Vorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre

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1 Vorlesung Einführung in die mthemtische Sprche und nive Mengenlehre 1 Allgemeines RUD26 Erwin-Schrödinger-Zentrum (ESZ) RUD25 Johnn-von-Neumnn-Hus Fchschft Menge ller Studenten eines Institutes Fchschftsrt gewählte Vertreter der Fchschft c.t cum tempore ( mit Zeit ): s.t sine tempore ( ohne Zeit ): Vorlesung beginnt 11:00 Uhr c.t., lso 11:15 Uhr Vorlesung beginnt pünktlich 11:00 Uhr 2 Grundlgen 2.1 Aufbu von Vorlesungen Eine Vorlesung ist eine Folge von Definitionen, Sätzen mit Beweisen und Beispielen. Notiert werden diese mit einer formlen Sprche, um eine höchstmögliche Exktheit zu erreichen. Dbei geht leider oft die Anschulichkeit verloren, so dß mn die dhinter steckende Idee erst wieder heruskrtzen muss. In den Bezeichnungen finden oft exotische Alphbete Verwendung: ζ, η, Σ, Θ,, ℵ 1

2 Definitionen führen neue Begriffe sowie die Nutzung bereits beknnter Begriffe ein. Beispiel Der Durchschnitt zweier Mengen A und B ist die Menge ller Elemente die in A und B liegen. Formle Schreibweise: A B := {x x A x B} Dbei sollten die Begriffe Menge und Element beknnt sein. Ein Stz ist eine bewiesene Aussge beziehungsweise eine Aussge mit Beweis. Je nch Bedeutung gibt es uch die Begriffe Lemm (Hilfsstz), Theorem (Huptstz), Korollr (unmittelbre Folgerung), Proposition oder Bemerkung. 2.2 Symbole Leider gibt es keine einheitliche Schreibweise, sprich jeder Dozent nutzt die Symbole, n die er sich gewöhnt ht. Generell gilt jedoch: Ein Dozent in der Vorlesung drf mehr, ls ein Student in den Übungsufgben Definitionssymbole := ist definiert Definiendum (ds zu definierende) steht links, definiens (ds Definierende) rechts. : genu dnn, wenn per Definition gegebene Eigenschft Quntoren für lle Beispiel: x Z : x 1 2 es existiert Beispiel: x R : x = 1 2 Bemerkung: Bei der Verwendung mehrerer Quntoren ist die Reihenfolge zu bechten. Beispielsweise ht die Aussge Für lle Menschen gibt es genu eine Mutter. eine ndere Bedeutung ls die Aussge Es gibt genu eine Mutter für lle Menschen.. 2

3 3 Nive Mengenlehre Die Frge, ws genu eine Menge ist, ist eher philosophischer Ntur (Cntor, 1895). Dher beschäftigen wir uns vorerst mit niver Mengenlehre: Wir nehmen n, eine Menge sei ds, ws wir umgngssprchlich drunter verstehen. 3.1 Einfche Definitionen Symbol Erklärung Forml leere Menge := {x x x} x A x ist Element von A A B, A B A ist echte Teilmenge von B A B A ist Teilmenge von B A B Durchschnitt der Mengen A B := {x x A und x B} A B Vereinigung der Mengen A B := {x x A oder x B} A \ B Differenzmenge A \ B := {x x A und x / B} A, A C, C A Komplement in Reltion A C := {x x / A} zu Trägermenge (, b) geordnetes Pr (, b) := {{, b}, {b}} (b, ) A B Produktmenge, A B := {(, b) A, b B} Menge der geordneten Pre P(A), 2 A Potenzmenge von A P(A) := {B B A} A, #A, crd(a) Mächtigkeit von A, bei endlichen Mengen: Anzhl der Elemente Beispiele Seien A := {x N m N : x = 2m}, B := {1, 2, 3, 4, 5}, C := {100, 723} Dnn gilt: A N, B N, C N, B C A B = {2, 4} C B = {1, 2, 3, 4, 5, 100, 723} B \ A = {1, 3, 5} 3

4 A C = {x N m N : x = 2m 1} B C = {(1, 100), (2, 100), (3, 100), (4, 100), (5, 100), (1, 723), (2, 723), (3, 723), (4, 723), (5, 723)} (A B) (B \ A) = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4, 3), (4, 5)} P(C) = 2 C = {, {100}, {723}, {100, 723}} C = 2 = P(C) = 2 2 = 4 D := {f f : {0, 1} {0, 1}}, ( D = 4) E := {A, B, C, D}, E = 4 4 Weitere Symbole ( 1, 2 ) geordnetes Pr ( 1, 2, 3 ) Tripel ( 1, 2,..., n ) n-tupel ( 1, 2,..., n,...) = ( i ) i N = ( i ) Folge n i := n Summe n i := n Produkt n! := n i = n Fkultät ( ) n := k n! k!(n k)! Binomilkoeffizient k teilt k : m Z : m = k (nur sinnvoll in N und Z) 4

5 z Betrg von z, z := { z, flls z 0 z, sonst mx{ 1,..., n } ds mximle Element (Mximum) = mx{ 1,..., n } : { 1,..., n } i = 1,..., n : i min{ 1,..., n } ds minimle Element Minimum) Schreibweisen: mx n, n N min N gerde Beispiele (2i) i N = 2, 4, 6, 8, i 2 = = ( n ) i 2 = (1 2, , ,...) = (1, 5, 14, 30, 55,...) n N n n+1 i = i 1 = n + i=0 5! = = 120 ( ) 5 2 = 5! 2! 3! = = , 5 10, = 5, 103 = 103 mx{ 3, 6, 10, 27, 4} = 27 n i 1 5 Weitere Begrifflichkeiten 5.1 In Beweisen z.z. zu zeigen (Vrition: g.z.z.: genug zu zeigen,... ), w.z.b.w., q.e.d. Beweisende (seltene Vrition für Hilfslemmt:, ) 5

6 5.2 Ausdrücke wohldefiniert bedeutet repräsenttenunbhähgig. Oft wird eine Eigenschft einer Menge oder Opertion uf einer Menge mit Hilfe eines einzelnen Repräsentnten (Vertreters) der Menge definiert. Dnn muss gezeigt werden, dss die Definition nicht von den usgewählten Repräsentnten bhängt. o.b.d.a. bedeutet ohne Beschränkung der Allgemeinheit. Oft wird nur ein Teil der Behuptung gezeigt, weil der Rest lut Meinung des Dozenten utomtisch, direkt oder nlog folgt und dher nicht extr bewiesen werden muss, beziehungsweise vernchlässigt werden knn. knonisch bedeutet in gewissem Sinne ntürlich. Oft wird diese Eigenschft einem Objekt zu geschrieben, von dem es viele weitere gibt, ber welches deutlich us seinen Artgenossen herusrgt. Beispiel, c N, b, c Z \ {0} Ist diese Verknüpfung wohldefiniert? zz.: Für b = b und c d = c d gilt: Beweis: Gemäß der Definition der Brüche in Q ist und dmit ergibt sich: b c def. d = d + b c b d sei b c d + bc := d bd b c d + bc d = bd Beispiel: 1 2 = 2 4 b = b b = b (1) c d = c d cd = c d (2) Erw. = c( d + b c ) c(b d ) distr. = cd + b cc (1) b cd = cd + bcc bcd (2) = c d + bcc bc d kürz = d + bc bd = b c d distr. = c (d + bc) c (bd) 6

7 Gegenbeispiel zur Wohldefiniertheit Sei definiert: f : Q Z b f ( b ) := + b Diese Funktion ist nicht wohldefiniert, denn es gilt: 3 = f ( 1 2) = f ( 2 4) = 6 Widerspruch Beispiel für knonisch Die knonische Bsis des R 3 ist {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} 5.3 Singulr und Plurl Singulr Plurl Bemerkung Lemm Lemmt beliebt, ber flsch: Lemms Mtrix, Index Mtrizen, Indizes nicht Mtrize (ds ist eine Gussform) Mximum, Minimum Mxim, Minim Bsis Bsen 7