Mathematik: Vorwissen und Selbststudium

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1 Mthemtik: Vorwissen und Selbststudium Prof. Thoms Apel Studienjhr 00/ Lerning nything chnges people; lerning mth mkes big chnge it opens minds nd opens doors. [Hirsh Cohen, SIAM president ]

2 Vorwort Sie lle bringen unterschiedliche Vorkenntnisse mit. Der in diesem Skript zusmmengefsste Stoff wurde sicher bei dem einen oder nderen in der Schule behndelt und sollte zur Wiederholung durchgerbeitet werden. Sollte für Sie ein Teil des Stoffes neu sein, sollten Sie sich diesen im Selbststudium errbeiten. Wenn Zeit bleibt, werden einzelne Themen us diesem Skript in der Vorlesung besprochen. Im ersten Trimester werden wir uns mit linerer Algebr beschäftigen. Dzu benötigen Sie im Wesentlichen nur die Grundrechenrten für die reellen Zhlen. Die Differentilrechnung für Funktionen einer Veränderlichen wird erst b dem zweiten Trimester benötigt, so dss Sie genügend Zeit hben, eventuell vorhndene Lücken nhnd dieses Skripts zu schließen. Wichtige Webseiten: Webseite zur Vorlesung Dokumente (Skripte, Arbeitsblätter, Übungsblätter, Husufgben,... ) zur Vernstltungsreihe Mthemtik I III

3 Inhltsverzeichnis A Zhlen 5 A. Ntürliche Zhlen N A. Zhlenbereichserweiterung von N zu R A.3 Intervlle, Schrnken, Gleichungen, Ungleichungen B Reelle Funktionen 7 B. Definition und Drstellung einer Funktion B. Allgemeine Eigenschften einer Funktion B.3 Polynome B.4 Gebrochen rtionle Funktionen B.5 Potenzfunktionen B.6 Eponentilfunktionen B.7 Logrithmusfunktionen B.8 Trigonometrische Funktionen B.9 Arkusfunktionen B.0 Hyperbel- und Arefunktionen B. Einfche Trnsformtionen einer Funktion C Theorie der Grenzwerte 33 C. Zhlenfolgen C. Grenzwert einer Funktion C.3 Stetigkeit einer Funktion D Differentilrechnung für Funktionen einer Veränderlichen 45 D. Differenzierbrkeit einer Funktion D. Eigenschften differenzierbrer Funktionen D.3 Sätze der Differentilrechnung, L Hospitlsche Regel D.4 Ds Differentil E Integrlrechnung für Funktionen einer Veränderlichen 57 E. Unbestimmte Integrle und deren Berechnung E. Bestimmtes Integrl ls Grenzwert E.3 Berechnung bestimmter Integrle E.4 Uneigentliche Integrle E.5 Weitere Anwendungen des bestimmten Integrls Litertur 8 3

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5 A Zhlen A. Ntürliche Zhlen N A.. Definition und Eigenschften Die Penoschen Aiome bilden die Grundlge für den Umgng mit ntürlichen Zhlen:. ist eine ntürliche Zhl.. Jede ntürliche Zhl ht genu einen Nchfolger. 3. ist nicht Nchfolger einer ntürlichen Zhl. 4. Jede Zhl ist Nchfolger höchstens einer Zhl. 5. Von llen Mengen, die die Zhl und mit der Zhl n uch deren Nchfolger n enthlten, ist die Menge der ntürlichen Zhlen die kleinste. Stz A. (Summe und Produkt ntürlicher Zhlen) Summe und Produkt zweier ntürlicher Zhlen ergeben wieder ntürliche Zhlen. Subtrktion und Division sind nicht uneingeschränkt usführbr. Stz A. (Eigenschften von Summe und Produkt) ntürlichen Zhlen, b, c N gelten folgende Gesetze: Kommuttivgesetze Für ds Rechnen mit + b = b + und b = b ; Assozitivgesetze ( + b) + c = + (b + c) und ( b) c = (b c); Distributivgesetz (b + c) = b + c. Stz A.3 (Ordnung ntürlicher Zhlen) Für ntürliche Zhlen und b gilt entweder < b oder = b oder > b. Def A.4 (Weitere Rechenopertionen) Ds Potenzieren ist rekursiv definiert. Es gilt = und n = n. Diese Opertion ist im Bereich der ntürlichen Zhlen uneingeschränkt usführbr. Beim Rdizieren (Wurzelziehen) wird einer Zhl b eine Zhl = n b (die n-te Wurzel von b) zugeordnet, die durch = n b n = b gegeben ist. Ds Rdizieren ist im Bereich der ntürlichen Zhlen nicht uneingeschränkt usführbr. 5

6 Ds Logrithmieren ist die Umkehrung des Potenzierens. Es gilt n = log b n = b. Auch diese Opertion ist im Bereich der ntürlichen Zhlen nicht uneingeschränkt usführbr. Def A.5 (Fkultät, Binomilkoeffizient) Die Fkultät einer ntürlichen Zhl n ist definiert durch n! := 3... n = n j. j= Mn definiert 0! :=. Der Binomilkoeffizient für eine Zhl α und eine ntürliche Zhl k ist definiert durch ( ) k α α(α ) (α k + ) α j := = k k! k j. j=0 Mn definiert ( ) α :=. 0 Folgerung A.6 Für ntürliche Zhlen n gilt ( ) n n! = für k n und k k!(n k)! ( ) n = 0 für k > n. k Bem A.7 Fkultät und Binomilkoeffizient werden in der Kombintorik benötigt, ber uch im Binomischen Stz: ( + b) n = n k=0 ( ) n n k b k. k 6

7 A.. Ds Prinzip der vollständigen Induktion (Z) Mit (Z) gekennzeichnete Abschnitte sind Zustzstoff für interessierte Studenten. Bem A.8 Ein Beweis ist in der Mthemtik der forml korrekte Nchweis, dss us einer Menge von Aussgen und Aiomen eine weitere Aussge folgt. Hierbei eistieren unter nderem drei Methoden, nch denen ein Beweis in der Mthemtik durchgeführt werden knn: der direkte Beweis, der indirekte Beweis (Beweis durch Widerspruch) und die vollständige Induktion. Erklärungen und Beispiele findet mn uch unter Mthemtisches_Beweisen. Beim direkten Beweis wird die Behuptung durch Anwenden von bewiesenen Aussgen und durch logische Folgerungen bewiesen. Beim indirekten Beweis zeigt mn, dss ein Widerspruch entstünde, wenn die zu beweisende Behuptung flsch wäre (deshlb nennt mn diese Methode uch Beweis durch Widerspruch oder reductio d bsurdum). Dzu verwendet mn die gleichen Methoden wie beim direkten Beweis. Wenn nun die Behuptung nicht flsch sein knn, muss sie richtig sein. Wichtige (und keinesflls selbstverständliche!) Vorussetzung für die Gültigkeit eines Widerspruchbeweises ist, dss im zugrundeliegenden System die Aussge nicht gleichzeitig whr und flsch sein knn (Widerspruchsfreiheit). Wir wollen uns im Folgenden mit der dritten Beweistechnik, der vollständigen Induktion beschäftigen. Ds Prinzip der vollständigen Induktion wird durch ds 5. Aiom von Peno gerechtfertigt. Ds Prinzip Angenommen, A(n) ist eine Aussge, die von der ntürlichen Zhl n bhängt, zum Beispiel n = n(n + ). Ds Prinzip der vollständigen Induktion besgt: Wenn A() whr ist, und wenn us A(k) die Aussge A(k + ) folgt, dnn ist A(n) für lle n whr. IA: IS: A ist whr für n =. Wenn A für n = k whr ist, dnn ist A uch für n = k + whr. Bsp A.9 (Anlogien) Betrchten wir einen Eisenbhnzug. Die Lok bewegt sich. Sie ist n den ersten Wgen gekoppelt, lso muss sich dieser uch bewegen. Der erste Wgen zieht den zweiten usw., bis sich der gnze Zug bewegt. Die vollständige Induktion lässt sich uch mit einem Dominoeffekt vergleichen. Mn stellt die Steine so uf, dss, wenn einer umfällt, uch der nächste umfällt (Induktionsschritt, n n + ), und stößt den ersten Stein um (Induktionsnfng, n = 0). 7

8 Bsp A.0 Es soll gezeigt werden, dss für lle ntürlichen Zhlen n die Beziehung gültig ist. Induktionsnfng A() gilt, denn = n = n(n + ) Induktionsschritt Induktionsvorussetzung/-nnhme: A(k) gilt, ds heißt k = k(k + ). Induktionsbehuptung: A(k + ) gilt uch, ds heißt k + (k + ) = (k + )(k + ). Beweis der Induktionsbehuptung: Es ist k + (k + ) = k(k + ) + (k + ) lt. Ind.-nnhme ( ) = (k + ) k + = (k + )(k + ) Ü A. Beweisen Sie folgende Aussgen durch vollständige Induktion: ) (n ) = n. b) + q + q q n = qn+ q für q. c) n > n + für n 3. d) n > n für n 5. e) ( ) ( α α+k ) ( k = α+k+ ) k. f) ( + b) n = n k=0 ( n ) k n k b k. g) Die Potenzmenge einer n-elementigen Menge besitzt n Elemente. q.e.d. h) Es seien n Gerden in einer Ebene gegeben. Es ist möglich, die Teilflächen, in die die Ebene geteilt wird, mit nur zwei Frben so zu färben, dss keine benchbrten Flächen dieselben Frben hben. (bechbrt = gemeinsme Knte) i) ( + h) n > + nh für h >, h 0, n (Bernoulli-Ungleichung). 8

9 A. Zhlenbereichserweiterung von N zu R A.. Gebrochene Zhlen Q Def A. (Gebrochene Zhlen) Gebrochene Zhlen sind Quotienten ntürlicher Zhlen, Q = { = p : p, q N}. q Bem A.3 Für die gebrochenen Zhlen ist uch die Division uneingeschränkt usführbr, die Subtrktion jedoch nicht. Die ntürlichen Zhlen sind eine Teilmenge der gebrochenen Zhlen. Def A.4 (Potenzieren, Rdizieren) Ds Potenzieren und ds Rdizieren ist in Def A.4 für ntürliche Zhlen definiert und knn für gebrochene Zhlen erweitert werden. Mn definiert n für Q rekursiv durch =, n = n, wenn der Eponent n eine ntürliche Zhl ist. Für n N ist die n-te Wurzel durch definiert. = n b n = b Wir können uch ds Potenzieren mit gebrochenem Eponent einführen, Für, b, c Q gilt p/q := q p. = c b c = b c = log b c = b. Bem A.5 Die Menge der gebrochenen Zhlen ist dicht. Ds heißt, zwischen zwei gebrochenen Zhlen und b liegt mindestens eine weitere gebrochene Zhl, zum Beispiel +b. Bem A.6 (Abzählbrkeit von Q ) Die Menge der gebrochenen Zhlen ist bzählbr, ds heißt, die gebrochenen Zhlen können durchnummeriert werden. Ds Cntorsche Digonl-Abzählverfhren besteht us zwei Schritten:. Anordnen der gebrochenen Zhlen nch dem Schem in Abb. ; dbei werden lle Brüche weggelssen, bei denen Zähler und Nenner nicht teilerfremd sind;. Durchzählen entlng der Digonlen. 9

10 Abbildung : Cntorsches Digonl-Abzählverfhren A.. Gnze Zhlen Z Def A.7 (Gnze Zhlen) Die gnzen Zhlen bilden die Menge Bem A.8 Z = {0, ±, ±,...}. Die Subtrktion ist im Bereich der gnzen Zhlen uneingeschränkt usführbr, die Division dgegen nicht. Die ntürlichen Zhlen bilden eine Teilmenge der gnzen Zhlen. Ds Potenzieren, Rdizieren oder Logrithmieren wird wie bei den ntürlichen Zhlen eingeführt und knn zum Teil erweitert werden. Für positive gnze Zhlen b (d.h. b N) definiert mn wie bei ntürlichen Zhlen 0 := b := b b Für, b > 0 definiert mn = c b c = b. Für, b > 0 und definiert mn c = log b c = b. 0

11 A..3 Rtionle Zhlen Q Def A.9 (Rtionle Zhlen) Rtionle Zhlen sind Quotienten gnzer Zhlen, Q = { = p : p, q Z, q 0}. q Bem A.0 Im Bereich der rtionlen Zhlen sind Division und Subtrktion uneingeschränkt usführbr. Ausnhme: Die Division durch Null ist nicht erlubt. Für gnze Zhlen b ist b wie in Abschnitt A.. definiert. Für b Q \ Z ist b nur für > 0 definiert. Mn definiert b für b > 0 wie bei den gebrochenen Zhlen und setzt { b für b = 0 = für b < 0. b Für, b > 0 definiert mn = c b c = b. Mn bechte, dss ds Ergebnis beim Rdizieren per Definition immer eine positive Zhl (oder null) ist. Der Ausdruck 3 8 ist lso nicht definiert, obwohl der Tschenrechner die Lösung liefert. Ds Logrithmieren ist nur für, b > 0 und definiert, c = log b c = b. Rdizieren und Logrithmieren sind uch im Bereich der rtionlen Zhlen nicht uneingeschränkt usführbr.

12 A..4 Reelle Zhlen R Die Menge der rtionlen Zhlen liegt zwr uf dem Zhlenstrhl dicht, dennoch füllen sie diesen nicht lückenlos. Nicht rtionl sind zum Beispiel die Zhlen... die Länge der Digonle im Einheitsqudrt π... der Umfng des Kreises mit Durchmesser. Wenn jede Strecke eine Mßzhl ls Länge hben soll, so ist ein neuer Zhlenbereich erforderlich, der eine Erweiterung des Bereiches der rtionlen Zhlen drstellt. Die theoretische Fortsetzung des Messvorgnges bei Strecken gibt Hinweise zu seiner Konstruktion. Um eine Strecke genu durch eine Einheitsstrecke e zu messen, verwendet mn ncheinnder die Messstrecken e, e 0, e 00,.... Jede weitere Messung steuert eine neue Dezimle zur Mßzhl bei. So entsteht ein Dezimlbruch, der nur in Ausnhmefällen bbricht oder periodisch wird, ds heißt eine rtionle Zhl drstellt. Im Allgemeinen ist er unendlich. Def A. (Reelle Zhlen) Die endlichen und unendlichen positiven und negtiven Dezimlbrüche bilden den Bereich der reellen Zhlen, der durch R gekennzeichnet wird. Reelle Zhlen lssen sich in nschulicher Weise durch Punkte uf einer Gerden, der Zhlengerden, drstellen. Die Zuordnung ist eineindeutig (umkehrbr eindeutig). D reelle Zhlen us der Schule beknnt sind, sollen hier nur einige wesentliche Eigenschften kurz zusmmengefsst werden. Ausführlichere Drstellungen findet mn in der Litertur, z.b. [Pp, I. I.4], [Wes, I.4 I.5]. Bem A. (Potenzieren, Rdizieren, Logrithmieren) Ds Potenzieren = b c ist für b > 0 über Intervllschchtelung definiert. Ds sei hier nicht näher usgeführt. Rdizieren und Logrithmieren sind die Umkehrfunktionen zum Potenzieren. Für, b > 0 gilt Flls zusätzlich, dnn gilt = c b c = b. c = log b c = b. Logrithmieren und Rdizieren sind uch für reelle Zhlen nicht uneingeschränkt usführbr. Ddurch sind nicht lle lgebrischen Gleichungen lösbr, zum Beispiel + = 0. Ds Ziel der Zhlenbereichserweiterung uf die kompleen Zhlen ist die Lösbrkeit ller lgebrischen Gleichungen.

13 Stz A.3 (Eigenschften der reellen Zhlen) Summe, Differenz, Produkt und Quotient reeller Zhlen ergeben wieder reelle Zhlen. Ausnhme: Division durch Null ist nicht erlubt. Kommuttivgesetze: + b = b +, b = b. Assozitivgesetze: ( + b) + c = + (b + c), (b)c = (bc). Distributivgesetz: (b + c) = b + c. Ordnung: Für zwei reelle Zhlen und b gilt entweder < b oder = b oder > b. Def A.4 Ds Symbol b bedeutet < b oder = b. Ds Symbol b bedeutet > b oder = b. Der Betrg einer reellen Zhl ist durch definiert. = { wenn 0, wenn < 0 Stz A.5 (Dreiecksungleichung) ± b + b. Ü A.6 www. mthe-online. t/ tests/ zhlen/ zhlenmengen. html www. mthe-online. t/ tests/ zhlen/ elementr. html www. mthe-online. t/ tests/ vr/ herusheben. html www. mthe-online. t/ tests/ vr/ binomischeformeln. html www. mthe-online. t/ tests/ vr/ termumformen. html 3

14 A.3 Intervlle, Schrnken, Gleichungen, Ungleichungen Litertur: [Pp, I. 4] Def A.7 (Zusmmenstellung der wichtigsten Intervlle) [, b] := { R : b} [, b) := { R : < b} (, b] := { R : < b} (, b) := { R : < < b} [, ) := { R : < } (, b] := { R : < b} (, ) := { R : < < } (, b) := { R : < < b} R + := (0, ) U ε () := ( ε, + ε) bgeschlossenes endliches Intervll hlboffenes endliches Intervll hlboffenes endliches Intervll offenes endliches Intervll bgeschlossenes unendliches Intervll bgeschlossenes unendliches Intervll offenes unendliches Intervll offenes unendliches Intervll Menge der positiven reellen Zhlen ε-umgebung der Zhl Dbei heißt ein Intervll I offen, wenn es für jedes I ein ε > 0 gibt, so dss U ε () I. Ein Intervll I heißt bgeschlossen, wenn es seine Ränder enthält. Def A.8 (Schrnken) Eine Menge M R heißt nch oben beschränkt, wenn es eine Zhl K < gibt, so dss K für lle M gilt. Die Zhl K heißt obere Schrnke. Die kleinste obere Schrnke sup M bezeichnet mn ls Supremum von M. Ist ds Supremum selbst Element der Menge, so heißt es Mimum, m M. Eine Menge M R heißt nch unten beschränkt, wenn es eine Zhl K > gibt, so dss K für lle M gilt. Die Zhl K heißt untere Schrnke. Die größte untere Schrnke inf M bezeichnet mn ls Infimum von M. Ist ds Infimum selbst Element der Menge, so heißt es Minimum, min M. Eine Menge M R heißt beschränkt, wenn sie nch oben und unten beschränkt ist, d.h., wenn es eine Zhl K < gibt, so dss K für lle M gilt. Die Zhl K heißt Schrnke der Menge M. 4

15 Stz A.9 (Regeln für ds Umformen von Gleichungen) Ein beliebiger Term drf uf beiden Seiten ddiert oder subtrhiert werden, = b ± c = b ± c. Beide Seiten einer Gleichung dürfen mit einer beliebigen reellen Zhl c multipliziert werden, = b c = bc. Beide Seiten einer Gleichung dürfen durch eine beliebige reelle Zhl c 0 dividiert werden, = b : c = b : c. Ist c = c() ein Term, der eine Vrible enthält, ist der Fll, dss c() = 0 wird, uszuschließen (Fllunterscheidung). Stz A.30 (Regeln für ds Umformen von Ungleichungen) Die folgenden Regeln wurden für den Fll des Kleinerzeichens < formuliert, gelten ber entsprechend uch für den Fll des Größerzeichens > und die kombinierten Zeichen und. Es gilt ds Trnsitivitätsgesetz, ( < b b < c) < c. Ein beliebiger Term drf uf beiden Seiten ddiert oder subtrhiert werden, < b ± c < b ± c. Beide Seiten einer Ungleichung dürfen mit einer beliebigen positiven reellen Zhl c > 0 multipliziert oder durch eine beliebige positive reelle Zhl c > 0 dividiert werden, < b c > 0 c < bc, : c < b : c. Die Multipliktion/Division mit einer negtiven reellen Zhl c < 0 kehrt ds Reltionszeichen um, < b c < 0 c > bc, : c > b : c. Ist c = c() ein Term, der eine Vrible enthält, sind die Fälle c() > 0, c() < 0 und c() = 0 zu unterscheiden. Zwei Ungleichungen mit gleichem Reltionszeichen dürfen ddiert werden, < b c < d + c < b + d. Bem A.3 Im Buch von Westermnn [Wes] ist ds Lösen von Gleichungen und Ungleichungen mit Hilfe von MAPLE beschrieben. Ü A.3 www. mthe-online. t/ tests/ gleich/ equivlenz. html www. mthe-online. t/ tests/ vr/ kuerzenfehler. html www. mthe-online. t/ tests/ gleich/ loesungsmenge. html www. mthe-online. t/ tests/ gleich/ keineloesung. html 5

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17 B Reelle Funktionen B. Definition und Drstellung einer Funktion Reelle Funktionen sind us der Schule beknnt, deshlb sollen hier nur einige wesentliche Punkte zusmmengefsst werden. Ausführlichere Drstellungen findet mn in der Litertur, z.b. [Pp, Kp. III. III., III.5 III.3], [Wes, Kp. IV]. Def B. Unter einer Funktion oder Abbildung versteht mn eine Vorschrift, die jedem Element einer Menge D f D genu ein Element y einer Menge W f W zuordnet. Bezeichnet mn die Funktion mit f, wird die Zuordnung symbolisch durch f : D f W, y = f() usgedrückt. Dbei heißen unbhängige Vrible oder Argument, y bhängige Vrible oder Funktionswert, D f Definitionsbereich und W f = {y = f() W : D f } Wertebereich der Funktion. Bem B. (Drstellung von Funktionen) Wir werden uns im Weiteren mit Funktionen beschäftigen, für die D die Menge der reellen Zhlen oder eine Teilmenge dvon ist. Für solche Funktionen gibt es verschiedene Drstellungsrten: eplizite Drstellung: y = f(). implizite Drstellung: F (; y) = 0. Prmeterdrstellung: = (t), y = y(t). Wertetbelle: y = f( ) y = f( ) y 3 = f( 3 ) y 4 = f( 4 )... grphische Drstellung: Die Funktion wird ls Kurve (Grph) in einem rechtwinkligen (krtesischen) Koordintensystem drgestellt. Die unbhängige Vrible wird dbei uf der wgerechten Achse (Abszisse ) ufgetrgen, die bhängige Vrible uf der senkrechten Achse (Ordinte ). Ü B.3 www. mthe-online. t/ tests/ fun/ grongr. html Mnchml wird der Begriff Abbildung uch noch llgemeiner verwendet, siehe z. B. [Ri, S. 30f.] 7

18 B. Allgemeine Eigenschften einer Funktion Def B.4 Eine Funktion y = f() besitzt n der Stelle 0 eine Nullstelle, wenn f( 0 ) = 0 gilt. Die Bestimmung der Nullstellen ist äquivlent zum Lösen der Gleichung f() = 0. Def B.5 (Symmetrie-Eigenschften) Eine Funktion f mit symmetrischem Definitionsbereich D heißt gerde, wenn sie für jedes D die Bedingung f( ) = f() erfüllt. Sie heißt ungerde, wenn für jedes D die Bedingung gilt. f( ) = f() Der Grph einer gerden Funktion ist spiegelsymmetrisch zur y-achse, der Grph einer ungerden Funktion ist punktsymmetrisch zum Koordintenursprung. Ü B.6 www. mthe-online. t/ tests/ fun/ symmoderntisymm. html Def B.7 (Monotonie-Eigenschften) Eine Funktion f heißt monoton wchsend, wenn f( ) f( ) für <, streng monoton wchsend, wenn f( ) < f( ) für <, monoton fllend, wenn f( ) f( ), für <, streng monoton fllend, wenn f( ) > f( ) für <. Def B.8 (Periodizität) Eine Funktion f heißt periodisch mit Periode p, wenn mit jedem D uch ± p zu D gehört und gilt. f( ± p) = f() Ü B.9 www. mthe-online. t/ tests/ fun/ eigensch. html www. mthe-online. t/ tests/ fun/ periodischodernicht. html www. mthe-online. t/ tests/ fun/ beschrenktodernicht. html www. mthe-online. t/ tests/ fun/ obenoderunten. html Def B.0 (Umkehrung einer Funktion) Eine Funktion f heißt umkehrbr, wenn us stets f( ) f( ) folgt. Ist f umkehrbr, so gehört zu jedem y W f genu ein D f. Die Funktion g : W f D f, y mit f() = y heißt Umkehrfunktion der Funktion f. Sie wird mnchml uch mit f bezeichnet. Bem B. Mn erhält den Grph der Umkehrfunktion durch Spiegelung des Grphen der Ausgngsfunktion n der Gerden y =. 8

19 B.3 Polynome Litertur: z.b. [Pp, Kp. II.5] Def B. Polynome oder gnzrtionle Funktionen sind Funktionen vom Typ p n () = n n + n n Sie sind für lle R definiert. Die Zhlen 0,,..., n heißen Koeffizienten. Unter der Vorussetzung n 0 heißt die Zhl n Grd des Polynoms. Stz B.3 (Koeffizientenvergleich) Zwei Polynome stimmen genu dnn überein, wenn sie dieselben Koeffizienten besitzen. Ü B.4 www. mthe-online. t/ tests/ vr/ polynome. html www. mthe-online. t/ tests/ fun/ erkennen. html Bem B.5 Für die Nullstellen eines Polynoms ersten oder zweiten Grdes gelten die Lösungsformeln p () = + b = b p () = + p + q, = p p ± 4 q Auch für Polynome 3. und 4. Grdes gibt es noch Lösungsformeln. Ab Polynomgrd 5 gibt es keine Lösungsformeln. In einfchen Fällen knn mn für Polynome 3. oder höheren Grdes Nullstellen errten, siehe Beispiel B.9, im Allgemeinen ist mn uf numerische Verfhren (Näherungsverfhren) ngewiesen. Bsp B.6 Numerisch knn mn eine Nullstelle eines Polynoms p() mit dem Newtonverfhren bestimmen. Mn strtet mit einer (fst) beliebigen Zhl 0 und berechnet rekursiv die Zhlen Sei zum Beispiel dnn ist und folglich k+ := ϕ( k ) := k p( k) p ( k ). p() = , ϕ() = = 0 p( 0 ) = 36 = ϕ( 0 ) = p( ) = = ϕ( ) = p( ) = = ϕ( ) = p( 3 ) = = ϕ( 3 ) = p( 4 ) = = ϕ( 4 ) = p( 5 ) = Wir hben eine Folge von Zhlen konstruiert, die gegen die ttsächliche Nullstelle = konvergiert. Zhlenfolgen und deren Konvergenz werden in Kpitel C behndelt. 9

20 Def B.7 (Horner-Schem) Ds Rechenverfhren n n n... 0 b n 0 b n 0... b 0 b 0 b b n b n b n 3... b b 0 b mit b n = n, b k = k +b k 0, k = n, n,...,, 0 heißt Horner-Schem. Stz B.8 (Verwendung des Hornerschems) Es gilt: p n ( 0 ) = b, p n () 0 = b n n b + b 0 + b 0, d.h., ds Hornerschem knn zur Funktionswertberechnung und zur Division des Polynoms p n () durch den Linerfktor 0 benutzt werden. Beweis Der Beweis erfolgt durch Einsetzen der Definition der b k : ( 0 )(b n n + b n n b + b 0 ) + b = (b n n + b n n b + b 0 ) (b n 0 n + b n 0 n b 0 + b 0 0 ) + b = b n n + (b n b n 0 ) n (b 0 b 0 ) + (b b ) = n n + n n = p n (). Setzt mn = 0 ein, erhält mn die erste Formel us Stz B.8. Dividiert mn durch 0 erhält mn die zweite Formel. q.e.d. Bsp B.9 Mn knn lle Nullstellen eines Polynoms bestimmen, indem mn eine Nullstelle rät und dnn mittels Hornerschem die Linerfktoren bdividiert: Ist 0 eine Nullstelle von p n () und ist p n () := b n n b + b 0 ds Polynom mit den im Horner-Schem entstehenden Koeffizienten, dnn gilt p n () = ( 0 ) p n (), mn knn lso mit der Nullstellenbestimmung fortfhren, indem mn die Nullstellen von p n rät. Sei p 4 () = Wir rten die Nullstellen = und =

21 Die restlichen beiden Nullstellen erhält mn mit der Lösungsformel für qudrtische Gleichungen. 0 = 0 = 6 3,4 = ± = ± 5 Wir erhlten 3 = 3 und 4 =. Die Nullstelle bei = 3 tritt zweiml uf, sie heißt doppelte Nullstelle. Ds Polynom knn folglich uch in Form des Produkts p 4 () = ( )( 3) ( + ) geschrieben werden. Stz B.0 (Fktorisierung eines Polynoms) Besitzt ein Polynom p n () = n n + n n genu n Nullstellen,..., n, so lässt sich p n uch in Form eines Produkts drstellen, p n () = n ( )( ) ( n ). Bem B.. Der Huptstz der Algebr besgt, dss jedes Polynom n-ten Grdes ttsächlich genu n Nullstellen (die entsprechend ihrer Vielfchheit gezählt werden) besitzt. Die Nullstellen können jedoch uch komplee Zhlen sein. Wir werden im Kpitel 3 druf zurück kommen.. Mn knn weitere Zeilen zum Horner-Schem hinzufügen und so uch die Ableitungen von p n n der Stelle 0 berechnen (genuer: mn berechnet ( 0 ), k = 0,,,..., n). k! p(k) n Bem B. Polynome eignen sich gut zur Annäherung von Funktionen. Wir werden in Kpitel 6.3 Tylor-Polynome kennen lernen. Im. Studienjhr behndeln Sie uch Interpoltionspolynome. Ein Interpoltionspolynom ist ein Polynom n-ten Grdes, ds durch die n+ Kurvenpunkte ( 0, y 0 ), (, y ),..., ( n, y n ) (z.b. Messpunkte) beschrieben wird, siehe Digrmm. 6 O O y 4 O O

22 B.4 Gebrochen rtionle Funktionen Def B.3 Gebrochen rtionle Funktionen sind Funktionen, die sich ls Quotient zweier Polynome drstellen lssen. Ist der Polynomgrd im Zähler kleiner ls der im Nenner, spricht mn von einer echt gebrochen rtionlen Funktion, ndernflls von einer unecht gebrochen rtionlen Funktion. Def B.4 Stellen, in deren Umgebung die Funktionswerte über lle Grenzen hinus fllen oder wchsen, heißen Pole oder Unendlichkeitsstellen der Funktion. Stz B.5 (Eigenschften). Eine gebrochen rtionle Funktion ist für lle R definiert mit Ausnhme der Nullstellen des Nennerpolynoms (Definitionslücken).. Eine gebrochen rtionle Funktion besitzt überll dort eine Nullstelle, wo ds Zählerpolynom den Wert Null, ds Nennerpolynom jedoch einen von Null verschiedenen Wert nnimmt. 3. In Stellen, in denen ds Nennerpolynom verschwindet, ds Zählerpolynom jedoch nicht, besitzen gebrochen rtionle Funktionen Polstellen. 4. Unecht gebrochen rtionle Funktionen können durch Polynomdivision in die Summe us einem polynomilen und einem echt gebrochen rtionlen Anteil zerlegt werden. Bsp B.6 Funktionsgrph von y = f() = y /(^-4) Bem B.7 Ein Sonderfll tritt ein, wenn Zähler- und Nennerpolynom gemeinsme Nullstellen besitzen. In diesem Flle kürzt mn gemeinsme Linerfktoren herus. Ddurch können u.u. Definitionslücken behoben und dmit der Definitionsbereich erweitert werden. Ü B.8 www. mthe-online. t/ tests/ vr/ kuerzen. html www. mthe-online. t/ tests/ gleich/ definitionsmenge. html

23 B.5 Potenzfunktionen Def B.9 Funktionen der Form f() = α, α 0, heißen Potenzfunktionen. Potenzfunktionen, deren Eponent eine ntürliche Zhl ist, sind überll in R definiert; im Allgemeinen sind die Potenzfunktionen nur für 0 definiert. Potenzfunktionen mit dem Eponenten α = /n, n N, schreibt mn uch in der Form /n = n und bezeichnet sie ls Wurzelfunktionen. Bsp B.30 Funktionsgrph für die Funktionen y =, y =, y = 3 und y = /. 4 3 y = ^3 y = ^ y = y y = ^(/) Stz B.3. Potenzfunktionen mit gerdzhligen Eponenten sind gerde; Potenzfunktionen mit ungerdzhligen Eponenten sind ungerde.. Es gelten die Potenzgesetze α β = α+β ( α ) β = α β Insbesondere gilt m/n = n m für Die Funktion /α ist die Umkehrfunktion der Funktion α. Ü B.3 www. mthe-online. t/ tests/ pot/ rtionleeponenten. html www. mthe-online. t/ tests/ pot/ potenzenwurzeln. html 3

24 B.6 Eponentilfunktionen Litertur: [Pp, Kp. III.] Def B.33 Funktionen vom Typ f() =, > 0,, heißen Eponentilfunktionen. Die Zhl heißt Bsis. Eponentilfunktionen sind uf gnz R definiert, der Wertebereich ist R + = { R : > 0}. Bsp B.34 Funktionsgrphen von y =, y = e und y = 0 Funktionsgrphen von y = e, y = e und y = e ^ e^ e^(-) 5 4 e^(*) e^ 3 y ^ Bem B.35 Von besonderer Bedeutung sind die Eponentilfunktionen y = e und y = e mit der Eulerschen Zhl e, 788 ls Bsis. Stz B.36 (Eigenschften der Eponentilfunktion). Für (0, ) ist die Eponentilfunktion streng monoton fllend, für > ist sie streng monoton wchsend.. Es gelten die von den Potenzfunktionen beknnten Rechengesetze y = +y, y = y, ( ) y = y. 3. Die Funktionsgrphen der Funktionen y = und y = sind spiegelsymmetrisch zur y-achse. 4. Jede Funktion ist uch in der Form e λ mit λ = ln drstellbr. Entsprechend gilt: Die Funktion e λ ist streng monoton wchsend, wenn λ > 0 und streng monoton fllend, wenn λ < 0. Bem B.37 Eponentilfunktionen treten häufig uf, wenn Wchstums- oder Abklingprozesse beschrieben werden, siehe uch [Pp, Kp. III..3]. Ü B.38 www. mthe-online. t/ tests/ log/ eigenschep. html www. mthe-online. t/ tests/ log/ zunbn. html www. mthe-online. t/ tests/ log/ wieschnell. html www. mthe-online. t/ tests/ log/ umrbsen. html 4

25 B.7 Logrithmusfunktionen Litertur: [Pp, Kp. III.] Def B.39 Unter der Logrithmusfunktion f() = log, > 0,, versteht mn die Umkehrfunktion der Eponentilfunktion, d.h. y = log = y. Die Zhl heißt Bsis. Logrithmusfunktionen sind für R mit > 0 definiert, der Wertebereich ist gnz R. Bem B.40 Von besonderer Bedeutung ist die ntürliche Logrithmusfunktion ln := log e mit der Eulerschen Zhl e, 788 ls Bsis. Bsp B.4 Funktionsgrphen von y = e und ihrer Umkehrfunktion y = ln. 4 y = e^ y = y y = ln() Stz B.4 (Eigenschften der Logrithmusfunktion). Für jede zulässige Bsis besitzt die Logrithmusfunktion nur die Nullstelle 0 =.. Es gelten die Rechengesetze log ( y) = log + log y, log = log y log y, log ( y ) = y log. 3. Jede Funktion log ist uch mit dem ntürlichen Logrithmus drstellbr, log = ln ln. Beweis Wir beweisen hier nur Eigenschft 3. Es gilt lut Definition = log. Wir bilden den ntürlichen Logrithmus beider Seiten und wenden die Logrithmengesetze n, ln = ln( log ) = log ln. Die Division durch ln liefert die Behuptung. q.e.d. 5

26 B.8 Trigonometrische Funktionen Ü B.43 Wiederholen Sie die Definition der Winkelfunktionen. Testen Sie Ihr Wissen nhnd www. mthe-online. t/ tests/ wfun/ defwfun. html und www. mthe-online. t/ tests/ wfun/ eigenschwfun. html. Bsp B.44 Funktionsgrphen der Sinus- und Kosinusfunktion y = cos() y y = sin() Bem B.45 Mthemtiker lssen die Klmmern oft weg, sin = sin(), cos = (cos ) = ( cos()), denn durch eine Vielzhl von Klmmern werden Formeln uch nicht übersichtlichtlicher. Stz B.46 (Eigenschften der Sinus- und Kosinusfunktion) sin cos Definitionsbereich R R Wertebereich [, ] [, ] Periode π π Symmetrie ungerde gerde Nullstellen k = kπ, k Z k = π + kπ, k Z Pole keine keine Bsp B.47 Funktionsgrphen der Tngens- und Kotngensfunktion 4 3 tn() cot() y

27 Stz B.48 (Eigenschften der Tngens- und Kotngensfunktion) tn cot Definitionsbereich { R : π + kπ, k Z} { R : kπ, k Z} Wertebereich R R Periode π π Symmetrie ungerde ungerde Nullstellen k = kπ, k Z k = π + kπ, k Z Pole k = π + kπ, k Z k = kπ, k Z Stz B.49 (Beziehungen zwischen trigonometrischen Funktionen). Verschiebungen: ( sin = cos π ) ( cos = sin + π ) ( π ) = cos ( π ) = sin. Trigonometrischer Pythgors: sin + cos = 3. Additionstheoreme: sin( ± y) = sin cos y ± cos sin y cos( ± y) = cos cos y sin sin y tn( ± y) = tn ± tn y tn tn y Bem B.50 Durch ihre Periodizität eignen sich die trigonometrischen Funktionen besonders zur Beschreibung periodischer Vorgänge. Anwendungen in der Schwingungslehre knn mn z.b. in [Pp, III.9.5] nchlesen. Ü B.5 www. mthe-online. t/ tests/ wfun/ groesser. html 7

28 B.9 Arkusfunktionen Quelle: [Pp, Kp. III.0] Grundsätzlich lssen sich die trigonometrischen Funktionen infolge fehlender Monotonie nicht umkehren. Beschränkt mn sich jedoch uf gewisse Intervlle, in denen die Funktionen monoton verlufen und dbei sämtliche Funktionswerte nnehmen, so ist jede der vier Winkelfunktionen umkehrbr. Die Umkehrfunktionen werden ls Arkusfunktionen oder zyklometrische Funktionen bezeichnet. Def B.5 Die Arkussinusfunktion f() = rcsin ist die Umkehrfunktion der uf ds Intervll [ π, π ] beschränkten Sinusfunktion. Die Arkuskosinusfunktion f() = rccos ist die Umkehrfunktion der uf ds Intervll [0, π] beschränkten Kosinusfunktion. Bsp B.53 Funktionsgrphen der Arkussinus- und Arkuskosinusfunktion.5 3 rcsin().5 y y.5 rccos() Stz B.54 (Eigenschften der Arkussinus- und Arkuskosinusfunktion) rcsin rccos Definitionsbereich [, ] [, ] Wertebereich [ π, π ] [0, π] Symmetrie ungerde keine Nullstellen 0 = 0 0 = Monotonie streng monoton wchsend streng monoton fllend 8

29 Def B.55 Die Arkustngensfunktion f() = rctn ist die Umkehrfunktion der uf ds Intervll ( π, π ) beschränkten Tngensfunktion. Die Arkuskotngensfunktion f() = rccot ist die Umkehrfunktion der uf ds Intervll (0, π) beschränkten Kotngensfunktion. Bsp B.56 Funktionsgrphen der Arkustngens- und Arkuskotngensfunktion 3 y rccot() rctn() Stz B.57 (Eigenschften der Arkustngens- und Arkuskotngensfunktion) rctn rccot Definitionsbereich R R Wertebereich ( π, π ) (0, π) Symmetrie ungerde keine Nullstellen 0 = 0 keine Monotonie streng monoton wchsend streng monoton fllend 9

30 B.0 Hyperbel- und Arefunktionen Litertur: [Pp, Kp. III.3] Die Hyperbelfunktionen treten vereinzelt in Anwendungen uf. Def B.58 Die Definitionsgleichungen der Hyperbelfunktionen luten Sinus hyperbolicus: sinh := (e e ), Kosinus hyperbolicus: cosh := (e + e ), Tngens hyperbolicus: tnh := sinh cosh = e e e + e, Kotngens hyperbolicus: coth := cosh sinh = e + e e e. Deren Umkehrfunktionen sind die Arefunktionen rsinh, rcosh, rtnh und rcoth. Bsp B.59 Funktionsgrphen von y = sinh und y = cosh. 4 3 y cosh() sinh() Stz B.60 (Eigenschften der Hyperbelfunktionen). Drstellung der Eponentilfunktionen:. cosh sinh = 3. Additionstheoreme: e = cosh + sinh e = cosh sinh sinh( ± y) = sinh cosh y ± cosh sinh y cosh( ± y) = cosh cosh y± sinh sinh y tnh( ± y) = tnh ± tnh y ± tnh tnh y 30

31 B. Einfche Trnsformtionen einer Funktion Bsp B.6 (Strecken und Stuchen in horizontle Richtung) f() = 4 f() = sin y 3 f(3*) f(/3*) f() f(3*) y f() f(/3*) Grphische Drstellung von f(), f(3) und f( 3 ). Bsp B.6 (Strecken und Stuchen in vertikle Richtung) f() = f() = sin 3 3*f() 4 y f() /3*f() y 3 3*f() /3*f() f() Grphische Drstellung von f(), 3f() und 3 f(). Bsp B.63 (Verschieben in horizontle Richtung) f() = 4 f() = sin 3 y f(+) f() f( ) y f(+) f( ) f() Grphische Drstellung von f(), f( + ) und f( ). 3

32 Bsp B.64 (Verschieben in vertikle Richtung) f() = f() = sin 4 3 f() y f()+ f() y f()+f() f() Grphische Drstellung von f(), f() + und f(). Bsp B.65 (Spiegeln n der - oder y-achse) f() = 4 f() = sin y 3 f(-) f() f() f() f() y f(-).5 Grphische Drstellung von f(), f( ) und f(). 3

33 C Theorie der Grenzwerte Litertur: [Pp, III.4.] Wir wollen uns in diesem Kpitel mit unendlichen Prozessen beschäftigen. Einige dvon hben Sie schon kennengelernt: ds Prinzip der vollständigen Induktion in Abschnitt A.. und die Konstruktion der reellen Zhlen in Abschnitt A..4 sowie ein Itertionsverfhren (speziell ds Newtonverfhren) in Abschnitt B.3. C. Zhlenfolgen Bsp C. Die reellen Zhlen werden ls unendliche Dezimlbrüche eingeführt. Ein qudrtisches Feld mit einer Seitenlänge von km ht eine Digonle der Länge km. Diese Länge finden Sie ber uf keinem Mßbnd. Wenn Sie ein Rohr entlng der Digonle durch Ihr Feld legen wollen, können Sie nicht km Rohr kufen. Sie werden vielleicht,5 km Rohr kufen, oder, wenn es teuer ist,,4 km. Ihr Nchbr ist vielleicht ein wenig pingeliger und kuft.45 Meterstücken und ist dmit noch genuer n der ekt benötigten Länge drn. Zwei Beobchtungen sind n dem Beispiel wesentlich:. Wir können den Messprozess fortsetzen und immer genuere Näherungswerte für die Länge konstruieren:,44 km,,44 km,,444 km,,4436 km,.... Jede weitere Messung steuert eine neue Dezimle zur Mßzhl bei.. Wenn wir uns eine Tolernz für die Messung vorgeben, sind wir mit unseren Zhlen irgendwnn innerhlb des Tolernzbereichs und verlssen diesen nicht mehr. Bsp C. In Beispiel B.6 hben wir eine näherungsweise Lösung der Gleichung = 0 mit Hilfe des Newtonverfhrens konstruiert. Wie im Beispiel C. konnten wir den ttsächlichen Wert durch Fortsetzen der Itertion beliebig nnähern, 0 = 0, = , = , 3 = , 4 = Auch hier trifft die zweite der obigen Beobchtungen zu. Wenn wir mit unserer Itertion einml innerhlb einer vorgegebenen Tolernz sind, bleiben wir dort. Bsp C.3 Angenommen, es gibt eine Bnk, bei der ein Zinsstz von 00% ngeboten wird. Wenn wir einen Euro ( e) Kpitl nlegen, hben wir nch Jhr e. Wenn wir uns die Zinsen llerdings nch einem hlben Jhr uszhlen lssen (0,5 e) und die nunmehr verfügbren,5 e nlegen, hben wir nch einem Jhr,5 e Kpitl. Wrum eigentlich nicht öfter Zinsen uszhlen lssen? Nch 4 Monten bekommen wir 33 Cent, die wir sofort wieder nlegen. Dnn bekommen wir nch 8 Monten 33/3 = 44 Cent usgezhlt, so dss wir m Ende des Jhres noch einml 77/3 = 59 Cent Zinsen bekommen. Unser Guthben ist uf = 36 Cent ngewchsen. Knn mn mit dieser Methode ein Vermögen verdienen? Nehmen wir n, wir hben n Auszhltermine, dnn erzielen wir so m Ende (+ n )n Euro (inclusive unseres Anfngsguthbens). 33

34 n ( + n )n 0, , , , , ,78 8 Def C.4 Unter einer Zhlenfolge versteht mn eine geordnete bzählbr unendliche Menge (reeller) Zhlen. Symbolisch schreibt mn n =,,..., n,... Die Zhlen,,... heißen Glieder der Folge. Die Zhl n ist ds n-te Glied der Folge. Bem C.5 Eine Zhlenfolge knn uch ls Funktion ufgefsst werden, deren Definitionsbereich die Menge der ntürlichen Zhlen ist, n = f(n). Knn mn f ngeben, spricht mn von einem Bildungsgesetz. Bsp C.6 n =, 4, 6,... Bildungsgesetz: n = n n =, 4, 9,... Bildungsgesetz: n = n Bem C.7 Möglichkeiten der grphischen Drstellung, siehe uch D D n n Ü C.8 Die rekursiv definierte Zhlenfolge n+ = n ( n ) beschreibt ein einfches biologisches Fortpflnzungsmodell. Mn plotte die Werte für einen beliebigen Strtwert 0 (0, ). Dbei verwende mn die folgenden Werte von : () 0,5 (b),0 (c) 3,3 (d) 3,8. Benutzen Sie zum Beispiel mthe-online. t/ nml/ mterilien/ innsbruck/ folgen/. 34

35 Def C.9 Eine Folge n heißt monoton wchsend, wenn i j für i < j, monoton fllend, wenn i j für i < j, streng monoton wchsend, wenn i < j für i < j, streng monoton fllend, wenn i > j für i < j. nch oben beschränkt, wenn es eine Zhl M gibt, so dss n M für lle n, nch unten beschränkt, wenn es eine Zhl m gibt, so dss n m für lle n. ist streng monoton fllend und nch unten be- Bsp C.0 n mit n = n schränkt. Ü C. www. mthe-online. t/ mterilien/ Petr. Grell/ files/ Monotonie_ von_ Folgen_-_ Puzzle. htm Def C. Eine Zhl g heißt Grenzwert oder Limes der Zhlenfolge n, symbolisch lim n = g oder n g, wenn es zu jedem ε > 0 eine ntürliche n n Zhl n 0 = n 0 (ε) gibt, so dss für lle n n 0 stets n g < ε gilt. Symbolisch: lim n = g : ε > 0 n 0 = n 0 (ε) : n g < ε n n 0. n Eine Folge mit Grenzwert Null heißt Nullfolge. Ü C.3 www. mthe-online. t/ mterilien/ Petr. Grell/ files/ Nullfolge_ J_ Nein. htm Bem C.4 Wir erinnern uns n die einführenden Beispiele. Wir konnten die Tolernz ε noch so klein wählen, b irgend einem Folgenglied n0 liegen lle Glieder innerhlb der Tolernz. Anders betrchtet: Es liegen immer fst lle Glieder der Folge in einer ε- Umgebung des Grenzwerts. Def C.5 Eine Folge n heißt konvergent, wenn sie einen endlichen Grenzwert besitzt. Andernflls heißt sie divergent. Bsp C.6 Die Folgen n =, 4, 9,... und n =,,,,... sind divergente Folgen. Die Folge n = ( + ), ( + ), ( + 3 )3,... ist konvergent; es gilt lim n ( + n) n = e. Die Folge n =,, 3 3, 4 4,... ist konvergent; es gilt lim n Prägen Sie sich diese Grenzwerte ein. n n =. 35

36 Bem C.7 Als Grenzwerte spielen uch + und eine Rolle: lim n = n : E > 0 n 0 = n 0 (E) : n > E n n 0, lim n = n : E < 0 n 0 = n 0 (E) : n < E n n 0. Mn spricht dnn von bestimmt divergenten Folgen. Stz C.8 (Rechenregeln für konvergente Folgen) Seien n und b n konvergente Folgen, dnn gilt:. lim ( n ± b n ) = lim n ± lim b n, n n n. lim ( n b n ) = lim n lim b n, n n n 3. lim ( n : b n ) = lim n : lim b n, flls lim b n 0 und b n 0 n n n n 4. lim n = lim n. n n Bsp C.9 3n + 4 lim n 4n + = lim n n 4 + n = lim n lim n ( ) n ( 4 + n ) = lim n n 4 + lim n n = 3 4 Ü C.0 www. mthe-online. t/ tests/ grenz/ konvdiv. html Stz C. (Dreifolgenstz) Gilt für drei Folgen n, b n und c n die Beziehung n b n c n n n 0, und sind die Grenzwerte von n und c n gleich, lim n = lim c n = g, n n dnn konvergiert uch die Folge b n gegen den Grenzwert g, lim n b n = g. Bem C. Umgngssprchlich wird der Dreifolgenstz uch ls Polizistenmethode bezeichnet. Bsp C.3 [MV, Bsp. in Abschnitt.5.] Es gilt für n n, 0 sin n n sin n, lso lim = 0. n n n Bsp C.4 [MV, Bsp. 3 in Abschnitt.5.] Wir zeigen lim n n n =. Dzu betrchten wir die Folge mit den Gliedern n = n n, die für n positiv sind. Es gilt unter Verwendung des Binomischen Stzes n = ( n + ) n = + n n + n(n ) n n n + n(n ) n, lso n n(n ) n bzw. n n und somit 0 n n. Mit dem Dreifolgenstz folgt n 0 und drum n 0. 36

37 Stz C.5 Ist eine Folge monoton wchsend und nch oben beschränkt, oder monoton fllend und nch unten beschränkt, dnn ist sie konvergent. Bsp C.6 [MV, Bsp. 4 in Abschnitt.5.3] Die durch 0 =, n+ = n 7 + n, rekursiv definierte Folge ist beschränkt, 0 < n <, denn n+ = n 7 + n = 4 + n 7 + n 8 4 n 7 + n = 4 n 7 + n <, wenn n <. Die Folge ist uch monoton wchsend, denn n+ n = n 7 + n n = n 7 n n 7 + n = 6 n n 7 + n = (3 + n)( n ) 7 + n > 0. Dher ist sie konvergent. Für den Grenzwert gilt = , lso = oder = 3. Wegen n 0 ist 0, lso =. Aufg C.7 In [MV, Bsp. 3 in Abschnitt.5.3] ist vorgerechnet, dss die Folge c n = ( + n) n, n, monoton wchsend und beschränkt, lso konvergent ist. Der Grenzwert ist gleich der Eulerschen Zhl e =,788..., die uch der Grenzwert der Folge b n = +! +! n! ist, siehe [MV, Bsp. in Abschnitt.5.3]. Bem C.8 In dieser Bemerkung soll kurz uf einen weiteren Begriff eingegngen werden, den wir im Beweis eines Stzes im Kpitel über Reihen benötigen. Eine Folge n heißt Cuchy-Folge, wenn es zu jedem ε > 0 eine Zhl n 0 = n 0 (ε) gibt, so dss n m < ε für lle n > m n 0. Wenn wir die reellen Zhlen zugrunde legen, knn mn beweisen, dss jede konvergente Folge eine Cuchy-Folge ist, und umgekehrt jede Cuchy-Folge konvergiert. Dennoch sind die Begriffe konvergente Folge und Cuchy-Folge nicht synonym. Zum Beispiel gibt es im Bereich der rtionlen Zhlen Cuchy-Folgen, die keinen Grenzwert im Bereich der rtionlen Zhlen hben, etw die Folge n mit n = ( + n )n. Bem C.9 Neben Zhlenfolgen können uch Funktionenfolgen betrchtet werden. 37

38 C. Grenzwert einer Funktion Litertur: [Pp, III.4.] Von besonderer Bedeutung für die Untersuchung reeller Funktionen ist der Begriff des Grenzwertes. Dbei wird die Frge untersucht, wie sich die Funktionswerte f() einer Funktion verhlten, wenn sich ds Argument einem Wert 0 nähert. Bsp C.30 Solche Grenzwertbetrchtungen werden zum Beispiel in folgenden Situtionen benötigt. Gebrochen rtionle Funktionen hben Definitionslücken. Wenn die Funktionswerte in der Umgebung dieser Lücken endlich bleiben, knn die Lücke behoben werden. Wenn nicht, liegt eine Polstelle vor. Bei der Definition der Ableitung wird die Wchstumsrte einer Größe y = y(t) untersucht, die sich mit der Zeit t ändert. Die durchschnittliche Wchstumsrte im Intervll [t, t + t] ist y(t + t) y(t), t die momentne Wchstumsrte (Ableitung von y nch t) zum Zeitpunkt t berechnet mn ls Grenzwert einer immer kleiner werdenden Intervll- Länge t, y (t) = d y(t) := lim dt t 0 y(t + t) y(t). t Def C.3 Sei f eine Funktion, die in einer Umgebung U( 0 ) einer Zhl 0 definiert ist, ber nicht notwendigerweise in 0 selbst. Gilt für jede in U( 0 ) \ { 0 } enthltene und gegen 0 konvergierende Zhlenfolge n stets lim f( n) = g, n dnn heißt g Grenzwert von f n der Stelle 0. Die symbolische Schreibweise lutet lim 0 f() = g. Bem C.3 Der Grenzübergng 0 bedeutet, dss der Stelle 0 beliebig nhe kommt, ohne sie zu erreichen. Wichtig n der Definition ist uch, dss für jede beliebige Folge der gleiche Grenzwert erreicht werden muss. Die Glieder n der Folge können llesmt links oder llesmt rechts von 0 liegen oder uch teilweise links und teilweise rechts. Bsp C.33 Die Funktion f() = = ( ) ist n der Stelle = nicht definiert. Sie besitzt jedoch n dieser Stelle einen Grenzwert, d für der Fktor gekürzt werden knn, lim f() = lim = lim =. 38

39 Bsp C.34 Die Funktion f(h) = ( + h) h ist n der Stelle h = 0 nicht definiert, besitzt jedoch den Grenzwert ( + h) lim f(h) = lim h 0 h 0 h Welche Bedeutung ht dieser Grenzwert? Ü C.35 Untersuchen Sie lim sin + h + h = lim h 0 h und lim 0 sin. = lim h 0 ( + h) =. Bem C.36 Es gibt Funktionen, die in keinem Punkt einen Grenzwert besitzen, z.b. { für Q, f() = 0 für Q. Bsp C.37 Die Heviside-Funktion H() = { für 0, 0 für < 0, ist der Prototyp einer Funktion mit einer Sprungstelle. Sie besitzt im Punkt 0 = 0 zwr einen Funktionswert, ber keinen Grenzwert, denn für jede Folge n, die nur negtive Zhlen ls Elemente besitzt, gilt lim H( n) = 0, n während für jede Folge n, die nur positive Zhlen ls Elemente besitzt, lim H( n) = gilt. n Def C.38 Sei f eine Funktion, die in einem Intervll ( 0 δ, 0 ) definiert ist (δ > 0). Eistiert eine Zhl g, so dss für jede in diesem Intervll enthltene und gegen 0 konvergierende Zhlenfolge n stets lim f( n) = g n gilt, dnn heißt g linksseitiger Grenzwert von f n der Stelle 0. Die symbolische Schreibweise lutet lim f() = g. 0 0 Ist f eine Funktion, die in einem Intervll ( 0, 0 + δ) definiert ist (δ > 0), und eistiert eine Zhl g, so dss für jede in diesem Intervll enthltene und gegen 0 konvergierende Zhlenfolge n stets lim f( n) = g n gilt, dnn heißt g rechtsseitiger Grenzwert von f n der Stelle 0. Die symbolische Schreibweise lutet lim f() = g Bsp C.39 Für die Heviside-Funktion H() gilt lim H() = 0 und lim H() = Bsp C.40 Für die Funktion f() = gilt lim f() = und lim f() =

40 Def C.4 Sei f eine Funktion, die in einem Intervll (, ) definiert ist. Eistiert eine Zhl g, so dss für jede in diesem Intervll enthltene und gegen bestimmt divergierende Zhlenfolge n stets lim f( n) = g n gilt, dnn heißt g Grenzwert von f für. Die symbolische Schreibweise lutet lim f() = g. Sei f eine Funktion, die in einem Intervll (, ) definiert ist. Eistiert eine Zhl g, so dss für jede in diesem Intervll enthltene und gegen bestimmt divergierende Zhlenfolge n stets lim f( n) = g n gilt, dnn heißt g Grenzwert von f für. Die symbolische Schreibweise lutet lim f() = g. Bsp C.4 Für die Funktion f() = gilt lim f() = lim f() = 0. Bsp C.43 Für die Funktion f() = rctn gilt lim f() = π und lim f() = π. Stz C.44 (Rechenregeln für Grenzwerte) Die reellen Funktionen f und g seien in einem Intervll (, b) definiert, evtl. mit Ausnhme des Punktes 0 (, b), und es eistieren die Grenzwerte lim f() und lim g(). Dnn eistieren uch 0 0 die folgenden Grenzwerte, und sie können nch folgenden Regeln berechnet werden: lim c f() 0 = c lim f(), 0 lim [f() ± g()] 0 = lim f() ± lim g(), 0 0 lim [f() g()] 0 = lim f() lim g(), 0 0 f() lim 0 g() = lim f() = 0 lim f() 0 lim g(), 0 lim f() 0. Beim Quotienten wird vorusgesetzt, dss der Nenner nicht Null wird. 40

41 Stz C.45 (Ein wichtiger Grenzwert) Es gilt sin lim 0 =. Beweis Wir betrchten einen Sektor des Einheitskreises mit dem Winkel. Diesem beschreiben wir je ein Dreieck ein und um. sin tn Für die Flächeninhlte gilt folglich cos 0 cos sin tn, lso cos sin cos. Für 0 streben sowohl die linke ls uch die rechte Seite gegen, folglich muss uch der eingeschlossene Wert gegen gehen (Anwendung des Dreifolgenstzes). q.e.d. Folgerung C.46 Es gilt sin( + h) sin lim = cos. h 0 h Beweis Wir folgern zunächst us dem vorngegngenen Stz, dss und dmit ds Zwischenergebnis Folglich gilt sin h lim h 0 h cos h sin h lim h 0 h = lim h 0 h sin( + h) sin lim h 0 h =, ( ) = sin h lim = h 0 h. sin cos h + cos sin h sin = lim h 0 ( h = lim cos sin h h 0 h h sin cos h ) h = cos. q.e.d. 4

42 C.3 Stetigkeit einer Funktion Litertur: [Pp, III.4.3] Def C.47 Eine Funktion f, die in einer Umgebung U( 0 ) einer Zhl 0 definiert ist, heißt stetig n der Stelle 0, wenn der Grenzwert lim f() eistiert und 0 gleich dem dortigen Funktionswert ist, lim f() = f( 0 ), 0 ndernflls heißt sie dort unstetig. Eine Funktion, die in jedem Punkt eines Intervlls stetig ist, wird ls in diesem Intervll stetige Funktion bezeichnet. Folgerung C.48 Eine Funktion ist n Definitionslücken unstetig. Def C.49 Unstetigkeiten n einer Stelle 0 knn mn wie folgt klssifizieren:. Der Grenzwert lim 0 f() ist zwr vorhnden, ber von f( 0 ) verschieden. Dnn spricht mn von einer hebbren Unstetigkeit; mn könnte die Funktion im Punkt 0 so definieren, dss die sie in 0 stetig wird. 4 3 y = (^3 4*^++6) / ( ) y() = y 3 4 * 3 o für, y = f() = für =. 4

43 . Der Grenzwert ist nicht vorhnden. Auch hier knn mn wieder verschiedene Fälle unterscheiden. ) Der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert eistieren und sind endlich, sind ber verschieden voneinnder. Dnn spricht mn von einer Sprungstelle. (Beispiel: Heviside-Funktion) 0.8 Heviside-Funktion y H() = 0 f. < 0 H() = f. >=0 0 b) Der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert sind oder +. Dnn hndelt es sich um eine Polstelle. (Beispiel: f() = ) 8 6 y 4 / c) Mn knn mehrere gegen 0 konvergierende Folgen n mit verschiedenen Grenzwerten der Folgen f( n ) konstruieren. Dnn hndelt es sich um eine wesentliche Singulrität. (Beispiel: f() = sin ) 0.8 y sin(/) Ü C.50 Untersuchen Sie lle Funktionen us Kpitel B uf Stetigkeit und klssifizieren Sie die Unstetigkeitsstellen. Bem C.5 Ebenso wie links- und rechtsseitige Grenzwerte einer Funktion f n 43

44 der Stelle 0 definiert wurden, können uch linksseitige Stetigkeit, und rechtsseitige Stetigkeit, lim f() = f( 0), 0 0 lim f() = f( 0), 0 +0 definiert werden. Diese sind vor llem n den Grenzen bgeschlossener Intervlle von Interesse. Benötigt werden sie ber uch bei Verteilungsfunktionen in der Whrscheinlichkeitsrechnung. Bem C.5 Es gibt uch Funktionen, die in keinem Punkt stetig sind, z.b. { für Q, f() = 0 für Q. Wichtiger sind ber die folgenden Eigenschften stetiger Funktionen. Stz C.53 Summe, Differenz und Produkt zweier stetiger Funktionen sind wieder stetig. Der Quotient zweier stetiger Funktionen ist stetig n Punkten, n denen der Divisor keine Nullstelle ht. Der Absolutbetrg einer stetigen Funktion ist wieder eine stetige Funktion. Stz C.54 (Stetigkeit mittelbrer Funktionen) Wenn f(u) eine stetige Funktion bezüglich u ist und u() eine stetige Funktion bezüglich, und der Wertebereich von u() im Definitionsbereich von f(u) enthlten ist, dnn ist uch die mittelbre Funktion f(u()) stetig bezüglich und es gilt ( ) lim 0 f(u()) = f lim 0 u() = f(u( 0 )). Bsp C.55 Die Funktionen sin +e, sin e, e sin sin, e, sin und sin(e ) sind stetig. Stz C.56 (Zwischenwertstz für stetige Funktionen) Wenn eine Funktion f in einem bgeschlossenen Intervll [, b] stetig ist und in den Endpunkten verschiedene Werte f() und f(b) nnimmt, dnn eistiert zu jeder zwischen f() und f(b) liegenden Zhl C mindestens eine Zhl c [, b], so dss f(c) = C. (Die Funktion nimmt jeden zwischen f() und f(b) liegenden Wert wenigstens einml n.) Folgerung C.57 (Stz von Bolzno) Wenn eine Funktion f in einem bgeschlossenen Intervll [, b] stetig ist und die Funktionswerte in den Endpunkten verschiedene Vorzeichen besitzen, dnn besitzt die Funktion f mindestens eine Nullstelle 0 [, b]. Bem C.58 Eine Anwendung dieses Stzes ist ds Bisektionsverfhren zur Bestimmung von Nullstellen stetiger Funktionen. Stz C.59 (Stz von Weierstrß) Wenn eine Funktion f in einem bgeschlossenen Intervll [, b] stetig ist, dnn besitzt f dort ein bsolutes Mimum M und ein bsolutes Minimum m, d.h., es eistieren Zhlen min, m [, b], so dss m = f( min ) f() f( m ) = M für lle [, b]. 44