (A)-1!!!x!!!0 (B) 1!!!x!!!2 (C) 3!!!x!!!4 (D) 4!!!x!!!5 (E) 5!!!x!!!6 A)!!ln a ln b=ln (a-b) (B) ln a ln b=ln (a!! -!!b )(C) ln a ln b=ln (a! b ) (D) ln a ln b=ln (a!/!b) (E) ln a ln b=ln (a + b! -!1 ) Wie erkennt man am Graph einer Funktion eine Unstetigkeitsstelle? (A)Wenn der Graph nicht existiert, dann ist die Funktion dort unstetig. (B)Wenn der Graph steil ansteigt, dann deutet das auf eine Unstetigkeitsstelle hin. (C)Wenn der Graph von einem Linksbogen in einen Rechtsbogen wechselt, dann befindet sich dort eine Unstetigkeitsstelle. (D)Wenn der Graph einen Sprung hat, dann befindet sich dort eine Unstetigkeitsstelle. (E)Wenn der Graph eine Spitze hat, dann befindet sich dort eine Unstetigkeitsstelle. Welche Informationen liefert der erste Ableitungswert y x 0? (A)Er informiert darüber, ob der Funktionswert bei kleiner Änderung von x 0 zu x 0 +h größer oder kleiner wird. (B)Er informiert darüber, ob die Tangente an den Graph der Funktion an der Stelle x 0 steigt oder fällt. (C)Er informiert darüber, ob ein Übergang von einem Linksbogen zu einem Rechtbogen stattfindet. (D)Er informiert darüber, wie stark sich der Funktionswert bei kleiner Änderung von x 0 zu x 0 +h ändert. (E)Er informiert darüber, wie steil die Tangente an den Graph der Funktion an der Stelle x 0 sein wird. Was ist richtig? (A)Gilt für die zweite Ableitungsfunktion y einer Funktion y=f(x) die Formel y >0, dann hat die Funktion y keine Krümmung. (B)Gilt für die zweite Ableitungsfunktion y die Formel y >0, dann besteht der gesamte Graph aus einem Linksbogen. (C)Gilt für die zweite Ableitungsfunktion y die Formel y >0, dann besteht der gesamte Graph aus einem Rechtsbogen. (D)Gilt für die erste Ableitungsfunktion y die Formel y =0, dann ist y ein Polynom ersten Grades. (E)Gilt für die erste Ableitungsfunktion y die Formel y =0, dann ist y ein Polynom nullten Grades.

5 Name:N.. Vorname:.. Matr.-Nr.:. Aufgabe 11 (9 Punkte): Aufgabe 11a: Überprüfen Sie, ob der Graph der Funktion Stelle x=!! 1, y=! 1 eine waagerechte Tangentialebene besitzt. Aufgabe 11b: Überprüfen Sie, ob der Graph der Funktion Stelle x=!!0, y=0 eine waagerechte Tangentialebene besitzt. Aufgabe 11c: Überprüfen Sie, ob der Graph der Funktion Stelle x=!!+1, y=+1 eine waagerechte Tangentialebene besitzt. Tragen Sie Ihre Rechnung und Ihre Ergebnisse hier ein: f ( x, y) = x y( x + y) f ( x, y) = x y( x + y) f ( x, y) = x y( x + y) an der an der an der Aufgabe 12 (2 Punkte): Markieren Sie die richtige(n) Antwort(en): Das junge Ehepaar Paul und Paula will einen Kredit in Höhe von Euro aufnehmen. Der Kreditgeber verlangt 8 Prozent Zinsen. Die beiden schreiben ihm einen Brief: Wir möchten die Annuität mit konstant Euro vereinbaren, Da lacht der Kreditgeber herzhaft. Warum? (A) Die Vokabel Annuität gehört zum Themenkomplex Abschreibungen, sie ist hier völlig deplaziert. (B) Die Restschuld wird bei dieser vorgeschlagenen Annuität immer gleich bleiben. (C) Die Vokabel Annuität gehört zur Ratenzahlung, sie ist hier völlig deplaziert. (D) Die Restschuld wird bei dieser vorgeschlagenen Annuität sogar anwachsen. (E) Mit dieser Annuität wäre im ersten Jahr nicht einmal die Bezahlung der Zinsen möglich, folglich könnte niemals eine Tilgung stattfinden.

6 Aufgabe 13 (12 Punkte): Wenden Sie den Algorithmus von GAUSS auf das folgende lineare Gleichungssystem an. Finden Sie heraus, ob das System lösbar oder unlösbar ist. Falls es lösbar sein sollte, dann finden Sie weiter heraus, ob es eine oder unendlich viele Lösungen besitzt. Besitzt es eine Lösung, dann geben Sie diese an. Besitzt es unendlich viele Lösungen, dann geben Sie eine Beschreibung der unendlichen Lösungsmenge an. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = Tragen Sie Ihre Erkenntnisse hier ein: