Merkwürdig ist es immer, dass alle, die diese Wissenschaft ernstlich studieren, eine Art Leidenschaft dafür fassen Carl Friedrich Gauß

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1 Merkwürdig ist es immer, dass alle, die diese Wissenschaft ernstlich studieren, eine Art Leidenschaft dafür fassen Carl Friedrich Gauß Dipl.-Math. Reinhard Bley Seite

2 Dipl.-Math. Reinhard Bley Seite. Rechnen mit Brüchen (ohne maschinelle Hilfsmittel!).. Addieren und Subtrahieren von Brüchen Multiplizieren und Dividieren von Brüchen Doppelbrüche d)... Gemischte Bruchrechnungsaufgaben., 0, 0, 0,... Umwandlung in Dezimalbrüche ( Dezimalstellen) 0 0.

3 .. Umwandlung in Brüche. 0, 0, 0, 0,00,0,0, 0, 0, 0,.. Anwendungsaufgaben. Liter Wein zu,0 je Liter sollen in ¾ -Literflaschen abgefüllt werden. Berechnen Sie die Anzahl der Flaschen und den Preis je Flasche.. Tee soll in Päckchen. zu je / kg verkauft werden. Wie viel Päckchen erhält man aus ¼ kg, / kg, / kg? 0. Liter Tarragona wird in / 0 -Literflaschen abgefüllt. 0 Liter kosten im Einkauf,0 ; die Bezugskosten betragen / des Einkaufspreises. Berechnen Sie die Anzahl der Flaschen und den Preis für Flasche.. Ein Gastwirt kauft Fässer mit / Liter und / Liter Exportbier. Der Schankverlust beträgt /. Wie viele Gläser zu / 0 Liter, / Liter kann er zapfen? Wie groß ist der Rest in jedem der beiden Fässer?. Ein Fass Weinessig mit 0 ¾ Liter kostet,. Die Bezugskosten betragen / des Preises. Berechnen Sie den Verkaufspreis für die / -Literflasche, wenn für allgemeine Geschäftskosten / des Bezugspreises und anschließend / für Gewinn aufgeschlagen werden Liter er Rheinwein kosten It. Rechnung.00. Die Frachtkosten betragen. Der Wein wird in / 0 Literflaschen abgefüllt. Für Füllkosten werden 0, je Flasche gerechnet. Ermitteln Sie den Bezugspreis für Flasche.. Rechnen mit Potenzen und Logarithmen... a 0 ( 0) x y x y. ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ) 0, 0, 0. ( ) ( ) ( ). ( ). 0. ( ) 0 ( ) 0,., 0, Dipl.-Math. Reinhard Bley Seite

4 Lösen Sie die folgenden logarithmischen Gleichungen. (log steht sowohl für den 0-er Logarithmus als auch für den natürlichen Logarithmus. Wenden Sie die Logarithmengesetze an) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) log x log 0, log x log log x log x log d) log x log e) log log x f) log log log x. Ein Kapital von EUR werde jeweils zum Jahresende mit % verzinst, wobei Zinseszins gezahlt wird. Nach wie viel Jahren erreicht der Kontostand erstmals den Betrag von.000 EUR?. Die Bevölkerung einer Stadt ist in den letzten 0 Jahren von.000 auf.000 Einwohner angewachsen. Wie hoch war der dchschnittliche prozentuale Zuwachs pro Jahr? Wie hoch wird die Einwohnerzahl in zehn Jahren sein, wenn man gleich bleibendes Wachstum unterstellt?. Anwendungsaufgaben z Prozentrechnung. Ein Kaufmann erhält eine Rechnung über.0,00 EUR. Wegen eines Transportschadens an der Ware gewährt der Lieferer dem Kunden % Sondernachlass. Beim Rechnungsausgleich zieht der Kunde % Skonto vom Restbetrag ab. Über wie viel EUR lautet die Zahlung?. Ein Großhändler gewährt % Rabatt und vom verbleibenden Betrag % Skonto. Wie viel EUR hat ein Kunde nach Ausnutzung von Rabatt und Skonto zu zahlen, wenn er eine Ware kauft, die mit 00,00 EUR ausgezeichnet ist? Welcher Prozentsatz ergibt sich, wenn Rabatt und Skonto zusammengefasst werden?. Ein Lieferer gewährt 0% Rabatt auf den Listenpreis und % Skonto vom Restbetrag. Welcher Prozentsatz ergibt sich, wenn Rabatt und Skonto zu einem Prozentsatz zusammengefasst werden?. Ein Lieferwagen wde Jahre hintereinander mit % vom Buchwert abgeschrieben und steht jetzt noch mit.0,00 EUR zu Buche. Wie viel EUR betrug der Anschaffungspreis?. Der Verkaufspreis einer Ware beträgt nach einer Preiserhöhung von % nun, EUR. Wie viel EUR beträgt die Preiserhöhung und wie viel EUR betrug der sprüngliche Verkaufspreis?. Der Umsatz eines Großhandelsbetriebes betrug im. Halbjahr.00,00 EUR und stieg im. Halbjahr auf.00,00 EUR. Wie viel Prozent betrug die Steigerung?. Bei einem Räumungsverkauf setzt ein Großhändler Fernsehgeräte für,0 EUR je Stück ab. Er erzielt dabei einen Verlust von %. Wie viel EUR beträgt der Verlust je Gerät?. Der Buchwert einer Maschine beträgt., EUR. Wie viel EUR betrug der Anschaffungswert dieser Maschine vor Jahren, wenn in jedem der Jahre eine Abschreibung von % vom jeweiligen Buchwert vorgenommen wde? Dipl.-Math. Reinhard Bley Seite

5 . Lösen von Gleichungen Geben Sie die Lösungsmenge der Gleichungen an, dabei gilt für die Parameter a, t, k R x x 0 x x 0 x x 0 ( ) ( ) x 0,x x d) x e 0 e) x e 0 f) x e 0 ( ) ( ) ( ) ( ) x g) x x a 0 h) x ax a 0 i) x t e 0 ( ) ( ) kx kx x x j) x k e 0 k) kx k e 0 l) e e 0 x x m) e e 0 n) x x 0 o) x x x 0 p) x x 0 q) x x 0 r) x x 0 [ ] ( ) ( ) s) x x 0 t) x x x 0 u) ln x v) ln x 0 w) ln x 0. Lösen von Gleichungssystemen mit Gleichungen Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme bevorzugt dch das Additionsverfahren. (I) y x (II) y - x. (I) x y - (II) x y. (I) x y - (II) x y. (I) x y - (II) x y. (I) x - y (II) x y. (I) x y (II) x - y. (I) x - y (II) x y,. (I) x - y (II) -0,x 0,y -,. Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems über der Grundmenge Q! y (I) 0 (II) 0,y 0, 0, x x 0. Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems über der Grundmenge Q! y (I) (II) x x 0,,y 0,. In einem Käfig sind Hasen und Fasane. Sie haben zusammen Köpfe und Füße. Wie viele Hasen und Fasane sind im Käfig? (China, ca. 00 v. Chr.). Wenn der Preis von Äpfeln vermindert um den Preis einer Birne Denare beträgt und der Preis von Birnen vermindert um den Preis eines Apfels Denare beträgt, so frage ich, wie teuer ein Apfel und wie teuer eine Birne ist? (Johannes Buteo, n. Chr.). In den "Erzählungen aus Tausendundeiner Nacht" befindet sich folgendes Rätsel Eine fliegende Taubenschar kam zu einem hohen Baume; ein Teil von ihnen setzte sich auf den Baum, ein anderer darunter. Da sprachen die auf dem Baume zu denen die darunter lagerten "Wenn eine von euch herauf fliegt, so seid ihr ein Drittel von uns allen; und wenn eine von uns hinab fliegt, so werden wir euch an Zahl gleich sein." Wie viel Tauben waren auf dem Baum, wie viel darunter? Dipl.-Math. Reinhard Bley Seite

6 . Quadratische Gleichungen. Lösen Sie die folgenden quadratischen Gleichungen. Vermeiden Sie dabei Taschenrechnerprogramme und nutzen Sie die Lösungsformel ( Mitternachtsformel ). x² - x x² - x 0 x² - x 0 d) x² - 0x 0 e) x² - x 0 f) x² x 0. Zerlegen Sie die folgenden Polynome in Linearfaktoren ( Sätze von VIETA) x² - x x² x x² x - 0. Lösen Sie die folgenden Gleichungen (x - )(x - ) (x - )(x - ) 0 (x - )² (x )² (x )² (x )(x - ) - (x )(x - ) 0. Auf einem rechteckigen Feld, das 00 m lang und 0 m breit ist, soll ein Sportplatz errichtet werden, der 0% des ganzen Feldes einnehmen und rundum einen überall gleichbreiten Zuschauerraum enthalten soll. Berechnen Sie die Breite des Zuschauerraumes!. Funktionen. Gegeben ist die Funktion f y x. Begründen Sie ohne Zeichnung, in welchen Quadranten der Graph der Funktion verläuft! Bestimmen Sie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und zeichnen Sie den Graphen! Zeigen Sie dch Rechnung, dass der Punkt P( ) auf dem Graphen, der Punkt Q(0 ) jedoch nicht auf dem Graphen liegt. d) Wie lautet die Funktionsvorschrift derjenigen linearen Funktion, auf deren Graphen sowohl P als auch Q liegen?. Die Punkte A ( ) und B ( ) sind Elemente der Geraden g. Die Gerade h geht dch den Punkt C( ) und hat die Steigung ¾. Stellen Sie die Gleichungen von g und h auf und berechne die Koordinaten von S!. Berechnen Sie die Nullstelle der Funktion h y / x - Der Graph G g einer Funktion g verläuft dch den Punkt P( ) und ist parallel zum Graphen G h der Funktion h. Geben Sie den Funktionsterm der Funktion g an.. Herr Meier bezieht für sein Haus Gas. Er hat die Wahl zwischen dem Kleinverbrauchstarif H und dem Grundpreistarif H. Beim Tarif H muss er monatlich EUR bezahlen sowie Cent für jede Kilowattstunde. Beim Tarif H sind die monatlichen Kosten 0 EUR, pro Kilowattstunde müssen aber n Cent entrichtet werden. Geben Sie die Funktionsterme h(x) und h(x) für beide Tarife an, die dem Jahresverbrauch x in Kilowattstunden den Jahresgesamtpreis y in EUR zuordnen. Von welchem monatlichen Mindestverbrauch x an würden Sie Herrn Meier raten, den Tarif H zu wählen? Begründen Sie dch Rechnung.. 0 Minuten nach Beginn eines Regenschauers befinden sich 0 Liter Wasser in einer Regentonne. Jeweils in Minuten nimmt die Wassermenge um Liter zu. Geben Sie die Zuordnungsvorschrift an. Berechnen Sie die Wassermenge, die zu Beginn des Schauers bereits in der Tonne war. Die Tonne fasst 0 Liter. Wie lange müsste der Regenschauer dauern, damit die Tonne überläuft? Dipl.-Math. Reinhard Bley Seite

7 . Eine kleine Firma stellt Mountainbikes her. Dabei entstehen pro Monat Fixkosten in Höhe von.000 EUR. Die variablen Kosten V(x) errechnen sich nach der folgenden Formel V(x),x 0x. Bestimmen Sie die monatlichen Herstellungskosten H(x) (Fixkosten variable Kosten) in Abhängigkeit von x. Bei welcher Produktionszahl sind die variablen Kosten fünfmal so hoch wie die Fixkosten? Alle monatlich produzierten Mountainbikes werden zu einem Preis von 0 EUR pro Stück an einen Händler verkauft. Geben Sie den monatlichen Gewinn G in Abhängigkeit von x an (Umsatz minus Kosten. Bei welchen Produktionszahlen macht die Firma Gewinn? Wie hoch ist der maximale Gewinn pro Monat (Bestimmung des Scheitelpunktes und Begründung des Maximums)?. In einer Stadt verbreitet sich ein Gerücht. Die Zahl der Personen, die davon gehört haben, nimmt im Laufe einer Woche um 0% zu. Anfangs kennen.000 Einwohner das Gerücht. Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung, die die Ausbreitung des Gerüchts beschreibt (t in Tagen) Wie viele Menschen kennen das Gerücht nach 0 Tagen? Wie lange dauert es, bis alle Einwohner der Stadt das Gerücht kennen?. Differentialrechnung. Leiten Sie alle angegebenen Funktionen je einmal ab (a, k, t R) f(x) x x f(x) ax a x f(x) t x t x t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d) f(x) x e) f(x) x a f) f(x) ax g) f(x) x x k h) f(x) ax x a. Leiten Sie alle angegebenen Funktionen je einmal ab (k R) f(x) x e f(x) x e f(x) x e ( ) x x x kx x x ( ) ( ) ( ) x x x ( ) ( ) d) f(x) x k e e) f(x) x e f) f(x) x e g) f(x) e e h) f(x) k e. Zeigen Sie, dass der Graph von f mit f(x) x e x ; x R bei x 0 einen Tiefpunkt besitzt.. Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion f mit f(x) x e -x zwei Punkte mit waagerechter Tangente hat. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden dch diese beiden Punkte.. Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion f mit f(x) xe -x genau einen Wendepunkt hat.. Ein quaderförmiger Swimmingpool mit m Länge, m Breite und m Höhe wird mit Wasser gefüllt. Zu Beginn beträgt die Wasserhöhe 0, m. Der Zu- bzw. Abfluss des Wassers wird modellhaft beschrieben dch die Zulaufratenfunktion f mit f(t) t t 0t 0 t (f(t) in m³ pro Stunde, t in Stunden) Geben Sie die Zeitpunkte an, zu denen Wasser weder zu- noch abläuft und berechnen Sie die Zeitpunkte maximalen Zu- bzw. Abflusses. Wie viel Wasser befindet sich nach Stunden im Pool? Bestimmen Sie die Höhe des Wasserstands am Ende des gesamten Einfüllvorgangs. Berechnen Sie die maximale Wassermenge im Pool. Dipl.-Math. Reinhard Bley Seite

8 . Vektorrechnung. Prüfen Sie, ob folgende Vektoren orthogonal aufeinander stehen. a 0 b r r n z u w 0. Prüfen Sie, ob die drei angegebenen Vektoren linear abhängig oder unabhängig sind a b c 0 a 0 b c a b c. Prüfen Sie, ob das Dreieck ABC gleichschenklig ist A( ), B(- ) C( 0) A(- -) B(0 -) C(- -). Prüfen Sie, ob das Dreieck ABC rechtwinklig ist A( 0) B( ) C(- ). Ein Tm hat die Form einer senkrechten quadratischen Säule, der eine senkrechte Pyramide aufgesetzt ist (siehe Skizze). Die Gesamthöhe des Tms beträgt m, die horizontalen Kanten sind m, die vertikalen Kanten sind m lang. Der Punkt D liegt im Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems mit der Längeneinheit m. Geben Sie die Koordinaten aller Punkte an und berechnen Sie den Neigungswinkel des Daches (Winkel zwischen Pyramidengrundfläche und Seitenfläche) sowie die Größe der Dachfläche. Im Punkt P( 0) steht ein m hoher Fahnenmast. Berechnen Sie die Länge des Schattens auf Boden und Tmwand, wenn das einfallende Sonnenlicht die Richtung (-0; ; -) T hat. Ein Kind mit Augenhöhe m läuft vom Punkt B aus in Richtung DB uu vom Tm weg. In welcher Entfernung von der Tmkante BF kann das Kind die Tmspitze S erstmals sehen? Dipl.-Math. Reinhard Bley Seite

9 0. Stochastik. In einer Urne befinden sich grüne, rote und blaue Kugeln. Es werden nacheinander ohne Zücklegen Kugeln gezogen. Stellen Sie ein Baumdiagramm auf. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse A Es werden die beiden grünen Kugeln gezogen. B Es wird zuerst eine rote und dann eine blaue Kugel gezogen. C Es werden eine rote und eine grüne Kugel gezogen. D Es werden gleichfarbige Kugeln gezogen. E Es wird keine blaue Kugel gezogen.. Ein Fertigungsteil dchläuft mehrmals dieselbe Kontrolle, da mit einer Wahrscheinlichkeit von 0% ein Fehler übersehen wird. Bestimmen Sie mit Hilfe eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit, dass ein vorhandener Fehler zweimal übersehen und beim. Mal erkannt wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein vorhandener Fehler spätestens beim. Mal erkannt wird?. Von einer großen Ladung Apfelsinen sind 0% verdorben. Es werden Stück entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse? A Eine Apfelsine ist verdorben. B Alle Apfelsinen sind in Ordnung. C Mindestens Apfelsinen sind verdorben. Dipl.-Math. Reinhard Bley Seite

10 Lösungen Abschnitt d) , 0, 0, 0,, 0,,,,, Flaschen, Flaschen 0,0. Gläser Rest, ml Gläser Rest, ml. 0,.,0 Dipl.-Math. Reinhard Bley Seite 0

11 Abschnitt. a x y x xy y x x,0 x 0, d) x,0 - e) x f) x 0,. nach Jahren.,%.0 Einwohner Abschnitt..00, EUR..,00 EUR, %., %.., EUR., EUR,0 EUR., %.,0 EUR..00,00 EUR Dipl.-Math. Reinhard Bley Seite

12 Abschnitt L {; -} L {; -} L { -} d) L { } e) L {-; } f) L {0} g) L {; a} h) L {0; } i) L {t} j) L {k} k) L {-; } l) L {0; ln } m) L { ln ; ln } n) L {0; } o) L {0; ; } p) L {- ; -; ; } q) L {-; -; ; } r) L {-; 0; } s) L {- ; 0; } t) L {0; ; } u) L { e } v) L {} w) L {} Abschnitt. L { }. L { -}. L {- }. L { -}. L {,}. L { -,}. L { }. L { }. x,, y 0,. 0. x 0,, y 0,. Hasen, Fasane., Denare / 0, Denare. auf / darunter Abschnitt. {-, } { () } { } d) { /, } e) { /, } f) {- /, - / }. (x - )(x - ) (x )(x ) (x - 0)(x ). {-, } {-, } {0, }. 0 m Abschnitt. II. III. IV. Quadrant x,; y d). g(x) x ; h(x) x ; S 0. x g(x) x / x, Dipl.-Math. Reinhard Bley Seite

13 . h(x) 0,0 x 0, h(x) 0,0x 0 ab.000 kwh ist H günstiger.. y / x 0 /, Liter nach 00 Minuten. H(x),x 0x 000,x 0x 000 ergibt als zulässige Lösung x 0,0, d.h. bei Stück G(x) -,x 00x 000 Nullstellen von G(x) ergeben als Lösung x Mountainbikes Scheitelpunkt der Parabel bei 0; Maximum, da nach unten geöffnet G max (0).0,0 EUR 0,0t e. G(t) 000 nach 0 Tagen Abschnitt. f '(x) 0x x² f '(x) ax² - a²x f '(x) t²x³ - t³x d) f '(x) (x)² e) f '(x) x(x²³ f) f '(x) ax²(ax³)² g) f '(x) (x-k)²(x-)(x-k) h) f '(x) a(x-²ax(x- -x x ( ) ( -x ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) x x x x ( ) ( ). f '(x) xe x f '(x) e x x f '(x) e x d) f '(x) e kx k e) f '(x) x e e -kx -x x f) f '(x) x x x e e g) f '(x) e e h) e k e. f (0) 0 und f (0) > 0. f '(x) 0 x 0; x. f ''(x) 0 x f () 0. nach 0, und Stunden Min nach Stunden, Max nach Stunden, m³, m, m³ Abschnitt. nicht orthogonal orthogonal orthogonal. linear unabhängig linear abhängig linear unabhängig. gleichschenklig nicht gleichschenklig. rechtwinklig bei B. A( 0 0) B( 0) C(0 0) D(0 0 0) E( 0 ) F( ) G(0 ) H(0 0 ),, m²,0 m,0 m Abschnitt 0. P(A) P(B) P(C) P(D) P(E). 0,0 0,. P(A) P(B) 0 P(C) Dipl.-Math. Reinhard Bley Seite