Viel Spaß im Studium!

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1 Fakultät für Informations- un Kognitionswissenschaften Wilhelm-Schickar-Institut für Informatik Vorkurs Mathematik Barbara Rakitsch un Thomas Nestmeyer April 0 Vorwort Dieses Skript ist für en Vorbereitungskurs Mathematik es WSI. Es soll sowohl eine Wieerholung von Schulwissen sein, als auch einen ersten Einruck er Mathematik im Stuium un insbesonere eren Notation vermitteln. Wer Fehler finet wir ausrücklich gebeten, einem von uns, as heißt Barbara Rakitsch (b.rak@onlinehome.e) oer Thomas Nestmeyer (T.Nestmeyer@arcor.e), eine Mail zu schreiben. Auch bei sonstigen Fragen könnt ihr euch gerne an uns wenen. Dieses Skript unterliegt einem Creative Commons Lizenzvertrag. Es gelten ie Beingungen (Weitergabe unter: Namensnennung, nicht kommerziell, keine Bearbeitung). Die vollstänige Lizenz ist einzusehen unter: Als Quelle iente hauptsächlich as Buch Mathematik für Informatik un BioInformatik von Wolff, Hauck un Küchlin. Viel Spaß im Stuium!

2 Vorkurs Mathematik Inhaltsverzeichnis Aussagenlogik 6. Beispiele von Aussagen Definition Verknüpfungen Beispiele für logische Äquivalenzen Übungen Mengen 9. Definition (Georg Cantor, 895) Beispiele Schreibweise Zahlbereiche Quantoren Verknüpfungen Grunbegriffe Gesetze Übungen Elementare Rechenoperationen 4 3. Begriffe Lösungen von Gleichungen Binomische Formeln Betrag Bruchrechnung Potenzen Wurzeln Logarithmen Summen- un Prouktzeichen 4. Summenzeichen Prouktzeichen Fakultät un Binomialkoeffizient Beweise 6 5. Behauptung - Beweis Axiome Begriffe Genau ann, wenn Quantoren Zyklisches Beweisverfahren Inirekte Beweise Fallunterscheiung Ohne Beschränkung er Allgemeinheit Vollstänige Inuktion Übungen Abbilungen Definition

3 Inhaltsverzeichnis 3 6. Injektive Abbilungen Surjektive Abbilungen Bijektive Abbilungen Übungen Hintereinanerausführung von Abbilungen Umkehrabbilung Karinalität von Mengen Hilbert s Hotel Mathematisches Analogon Folgen Definition Beispiele Beobachtungen Beschränkte Folgen Konvergente Folgen, Grenzwert Cauchys Konvergenzkriterium Funktionen Definition Geometrische Interpretation Intervalle Elementarfunktionen Monotonie Umkehrfunktionen Wichtige Funktionen Stetigkeit Eigenschaften stetiger Funktionen Differentialrechnung Sekante Tangente Ableitung Differenzierbarkeit Stetig ifferenzierbar Ableitungsregeln Übungen Zusammenhang von Monotonie un Ableitung Lokale Extrema Mittelwertsatz Relationen Definition Beispiele Äquivalenzrelation Ornungsrelation Komplexe Zahlen 58. Motivation Definition Gaußsche Zahlenebene

4 4 Vorkurs Mathematik.4 Rechenregeln Betrag Funamentalsatz er Algebra Übungen Algebra 60. Halbgruppen Monoie Gruppen Übungen Lineare Gleichungssysteme Beispiele Zusammenfassung er rei möglichen Fälle Lösungen er Übungsaufgaben 70

5 Inhaltsverzeichnis 5 Griechisches Alphabet Großbuchstabe Kleinbuchstabe Name A α Alpha B β Beta Γ γ Gamma δ Delta E ǫ, ε Epsilon Z ζ Zeta E η Eta Θ θ, ϑ Theta I ι Iota K κ Kappa Λ λ Lamba M µ My N ν Ny Ξ ξ Xi O o Omikron Π π Pi P ρ, Rho Σ σ Sigma T τ Tau Y υ Ypsilon Φ φ, ϕ Phi X χ Chi Ψ ψ Psi Ω ω Omega

6 6 Vorkurs Mathematik Aussagenlogik. Beispiele von Aussagen. Alle Professoren sin Menschen.. Alle Menschen sin Professoren. 3. Wenn Weihnachten un Ostern auf einen Tag fällt, ann bekommt jeer Teilnehmer es Vorkurses ein Mensaessen vom Tutor geschenkt. 4. Es gibt Außerirische. Wir erkennen, ass Aussage immer wahr ist, währen Aussage nicht wahr ist, so lange es Menschen gibt, ie keine Professoren sin. Die ritte Aussage besteht aus zwei Teilaussagen: Weihnachten un Ostern fallen auf einen Tag un Jeer Teilnehmer es Vorkurses bekommt ein Mensaessen vom Tutor geschenkt. Vorausgesetzt Weihnachten un Ostern fallen auf einen Tag, ann muss er Tutor ie Mensaessen ausgeben, amit ie Aussage wahr ist. Da as jeoch nicht passiert, kann er Tutor machen was er will un ie Gesamtaussage ist wahr. Der Wahrheitswert er vierten Aussage ist (wenigstens im Moment) nicht zu beantworten, a nieman weiß, ob Außerirische existieren.. Definition Wir sprechen von einer Aussage im mathematischen Sinne, wenn iese einen eineutigen Wahrheitswert annimmt. Dieser Wahrheitswert kann beschrieben weren urch {wahr, falsch}, {true, false} oer {, 0}. Wir weren im Folgenen stets ie Bezeichnungen 0 für Aussage nicht erfüllt un für Aussage erfüllt verwenen..3 Verknüpfungen Seien A un B Aussagen.. Verneinung / Negation: A (gesprochen: nicht A ) A A 0 0. Un / Konjunktion: A B (gesprochen: A un B ) A B A B Oer / Disjunktion: A B (gesprochen: A oer B ) A B A B

7 Aussagenlogik 7 Wichtig ist, ass ie Oer-Verknüpfung auch en Un-Fall beinhaltet: A B ist wahr, wenn ie Aussage A oer ie Aussage B wahr ist, aber auch wenn beie Aussagen wahr sin. Wenn wir forern wollen, ass wirklich nur eine er beien Aussagen wahr ist, amit ie Gesamtaussage wahr ist, verwenen wir as exklusive Oer. 4. Exklusives Oer / XOR: (A B) (gesprochen: Entweer A oer B ) A B A B Beispiel: Entweer wir fahren mit em Bus, oer wir fahren mit em Ra. 5. Folgerung / Implikation: A B (gesprochen: Wenn A, ann B, oer Aus A folgt B ) A B A B A B ist also wahr, wenn ie Aussage A un ie Aussage B wahr sin oer wenn ie Aussage A falsch ist. Beispiel: Aussage 3 von oben. 6. Äquivalenz: A B (gesprochen: A genau ann, wenn B ) A B A B Beispiel: Eine ganze Zahl ist genau ann urch 6 teilbar, wenn sie urch un urch 3 teilbar ist. Wenn man ie Äquivalenz verneint (Antivalenz genannt), ergibt sich ie gleiche Wahrheitstafel wie ie bei XOR. Man sagt ann, ass (A B) un A B logisch äquivalent sin. Den Begriff er logischen Äquivalenz muss man aber von er Aussagenverknüpfung Äquivalenz unterscheien...4 Beispiele für logische Äquivalenzen.4. Beweis er logischen Äquivalenz von A B un A B Dies bestimmen wir, inem wir ie Wahrheitstafeln er beien Aussagen aufstellen un miteinaner vergleichen.

8 8 Vorkurs Mathematik A B A B A A B Da ie beien Spalten A B un A B ie gleichen Einträge haben, sin ie Aussagen A B un A B logisch äquivalent..4. Genau ann, wenn Ist A B logisch äquivalent zu (A B) (B A)?.4.3 Assoziativgesetz A B A B A B B A (A B) (B A) Ist (A B) C logisch äquivalent zu A (B C)? A B C A B (A B) C (B C) A (B C) Analog zeigt man auch as Assoziativgesetz für as logische Un : (A B) C un A (B C) sin logisch äquivalent..5 Übungen.5. DeMorgan sche Regeln Ist (A B) logisch äquivalent zu A B?.5. Distributivgesetze Ist A (B C) logisch äquivalent zu (A B) (A C)?

9 Mengen 9 Mengen. Definition (Georg Cantor, 895) Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschieenen Objekten unserer Anschauung un unseres Denkens (welche Elemente er Menge genannt weren) zu einem Ganzen.. Beispiele {,,3} {7,8,9,0,B,D,K,A} {α,β,γ,...,ω} (griechisches Alphabet) {Mercees, BMW, Porsche, Aui, VW} {5, a, A, Haus, Zahl} := {} Leere Menge.3 Schreibweise M := {a,b,c,...} gesprochen: M wir efiniert als ie Menge aus en Elementen a,b,c,... a M gesprochen: a ist ein Element von M oer kurz a Element M / M gesprochen: ist nicht Element von M oer ist kein Element von M {x M : x hat ie Eigenschaft...}, oft auch {x M x hat ie Eigenschaft...} gesprochen: Die Menge aller x aus M, für ie gilt: x hat ie Eigenschaft....4 Zahlbereiche N = {,, 3,...} natürliche Zahlen (ohne 0) N 0 = {0,,,3,...} natürliche Zahlen mit 0 Z = {... {,,,0,,,3,...} } ganze Zahlen Q = p q : p,q Z,q 0 rationale Zahlen R reelle Zahlen R >0 = {x R : x > 0} positive reelle Zahlen. Analog für R 0, R <0, R 0. C komplexe Zahlen.5 Quantoren x M (Allquantor oer Universalquantor) gesprochen: Für alle x M Beispiel: x {,3,5} : x 5

10 0 Vorkurs Mathematik x M (Existenzquantor) gesprochen: Es existiert ein x M Beispiel: x {3,5,7} : x 5 Vorsicht: schließt nicht aus, ass auch gelten kann! Beispiel: x {,3,5,7} : x 0 Die Quantoren können auch hintereinaner benutzt weren, wobei ie Reihenfolge wichtig ist! Beispiele: 0 x R : y R : xy = (ist erfüllt mit y = x ) y R : 0 x R : xy = (ist nicht erfüllt, a es keine Zahl gibt, ie mit jeer Zahl 0 multipliziert Eins ergibt) kompliziertes Beispiel: ε > 0 : n(ε) N : n n(ε) : n < ε.6 Verknüpfungen Seien im Folgenen M un N stets Mengen..6. Schnitt M N := {x : x M x N} Beispiel: Für M = {,,3,4} un N = {4,5,6} ist M N = {4}. Venn-Diagramm:.6. Vereinigung M N := {x : x M x N} Beispiel: Für M = {,,3,4} un N = {4,5,6} ist M N = {,,3,4,5,6}. Venn-Diagramm:.6.3 Differenzmenge M \ N := {x : x M x N} Beispiel: Für M = {,,3,4} un N = {4,5,6} ist M \ N = {,,3}. Venn-Diagramm: Falls N Teilmenge von M ist (siehe.7.), so schreibt man manchmal anstatt M \ N auch N c (sprich N Komplement ), wenn klar ist, welche Obermenge (hier M) gemeint ist..7 Grunbegriffe.7. Disjunkte Mengen Wenn M N =, also wenn M un N keine gemeinsamen Elemente besitzen, sagt man M un N sin isjunkt.

11 Mengen.7. Teilmenge Gilt x N x M oer analog x N : x M, so schreiben wir N M un sagen N ist Teilmenge von M. Anstatt N M schreiben wir auch M N un sagen M ist Obermenge von N, falls ies im Kontext geschickter erscheint. Venn-Diagramm: N M.7.3 Potenzmenge Die Potenzmenge P(M) enthält alle Teilmengen von M, also P(M) := {X : X M}. Beispiel: Ist M := {,}, ann ist P(M) = {, {}, {}, {,}}..7.4 Kartesisches Proukt Sei n N mit n un seien M,M,...,M n nichtleere Mengen. Dann heißt ie Menge er georneten n-tupel M M M n := {(x,x,...,x n ) : x M,x M,...,x n M n } kartesisches Proukt oer auch Kreuzproukt. Beispiel: {a,b,c} {0,} = {(a,0),(a,),(b,0), (b,), (c, 0), (c,)} Behauptung: Das Kartesische Proukt ist nicht kommutativ. Beweis: Da Tupel geornet sin, gilt (x, y) (y, x) für beliebige x y un amit {0,} {a,b,c} = {(0,a),(0,b),(0,c),(,a),(,b),(,c)} {a,b,c} {0,}.7.5 Gleichheit zweier Mengen Gilt M N un N M, so heißen ie beien Mengen M un N gleich (Schreibweise M = N). Dann ist jees Element aus M auch Element von N un umgekehrt..8 Gesetze.8. DeMorgan sche Regeln Seien M, N Mengen. Behauptung: Es gilt (M N) c = M c N c. (Die Komplemente sin in irgeneiner Menge gebilet, ie Obermenge von M un N ist.) Beweis: Wir müssen ie zwei Richtungen (M N) c M c N c un (M N) c M c N c zeigen. Sei x (M N) c beliebig. Also ist x (M N) oer aners geschrieben (x (M N)). Nach Definition es Schnitts also ((x M) (x N)) un mit en DeMorgan schen Regeln für Aussagen (.5.) (x M) (x N), was wieer normal geschrieben beeutet x M x N. Das heißt x M c x N c un somit nach Definition er Vereinigung x (M c N c ). Insgesamt haben wir also für beliebiges x gezeigt: x (M N) c x (M c N c ) un amit (M N) c M c N c.

12 Vorkurs Mathematik Dieses Mal fassen wir uns etwas kürzer: Sei x (M c N c ). Also ist x M c oer x N c un amit x M oer x N. Das heißt x (M N), also x (M N) c. Insgesamt haben wir also gezeigt: x (M c N c ) x (M N) c un amit M c N c (M N) c. Wir haben also beie Richtungen gezeigt un amit gilt ie Behauptung. Analog beweist man ie zweite DeMorgan sche Regel: (M N) c = M c N c..8. Assoziativität er Vereinigung Seien M,M,M 3 Mengen. Behauptung: Es gilt (M M ) M 3 = M (M M 3 ) Beweis: Wir zeigen hier beie Richtungen auf einmal: x ((M M ) M 3 ) (.6.) (x (M M )) (x M 3 ) (.6.) ((x M ) (x M )) (x M 3 ) (.4.3) (x M ) ((x M ) (x M 3 )) (.6.) (x M ) (x (M M 3 )) (.6.) x (M (M M 3 )) Aus iesem Grun können wir ie Klammern auch weglassen, wir schreiben also M M M 3. Analog zeigt man auch, ass (M M ) M 3 = M (M M 3 ) gilt..9 Übungen Aufgabe Betrachte: M := {,} M := {,3} M 3 := {X,y,3} M 4 := {x,y,z} M 5 := {,4,6} Bestimme:. M M. M M 3 3. M 3 M 4 4. M M M 3 M 4 M 5 5. M M M 3 M 4 M 5

13 Mengen 3 6. P(M 3 ) 7. P( ) 8. M M M 3 9. Bestimme alle Paare isjunkter Mengen. 0. M \ M. M 3 \ M 4. Gilt (M M ) M 5? Aufgabe Gib ie Elemente er folgenen Mengen an:. {x N : x < 4}. {x R : x = } 3. {x Z : y Z : xy = } 4. {x Z : x < 00 y Z : y = x}

14 4 Vorkurs Mathematik 3 Elementare Rechenoperationen 3. Begriffe 3.. Term Ein Term ist ein mathematischer Ausruck, er zum Beispiel aus Zahlen, Variablen, Klammern un Verknüpfungen (wie + oer ) besteht. Grob gesprochen sin Terme also ie korrekten Wörter er mathematischen Sprache. 3.. Formel Beispiele für Terme Keine gültigen Terme 3 )5 3) 5x : 3 (4 + 8) a Setzen wir Terme mit Vergleichsoperatoren (=,, <,, >, ) zusammen, erhalten wir Formeln. Beispiel: a + b = c oer a + b a + b. (Zur Definition es Betrags siehe 3.4.) Für Formeln er Form a +b = c sagen wir meist Gleichung, für a+b a + b Ungleichung Äquivalenzumformungen Äquivalenzumformungen sin iejenigen Umformungen, welche en Wahrheitsgehalt einer Formel erhalten. Dazu gehören Aition un Subtraktion von beliebigen Zahlen un Multiplikation un Division mit beliebigen Zahlen 0 auf beien Seiten. Bei Multiplikation un Division mit negativen Zahlen muss abei bei Ungleichungen er Vergleichsoperator herumgereht weren (, < >). Vorsicht aber, wenn Variablen vorkommen, a ann nicht immer sofort offensichtlich ist, ob mit negativen Werten oer Nullwerten multipliziert / iviiert wir. 3. Lösungen von Gleichungen Haben wir zwei Terme T un T, in enen eine Variable vorkommt, so möchten wir herausfinen, für welche(n) Wert(e) er Variablen ie Gleichung T = T erfüllt ist. Da sich ies umformen lässt zu T T = 0, können wir also ie Nullstellen es Terms T T bestimmen. 3.. Geraen Die Nullstellen eines Terms ax + b mit a,b R un a 0 bestimmen wir uch einfaches Umstellen: ax + b = 0 x = b a Zu iesem Problem gibt es also immer genau eine Lösung. 3.. Parabeln Die Nullstellen eines Terms ax + bx + c mit a,b,c R un a 0 finen wir mithilfe er Mitternachtsformel : x, = b ± b 4ac a In Abhängigkeit er Diskriminanten = b 4ac können wir ie Anzahl er reellen Lösungen er Gleichung ax + bx + c = 0 bestimmen:

15 3 Elementare Rechenoperationen 5 Ist > 0, so gibt es zwei Lösungen. Ist = 0, so gibt es eine Lösung. Ist < 0, so gibt es keine Lösung. Die p-q-formel ist zur Mitternachtsformel äquivalent. Betrachte azu ie Umbenennung p := b a un q := c a un folgene Umformungen: ax + bx + c = 0 x + b a x + c a = 0 x + px + q = 0 x, = p ± p 4q = p ± p 4 q Beispiel: Bestimme ie Nullstellen von x + 5x + 6. x, = 5 ± = 5 ± 5 4 = 5 ± x =, x = Polynome Haben wir Zahlen a 0,...,a n R gegeben, ann nennen wir einen Term er Form a 0 + a x + a x a n x n ein Polynom. Die Spezialfälle Gerae a x + a 0 un Parabel a x + a x + a 0 haben wir eben besprochen Polynomivision Die Nullstellen eines allgemeinen Polynoms zu finen ist sehr schwer, a es hierzu keine Formel gibt, in ie wir einfach einsetzen können. Es bleibt ie Möglichkeit, eine Nullstelle zu erraten un as Polynom urch Polynomivision ann zu vereinfachen. Schaffen wir es, as Polynom soweit zu vereinfachen, ass ein quaratisches Polynom übrig bleibt, können wir mit er Mitternachtsformel ie übrigen zwei Nullstellen berechnen. Ist x 0 eine erratene Nullstelle, so müssen wir bei er Polynomivision urch (x x 0 ) iviieren. Da wir wissen, ass es sich hierbei um eine Nullstelle hanelt, arf bei ieser Division kein Rest übrig bleiben. Wir betrachten nun folgenes Beispiel, an em er allgemeine Algorithmus klar weren sollte: ( x 3 + 5x + 9x + 5 ) : ( x + ) = x + 4x + 5 x 3 x 4x + 9x 4x 4x 5x + 5 5x 5 Übung: Fine ie Nullstellen von x 3 x 9x 4. Hinweis: Eine Nullstelle ist Anzahl er Nullstellen eines Polynoms Ein Polynom n-ten Graes, as heißt ein Polynom a 0 + a x + a x + + a n x n mit a n 0, hat maximal n reelle Nullstellen.

16 6 Vorkurs Mathematik 3.3 Binomische Formeln Bestimmte Terme treten in er Mathematik immer wieer auf, soass es für uns von Interesse ist, iese nicht jees Mal ausrechnen zu müssen. Ein berühmtes Beispiel sin ie rei binomischen Formeln, ie schon ausgiebig in er Schule besprochen un benutzt wuren: Behauptung: Für zwei Zahlen a, b R gilt:. (a + b) = a + ab + b. (a b) = a ab + b 3. (a + b)(a b) = a b Beweis: Rechne ie Formeln als Übung nach! 3.4 Betrag 3.4. Definition Der Betrag einer Zahl a R wir efiniert urch a = a, falls a 0 un a = a, falls a < 0. Beispiele: 5 = 5, 3 = 3, 0 = 0 x = x = oer x = x 5 = 7 x 5 = 7 oer (x 5) = 7 x = oer x = Gesetze Für a,b R gilt stets 3.5 Bruchrechnung a = 0 a = 0 (Positivität) a b = a b (Homogenität) a + b a + b (Dreiecksungleichung) Die Menge er rationalen Zahlen Q ist efiniert urch Q := { a b : a,b Z, b 0}. Jees Element aus Q heißt Bruch. Dabei ist a er Zähler un b er Nenner Erweitern un Kürzen von Brüchen Seien a b Q, k Z mit k 0. Dann gilt a b = a k b k Gehen wir von links nach rechts, erweitern wir en Bruch um Faktor k. Gehen wir stattessen von rechts nach links, so kürzen wir mit k. Enthält er Zähler oer er Nenner eine Summe, so muss jeer Summan k enthalten, amit man kürzen arf. Seien im Folgenen a b, a b Q Negative Brüche Für a b Q gilt: a b = a b = a b

17 3 Elementare Rechenoperationen Aition un Subtraktion von Brüchen Brüche weren aiert / subtrahiert, inem beie Brüche auf en gleichen Nenner (Hauptnenner genannt) gebracht weren un anschließen ie Zähler aiert / subtrahiert weren: Multiplikation von Brüchen a b ± a b = a b b b ± a b b b = a b ± a b b b Brüche weren multipliziert, inem Zähler un Nenner jeweils multipliziert weren: a a = a a b b b b Division von Brüchen Brüche weren iviiert, inem man mit em Kehrwert multipliziert: Übungen a b : a b = a b b a = a b b a Betrachte ie auftretenen Variablen stets so, ass er Nenner 0 ist.. Kürze: a) 64x y b) xy+5y 4xy 8xy c) 56x y 6xy 4yz+40y ) a b 5a+5b. Berechne: a) b) x +y +3xy 5x 5y xy x y 4 c) 7x x 8 ) e) 5a a b : 35 7a 7b f) ( 4a 3b : 7a 9ab ) : 4ab 5 3. Löse ie Gleichungen: Motivation a) 3z 8 3z+8 = b) x+ x+5 = x x+ Sei ie Gleichung a n = b gegeben. Ist a un n bekannt, können wir urch Potenzieren b bestimmen. Ist n un b bekannt, können wir urch Wurzelziehen a bestimmen. Ist a un b bekannt, können wir urch Logarithmieren n bestimmen.

18 8 Vorkurs Mathematik 3.6 Potenzen 3.6. Definition Seien im Folgenem a R, n N 0. Dann ist ie n-te Potenz von a efiniert urch { a n für n = 0 = a n a für n > 0 abei heißt a Basis un n Exponent. Dies beeutet anschaulich a n = a }... {{ a}. n-mal Damit gilt insbesonere 0 0 = un n 0 : 0 n = 0. Für n Z erweitern wir obige Formel mit a n = ( a ) n, falls n < Potenzgesetze Seien im Folgenen a,b R, n,m Z. Dann gilt:. a n a m = a n+m. a n b n = (ab) n a 3. n b = ( a n b ) n 4. (a n ) m = a n m 5. a n a m = a n m Übungen. Berechne: a) 0 b) ( ) 3 c) 3. Fasse zusammen: a) 5 3x 3 y 3 z xyz b) 3 a b 5 3 a b 3 c) Achtung: Potenz vor Punkt vor Strich! 63ab 3 (4ab) 3 ( a ) ) x 0 x n y 7 y m x 3 e) ( ) a b : n a3 b : a b Wurzeln 3.7. Definition Seien a R >0 un n N. Dann besitzt ie Gleichung b n = a eine eineutig bestimmte nichtnegative Lösung für b. Diese wir als ie n-te Wurzel von a (in Zeichen: n a) bezeichnet. Die Zahl a heißt Raikan. Damit gilt insbesonere auch x = x.

19 3 Elementare Rechenoperationen Wurzelgesetze Seien a,b R >0, n,k N un m Z.. n a m = ( n a) m un n a n = ( n a) n = a. n a n b = n ab n a n = n a b b n k a = nk a = k n a Zusammenhang zwischen Wurzeln un Potenzen Seien a R,n N. Dann ist ie Potenz von a mit en Exponenten n efiniert urch a n = n a Mithilfe er Wurzel-Gesetze können wir aurch ie Potenzgesetze auf rationale Exponenten erweitern Anzahl er Lösungen er Potenzgleichung In Abhängigkeit von a un n kann man ie Anzahl er Lösungen von b für b n = a bestimmen:. Für ein ungeraes n N existiert genau eine Lösung: n a.. Für ein geraes n un a > 0 existieren sowohl eine positive Lösung n a als auch eine negative Lösung n a. 3. Für ein geraes n un a < 0 existiert keine reelle Lösung Übungen. Berechne: a) 7 x 5x x b) c) a b a+ b a+ ab+b a b ) 7 9 x e) 4 x 7 x 3 7 y y. Erweitere so, ass er Nenner rational wir: a) 7 ab b) c) Löse ie Gleichung: 3x = x 7

20 0 Vorkurs Mathematik 3.8 Logarithmen 3.8. Definition Seien a,b R mit a,b > 0, b. Die eineutig bestimmte Zahl x R mit b x = a heißt Logarithmus von a zur Basis b. Sie wir mit x = log b a bezeichnet. Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen efiniert, a für a,b 0 ie Gleichung nicht immer lösbar ist. Ist zum Beispiel a negativ un b positiv, so existiert kein x, as ie Gleichung erfüllt. Der Fall b = muss ausgeschlossen weren, a x immer en Wert Eins hat, as heißt ie Gleichung ist nur für a = lösbar, aber ann nicht eineutig bestimmt (a unenlich viele Lösungen existieren). Beispiele: log 04 = 0, a 0 = 04 log = 3, a 0 3 = 000 log =, a = Der Logarithmus zur Basis 0 kann mit lg, er Logarithmus naturalis (mit er Eulerschen Zahl e, als Basis) mit ln abgekürzt weren. Wir log ohne Basis angegeben, so muss aus em Kontext gelesen weren, welche Basis gemeint ist Wichtige Werte es Logarithmus Für a,b R >0 mit b gilt:. log b = 0. log b b = 3. b log b a = a 4. log b b a = a Logarithmusgesetze Seien im Folgenen a,b,c R >0 mit c. Dann gilt:. log c (a b) = log c a + log c b. log c a b = log c a log c b 3. log a b = logcb log ca, wenn zusätzlich gilt a 4. log c a b = b log c a Übungen. Berechne: a) log 4 64 b) log 6 c) log 3 3 Fasse zusammen: a) ln + ln5

21 3 Elementare Rechenoperationen b) 5 ln x 0 ln x + 3ln x ln x. Forme so um, ass nur Vielfache von ln 5 verwenet weren: ln 3. Löse ie Gleichungen: a) log 3 (x ) = b) log x = log 3 x c) lg(5x) + lg = 3 lg(4x) ) ( 7 x ) x+ ( = 7 x+ ) x+5 3 e) 3 x+6 = 4 3 x 5

22 Vorkurs Mathematik 4 Summen- un Prouktzeichen 4. Summenzeichen 4.. Definition Seien a,...,a n R un k,n Z. Die Summe er Zahlen a k,...,a n wir bezeichnet mit n a i = a k + + a n i=k Der Inex i ist hierbei ie Laufvariable (von i = k bis i = n), wie man es von er Programmierung mit for-schleifen her vielleicht schon kennt un kann natürlich auch urch anere Buchstaben bezeichnet weren. 4.. Beispiele i = i= log i = log + log = 0 + = i= 4 ( i i+ ) = ( 3) ( + 3 ( 4) + 4 ) 5 = 5 = = 3 0 i= = ( +)+( +)+( 3+)+ +( +) = (i+ ) = = Spezialfälle 5 i i=0. Ist ie untere Summationsgrenze geich er oberen, beeutet ies, ass ie Summe nur aus einem Summanen besteht: k a i = a k i=k. Ist ie untere Summationsgrenze größer als ie obere Summationsgrenze, wir as Ergebnis er Summe als Null efiniert: Formal: Seien k,n Z mit k > n. Dann ist n a i = Rechenregeln Seien im Folgenen a k,...,a n,b k,...,b n,c, R un k,n Z. Dann gelten folgene Rechenregeln: i=k i=.. n a i = a k + + a l + a l+ + + a n = l a i + i=k i=k n i=l+ n (c a i ) = ca k + ca k ca n = c (a k + + a n ) = c n i=k a i mit l N un k l n. a i i=k

23 4 Summen- un Prouktzeichen 3 3. n (a i + b i ) = (a k + b k ) + (a k+ + b k+ ) + + (a n + b n ) i=k = (a k + a k+ + + a n ) + (b k + b k+ + + b n ) n n = a i + i=k i=k b i 4..5 Inexverschiebung Manchmal will man ie Summationsgrenzen einer Summe verschieben. Dabei änert sich er Wert er Summe nicht, aber ie Inizes weren nach oben/unten verschoben: 4..6 Beispiele. 4 i= (i ) = 4 i=. Teleskopsumme: 4. Prouktzeichen n a i = i=k n±l i=k±l a i l (i + ) = 3 i = = 6 i= n (a i a i ) = i= = = = n a i i= n a i i= n i= ( n n a i i= n a i+ i= n a i i=0 a i ) ( ) n a i + a n a 0 + a i i= = a n a 0 Analog zum Summenzeichen wir as Prouktzeichen efiniert. 4.. Definition Seien a k,...,a n R un k,n Z. Das Proukt er Zahlen a k,...,a n wir bezeichnet mit n a i = a k... a n Das leere Proukt n a i mit n < k wir hierbei efiniert als Eins. i=k i=k i=

24 4 Vorkurs Mathematik 4.. Übungen. Schreibe mit Summenzeichen: a) b) Berechne für c R: 4 a) 3i i= b) m c c) ) i= 4 k k= 4 4 ij i= j= e) 0 (i 3) 8 i 8 f) i=3 i i=3 i= 4.3 Fakultät un Binomialkoeffizient 4.3. Defintion (Fakultät) Sei n N 0. Dann ist n! := Dabei wir n! gelesen als n Fakultät. Beispiele: 6! = 6 i = = 70 i= 0! = 0 i = i= 4.3. Defintion (Binomialkoeffizient) n i i= Seien n,k N 0. Dann ist ( ) { n n! k!(n k)! für 0 k n := k 0 für k > n er Binomialkoeffizient. Dabei wir ( n k) gelesen als n über k. Beispiel: ( 7) = 7!! 5! = ( ) (5 4 3 ) = 7 6 =

25 4 Summen- un Prouktzeichen Binomiallehrsatz Mithilfe er Binomialkoeffizienten können wir ie binomischen Formeln für allgemeine Potenzen erweitern. Es gilt für beliebige a,b R un n N: (a + b) n = n k=0 ( ) n a n k b k. k Dabei lässt sich ie Formel aufgrun er Kommutativität er Aition genauso schreiben als (a + b) n = (b + a) n = n k=0 ( ) n b n k a k = k n k=0 ( ) n a k b n k k Setzt man statt b einfach b ein, erhält man ie Verallgemeinerung er zweiten binomischen Formel: n ( ) n n ( ) n (a b) n = (a + ( b)) n = a n k ( b) k = a n k ( ) k b k k k k= Pascal sches Dreieck Wegen ( n) ( k + n ) ( k = n+ ) k können wir ie azu benötigten Binomialkoeffizienten mithilfe es Pascale schen Dreiecks berechnen: ( 5 0 ( 0 ( 0) ) ( ( 0 ) ) ( ) ( ( 0 ) 0 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ( 0 3) 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) 0 ( 3 4) 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( ) = k=

26 6 Vorkurs Mathematik 5 Beweise In iesem Abschnitt wollen wir vorführen, wie mathematische Beweise strukturiert sein sollen un auf was zu achten ist. 5. Behauptung - Beweis Ein mathematischer Satz besteht immer aus zwei Teilen: Einer Behauptung in Form einer Aussage un einem Beweis er Gültigkeit ieser Behauptung. Dabei besteht ie Behauptung selbst aus Voraussetzungen un er araus resultierenen Schlussfolgerung. Wenn man also mit V ie Konjunktion aller Voraussetzungen bezeichnet un mit S ie Schlussfolgerung, so hat ein mathematischer Satz ie Form Es gilt V S. Es wir also behauptet, ass iese Implikation wahr ist. Wenn man sich ie Wahrheitstafel für ie Implikation ansieht, beeutet as, ass man Folgenes zeigen muss: Wenn ie Voraussetzungen erfüllt sin,.h. wenn V wahr ist, ann ist auch S wahr. Dies muss ann mit einem Beweis nachgewiesen weren. Manchmal gibt es auch keine Voraussetzungen. Dann muss man beweisen, ass S ohne Voraussetzungen wahr ist (z.b. 5 ist eine Primzahl ). Beispiel: Behauptung: Seien m un n gerae Zahlen. } {{ } Voraussetzung Dann ist auch m + n gerae. } {{ } Schlussfolgerung Beweis: Seien m,n gerae Zahlen. Das heißt es gibt zwei ganze Zahlen m un n, für ie gilt: m = m un n = n. Dann ist m + n = m + n = (m + n ), also m + n auch gerae. Das Ene eines Beweises markieren wir oft urch as Symbol wozu wir sagen Beweis abgeschlossen. Hierfür sieht man auch viele anere Symbole, wie zum Beispiel: q.e.. (quo erat emonstranum, aus em Lateinischen: was zu zeigen war) oer auch. Bei einem selbst urchgeführten Beweis ist es immer klug arauf zu achten, ob alle Voraussetzungen verwenet wuren. Ist ies nicht er Fall, ist mit hoher Wahrscheinlichkeit ein Fehler im Beweis, a mathematische Aussagen normalerweise nur ie nötigsten Voraussetzungen forern. So kann zum Beispiel obige Behauptung nicht bewiesen weren, wenn wir in unserem Beweis nur von beliebigen ganzen Zahlen anstatt von geraen Zahlen ausgegangen wären. 5. Axiome Zum Beweis einer Aussage ürfen immer nur iejenigen Aussagen verwenet weren, ie bisher schon gezeigt wuren. Das Grungerüst azu bilen Axiome, also unstrittige Voraussetzungen, auf enen ie gesamte Mathematik aufgebaut ist. Zum Beispiel weren ie natürlichen Zahlen formal mithilfe er Peano-Axiome eingeführt, was wir hier aber vermeien wollen, a ies sehr viel Zeit in Anspruch nehmen würe. Vorsicht mit Sätzen aus er Schule! Da iese nur selten bewiesen weren, arf man sie nicht in Beweisen benutzen. 5.3 Begriffe Je nach Art un Wichtigkeit einer Aussage unterscheien wir mit folgenen Namen: Definition: Eine Namensgebung für einen Sachverhalt.

27 5 Beweise 7 Satz: Eine wichtige Aussage. Theorem: Eine sehr wichtige Aussage. Lemma: Ein Hilfssatz, zur Hinführung auf einen Satz. Korollar: Eine irekte Folgerung aus einem Satz. 5.4 Genau ann, wenn Manche mathematischen Sätze sin von er Form: Die Aussage A gilt genau ann, wenn B gilt. Das beeutet, ass man zu zeigen hat, ass A B eine wahre Aussage ist. Dazu zeigt man meist, ass ie beien Richtungen, also Implikationen, A B un B A gelten. Dieses Vorgehen ist in Ornung, a wir in.4. ie logische Äquivalenz von A B un (A B) (B A) bewiesen haben. Bei ieser Gelegenheit noch ein Wort zur Sprechweise: Statt Wir zeigen, ass A B eine wahre Aussage ist. oer Wir zeigen, ass A B gilt. sagt man in er Mathematik meistens kurz Wir zeigen A B.. Genauso ist ie Sprechweise Wir zeigen A B. zu verstehen. 5.5 Quantoren 5.5. Verwenung von Beispielen Aufpassen muss man bei er Verwenung von Beispielen. Wollen wir eine Aussage mit Allquantor beweisen, reichen Beispiele nicht aus, a ie Aussage für jees Element bewiesen weren muss. Hier tappt man sonst leicht in ie Falle, a es Aussagen gibt, ie für sehr viele Beispiele korrekt sin, aber nicht im Allgemeinen gelten. Bei kleinen enlichen Mengen kann es zwar möglich sein, ie Aussage für jees Element einzeln nachzurechnen, bei unenlichen Mengen ist ies jeoch nicht möglich. Das sollte aber niemanen avon abhalten, sich selbst Beispiele zum besseren Verstännis er Aussage zu machen! Wollen wir wieerum eine Aussage mit Existenzquantor beweisen, genügt es uns, ie Aussage für ein Beispiel zu beweisen. Denn wenn wir ein spezielles Beispiel angeben können, so ist ie Existenz eines solchen gewiss. Kommt ein Existenzquantor in einer Voraussetzung vor, können wir mit em gegebenen Element arbeiten, ohne en konkreten Wert zu kennen. Beispiele: Behauptung: x {,3,6,7} : x < 0. (Diese Behauptung könnte man in er Voraussetzung- Schlussfolgerung-Formulierung auch so schreiben: Sei x {, 3, 6, 7}. Dann ist x < 0.) Beweis: Lassen wir hier x nacheinaner alle Werte aus {,3,6,7} annehmen, so können wir ie Aussage für jees Element aus er Menge zeigen: < 0,3 < 0,6 < 0 un 7 < 0. Wir haben amit ie komplette Aussage bewiesen. Behauptung: a,b R >0 : a+b a b. Erklärung: Hier können wir nicht mehr alle möglichen Beispiele urchrechnen, a ies unenlich viele sin. Beweis: siehe (5.9 Beispiel) Behauptung: x {,3,6,7} : x ist gerae.

28 8 Vorkurs Mathematik Beweis: Wählen wir hier x = 6, so ist x gerae. Also gibt es ein x in {,3,6,7}, as gerae ist. Behauptung: Für n N ist n n + 4 im Allgemeinen keine Primzahl. Erklärung: Beginnt man hier, sich Beispiele zu überlegen, besteht ie Gefahr zu glauben, ass er Term bei Einsetzen von natürlichen Zahlen nur Primzahlen liefert. Dies kommt avon, ass für n 40 tatsächlich nur Primzahlen herauskommen. Beweis: Wählen wir n = 4, so ergibt sich ie Zahl n n + 4 = = 4, welche offensichtlich keine Primzahl ist, a sie Quaratzahl ist Verneinung von Quantoren Wollen wir zeigen, ass eine Eigenschaft nicht für alle x M gilt, so ist ein x M ausreichen, as iese Eigenschaft nicht mehr erfüllt. Damit gilt: ( x M : A(x)) ist logisch äquivalent zu x M : A(x) Ebenso muss eine Eigenschaft für alle Elemente nicht erfüllt sein, amit wir sagen können, ass kein Element existiert, as iese Eigenschaft besitzt. Damit gilt: ( x M : A(x)) ist logisch äquivalent zu x M : A(x) Beispiel: Betrachten wir ie oben gemachte Aussage x R \ {0} : y R : xy = iesmal für Z, also x Z \ {0} : y Z : xy =, so gilt iese nicht mehr: ( x Z \ {0} : y Z : xy = ) x Z \ {0} : ( y Z : xy = ) x Z \ {0} : y Z : (xy = ) x Z \ {0} : y Z : xy Wählen wir zum Beispiel x =, so ist für alle ganzen Zahlen y schon xy, a x gerae un ungerae ist. 5.6 Zyklisches Beweisverfahren Wollen wir beweisen, ass mehrere Aussagen äquivalent sin, so können wir ies mithilfe mehrerer Folgerungen zeigen. Angenommen wir wollen ie Äquivalenz er Aussagen A, B, C, D zeigen. Ohne en Zirkelschluss müssten wir zeigen: (A B) (A C) (A D) (B C) (B D) (C D) Wir müssen abei aran enken, ass meist in zwei Richtungen gezeigt wir. Es sin hier also zwölf Richtungen zu zeigen. Mit en Zirkelschluss müssen wir nur noch folgene vier Aussagen zeigen: (A B) (B C) (C D) (D A) Dies reicht aus, a wir so implizit schon alle zwölf Richtungen gezeigt haben. Zum Beispiel folgt ie Aussage C B urch C D A B. 5.7 Inirekte Beweise Allgemein sin wir aran interessiert, ie Aussage A B zu zeigen. Dabei spielt A ie Rolle er Voraussetzung un B ie araus ableitbare Aussage. Manchmal können wir ie Aussage A B nicht irekt zeigen oer er irekte Weg ist komplizierter als eine azu logisch äquivalente Aussage zu zeigen. Dann können wir eine er folgenen Beweisverfahren verwenen:

29 5 Beweise Kontraposition Behauptung: (A B) ist logisch äquivalent zu ( B A). Beweis: Wir stellen azu ie Wahrheitstafel auf: A B A B B A B A Wir können also eine Aussage B auch aus en Voraussetzungen A folgern, inem wir von er negierten Schlussfolgerung B ausgehen un zeigen, ass ann ie Voraussetzungen auch nicht erfüllt sein können ( A). Beispiel: Behauptung: Sei n N. Ist n gerae, so ist auch n gerae. Erklärung: Wir zeigen ie Aussage urch einen inirekten Beweis. Wir wollen also ie Aussage Ist n nicht gerae, so ist auch n nicht gerae beweisen. Beweis: Sei n N. Ist n nicht gerae, also ungerae, so gibt es ein k N 0 mit n = k +. Dann gilt aber n = (k + ) = 4k + 4k + = (k + k) + un amit ist n auch ungerae, also nicht gerae, un amit ie Aussage bewiesen Wierspruch Wollen wir ie Aussage A beweisen, so können wir folgenermaßen vorgehen: Wir gehen avon aus, ie Aussage A gelte nicht. Nun versuchen wir urch logische Schlüsse aus A eine zweite Aussage B zu folgern, von er wir wissen, ass sie falsch ist. Haben wir iesen Wierspruch erkannt, so kennzeichnen wir ihn mit einem Blitz E. Es muss also A falsch gewesen sein un amit A eine wahre Aussage. Die Korrektheit ieses Beweisverfahrens beruht auf folgener Wahrheitstafel: A B A A B B ( A B) ( B) ( A B) ( B)) A Da ie Aussage ( A B) ( B)) A immer wahr ist (Tautologie genannt) un wir in unserem Beweis en ersten Teil er Aussage, also ( A B) ( B)), zeigen, muss nun also A gelten. Beispiel: Die Irrationalität von Eukli lieferte schon ca. 300 v. Chr. in seinem Buch Elemente einen zahlentheoretischen Beweis er Irrationalität von. Auf er 999 von en Mathematikern Paul un Jack Aba präsentierten Liste er (nach ihrer Meinung) 00 wichtigsten mathematischen Sätze taucht unter anerem auch iese Aussage auf: Behauptung: ist irrational.

30 30 Vorkurs Mathematik Beweis: Angenommen wäre rational. Dann gibt es zwei ganze Zahlen a un b, so ass für en vollstänig gekürzten Bruch a b gilt a b =. Also gilt auch a = ( a b b) = =, oer umgeformt a = b. Somit muss a eine gerae Zahl sein. Das geht nur, wenn a selbst schon gerae ist (siehe 5.7. Beispiel). Also gibt es ein k Z mit a = k. Es gilt amit auch (k) = a = b oer umgeformt 4k = b. Kürzen wir nun mit, erhalten wir k = b. Damit ist aber auch b un amit b gerae. Also lässt sich er Bruch a b minestens mit kürzen.e Also war ie Annahme falsch un somit muss irrational sein. 5.8 Fallunterscheiung Manchmal kann man eine Aussage mit einer Schlussweise nicht vollstänig beweisen. Dann bietet sich eventuell eine Fallunterscheiung an. Jeer Fall wir einzeln bewiesen un ie Zusammenfassung aller Fälle muss ann ie Gesamtaussage abecken. Beispiel: Behauptung: Es gibt zwei irrationale Zahlen x un y, so ass x y eine rationale Zahl ist. Beweis: Fall : Angenommen ist rational. Wähle x = un y =, also x un y irrational. Dann ist x y nach Annahme rational. Fall : Angenommen ist irrational. Wähle x = un y =, also x (nach Annahme) un y irrational. ( ) Dann ist x y = = ( ) ( ) = = un amit rational. Wir sehen, ass wir iesen Satz sogar beweisen können, ohne zu wissen, ob rational ist. Tatsächlich kann man zeigen, ass irrational ist. 5.9 Ohne Beschränkung er Allgemeinheit Die Abkürzung o.b..a. beeutet ohne Beschränkung er Allgemeinheit. Wir wollen amit aussagen, ass nur ein Teil er Aussage wirklich bewiesen wir, ie Gesamtaussage araus aber einfach gefolgert weren kann. Beispiel: Behauptung: Seien a un b positive reelle Zahlen. Dann gilt a + b a b Beweis: Seien a,b R >0. Es ist o.b..a a b (ansonsten vertausche ie Bezeichnungen von a un b).

31 5 Beweise 3 Es gibt also ein x 0 mit a = b + x. Dann ist auch x 4 0 un amit a + b (b + x) + b = = b + x = b + x ( = b + x ) = b + b x ( x + = b + bx + x 4 x 4 0 b + bx = (b + x) b = a b )

32 3 Vorkurs Mathematik 5.0 Vollstänige Inuktion 5.0. Beweisprinzip er vollstänigen Inuktion Sei n 0 N 0 fest. Für jees n n 0 sei A(n) eine Aussage. Es gelte: A(n 0 ) ist wahr. Für jees n n 0 ist A(n) A(n + ) wahr. Dann ist ie Aussage A(n) für alle natürlichen Zahlen n n 0 wahr Erklärung Wollen wir von einer Aussage zeigen, ass sie für alle natürlichen Zahlen (oer ab einem bestimmten Wert an) gilt, so teilen wir en Beweis in 3 Teile auf: Den Inuktionsanfang (IA) beim kleinsten Element n 0 rechnen wir für iese feste Zahl einfach nach. In er Inuktionsvoraussetzung (IV) legen wir ie Grunlage für en Inuktionsschritt, inem wir von er Richtigkeit er Aussage für ein beliebiges aber festes n n 0 ausgehen. Im Inuktionsschritt (IS) versuchen wir nun ie Aussage, basieren auf er Inuktionsvoraussetzung, auch für n+ zu zeigen. Ist ie zu beweisene Aussage zum Beispiel eine Gleichung (oer Ungleichung), so formen wir en linken Teil er Gleichung für n + so um, ass ein Teil genau en linken Teil er Gleichung für n arstellt. Nun setzen wir für iesen mithilfe er Inuktionsvoraussetzung en rechten Teil er Gleichung für n ein. Wenn wir jetzt en gesamten Term wieer in en rechten Teil er Gleichung für n + umformen, so sin wir fertig. Nun ergibt sich ie Aussage folgenermaßen für alle Zahlen n n 0 : Im Inuktionsanfang zeigen wir, ass ie Aussage für n 0 gilt. In er Inuktionsvoraussetzung setzen wir nun in Geanken n := n 0. Im Inuktionsschritt haben wir gezeigt, ass ie Aussage also auch für n + = n 0 + gilt. Nun setzen wir in er IV n := n 0 + un zeigen im IS, ass ie Aussage für n + = (n 0 + ) + = n 0 + gilt. Dann n := n 0 +, also gilt ie Aussage auch für n + = (n 0 + ) + = n un so weiter Beispiele. Behauptung: Der kleine Gauß n n N : k = k= n(n + ) Beweis: IA (n = ): k= k = = = ( + ) IV: Die Behauptung gelte für ein beliebiges aber festes n N.

33 5 Beweise 33 IS (n n + ): n+ k = k= n k + (n + ) k= IV = n(n + ) + n + = n + n + n + = n + 3n + (n + )(n + ) = (n + )((n + ) + ) =. Behauptung: Bernoulli-Ungleichung Für < x R gilt: n N : ( + x) n + nx Beweis: Sei < x R beliebig. IA (n = ): ( + x) = + x = + x also insbesonere: ( + x) + x IV: Die Behauptung gelte für ein beliebiges aber festes n N. IS (n n + ): ( + x) n+ = ( + x) n ( + x) IV ( + nx) ( + x) = + nx + x + nx }{{} 0 + nx + x = + (n + )x 5. Übungen Zeige folgene Behauptungen. Behauptung: n n N 0 : k = k=0 n(n + )(n + ) 6. Behauptung: n n N : (k ) = n k=

34 34 Vorkurs Mathematik 3. Behauptung: Geometrische Reihe Für q R gilt: n N 0 : n k=0 q k = qn+ q

35 6 Abbilungen 35 6 Abbilungen 6. Definition Seien M, N nichtleere Mengen. Eine Abbilung f : M N : x f(x) (gesprochen f von M nach N mit x bilet ab auf f(x) ) ist eine Zuornung, ie jeem Element es Definitionsbereichs M eineutig ein Element es Wertebereichs N zuornet. Das Bil von x M bezeichnen wir mit f(x) N, x selbst wir Urbil von f(x) genannt. Der Bilbereich f(m) := {f(x) : x M} N sin alle Punkte, ie urch ie Abbilung f von er Menge M aus erreichbar sin. Beispiel: Sei M := {a,b,c,} un N := {,,3,4,5} un f : M N mit a, b 4, c 4,. Dann ( können wir ie ) Abbilung auch verkürzt in er a b c Form schreiben. 4 4 Keine Abbilungen sin hingegen zum Beispiel a b c ( ) a b b c Hier hat b kein eineutiges Bil. a b c ( ) a c 4 Hier wir b gar kein Bil zugeornet. a b c ( ) a b c e Hier wir em Element e, as nicht im Definitionsbereich liegt, ein Bil zugeornet. a b c e ( ) a b c Hier wir em Element ein Bil zugeornet, as nicht im Wertebereich liegt. 6. Injektive Abbilungen Eine Abbilung f : M N heißt injektiv, wenn gilt: a b c x,y M : x y f(x) f(y)

36 36 Vorkurs Mathematik Alternativ lässt sich auch nachweisen (siehe 5.7. Kontraposition): x,y M : f(x) = f(y) x = y In Worten: Für jees Element im Wertebereich gibt es höchstens ein Urbil. a b c a b c injektive Abbilung nicht injektive Abbilung 6.3 Surjektive Abbilungen Eine Abbilung f heißt surjektiv, wenn gilt: f(m) = N Dies ist äquivalent zu y N : x M : f(x) = y In Worten: Für jees Element im Wertebereich gibt es minestens ein Urbil. a b c e 3 4 a b c e 3 4 surjektive Abbilung nicht surjektive Abbilung 6.4 Bijektive Abbilungen Eine Abbilung heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist. In Worten: Für jees Element im Wertebereich gibt es genau ein Urbil. a b c 3 4 a b c 3 4 bijektive Abbilung nicht bijektive Abbilung 6.5 Übungen Seien M := {,,3,4} un N := {a,b,c}. Fine jeweils heraus, ob eine Abbilung vorliegt un wenn ja, welche Art von Abbilung vorliegt: ( ) 3 4. f : M N mit a c b c

37 6 Abbilungen 37. g : M N mit g = 3. i : R R : x x 4. i : N Z : x x 5. : Q Q : x x 6. succ : N N : x x + 7. succ : N 0 N : x x + ( ) 3 4 b a c 6.6 Hintereinanerausführung von Abbilungen Seien f : M N un g : N P zwei Abbilungen. Dann heißt ie Abbilung g f : M P : x g(f(x)) (gesprochen g nach f ), ie Hintereinanerausführung er Abbilungen f un g Assoziativgesetz Behauptung: Seien f : M N, g : N P un h : P Q Abbilungen. Dann gilt: h (g f) = (h g) f Beweis: Sei x M beliebig. Dann gilt (h (g f))(x) = h((g f)(x)) = h(g(f(x))) = (h g)(f(x)) = ((h g) f)(x) 6.6. Kommutativgesetz Behauptung: Die Hintereinanerausführung von Abbilungen ist nicht kommutativ. (Das heißt es gibt Abbilungen f un g, soass g f f g) Beweis: Betrachte azu f : R R : x x + un g : R R : x x. Dann gilt für beliebiges x R mit x 0: 6.7 Umkehrabbilung (g f)(x) = g(f(x)) = g(x + ) = (x + ) = x + x + x + = f(x ) = f(g(x)) = (f g)(x) Sei f : M N eine Abbilung. Die folgenen Aussagen sin äquivalent:. f ist bijektiv.. Es gibt eine Abbilung g : N M mit g f = i M un f g = i N. g ist eineutig bestimmt un heißt Umkehrabbilung oer inverse Abbilung f zu f.

38 38 Vorkurs Mathematik 6.8 Karinalität von Mengen Eine Menge M heißt enlich, wenn sie leer ist, oer es ein n N un eine bijektive Abbilung von {,...,n} auf M gibt. Wir sagen ann M hat n Elemente un schreiben afür M = n oer auch #M = n. Eine nicht-enliche Menge M heißt unenlich. Wir schreiben M =. Sie heißt abzählbar unenlich oer kurz abzählbar, falls es eine bijektive Abbilung von N auf M gibt. Anernfalls heißt sie überabzählbar. Beispiel: {,3,5,7} = 4, = 0, Z =. 6.9 Hilbert s Hotel Wir nehmen an, es gäbe ein Hotel mit unenlich vielen Zimmern. Nun kommt ein Bus mit unenlich vielen Sitzplätzen un as bisher leere Hotel wir somit ausgebucht. Besucher von Sitzplatz bekommt Hotelzimmer, usw. Jetzt will er Besitzer Davi Hilbert selbst in seinem Hotel übernachten. Ist ies möglich, obwohl as Hotel schon ausgebucht ist. Wenn ja, wie? Ja es ist möglich, inem Hotelgast von Zimmer in Zimmer, Hotelgast von Zimmer in Zimmer 3, usw. geht. Dabei wir Zimmer frei un Hilbert kann ort übernachten. In einem aneren Fall kommt ein Bus mit Hilberts abzählbar unenlich großer Verwanschaft an. Schafft Hilbert es auch hier wieer, seine Familie unterzubringen? Auch ies ist möglich. Er versetzt Gast in Zimmer, Gast in Zimmer 3, Gast 3 in Zimmer 5 usw. Damit sin alle geraen Zimmer frei un iese vergibt er an seine Familie: Familienmitglie in Zimmer, Mitglie in Zimmer 4, Mitglie 3 in Zimmer 6 usw. 6.0 Mathematisches Analogon Analog zum ersten Fall in Hilberts Hotel betrachten wir Folgenes: Behauptung: N 0 un N haben ie gleiche Karinalität (Hilbert ist Gast 0). Beweis: Betrachte azu ie in (6.5.7) efinierte Abbilung succ : N 0 N. Wir haben ort herausgefunen, ass iese Abbilung bijektiv ist, also ie Mengen N 0 un N gleiche Karinalität besitzen. Der zweite Fall veranschaulicht Folgenes: Behauptung: Z un N haben ie gleiche Karinalität. Erklärung: Betrachte azu, ass ie positiven Zahlen ie schon vorhanenen Hotelgäste sin un ie negativen Zahlen ie neu eintreffene Verwanschaft ist. Damit stellen ie Personen ie ganzen Zahlen ar. Das Problem besteht nun arin alle Gäste auf nur positiv urchnummerierte Zimmer (also ie natürlichen Zahlen) zu verteilen. Beweis: Wir zeigen, ass ie Abbilung ϕ : Z N : x { x + falls x 0 x falls x < 0 bijektiv ist. Dazu versuchen wir en Satz 6.7 über Umkehrabbilungen zu verwenen. Betrachte also ie Abbilung: { x ψ : N Z : x falls x gerae x falls x ungerae

39 6 Abbilungen 39 Dann ist für x Z mit Fall : x 0 (ψ ϕ)(x) = ψ(ϕ(x)) = ψ(x + ) x+ ungerae = (x + ) = x Fall : x < 0 Also ist ψ ϕ = i Z. Für x N gilt (ψ ϕ)(x) = ψ(ϕ(x)) = ψ( x) Fall : x gerae (also x Z <0) x gerae = x = x ( (ϕ ψ)(x) = ϕ(ψ(x)) = ϕ x ) ( = x ) = x Fall : x ungerae (also x Z 0 ) ( ) ( ) x x (ϕ ψ)(x) = ϕ(ψ(x)) = ϕ = + = (x ) + = x Also ist ϕ ψ = i N. Nach (6.7) ist ϕ also bijektiv.

40 40 Vorkurs Mathematik 7 Folgen 7. Definition Sei k Z un A k = {n Z : n k}. Eine Abbilung u : A k R heißt bei k beginnene Folge reeller Zahlen, in Zeichen: (u n ) n k. u n selbst heißt Glie er Folge oer Folgenglie, n er Inex es Folgengliees. Schreiben wir (u n ) n N, so meinen wir (u n ) n. 7. Beispiele Bestimme jeweils ie ersten 5 Folgenglieer un zeichne sie je in ein Koorinatensystem:. (u n ) n 0 mit u n := n. n u n 0. (u n ) n mit u n := n. n u n (u n ) n 0 mit u n := n. n u n u n u n u n u n n n n 4. (u n ) n mit u n := n n. n u n n 5. (u n ) n 3 mit u n := ( ) n. n 3 0 u n 3 u n n

41 7 Folgen Beobachtungen. Die Folge geht gegen ±. (siehe Beispiel.). Die Folge häuft sich an genau einem Punkt. (siehe., 3. un 4.) 3. Die Folge häuft sich an mehreren Punkten. (siehe 5.) 4. Die Folge liegt komplett zwischen zwei Zahlen c un. (siehe., 3., 4., 5.) Ziel: Wir wollen Begiffe finen, um iese Eigenschaften von Folgen zu beschreiben. Im Folgenen bezeichnen wir mit u ie Folge (u n ) n k. 7.4 Beschränkte Folgen Die Folge u heißt beschränkt, wenn es eine reelle Zahl s 0 gibt, so ass für alle n k gilt: s u n s. Formal geschrieben: 7.5 Konvergente Folgen, Grenzwert s 0 : n k : u n s Die Folge u konvergiert gegen ie Zahl c, wenn für jee beliebig kleine positive Zahl ε alle Folgenglieer ab einem bestimmten Inex sich um maximal ε von c unterscheien. Formal geschrieben: Ist ies erfüllt, schreiben wir ε > 0 : n(ε) A k : n n(ε) : u n c < ε c = lim n u n un sagen c ist Grenzwert er Folge. Ist eine Folge nicht konvergent, so nennen wir sie ivergent. Beispiele:. Betrachte ie Folge ( ) n. Nehmen wir c = 0 un wählen zum Beispiel ε =, so n ist obige Aussage für jees n(ε) erfüllt. Wählen wir hingegegen ε = 00, müsste n(ε) 0 sein um ie Aussage zu erfüllen. u n ε = 4 Skizze: 0 c + 4 n c 4 Bei ε = 4 sin ab em fünften Glie alle Glieer innerhalb es ε-schlauchs. Damit kommen wir zu folgener Behauptung: Die Folge ( ) n konvergiert gegen 0. Formal: lim n n n = 0.

42 4 Vorkurs Mathematik Beweis: Sei ε > 0 beliebig un c := 0. Wähle n(ε) A k so, ass n(ε) > ε. Dann gilt für ein beliebiges n n(ε) schon u n c = n 0 = n n(ε) < = ε ε. Betrachte ie Folge (n) n. Egal um welchen Wert c wir hier einen ε-schlauch legen wollen, wir es immer Folgeglieer geben, ie außerhalb ieses Schlauches liegen. Damit erhalten wir ie Behauptung: Die Folge (n) n ivergiert. Beweis: Wir müssen (wegen A = N) zeigen, ass ie Aussage ε > 0 : n(ε) N : n n(ε) : c u n < ε mit einem c für iese Folge nicht gilt, also ass ie Aussage ε > 0 : n(ε) N : n n(ε) : c u n ε für jees beliebige c gilt. Da ein negativer Grenzwert bei einer positiven Folge nicht möglich ist, betrachten wir ein beliebiges c 0. Wählen wir ann zum Beispiel ε =, so ist für ein beliebiges n(ε) N un n := n(ε) + c (also n n(ε)) schon 7.6 Cauchys Konvergenzkriterium Die Folge u konvergiert genau ann, wenn u n c = n c = n(ε) + c c = n(ε) n(ε) N ε > 0 : n(ε) A k : m,n n(ε) : u m u n < ε > = ε Grob gesprochen: Der Abstan zwischen zwei Folgenglieern u m un u n wir beliebig klein, wenn wir m un n genügen groß wählen. u n u n 0 n(ε) = Im Beispiel ( ) n ist für ε = n N 0 eine Wahl von n(ε) = 4 noch nicht ausreichen. n n(ε) = n n(ε) = 0 reicht aus, a ab em 0. Folgeglie alle Folgeglieer zwischen 0 un 0 sin, also er Abstan zwischen beliebigen von iesen höchstens noch 0 sein kann. Vorteil: Die Konvergenz einer Folge kann ohne Wissen über en Grenzwert gezeigt weren.