Formelsammlung. Mathematik I - III

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1 Formelsmmlug zu de Vorlesuge Mhemik I - III i de Sudiegäge Techische Iformik ud Nchricheechik der FHTE

2 Vorwor zur. Auflge Diese Formel- ud Verfhressmmlug is esde us de Vorlesuge vo Prof. Dr.-Ig. Berhrd Buer im Zeirum WS 94/95 - WS 95/96. Sie h zum Ziel de ehdele Soff i kurzer räger Form zusmmezufsse ud erhe keie Asruch uf Vollsädigkei. Als idele Ergäzug emfiehl sich die "Mhemische Formelsmmlug für Igeieure ud Nurwisseschfler" vo Lohr Pul. Aufgrud der gue Resoz der. Auflge he ich die vorliegede. Auflge im Soff vo Mhe I um die Kiel Differeil- ud Iegrlrechug ud um de Soff vo Mhe III erweier. Veresserugsvorschläge ie er e-mil : iw4frfl@rz.fh-esslige.de. Corigh 997 Frk Fle Ihlsverzeichis Mhemik I. Vekorrechug.... Allgemeies.... Sklrroduk.... Kreuzroduk....4 Sroduk... Zusmmefssug der Produkweduge....5 Aweduge i der lische Geomerie Drsellug vo Gerde ud Eee Umwdlug PAR PARFREI Umwdlug PARFREI PAR Schie Asäde Wikel Liere Alger Mrize Deermie Liere Gleichugssseme... 5 Mhe-Formel Seie I Ihl

3 . Komlee Arihmeik Allgemeies Rechegeseze Aweduge Üerlgerug vo Schwiguge Algerische Gleichuge Nich-lgerische Gleichuge Geiee i der Guß sche Zhleeee Differeilrechug Erse Aleiug elemerer Fukioe Differeiiosregel Imlizie Differeiio Logrihmisches Differeziere Awedug: Kurvediskussio Moooie ud Krümmug Relive Eremwere Wedeuke ud Seluke Verschieug Siegelug ud Sreckug vo Kurve Iegrlrechug Uesimmes Iegrl ud Smmfukio Besimmes Iegrl - Flächeihl Elemere Iegriosregel für esimme Iegrle Iegriosverfhre Grudiegrle Iegrio durch Susiuio Prielle Iegrio (Produkiegrio) Iegrio gerocherioler Fukioe - Prilruchzerlegug Ueigeliche Iegrle Eiige dere häufig eöige Iegrle... 6 Mhemik II 6. Differeilgleichuge ud DGL-Sseme Allgemeie DGL. Ordug Iegrio durch Treug der Vrile Iegrio durch Susiuio... 7 Mhe-Formel Seie II Ihl

4 6. Liere DGL. Ordug Liere DGL. Ordug mi kose Koeffiziee DGL. Ordug die uf DGL. Ordug zurückgeführ werde köe Liere DGL -er Ordug mi kose Koeffiziee... Homogee Lösug ud Sörsz... Resozfll... Komleer Asz für rikuläre Lösug Euler sche DGL Afgs- Rd- ud Eigewerroleme Awedug: Schwigugs-DGL Freie Schwigug Erzwugee Schwigug DGL-Sseme Normlform eier DGL -er Ordug Sseme lierer DGL. Ordug mi kose Koeffiziee... 5 Siliä vo DGL-Sseme Poez- ud Fourier-Reihe Allgemeie Kovergezkrierie Leiiz-Krierium für lerierede Reihe Quoiee- ud Wurzelkrierium Poezreihe Allgemeie Form der Poezreihe Kovergezrdie vo Poezreihe Tlor-Reihe Recheregel für Poezreihe Fehlerschäzug Sezielle Poezreihe Fourier-Reihe Fourier-Reihe für -eriodische Fukioe Sezilfälle -eriodische Fukioe Fourier-Reihe für T-eriodische Fukioe Sezilfälle T-eriodische Fukioe Komlee Form der Fourier-Reihe Zusmmehg zwische komleer ud reeller Drsellug Fourier-Trsformio... 4 Mhe-Formel Seie III Ihl

5 Mhemik III 8. Llcersformio Eiführugsemerkuge ud Defiiio Säze zur Llcersformio Korresodeze zum. Differeiiossz Rückrsformio mi Hilfe der Prilruchzerlegug Flug ud Flugssz Wichige Korresodeze Ergäzuge Llcersformio eies Recheckimulses Llcersformio eriodischer Fukioe Srugfukioe mi Verschieeeil Awedug: Lösug vo DGL ud DGL-Sseme Allgemeies Lösugsverfhre Liere DGL. Ordug Liere DGL. Ordug Zusäzliche Bemerkuge Lösug vo DGL-Sseme Beisiel Vekorlsis Differeilrechug ei Fukioe mehrerer Vriler Prielle Differeiio Tgeileee ud oles Differeil Keeregel für Fukioe vo Vrile Höhere rielle Aleiuge ud Sz vo Schwrz Drsellug vo Kurve Tgeevekor Grdie Vekorfelder ud Poeilfelder Sklr- ud Vekorfelder Poeilfelder Liieiegrle (Areis-/Kurveiegrle) Defiiio des Liieiegrls Bemerkuge zum Liieiegrl Weguhägiges Liieiegrl im Poeilfeld Mhe-Formel Seie IV Ihl

6 . Whrscheilichkeisrechug Komiorik Geordee Sichroe ohe Zurücklege Ugeordee Sichroe ohe Zurücklege Geordee Sichroe mi Zurücklege Ugeordee Sichroe mi Zurücklege Üerlegug mi Bumdigrmm Reche mi Whrscheilichkeie Gleichwhrscheilichkei Addiiossz Mulilikiossz Sz vo der ole Whrscheilichkei Zusmmegeseze Zufllseerimee Sz vo Bes Biomilvereilug... 5 Ahg: Besodere Were rigoomerischer Fukioe Mhe-Formel Seie V Ihl

7 . Vekorrechug. Allgemeies Berg: + + z Richugswikel: cosα cosβ cosγ z cosα cosβ cosγ z cos α+ cos β+ cos γ Addiio Surkio: S-Mulilikio: ± z ± λ z λ λ λ z z ± ± ± z +. Sklrroduk Berechug: z z cosϕ + + z z Orhogoliä: Schiwikel: cosϕ Projekio: cosϕ Projekio: ϕ r r Vorzeiche Richug! Mhe-Formel Seie Vekorrechug

8 . Kreuzroduk Berechug: Besoderheie: Kollieriä: i j k z i j + k z siϕ λ λ λ oder Aweduge: APrllelogrmm + ADreieck z z z z i j k i k j j k i k j i.4 Sroduk Berechug: c c cosϕ ϕ c Besoderheie: esser Berechug üer Deermie (siehe Kreuzroduk)! c c c c c c (zklische Veruschug) c c (Veruschug vo echre Vekore c c äder ds Vorzeiche des Vekorroduks!) Komlriä: c c liege i eier Eee! Aweduge: VS c V Tereder 6 c sekrech rllel i eier Eee lier hägig lier uhägig Vekore Vekore c c c cosϕ siϕ c c c c cosϕ c c Mhe-Formel Seie Vekorrechug

9 .5 Aweduge: lische Geomerie.5. Drsellug vo Gerde ud Eee Gerde: + λ Prmeerdrsellug (PAR) Eee: A + B + Cz + D (Gerde ls Schi zwische Eee) A + B + Cz + D Prmeerfreie Drsellug (PARFREI) + µ + µ Prmeerdrsellug (PAR) A + B + Cz + D Prmeerfreie Drsellug (PARFREI).5. Umwdlug: PAR PARFREI Gerde: Eee: Prizi: sklre Gleichuge mi 4 Ueke werde uf Gleichuge mi Ueke zurückgeführ. (eie Gleichug ch λ uflöse ud i die dere eiseze!) Bs: z + λ + λ + λ z λ λ z + µ + µ + + z z+ d Pukroe mi ergi d! z z.5. Umwdlug: PARFREI PAR Gerde: Prizi:Prmeer eiführe Bs. : z+ 5 4 z z λ 5+ λ 4 λ z λ z λ Bs. : z z λ z + λ + λ z z + λ z Eee: Prizi: Prmeer eiführe A + B + Cz + D D B A A µ z µ C A z D B C A + A + A µ µ z Mhe-Formel Seie Vekorrechug

10 .5.4 Schie Gerde - Gerde: geg: g: g + λ h: h + µ Ahme: g h liege i eier Eee + λ + µ g h Gleichuge für Ueke (λ µ ) LGS muß komle lösr sei sos sid Gerde widschief!!! (Amerkug: PARFREI i PAR umwdel) Gerde - Eee:. Weg: Gerde ud Eee i PAR: g E c λ µ µ Gleichuge für Ueke (λ µ µ ) LGS ch λ uflöse ud i g eiseze Schiuk. Weg: Gerde i PAR Eee i PARFREI: (Seie 6 Bs. 8) g i sklre Gleichuge zerlege ud i E eiseze ch λ uflöse ud i g eiseze Schiuk (gil für eide Wege: flls LGS ich lösr kei Schiuk! g rllel E!) Eee - Eee:. Weg: E E i PARFREI: (Seie 65) sell ereis die Schigrde dr flls Drsellug i PAR verlg: Prmeer eiführe (z λ). M erhäl ei LGS ( f λ f λ z λ) Gerde i PAR. Weg: E: E + µ + µ E: E + λ c + λ d gleichseze: E E (Seie 66 Bs. 4) Gleichuge für 4 Ueke Lösug des LGS i Ahägigkei eier Ueke (z.b. λ ) sez m u λ ud λ i E ei erhäl m g i PAR.5.5 Asäde Puk - Eee: HNF: d Puk - Eee mi Lofußuk: A P + B P + C Pz + D A + B + C.) g ermiel us Normlevekor vo E ud Puk P.) Q durch Schi g E (siehe oe. Weg).) d Q P Puk - Gerde:.) E g durch P (Richugsvekor Normlevekor + Pukroe P).) Q durch Schi g E (siehe oe. Weg).) d Q P.5.6 Wikel Gerde - Gerde: Wikel zwische de Richugsvekore: cosϕ Gerde - Eee: Gegewikel (zu 9 ) zwische Richugsvekor der Gerde ud Normlevekor der Eee: siϕ Eee - Eee: Wikel zwische de Normlevekore der Eee: cosϕ Mhe-Formel Seie 4 Vekorrechug

11 . Mrize Schreiweise: A ( ) Recheregel: A± B ( ± ). Liere Alger ik ik... k... : : : : : : i ik i m mk m A ( ) ( ) ik ik ik A ( ) Mhe-Formel Seie 5 Liere Alger ( m ) ik ( m ) A( m ) B( q ) C( mq ) (dei is c ik ds Sklrroduk Wichig: A B B A der i. Zeile vo A mi der k. Sle vo B.) T Trsoiere: A( m ) A( m ) (-e Zeile wird zur -e Sle!) Iveriere: A A mi A A de Es gil: A A A A E. Deermie ud ( A ) A Defiiio: D A de (ur für Mrize) + D D Crmer-Regel: A + D D Recheregel: - de A de - D we Zeile oder Sle ur ehäl - D we Zeile oder Sle rooriol oder gleich sid - Verusch m el. Sle oder Zeile so äder sich ds Vorzeiche - gem. Fkore eier Zeile oder Sle köe usgeklmmer werde A T. Liere Gleichugssseme GAUSS-Algorihmus: r q Lösrkei vo -Sseme: ihomoge: A homoge: A de A Lösug ur rivile Lösug de A Lösuge oder Lösuge Lösuge Die Deermie eier -Mri ergi sich us dem Produk der Hudigolelemee! i... k... m Zeileide Sleide Lösuge für: r q ud Lösuge für: r q Lösug für: r ud q

12 . Komlee Arihmeik. Allgemeies Drsellugsforme: z + j z* ( + j )* j z r (cosϕ+ j si ϕ) z* r (cosϕ j si ϕ) z r e j ϕ z* r e j ϕ Umrechug: r cosϕ r siϕ r z + ϕ rc z rg z rc!!! we Re < z : rc ϕ + 8!! j π 45 4 e j j + j e e j8 e e ± ± jπ π j 9 j e j e π j 9 j j e e j j π 45 4 j j e e j5 + j e e π j 4 j5 j e e j π 4. Rechegeseze Addiio; Surkio: z ± z ( + j ) ± ( + j ) ( ± ) + j ( ± ) Mulilikio: z z r e r e r r e Divisio: jϕ jϕ j ϕ+ ϕ z z r e r e jϕ jϕ r j e r ϕ Mhe-Formel Seie 6 Komlee Arihmeik ϕ oder durch kojugier komlee Erweierug: z j j j + + z + j + j j jϕ Poeziere: z r e r e j Wurzelziehe: z r e ϕ+ k 6 j ϕ k... (-) + j j +

13 . Aweduge.. Üerlgerug vo Schwiguge (ei gleichem!) A B C Es gil: A cos ω+ ϕ + B cos ω + ϕ C cos ω+ ϕ Ae + Be Ce j ϕa j ϕb j ϕc Vorgehesweise:.) Umwdlug der Zeifukioe i komlee Eoeilform.) Addiio - grfisch - lgerisch durch: - Umrechug i Komoeeform - Addiio - Rückführug i Eoeilform.) Rückführug der komlee Form i die Zeifukio.. Algerische Gleichuge Algerische Gleichuge -e Grdes he immer Lösuge. Dei gil: - sid lle Koeffiziee reell d sid die Lösuge eweder reell oder kojugier komle! - gi es komlee Koeffiziee läß sich keie llgemeie Aussge üer die Lösuge mche!.. Nich-Algerische Gleichuge Lösug : - Asz: z + j - Treug ch Rel- ud Imgiäreil - Lösug des LGS Achug: - Es k sei dß Rel- oder Imgiäreil verschwide: ;! - We ; ich reell werde keie Lösug der Ausggsgleichug!..4 Geiee i der Guß sche Zhleeee Solche Geiee werde durch Nich-Algerische Ugleichuge eschriee. Lösug: - riziielle Behdlug wie ei Nich-Algerische Gleichuge - d: Tesuk eiseze zur Besimmug des Geiees Besoderhei: Kreis: z z r Mhe-Formel Seie 7 Komlee Arihmeik

14 4. Differeilrechug 4. Erse Aleiug elemerer Fukioe Fukio f Aleiug f v v Poezfukio Wurzelfukio Gerochee Fukio Trigoomerische Fukioe Arkusfukioe m v v si cos co m m m v v cos si cos si rcsi rccos rc + rcco + Eoeilfukioe e e Logrihmusfukioe Herelfukioe l l log sih cosh h coh l cosh sih cosh sih Mhe-Formel Seie 8 Differeilrechug

15 4. Differeiiosregel Fkorregel C f C f f + f f v + u u u v u v v v d d du Summeregel f f f Produkregel u v Quoieeregel Keeregel F u Keeregel: "Äußere Aleiug ml iere Aleiug" oder f F u u d du d 4. Imlizie Differeiio Eie Fukio i imlizier Form F wird gliedweise ch der Vrile differezier woei ls eie vo hägige Fukio zu erche is. Desshl muß eim Differeziere vo die Keeregel gewede werde! Aschließed wird ch ' ufgelös. Beisiel: d F d Logrihmisches Differeziere Mche Fukioe lsse sich ich ch de isher eke Regel differeziere. Solche Fukioe müsse d vorher uf geeigee weise ehdel werde. Beisiel: ( > ) d d.) Logrihmiere: l l l.) Differeziere: like Seie: reche Seie: d l l d d d d d l l + l + d + + d l l Mhe-Formel Seie 9 Differeilrechug

16 4.5 Awedug: Kurvediskussio 4.5. Moooie ud Krümmug Die. Aleiug f gi die Seigug der Kurvegee ud esimm somi ds Moooie-Verhle der Fukio: f > : mooo wchsed f < : mooo flled Die. Aleiug f esimm ds Krümmugsverhle der Fukio: f > :Likskrümmug f < :Rechskrümmug 4.5. Relive Eremwere Hireichede Bediguge für lokle Eremwere: E E E E.) f ud f < Hochuk.) f ud f > Tiefuk 4.5. Wedeuke ud Seluke Hireichede Bedigug für Wedeuke: f ud f (VZW (f " ) Richug egl!) Ei Seluk is ei Wedeuk mi wgerecher Tgee. Hireichede Bedigug: f f ud f Verschieug Siegelug ud Sreckug vo Kurve Ersez m ) f ) f + f durch so wird die Kurve um i -Richug verschoe um i -Richug verschoe c) f der -Achse gesiegel d) f der -Achse gesiegel e) f der. Wikelhlierede gesiegel f) f mi dem Fkor i -Richug gesreck g) f mi dem Fkor / i -Richug gesreck h) f Teile uerhl der -Achse werde ihr gesiegel Mhe-Formel Seie Differeilrechug

17 5. Iegrlrechug 5. Uesimmes Iegrl ud Smmfukio mi F f Eie differezierre Fukio F heiß Smmfukio oder uesimmes Iegrl vo f. M schrei: F f f d F + C woei C die Iegrioskose drsell ud elieige reelle Zhlewere ehme k. Die Iegrio is somi die Umkehrug der Differeiio es gil dher: d f d f d 5. Besimmes Iegrl - Flächeerechug Smmfukio der seige osiive Fukio f Is F so ereche sich die Fläche zwische der Kurve der -Achse ud de Gerde ud ls esimmes Iegrl vo f i der Form: A f d F F F Die Aleiug eies esimme Iegrls is immer gleich Null: d d f d Bei der Flächeerechug gi es zwei Vereifchuge: für gerde Fukioe: f d f d für ugerde Fukioe: Die Fläche zwische zwei Kurve ereche sich üer die Igrldifferez: o A f f d u f d woei fo ud fu die oere zw. uere Grezfukio drselle. ACHTUNG: Bei der Flächeerechug muß riziell der Berg des esimme Iegrls geilde werde ußerdem muß m ufgrud eveueller Vorzeichewechsel der Fukio geu uf die Feslegug der Iegriosgreze che! Mhe-Formel Seie Iegrlrechug

18 5. Elemere Iegriosregel für esimme Iegrle Fkorregel k f d k f d c +... f d f Summeregel f g d f d g d Veruschug der Iegriosgreze Aufslug eies esimme Iegrls Belieige Iegriosvrile Aleiug ch der oere Greze + + f d F F f d F F c d d 5.4 Iegriosverfhre 5.4. Grudiegrle f d f d f d f d f d f u du f d f d Mhe-Formel Seie Iegrlrechug (siehe Flächeihlsfukio) + + d + C ( ) + d rcsi C rccos + C d l + C + + d rc C rcco + C e d e + C sih d cosh + C d + l C cosh d sih + C si d cos + C h cosh d + C cos d si + C coh sih d + C cos d + C d rsih + C l C + co si d + C d rcosh + C l + + C r h + C l d rcoh + C l C C für < >

19 5.4. Iegrio durch Susiuio Die Mehode der Iegrio durch Susiuio eseh durch Umkehrug der Keeregel der Differeilrechug ud h zum Ziel ei Iegrl i eifchere Grud- oder Smmiegrle zu zerlege. Dei geh m ch folgede füf Schrie vor: + + Beisiel: f I d.) Besimmug eier Hilfsfukio: u + du.) Trsformio des Differeils: d du d.) Durchführug der Susiuio: + d u du u du 4.) Ermilug der Smmfukio i u: udu u + C 5.) Rücksusiuio: I + + C 9 Wichig dei is der Schri die Umrechug des le Differeils d i ds eue Differeil du; dies erhäl m durch Aleiug der Susiuiosgleichug u(). Wichige Iegrlsusiuioe: Iegrl Susiuio eues Iegrl f+ d u + ; du d f u du f f d f f d f g g d u g ; du g d f u du u f du f ; d udu u + C u f du f ; d du l u + C u 5.4. Prielle Iegrio (Produkiegrio) Die Rechevorschrif für die Prielle Iegrio oder Produkiegrio eseh durch Iegrio der Produkregel der Differeilrechug: u v d u v u vd Die Iegrio gelig we sich der Iegrd i Fkore u() ud v () mi folgede Eigeschfe zerlege läß: Zu v () k eifch eie Smmfukio ermiel werde ud ds Iegrl uf der reche Seie läß sich löse! Beisiel: cos d si si d u ; u si + cos + C v cos ; v si Mhe-Formel Seie Iegrlrechug

20 5.4.4 Iegrio gerocherioler Fukioe - Prilruchzerlegug Jede uech gerocheriole Fukio läß sich eideuig drselle ls Summe eier gzriole Fukio ud eier ech gerocheriole Fukio. Gzriole Fukioe lsse sich leich iegriere ech gerocheriole Fukioe müsse ers i Summe vo Prilrüche gemäß folgeder Telle zerleg werde: Neerfkor zugehöriger Asz (eifch) A A A (doel) c (eifch) B+ C + + c B + C B C + + c (doel) + + c c Vorgehesweise:.) Die gegeee Fukio muß ech gerocheriol sei we ich Polomdivisio!!.) Aslug vo Lierfkore durch usklmmer oder roiere (Neerullselle!)..) Zerlegugssz ch Telle. 4.) Mi Hueer durchmuliliziere. 5.) Besimmug der Koeffiziee durch Grezwermehode (eiseze der Neerullselle) oder eiseze eifcher Were (z.b....) ud Lösug des esehede LGS. Beisiel: A A f HN A + + A + Grezwermehode: : A A : 4 A A 4 Ergeis: f Mhe-Formel Seie 4 Iegrlrechug

21 Die resulierede Prilrüche lsse sich jez folgedermße iegriere: llgemei: A d A l + C A A d A m m m B+ C d A + C Bei Iegrle der Form + + c d muß m de Bruch weier zerlege ud zwr so dß im erse Teil der Summe im Zähler die Aleiug des Neers seh ud der zweie Teil der Summe im Zähler eie Kose ehäl. Beisiel: I d? Iegrio durch Susiuio (.Summd: u + + 5;. Summd: u + ): + Ergeis: I l rc C Ueigeliche Iegrle Is eie Uedlichkeisselle vo f() so defiier m: u f d lim f d u (ei ueigeliches Iegrl) Eisier ei edlicher Grezwer so heiß ds Iegrl koverge; is der Grezwer ueigelich so heiß ds Iegrl diverge. Is eie Uedlichkeisselle vo f() so erhäl m ds der uere Greze ueigeliche Iegrl durch eie esrechede Defiiio. Beisiel: I u d d u π rcsi rcsi u I limrcsi u u Is der Iegriosereich ueschräk so defiier m: f d lim f d ; f d lim f d Sid die Grezwere edlich so heiße die ueigeliche Iegrle koverge derflls heiße sie diverge. Mhe-Formel Seie 5 Iegrlrechug

22 5.6 Eiige dere häufig eöige Iegrle d + d + l + für d + l + d l d + d + + l + + l + d + + d + 5 d + + d + + d + d cos si si si cos d si d 4 si si si si + d für + si d cos si cos d + si cos si si cos cos + d + für + si cos si si cos d cos d si si cos + si d si cos d für + d l cos d cod l si co co d e d e e e sid si cos + e d e e e cos d cos + si + l d l l d l l + m+ m d für m m+ l l l d l m+ [ ] ( ) ( ) ( ) Mhe-Formel Seie 6 Iegrlrechug

23 6. Differeilgleichuge 6. Allgemeie DGL. Ordug 6.. Iegrio durch Treug der Vrile - Serierre DGL Awedug ei DGL s der Form: Lösug durch Eiführug vo: f g f g g f + d ddurch ergi sich: g d f d d durch Iegrio ergi sich: g d f d G F C d Häufig ergee sich Terme der Form: l + l * hier is es sivoll eie Iegrioskose mi l C * zu wähle ddurch ergi sich: C d C C e C e l * * 6.. Iegrio durch Susiuio T I: DGL s der Form: f + + c Mhe-Formel Seie 7 Differeilgleichuge Susiuio: u + + c u u (*) differeziere ch : u + mi f u ergi sich u f u + du du serierre DGL: + f u d d + f u Iegrio ergi u. Rücksusiuio: u i Susiuiosgleichug (*) eiseze ud ch uflöse. T II: DGL s der Form: f Ählichkeisdgl. Susiuio: u u u (*) dmi: u differeziere ergi: u+ u mi f u ergi sich: f u u+ u u f u u du serierre DGL: d f u u du f u u Rücksusiuio ergi. d

24 6. Liere DGL. Ordug DGL s der Form: + g r. Schri: Lösug der homogee DGL + g serierr! d d g d l G + l C * G h C e C g d. Schri: Lösug der ihomogee DGL durch Vriio der Kose Asz: C (*) + C C eiseze i ihomogee DGL: r r C C d K r d K C + C + g r + eiseze i Asz (*): + [...]!!! (siehe DGL) Allgemei: h + r G mi h K d ud e Eie dere Möglichkei iee uch ei geeigeer "Sörsz" zur Besimmug vo (siehe Liere DGL -er Ordug mi kose Koeffiziee) 6. Liere DGL. Ordug mi kose Koeffiziee DGL s der Form: + r. Schri: Lösug der homogee DGL h + C e. Schri: Lösug der ihomogee DGL Möglichkei : Vriio der Kose (s.o.) Möglichkei : "Sörsz" Mhe-Formel Seie 8 Differeilgleichuge

25 6.4 DGL. Ord. die uf. Ord. zurückgeführ werde köe durch Susiuio i zwei esodere Fälle: T A: f (... fehl!) Susiuio: u Beisiel: + Su: u du du u + u d d du serierge DGL: d + u u d Rücksu: u d l + C + C + C C T B: f (... ud fehle!) Mulilikio mi ("iegriereder Fkor") f d f d mi d d wege: d d f d Beisiel: d f d d ; ; Mulilikio mi : d d + mi ; ergi sich mi d d + C + K C + C C d! mi K K d Mhe-Formel Seie 9 Differeilgleichuge

26 6.5 Liere DGL -er Ordug mi kose Koeffiziee ( ) ( ) DGL s der Form: r. Schri: Lösug der homogee DGL mi chrkerisischer Gleichug Asz: us der -e Aleiug vo wird die -e Poez vo λ ( ) ( ) ( ) λ + λ λ+ jedes Polom -e Grdes h geu Nullselle λ k die eweder reell oder rweise kojugier komle sid. Zu jedem λ k gehör eie Fudmellösug: k e λ (Euler-Asz) k + + Beisiel DGL. Ordug: chrkerisische Gleichug: λ + λ+ Lösug dieser Qudrische Gleichug uerscheide Fälle: λ Fll : λ λ R llgemeie Lösug: h C e + C e Fll : λ λ λ λ λ R llgemeie Lösug: C + C e Fll : λ ± j C llgemeie Lösug: e C cos + C si We (kei i DGL) λ λ? C + C e h h h λ. Schri: Lösug der ihomogee DGL mi "Sörsz" M ermiel eie llgemeie Form für die der Form der Sörfukio r() geß is ud führ eie sivolle Koeffizieevergleich durch. Dei sid zwei Fälle zu uerscheide: Normlfll ud Resozfll. Beseh die Sörfukio us zwei oder mehrere ddiive Aeile r () ud r () so ermiel m zwei uerschiedliche rikuläre Lösuge ud ud ddier sie. Aschließed muß m de Asz ml leie ud i die DGL eiseze. Nch Vereifchug führ m de Koeffizieevergleich durch. Sörfukio r() e k cos m sim cos m + si m e e k k cos m si m k k e cos m + e si m Asz ohe Resoz A A + A A Ae k A cos m + A sim k k A e cos m + A e si m Mhe-Formel Seie Differeilgleichuge

27 Achug: Resozfll! Im Resozfll muß ei modifizierer Asz durchgeführ werde. Resoz lieg vor we die (oder ei Teil der) Sörfukio eier Fudmellösug der DGL esrich oder we eie der folgede Siuioe vorlieg: Sörfukio r() ) eifcher Eigewer ) s-fcher Eigewer k k e cos m + e si m ) k jm eifche Eigewere ) k jm s-fche Eigewere Asz mi Resoz A A + A A s A + A A A e k k cos m + A e sim s k k A e cos m + A e sim Beisiel: Schri: chr. Gl. λ 6λ 6 λ λ 8. Schri: r + keie Resoz C e + C e A + A A i DGL: 6A 6A 6A + Koeffizieevergleich: : 6 A : 6A 6A Schri: h + C e + C e 64 8 h 8 9 A A 8 64 Mhe-Formel Seie Differeilgleichuge

28 Komleer Asz für die rikuläre Lösug k k + + cos si cos ϕ k jm + Φ Re k jm + ϕ Re k k Sörfukioe der Form: r e cos m + sim e cos m + Φ zugehöriger Asz: e A m A m A e m komlee Drsellug: r r mi r e e mi A e e Aleie vo ud eiseze i die zugehörige komlee DGL führ zu eier komlee Besimmugsgleichug für A ud. Beisiel: e cos (Eigewere --; keie Resoz!) r e e e j e j cos j j j Asz: Ae e Ae e + ϕ ϕ Aleie: j j Ae e ϕ j jϕ j j j ϕ 4 Ae e j Ae e j j j i DGL: e e 8e ϕ Ae e 4j + 4 j + 8e e j j j j : π j jϕ 4 Ae j ϕ 4+ 4j 8 Ae 4 e 8 π j jϕ 8 π Ae e 4 A ϕ 4 4 π π j j 4 j 4 e e e e Re e cos π Euler sche DGL DGL s der Form: ( ) r f! Susiuio: e ; ; e e Eiseze i DGL ergi eie DGL mi kose Koeffiziee für ()!... Rücksusiuio: üer: l ergi Lösug: f()! (erseze lle e durch!) Mhe-Formel Seie Differeilgleichuge

29 6.7 Afgs- Rd- ud Eigewerroleme Afgswerrolem Merkml: mehrere Bediguge der gleiche Selle : Bs. DGL. Ordug: Afgsediguge ; Rdwerrolem Merkml: mehrere Bediguge uerschiedliche Selle : + Bs.: + llg. Lösug: Ccos Csi ) Ccos+ Csi C π π π C cos C si C + si P ) Ccos+ Csi C π Ccosπ+ Csi π C Widersruch! keie Lösug für dieses RWP! c) Ccos+ Csi C π Ccosπ+ Csi π C kei Widersruch! C is frei wählr! llg. Lösug für dieses RWP: P C si Eigewerrolem Bs. schwigede Sie: + ω llg. Lösug: C cos ω + C si ω C + C C siω l l Ccos ωl + Csi ωl mi C C Gesmschwigugsild: C ichrivil lösr flls: siω l π ω l π ω C elieig l P C si ω C si si π l π l Mhe-Formel Seie Differeilgleichuge

30 6.8 Awedug: Schwigugs - DGL 6.8. Freie Schwiguge DGL s der Form: + + c c δ Mi de Akürzuge: δ ; ω ; ωd ω δ ; D ω ergi sich: + δ + ω mi de Lösuge: λ δ± δ ω Fll : δ D λ ± j ω C cos ω + C si ω ugedämfe Schwigug Fll : < δ< ω < D< schwche Dämfug δ λ δ± j ωd e C cos ωd + C si ωd Fll : δ ω D δ λ δ C + C e Fll 4: δ> ω D> λ λ δ± δ ω Ce + Ce λ Grezfll srke Dämfug 6.8. Erzwugee Schwiguge DGL s der Form: + δ + ω ω cos ω E cosωe ϕ mi Lösug: Allgemeier Fll: δ > D> Fll : ω ω ϕ π E < < < uerkriisch π Fll : ωe > ω < ϕ < π üerkriisch Fll : ω ω ϕ π E ω E δωe ; ϕ ω ω + 4δ ω ω ωe E E E ωe δ Mi de Akürzuge: u ; D ; V ω ω E ergi sich: V u + 4D u Du ; ϕ u V... Amliudegg... Phsegg Mhe-Formel Seie 4 Differeilgleichuge

31 6.9 DGL - Sseme 6.9. Normlform eier DGL -er Ordug Jede DGL -er Ordug läß sich i ei Ssem vo DGLs. Ordug umwdel. M führ dzu Zusdsgröße ei ud erhäl ei Ssem der Zusdsgleichuge: Geg: f... ( ) ( ) 4 : : : ( ) f... Bs I komker Mrischreiweise: A + r Normlform Sseme lierer DGL.Ordug mi kose Koeffiziee DGL s der Form: A r + he die Lösug: h +. Schri: Lösug des homogee Ssems.) A λ.) c e ; λc e λ ichrivil lösr für λ chrk. Gleichug Eigewere.) λc A c A λe c 4.) de A E 5.) λ λ... eiseze i () c (i) () i () i λ i 6.) c e Fudmellösugsvekore ( ) ( ) ( ) 7.) K + K K Dieses Schem fukioier für eifche reelle Eigewere! Mhe-Formel Seie 5 Differeilgleichuge

32 Bs: A mi A A λe c! 4 λ de A λe! λ 6λ+ 5 4 λ λ 5; λ (Eigewere) mi λ 5 : c c mi λ : c c 5 + K e K e Whl: c c c () Whl: c c - c ( ) Nee reelle k A uch eifche Pre kojugier Komleer Eigewere esize: ( ) Zu j erhäl m komlee Fudmellösugsvekore: ce ± j () ( ) Re ; Im sid d die reelle Fudmellösugsvekore. Beisiel: λ 4 λ A + de A E λ λ+ 5 λ ± j λ Eiseze vo λ j 4 + j i LGS: c j c j c j ( j) + Komleer Lösugsvekor: ce e cos j si + si jcos si cos + e e je cos jsi cos + si Lösug ls Lierkomiio: () ( ) e K K si + cos K + K e K cos K si Siliä vo DGL-Sseme: Ei DGL-Ssem A heiß: ) sil we lle Lösugsfukioe eschräk sid ) smoisch sil we gil: Re< λ i für lle i... c) grezsil we es Eigewere uf der imgiäre Achse gi. Mhe-Formel Seie 6 Differeilgleichuge

33 . Schri: Lösug des ihomogee Ssems Zur Lösug der ihomogee DGL A + r wird ei geeigeer Sörsz gemäß der Form der Sörfukio r() gemch: Fll.) Sörfukio vo der Form: r α : e (i) vom Grd m ) ud kei Eigewer! (keie Resoz) q : lle q (i) vom Grd m! q ) ud kei Eigewer! (keie Resoz) q α : e lle q (i) vom Grd m! q Fll.) Sörfukio vo der Form: r () + ( cos β ) si β Vorussezug: λ ± β j kei Eigewer! (keie Resoz) () ( ) d cos β + d si β + Bs: e 4 5. homogee Lösug siehe oe: h K e K e 5 +. ihomogee Lösug: Asz mi + e + eiseze i DGL ud :e e (Keeregel!) Koeffizieevergleich ergi: ; ; ; e Allgemeie Lösug: h + K e K e e Mhe-Formel Seie 7 Differeilgleichuge

34 7. Poez- ud Fourier-Reihe 7. Allgemeie Kovergezkrierie 7.. Leiiz-Krierium für lerierede Reihe Für lerierede Reihe gil:ilde die Koeffiziee k eie mooo fllede Nullfolge so is die Reihe koverge. 7.. Quoiee- ud Wurzelkrierium q k lim qw lim k k k + Q k k q < Kovergez q > Divergez q keie Aussge möglich! 7. Poezreihe 7.. Allgemeie Form der Poezreihe k k ( is Ewicklugsuk! ) k 7.. Kovergezrdie vo Poezreihe r lim k k k + zw. r lim k k k 7.. Tlor-Reihe Die Fukio f() sei i der Umgeug der Selle elieig of differezierr d gil: k f k f f f f k + + ( ) +...!! k Mhe-Formel Seie 8 Poez- ud Fourier-Reihe

35 7..4 Recheregel für Poezreihe Poezreihe dürfe ierhl ihres Kovergezereiches elieig of gliedweise differezier ud iegrier werde. Der Kovergezereich äder sich ddurch ich. Poezreihe mi gleichem Ewicklugsuk dürfe i ihrem gemeisme Kovergezereich ddier surhier ud mulilizier werde. Der eue Kovergezereich is der kleise vo de ursrügliche ( r mi(r r ) )! u De Quoiee zweier Poezreihe f ilde m ch folgedem Schem: v Umformug: f v u mi llgemeiem f() ds Produk f v usreche ud schließeder Koeffizieevergleich mi u(). Dei greze die Nullselle des Neers de Kovergezereich ei! Bei eifche Fukioe erhäl m die Poezreihe of durch geeigee Susiuio ud schließedes Eiseze i eke Poezreihe. Vorsich ei Susiuioe mi Wikelfukioe!!! Berechug ich-elemerer Iegrle: häufig durch Susiuio erseze Poezreihe gliedweise iegriere ud Iegriosgreze eiseze z.b.: e d mi der Reihe für e ud der Susiuio z - ergi sich: 4 6 e durch Iegrio ud Eiseze der Iegriosgreze:!! 5 7 e d ! 5! 7 u Berechug vo Grezwere uesimmer Ausdrücke: z.b.: lim v escheided sid ch der Poezreiheewicklug für u() ud v() die Koeffiziee der iedrigse Poeze! 7..5 Fehlerschäzug Geuigkei der Reiheewicklug is zum -e Glied Für lerierede Reihe gil ch Leiiz: Fehler < < "Fehlergreze" (der Uerschied zwische Reihegrezwer ud Teilsummegrezwer is kleier ls ds erse verchlässige Glied!) Durch Lösug der Ugleichug < "Fehlergreze" erhäl m die Azhl der Glieder die owedig sid um die Reihesumme mi eier esimme Geuigkei zu ereche. Mhe-Formel Seie 9 Poez- ud Fourier-Reihe

36 7..6 Sezielle Poezreihe + k... r k k k 4 k k + ( + ) ( + ) r e e k k k k k k! 8! r e k k k k k!!! r si r ( k+ ) 5 k ( k+ ) k! 8! 5 + 5! k r si cos r si r 4 5 cos e 6 r e r π cos 9 l r l r Mhe-Formel Seie Poez- ud Fourier-Reihe

37 7. Fourier-Reihe 7.. Fourier-Reihe für -eriodische Fukioe Jede i - < < defiiere sückweise seige Fukio f() läß sich drselle ls kovergee rigoomerische Reihe der Form: f + k cosk + k sik k π mi: f k cos k d k... π π π f k si k d k... π π seziell: f d π π π ( Ds Asoluglied is der Mielwer / Gleicheil / Offse der eriodische Fukio f(). ) Die Fourier-Reihe kovergier für jedes gege: ) f() jeder Seigkeisselle ) f+ + f jeder Srugselle D die Iegrde -eriodisch sid k uch jedes dere Iervll der Läge ls Iegriosiervll verwede werde. 7.. Sezilfälle -eriodischer Fukioe ) f() is eie gerde Fukio ( f() f(-) ): π k f cos k d k... k k... π f + k cosk k ) f() is eie ugerde Fukio ( f() -f(-) ): π k k... k f si k d k... π f si k k k Mhe-Formel Seie Poez- ud Fourier-Reihe

38 7.. Fourier-Reihe für T-eriodische Fukioe Allgemei läß sich eie T-eriodische Fukioe mi T π ω zw ω π T drselle durch: mi: ud: f + cosω+ siω T T f cos ω d... T T T f si ω d... T T T T f d 7..4 Sezilfälle T-eriodischer Fukioe ) f() is eie gerde Fukio ( f() f(-) ): T 4 f cos ω d T cosω f + ) f() is eie ugerde Fukio ( f() -f(-) ): T 4... f si ω d... T f si ω Mhe-Formel Seie Poez- ud Fourier-Reihe

39 7..5 Komlee Form der Fourier-Reihe Üer die Eulersche Formel lsse sich si- ud cos-fukio drselle ls: j j cos e + e j j j si e e Dmi läß sich eie elieige reelle Fourier-Reihe mi der Periode ewickel zu: f + cos+ si Dei gil: j c + c e + c e f c e c weier gil: j j * ; c j ; c c + j * c + c c + c Re c * c c c c jim c j Re c Im c Komlee Fourier-Reihe mi Periode f c e π j j c f e d π π Komlee Fourier-Reihe mi Periode T f c e c T T jω jω f e d T π ω T Mhe-Formel Seie Poez- ud Fourier-Reihe

40 7..6 Zusmmehg zwische komleer ud reeller Drsellug Es gil: f + cosω+ siω + A cosω+ ϕ c e mi: A + c ud ϕ rc rc c Weier gil: j j * j j c e + c e c e + c e Re c e Re j cos + jsi cos + si j jω 7..7 Fourier-Trsformio Im Gegesz zur Fourier-Reihe die eie eriodische Fukio ls Summe vo hrmoische Schwiguge mi eiem diskree Frequezsekrum drsell sell ds Fourier-Iegrl die Ewicklug eier icheriodische Fukio i ei koiuierliches Sekrum mi seig vriiereder Frequez dr. Dei e m de Üergg vo der eie zur dere Form Fourier-Trsformio. Formel: jω F ω f e d jω f F ω e dω π ("Fourier-Iegrl") dei is f() die Zeifukio ud F() is die Sekrldiche oder "Fourier-Trsformiere". I der Techik wird häufig s der Kreisfrequez die Frequez f ω eigesez. π Ddurch ergi sich eie dere Drsellugsform: jπ f S f s e d jπ f s S f e df Mhe-Formel Seie 4 Poez- ud Fourier-Reihe

41 8. Llcersformio 8. Eiführugsemerkuge ud Defiiio Im Gegesz zur Fourierrsformio die eie zweiseiige Trsformio drsell ud ei der die Zeifukioe im Bereich - < < defiier sei köe sell die Llcersformio eie eiseiige Trsformio dr ei der ur Zeifukioe für zugelsse sid. Dmi uch wchsede Fukioe rsformier wede köe wird zusäzlich ei kovergezerzeugeder Fkor e α eigeführ. Die Llcersformio wird d durch eie Fourierrsformio dieser erweiere Fukio f * () defiier: mi: f für * < α f e für * * π α + π j f j f ergi sich: f f e d f e d Durch Eiführug der komlee (Kreis-)Frequez α+ j π f α+ jω ergi sich: f * f e d F f (Llce-Iegrl) Hiermi is die Llcersformio defiier. Dei is zu eche dß: C is ud Re{} > (s "" wird of uch "s" verwede!) für die Fukio f () defiier is ls: f < f für oder ls: f f σ (Der Teil σ wird of weggelsse m muß ih sich er immer dzudeke! We ei Verschieeeil vorhde is muß σ T uf jede Fll geschriee werde!) die Eiheissrugfukio ud defiier ls: σ für < Dei is σ für Die Eiheissrugfukio wird zur Drsellug vo schisweise defiiere Fukioe verwede z.b.: f σ σ T i Der Eiheisimuls oder Dirc-Imuls () is die Aleiug der Eiheissrugfukio. δ σ Verschiedee Vorgehesweise zur Llce-Trsformio ud -Rückrsformio: f F.) Korresodezeelle.) Korresodezeelle.) Säze zur Llcersformio.) Säze: vor llem Flug ud PBZ.) Llce-Iegrl.) Iegrl (für us ich lösr) Mhe-Formel Seie 5 Llcersformio F f

42 8. Säze zur Llcersformio f () Lieriä + Addiiossz f + f () Ählichkeissz f; > F F + F F () Verschieugssz f σ ; > e F (4) Dämfugssz e f F + (5). Differeiiossz f F f + (6). Differeiiossz f (7) Iegriossz f τ dτ F ( ) F (8) Flugssz f * f F F f (9). Edwersz lim lim F (). Edwersz lim f lim F 8.. Korresodeze zum. Differeiiossz f F f F f+ f F f+ f+ f F f + f + f ) f ( F f f f Rückrsformio mi Hilfe der Prilruchzerlegug Eie komliziere gerocheriole Fukio im Frequezereich läß sich ich so ohe weieres i de Zeiereich zurückrsformiere. Um eie Rückrsformio durchführe zu köe is es erforderlich die Fukio i Teilfukioe zu zerlege (PBZ). Diese werde d eizel üer Telle ud Säze zurückrsformier ud m Schluß lle ddier. Mhe-Formel Seie 6 Llcersformio

43 8.. Flug ud Flugssz Defiiio: Uer der Flug zweier Fukioe f () ud f () verseh m die Oerio: f f * f τ f τdτ τ Ds Ergeis der Flug is eie Fukio i Ahägigkei vo. Besimmug des Terms f τ.) Siegelug vo f τ der -Achse es eseh f us f τ τ τ.) Verschieug vo f τ um i -Richug ergi f dei gil: > : Verschieug ch rechs! < : Verschieug ch liks! Bei sückweise defiiere Fukioe sid Flluerscheiduge ezüglich der Iegriosgreze zu mche! i zwei Schrie: Weier gil: die Flug is kommuiv f * f f * f Aufgrud dieser Kommuiviä is es rsm zu üerlege welche der eide Fukioe m verschie. Meises lsse sich e-fukioe mi Verschieeeil reliv leich iegriere higege is es of sehr schwierig rigoomerische Fukioe mi Phseverschieug zu iegriere. Beisiel: f e σ ; f σ σ T f f T e τ * σ τ σ τ σ τdτ τ für < τ e e dτ e für < T T τ T e e d e e für T τ Flugssz: Die Mulilikio im -Bereich esrich der Flug im -Bereich (ud umgekehr). F F f f * f τ f τdτ τ Mhe-Formel Seie 7 Llcersformio

44 8. Wichige Korresodeze F f F f ) δ 8) ) ) 4) 5) 6) 7) 8) 9) ) ) ) ) 4) 5) 6) 7) σ 9) σ )! ) si ) cos ) sih 4) cosh 5) e e 6) e 7) 8) 9) + e + + e e + + e ) ) e ) ) e e 4) e e e e e e e si e + cos c π e π si si cos cos si si cos cos si cos si si cos + cos si e si c e + c e + e c c c Mhe-Formel Seie 8 Llcersformio

45 8.4 Ergäzuge 8.4. Llcersformio eies Recheckimulses f T für < < Ti σ σ Ti sos e Verschie m diese Imuls um T so erhäl m ch dem Verschieugssz: f T T e T i e T T i 8.4. Llcersformio eriodischer Fukioe Die Fukio f () sei uf < < T defiier ußerhl dieses Iervlls sei f (). Durch eriodische Forsezug für > eseh die Fukio f() mi f(+t)f(). Für die zugehörige Llcersformiere gil u: f F f F e T Beisiel: eriodischer Recheckimuls A für Ti f < f + T f für T < T F i A e e T i T 8.4. Srugfukioe mi Verschieeeil ACHTUNG: Fukioe wie z.b. f σ lsse sich ich direk mi Hilfe des Verschieugsszes rsformiere (weil eiml ud eiml - ls Fukiosrgume seh)! Hier geh m z.b. folgedermße vor:.) Verschieug der Fukio f() im -Bereich so dß die Srugfukio zu σ wird:.) Trsformio vo f*(): F * f + σ + + σ * + +.) Zurückschiee der Fukio im -Bereich durch Awedug des Verschieugsszes: * F e F e + + M k diese Fukio ürlich uch direk üer ds Llce-Iegrl rsformiere häufig is er die Awedug vo Säze ud Korresodezeelle scheller! Mhe-Formel Seie 9 Llcersformio

46 8.5 Awedug: Lösug vo DGL ud DGL-Sseme 8.5. Allgemeies Lösugsverfhre.) Ausggsuk is eie liere DGL mi kose Koeffiziee..) Die DGL miels Llcersformio i eie lgerische Gleichug umforme..) Lösug der lgerische Gleichug im -Bereich (Frequezereich). 4.) Rückrsformio dieser Lösugsfukio i de -Bereich ergi die Lösug der DGL Liere DGL. Ordug Ausggs-DGL: + g Afgsedigug: () G + Llcersformiere: Y + Y G Lösug im -Bereich: Y Liere DGL. Ordug Ausggs-DGL: + + g Afgsediguge: () '() G Llcersformiere: Y + Y + Y G Lösug im -Bereich: Y Zusäzliche Bemerkuge.) Die Lösug vo DGL mi der Llcersformio is vor llem d voreilhf we m sückweise seige Sörfukioe h..) Bei dieser Vorgehesweise werde die Afgsediguge uomisch mi erücksichig. Sid die Afgswere uek oder ich der Selle gegee so schrei m s der Terme () zw. '() die Kose C zw. C ud erhäl dmi die llgemeie Lösug der DGL. Durch eiseze der Afgsediguge erhäl m u die Besimmugsgleichuge für die Koeffiziee ud dmi die sezielle Lösug des AWP. Häufig ergi sich er mi dem Verschieugssz eie eifchere Lösugsmöglichkei!.) Berche m die Lösug der Bildfukio (Gleichug im -Bereich) so fide sich i dere Neer ds chrkerisische Polom der DGL; die Neerullselle sid dere Eigewere! 4.) Außerdem ruch m sich ei dieser Mehode keie Gedke üer Resoz mche d uch diese uomisch mierücksichig wird Lösug vo DGL-Sseme Prizi:.) DGL s rsformiere..) Lösug des esehede LGS ud dmi Besimmug der Bildfukioe..) Rückrsformio ller Bildfukioe oder Rückrsformio ur eier Bildfukio ud Besimmug der dere Lösugsfukioe üer die DGL. Mhe-Formel Seie 4 Llcersformio

47 8.5.6 Beisiel: Besimmug vo () () ud z() us folgedem DGL-Ssem mi Afgsediguge: z z + z z 5 Trsformio: Z X X Y Z 5 Y + Z X Z X + Y + Y + Z 5 Y Z Y + Z 5 + Z A B + C Z + PBZ: 5 A + + B + + C + : 5 5A A : + C C : 5 + B+ B Z Z Rückrsformio: z e + 4 e cos + e si (eim hiere Term "4" usklmmer ud Neer qudrisch ergäze!) (de milere Term uf "cos-form" rige ud de "Res" wieder dzuzähle.) us DGL: z z e + 4 e cos + e si e + 4 e cos e si + e si + e cos e + 4 e si e cos e + 4 e si + e cos e cos e si e + e si + e cos Mhe-Formel Seie 4 Llcersformio

48 9. Vekorlsis 9. Differeilrechug ei Fukioe mehrerer Vriler 9.. Prielle Differeiio Eie Fukio mehrerer Vriler wird riell differezier idem m jeweils eie Vrile ls veräderliche Vrile ud die dere ls Kose erche. Am Beisiel eier Fukio mi zwei Vrile sid d: f f f f ud f f die rielle Aleiuge (Aleiugsfukioe) der Fukio z f ch der Vrile zw. woei die dere Vrile (hier zw. ) ls Kose erche wird. Bei der Berechug sid die üliche Aleiugsregel zu eche! Die rielle Aleiug eier Fukio wird i der Regel eiem esimme Puk P eöig ud esrich d dem Tges des Seigugswikels der Kurve i der esrechede Richug. M schrei d: f f f P f α f f f P f β woei α de Richugswikel i der z-eee ud β de Richugswikel i der z-eee drsell. De Wer der rielle Aleiug erhäl m durch eiseze der Koordie des Pukes. 9.. Tgeileee ud oles Differeil Die Gleichug der Tgeileee eier Fukio z f mi z f ereche sich zu: z z + f + f i eiem Puk P z f i Die Tgeileee esrich eier lierisiere Näherug der Fukio z eiem esimme Puk P z. Uer dem ole Differeil dz eier Fukio z f zu de Zuwächse d ud d verseh m de Zuwchs lägs der Tgeileee: oles Differeil der Selle ( ) dz f d+ f d f dz d f + d f d + f d oles Differeil der elieige Selle ( ) Mhe-Formel Seie 4 Vekorlsis

49 Beisiel: im Puk P / / 6 Prielle Aleiuge der Fukio z f + f 4+ f P 4 + f f P 6 Toles Differeil: dz d d 9.. Keeregel für Fukioe vo Vrile Häge die Vrile ud der Fukio z f vo eiem Prmeer so erhäl m eie Ahägigkei der z-were vo diesem Prmeer: z z f Formles Dividiere des ole Differeils dz durch d liefer die Keeregel für Fukioe vo Vrile: dz d f d f d + d d 9..4 Höhere rielle Aleiuge ud Sz vo Schwrz ud f eeflls wieder Fukioe vo Bilde die rielle Aleiuge f Vrile so heiße dere rielle Aleiuge d rielle Aleiuge. zw. (och) höherer Ordug. I der Ide-Schreiweise ergee sich hier vier rielle Aleiuge der Form: f f ; f f ; f f ; f f I der Differeilschreiweise erhäl m hier (Reihefolge eche!): f f f f f f ; ; ; f f f f f ud f heiße gemische rielle Aleiuge. Nch dem Sz vo Schwrz sid gemische rielle Aleiuge uhägig vo ihrer Reihefolge flls sie seig sid. Beisiel: f f f f f ; (flls die Fukioe seig sid!) Mhe-Formel Seie 4 Vekorlsis

50 9. Drsellugsforme vo Kurve I der Eee Im Rum Elizie Form: f z f Imlizie Form: F Fz r z Prmeerdrsellug: ; ; ; z z Vekorielle Drsellug: r 9. Tgeevekor d d dz r i j z k i j k d d d z Grdie Bei eier Fukio z f r f is die Aleiug vo z() ch gleich der Seigugsäderug vo z() lägs r(). Die Berechug erfolg üer ds ole Differeil ud die Keeregel: dz d f Dei heiß grd f d d f d d f f f f f f grd f r f f f f Für Höheliie gil: f cos ud Grdie (Grdieevekor) vo z grd f r dz d grd f r f. Drus ergi sich: Der Vekor grd f h ses die Richug des särkse Asiegs vo z f ud is i jedem Puk P sekrech zur Höheliie f cos. Mhe-Formel Seie 44 Vekorlsis

51 9.5 Vekorfelder ud Poeilfelder 9.5. Sklr- ud Vekorfelder Wird jedem Puk P ( z) R R eie reelle Zhl zugeorde so srich m vo eiem Sklrfeld. Die Zhl u f z heiß Poeil. Wird jedem Puk so srich m vo eiem P R Pz ei Vekor R eee räumliche Vekorfeld. F Fz F F F z F z F z zugeorde 9.5. Poeilfelder Ei seiges Vekorfeld F ( z) we ei Poeil u f ( z) F ( z) F ( z) heiß Poeilfeld F ( z) eisier für ds gil: F ( z) grd u f f f ; F f ; F f z. Drus folg: F f z Iegriliäsediguge: F is ei Poeilfeld flls im: eee Vekorfeld räumliche Vekorfeld F F f f F F F F f f fz fz z F F fz fz z Die Poeilfukio f ( z) erhäl m durch Iegrio üer die Feldkoordie: f F d+ g F d+ g f z F z d + g z F z d + g z F z dz + g Mhe-Formel Seie 45 Vekorlsis

52 Beisiel: Gegee is ei Vekorfeld F F F F + zsi cos + z + si f f f z Hdel es sich um ei Poeilfeld? We j wie lue die Poeilfukio?.) Die Iegriliäsediguge ergee: F F F F F F ; si cos ; z z d.h. es hdel sich um ei Poeilfeld..) Zur Besimmug der Poeilfukio geh m hier m eifchse so vor: f es gil: F + z f z + z d+ g z + z + g z () f! gz weier gil: F + zsi cos + (us ()) gz zsi cos () f! gz ud: F + si + z z gz si z jez wird us (): gz si dz z si + h ud us (4) (): us () (4) ud (5) folg schließlich: gz! zsi cos + h zsi cos h h c (us ()) (5) f z + z + z si + c () (4) Mhe-Formel Seie 46 Vekorlsis

53 9.6 Liieiegrle (Areis-/Kurveiegrle) 9.6. Defiiio des Liieiegrls Es sei Fz ei Vekorfeld r eie Rumkurve C (mi ) ud r der Tgeevekor diese Kurve d is ds Liieiegrl des Vekorfeldes F lägs der Kurve C defiier ls: C C W F r dr F d+ F d+ F dz F + F + F z d F rd 9.6. Bemerkuge zum Liieiegrl d d.) Es gil: dr r dr d d r d d dz zd.) Is C geschlosse lso r r so schrei m ds Umlufiegrl C Fdr.) Wird C i umgekehrer Richug durchlufe (Schreiweise: -C) C C d gil: Fdr Fdr C C C C C C C 4.) Weier gil: F F dr Fdr Fdr ; Fdr+ Fdr + Fdr C + + K F dr K F dr C 5.) Ds Liieiegrl häg im llgemeie ses vom gewähle Weg!!! 9.6. Weguhägiges Liieiegrl im Poeilfeld Gegee is ei Vekorfeld Fz ud ei Sklrfeld f z. Ds Liieiegrl C Fdr F rd is weguhägig we:.) Fdr ds ole Differeil du der Fukio u f z is: du F dr Fd + Fd + Fdz f d + f d + f z dz.) F ls Grdie eier Poeilfukio u f z drsellr is: F f F F f grd u F f.) die Iegriliäsediguge erfüll sid d.h. des Vekorfeld ei Poeilfeld is. Folgeruge der Weguhägigkei:.) Es gil: Fdr flls keie Sigulriä im ier des Iegriosweges lieg!.) Ds Liieiegrl läß sich üer die Poeildifferez zweier Puke ereche: P c Fdr fp fp P Mhe-Formel Seie 47 Vekorlsis

54 Beisiele:.) Gegee: u is: Fz + z z Fr + ud ud C: r r C Fdr Fr rd + d 65.) Wichig is für diese Vorgehesweise dß die Kurve i Prmeerform oder i vekorieller Drsellug gegee ud der Wereereich des Prmeers gegee is. Is die Kurve ders defiier so muß ei Prmeer eigeführ werde z.b.: Gegeee Kurve C: Gerde zwische A(/) ud B(/) r werde dß zur Zei : r A dies is erfüll für: r mi Prmeer u muß () ud () so esimm ud zur Zei r B wird; :.) Ei mgeisches Feld um eie gerde sromdurchflossee Leier uf der z-achse h die Form: H z ; ; + cos Ds Liieiegrl eies Kreises um de Leier wird mi C: r si π ud: Hr si cos r si cos zu: π Hdr si + cos d π we C de Leier i z-richug umschließ (Sigulriä)! Für jede dere geschlossee Kurve die de Leier ich umschließ gil: 4.) Ds elekrische Feld um eie Pukldug h die Form: E K Die Poeilfukio lue: ϕ P ϕ P K * + + z + + z Hdr Dmi ergi sich eie Sug ls Poeildifferez: U ϕ P ϕ P z Mhe-Formel Seie 48 Vekorlsis

55 . Komiorik. Whrscheilichkeisrechug.. Geordee Sichroe ohe Zurücklege Die Azhl N der mögliche Vriioe vo k us Elemee is: (Vriioe ohe Wiederholug)! N k! k Soderfll k N! : Azhl der Permuioe verschiedeer Elemee:.. Ugeordee Sichroe ohe Zurücklege Die Azhl N der mögliche Komiioe vo k us Elemee is: (Komiioe ohe Wiederholug) k Elemee k k N k!... + ; k! k! k!... k k Für die Azhl N der Permuioe vo Elemee mi... Grue vo... gleiche Elemee gil:! N!!... k.. Geordee Sichroe mi Zurücklege Es werde k vo Elemee gezoge; Azhl N der mögliche Aorduge: (Vriioe mi Wiederholug) N... k..4 Ugeordee Sichroe mi Zurücklege Es werde k vo Elemee gezoge; Azhl N der mögliche Aorduge: (Komiioe mi Wiederholug) N + k k..5 Üerlegug mi Bumdigrmm Sehr schell geh so eie Üerlegug we m sich ei Bumdigrmm ersell ud d die Zhl der Äse ro Eee mieider mulilizier! Dies is ürlich ur ei eier reliv kleie Ereigismege möglich. Mhe-Formel Seie 49 Whrscheilichkeisrechug

56 . Reche mi Whrscheilichkeie.. Gleichwhrscheilichkei Es gil: Ω A Ω Ω ; ; A A ud A Ω ud: A A Ω... Ereigismege.. Addiiossz AB A+ B AB mi: AB AB oder mi Gegeereigis für drei Ereigisse ABC ABC We sich die Ereigisse gegeseiig usschließe (disjuke Ereigisse!) gil: AB.. Mulilikiossz Whrscheilichkei vo A we B scho eigeree is: Whrscheilichkei vo B we A scho eigeree is: B A Außerdem gil: AB A B/ A B A/ B AB A / B B AB / A AB B AB A Zwei Ereigisse A B mi A ud B heiße uhägig flls: / / AB A B oder A B A B A B..4 Sz vo der ole Whrscheilichkei Gegee seie die Ereigisse A A... A mi: A A... A Ω ud Ai Aj für i j D gil für ei elieiges Ereigis B Ω: k k k... B A B/ A A B/ A A B/ A Disjuke Zerlegug: B A B A B A B Ω Mhe-Formel Seie 5 Whrscheilichkeisrechug

57 ..5 Zusmmegeseze Zufllseerimee Bei eiem zusmmegeseze Zufllseerime erhäl m.) die Whrscheilichkei für Elemerereigisse idem m die Whrscheilichkeie lägs des zugehörige Pfdes im Bumdigrmm mulilizier (Pfdregel)..) die Whrscheilichkei für ei Ereigis A idem m die Whrscheilichkeie ller zu A gehörede Elemerereigisse ddier (Summeregel)...6 Sz vo Bes A B/ A A / B B Zerlegug vo Ω i ΩA A mi A A ud A A A B/ A / A B / A+ A B / A B A B/ A+ A B/ A A B..7 Biomilvereiluge Whrscheilichkei ei Versuche mi de Eizelwhrscheilichkeie - geu k ml Erfolg zu he: k k A k fbk k k ; ; B B f k; ; f k; ; - höchses k ml Erfolg zu he (kei ml ei ml zwei ml... k ml): k B i k f i ; ; - mideses k ml Erfolg zu he: B i k k B i k f i ; ; k k < k f i ; ; - mideses k ml ud höchses m ml Erfolg zu he (k < m): m B i k k m f i ; ; Mhe-Formel Seie 5 Whrscheilichkeisrechug

58 Besodere Were rigoomerischer Fukioe π π π π π π π π 5π 7π 5π 4π π 5π 7π π π π π 7 π 5 π π 4 π 5 π 7 π π 5 π π π 6 4 π π π 4 π 6 si co cos si cos π cos si + si cos π α π 8 8 α π 5 π π π π π π π π π 5π 997 Frk Fle