2 Festigkeitsberechnung bei ruhender Beanspruchung 2.1 Normalspannungshypothese (spröde Ws) 3.2 Vergleichsspannung ruhende Belastung und zäher Ws:

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1 Formelsammlung Dimensionieren I 1 Grundlagen Ablauf: 1. Betriebszustände bestimmen 2. Kritische Bauteile auswählen 3. Bauteile freilegen und äussere Kräfte/ Momente (Belastung) und Modellbildung bestimmen 4. Bestimmen der kritischen Bauteilquerschnitte und der Schnittkräfte 5. Spannungen (Beanspruchung) in kritischen Querschnitten bestimmen 6. Festigkeits- und Versagensberechnungen durchführen 7. Ergebnisse diskutieren und Entwürfe optimieren 3.1 Formzahl D d t = Formzahl für Absatz und Freistich α Formzahl für Rundstöbe mit Querbohrung = α τf τa 2 Festigkeitsberechnung bei ruhender Beanspruchung 2.1 Normalspannungshypothese (spröde Ws) 3.2 Vergleichsspannung ruhende Belastung und zäher Ws: ruhende Belastung und spröder Ws: 2.2 Schubspannungshypothese (zähe Ws) 3.3 Beispiel 2.3 Gestaltänderungsenergiehypothese 2.4 Zulässige Vergleichspannung (ruhende Beanspr.) Normalsp.- Hypothese: Schubsp.- und Gestaltänd.hypothese: 3 Kerbwirkung Biegemoment: Biegespannung: Tosionsspannung: Spannung infolge Querkraft: Formzahl: 3 alphas: Auszurechnen für Rundnut (Biegung) Absatz (Biegung und Torsion) 1

2 4 Stifte- und Bolzenverbindung Lösbar, formschlüssig oder reibschlüssig 4.1 Dimensionierung von Querkraft belasteten Steckstiften 4.4 Dimensionierung von Flanschstiften mit Drehmomentbel. Modellierung: Modellierung Umfangkraft pro Stift: Dimensionierung des Stiftes Oberhalb Einspannstelle: Flächenpressung: Mit dem Momentengleichgewicht: Dimensionierung der Bohrung: 4.2 Dimensionierung von Querstift mit Drehmomentbelastung Entwurfsrichtlinien: Modellierung: Dimensionierung: (in Trennebene, Schubsp. = 0) Vergleichsspannung: 4.5 Dimensionierung von Stangen-, Gabel und Bolzenverbindung Entwurfsrichtlinien: Nabe: Welle: Spielsitz: D10/h11 oder HB/f8 Festsitz: ZB11/h11 Dimensionierung: Scherung: Vergleichsspannung: Biegung: Modellierung: Überprüfung der Nabe und Welle auf Flächenpressung: 4.3 Dimensionierung von Längsstiften mit Drehmomentbel. Modellierung: 1. kritische Stelle A-B: 2. kritische Stelle C-D: Dimensionierung: Kritischer Querschnitt A-B: Dimensionierung des Stiftes: Druckspannung: Scherspannung: Vergleichsspannung: Dimensionierung der Bohrung: Kritischer Querschnitt C-D: (nur Biegespannung) Flächenpressung Gabel und Stangenbohrung: Gabel: Stange: 2

3 4.6 Zulässige Festigkeitswerte für Stifte und Bolzen Vergleichsspannung der Stifte und Bolzen: F > Sicherheitszahl gegen Fliessen: Für Bohrungen bei festen Verbindungen (keine drehende Bewegung) gilt, daß die zulässige Flächenbelastung auf die Bruchgrenze bezogen wird: 4.7 Beispiel V S F Zugkraft auf Bolzenverbindung: Stifte, die auf dem Durchmesser 3 Wülste eingeformt haben, welche sich ind die Bohrung eintreiben lassen und Stift formschlüssig ankern 3. Unterschiedliche Stiftqualitäten und Durchmesser-Toleranzen? Kommt auf Körperform an: kugelige (m6), angefaste (h8), glatte Form (h11) 4. Was sind Spannstifte? Aus welchem Material? Form von dünnwandigem Zylinderrohr und längs aufgeschlitzt. Hülse aus Federstahl und verspannen Teile durch radiale Ausdehnung. 5. Welche Bolzenformen gibt es? Ohne/mit Kopf, ohne/mit Spintloch, ohne/mit Gewinde 6. Axiale Sicherung der Bolzen? Splinte oder Federstecker, z.t. auch nur Festsitz 7. Von was ist die zulässige Flächenpressung abhängig? Belastungsart: schwellend, ruhend, wechselnd. Relative Bew: fest, gleitend 5 Nietverbindung (unlösbar) 1. Modellierung der Bolzenverbindung: Fall 1: Stangenring und Gabel nachgiebig: 5.1 Beanspruchung der Niete Flächenpressung: Scherspannung: Fall 2: Stangenring starr, Gabel nachgiebig: 5.2 Beanspruchung der Bauteile Fall 3: Gabel starr, Stangenring nachgiebig: Überlappnieten 2. Bestimmung kritischer Querschnitte: 3. Festigkeitsnachweis für den Bolzen: 1. kritischer Querschnitt: Mitte des Bolzens; Modellierung nach Fall Niete auf einem Teilkreis angeordnet 2. kritischer Querschnitt: Trennstelle zw Gabel und Stange; Modellierung Fall 2 4. Überprüfung Flächenpressung Anbindung: Flächenpressung Gabel: 5.4 Nicht auf einem Teilkreisangeordnet 1. Schwerpkt des Nietbildes: Flächenpressung Zugstange: 2. Schwerpkt.abstand r i 3. Nietbelast. aus Moment: 4.8 Verständnisfragen 1. Unterschied zwischen Stifte und Bolzen? Stifte: eher schlankere, rot.symm. Bauteile, meist feste Verbindung Bolzen: In Durchmesser und Länge eher größer, meist gelenkige Verbind. 2. Was sind Kerbstifte? 5. resultierende Nietkraft: 3 4. Nietbelast. aus Querkraft:

4 5.5 Verständnisfragen 1. Unterschied und Vor-/Nachteile einer Überlapp-/Laschennietung? Vorteil: wenig Material, Nachteil: Biegebeanspruchung von Niet und Bauteil Bauteile in Fluchtangeordnet und mit Laschen verbunden. Vorteile: keine Biegebeanspruchung, Nachteil: mehr Bauteile, größeres Gewicht 2. Was ist eine Blindnietung? Hohlniete durch Dorn an unzugänglicher Seite umgeformt 3. Welches sind die wichtigsten Vorteile der Nietverbindung? Keine Wärmebeeinflussung, kein Verzug, kontrollierbar, materialunabh. 4. Welche Nieten werden kalt geschlagen? Kraft- oder Formschlüssig? Stahlnieten < 10mm, Leichtmetall-/Buntmetallnieten. Formschlüssig. 5. Auf welche Beanspruchungen wird der Niet dimensioniert? Flächenpressung und Schubbeanspruchung 6. Auf welche Beanspruchungen werden Bauteile dimensioniert? Lochleibung, Reißen durch Normalspannung zw. Nieten, Anreißen durch Scherung vom Niet und Rand, bei Überlappnieten: zusätzlich auf Biegung Formschlüssige Nietverbindung: Kaltnietung, Vorspannkraft F N =0, F R < F, Kraft F durch Leibungsdruck und F = F = µ A Scherspannung übertragen Kraftschlüssige Nietverbindung: R µ 0 0 Warmgeschlagen, F N 0, Dehnung bei Abkühlung, Kraft durch Reibung 5.6 Vorgehen bei einer Nietverbindung 1. Maximale Nietkraft a) Schwerpunkt des Nietbildes bestimmen b) Schwerpunktsabstand der Nieten bestimmen c) Belastung aus Moment, Quer- und Normalkraft bestimmen 2. Beanspruchung in den Nieten a) Schubspannung ermitteln, Festigkeitsnachweis ggen Abscheren erbringen b) Flächenpressung ermitteln und mit zulässiger Grenzspannung vergleichen 3. Beanspruchung in den genieteten Bauteilen a) Flächenpressung überprüfen b) Spannungen in den durch die Nieren geschwächten Bauteilen ermitteln c) Festigkeitsnachweis für Bauteile erbringen z n 6 Leichtbaukonstruktionen 6.1 Gestaltungsprinzipien Gewicht minimieren, ohne die Tragfähigkeit und andere Fkt zu schmälern Ideal: auf Zug konstruieren, gleichmäßige Beanspr., Biegebeanspr. vermeiden Deckschicht : übernimmt Momente Kern: überträgt Normal- und Querkräfte, erfüllt versch. Fkt. 4

5 6.2 Bauweisen Differenzierte Bauweise Integralbauweise Sandwichbauweise 6.3 Idealisierung von Leichtbaukonstruktionen Annahmen bei Behandlung von dünnwandigen Stäben: Querschnittgestalt in Axialrichtung bleibt konstant Material ist homogen und isotrop Verformungen sind rein elastisch Querschnittsgestalt änder sicht unter Belastung nicht Spezifische Verdrehung ist klein Schale wird nicht senkrecht zur Oberfläche belastet Schubmittelpunktsberechnung für offene Querschnitte Der Schubmittelpunkt ist der Punkt, durch den man die Querkräfte führen soll, damit das Profil nicht auf Torsion beansprucht wird. Er ist eine rein geometrische Größe und somit nicht von der Querkraft abhängig. Schwerpkt Aus dem Schubfluss resultierende Drehmoment M T Gleichgewichtsbedingung am : 6.4 Biegung Schubmittelpunkt 6.6 Torsion von stabförmigen Tragwerken Torsion von kreisförmigen Stäben mit bei einem symmetrischen Profil: I yz = 0 (INA.Büechli S.120) Lage der Neutralachse: z M z I n y + M y I yz tanϕ = n y z z yz Verschwindet I yz bzw. sind die Hauptachsen bekannt (I 1 =I 2 =I 12 =0) gilt: y = M I + M I Kinematische Bedingungen: Gleichgewichtsbedingung zwischen Schnittmoment und Spannungen: 6.5 Schubspannungsverteilung bei Querkraftbelastung Schubfluss in dünnwandigen zylindrischen Querschnitten Gleichgewichtsbedingung: Mit wird zu Polares Tägheitsmoment: Verwindung: Maximale Schubspannung am Aussenradius r a Normalspannung: Schubflussdifferenz: Elastische Flächenmomente 1. Grades: Allgemeinste Form der Schubflussberechnung für dünnwandige Querschnitte: Torsion von Stäben mit beliebigem Querschnitt Annahmen: Material homogen und isotrop Schubverformungen sind rein elastisch Keine Behinderung der Querschnittsverwölbung Torsionsmoment ist konstant Verschiebung unabhängig von x: Kinematische Beziehungen: Spannungen: Bei offenem Querschnitt verschwindet q 0 (q 0 =0) Bei symmetrischem Profil ist I yz =0 Bsp: offenes, symmetrisches Profil: Schubspannungen unabhängig von x: Potentialfunktion: Voraussetzungen: Annahmen der elementaren Biegetheorie Quekräfte gehen über Schubmittelpunkt Querschnitt bleibt in x-richtung konstant (zylindrischer Stab) 5

6 Vereinfachung: Randbedingung: Gleichgewichtsbedingung am Stabende: Beziehung zwischen Torsionsmoment und Spannungsfunktion: Torsion offener Profile Offene Profile stellen ideale Biegeträger dar und sind effiezienter als geschlossene, wenn es um Biegebeanspruchung geht. Hingegen verhalten sich offene Profile erheblich schlechter gegenüber Torsion. Zum Rechnen braucht es eine Kombination zwischen analytischer Lösung und Membrananalogie. Beispiel Rechteck: Wenn man die Spannungen in einem Rechteck-Vollquerschnitt mittels der Membrananalogie veranschaulicht, sieht man, daß die Spannungen mit Ausnahme der Ränder unabhängig Der y-koordinate sind. Deshalb: Beziehung zwischen Torsionsmoment und spezifische Verdrehung: Lösung: Flächenträgheitsmoment bei Torsion: Bei kreisförmigen, geschlossenen Querschnitten entspricht I t dem polaren Trägheitsmoment I p. Bei nicht kreisförmigen Profilen gilt: Mit U R 2a, A 0 2az: Torsionsmoment M T : Bei Vollquerschnitten mit Annäherung an die Kreisform kann I t durch folgende Beziehung geschätzt werden: Einsetzen von τ max : Lösung des Torsionsproblems für ausgewählte Querschnittsformen: 1. Ellipse Gewählte Spannungsfunktion: Durch einsetzen erhält man: Lösung: 2. Rechteck: Schwieriger Ansatz für die Spannungsfunktion (Fourier): Lösung: Torsion geschlossener Profile Schubfluss ist konstant: 6

7 6.7 Beispiele Schubspannungen in verschiedenen U-Profilen Offene Drehstabfeder Schubfluss mit Q y =0 und I yz =0: Schubspannung bei z=0: Schubfluss: Querkraft au Glgewbed: Querschnittsvariante A: Am Punkt 1 (z=h, y=b/2): Am Punkt 2 (Klebfläche, z=h, y=0): C 0 so wählen, daß Flächenmiment 1. Grades Null ist: Mit wird: Flächenmoment 1. Grades: Oder direkt: s b / 2 h 2 S y ( s) = t( s) z( s) ds 2 d h ds ( h s) d ds = + = b d h + h d Schubspannungen in Klebeverbingung: Mit Schubfluss: wird Querschnittsvariante B: Normalfluss: Kinematisch Relationen: Normalfluss: 7

8 7 Klebeverbindung 7.1 Beanspruchung - Genügend grosse Klebflächen - Gleiche Tragfähigkeit von Bauteil & Klebstelle wird angestrebt - Klebeverbindung bevorzugt auf Scherung beanspruchen Zug-Druck-Beanspruchung Die Klebefläche ist gleichmässig beansprucht Wegen tiefen Festigkeitswerten eher zu vermeiden 8 Flächenpressung 8.1 Flächenpressung ebener Wirkflächen 8.2 Zapfen-/Bohrungsverbindung Scherbeanspruchung (bevorzugt!) Erhöhung von l ü führt nicht zu proportional höheren Belastungswerten! 8.3 Gewölbte Wirkflächen Kugel gegen Kugel Abminderungsfaktoren Zusätzliche Abminderungsfaktoren bei dynamischer Belastung: Druckflächenradius: Faustregel: Überlappungslänge: (optimale l ü für statische Last) Kräfte im Fügeteil: Maximale Spannung auf der Oberfläche: Kugel gegen Platte: r 2 Kugel gegen die innere Seite einer Kugel: r 2 < 0 Kräfte im Klebstoff: Optimale Überlappungslänge: Bei duktilen metallischen Werkstoffen: Klebschichtdicke: Wird meistens vom Hersteller angegeben. Als Faustregel kann die Klebschichtdicke auch über die max. Rauhtiefe bestimmt werden: d=3r max Schälbeanspruchung verhindern! Parallele Zylinder Vergleichsspannung: Maximal bei Tiefe 0.47 a V = 0.62 p Halbe Druckflächenbreite: max Geometrie der Fügeteile Maximale Pressung: Mittlere Pressung: 7.2 Dynamisch belastete Klebestellen Mit E 1 = E 2 = E und r 2 = : p max = F E 2 2 π (1 ν ) r l 1 Spannungsverteilung entlang der z-achse: Maximale Anstrengung bei z=0.78b Vergleichsspannung dort: V = p max 8

9 8.4 Beispiel Hertzsche Pressung zwischen Tramrad und Schiene Zylinder gegen Zyliner und E 1 = E 2 = E und r 2 = 9 Druckbeanspruchung rotationssymmetrischer Teile 9.1 Grundbeziehungen Dehnungs-/Verschiebungsgl.en: Stoffgesetz: Spannungen im ESF: Flächenpressung bei Zahnrädern Zylinder auf Zylinder 9.2 Druckbelasteter dickwandiger Zylinder Druckbehälter mit freier Längsdehnung Druckbehälter ist ihne Längslast und kann sich längs frei dehnen, befindet sich im ebenen Spannungszustand ESZ mit x = 0 Spannungen in radialer und tangentialer Rtg: Vergleichsspannung: Am Außen und Innenrand sind gegebene Drücke: Rad 1: Rad 2: Radiusverhältnis: Parameter A und B einfacher: Spannungen im ESZ: Dehnungen: Dehnung in x-rtg mit dem Stoffgesetz: 9

10 9.2.2 Druckbeanspruchte Zylinder mit freier Längsdehnung Spezialfälle Druckrohr mit vernachlässigbarem Aussendruck: p a = 0 Dehnungen aus Spannungen und Stoffgesetz: Grenzwertbetrachtung Extreme Innendrücke erfordern sehr hohe Wanddicken mit χ 0. Für r = r i : Spannungen: Zylinder unter Aussendruck In die homogenen Diff.glg für ε r und ε Θ : Resultierende Beziehungen, wenn man A und der letzte Term mit C, welcher auch eine Konstante ist, zu einer neuen Konstante A zusammenfaßt: Für Grenzwerte χ 0: Vollwelle unter Aussendruck 9.3 Druckbelastung dünnwandiger Zylinder (Kesselformen) Druckbehälter mit behinderter Längsdehnung ε 0 x = 0 und x unbekannt (EFZ) Mit Vernachlässigbarem Fehler: Randbedingungen radial: axial: 9.4 Rotierende rotationssymmetrische Zylinder Schwungscheibe ohne Bohrung Vergleichsspannung Maximal bei r = r i = v θ r 10

11 Schwunscheibe mit Bohrung 9.5 Beispiele Zwei Druckzylinder Variante 1: Weil Spiel Null ist und ν 1 = ν 2 verhalten sich die zwei Zylinder wie ein einziger. Variante 2: 10 Ermüdungsfestigkeit 10.1 Schema 1. Aussschlagspannung a) Berechnung der Ausschlags-Amplituden jeder Spannungskomponente im kritischen Querschnitt und Ort b) Berechnung einer Vergleichs -Ausschlagsspannung als Kombination aller Ausschlags-Spannungsamplituden va 2. Mittelspannung a) Berechnung der mittleren Spannung aller Komponenten, um welche die Amplitude ausschlägt b) Berechnung einer Vergleichs -Mittelspannung als Kombi aller Mittelspannungskomponenten ma 3. Gestaltfestigkeit Bestimmung der maximal ertragbaren Spannung VADK unter Berücksichtigung der a) Materialeigenschaften b) Bauteilgrösse, -geometrie c) Kerben d) Soannungsart e) Oberflächengüte f) Oberflächenverfestigung Im Unterschied zu ruhenden Belastung liegen hier sogar über die Spannung gekoppelte Einflüsse auf die ertragbare Spannung vor. 4. Vergleich Vergleich der vorliegenden Spannung bei berechneter Mittelspannun zu Gestaltfestifkeit unter Berücksichtigung gegen Bruch: VADK ( m ) Va < S B 10.2 Begriffe der schwingenden Belastung Oberspannung ( 0 ) Unterspannung ( u ) Spannungsamplitude ( a ) Mittelspannung ( m ) Spannungsverhältnis (R) Anzahl Lastspiele mit der Lastspielzahl (n) Lastspielzahl bei Bruch (N) Druckschwellbereich mit 0 0 mit der reinen Druckschw.beanspr. 0 = 0 Wechselbereich mit 0 > 0 und u < 0 mit reinen Wechselbeanspr. m = 0 Zugschwellbereich mit u 0 mit reiner Zugschwellbeanspr. u = 0 Kurzform: = m ± a und т = т m ± т a o u a = 2 o + u m = 2 R = u o 10.3 Wöhlerversuch und Wöhlerkurve N G Grenzlastspielzahl ist vom Material abhängig Spezialfälle: Reine (Dauer)Wechselfestigkeit: AD ( m =0) = W Dauerschwellfestigkeit mit Zug: AD (Zug: u =0/ Druck: o =0) = Sch 10.4 Dauerfestigkeit Dauerfestigkeit nach Smith Belastungsarten: Zug-Druck-Dwf: zdw Torsions-Dwf: т tw Biege-Dwf: : bw 11

12 10.5 Bestimmung der Dauerfestigkeit Approximation reine Wechselwirkung: Geometrischer Grösseneinflussfaktor auf die Kerbwirkungszahl 10.6 Einfluss der Wärmebehandlung - technologischer Grösseneinflussfaktor K 1 Die Festigkeitswerte gelten für den angegebenen Durchmesser d B. Die erreichbare Härte nimmt jedoch mit steigendem Durchmesser ab. K 1 berücksichtigt die Veränderung in Abhändigkeit von d. d ) = K ( d ) S, B ( 1 S, B B Kerwirkungszahl bei bekannter Formzahl Weiche Randschicht: Bei Torsion s (d) durch т s (d) ersetzen Harte Randschicht: Annäherungen: 10.7 Einfluss des Spannungsgefälles infolge Bauteilgrösse - geometrischer Grösseneinflussfaktor K Einflussfaktor der Oberflächenrauheit K F 10.8 Kerbeinfluss, Kerbwirkzahl Versuche zeigen, daß der Wechselbruch des gekerbtens Stabes erst bei einer größeren Wechsel-Nennspannung eintritt. Deshalb ist die Spannung nicht von α sondern von β abhängig: Wechsel-beanspr: Ruhende Beanspr: Einfluss der Oberflächenverfestigung K V 10.9 Kerbwirkungszahl für Passfeder und Presssitze Kerbwirkungszahl für Passfeder und Pressitze d B = 40 mm β = τ β falls d d B : β, ( d) = τ β, τ Entwurfsempfehlung: ( d B ( ) ) K 3 d B K ( d) Gestalwechselfestigkeit bei einachsiger Beanspruchung Gestaltwechselfestigkeit Kerbwirkungszahl für umlaufende Einstiche d B = 15 mm Umlaufende Spitzkerben Rechtecknut ρ*: Strukturradius Einfluss der Mittelspannung 12

13 10.13 Gestalfestigkeit bei mehrachsiger Beanspruchung Gewichtungsfaktoren für mehrachsige Beanspruchung Gestaltfestigkeit - Torsion Bemerkung 1: Der Index klein a bezeichnet die vorliegende Spannung, Index groß A die ertragbare Spannung Bemerkung 2: Zur Verreinfachung wird angenommen, daß die Ausschlagsspannung synchron vorliegt. Reine Wechselfestigkeit für Torsion: Technologische Größe K 1 entspricht der von Biegung Beiwert der Oberflächenverfestigung bei bei reinem Vergüten: K v = 1 Kerbwirkungszahl für Torsion: harte Randschicht α gegeben aus alter Aufgabe Vergleichs-Gestaltfestigkeit Nachweis der Dauerfestigkeit Beispiel: Geometrischer Einflussfaktor K 2 wie bei Torsion Einfluß der Rauheit auf Torsion Nun alle Werte bei der Formel für τ twk einsetzen. Berechnung der Mittelspannung der vorliegenden Beanspruchung Ermüdungsfestigkeit bei Mehrstufenbelastungen Palgrem-Miner Regel (elementare MIner-Regel) Bei Bruch: D = 1 Bei unterschiedl. Laststufen dürfen die Teilschädigungen D i aufsummiert werden. N i : Bruchlastspielzahl, n i : erwartete Lastspielzahl Relativ-Miner-Regel Verbesserte Methode: Summe der Teilschädigungen des bekannten Bauteils, der bekannten Probe und des zu bemessenden Bauteils müssen gleich sein. Vergleichsspannung Hier τ einsetzen! Beispiel Welle Gestaltfestigkeit - Biegung Vergleichs-Gestalfestigkeit Biegeausschlag: Torsionsausschlag: Reine Wechselfestigkeit bw (d B ): Technologischer Grössenfaktor K 1 : Sicherheit gegen Ermüdung (Dauerbruch) Beiwert der Oberflächenverfestigung K v :hier für reines Fügen K v =1 Kerbwirkungszahl für Biegung β : α gegeben: Geometrische Grösseneinflussfaktor K 2 : Einfluß der Rauheit für Biegung K F : Nun alle Werte in die Formel für bwk einsetzen. 13

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