Working Paper Modellierung des Kreditrisikos im Einwertpapierfall. Working paper series // Frankfurt School of Finance & Management, No.

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1 econsor Der Open-Access-Publikaionsserver der ZBW Leibniz-Informaionszenrum Wirschaf he Open Access Publicaion Server of he ZBW Leibniz Informaion Cenre for Economics Cremers, Heinz; Walzner, Jens Working Paper Modellierung des Kredirisikos im Einwerpapierfall Working paper series //, No. 16 Provided in Cooperaion wih: Frankfur School of Finance and Managemen Suggesed Ciaion: Cremers, Heinz; Walzner, Jens (9) : Modellierung des Kredirisikos im Einwerpapierfall, Working paper series //, No. 16, hp://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:11: his Version is available a: hp://hdl.handle.ne/1419/793 Nuzungsbedingungen: Die ZBW räum Ihnen als Nuzerin/Nuzer das unengelliche, räumlich unbeschränke und zeilich auf die Dauer des Schuzrechs beschränke einfache Rech ein, das ausgewähle Werk im Rahmen der uner hp:// nachzulesenden vollsändigen Nuzungsbedingungen zu vervielfäligen, mi denen die Nuzerin/der Nuzer sich durch die erse Nuzung einversanden erklär. erms of use: he ZBW grans you, he user, he non-exclusive righ o use he seleced work free of charge, erriorially unresriced and wihin he ime limi of he erm of he propery righs according o he erms specified a hp:// By he firs use of he seleced work he user agrees and declares o comply wih hese erms of use. zbw Leibniz-Informaionszenrum Wirschaf Leibniz Informaion Cenre for Economics

2 Frankfur School Working Paper Series No. 16 Modellierung des Kredirisikos im Einwerpapierfall von Heinz Cremers und Jens Walzner Augus 9 Sonnemannsr Frankfur an Main, Germany Phone: +49 () Fax: +49 () Inerne:

3 Absrac he curren financial marke crisis has impressively demonsraed he imporance of an effecive credi risk managemen for financial insiuions. A he same ime, he use and he valuaion of credi derivaives has been widely criicised as a resul of he crisis. Over he pas decade, credi derivaives emerged as an imporan par of credi risk managemen as hese offer a broad range of possibiliies o reduce credi risk hrough acive credi porfolio managemen. his has represened a quanum leap in he furher developmen of credi risk managemen. Credi risk managemen, wihou using credi derivaives, no longer seems o be an appropriae alernaive. However, correc valuaion of hese derivaives is sill challenging. he crisis has demonsraed ha he issue is less abou using credi derivaives han abou developing valid valuaion echniques. A sound undersanding of already exising credi pricing models is necessary for such a developmen. hese models are he key focus of his working paper. Lieraure disinguishes beween hree differen kinds of credi pricing models: Asse-Based- Models, Inensiy-Based-Models and hybrid models. he primary purpose of credi risk modelling is o simulae he defaul of a defaulable asse. Asse-Based-Models ry o model he defaul by analyzing changes in value of such an asse: if he value of a defaulable asse falls below a defined hreshold, he asse defauls. While his is economically plausible, he modelling of a defaul in an Inensiy-Based-Model is raher random. I is simply he resul of a sochasic process. While Inensiy-Based-Models do no offer any economic raionale for he defaul, heir resuls are surprisingly realisic. Hybrid models are a combinaion of boh kind of models. hese ry o esablish a connecion beween he economic raionale of he Asse-Based-Models and he empirical validiy of he resuls of he Inensiy-Based-Models. While his paper focuses on he valuaion echniques in a single asse case, Frankfur School Working Paper No. 17 concenraes on credi risk modelling in a porfolio case. Key words: credi risk pricing models; asse-based models; asse-value models; srucural models; inensiy-based models; reduced-form models; credi derivaives; credi defaul swap; pricing; valuaion; defaul spread; risk managemen; credi porfolio managemen JEL classificaion: C; G1; G1; G3 ISSN: Conac: Prof. Dr. Heinz Cremers Sonnemannsrasse 9-11 D-6314 Frankfur am Main Germany Phone: +49-() h.cremers@frankfur-school.de Jens Walzner, M.Sc. Dresdner Kleinwor heodor-heuss-anlage D-6486 Frankfur am Main Germany Mobil: +49-() jens.walzner@dkib.com Working Paper No. 16

4 Inhalsverzeichnis Abbildungsverzeichnis...4 Symbolverzeichnis Einleiung Ausgangslage Definiion der Begriffe Kredirisiko, boniässensiiver Finanziel und Kredirisikomodell...9. Modellüberblick Modellierung des Kredirisikos eines einzelnen boniässensiiven Finanziels Unernehmenswermodelle Klassicher opionsheoreischer Ansaz Firs-Passage Ansaz Kalibrierung von Unernehmenswermodellen Kriische Würdigung der Unernehmenswermodelle Inensiäsmodelle Inensiäsmodelle mi konsaner Inensiä Inensiäsmodelle mi zeivariabler Inensiä Inensiäsmodelle mi sochasischer Inensiä Modellierung von Raing-Migraions-Inensiäen Kalibrierung von Inensiäsmodellen Kriische Würdigung der Inensiäsmodelle Hybride Kredirisikomodelle Kriische Würdigung von hybriden Kredirisikomodellen Praxisbeispiel: Bewerung von Credi Defaul Swaps Fazi...79 Lieraurverzeichnis...8 Working Paper No. 16 3

5 abellenverzeichnis ab. 1: Weierenwicklung von Unernehmenswermodellen im Zeiverlauf...14 ab. : Weierenwicklung von Inensiäsmodellen im Zeiverlauf...16 ab. 3: Wer von Fremd- und Eigenkapial bei Fälligkei... ab. 4: Beispiel zum klassischen opionsheoreischen Ansaz...9 ab. 5: Vergleich des Firs-Passage-Ansazes mi zeiabhängiger Ausfallschranke mi dem Meron-Modell anhand einer Beispielrechnung...36 ab. 6: Werenwicklung der Kapialbesandeile im Beispiel...41 ab. 7: Bewerung eines Couponbonds...44 ab. 8: Raingmigraionsmarix (alle Angaben in %)...53 ab. 9: Bedinge Ausfall- und Überlebenswahrscheinlichkeien in %...54 ab. 1: Vergleich des Modells mi unbekannem Firmenwer zu dem Modell mi unbekanner Ausfallschranke und unbekannem Firmenwer...71 ab. 11: CDS-Spreads anhand akueller Markdaen...76 ab. 1: Überlebenswahrscheinlichkeien bis i und Inensiäen...77 Abbildungsverzeichnis Abb. 1: Kredirisikomodelle im Überblick...1 Abb. : Ausfallereignisse nach dem klassischen opionsheoreischen Ansaz... Abb. 3: Graphische Darsellung des Fremd- und Eigenkapials zum Zeipunk... Abb. 4: Srukurkurve der Credi Spreads in Abhängigkei von der Laufzei des Fremdkapials...7 Abb. 5: Ausfallereignisse nach dem Firs-Passage Ansaz im Fall K > DB...3 Abb. 6: Enwicklung des Credi Spreads bei bekanner Firmenwerenwicklung, aber unbekanner Ausfallschranke...64 Abb. 7: Enwicklung des Credi Spreads bei bekanner Ausfallschranke, aber unbekannem Firmenwer...66 Abb. 8: Enwicklung des Credi Spreads bei unbekanner Ausfallschranke sowie unbekannem Firmenwer...67 Working Paper No. 16 4

6 Symbolverzeichnis [ i-1, i ] Zeiinervall von i-1 bis i [ i-1,τ] Zeiinervall von i bis τ α A i A a j a r i a B i b i b B F B R B B c Konfidenzniveau Sandardisierer Firmenwer Kompensaor / Ausfallrend Konsaner Gewichungsparameer Vekor der konsanen Fakorgewiche des Makro-Fakors X Unerer ranchierungspunk Sandardisieres Nominal des Fremdkapials bzw. sandardisiere Ausfallschranke Konsanes Fakorgewich des idiosynkraischen Fakors Z i Oberer ranchierungspunk Barwer eines ausfallrisikobehafeen Finanziels Barwer der Rückzahlung einer Forderung, welche zum Zeipunk erfolg Barwer der Recovery-Zahlung, welche bei Einri eines Ausfallereignisses zum Zeipunk τ geleise wird Wer eines ausfallgefährdeen Finanziels bei Fälligkei Konsane Couponzahlungen C ( ) Wer einer europäischen Call-Opion C ( u, v) Copulafunkion CB CB CF Couponbond Barwer eines Couponbonds Cash-Flow zum Zeipunk Ga C r Gauss sche Copula mi Korrelaionskoeffizienen r C, -Copula mi Korrelaionskoeffizienen r und w Freiheisgraden r w Gumbel C r Gumbel-Copula mi Korrelaionskoeffizienen r Clayon C r Clayon-Copula mi Korrelaionskoeffizienen r C Cov CVaR D DB DF Produk-Copula Kovarianz Credi-Value a Risk Ausfallereignis / Defaulindikaor Ausfallschwelle (Defaul Barrier) Diskonfakor Working Paper No. 16 5

7 Q E E EAD EL e F ( x, y) Risikoneuraler Erwarungswer beim äquivalenen Maringalmaß Q Markwer des Eigenkapials zum Zeipunk Exposure a Defaul Expeced Loss Eulerische Zahl Vereilungsfunkion F Gemeinsame Vereilungsfunkion von x und y F p,ρ Grenzverlusvereilung bei großen Porfolien f Dichefunkion G ( x) Vereilungsfunkion von i W 1 H ( x) Vereilungsfunkion von Z i h i j J () K k L L n LGD M M N Basisinensiä bzw. der Inensiä bei einem einzelnen boniässensiiven Finanziel Sprung-Prozess Ausfallindikaorprozess des Unernehmens / Raing-Kaegorie Nominal des Zerobonds Konsaner Fakor / Anzahl der Ausfälle Quasi-Verschuldungsgrad Porfolioverlus Loss Given Defaul Hisorisches ief des Firmenwers Anzahl aler Akien Zählprozess / (inhomogener) Poisson-Prozess / Anzahl neuer Akien P ( ) Wer einer europäischen Pu-Opion p p p(x) p n p n kum. Ausfallwahrscheinlichkei Durchschniliche Ausfallwahrscheinlichkei Bedinge Ausfallwahrscheinlichkei in Abhängigkei von X Bedinge Ausfallwahrscheinlichkei in Abhängigkei in Abhängigkei von Raingmigraionen Kumuliere bedinge Ausfallwahrscheinlichkei in Abhängigkei in Abhängigkei von Raingmigraionen p surv Überlebenswahrscheinlichkei Payoff a, Auszahlung an den Invesor bei eine CDO-ranche Q α Q ( x) [ b]( z) Alpha-Quanil Vereilungsfunkion von X Working Paper No. 16 6

8 q(,) Rec r S S [a,b] S b s s [ ]( X ) s CDS Bedinge Ausfallwahrscheinlichkei, welche vom Wissenssand des Invesors I zum Zeipunk abhängig is, für den Einri eines Ausfallereignisses vor Fälligkei eines Finanziels Recovery-Rae Risikoloser (koninuierlicher) Zinssaz / Korrelaionsparameer bei Copulae Emissionskurs eines Zerobonds Überlebensaneil / Auszahlungsquoe a, Bedinger Überlebensaneil Credi Spread Duchschnilicher Credi Spread Credi Spread eines Credi Defaul Swaps fair s CDS Fairer Credi Spread eines Credi Defaul Swaps s implizi n m s : τ τ 1 τ U U UL u V V V Var V risky V rf v W i W 1 w X Inplizier Credi Spread Credi Spread eines n h -o-defaul Swaps mi einem Baske besehend aus m ieln Zeipunk der Fälligkei eines Finanziels Zufälliger Zeipunk des Einris eines Ausfallereignisses Ausfallzeipunk beim klassischen opionsheoreischen Ansaz Ausfallzeipunk beim Firs-Passage Ansaz Unabhängige Zufallsvariable Koninuierlicher Markow-Prozess Unexpeced Loss Realisaion von U / Ausfallzeipunk im koninuierlichen Fall Firmenwer zum Zeipunk Markwer eines Unernehmens (Eniy-Value) zum Zeipunk Kriischer Unernehmenswer, welcher vorhanden sein muss, dami das Eigenkapial ausreichend is, um Couponzahlungen zu gewährleisen Varianz Wer eines risikobehafeen Finanziels Wer eines risikofreien Finanziels Konsaner Absand des Firmenwers vom hisorischen ief des Firmenwers Sandard-Brownsche Bewegung sandardisierer Firmenwer Freiheisgrade Zufallsvariable, die den Makro-Fakor beschreib Working Paper No. 16 7

9 X sys Sysemaisches Ausfallrisiko eines Unernehmens X i x Y i y rf Idiosynkraisches Ausfallrisiko eines Unernehmens Realisaion des Makro-Fakors X Ausfallindikaor Rendie einer ausfallrisikofreien Anleihe y risky Rendie einer ausfallrisikobehafeen Anleihe Z i z λ ~ λ ~ λ FD Λ ~ i ε I Zufallsvariable, die den unernehmensspezifischen, idiosynkraischen Fakor beschreib Erwareer Porfolioverlus Inensiä Sochasische Inensiä Sochasische Inensiä eines Firs-o-Defaul-Swaps Nich-negaive sochasische Funkion Error -Fakor Wissenssand des Invesors zum Zeipunk µ Drif-Parameer der geomerischen Brownschen Bewegung π σ Pi Volailiä des Firmenweres σ E Volailiä des Markwer des Eigenkapial ρ ρ ij Φ Φ Korrelaionsparameer Korrelaion zweier Firmenwere zueinander Sandardnormalvereilung Bivariae Sandardnormalvereilung 1 Φ Inverse der Sandardnormalvereilung ϕ ( ) Dichefunkion R Γ Menge der reelen Zahlen Kovarianzmarix Miels Cholesky-Zerlegung einer Korrelaionsmarix gewonnene unere Dreiecksmarix Working Paper No. 16 8

10 1. Einleiung 1.1 Ausgangslage Die jüngse inernaionale Finanzkrise ausgelös durch die sogenanne Subprime-Krise ha dazu geführ, dass sich die Nachfrage und somi gleichzeiig sowohl die Ensehung von neuen als auch der Handel mi besehenden, komplexen Krediproduken sark reduzier ha. 1 In diesem Zusammenhang wird immer wieder der Ruf nach einer srengeren saalichen Regulierung von Raing-Agenuren und Krediinsiuen lau. Ofmals seh hierbei auch die fehlerhafe Anwendung oder die Manipulaion von Kredirisikomodellen in der Kriik. Beispielsweise werden der Raing-Agenur Moody s Fehler in der Modellberechnung von Consan Proporion Deb Obligaions (CPDOs) vorgeworfen. 3 Wie dieses Beispiel zeig und die Krise eindrucksvoll verdeulich, gehen mi der Modellierung von reellen Zusammenhängen Risiken einher, welche nich zu vernachlässigen sind. Darüber hinaus ha die Finanzkrise uner Anderem aufgrund dieser Risiken das Bewusssein über die Nowendigkei eines forschrilichen Risikomanagemens geschärf. Auch der Einsaz von Krediderivaen im Rahmen eines akiven Risikomanagemens mi dem Ziel eine opimale Risikoallokaion zu erreichen, is weierhin sinnvoll. Die Idenifikaion und Quanifizierung von Risiken spiel dabei eine maßgebliche Rolle. Nur durch die Kennnis risikoadäquaer Pricing- und Bewerungsmehoden is es möglich eine fundiere Enscheidung darüber zu reffen, ob und welche Risiken eingegangen oder abgesicher werden sollen. Die Grundlage dessen bilden die im Rahmen dieser Arbei vorgesellen Kredirisikomodelle. 1. Definiion der Begriffe Kredirisiko, boniässensiiver Finanziel und Kredirisikomodell Kredirisiko. Das Kredirisiko enseh dem Gläubiger einer Forderung aus der Unsicherhei über die Zahlungsfähigkei oder willigkei seines Schuldners. Es beschreib die Gefahr, dass die Forderung nich, nur eilweise oder verspäe zurückbezahl wird. Als Forderungen gelen uner Anderem Zins- und ilgungsleisungen aus Kredien und Anleihen, aber auch Forderungen aus dem posiiven Markwer eines derivaiven Geschäfs. 4 Im Hinblick auf die poenielle Verlusursache läss sich das Kredirisiko in die eilkomponenen (Adressen-/ Konrahenen-)Ausfallrisiko (Defaul Risk) und Boniäsänderungsrisiko (Spread- Widening Risk) differenzieren. 5 Uner dem Ausfallrisiko verseh man die Gefahr eines konkreen Ausfalls beispielsweise durch Insolvenz des Kredinehmers. 6 Demgegenüber 1 Vgl. Handelsbla: Surm über Wall Sree. Ausgabe vom Vgl. Handelsbla: Die Aufseher ziehen die Zügel an. Ausgabe vom Vgl. Handelsbla: Neuraliä nich garanier. Ausgabe vom Vgl. Müller, Frank: Krediderivae und Risikomanagemen. Frankfur am Main: Bankakademie-Verlag GmbH,. S. 7 5 Vgl. Burghof, Hans-Peer e al.: Krediderivae Handbuch für die Bank und Anlagepraxis. Sugar: Schäffer- Poeschel Verlag, 5. S Vgl. Burghof, Hans-Peer e al.: Kredirisiken und Kredimärke, in: Burghof, Hans-Peer e al.: Krediderivae Handbuch für die Bank und Anlagepraxis. Sugar: Schäffer-Poeschel Verlag, 5. S. 5f. Working Paper No. 16 9

11 wird der Werverlus einer Posiion, welcher durch eine Erhöhung der Wahrscheinlichkei oder des Ausmaßes eines möglichen Ausfalls beding wird, als Boniäsänderungsrisiko bezeichne. 7 Im Rahmen dieser Arbei lieg der Fokus auf dem Ausfallrisiko. Sofern nich explizi ewas anderes benann is, werden die Begriffe Kredirisiko und Ausfallrisiko synonym behandel. Boniässensiiver Finanziel. Uner einem boniässensiiven Finanziel wird jedes Finanzinsrumen versanden, welches kredirisikorisikobehafe is. Da im Rahmen dieser Arbei Ausfallrisiken im Vordergrund sehen, bezeichne der Begriff boniässensiiver Finanziel grundsäzlich ein ausfallrisikobehafees Finanzinsrumen. Uner ausfallrisikobehafeen Finanzinsrumene werden in dieser Arbei insbesondere Kredie, Anleihen und Derivae versanden, wobei die gewonnenen Erkennnisse auch auf jedes andere ausfallrisikobehafee Finanzinsrumen angewende werden können. Kredirisikomodell. Berache man beispielsweise ein Krediinsiu, so is es für dieses von größem Ineresse über die Werenwicklung innerhalb des eigenen Krediporfolios informier zu sein. Hierbei ineressieren zum Einen die Gewinnmöglichkeien, um die poeniellen Rendien auf das eingeseze Kapial einschäzen zu können, und zum Anderen das inhärene Verlusrisiko, um ausreichende Eigenkapialreserven zu Deckung der Verluse bereisellen zu können. Da die Werenwicklung der Einzeliel sowie des aggregieren Krediporfolios des Krediinsius uner Umsänden von exisenieller Wichigkei sein kann, is es nowendig die Werenwicklung aufgrund des inhärenen Kredirisikos präzisieren, differenzieren und quanifizieren zu können. 8 Hierfür dienen sogenanne Kredirisikomodelle. Uner einem Modell wird im Allgemeinen eine srukurgleiche bzw. srukurähnliche Abbildung eines Realiäsausschnis versanden. 9 Durch die Redukion der Komplexiä der Realiä sollen wesenliche Ursache-Wirkungs-Zusammenhänge aufgezeig werden. Die zur Redukion der Komplexiä nowendigerweise zu reffenden Annahmen können uner Umsänden jedoch zu realiäsverzerrenden Modellergebnissen führen. In der Regel werden zur Quanifizierung der Kredirisiken innerhalb eines besimmen Zeihorizons dem sogenannen Risikohorizon mahemaische Modelle verwende. Hierbei seh insbesondere die Vorwegnahme der zukünfigen Enwicklung der kredirisikobehafeen Finanziel im Vordergrund. Ein alernaiver Ansaz zu den mahemaischen Modellen sell die Überragung empirischer Beobachungen von Vergleichsieln auf die gegebene Problemsellung dar. Im Folgenden werden nur die mahemaischen Kredirisikomodelle berücksichig sowie diese auf ihre empirische auglichkei analysier. Für die Vorwegnahme der zukünfigen Enwicklung der kredirisikobehafeen Finanziel müssen alle möglichen Umwelzusände bzw. Einflussfakoren berücksichig werden, welche während des Zeihorizons auf den Wer 7 Vgl. Cremers, Heinz e al.: Risikoseuerung mi Krediderivaen uner besonderer Berücksichigung von Credi Defaul Swaps. Working Paper Series No. 8, Frankfur, 7. S.9 8 Vgl. Marin, Marcus R.W. e al.: Krediderivae und Kredirisikomodelle Eine mahemaische Einführung. Vieweg Verlag: Wiesbaden, 6. S.11 9 Vgl. Jorzik, Sephan: Semi-analyische und simulaive Kredirisikomessung synheischer Collaeralized Deb Obligaions bei heerogenen Referenzporfolios. Disseraion an der Universiä Göingen, Universiä Göingen: Göingen, 5. S. 59 Working Paper No. 16 1

12 der Finanziel einwirken können. Die für das Kredirisiko relevanen Einflussfakoren werden auch als Kredirisikofakoren bezeichne. Diese Kredirisikofakoren müssen idenifizier werden und auf geeignee Weise mi dem Wer der kredirisikobehafeen Finanziel verknüpf werden, so dass uner sons gleichen Bedingungen eine Änderung des Kredirisikofakors eine möglichs realiäsnahe Änderung des Wers der kredirisikobehafeen Finanziel nach sich zieh. Ein wesenlicher Besandeil bei dieser Verknüpfung is die Berücksichigung der Einriswahrscheinlichkeien der jeweiligen Umwelzusände. Als Ergebnis eines Kredirisikomodells erhäl man eine Wahrscheinlichkeisvereilung des Porfoliowers innerhalb des Risikohorizons. 1 Anhand dieses Ergebnisses können Handlungsalernaiven, wie beispielsweise der Kauf oder Verkauf von kredirisikobehafeen Finanzieln, abgeleie werden. Bevor jedoch eine derarige Enscheidung auf Basis eines Kredirisikomodells geroffen wird, sollen die geroffenen Annahmen sowie die Ergebnisse kriisch hinerfrag werden. 1 Vgl. Jorzik, Sephan: Semi-analyische und simulaive Kredirisikomessung synheischer Collaeralized Deb Obligaions bei heerogenen Referenzporfolios. Disseraion an der Universiä Göingen, Universiä Göingen: Göingen, 5. S. 59f. Working Paper No

13 . Modellüberblick Im Folgenden soll ein Überblick über verschiedene Bewerungsansäze für boniässensiive Finanziel anhand der in der Lieraur verbreieen Unereilung zwischen Unernehmenswer- ( Asse Value- oder Asse-Based-Models ) und Inensiäsmodellen ( Inensiy-Based- Models ) gegeben werden. Unernehmenswermodelle, welche ofmals auch als srukurelle Modelle ( Srucural Models ) bezeichne werden, modellieren das Ausfallrisiko eines Unernehmens über die zeiabhängige Enwicklung von dessen Firmenwer im Verhälnis zu dessen Fremdkapial. Bei den Inensiäsmodellen, welche auch als Reduced-Form-Models bezeichne werden, wird der Ausfall eines Unernehmens dagegen durch einen exogenen Inensiäsprozess geseuer. Darüber hinaus exisieren hybride Kredirisikomodelle, welche eine Mischung aus Unernehmenswermodellen und Inensiäsmodellen darsellen. Diese bauen im Wesenlichen auf Unernehmenswermodellen auf, wobei die hybriden Kredirisikomodelle meis die für Unernehmenswermodelle bedeuende Annahme vollsändiger Informaion fallen lassen und geziel Informaionsdefizie berücksichigen. Kredirisikomodelle Unernehmenswermodelle Hybride Kredirisikomodelle Inensiäsmodelle Abb. 1: Kredirisikomodelle im Überblick 11 Unernehmenswermodelle. Wie bereis beschrieben, bilde die Überlegung, dass lezlich der Wer der Akiva eines Unernehmens maßgebend dafür is, ob die Firma dazu in der Lage is ihre Verbindlichkeien bei Fälligkei zurückzuzahlen, die Kernidee der Unernehmenswermodelle. Is der Wer der Akiva bei Fälligkei des Fremdkapials geringer als die Forderung, so fäll diese in Höhe des Differenzberags zwischen Akiva und dem Rückzahlungsberag des Fremdkapials zumindes eilweise aus. Bei dem hisorisch älesen Unernehmenswermodell, dem klassischen opionsheoreischen Ansaz nach Meron, wird hierbei davon ausgegangen, dass das Fremdkapial eines Unernehmens lediglich aus einem 1 einzigen ausfallrisikobehafeen Zerobond beseh. Darüber hinaus werden die Vollkommenhei des Kapialmarkes, die Güligkei des Modigliani-Miller heorems, eine konsane und flache Zinssrukur, die Möglichkei koninuierlichen Handels und eine 11 Eigene Darsellung 1 Vgl. Meron, Rober C.: On he pricing of corporae deb: he risk srucure of ineres raes, in: Journal of Finance Vol. 9, Working Paper No. 16 1

14 geomerisch Brownsche Bewegung für die Enwicklung des Firmenwers angenommen. 13,14 Die vielen resrikiven Annahmen dieses Ausgangsmodells boen zahlreiche Möglichkeien zur Weierenwicklung des Ansazes von Meron. So wurden im Zeiverlauf insbesondere die Annahmen einer flachen und konsanen Zinssrukur, die Unmöglichkei eines Ausfalls vor der Fälligkei des Fremdkapials, das Besehen eines Zerobonds als einzige Fremdkapialkomponene sowie die Modellierung der Firmenwerenwicklung über eine geomerisch Brownsche Bewegung kriisch hinerfrag und eilweise aufgehoben. Die nachfolgende abelle biee einen Überblick über die Weierenwicklungen der Unernehmenswermodelle im Zeiverlauf. Da die Beschreibung sämlicher Unernehmenswermodelle im Rahmen dieser Arbei nich zielführend is, werden im Folgenden exemplarisch der ursprüngliche Ansaz nach Meron, die Einführung einer Ausfallschranke nach Black und Cox sowie die Einbindung eines Couponbonds als Fremdkapialkomponene in beiden Ansäzen vorgesell. Modell Black und Scholes (1973), Meron (1974) Black und Cox (1976) Mason und Bhaacharya (1981) Shimko, ejima und van Devener (1993) Kim, Ramaswamy und Sundaresan (1993) Lonsaff und Schwarz (1995) Annahmen und Modellsrukur Uner den Annahmen einer Zweieilung der Finanzierungsiel des Unernehmens in Akien und Nullkuponanleihe sowie dem Ausschluss eines vorzeiigen Ausfalls ergib sich der Wer einer ausfallbedrohen Nullkuponanleihe als Summe des Weres einer risikolosen Nullkuponanleihe und dem eines europäischen Shor Pus; uner zahlreichen idealisierenden Annahmen (z.b. vollkommener Kapialmark, konsane und flache Zinssrukur, koninuierlicher Handel, ein als geomerische Brownsche Bewegung modellierer Unernehmenswer) kann der Wer des Pus mi der Formel von Black und Scholes (1973) ermiel werden. Erweierung des BSM-Modells um die Möglichkei eines vorzeiigen Ausfalls; dieser ri ein, wenn der Unernehmenswer eine zeivariable, aber deerminisische Schranke unerschreie; außerdem Bewerung von zwei Klassen von Nullkuponanleihen, die sich durch ihre Rangsellung unerscheiden. Modellierung der Unernehmenswerrendie als Summe eines Driferms und eines homogenen Poisson Prozesses mi binomialvereiler Sprunghöhe; Ausfall bei Unerschreien einer zeivariablen, deerminisischen Schranke durch den Unernehmenswer. Erweierung des BSM-Modells um eine sochasische Enwicklung der risikolosen Zinssrukur; der kurzfrisige risikolose Zinssaz wird gemäß dem Modell von Vasicek (1977) modellier; Unernehmenswer und kurzfrisiger risikoloser Zinssaz korrelieren. Erweierung des BSM-Modells um einen sochasischen kurzfrisigen risikolosen Zinssaz (modellier durch Prozess vom Cox, Ingersoll und Ross (1985)-yp), der mi dem Unernehmenswer korrelier, sowie der Möglichkei eines vorfälligen Ausfalls; Bewerung von kündbaren und nich-kündbaren Kuponanleihen; ein vorfälliger Ausfall ri ein, wenn der Neo- Cash Flow des Unernehmens nich hinreichend hoch is, um die (koninuierlichen) Kuponzahlungen zu leisen (konsane Schranke); in diesem Fall erhäl der Anleihegläubiger im Ausfallzeipunk das Minimum eines (exogen spezifizieren) Aneils einer (ausfall-) risikolosen Kuponanleihe mi ansonsen idenischen Aussaungsmerkmalen und dem Unernehmenswer; bei Fälligkei der Anleihe erhäl der Gläubiger das Minimum aus Unernehmenswer und Nominalberag der Anleihe. Erweierung des BSM-Modells um einen sochasischen kurzfrisigen risikolosen Zinssaz (modellier durch einen Ornsein-Uhlenbeck, Prozess), der mi dem Unernehmenswer korrelier, sowie der Möglichkei eines vorfälligen Ausfalls; dieser ri ein, wenn der Unernehmenswer niedriger als eine konsane Schranke is; in diesem Fall erhalen alle Gläubiger des Unernehmens im Ausfallzeipunk einen (ielspezifischen, jedoch exogen vorgegebenen) Aneil einer risikolosen Anleihe mi ansonsen idenischen Aussaungsmerkmalen wie ihr zuvor ausfallbedroher Zahlungsanspruch; Bewerungsformeln (Reihendarsellung) für ausfallbedrohe Nullkuponanleihen 13 Die Annahme eines vollkommenen Markes beinhale z.b. die Abwesenhei von ransakionskosen und Seuern, die beliebige eilbarkei aller Finanziel, eine aomisische Marksrukur, einen idenischen Soll- und Habenzinssaz und die Möglichkei von Leerverkäufen (s. hierzu auch Abschni 3.1.1) 14 Vgl. Grundke, Peer: Modellierung und Bewerung von Kredirisiken. Disseraion an der Universiä zu Köln. Der Deusche Universiäsverlag: Wiesbaden, 3. S. 8f. Working Paper No

15 Schönbucher (1996) Briys und de Varenne (1997) Cahcar und El- Jahel (1998) Reneby (1998), Ericsson und Reneby (1998) Saá-Requejo und Sana-Clara (1999) Schöbel (1999) Zhou (1) sowie fes und variabel verzinsliche Kuponanleihen. Modellierung der Unernehmenswerrendie, wie bei Zhou (1), durch einen Sprung- Diffusionsprozess; Herleiung einer so genannen pariellen Inergro-Differenzialgleichung zur Bewerung von Anleihen und Derivaen eines Unernehmens, dessen Akivawer durch einen Sprung-Diffusionsprozess modellier wird. Modifizierung des Modells Longsaff und Schwarz (1995) durch Verwendung einer zeivariablen, sochasischen Ausfallschranke sowie Berücksichigung eines bei Fälligkei zur Rückzahlung des Nominalberages zu niedrigen Unernehmensweres als zweie Ausfallquelle; ein vorläufiger Ausfall ri ein, wenn der Unernehmenswer kleiner als ein exogen spezifizierer Prozensaz des mi dem (sochasischen) risikolosen Zinssaz über die Reslaufzei diskonieren Nominalberages der emiieren Nullkuponanleihe is; bei beiden möglichen Ausfallaren erhäl der Gläubiger einen vorgegeben Aneil des verbleibenden Unernehmensweres; Herleiung einer geschlossenen Bewerungsformel für ausfallbedrohe Nullkuponanleihen. Modifizierung des Modells von Longsaff und Schwarz (1995): Kurzfrisiger risikoloser Zinssaz wird durch einen sochasischen Prozess vom Cox, Ingersoll und Ross-yp modellier; ein Ausfall ri ein, wenn ein als geomerische Brownsche Bewegung modellierer Signalprozess eine konsane Schranke unerschreie; dieser is annahmegemäß unkorrelier mi dem risikolosen Zinssaz; Herleiung analyischer Bewerungsformeln für ausfallbedrohe Nullkuponanleihen und variabel verzinsliche Kuponanleihen. Modulare Bewerung verschiedender Finanzierungsmiel in einem Unernehmenswermodell, ähnlich dem von Black und Cox (1976), durch Duplizierung der jeweiligen Zahlungssrukur miels Barrier-Opionen. Erweierung des BSM-Modells um einen sochasischen kurzfrisigen risikolosen Zinssaz (modellier durch verschiedene, uner Umsänden mi dem Unernehmenswer korreliere Zinsprozesse) sowie der Möglichkei eines vorfälligen Ausfalls: die Ausfallschranke wird durch einen den Wer der Verbindlichkeien repräsenierenden sochasischen Prozess, der durch die Brownschen Bewegungen des Unernehmenswerprozesses und des Zinsprozesses gerieben wird, modellier; wie bei Longsaff und Schwarz (1995) erhalen die Anleihegläubiger bei einem Ausfall einen (ielspezifischen, jedoch exogen vorgegebenen) Aneil des Nominalweres der Anleihe im Fälligkeiszeipunk. Modifizierung des Modells von Longsaff und Schwarz (1995), indem ein Ausfall als Unerschreien des mi dem risikolosen Zinssaz über die Reslaufzei diskonieren Nominalberages der Unernehmensverbindlichkeien durch den Unernehmenswer definier wird; diese Ausnahme ermöglich die Herleiung geschlossener Bewerungsformeln für ausfallbedrohe Nullkuponanleihen und Kuponanleihen. Modellierung der Unernehmenswerrendie durch einen Sprung-Diffusionsprozess mi jeweils unabhängigen, lognormalvereilen Sprunghöhen; Ausfall bei Unerschreien einer deerminisischen Schranke durch den Unernehmenswer; Zahlung an die Gläubiger bei einem Ausfall erfolg im Fälligkeiszeipunk der Anleihe, wobei die Höhe jedoch vom Unernehmenswer im Ausfallzeipunk abhängig is. ab. 1: Weierenwicklung von Unernehmenswermodellen im Zeiverlauf 15 Inensiäsmodelle. Wie bereis erwähn, erfolg der Ausfall bei Inensiäsmodellen im Gegensaz zu Unernehmenswermodellen nich endogen aufgrund einer ökonomisch nachvollziehbaren Basis, sondern exogen über einen Ausfallprozess. Der erse Sprung eines Sprungprozesses, dem Ausfallprozess, ensprich hierbei dem Ausfallzeipunk. Da der Firmenwer nich modellier wird, is bei Inensiäsmodellen die Definiion der Ausgleichszahlung, der sog. Recovery-Zahlung, bei Einri eines Ausfallereignisses relevan. Hierbei is sowohl eine Annahme über die Höhe als auch über den Zeipunk der Recovery- Zahlung zu reffen. Diese wird in der Regel enweder direk beim Einri des Ausfallereignisses ( Recovery a Defaul ) oder am Ende der Laufzei des boniässensiiven Finanziels ( Recovery a Mauriy ) geleise. Als Höhe der Recovery-Zahlung kann ein feser Berag, der Ausausch des Zahlungsanspruchs der Gläubiger gegen einen exogen 15 Vgl. Grundke, Peer: Modellierung und Bewerung von Kredirisiken. Disseraion an der Universiä zu Köln. Der Deusche Universiäsverlag: Wiesbaden, 3. S. 15f. Working Paper No

16 vorgegebenen Aneil eines ausfallrisikofreien Finanziels mi ansonsen gleichen Spezifikaionen, ein Prozensaz des Nominals des ausfallrisikobehafeen Finanziels oder ein Aneil des Markweres des boniässensiiven Finanziels direk vor dem Ausfallzeipunk definier werden. 16 Auch die Inensiäsmodelle basieren auf mehreren Annahmen, wobei die Anzahl der Annahmen aufgrund des zugrundeliegenden nichökonomisch begründeen Modells deulich geringer is als bei den Unernehmenswermodellen. Neben den Annahmen über die Recovery-Zahlung muss bei Inensiäsmodellen auch eine Annahme über die Modellierung des Zinssazes geroffen werden. Darüber hinaus is es nowendig eine Annahme über die sog. Inensiäsrae, der exogen gegebenen Ausfallrae, zu reffen. Im Rahmen des Abschnis 3. sollen Inensiäsmodelle mi konsaner, deerminisischer oder auch sochasischer Inensiä unersuch werden. Darüber hinaus is es mi Inensiäsmodellen möglich neben den zwei Sadien Ausfall und kein Ausfall auch Boniäsänderungen zu modellieren. Derarige Modelle werden auch als Raing-Migraions-Modelle bezeichne und sellen eine Unergruppe der Inensiäsmodelle dar. Die Idee dieser Modelle wird im Rahmen des Abschnis 3. ebenfalls kurz erläuer. Wie bereis für Unernehmenswermodelle fesgehalen, soll nachfolgende abelle einen Überblick der Weierenwicklung von Inensiäsmodellen geben. Modell Jarrow und urnbull (1995) Monkkonen (1997) Madan und Unal (1998) Schönbucher (1998) Lando (1994, 1998) Duffie (1998) Annahmen und Modellsrukur Ausfallzeipunk ensprich dem ersen Sprung eines Sprungprozesses mi konsaner Inensiäsrae; sochasische risikolose Zinssrukur und Ausfallzeipunk sind sochasisch unabhängig; Gläubiger erhalen im Ausfallzeipunk einen (konsanen und exogen spezifizieren) Aneil einer risikolosen Anleihe mi ansonsen idenischen Aussaungsmerkmalen; Bewerung verschiedener Finanziel im Rahmen einer so genannen Wechselkursanalogie. Zeidiskrees Modell, bei dem der Ausfallzeipunk dem ersen Sprung eines Sprungprozesses mi sochasischer, vom kurzfrisigen risikolosen Zinssaz abhängiger Inensiäsrae ensprich; Aneilsquoe der Gläubiger im Ausfallzeipunk wird durch den von Das und ufano (1996) verwendeen sochasischen Prozess modellier; Ausfallzeipunk, risikolose Zinssrukur und Aneilsquoe sind sochasisch abhängig. Ausfallzeipunk ensprich dem ersen Sprung eines Sprungprozesses mi sochasischer, vom Eigenkapialwer abhängiger Inensiäsrae; Aneilsquoe der Gläubiger im Ausfallzeipunk wird durch Beavereilung modellier; Ausfallzeipunk, risikolose Zinssrukur und Aneilsquoe sind gemeinsam sochasisch unabhängig. Erweierung des Modells von Heah, Jarrow und Moron (199) für erminzinssrukuren von mi Ausfallrisiken behafeen Anleihen; Möglichkei mehrfacher Ausfälle, bei denen der Nominalwer jeweils um einen sochasischen Fakor reduzier wird, sowie von Sprüngen in der ausfallrisikobehafeen erminzinssrukur in den Ausfallzeipunken. Ausfallzeipunk ensprich dem ersen Sprung eines Cox Prozesses; kurzfrisiger risikoloser Zinssaz und Inensiäsraenprozess können durch Abhängigkei von gemeinsamen Zusandsvariablen korrelieren; Bewerung von Grundbauseinen der Zahlungssrukur ausfallbedroher Finanziel. Ausfallzeipunk ensprich dem ersen Sprung eines Sprungprozesses mi sochasischer Inensiäsrae; kurzfrisiger risikoloser Zinssaz und Inensiäsraenprozess können korrelieren; Verwendung der Annahme, dass Gläubiger im Ausfallzeipunk einen exogen spezifizieren (zufälligen) Aneil des Nominalweres der Anleihe erhalen; diese Annahme implizier, dass Kuponhöhe und Reslaufzei nich maßgeblich für die Höhe der Ausgleichszahlung sind. 16 Vgl. Grundke, Peer: Modellierung und Bewerung von Kredirisiken. Disseraion an der Universiä zu Köln. Der Deusche Universiäsverlag: Wiesbaden, 3. S. 17 Working Paper No

17 Duffie und Singleon (1999) Madan und Unal () Duffie und Lando (1) Loz und Schlögl (), Schönbucher () Schmid und Zags () Jarrow und Yu (1) Ausfallzeipunk ensprich dem ersen Sprung eines Sprungprozesses mi sochasischer Inensiäsrae; kurzfrisiger risikoloser Zinssaz und Inensiäsraenprozess können korrelieren; Gläubiger erhalen im Ausfallzeipunk einen (zufälligen) Aneil des Markweres des iels unmielbar vor dem Ausfall; Bewerung ausfallbedroher Anleihen kann (uner geeigneen Annahmen) wie im ausfallrisikolosen Fall erfolgen, wenn der Diskonierung verwendee Zinssaz modifizier wird. Ausfall ri ein, falls der Verlus L höher is als die Differenz zwischen dem Unernehmenswer und den mi dem risikolosen Zinssaz diskonieren zukünfigen Zahlungen an die Fremdkapialgeber is; der Zeipunk des Verluses ensprich dem Erssprungzeipunk eines homogenen Poisson Prozesses mi exogen vorgegebener Inensiäsrae λ; die Verlushöhe L is eine vom Poisson Prozess unabhängige Zufallsvariable mi saionärer, exogen spezifizierer Vereilung M; der Ausfallzeipunk ergib sich als Zeipunk des ersen Sprunges eines Sprungprozesses, dessen Inensiäsrae dem Produk aus λ und der Wahrscheinlichkei, dass der Berag L höher als die obige Differenz is, ensprich; durch aylor-approximaion 1. Ordnung der Inensiäsrae is diese eine lineare Funkion des Logarihmus des (nich zinssensiiven eils) des Unernehmensweres und des kurzfrisigen risikolosen Zinssazes, so dass sich geschlossene Bewerungsformeln für ausfallbedrohe Nullkuponanleihen angeben lassen. Unernehmenswermodell, bei dem angenommen wird, dass die Markeilnehmer nur unvollsändige Informaionen über den akuellen Unernehmenswer besizen; es läss sich zeigen, dass durch diese Zusazannahme dem Ausfallzeipunk eine sochasische Inensiä zugeordne werden kann (hybrides Kredirisikomodell). Berücksichigung von Ausfallrisiken in so genannen Markmodellen der Zinssrukurenwicklung. Verwendung des Duffie und Singleon (1999)-Modellrahmens mi drei sochasischen Zusandsvariablen; kurzfrisiger risikoloser Zinssaz Unsicherheisfakor, der als aggregierer Index alle akuellen Informaionen zur Qualiä des Unernehmens widerspiegeln soll, sowie kurzfrisiger Spread; Fakoren werden durch Mean-Revering-Prozesse modellier; die sochasische Enwicklung des Unsicherheisfakors beeinfluss direk das langfrisige Niveau des Spreads; heoreisch is eine Korrelaion zwischen allen drei Fakoren möglich. Inensiäsraenprozess jedes Schuldners enhäl Sprungerme, die direk durch den Ausfall anderer Unernehmen ausgelös werden; aufgrund dieser Modellierung sind die Ausfallzeipunke verschiedener Schuldner särker korrelier, als wenn die Ausfallinensiäen lediglich von gemeinsamen Zusandsvariablen abhängig sind. ab. : Weierenwicklung von Inensiäsmodellen im Zeiverlauf 17 Hybride Kredirisikomodelle. Hybride Kredirisikomodelle können diverse Ausprägungen haben. Grundsäzlich basieren diese jedoch auf Unernehmenswermodellen und führen einen Unsicherheisfakor ein, welcher meis in einem Informaionsdefizi begründe is. Durch diesen Informaionsdefizi kann dem Ausfallzeipunk eine sochasische Inensiä zugeordne werden und biee somi eine ökonomische Rechferigung für Inensiäsmodelle. 18 Dieser Informaionsdefizi kann beispielsweise in der Höhe der Ausfallschranke, dem Firmenwer oder aber dem Einri einer zukünfigen Verbindlichkei in unbekanner Höhe liegen. Die beiden zuers genannen Ansäze dienen im Rahmen von Abschni 3.3 als Beispiele für hybride Kredirisikomodelle. Der lezere Ansaz dagegen is grundsäzlich ähnlich und beschreib das unerwaree Aufreen einer Schuld, welche beispielsweise durch hohe Verluse im Handel eines Krediinsius begründe sein kann, wobei der Ausfall dadurch ausgelös 17 Vgl. Grundke, Peer: Modellierung und Bewerung von Kredirisiken. Disseraion an der Universiä zu Köln. Der Deusche Universiäsverlag: Wiesbaden, 3. S. f. 18 Vgl. Grundke, Peer: Modellierung und Bewerung von Kredirisiken. Disseraion an der Universiä zu Köln. Der Deusche Universiäsverlag: Wiesbaden, 3. S. Working Paper No

18 wird, dass der Firmenwer abzüglich der diskonieren Verbindlichkeien nich ausreich, um diese zusäzliche Schuld zu begleichen. 19 Alle drei Modellypen können sowohl zur Modellierung des Kredirisikos eines einzelnen boniässensiiven Finanziels als auch im Porfoliofall eingesez werden. Im Folgenden wird ausschließlich auf die Modellierung des Kredirisikos eines einzelnen boniässensiiven Finanziels eingegangen. Hinsichlich der Modellierung des Kredirisikos im Porfoliofall wird auf das Frankfur School Working Paper No. 17 verwiesen. 19 Vgl. habe, im: Bewerung von Kredirisiko, Zahlungsunfähigkei, opimale Kapialsrukur und Agencykosen bei unvollsändiger Informaion. Inauguraldisseraion zur Erlangung des Dokorgrades der Wirschafswissenschafen der Universiä Mannheim. Mannheim: 6. S. 6ff. Working Paper No

19 3. Modellierung des Kredirisikos eines einzelnen boniässensiiven Finanziels 3.1 Unernehmenswermodelle Klassicher opionsheoreischer Ansaz Der klassische opionsheoreische Ansaz bilde den Ausgangspunk der Unernehmenswermodelle und basier auf der Arbei von Meron aus 1974, welcher den grundlegenden Ansaz von Black und Scholes zur Bewerung von Unernehmensverbindlichkeien über Opionsbewerung aus 1973 erweier ha. Daher wird der klassische opionsheoreische Ansaz häufig als Meron-Modell bezeichne. Nach Meron wird das Fremdkapial eines Unernehmens als Evenualforderung der Gläubiger auf die Vermögenswere des Unernehmens berache. 1 Daher lieg die Grundidee des klassischen opionsheoreischen Ansazes darin, dass ein Unernehmen genau dann ausfäll, wenn dessen Vermögenswere nich ausreichend sind, um die fälligen Verbindlichkeien zu ilgen. Ensprechend lieg die Zielsezung dieses Ansazes darin, das Ausfallrisiko über eine Funkion des Markwers der Vermögenswere eines Unernehmens zur Fälligkei des Fremdkapials zu beschreiben. Es gil hierbei zu beachen, dass ein Ausfall nach diesem Ansaz ausschließlich zur Fälligkei des Fremdkapials erfolgen kann. Darüber hinaus is zu beachen, dass der Markwer der Vermögenswere eines Unernehmens nur bei Vernachlässigung von Seuern und Insolvenzkosen dem Markwer des Unernehmens ensprich. Grundlegende Modellannahmen. Aus Vereinfachungsgründen gehen Unernehmenswermodelle davon aus, dass das berachee Unernehmen sich ausschließlich über Eigenkapial sowie einen Zerobond mi Nominal K und Fälligkei zum Zeipunk refinanzier. Ebenso werden Seuern und Insolvenzkosen im Meron-Modell nich berücksichig, weswegen im Folgenden der Markwer der Vermögenswere eines Unernehmens und der Markwer des Unernehmens äquivalen behandel werden. Das Eigenkapial is nachrangig und da daneben Kapialerhöhungen, verminderungen oder ausschüungen modellseiig ausgeschlossen werden, beschränk sich der Hafungsumfang der Eigenkapialgeber auf die Höhe und Enwicklung der ursprünglichen Einlagen. 3 Demensprechend is ebenso eine Nachschussmöglichkei oder gar pflich modellseiig ausgeschlossen. Darüber hinaus is auch die Aufnahme von weierem Fremdkapial nich Vgl. Black, Fischer e. al.: he pricing of opions and corporae liabilies, in: Journal of Poliical Economy Vol. 81, S sowie Meron, Rober C.: On he pricing of corporae deb: he risk srucure of ineres raes, in: Journal of Finance Vol. 9, S Vgl. Meron, Rober C.: On he pricing of corporae deb: he risk srucure of ineres raes, in: Journal of Finance Vol. 9, S. 45ff. Vgl. Läger, Volker: Bewerung von Kredirisiken und Krediderivaen. Bad Soden/s.: Uhlenbruch Verlag,. S Vgl. Läger, Volker: Bewerung von Kredirisiken und Krediderivaen. Bad Soden/s.: Uhlenbruch Verlag,. S. 167f. Working Paper No

20 zulässig. Der Markwer eines Unernehmens V ensprich dem Barwer aller zukünfigen Cashflows (Eniy-Ansaz des Discouned Cash-Flow-Modells) und sell somi die Summe der Markwere von Eigenkapial und Fremdkapial (hier: dem Zerobond) dar. Die Modellierung der Enwicklung des Firmenwers V erfolg über eine geomerische Brownsche Bewegung. Modellierung der Enwicklung des Firmenwers. Die Enwicklung des Firmenwers V wird über eine geomerische Brownsche Bewegung mi Drif-Parameer µ R, Volailiäs- Parameer σ >, der Sandard-Brownschen Bewegung ( W ) und einem anfänglichen Firmenwer V > modellier: dv (1) = µ d + σdw V 1 Sez man µ σ m +σw () V V e = m = folg aus Iō s Lemma: Ensprechend is der Firmenwer zum Zeipunk mi (3) LN ( V m, σ ) V ~ + logarihmisch normalvereil. 4 Einri des Ausfallereignisses. Aufgrund der Vorrangigkei des Fremdkapials komm es zum Einri des Ausfallereignisses D, wenn zur Fälligkei des Fremdkapials der Markwer des Unernehmens unerhalb des Nominals des Zerobonds lieg. Formal gil also für den Ausfallzeipunk τ sowie für das Ausfallereignis D: falls V < K (4) τ = und somi D{ τ = } = V < K sons Nachfolgend soll die Funkionsweise des klassischen opionsheoreischen Ansazes graphisch veranschaulich werden. Hierzu werden drei unerschiedliche Enwicklungen des Firmenwers eines Unernehmens mi einem anfänglichen Firmenwer von V = 1 und einem in fünf Jahren zu K = 7 fälligen Zerobond berache. Es komm zum Einri eines Ausfallereignisses, wenn zum Zeipunk der Firmenwer unerhalb der fälligen Verbindlichkei K lieg: 4 Vgl. Giesecke, Kay: Credi Risk Modeling and Valuaion: An Inroducion. Ihaca, USA: Cornell Universiy, 4. S. 4 Working Paper No

21 V 1 1 kein Ausfall 8 K = kein Ausfall Ausfall (in Monaen) Abb. : Ausfallereignisse nach dem klassischen opionsheoreischen Ansaz 5 Wenn zum Zeipunk die Vermögenswere eines Unernehmens V größer oder gleich groß wie die Verbindlichkeien K sind, werden die Fremdkapialgeber ausbezahl und den Eigenkapialgebern verbleib der Resberag V K (kein Ausfall). Lieg der Unernehmenswer V allerdings unerhalb K, reich der Firmenwer zur Begleichung der Schuld nich aus. Da ein Eigenkapialnachschuss modellseiig ausgeschlossen is, fäll das Unernehmen aus. Die Fremdkapialgeber übernehmen die Firma und erhalen somi V. Ensprechend is der Wer des Eigenkapials in diesem Fall null. Nachfolgende abelle soll die möglichen Sadien zum Zeipunk noch einmal verdeulichen: Unernehmenswer Wer des... V K V > K Fremdkapials V K Eigenkapials V K ab. 3: Wer von Fremd- und Eigenkapial bei Fälligkei 6 5 Eigene Darsellung in Anlehnung an: Giesecke, Kay: Credi Risk Modeling and Valuaion: An Inroducion. Ihaca, USA: Cornell Universiy, 4. S. 5 6 Vgl. Läger, Volker: Bewerung von Kredirisiken und Krediderivaen. Bad Soden/s.: Uhlenbruch Verlag,. S. 164 Working Paper No. 16

22 Der Wer des ausfallrisikobehafeen Zerobonds zum Zeipunk ergib sich demnach aus dem Minimum von K und V : (5) B = min( K, ) V Die Umformung der Gleichung zeig, dass der ausfallrisikobehafee Zerobond zu einem Porfolio besehend aus einem (ausfall-)risikofreien Kredi mi Nominal K und Fälligkei zum Zeipunk sowie einer Shor-Posiion in einer europäischen Pu-Opion auf den Firmenwer V mi Srike K und Verfall zum Zeipunk idenisch is: (6) B = min ( K, V ) = K max(, K V ) Ebenso kann der Wer des Eigenkapials zum Zeipunk über eine Long-Posiion in einer europäischen Call-Opion auf den Firmenwer V mi Srike K und Verfall zum Zeipunk ausgedrück werden: (7) E = max(, V K). 7 Inhallich können die Formeln (6) und (7) anhand zweier unerschiedlicher Alernaiven inerpreier werden: 1. Als Gegenleisung für das zur Verfügung geselle Kapial erhalen die Fremdkapialgeber sämliche Reche an dem Unernehmen. Gleichzeiig verkaufen diese den Eigenkapialgebern eine europäische Call-Opion auf den Unernehmenswer mi oben genannen Spezifikaionen. Die Eigenkapialgeber werden ihre Call-Opion nur dann ausüben, wenn der Unernehmenswer am Verfallsag der Opion (= Fälligkei des Fremdkapials) V oberhalb des Srikes K lieg. In diesem Fall kaufen die Eigenkapialgeber den Fremdkapialgebern die Reche am Unernehmenswer zum Srikepreis ab, welchen diese aus dem (zurück-) erworbenen Unernehmenswer zahlen. Demensprechend verbleib den Eigenkapialgebern die Differenz V K. Andernfalls werden die Eigenkapialgeber ihre Opion verfallen lassen. Ensprechend seh dann der gesame Unernehmenswer den Fremdkapialgebern zu. 8. Die Posiion der Fremdkapialgeber kann wie bereis erwähn auch als Porfolio besehend aus einer risikofreien Anlage, welche zum Nominal K zurückgezahl wird (z.b.: risikofreier Zerobond) und deren Konrahen die Eigenkapialgeber sind, sowie dem Verkauf einer europäischen Pu-Opion auf den Unernehmenswer mi oben genannen Spezifikaionen an die Eigenkapialgeber inerpreier werden. Aus der risikolosen Anlage erhalen die Fremdkapialgeber immer K zurück. Die Eigenkapialgeber werden ihre Pu-Opion nur dann ausüben, wenn der Wer des Unernehmens am Verfallsag der Opion (= Fälligkei des Fremdkapials) V 7 Vgl. Giesecke, Kay: Credi Risk Modeling and Valuaion: An Inroducion. Ihaca, USA: Cornell Universiy, 4. S. 5f. 8 Vgl. Läger, Volker: Bewerung von Kredirisiken und Krediderivaen. Bad Soden/s.: Uhlenbruch Verlag,. S. 165f. Working Paper No. 16 1

23 unerhalb des Srikes K lieg. In diesem Fall verkaufen diese den Fremdkapialgebern die Reche an dem Unernehmenswer und erhalen dafür den Kaufpreis in Höhe des Srikes. Da der Kaufpreis und die Rückzahlung aus der risikofreien Anlage idenisch sind, neen sich diese zu null. Den Fremdkapialgebern verbleib lediglich der geringere Unernehmenswer, während die Eigenkapialgeber nichs erhalen. Andernfalls werden die Eigenkapialgeber ihre Opion verfallen lassen und die fällige Anlage aus dem Erlös des Unernehmenswers begleichen. Ensprechend erhalen die Fremdkapialgeber K und die Eigenkapialgeber V K. 9 Der Payoff des Eigen- und Fremdkapials mi Srike 7 (= Nominal des Fremdkapials) zum Zeipunk kann anhand der folgenden Graphik verdeulich werden: Payoff Eigenkapial = Long Call-Opion Fremdkapial = risikofreier Zerobond + Shor Pu-Opion V Abb. 3: Graphische Darsellung des Fremd- und Eigenkapials zum Zeipunk 3 Pricing und Bewerung der Kapialbesandeile. Da dem Eigenkapial eine europäische Call-Opion und dem risikobehafeen Fremdkapial uner Anderem eine europäische Pu- Opion zugrunde liegen, kann das Pricing der einzelnen Kapialbesandeile wie generell bei europäischen Opionen über die Black-Scholes-Formel erfolgen. Bevor jedoch das Pricing der Kapialbesandeile näher beschrieben wird, sollen nachfolgend die wichigsen Modellannahmen des Black-Scholes-Modells in Erinnerung gerufen werden: a. Underlying (hier: der Firmenwer) folg einer geomerisch Brownschen Bewegung mi zeilich konsaner Volailiä 9 Vgl. Läger, Volker: Bewerung von Kredirisiken und Krediderivaen. Bad Soden/s.: Uhlenbruch Verlag,. S. 165f. 3 Vgl. Summer, Chrisopher: Credi Risk Advanced Models, Skripum des Fachbereichs Bankberiebslehre der Wirschafsuniversiä Wien, Wien: 7. S. 48 Working Paper No. 16

24 b. Vorliegen eines vollkommenen, wenn auch idealisieren, 31 Kapialmarks mi koninuierlichem Handeln (d.h. implizi uner Anderem: vollsändige Informaion, Arbiragefreihei, Markow-Prozess) c. Abwesenhei von ransakionskosen, wozu uner Anderem Insolvenzkosen gezähl werden sollen, und Seuern ( idealisierer Kapialmark ) d. Normalvereilungsannahme hinsichlich der Bewegungen des Underlyings e. Liquidiä und beliebige eilbarkei des Underlyings f. Möglichkei zur Durchführung von Leerverkäufen g. Keine Vor- oder Nacheilhafigkei durch Halen des Underlyings h. Exisenz einer konsanen und flachen Zinssrukurkurve mi risikolosem (koninuierlichem) Zinssaz r > sowie Ideniä von Soll- und Habenzinssaz 3 Obwohl viele der im Modell geroffenen Annahmen in der Realiä nich zureffen, sell das Black-Scholes-Modell aufgrund seiner Einfachhei, leichen Modifizierbarkei und seiner relaiv guen approximaiven Preisbesimmung ein geeignees Basismodell zum Pricing von europäischen Opionen dar. 33 Es is anzumerken, dass die Bewerung der Kapialbesandeile anhand der Black-Scholes-Formel für jeden beliebigen Zeipunk erfolgen kann. Da für das Pricing der einzelnen Kapialbesandeile nur der Barwer relevan is, werden im Folgenden in der Regel lediglich die dafür benöigen Formeln berücksichig. Ensprechend kann der Barwer des Eigenkapials anhand der klassischen Black-Scholes- Formel für europäische Calls errechne werden: (8) E = C( σ,,k,r,v ) = V Φ( d ) Ke r Φ( ) 1 d mi K σ ln + r ± σ V ln L ± d = = 1, und Sandardnormalvereilungsfunkion Φ, σ σ r Ke wobei L = den Quasi-Verschuldungsgrad im Zeipunk = darsell. V 31 S. Annahme zu c. 3 Vgl. Black, Fischer e. al.: he pricing of opions and corporae liabilies, in: Journal of Poliical Economy Vol. 81, S. 64 sowie Läger, Volker: Bewerung von Kredirisiken und Krediderivaen. Bad Soden/s.: Uhlenbruch Verlag,. S. 167 sowie Wirschafswissenschafliche Fakulä der Johann-Wolgang Goehe- Universiä: Black-Scholes Modell, hp:// [Zugriff am 7.4.8] 33 Für eine ausführliche Beureilung der Modellannahmen vgl. Wirschafswissenschafliche Fakulä der Johann- Wolgang Goehe-Universiä: Black-Scholes Modell. S. 5ff., hp:// [Zugriff am 7.4.8] Working Paper No. 16 3