Die wichtigsten Lehrbücher bei HD. Höhere Mathematik. Ein Begleiter durch das Studium. Bearbeitet von Karlheinz Spindler

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Die wichtigsten Lehrbücher bei HD. Höhere Mathematik. Ein Begleiter durch das Studium. Bearbeitet von Karlheinz Spindler"

Transkript

1 Die wictigsten Lerbücer bei HD Höere Matematik Ein Begleiter durc das Studium Bearbeitet von Karleinz Spindler Nacdruck Buc. 893 S. Hardcover ISBN Format (B x L): 22 x 28,5 cm Weitere Facgebiete > Matematik > Matematik Allgemein scnell und portofrei erältlic bei Die Online-Facbucandlung beck-sop.de ist spezialisiert auf Facbücer, insbesondere Rect, Steuern und Wirtscaft. Im Sortiment finden Sie alle Medien (Bücer, Zeitscriften, CDs, ebooks, etc.) aller Verlage. Ergänzt wird das Programm durc Services wie Neuersceinungsdienst oder Zusammenstellungen von Bücern zu Sonderpreisen. Der Sop fürt mer als 8 Millionen Produkte.

2 Karleinz Spindler Höere Matematik Ein Begleiter durc das Studium Verlag Harri Deutsc

3 Höere Matematik

4

5 Karleinz Spindler Höere Matematik Ein Begleiter durc das Studium

6 Der Autor Prof. Dr. Karleinz Spindler studierte Matematik, Mecanik und Gescicte an der Tecniscen Hocscule Darmstadt. Nac Abscluß seines Diploms und des Staatsexamens für das Leramt an Gymnasien war er als Wissenscaftlicer Mitarbeiter an der TH Darmstadt tätig und wurde dort über ein Tema aus der Strukturteorie Liescer Algebren promoviert. Anscließend arbeitete er zunäcst zwei Jare lang als Visiting Assistant Professor an der Louisiana State University in Baton Rouge (USA) und dann fünf Jare lang bei einem Unternemen der Raumfartindustrie am European Space Operations Centre (ESOC) in Darmstadt. Im Jar 1997 wurde er zum Professor für Matematik und Datenverarbeitung an die Facocscule Wiesbaden (seit dem 1. September 2009 Hocscule ReinMain) berufen. Dort leitet er den Studiengang Angewandte Matematik, der im Wintersemester 2010/2011 seinen Betrieb aufnam und an dessen Konzeption er maßgeblic beteiligt war. Die Webseite zum Buc ttp://www.arri-deutsc.de/1872.tml Der Verlag Wissenscaftlicer Verlag Harri Deutsc GmbH Gräfstraße Frankfurt am Main Bibliograpisce Information der Deutscen Nationalbibliotek Die Deutsce Nationalbibliotek verzeicnet diese Publikation in der Deutscen Nationalbibliograpie. Detaillierte bibliograpisce Daten sind im Internet unter ttp://dnb.d-nb.de abrufbar. ISBN Dieses Werk ist ureberrectlic gescützt. Alle Recte, auc die der Übersetzung, des Nacdrucks und der Vervielfältigung des Buces oder von Teilen daraus sind vorbealten. Kein Teil des Werkes darf one scriftlice Genemigung des Verlages in irgendeiner Form (Potokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfaren), auc nict für Zwecke der Unterrictsgestaltung, reproduziert oder unter Verwendung elektroniscer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Zuwiderandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Ureberrectsgesetzes. Der Inalt des Werkes wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoc übernemen Autor und Verlag für die Rictigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratsclägen sowie für eventuelle Druckfeler keine Haftung. Korrigierter Nacdruck der 1. Auflage (2010), 2011 c Wissenscaftlicer Verlag Harri Deutsc GmbH, Frankfurt am Main, 2011 Druck: fgb. freiburger grapisce betriebe (www.fgb.de) PrintedinGermany

7 Meiner Frau und meinen Kindern in Liebe und Dankbarkeit

8

9 Vorwort Im Engliscen ist Matematics (oder, wie Newton noc scrieb, Matematicks ) ein Pluralwort, und auc im Französiscen sprict man von les matématiques. In der Tat at sic die Matematik, erwacsen aus den einfacen Anwendungen des Zälens von Gegenständen und des Messens von Größen (und damit den grundlegenden Disziplinen der Aritmetik und der Geometrie) in eine Vielzal von Einzeldisziplinen aufgefäcert, von denen mance auf den ersten Blick nur wenig miteinander verbindet. Diese Tendenz zur Zersplitterung wird verstärkt durc die Vielfalt der Anwendungsgebiete, in denen matematisce Metoden eingesetzt und aus deren Blickwinkel eraus matematisce Begriffe und Verfaren entwickelt werden. Matematik durcdringt mittlerweile fast alle Lebensbereice, und matematisce Metoden werden angewandt, um versciedenste naturwissenscaftlice, tecnisce, wirtscaftlice und gesellscaftlice Prozesse zu bescreiben, zu versteen und zu optimieren. Trotz der Vielfalt irer Teildisziplinen und irer Anwendungsbereice at sic die Matematik eine erstaunlice Eineit bewart, und viele der faszinierendsten matematiscen Einsicten und Entdeckungen besteen gerade darin, Zusammenänge zwiscen Sacveralten aufzudecken, die auf den ersten Blick nicts miteinander zu tun aben. Diese Eineit kann nur erreict werden durc einen Prozeß der Abstraktion, der versuct, im Dickict vieler Einzelfakten nac grundlegenden allgemeinen Strukturen und Prinzipien zu sucen. Erkenntnisse und Einsicten entsteen ja nict durc das bloße Sammeln einzelner Tatsacen und Beobactungen, sondern erst durc deren Deutung und Einordnung in einen zugrundeliegenden Sinnzusammenang. Daß die Suce nac grundlegenden Strukturen und Prinzipien nict vergeblic ist daß es diese also überaupt gibt und daß wir Menscen auc das Potential aben, sie zu finden liegt zum einen daran, daß die Welt, in der wir leben, kein blindes Caos ist, sondern ein gescaffener, nac Maß, Zal und Gewict geordneter Kosmos, zum andern daran, daß wir selbst Teil dieses gescaffenen Kosmos sind und als vernunftbegabte Wesen die Fäigkeit aben, Gottes Gedanken nac-zudenken und obwaltende Ordnungsprinzipien aufzudecken, wenn auc aufgrund der Endlickeit und Bescränkteit unserer Existenz nur stückweise und in Teilbereicen. Als Disziplin at die Matematik einen eigentümlicen Doppelcarakter; sie ist sowol Königin der Wissenscaften und Verkörperung reinsten Denkens als auc Dienstmagd vieler Anwendungsdisziplinen und Metodenreservoir zur Lösung versciedenster Aufgaben der Praxis. Viele Anwendungsdisziplinen (wie etwa Bild- und Signalverarbeitung, Kontrollteorie, Kontinuumsmecanik und Materialwissenscaften, Codierungsteorie und Kryptograpie) aben eine naezu vollständige Matematisierung erfaren und erfordern den Einsatz komplexer und tiefgeender matematiscer Metoden. Die Gescicte der Matematik ist in der Tat gekennzeicnet durc ein Wecselspiel zwiscen dem Lösen ganz praktiscer Probleme und einem nacfolgenden tieferen Nacdenken über die Natur dieser Probleme, das dann oft eine Eigendynamik entwickelt und aus dem sic rein teoretisce Fragestellungen ergeben (die dann aber oft in unerwarteter Weise wieder auf die Praxis zurückwirken). Dieses Wecselspiel zeigt sic beispielsweise im Wirken von Carl Friedric Gauß ( ), der das bemerkenswerte Talent atte, den matematiscen Kern von Fragestellungen in Anwendungsdisziplinen wie Astronomie, Vermessungswesen und Elektrizitätslere erauszuscälen und dadurc einerseits matematisce Disziplinen ungemein befructete oder garerstbegründete (Ausgleicsrecnung, Warsceinlickeitsrecnung, Differentialgeometrie, Feldteorie, Topologie), andererseits aber auc seine matematiscen Einsicten nutzte, um außerordentlic effektive Lösungsverfaren für die von im untersucten Anwendungsprobleme zu entwickeln. Tatsäclic wird in vielen Fällen die Lösung eines ganz konkreten Einzelproblems erst durc eine eer abstrakte Herangeensweise ermöglict, one die man vor lauter Bäumen den Wald nict siet. Abstraktion in der Matematik ist also nict Selbstzweck, sondern Mittel zum begrifflicen Verständnis von Sacveralten und zum Finden von Lösungen für ganz konkrete Aufgabenstellungen. Man kann durcaus Matematik um irer selbst willen (sozusagen als l art pour l art ) betreiben, aber auc wenn man eer an der Verwendung matematiscer Metoden zur Lösung von Anwendungsproblemen interessiert ist, ist man gut beraten, sic ein klares Verständnis matematiscer Begriffe anzueignen und matematisce Teorien geistig zu durcdringen, statt sie nur rezeptartig anzuwenden. Die matematisc zunemend komplexeren Anforderungen in tecnisc-industriellen Anwendungen erfordern vor allem ein fundamentales Verständnis abstrakter Zusammenänge. Eine Ausbildung in traditioneller Ingenieursmatematik, deren Scwerpunkt auf der Vermittlung von Recenrezepten und deren Umsetzung auf dem Computer liegt, wird diesen Anforderungen immer weniger gerect. So erfordert etwa die matematisce Modellierung eines pysikaliscen, cemiscen oder tecniscen Sacveralts in erster Linie ein großes Repertoire an Matematik. One dieses Repertoire kann eine Ausbildung in Modellierung per se auf nicts zurückgreifen. Insbesondere erfordert der sacgerecte Einsatz matematiscer Metoden zur Lösung von Anwendungsproblemen Verständnis für die Erfassung naturwissenscaftlicer Konzepte durc matematisce Begriffsbildungen: Ableitungen als Änderungsraten, Integration als Aggregation von Einzelgrößen zu einer Gesamtgröße, Differentialformen als Flüsse, Integralsätze als Ausdruck von Bilanzgleicungen, Gruppen zur Bescreibung von Symmetrien, Differentialgleicungen als Entwicklungsgleicungen dynamiscer Systeme, und so weiter. Ic abe mic daer beim Screiben dieses Buces bemüt, die inter matematiscen Begriffsbildungen steckenden Motivationen deutlic werden zu lassen.

10 Dies erscien mir um so wictiger, als zuweilen auc die Anwendung matematiscer Metoden auf neuartige Praxisaufgaben zu einer Neubewertung und Erweiterung längst etablierter matematiscer Begriffe fürt. Ein gutes Beispiel ierfür ist die Entwicklung der matematiscen Kontrollteorie, in der konkrete Anwendungsprobleme zu einer kritiscen Befassung und Auseinandersetzung mit grundlegenden Konzepten wie dem Ableitungsbegriff für Funktionen und dem Lösungsbegriff für Differentialgleicungen und damit zur Herausbildung neuer matematiscer Teorien fürten (nictglatte Analysis, scwace Lösungsbegriffe etwa Viskositätslösungen für partielle Differentialgleicungen, Beandlung gewönlicer Differentialgleicungen mit unstetiger recter Seite). Das Verältnis zwiscen matematiscer Teoriebildung einerseits, Anwendung matematiscer Metoden auf Praxisprobleme andererseits ist also ein wecselseitiges. Ic überlasse es einem Würdigeren als mir, ierzu noc einige Anmerkungen zu macen, und zitiere (im Kasten rects) eine am 8. September 1930 in Königsberg gealtende Rundfunkansprace von David Hilbert ( ), einem der bedeutendsten Matematiker des früen 20. Jarunderts. (Es andelt sic um einen Auszug aus einer Rede mit dem Titel Naturerkennen und Logik, die Hilbert beim Kongreß der Vereinigung deutscer Naturwissenscaftler und Ärzte ielt.) Die Entsteung dieses Buces ist untrennbar verbunden mit den konzeptionellen Vorarbeiten für den Studiengang Angewandte Matematik, der im Wintersemester 2010/2011 seinen Betrieb am Studienort Wiesbaden der Hocscule ReinMain aufnam und inneralb dessen dieses Buc als Lerbuc eingesetzt wird. Dennoc andelt es sic nict um ein Buc über Anwendungen der Matematik; sein Ziel ist vielmer die Vermittlung eines soliden und tragfäigen Grundlagenwissens in matematiscen Sclüsseldisziplinen, auf dem eine spätere Einarbeitung in matematisce Spezialdisziplinen oder Anwendungsgebiete problemlos aufbauen kann. Das Buc will nict nur matematisces Metodenwissen vermitteln, sondern auc Verständnis für die Herausbildung matematiscer Begriffe und Teorien wecken, Zusammenänge zwiscen versciedenen matematiscen Disziplinen aufzeigen und den Anwendungsreictum der Matematik wenigstens andeuten. Ic offe ferner, daß beim Lesen des Buces auc etwas von der Scöneit und Klareit der Matematik deutlic wird. Zu seen, wie sic dict gewobene Teoriegebäude aus (ganz wenigen und ser einfacen) geeignet gewälten Grundbegriffen entwickeln lassen und wie sic solce Teoriegebäude zur Bescreibung, zum Verständnis und zur Gestaltung der pysiscen Welt einsetzen lassen, ist (in den Worten Harro Heusers) eine geistige Erfarung öcsten Ranges, um die kein Student betrogen werden darf. Zu dieser geistigen Erfarung geört es auc, vertraut zu werden mit der Scärfe matematiscer Begriffsbildungen, der (anfangs oft pedantisc anmutenden) Genauigkeit bei der Formulierung von Definitionen und Das Instrument, welces die Vermittlung bewirkt zwiscen Teorie und Praxis, zwiscen Denken und Beobacten, ist die Matematik; sie baut die verbindende Brücke und gestaltet sie immer tragfäiger. Daer kommt es, daß unsere ganze gegenwärtige Kultur, soweit sie auf der geistigen Durcdringung und Dienstbarmacung der Natur berut, ire Grundlagen in der Matematik findet. Scon Galilei sagt: Die Natur kann nur der versteen, der ire Sprace und die Zeicen kennengelernt at, in der sie zu uns redet; diese Sprace aber ist die Matematik, und ire Zeicen sind die matematiscen Figuren. Kant tat den Ausspruc: Ic beaupte, daß in jeder besonderen Naturwissenscaft nur so viel eigentlice Wissenscaft angetroffen werden kann, als darin Matematik entalten ist. In der Tat: Wir beerrscen nict eer eine naturwissenscaftlice Teorie, als bis wir iren matematiscen Kern erausgescält und völlig entüllt aben. One Matematik ist die eutige Astronomie und Pysik unmöglic; diese Wissenscaften lösen sic in iren teoretiscen Teilen geradezu in Matematik auf.diesewiediezalreicen weiteren Anwendungen sind es, denen die Matematik ir Anseen verdankt, soweit sie solces im weiteren Publikum genießt. Trotzdem aben es alle Matematiker abgelent, die Anwendungen als Wertmesser für die Matematik gelten zu lassen. Gauß sprict von dem zauberiscen Reiz, den die Zalenteorie zur Lieblingswissenscaft der ersten Matematiker gemact abe, ires unerscöpflicen Reictums nict zu gedenken, woran sie alle anderen Teile der Matematik so weit übertrifft. Kronecker vergleict die Zalenteoretiker mit den Lotopagen, die, wenn sie einmal von dieser Kost etwas zu sic genommen aben, nie mer davon lassen können. Der große Matematiker Poincaré wendet sic einmal in auffallender Scärfe gegen Tolstoi, der erklärt atte, daß die Forderung die Wissenscaft der Wissenscaft wegen törict sei. Die Errungenscaften der Industrie zum Beispiel ätten nie das Lict der Welt erblickt, wenn die Praktiker allein existiert ätten und wenn diese Errungenscaften nict von uninteressierten Toren gefördert worden wären. Die Ere des mensclicen Geistes, so sagte der berümte Königsberger Matematiker Jacobi, ist der einzige Zweck aller Wissenscaft. Wir dürfen nict denen glauben, die eute mit pilosopiscer Miene und überlegenem Tone den Kulturuntergang propezeien und sic in dem Ignorabimus gefallen. Für uns gibt es kein Ignorabimus, und meiner Meinung nac auc für die Naturwissenscaft überaupt nict. Statt des töricten Ignorabimus eiße im Gegenteil unsere Losung: Wir müssen wissen. Wir werden wissen.

11 der Sorgfalt und Strenge bei der Durcfürung matematiscer Beweise. Ic abe mic daer beim Screiben dieses Buces um Lesbarkeit bemüt, aber nict um den Preis des Verwässerns, des Weglassens von Beweisen oder des Vermeidens unbequemer Begriffsbildungen. Ein Matematikbuc ist anstrengend zu lesen und eignet sic nur in begrenztem Maße als Bettlektüre; dieses Buc ist ier keine Ausname. Es liest sic am besten mit Papier und Bleistift in Griffweite, um Recnungen und Überlegungen aktiv naczuvollzieen. Die einzelnen Abscnitte können von irem logiscen Aufbau er in derjenigen Reienfolge durcgearbeitet werden, in der sie im Buc ersceinen, aber Umstellungen sind auf vielerlei Art möglic; wie in der Praxis verfaren wird, ängt vom jeweiligen Curriculum ab. Was den Aufbau und Inalt anget, so will ic kurz einige der Punkte auffüren, die mir beim Screiben des Buces wictig waren. Herauspräparieren propädeutiscer Kapitel. Es ist in Matematikstudiengängen vielfac üblic, einfürende Temen (mengenteoretisce und aussagenlogisce Grundlagen, vollständige Induktion, Zalbegriff, elementare Kombinatorik usw.) in die Anfängervorlesungen zur Analysis und zur Linearen Algebra zu integrieren, obwol sie dort tematisc eigentlic gar nict ingeören. In diesem Buc wurde solces propädeutisce Material in separate Kapitel ausgegliedert, die jeweils für sic beandelt werden können. Dies erleictert auc die Verwendung des Materials in untersciedlicen Lerveranstaltungen und Studiengängen. Sorgfältige Grundlegung. Ic abe viel Wert darauf gelegt, ein durc und durc solides Fundament für spätere matematisce Aktivitäten zu legen. Daer werden auc (vermeintlic) einface und aus der Scule bekannte Temen wie elementare Zalenteorie, Brucrecnung oder Elementargeometrie beandelt. Dabei bietet das Buc weit mer als nur eine Wiederolung des Sculstoffs: die Darstellung ist matematisc streng, knüpft Bezüge zu späteren Temen und scält jeweils die zugrundeliegende matematisce Struktur eraus (Ringe und Körper beim Umgang mit Gleicungen, angeordnete Körper beim Umgang mit Ungleicungen, Gruppen beim Umgang mit Symmetrien in kombinatoriscen Problemen). Die reellen Zalen werden in geometriscer Weise eingefürt, wobei der Grenzwertbegriff (der implizit im verwendeten Dedekindscen Scnittaxiom steckt) zunäcst vermieden wird; dies erlaubt u.a. eine grenzwertfreie Einfürung der Winkelfunktionen. Durc diese sorgfältige Aufbereitung von bereits in der Scule beandelten Temen (wie später dann auc der Differentialund Integralrecnung) ist das Buc auc in Leramtsstudiengängen einsetzbar. Früe Einfürung abstrakter Begriffe. Abstrakte Begriffe werden nict scamaft vermieden, sondern ganz bewußt und ser frü explizit gemact. Ein Beispiel ist etwa der Begriff der Quotientenstruktur, der bereits in der Scule vielfac implizit benutzt wird, one klar erausgearbeitet zu werden (Kardinalzalen als Äquivalenzklassen von Mengen, Brüce als Äquivalenzklassen von Zalenpaaren, Vektoren als Pfeilklassen). Abstraktion wird in diesem Buc nict als etwas Unangenemes und möglicst zu Vermeidendes beandelt, sondern als etwas ser Wünscenswertes, das begrifflice Klareit und universelle Einsetzbarkeit matematiscer Metoden überaupt erst ermöglict und an das man sic früzeitig gewönen sollte. Insbesondere werden algebraisce, ordnungsteoretisce und topologisce Strukturen frü definiert, und die Existenz solcer Strukturen in versciedenen Situationen wird systematisc erausgearbeitet. Zalreice durcgerecnete Aufgaben und Beispiele. Das Buc entält eine Vielzal komplett durcgerecneter Aufgaben und Beispiele, um die eingefürten Begriffe und Metoden zu verdeutlicen. Ein umfangreicer Aufgabenband zu dem Buc ist in Arbeit. Pysikalisce Motivation matematiscer Begriffsbildungen. Viele matematisce Begriffe stammen aus der Pysik, und die zugrundeliegende pysikalisce Intuition ist auc notwendig, um diese Begriffe später zur matematiscen Modellierung realer Systeme eranzuzieen. Dies wird sorgfältig erausgearbeitet, und es wird jeweils klar dargelegt, warum der eingefürte matematisce Begriff tatsäclic das jeweilige pysikalisce Konzept widerspiegelt und welce pysikalisce Bedeutung matematisce Sätze aben (Orientierung einer Basis und Dreifingerregel der recten Hand; materielle, lokale und konvektive Ableitungen als zeitlice Änderungsraten von Feldgrößen; äußere Ableitungen von Differentialformen und deren Zusammenang mit der Rotation und Divergenz von Vektorfeldern; Stokesscer Integralsatz und Reynoldssces Transportteorem). Ferner werden zalreice Beispiele aus der Mecanik beandelt, wobei wieder viel Wert auf eine sorgfältige Klärung der Begriffe gelegt wird (etwa der Winkelgescwindigkeit und des Trägeitsmomententensors bei der Bewegung starrer Körper). Das Buc ist daer auc geeignet für die Matematikausbildung inneralb eines Studiums der Pysik. Weitgeend koordinatenfreies Arbeiten. Eine Temperaturverteilung ist eine Funktion, die jedem Raumpunkt einen (als reelle Zal darstellbaren) Temperaturwert zuordnet. Da die Punkte des uns umgebenden Raums nict von Natur aus (zwecks einfacerer Identifizierbarkeit durc potentielle Beobacter) mit Zalentripeln verseen sind, ist eine solce Funktion etwas grundsätzlic anderes als eine Funktion R 3 R. Ausgeend von dieser (pysikalisc motivierten) Sictweise werden Begriffe möglicst koordinatenfrei eingefürt; in der Linearen Algebra etwa sind lineare Abbildungen und quadratisce Formen fundamentale Begriffe, nict die Matrizen, durc die diese repräsentiert werden können. Eine koordinatenfreie Einfürung matematiscer Begriffe ist nict nur vorteilaft für das begrifflice Verständnis, sondern auc bei der Lösung ganz konkreter Aufgaben.

12 Sclüsselrolle der Linearen Algebra. Der Linearen Algebra kommt eine fundamentale Rolle zu. Zunäcst ist bereits die Entwicklung dieser matematiscen Disziplin aus zwei versciedenen Wurzeln (systematisce Untersucung linearer Gleicungssysteme einerseits, elementargeometrisce Vektorrecnung andererseits) Ausdruck einer aritmetisc-geometriscen Syntese, die auc für andere Bereice grundlegend ist (man denke etwa an kommutative Algebra und algebraisce Geometrie); ic abe mic daer bemüt, sowol aritmetisce als auc geometrisce Aspekte der Linearen Algebra zu berücksictigen. Ferner berut die gesamte Analysis darauf, nictlineare Begriffe und Metoden mittels Linearisierung auf Lineare Algebra zurückzufüren; dies wird im Ramen dieses Buces erausgearbeitet (Ableitungen als Linearisierungen von Funktionen an gegebenen Stellen, öere Ableitungen als multilineare Abbildungen, Mannigfaltigkeiten als deformierte lineare Räume und so weiter). Scließlic lassen sic weite Teile der Funktionalanalysis als Erweiterung der Linearen Algebra auf (geeignet topologisierte) unendlicdimensionale Vektorräume versteen. Um dies vorzubereiten, werden von vornerein auc unendlicdimensionale Vektorräume betractet und früzeitig Skalarprodukte und Normen auf Vektorräumen beandelt, was die Beandlung einiger Sätze der Funktionalanalysis erlaubt (one daß in diesem Buc systematisc Funktionalanalysis betrieben würde). Berücksictigung numeriscer Aspekte. Bereits bei der Einfürung des Grenzwertbegriffs wird dessen genuin numeriscer Carakter betont (Approximation einer Größe durc ein Glied einer gegen diese Größe konvergierenden Folge, Wictigkeit der zugeörigen Felerabscätzung, Bedeutung der Konvergenzgescwindigkeit) und an Beispielen aufgezeigt (Babylonisces Wurzelzieen, Berecnung der Zalen e und π, numerisce Berecnung von Logaritmen). Numerisce Aspekte und Metoden sind durcgängig in den Text integriert (Satz von Gerscgorin, Vektor- und Matrixnormen, Felerabscätzung bei linearen Gleicungssystemen, Bestapproximation in Skalarprodukträumen, lineare Ausgleicsrecnung, Polynominterpolation, numerisce Integration, Newtonverfaren in einer und in mereren Variablen, Satz von Kantorovitc, Eulerpolygone zur Approximation der Lösung eines Anfangswertproblems und so weiter). Zalreice weitere numerisce Verfaren werden im Aufgabenband beandelt, insbesondere solce, bei denen auf die Herleitung strenger Konvergenznacweise und Felerabscätzungen verzictet wird. Beandlung der Differentialrecnung vor der Integralrecnung. Es wird zunäcst die Differentialrecnung sowol in einer als auc in mereren Variablen (und sogar allgemein in Banacräumen) beandelt, bevor die Integralrecnung entwickelt wird. Dies at den Vorteil, daß bei der Beandlung der Integrationsteorie bereits Vertrauteit mit Funktionen in mereren Veränderlicen bestet und eine gewisse matematisce Reife erreict ist, die die simultane Einfürung des Riemannscen und des Lebesguescen Integralbegriffs erlaubt. Strukturelle Eigenscaften des Integrals können durc diese Vorgeensweise gleic für Funktionen in mereren Variablen ergeleitet werden. Diese Umstellung wirkt sic kaum auf die üblice Entwicklung der Differentialrecnung aus; lediglic der Beweis der Mittelwertabscätzung ist zu modifizieren (und natürlic muß die Integraldarstellung des Taylor-Restglieds nac inten gezogen werden). Selbstverständlic kann walweise vor dem Studium von Funktionen in mereren Variablen auc zunäcst die Differential- und Integralrecnung in einer Variablen vollständig beandelt werden. Ausfürlice Diskussion von Differentialgleicungen. Trotz seiner Kompakteit entält das Kapitel über gewönlice Differentialgleicungen mer Material als in Einfürungen üblic: grundlegende Begriffe und elementare Lösungsmetoden, einige motivierende Beispiele, den Existenzsatz von Peano, die Eindeutigkeitssätze von Caucy und Osgood, Aussagen zum maximalen Lösungsintervall eines Anfangswertproblems, stetige und glatte Abängigkeit der Lösung von Anfangsbedingungen und Parametern sowie spezielle Lösungsmetoden für lineare Differentialgleicungen (insbesondere mit konstanten oder periodiscen Koeffizienten). Anwendungen aus der Pysik (Himmelsmecanik, Starrkörperbewegung) sowie ein Kapitel über dynamisce Systeme runden die Darstellung ab. Was den Stil des Buces anget, so abe ic mic einerseits um Ausfürlickeit bei der Motivation von Begriffsbildungen bemüt (und dabei auc einige außermatematisce Abscweifungen nict gesceut), andererseits aber um einen kompakten Stil bei Beweisen und bei der Entwicklung der beandelten Teorien. Das mag angesicts des Umfangs, den dieses Buc scließlic angenommen at, nict ser glaubwürdig ersceinen, aber ein Buc, das mit der Einfürung des Mengenbegriffs beginnt und mit dem Beweis des Riemannscen Abbildungssatzes endet und in dem alle Aussagen ausnamslos bewiesen werden, erreict zwangsläufig einen gewissen Umfang auc one Weitscweifigkeit des Autors. Trotz seines Umfangs kann und will dieses Buc nict für sic reklamieren, einen Gesamtüberblick über die Matematik zu bieten. Dazu wären Numerisce Matematik und Optimierung systematiscer abzuandeln gewesen, ebenso die Funktionalanalysis und die Teorie dynamiscer Systeme (wo etwa Verzweigungspänomene oder gesteuerte dynamisce Systeme gar nict vorkommen). Einige wictige Gebiete felen völlig, etwa Algebra (Gruppen-, Ringund Körperteorie; kommutative Algebra und algebraisce Geometrie), Variationsrecnung oder partielle Differentialgleicungen. Zu einer adäquaten Beandlung all dieser Temen ätte ic einen zweiten Band gleicen Umfangs screiben müssen, und irgendwo war eine Grenze zu zieen selbst ein artgesottener Autor wird nervös,

13 wenn sein Manuskript (zumal im DIN A 4-Format) einer vierstelligen Seitenzal zustrebt. Sollten allerdings mance Auslassungen als besonders störend empfunden werden, so bin ic für entsprecende Kommentare jederzeit dankbar. Rectscreibung. Ic betracte die Rectscreibreform der Jare 1996 bis 2006 in iren inaltlicen Festlegungen und der Art irer politiscen Durcsetzung als ein Symptom spraclicen und kulturellen Niedergangs. Das Buc orientiert sic daer an den vor dieser Reform gültigen Regeln; die Lesbarkeit ist dadurc in keiner Weise gefärdet. Dem Verlag danke ic für die Bereitscaft, meinem ausdrücklicen Wunsc nac Verwendung der alten Rectscreibung naczukommen. Typograpisce Konventionen. Sätze und Definitionen sind kursiv gesetzt, um sie vom normalen Text abzueben. Das Ende eines Beweises ist jeweils mit einem Quadrat markiert, das Ende eines Beispiels oder einer Gruppe von Beispielen mit einer Raute. Bemerkungen werden typiscerweise mit einer Raute beendet, aber dann mit einem Quadrat, wenn die Bemerkung den Carakter eines Beweises at. Die einzelnen Abscnitte sind durclaufend numeriert, die Bestandteile (Sätze, Definitionen, Beispiele usw.) inneralb eines Abscnitts ebenfalls; beispielsweise bezeicnet die Nummer (103.7) den Bestandteil 7 des Abscnitts 103. Jeweils vier Abscnitte wurden zu einem Kapitel zusammengefaßt, aber auf eine Numerierung der einzelnen Kapitel wurde verzictet. Danksagungen. Dieses Vorwort wäre unvollständig one eine Bezeugung tiefen Dankes an diejenigen, die mic beim Screiben des vorliegenden Buces unterstützten. In erster Linie ist ier Frau Dr. Renate Scappel zu nennen, die sic mit bewundernswerter Energie und Sorgfalt der Herkulesaufgabe annam, das vollständige Manuskript (teilweise in versciedenen Versionen) kritisc durczulesen. Sie deckte eine Unzal von Felern auf, und nicts war vor irem kritiscen Blick sicer: einface Tippfeler, Recenfeler in Beispielen, felerafte oder unvollständige Sclüsse in matematiscen Herleitungen, stilistisc verunglückte Formulierungen, falsce Verweise, selbst Feler in den Geburts- und Todesjaren von Matematikern, die im Text genannt werden. One ire Hilfe wäre dieses Buc sclecterdings nict denkbar. Mein Dank gilt ferner Frau Prof. Dr. Evgenia Kirillova,die Teile des Manuskripts las und ebenfalls mit iren Korrekturen, Kommentaren und Änderungsvorsclägen zur Verbesserung der Darstellung beitrug. Weiterin danke ic Herrn cand. rer. nat. Claus Meister, der mir immer dann ilfreic zur Seite stand, wenn eer esoterisce Befele des Textverarbeitungssystems benötigt wurden oder wenn es Probleme bei der Erzeugung und Einbindung von Grapiken gab. Bei Herrn Klaus Horn vom Verlag Harri Deutsc bedanke ic mic ganz erzlic für die kompetente verlagsseitige Umsetzung des Werkes und die jederzeit angeneme Zusammenarbeit. Scließlic gilt mein ganz besonderer Dank meiner Frau und meinen beiden Kindern, die am meisten unter der Entsteung dieses Buces zu leiden atten durc einen oft zwar körperlic, aber nict geistig anwesenden Eemann und Vater, der zuweilen auc mißmutig wurde, wenn es mit dem Screiben nict rect vorwärts ging. Inen ist dieses Buc gewidmet. Sclußbemerkung. Von Ricard Feynman ( ), der im Jar 1965 den Nobelpreis für Pysik erielt, stammt die folgende Bemerkung: Tere are two kinds of matematics books; te kind you can t read past te first sentence, and te kind you can t read past te first page. Autor und Verlag egen die Hoffnung, daß diese Bemerkung nict auf das vorliegende Buc zutrifft (eine nict ganz unbegründete Hoffnung, wenn jemand bis ierer gelesen aben sollte), und sind für Kommentare, Korrektur-, Verbesserungs- und Ergänzungsvorscläge sowie Wünsce für den in Arbeit befindlicen Aufgabenband jederzeit dankbar. Wiesbaden, A. D Karleinz Spindler Evgeni Vadimovna Kirillova; an dieser Stelle erweist sic die Verfügbarkeit kyrilliscer Scriftzeicen in meinem Textverarbeitungssystem als unwiderstelice Versucung.

14

15 INHALT Mengenteoretisce Grundlagen 1. Mengen Klassen und Mengen Aussagenlogik Funktionen Grundlegende Strukturen 5. Relationen Äquivalenzrelationen Ordnungsrelationen Algebraisce Strukturen Kardinalzalen 9. Mäctigkeiten von Mengen Kardinalzalaritmetik Endlice und unendlice Mengen Vollständige Induktion Ordinalzalen 13. Wolgeordnete Mengen Begriff der Ordinalzal Ordinalzalaritmetik Transfinite Induktion Zalenteoretisce Grundlagen 17. Die natürlicen Zalen Die ganzen Zalen Elementare Zalenteorie Das Recnen mit Restklassen Aritmetisce Grundlagen 21. Die rationalen Zalen Ringe und Körper Angeordnete Körper Ring- und Körpererweiterungen Algebraisce Grundlagen 25. Polynom- und Potenzreienringe Das Recnen mit Polynomen Das Recnen mit rationalen Ausdrücken Das Recnen mit formalen Potenzreien Kombinatorisce Grundlagen 29. Variationen und Kombinationen Permutationen Gruppen Pólyas Abzälteorie Lineare Gleicungssysteme 33. Systeme linearer Gleicungen Matrizen als lineare Abbildungen Der Rang einer Matrix Determinanten Geometrisce Grundlagen 37. Strecken und Winkel Dreiecke Kreise Polygone Reelle und komplexe Zalen 41. Die reellen Zalen Verältnisrecnung Winkelfunktionen Die komplexen Zalen Geometrie und Vektorrecnung 45. Grundidee der Analytiscen Geometrie Der Vektorbegriff Orientierung von Basen Metrisce Vektoroperationen Lineare Algebra 49. Der abstrakte Vektorraumbegriff Dimension eines Vektorraums Lineare Abbildungen Dualräume und duale Abbildungen Lineare Abbildungen und Matrizen 53. Matrixdarstellungen linearer Abbildungen Invariante Unterräume Klassifikation von Endomorpismen Eigenwerte und Eigenvektoren Multilineare Abbildungen 57. Begriff der multilinearen Abbildung Klassifikation von Bilinearformen Volumenfunktionen Determinante und Spur eines Endomorpismus 252 Multilineare Algebra 61. Tensorprodukte Grundkörpererweiterungen Symmetrien multilinearer Abbildungen Die äußere Algebra eines Vektorraums Metrisce Vektorräume 65. Skalarprodukträume Abbildungen Euklidiscer Räume Adjungierteitseigenscaften Normierte Vektorräume Geometrie in Vektorräumen 69. Affine Geometrie Projektive Geometrie Konvexgeometrie Metrisce Geometrie

16 Recnen mit Grenzwerten 73. Die Vollständigkeit der Zalengeraden Grenzwerte in der komplexen Zalenebene Reien Analytisce Funktionen Elementare Funktionen 77. Wurzeln, Potenzen, Logaritmen Exponential- und Logaritmusfunktionen Winkel- und Bogenfunktionen Hyperbel- und Areafunktionen Metrisce Strukturen 81. Metrisce Räume Stetigkeit Vollständigkeit metriscer Räume Konvergenz in normierten Räumen Topologisce Strukturen 85. Topologisce Räume Der allgemeine Stetigkeitsbegriff Kompakteit Zusammenangseigenscaften Differentialrecnung in einer Variablen 89. Ableitungsbegriff und Ableitungsregeln Differentiation vektorwertiger Funktionen Ableitungswerte und lokales Veralten Stammfunktionen Differentialrecnung in Banacräumen 93. Ableitungen längskurven Differentiierbarkeit als Linearisierbarkeit Optimierungsaufgaben Auflösen von Gleicungen Differentialrecnung auf Mannigfaltigkeiten 97. Mannigfaltigkeiten Optimierung auf Mannigfaltigkeiten Krümmung von Kurven Krümmung von Hyperfläcen Inaltsbestimmung von Mengen 101. Die Jordan-Peanosce Inaltsteorie Inalte elementargeometriscer Figuren Die Borel-Lebesguesce Maßteorie Abstrakte Maßteorie Der Begriff des Integrals 105. Der Riemannsce Integralbegriff Strukturelle Eigenscaften des Integrals Der Lebesguesce Integralbegriff Abstrakte Integration Berecnung von Integralen 109. Berecnung von Einfacintegralen Numerisce Integration Berecnung von Merfacintegralen Anwendungen der Integralrecnung Integration auf Mannigfaltigkeiten 113. Integration skalarer Funktionen Integration von Differentialformen Äußere Ableitung einer Differentialform Der Stokessce Integralsatz Gewönlice Differentialgleicungen 117. Grundlegende Begriffe und elementare Lösungsmetoden Existenz- und Eindeutigkeitssätze Lineare Differentialgleicungen Beispiele aus der Mecanik Dynamisce Systeme 121. Qualitative Untersucung von Differentialgleicungen Lineare und linearisierte Systeme Stabilität von Gleicgewictslagen Anwendungsbeispiel: Populationsmodelle Integraltransformationen 125. Faltungen Fourier-Reien Fourier-Integrale Laplace-Transformation Grundlagen der Stocastik 129. Elementare Warsceinlickeitsrecnung Zufallsvariablen Neue Zufallsvariablen aus alten Kenngrößen für Zufallsvariablen Anwendung stocastiscer Metoden 133. Statistisce Scätzteorie Scätzung von System- und Meßparametern Hypotesentests Markovsce Ketten Funktionenteorie 137. Beispiele komplexer Funktionen Komplexe Differentiierbarkeit Der Residuenkalkül Einfac zusammenängende Gebiete Index

17 150 Geometrisce Grundlagen Die folgende Aufgabe wurde im Jar 1779 erstmals formuliert und gelöst, und zwar von dem italieniscen Matematiker Gianfrancesco di Fagnano ( ), der sic, ebenso wie sein Vater, Giulio de Tosci di Fagnano ( ), vornemlic mit Problemen der Geometrie und Analysis bescäftigte. (38.16) Problem von Fagnano. Ein Dreieck mit den Ecken A, B und C sei gegeben. Gesuct ist ein möglicst kurzer gesclossener Streckenzug, der die drei Seiten des Dreiecks miteinander verbindet. Wie läßt sic ein solcer Streckenzug finden? Lösung. Gesuct sind Punkte A auf [B,C], B auf [C, A] und C auf [A, B] derart,daß ( ) A B + B C + C A möglicst klein wird. Wir denken uns zunäcst den Punkt C auf [A, B] fest gewält und überlegen, wie die Punkte A und B gewält werden müssen, damit der Ausdruck ( ) minimal wird. Dazu füren wir zunäcst noc die beiden Punkte C 1 und C 2 ein, die aus C durc Spiegelung an den Geraden CA und CB entsteen. C C 1 B C 2 A C C 1 B * A * C 2 Abb : Optimale Wal von A und B bei gegebenem Punkt C. Zur endgültigen Lösung der Minimierungsaufgabe stellt sic nun noc die Frage, wie der Punkt C zu wälen ist, damit die von diesem induzierte Strecke C 1 C 2 minimal wird. Da die Winkel C 1 CA und ACC bzw. C CB und BCC 2 jeweils durc Spiegelung auseinander ervorgeen und daer gleic sind, gilt (C 1 CC 2 )=2 (ACB) =2γ; der Winkel C 1 CC 2 ist also völlig unabängig von der Wal des Punktes C.Jekürzer nun CC = CC 1 = CC 2 ist, desto kürzer ist auc C 1 C 2. C C d 2g C d 1 C 2 B A A Abb : Konstruktion zur Lösung des Problems von Fagnano. Da ein Liniensegment bei einer Spiegelung seine Länge nict ändert, läßt sic für beliebige Punkte A [B,C] und B [A, C] derausdruck( ) inderform ( ) C A B + B C + C A = A B + B C 1 + C 2 A = C 1 B + B A + A C 2 screiben, stimmt also mit der Länge des Polygonzugs C 1 B A C 2 überein. Dieser at die minimale Länge C 1 C 2, und diese minimale Länge wird genau dann angenommen, wenn die vier Punkte C 1, B, A und C 2 auf einer Geraden liegen, wenn also B und A die Scnittpunkte der Geraden C 1 C 2 mit den Seiten AC bzw. BC sind, wenn also mit den Bezeicnungen der folgenden Skizze die Bezieungen B = B und A = A gelten. Für diese Wal von A und B get dann ( ) gemäß ( ) über in C 1 B + B A + A C 2 = C 1 C 2. B Abb : Je kürzer d := CC,destokürzer auc C 1 C 2. Die kürzestmöglice Strecke CC ergibt sic nun aber, wenn wir für C den Fußpunkt C des Lotes von C auf die Gerade AB wälen. Damit ist die Lösung des Problems gefunden: Fälle von jeder der drei Ecken A, B, C das Lot auf die jeweils gegenüberliegende Dreiecksseite und bezeicne die entsteenden Lotfußpunkte mit A, B, C ; der gesucte Verbindungsweg kürzester Länge ist dann der Streckenzug A B C A. A B * C C * A * Abb : Lösung von Fagnanos Problem. B

18 38. Dreiecke 151 (38.17) Bemerkung. Wer den Beweis aufmerksam verfolgt at, wird eine Lücke festgestellt aben; die Argumentation ist nämlic nur für spitzwinklige Dreiecke uneingescränkt gültig. Hat das Dreieck bei A einen recten Winkel, so fallen die Punkte B und C mit A zusammen; at das Dreieck bei A einen stumpfen Winkel, so liegen B und C außeralb des Dreiecks. In diesen beiden Fällen ist die Lösung des Problems gegeben durc den Streckenzug AA A (Übungsaufgabe!); die Lösung ist also jeweils ein zu einer doppelt durclaufenen Strecke entartetes Dreieck. Das folgende Problem, das zuerst von den Matematikern Bonaventura Cavalieri ( ), Pierre de Fermat (1601 oder 1607/ ) und Evangelista Torricelli ( ) studiert wurde, bestet darin, inneralb eines Dreiecks einen Punkt zu finden, der von den drei Ecken den kürzesten durcscnittlicen Abstand at. Eine praktisce Einkleidung der Aufgabe könnte etwa folgendermaßen lauten: Ein Gelände at bei A eine Wasserstelle, bei B eine Feuerstelle und bei C einen Vorratsraum. An welcer Stelle P sollte man sein Zelt aufsclagen, wenn man gleic oft zu A, B und C geen muß und den zurückzulegenden Gesamtweg möglicst kurz alten will? Genauer formuliert lautet die Aufgabe folgendermaßen. (38.18) Problem von Viviani, Fermat und Torricelli. Ein Dreieck mit den Ecken A, B und C sei gegeben. Welcer Punkt P des Dreiecks minimiert den Ausdruc PA+ PB + PC? Lösung. Wir greifen uns zunäcst einen beliebigen Punkt P in dem Dreieck eraus und dreen dann das Dreieck AP C um π/3 um den Punkt A; das durc die Dreung entstandene Dreieck bezeicnen wir mit AQB. das Dreieck CAB gleicscenklig; also stimmen die Basiswinkel AB C und B CA überein. Da der Winkel CAB nac Konstruktion gerade π/3 ist und die Winkelsumme im Dreieck CAB gleic π sein muß, ist jeder dieser Basiswinkel ebenfalls gleic π/3; das Dreieck AB C ist also sogar gleicseitig. (Der Punkt B läßt sic folglic konstruieren, indem wir ein gleicseitiges Dreieck über dem Liniensegment AC erricten.) Nac Konstruktion gilt AP = AQ; das Dreieck PAQ ist damit gleicscenklig, at also bei P und Q gleice Basiswinkel. Da der Winkel bei A aber nac Konstruktion π/3 beträgt und die Winkelsumme im Dreieck PAQ gleic π sein muß, ist jeder dieser Basiswinkel ebenfalls gleic π/3; das Dreieck PAQ ist also sogar gleicseitig, so daß PA = PQ gilt. Der zu minimierende Ausdruck ist dann PA+ PB + PC = PQ+ PB+ QB = B Q + QP + PB, stimmt also mit der Länge des Linienzuges B QP B überein. Die Länge dieses Linienzuges ist aber genau dann minimal, wenn die Punkte B, Q, P und B auf einer Geraden liegen, wenn die Winkel B QP und QP B also beide gleic π sind; dies ist genau dann der Fall, wenn die Winkel B QA und AP B beide gleic 2π/3 sind. Ein Punkt P erfüllt also sicer dann die gewünscte Minimalbedingung, wenn P und Q auf der Geraden BB liegen. Gibt es einen solcen Punkt? Die Antwort ist ja, denn wir können den Winkel ϕ := AB B von AC aus abtragen, eralten einen Scnittpunkt P mit der Geraden BB und können dann die Strecke CP von B aus abtragen, um Q zu eralten. (Es gilt ϕ = (α+60 0 ) β = α β<γ.) B Q C B j Q j C pê3 P P A B A B Abb : Idee zur Lösung des Problems von Viviani, Fermat und Torricelli. Wir stellen zunäcst fest, daß der Punkt B vollkommen unabängig von der Wal von P ist; das Liniensegment AB ergibt sic ja durc eine Dreung des Liniensegments AC um π/3 um den Punkt A. Wegen AC = AB ist Abb : Konstruktion zur Lösung des Problems von Viviani, Fermat und Torricelli. Daß wir unsere Konstruktion von der Ecke A aus durcfürten, war willkürlic; wir ätten genausogut von B oder C aus beginnen können. Dies liefert die folgende Konstruktion des gesucten Punktes P : Erricte über jeder der

19 152 Geometrisce Grundlagen drei Seiten des gegebenen Dreiecks ein gleicseitiges Dreieck und verbinde die dritte Ecke dieses Dreiecks mit der der Seite gegenüberliegenden. Dann scneiden sic die Geraden AA, BB und CC in einem Punkt P ; dieser Punkt (den man auc den Torricelli-Punkt des Dreiecks ABC nennt) ist die eindeutige Lösung der gestellten Optimierungsaufgabe. kommt, bei dem also die Gesamtlänge der sic unteralb des Tiscs befindlicen Scnurstücke möglicst groß und damit die Gesamtlänge der sic auf dem Tisc befindlicen Scnurstücke möglicst klein ist. Der Stelle, an der der Knoten sic dann befindet, ist genau der Punkt P,für den die Gesamtlänge PA+ PB + PC minimal wird. B C A A C B P A B Abb : Mecanisce Lösung des Problems von Viviani, Fermat und Torricelli. Abb : Konstruktion des Torricelli-Punktes eines Dreiecks. (38.19) Bemerkungen. (a) Die gegebene Lösung zeigt, daß die Winkel AP B, BP C und CP A jeweils den Wert 2π/3 = aben. (b) Die angegebene Lösung gilt nur, wenn alle Winkel des betracteten Dreiecks kleiner als sind. Hat das Dreieck bei A einen Winkel von 120 0,sofällt der Torricelli- Punkt des Dreiecks mit A zusammen; ist der Winkel bei A sogar größer als 120 0, so liegt der Torricelli-Punkt außeralb des Dreiecks und liefert nict die Lösung der gestellten Optimierungsaufgabe. Man kann zeigen (Übungsaufgabe!), daß in diesem Fall die optimale Wal des Punktes P gegeben ist durc P := A. (c) Das Problem von Viviani, Fermat und Torricelli at eine interessante mecanisce Lösung. Wir deuten A, B und C als Punkte auf einer glatten Tiscoberfläce und boren an diesen Stellen Löcer durc die Fläce. Wir befestigen nun drei gleice Gewicte an drei (als masselos betracteten) Scnüren, füren die Scnurenden von unten er durc die geborten Löcer, verknoten die Scnüre oberalb des Tisces und lassen los. Es wird sic ein Gleicgewictszustand einstellen, bei dem der Scwerpunkt des Systems möglicst tief zu liegen C 39. Kreise Wir definieren Kreise bzw. Spären als diejenigen geometriscen Örter, die von einem festen Punkt den gleicen Abstand aben. (39.1) Definition. Gegeben seien eine Ebene E, ein Punkt M in E und eine Strecke r. DerKreis mit Mittelpunkt M und Radius r in E ist die Menge aller Punkte P in E mit der Eigenscaft MP = r. Dieabgesclossene Kreissceibe mit Mittelpunkt M und Radius r in E ist die Menge aller Punkte P in E mit der Eigenscaft MP r. Dieoffene Kreissceibe mit Mittelpunkt M und Radius r in E ist die Menge aller Punkte P in E mit der Eigenscaft MP < r. (39.2) Definition. Gegeben seien ein Punkt M im Raum und eine Strecke r. DieSpäre mit Mittelpunkt M und Radius r ist die Menge aller Punkte P mit der Eigenscaft, daß die Strecke MP mit r übereinstimmt. Die abgesclossene Kugel mit Mittelpunkt M und Radius r ist die Menge aller Punkte P mit MP r. Dieoffene Kugel mit Mittelpunkt M und Radius r ist die Menge aller Punkte P mit MP < r. Es ist klar, daß für eine vorgegebene Ebene E und einen Punkt M in E der Kreis bzw. die Kreissceibe mit Mittelpunkt M und Radius r in E gerade der Durcscnitt von E mit der Späre bzw. Kugel mit Mittelpunkt M und Radius r ist. Die Wictigkeit von Kreisen liegt

20 248 Multilineare Abbildungen und damit Rad β = V 0 Rad β, alsoradβ V 0.Insgesamt gilt V 0 = Rad β. Weiter sei U ein Unterraum mit V + U, auf dem β positiv definit ist. Dann gilt V = U + V + V 0 und nac der Dimensionsformel für Unterräume daer dim ( U (V V 0 ) ) = dimu +dim(v V 0 ) dim V = dimu dim V + > 0 und damit U (V V 0 ) {0}. Das ist aber unmöglic, weil β positiv definit auf U und negativ semidefinit auf V V 0 ist. Also ist V + ein maximaler Unterraum, auf dem β positiv definit ist. Analog ist V ein maximaler Unterraum, auf dem β negativ definit ist. (b) Es sei V + ein maximaler Unterraum, auf dem β positiv definit ist; wir setzen U := (V + ). Nac (58.10) gilt dann V = V + U, und offensictlic gilt Rad β U. Ferner ist β negativ semidefinit auf U; gäbe es nämlic ein Element u U mit β(u, u) > 0, so wäre β positiv definit auf V + Ru, was der Maximalität von V + widerspräce. Anwendung der Caucy-Scwarzscen Ungleicung auf β U U zeigt, daß β(u, v) 2 β(u, u)β(v, v) für alle u, v U gilt. Gälte also β(u, u) = 0 für ein Element u U, dannaucβ(u, v) =0für alle v V und damit wegen V = U U sogar β(u, v) = 0 für alle v V ; ist also β(u, u) =0für ein u U, so gilt u Rad β. Ist also V irgendein Vektorraumkomplement von Rad β in U, soistβ negativ definit auf V ; damit ist dann V = V + V Rad β eine Standardzerlegung von (V,β). Vollkommen analog zeigt man, daß jeder maximale Unterraum, auf dem β negativ definit ist, als V -Anteil einer Standardzerlegung von V auftritt. (c) Da β positiv definit auf V + und negativ semidefinit auf V Rad β ist, aben wir V + ( V Rad β ) = {0} und damit dim V + = dim(v + + V +Radβ) dim(v Rad β) dim V dim(v Rad β) = dimv +. Vertauscen wir die Rollen der beiden Standardzerlegungen, so erkennen wir, daß auc dim V + dim V + gilt, insgesamt also dim V + =dimv +. Vollkommen analog seen wir die Gleicung dim V =dimv ein. (d) Dies folgt unmittelbar aus (b) und (c). Wir aben jetzt alles beisammen, um einen vollständigenklassifikationssatzfür reelle symmetrisce Bilinearformen aufzustellen. (58.17) Satz. Es sei V ein endlicdimensionaler reeller Vektorraum. (a) Jede symmetrisce Bilinearform β : V V R läßt sic durc eine Matrix der Form 1 p q s darstellen. Die Zalen p, q, s sind dabei eindeutig bestimmt. (Man bezeicnet das Tripel (p, q, s) als den Index und die Differenz p q als die Signatur von β.) (b) Zwei symmetrisce Bilinearformen auf V sind genau dann äquivalent, wenn sie den gleicen Index besitzen. (c) Zwei symmetrisce Bilinearformen auf V sind genau dann äquivalent, wenn sie den gleicen Rang und die gleice Signatur besitzen. Beweis. Die Existenz der Darstellung wurde bereits in (58.12)(c) bewiesen, die Eindeutigkeit folgt aus (58.16). Der Rest der Beauptung ist trivial. 59. Volumenfunktionen Sind a, b, c V Vektoren im Vektorraum V aller Pfeilklassen, so bezeicnen wir die Punktmenge S(a, b, c) := {ra + sb + tc 0 r, s, t 1} als den von a, b und c aufgespannten Spat (oder, vornemer, als das von a, b und c aufgespannte Parallelepiped). c b a Abb. 59.1: Spat in V. Für solce Spate wollen wir nun den Begriff eines orientierten (also vorzeicenbeafteten) Volumens erleiten. Tun wir einmal so, als wüßten wir, was das Volumen V (a, b, c) des Spates S(a, b, c) ist. Sicer ist genau dann V (a, b, c) =0,wenna, b und c linear abängig sind, wenn also der Spat S(a, b, c) zu einem Parallelogramm, einem Liniensegment oder einem Punkt entartet ist; nemen wir also an, a, b und c seien linear unabängig. Wir können dann die Fälle untersceiden, daß a, b und c (in dieser Reienfolge!) wie Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger Etwa aufgrund pysikaliscer Argumentation: wir legen willkürlic eine Volumeneineit fest, beispielsweise den Inalt der Kaffeetasse, die ic beim Screiben dieser Zeilen vor mir steen abe, und fragen, wie oft sic diese Volumeneineit in (eine pysikalisce Realisierung von) S(a, b, c) einfüllen läßt, bevor der Kaffee überläuft.

21 59. Volumenfunktionen 249 unserer recten oder unserer linken Hand zeigen, und nennen das Tripel (a, b, c) dementsprecend ein Rectssystem oder ein Linkssystem. Als orientiertes Volumen des Spates S(a, b, c) bezeicnen wir dann die reelle Zal vol(a, b, c) := V (a, b, c), falls (a, b, c) ein Rectssystem ist, 0, falls a, b und c linear abängig sind, V (a, b, c), falls (a, b, c) ein Linkssystem ist. Wir beacten, daß vol(a, b, c) eine Funktion der Vektoren a, b und c ist, nict nur eine Funktion der Punktmenge S(a, b, c). Dieses vorzeicenbeaftete Volumen ist nun algebraisc wesentlic leicter zu andaben als das gewönlice Volumen, denn es at die carakteristisce Eigenscaft, linear von jedem seiner Argumente abzuängen: die Additivität in jeder Komponente drückt dabei die Volumeninvarianz unter Scerungen aus, die Homogenität den geometriscen Sacveralt, daß sic das Volumen bei Streckung einer der Seiten um den Faktor λ ver λ fact, wobei für λ<0 eine Umkerung der Orientierung inzukommt. c b a 1 a 2 Es ist nun eine bemerkenswerte Tatsace, daß eine auf diesen Beobactungen beruende Teorie orientierter Volumina rein algebraisc entwickelt werden kann (in beliebigen endlicdimensionalen Vektorräumen und über beliebigen Grundkörpern), one daß auf irgendeinen zuvor definierten Volumenbegriff (der oben nur motivationsalber erangezogen wurde) zurückgegriffen werden müßte. Diese Sictweise, zuerst systematisc vertreten durc Hermann Graßmann ( ) in seiner Ausdenungslere, wird im vorliegenden Abscnitt entwickelt werden; dieser kann als eine geometrisce Herleitung des Determinantenbegriffs aufgefaßt werden, die die rein aritmetisce Herleitung des Abscnittes 36 ergänzt. Natürlic können die abstrakten Volumenfunktionen, die wir einfüren werden, im allgemeinen nict wirklic als pysikalisce Volumina von Punktmengen interpretiert werden, aber die suggestive geometrisce Terminologie wird uns elfen, eine Intuition für abstrakte Volumenfunktionen zu entwickeln. (59.1) Definition. Es sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K. Eine Abbildung vol : V V K (v 1,...,v n ) vol(v 1,...,v n ) eißt Volumenfunktion für V, wenn sie die folgenden Eigenscaften besitzt: (1) vol ist linear in jedem Argument, d.., für alle Vektoren v 1,...,v n,a,b V und alle Skalare λ, μ K gilt die Gleicung vol(v 1,...,λa + μb,...,v n ) = λ vol(v 1,...,a,...,v n )+μ vol(v 1,...,b,...,v n ); (2) sind v 1,...,v n V linear abängig, so gilt vol(v 1,...,v n )=0. Eine Volumenfunktion eißt nicttrivial, wenn sie nict identisc Null ist. Abb. 59.2: Additivität des orientierten Volumens in jedem Argument: vol(a 1 +a 2,b,c)=vol(a 1,b,c)+vol(a 2,b,c). c b a l a Abb. 59.3: Homogenität des orientierten Volumens in jedem Argument: vol(λa,b,c) = λ vol(a, b, c). Wir zeigen nun, daß Bedingung (2) durc eine andere Bedingung ersetzt werden kann, die mancmal einfacer zu beandeln ist. (59.2) Hilfssatz. Es sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K. Esseivol : V n K eine Funktion, die linear in jedem irer n Argumente ist, also die Bedingung (59.1)(1) erfüllt. Wir betracten die folgenden Bedingungen: (2) sind die Vektoren v 1,...,v n linear abängig, so ist vol(v 1,...,v n )=0; (2 ) gibt es Indizes i j mit v i = v j, so ist vol(v 1,...,v n )=0; (2 ) bei Vertauscung zweier Argumente wecselt vol das Vorzeicen. Dann ist (2) äquivalent zu (2 ) und impliziert (2 ).Gilt cark 2, dann impliziert (2 ) auc (2 ), so daß in diesem Fall alle drei Bedingungen äquivalent sind. Beweis. Die Implikation (2) = (2 ) ist trivial. Um die Implikation (2 ) = (2) zu beweisen, nemen wir

ANALYSIS Differenzialrechnung Kapitel 1 5

ANALYSIS Differenzialrechnung Kapitel 1 5 TELEKOLLEG MULTIMEDIAL ANALYSIS Differenzialrecnung Kapitel 5 Ferdinand Weber BRmedia Service GmbH Inaltsverzeicnis Jedes Kapitel beginnt mit der Seitenzal.. Das Tangentenproblem. Steigung einer Geraden

Mehr

6. Die Exponentialfunktionen (und Logarithmen).

6. Die Exponentialfunktionen (und Logarithmen). 6- Funktionen 6 Die Eponentialfunktionen (und Logaritmen) Eine ganz wictige Klasse von Funktionen f : R R bilden die Eponentialfunktionen f() = c ep( ) = c e, ier sind, c feste reelle Zalen (um Trivialfälle

Mehr

9 Anhang. 9.1 Verhältnisgleichungen. 9.2 Strahlensätze. Elemente der Geometrie 22

9 Anhang. 9.1 Verhältnisgleichungen. 9.2 Strahlensätze. Elemente der Geometrie 22 Elemente der Geometrie 9 Anang 9.1 Verältnisgleicungen Verältnisgleicungen sind spezielle Formen von Gleicungen. Es a werden zwei Quotienten gleic gesetzt. Die Gleicung! b = c d kann man auc screiben als!a:b

Mehr

ZUKUNFT BILDEN. Die Bildungsinitiative der Region. Februar 2015. Journalistische Darstellungsformen. Teil 3

ZUKUNFT BILDEN. Die Bildungsinitiative der Region. Februar 2015. Journalistische Darstellungsformen. Teil 3 ZUKUNFT Februar 2015 Journalistisce Darstellungsformen Teil 3 Das Projekt zur Bildungsförderung für Auszubildende getragen von starken Partnern Initiatoren: Förderer und Stiftungspartner: INHALT Journalistisce

Mehr

Geometrisch ergibt sich deren Graph als Schnitt von G mit der senkrechten Ebene y = b bzw. x = a:

Geometrisch ergibt sich deren Graph als Schnitt von G mit der senkrechten Ebene y = b bzw. x = a: Fläcen im Raum Grap und Scnittkurven Im ganzen Artikel bezeicnet D eine Teilmenge des R 2 und eine skalarwertige Funktion in zwei Veränderlicen. Der Grap f : D R 2 R : (x, y) z = f(x, y) G = { (x, y, z)

Mehr

Teil 1. 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten mit Textaufgaben. und 3 Gleichungen mit 2 Unbekannten. Datei Nr. 12180. Friedrich Buckel. Stand 11.

Teil 1. 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten mit Textaufgaben. und 3 Gleichungen mit 2 Unbekannten. Datei Nr. 12180. Friedrich Buckel. Stand 11. Teil Gleicungen mit Unbekannten mit Textaufgaben und 3 Gleicungen mit Unbekannten Datei Nr. 80 Stand. April 0 Lineare Gleicungssysteme INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK 80 Gleicungssysteme Vorwort

Mehr

Numerische Simulation in der Luft- und Raumfahrttechnik

Numerische Simulation in der Luft- und Raumfahrttechnik Numerisce Simulation in der Luft- und Raumfarttecnik Dr. Felix Jägle, Prof. Dr. Claus-Dieter Munz (IAG) Universität Stuttgart Pfaffenwaldring, 70569 Stuttgart Email: felix.jaegle@iag.uni-stuttgart.de Inalt

Mehr

Was haben Beschleunigungs-Apps mit der Quadratur des Kreises zu tun?

Was haben Beschleunigungs-Apps mit der Quadratur des Kreises zu tun? Was aben Bescleunigungs-Apps mit der Quadratur des Kreises zu tun? Teilnemer: Jonatan Geuter Leonard Hackel Paul Hagemann Maximilian Kuc Amber Lucas Tobias Tieme Tobias Tiesse Niko Wolf Gruppenleiter:

Mehr

Steuerliche Spendenanreize: Ein Reformvorschlag. Ludwig von Auer Andreas Kalusche. Research Papers in Economics No. 7/10

Steuerliche Spendenanreize: Ein Reformvorschlag. Ludwig von Auer Andreas Kalusche. Research Papers in Economics No. 7/10 Steuerlice Spendenanreize: Ein Reformvorsclag Ludwig von Auer Andreas Kalusce Researc Papers in Economics No. 7/10 Steuerlice Spendenanreize: Ein Reformvorsclag Ludwig von Auer 1 Universität Trier Andreas

Mehr

Übungsaufgaben zur Kursarbeit

Übungsaufgaben zur Kursarbeit Übungsaufgaben zur Kursarbeit I) Tema Funktionen. Gib jeweils die maximale Definitionsmenge der Funktion an f(x) = (x ) D f = R (x) = x D = {x R /x } g(x) = (x ) D = {x R /x } g k(x) = x D = {x R /x >

Mehr

122 KAPITEL 7. POTENZREIHEN

122 KAPITEL 7. POTENZREIHEN Kapitel 7 Potenzreien 7.1 Der Konvergenzradius Definition 7.1: (Komplexe Potenzreien) Eine Potenzreie um den Punt z 0 C ist eine Reie der Form a (z z 0 ), a, z, z 0 C. Dort, wo die Reie onvergiert, definiert

Mehr

Linear. Halbkreis. Parabel

Linear. Halbkreis. Parabel Vom Parabolspiegel zur Ableitungsfunktion Im Folgenden get es darum erauszufinden, was ein Parabolspiegel ist und wie er funktioniert. Das fürt uns auf wictige Fragen eines Teilgebietes der Matematik,

Mehr

Numerische Simulation von Differential-Gleichungen der Himmelsmechanik

Numerische Simulation von Differential-Gleichungen der Himmelsmechanik Numerisce Simulation von Differential-Gleicungen der Himmelsmecanik Teilnemer: Max Dubiel (Andreas-Oberscule) Frank Essenberger (Herder-Oberscule) Constantin Krüger (Andreas-Oberscule) Gabriel Preuß (Heinric-Hertz-Oberscule)

Mehr

Musterlösung zu Übungsblatt 1

Musterlösung zu Übungsblatt 1 Prof. R. Pandaripande J. Scmitt, C. Scießl Funktionenteorie 23. September 16 HS 2016 Musterlösung zu Übungsblatt 1 Aufgabe 1. Sei F ein Körper, der R als einen Unterkörper entält. Das eisst R ist eine

Mehr

Hilfe zum neuen Online-Shop

Hilfe zum neuen Online-Shop Hilfe zum neuen Online-Sop Hier finden Sie umfassend bescrieben, wie Sie sic in unserem neuen Sop zurectfinden. Wenn Sie Fragen zur Kunden-Nr., Kunden-ID oder zum Passwort aben, rufen Sie uns bitte an:

Mehr

Skulptur. 0,25 m. 1,65 m 1,7 m Sockel. 0,6 m 0,6 m 10 m. Aufgabe 1: Die Skulptur

Skulptur. 0,25 m. 1,65 m 1,7 m Sockel. 0,6 m 0,6 m 10 m. Aufgabe 1: Die Skulptur Aufgabe 1: Die Skulptur Um die Höe einer Skulptur zu bestimmen, die auf einem Sockel stet, stellt sic eine Person (Augenöe 1,70 m) in einer Entfernung von 10 m mit dem Rücken zur Skulptur und ält sic einen

Mehr

Vitamine auf Weltreise

Vitamine auf Weltreise Konzipiert vom Förderverein NaturGut Opoven Vitamine auf Weltreise Zielgruppe: Klasse 2-3 Fac: Dauer: Sacunterrict 90 Minuten Temenbereic: Zusammenang Ernärung und Klimawandel 20 % der Kinder sind zu dick,

Mehr

Á 4. Differenzierbarkeit, Stetigkeit

Á 4. Differenzierbarkeit, Stetigkeit Á 4. Differenzierbarkeit, Stetigkeit Historisc ist der Begriff der Differenzierbarkeit lange vor dem der Stetigkeit entwickelt worden. Untersciedlice Definitionen der Differenzierbarkeit werden von Gottfried

Mehr

Sterbetafeln für die Schweiz 1998/2003

Sterbetafeln für die Schweiz 1998/2003 Sterbetafeln für die Scweiz 1998/2003 Neucâtel, 2005 Die vom Bundesamt für Statistik (BFS) erausgegebene Reie «Statistik der Scweiz» gliedert sic in folgende Facbereice: 0 Statistisce Grundlagen und Übersicten

Mehr

Numerische und stochastische Grundlagen der Informatik

Numerische und stochastische Grundlagen der Informatik Numerisce und stocastisce Grundlagen der Informatik Peter Bastian Universität Stuttgart, Institut für Parallele und Verteilte Systeme Universitätsstraße 38, D-70569 Stuttgart email: Peter.Bastian@ipvs.uni-stuttgart.de

Mehr

Besonderer Kastensandwich für die gewichtsoptimierte, innovative Aussteifung großer WKA-Rotorblätter

Besonderer Kastensandwich für die gewichtsoptimierte, innovative Aussteifung großer WKA-Rotorblätter DEWI Magazin Nr. 22, Febr. 2003 esonderer Kastensandwic für die gewictsoptimierte, innovative ussteifung großer WK-Rotorblätter Zusammenfassung Leistungsfäige Windkraftanlagen erfordern bei gegebener lattspitzengescwindigkeit

Mehr

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen

Mehr

2 Ein Beispiel und der Haken an der Sache

2 Ein Beispiel und der Haken an der Sache Numerik I. Version: 9.02.08 2 Ein Beispiel und der Haken an der Sace In lineare Algebra I-II wurde gezeigt, wie durc das Gaußsce Verfaren lineare Gleicungssysteme gelöst werden. Das folgende einface Beispiel

Mehr

Rudolphs Schlitten. Aufgabe. Autor: Jochen Ricker

Rudolphs Schlitten. Aufgabe. Autor: Jochen Ricker Rudolps Sclitten Autor: Jocen Ricker Aufgabe Endlic ist es wieder soweit: Weinacten stet vor der Tür! Diesmal at der Weinactsmann sic ein ganz besonderes Gescenk für seine Rentiere einfallen lassen. Sie

Mehr

Mathematische Probleme lösen mit Maple

Mathematische Probleme lösen mit Maple Mathematische Probleme lösen mit Maple Ein Kurzeinstieg Bearbeitet von Thomas Westermann überarbeitet 2008. Buch. XII, 169 S. ISBN 978 3 540 77720 5 Format (B x L): 15,5 x 23,5 cm Weitere Fachgebiete >

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.

Mehr

Demo-Text für Geometrie Winkel und Dreiecke. Teil 1 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. Mit Index am Ende des Textes

Demo-Text für  Geometrie Winkel und Dreiecke. Teil 1 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. Mit Index am Ende des Textes Teil 1 it Index am Ende des Textes Stand: 22. Februar 212 Datei Nr. 1111 Friedric Buckel Geometrie Winkel und Dreiecke INTERNETBIBLITHEK FÜR SCHULTHETIK www.mate-cd.de Inalt 1. Dreunen durc Winkel messen

Mehr

Physik I Übung 7, Teil 2 - Lösungshinweise

Physik I Übung 7, Teil 2 - Lösungshinweise Pysik I Übung 7, Teil - Lösungsinweise Stefan Reutter SoSe 0 Moritz Kütt Stand:.06.0 Franz Fujara Aufgabe Clausius- Klappermann Clapeyron Revisited (Vorsict, Aufgabe vom Cef!) Da sic Prof. Fujara wie immer

Mehr

3.2 Polarkoordinaten und exponentielle Darstellung

3.2 Polarkoordinaten und exponentielle Darstellung 42 3.2 Polarkoordinaten und exponentielle Darstellung Ein Punkt z = a + bi der Gaußscen Zalenebene ist durc seine kartesiscen Koordinaten a und b eindeutig festgelegt. Man kann jedoc auc zwei andere Grössen

Mehr

Analysis. mit dem Computer-Algebra-System des TI-92. Anhang 2: Gedanken zum Lehrplan. Beat Eicke und Edmund Holzherr 11.

Analysis. mit dem Computer-Algebra-System des TI-92. Anhang 2: Gedanken zum Lehrplan. Beat Eicke und Edmund Holzherr 11. ETH EIDGENÖSSISCHE TECHNISCHE HOCHSCHULE ZÜRICH Analysis mit dem Computer-Algebra-System des TI-92 Anhang 2: Gedanken zum Lehrplan Beat Eicke und Edmund Holzherr 11. November 1997 Eidgenössische Technische

Mehr

Mathematik 1 für Studierende der Biologie Teil II: Limes & Konvergenz

Mathematik 1 für Studierende der Biologie Teil II: Limes & Konvergenz Matematik 1 für Studierende der Biologie Teil II: Limes & Konvergenz Cristian Leibold 7. Oktober 2014 Folgen Allgemeines zu Folgen Monotonie und Bescränkteit Grenzwerte und Konvergenz Summen und Reien

Mehr

7.2. Ableitungen und lineare Approximation

7.2. Ableitungen und lineare Approximation 7.. Ableitungen und lineare Approximation Eindimensionale Ableitungen und Differentialquotienten einer Funktion bekommt man bekanntlic als Limes von Differenzenquotienten f ( a) = f ( a + ) f( a ) = x

Mehr

RWTH Aachen, Lehrstuhl für Informatik IX Kapitel 3: Suchen in Mengen - Datenstrukturen und Algorithmen - 51

RWTH Aachen, Lehrstuhl für Informatik IX Kapitel 3: Suchen in Mengen - Datenstrukturen und Algorithmen - 51 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 51 Sucbäume Biser betractete Algoritmen für Suce in Mengen Sortierte Arrays A B C D - Nur sinnvoll für

Mehr

Dirk Hachenberger Mathematik für Informatiker

Dirk Hachenberger Mathematik für Informatiker Dirk Hachenberger Mathematik für Informatiker ein Imprint von Pearson Education München Boston San Francisco Harlow, England Don Mills, Ontario Sydney Mexico City Madrid Amsterdam Inhaltsverzeichnis Vorwort

Mehr

Vorwort. Günter M. Gramlich. Lineare Algebra. Eine Einführung ISBN: 978-3-446-43035-8. Weitere Informationen oder Bestellungen unter

Vorwort. Günter M. Gramlich. Lineare Algebra. Eine Einführung ISBN: 978-3-446-43035-8. Weitere Informationen oder Bestellungen unter Vorwort Günter M. Gramlich Lineare Algebra Eine Einführung ISBN: 978-3-446-43035-8 Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser.de/978-3-446-43035-8 sowie im Buchhandel. Carl Hanser

Mehr

Die Bauteile 1,2,3 sind gelenkig miteinander verbunden, in A und B gelagert und durch das Gewicht G 1 der Scheibe 1 belastet.

Die Bauteile 1,2,3 sind gelenkig miteinander verbunden, in A und B gelagert und durch das Gewicht G 1 der Scheibe 1 belastet. Aufgabe S1 F10 Die auteile 1,2,3 sind gelenkig miteinander verbunden, in A und gelagert und durc das Gewict G 1 der Sceibe 1 belastet. Annamen: Die Gelenke seien reibungsfrei. Das Material der Sceibe 1

Mehr

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte 50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien

Mehr

Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme

Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Wir befassen uns nun mit der Lösung im allgemeinen nichthomogener linearer Gleichungssysteme in zweifacher Hinsicht. Wir studieren

Mehr

Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme

Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Übung Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Diese Übung beschäftigt sich mit Grundbegriffen der linearen Algebra. Im Speziellen werden lineare Abbildungen, sowie

Mehr

Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik

Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik Aufgabe 2 Wetterstation Aufgabe aus der scriftlicen Abiturprüfung Hamburg 05. In einer Wetterstation wird die Aufzeicnung eines Niedersclagmessgeräts vom Vortag (im Zeitraum von 0 Ur bis Ur) ausgewertet.

Mehr

DUALE HOCHSCHULE BADEN-WÜRTTEMBERG. Fakultät Wirtschaft. Studiengangsbeschreibung (Bachelor)

DUALE HOCHSCHULE BADEN-WÜRTTEMBERG. Fakultät Wirtschaft. Studiengangsbeschreibung (Bachelor) DUALE HOCHSCHULE BADEN-WÜRTTEMBERG Fakultät Wirtscaft Studiengangsbescreibung (Bacelor) Studiengang: Recnungswesen Steuern Wirtscaftsrect (RSW) Studienrictung: Betriebswirtscaftlice Steuerlere, Unternemensrecnung

Mehr

Das Delta-Potential. Gruppe PLANCK. Anton Hörl Thomas Kloiber Bernd Kollmann Miriam Mutici Jakob Schwarz. Quantenmechanik Projekt 2

Das Delta-Potential. Gruppe PLANCK. Anton Hörl Thomas Kloiber Bernd Kollmann Miriam Mutici Jakob Schwarz. Quantenmechanik Projekt 2 Das Delta-Potential Quantenmecanik Projekt Gruppe PLANCK Anton Hörl Tomas Kloiber Bernd Kollmann Miriam Mutici Jakob Scwarz Max Planck (1858 1947) 4.4 Delta-Potential Ist die räumlice Ausdenung eines Potentials

Mehr

Produktregel (Ableitung von f g)

Produktregel (Ableitung von f g) Produktregel (Ableitung von f g) f f g 0 f 0 g g 0 Wir aben die Hoffnung, dass die Ableitung von f g mit Hilfe der Ableitungen von f und g ermittelt werden kann. f ( 0 ) = lim 0 f( 0 +) f( 0 ) g ( 0 )

Mehr

Manfred Burghardt. Allgemeine Hochschulreife und Fachhochschulreife in den Bereichen Erziehung, Gesundheit und Soziales

Manfred Burghardt. Allgemeine Hochschulreife und Fachhochschulreife in den Bereichen Erziehung, Gesundheit und Soziales Manfred Burgardt Allgemeine Hocsculreife und Facocsculreife in den Bereicen Erzieung, Gesundeit und Soziales Version /4 Inaltsverzeicnis I Inaltsverzeicnis Inaltsverzeicnis... I Die Ableitungsfunktion

Mehr

Einstieg in die Differenzialrechnung

Einstieg in die Differenzialrechnung Lern-Online.net Matematikportal Dierenzialrecnung (Einstieg) Einstieg in die Dierenzialrecnung Einstiegsbeispiel: Der ideale Kasten Augabenstellung: Ein DIN-A4-Blatt soll zu einem (deckellosen) Kasten

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Linearkombinationen, Basen, Lineare Abbildungen 2.1 Lineare Unabhängigkeit Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig? (a) 1, 2, 3 im Q Vektorraum R (b)

Mehr

Studienordnung für den Integrativen Bachelorstudiengang Linguistik an der Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf vom TT.MM.JJJJ

Studienordnung für den Integrativen Bachelorstudiengang Linguistik an der Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf vom TT.MM.JJJJ Studienordnung Integrativer Bacelorstudiengang "Linguistik", Modulbescreibungen 1 Studienordnung für den Integrativen Bacelorstudiengang Linguistik an der Heinric-Heine-Universität Düsseldorf vom TT.MM.JJJJ

Mehr

Mathematik für Ökonomen

Mathematik für Ökonomen Springer-Lehrbuch Mathematik für Ökonomen Ökonomische Anwendungen der linearen Algebra und Analysis mit Scilab Bearbeitet von Wolfgang Kohn, Riza Öztürk 1. Auflage 2012. Taschenbuch. xv, 377 S. Paperback

Mehr

Zeitplan Abitur. März/Mai des 13. Schuljahres: Mündliche Prüfungen zur besonderen Lernleistung und zur Präsentationsprüfung (jeweils P5).

Zeitplan Abitur. März/Mai des 13. Schuljahres: Mündliche Prüfungen zur besonderen Lernleistung und zur Präsentationsprüfung (jeweils P5). Zeitplan Abitur Nac jedem Halbjareszeugnis: Überprüfung der erbracten Halbjaresleistungen und der recneriscen Möglickeit das Abitur zu besteen durc Sculleitung bzw. APK (Abiturprüfungskommission). Ab April

Mehr

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt SS, Lineare Algebra Die Lösungen wurden erstellt von: Isabel Voigt, Vanessa Lamm und Matthias Rehder Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com aufrufbar.

Mehr

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x

Mehr

e-funktion und natürlicher Logarithmus

e-funktion und natürlicher Logarithmus e-funktion und natürlicer Logaritmus. Die Differentialgleicung y=y' Gibt es eine Funktion, die mit irer Ableitung identisc ist, d.. dass f = f ' für alle gilt? Wenn die Ableitung trigonometriscer Funktionen

Mehr

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt - 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +

Mehr

Charaktere. 1 Wiederholung. 2 Charaktere verschiedener Darstellungen. 1.1 Zerlegung von Darstellungen. 1.2 Schursches Lemma

Charaktere. 1 Wiederholung. 2 Charaktere verschiedener Darstellungen. 1.1 Zerlegung von Darstellungen. 1.2 Schursches Lemma Caraktere 1 Wiederolung 1.1 Zerlegung von Darstellungen Jede Darstellung läßt sic Zelegen in V = V a1 1 V a Wobei die V i irreduzible Darstellungen von G sind und a i N. Die Sätze der Carakterteorie liefern

Mehr

Veranstaltung. Logistik und Materialfluss (Lagerlogistik), Sommersemester 2013

Veranstaltung. Logistik und Materialfluss (Lagerlogistik), Sommersemester 2013 Veranstaltung Logistik und Materialfluss (Lagerlogistik), Sommersemester 203 Übung 4: Tema: Statisce Losgröße Andler Modell Los (lot) : Menge eines Produktes, die one Unterbrecung gefertigt wird. Losgröße(lotsize):

Mehr

A Matrix-Algebra. A.1 Definition und elementare Operationen

A Matrix-Algebra. A.1 Definition und elementare Operationen A Matrix-Algebra In diesem Anhang geben wir eine kompakte Einführung in die Matrizenrechnung bzw Matrix-Algebra Eine leicht lesbare Einführung mit sehr vielen Beispielen bietet die Einführung in die Moderne

Mehr

Dienstleistungsangebot für Besitzer von Ferienwohnungen

Dienstleistungsangebot für Besitzer von Ferienwohnungen I errlices Arosa GmbH I Haus Mittagsarve I 7050 Arosa I 19. April 2013 Seite 1 von 6 Dienstleistungsangebot für Besitzer von Ferienwonungen errlices Arosa GmbH ist der kompetente Partner für Besitzer von

Mehr

Übung zur Vorlesung Einführung in die Betriebswirtschaftliche Steuerlehre

Übung zur Vorlesung Einführung in die Betriebswirtschaftliche Steuerlehre Mercator Scool of Management Prof. Dr. Volker Breitecker, StB Dr. Marco Tönnes, StB SS 2007 Übung zur Vorlesung Einfürung in die Betriebswirtscaftlice Steuerlere Grundlagen: 1. Zur Erzielung von Einnamen

Mehr

Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V

Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V ist die Menge A = Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V ist die Menge A = mit einer Abbildung + : A V A,

Mehr

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist.

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist. Matrizennorm Es seien r,s N Mit M r,s (R bezeichnen wir die Menge der reellen r s- Matrizen (also der linearen Abbildungen R s R r, und setze M s (R := M s,s (R (also die Menge der linearen Abbildungen

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Eines der am häufigsten auftretenden Standardprobleme der angewandten Mathematik ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder

Mehr

= 4. = 2 π. s t. Lösung: Aufgabe 1.a) Der Erdradius beträgt 6.371km. Aufgabe 1.b) Das Meer nimmt 71% der Erdoberfläche ein.

= 4. = 2 π. s t. Lösung: Aufgabe 1.a) Der Erdradius beträgt 6.371km. Aufgabe 1.b) Das Meer nimmt 71% der Erdoberfläche ein. Aufgabe : Die Die ist der fünftgrößte der neun Planeten unseres Sonnensystems und wiegt 5,98* 0 4 kg. Sie ist zwiscen 4 und 4,5 Millionen Jaren alt und bewegt sic auf einer elliptiscen Ban in einem durcscnittlicen

Mehr

1.9 Eigenwerte und Eigenvektoren

1.9 Eigenwerte und Eigenvektoren .9. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 0.9 Eigenwerte und Eigenvektoren Alles in diesem Abschnitt bezieht sich auf quadratische reelle oder komplexe n n-matrizen. Statt E n (n n-einheitsmatrix) wird kurz E geschrieben..

Mehr

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS Herbstsemester 2015 gehalten von Harald Baum 2. September 2015 Inhaltsverzeichnis 1. Stichpunkte zur Linearen Algebra I 2. Körper 3. Vektorräume

Mehr

2008-06-11 Klassenarbeit 5 Klasse 10c Mathematik

2008-06-11 Klassenarbeit 5 Klasse 10c Mathematik 2008-06- Klssenrbeit 5 Klsse 0c Mtemtik Lösung Version 2008-06-4 Cindy t 3000 geerbt. ) Den Betrg will sie so nlegen, dss sie in 20 Jren doppelt so viel Geld t. Berecne, zu welcem Zinsstz sie ds Geld nlegen

Mehr

Mathematische Grundlagen der Ökonomie Übungsblatt 13

Mathematische Grundlagen der Ökonomie Übungsblatt 13 Matematisce Grundlagen der Ökonomie Übungsblatt 13 Abgabe Donnerstag 4. Februar, 10:15 in H3 6+4+5+++1 = 0 Punkte Mit Lösungsinweisen zu einigen Aufgaben 51. Ire Bekannte Dido möcte, dass aus einem günstig

Mehr

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 $Id: jordan.tex,v.6 /6/7 8:5:3 hk Exp hk $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5.4 Die Jordansche Normalform Wir hatten bereits erwähnt, dass eine n n

Mehr

Geometrische Mehrgitterverfahren. Annabell Schlüter

Geometrische Mehrgitterverfahren. Annabell Schlüter Geometrisce Mergitterverfaren Annabell Sclüter 13.07.2010 Inaltsverzeicnis 1 Einleitung 2 2 Das Mergitterverfaren für lineare Probleme 3 2.1 Dämpfungseigenscaften des Jacobiverfarens............ 3 2.2

Mehr

Kraft F in N Dehnung s in m

Kraft F in N Dehnung s in m . Klausur Pysik Leistungskurs Klasse 7. 9. 00 Dauer: 90 in. Wilel T., ein junger, talentierter Bogenscütze darf sic einen neuen Bogen kaufen. Er kann den Bogen it axial 50 N spannen und seine Are reicen

Mehr

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u.

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u. Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. C. Hesse PD Dr. P. H. Lesky Dipl. Math. D. Zimmermann Msc. J. Köllner FAQ 3 Höhere Mathematik I 4..03 el, kyb, mecha, phys Vektorräume Vektorräume

Mehr

2.7. Aufgaben zu Ähnlichkeitsabbildungen

2.7. Aufgaben zu Ähnlichkeitsabbildungen .7. Aufaben zu Änlickeitsabbildunen Aufabe 1 Strecke das Dreieck AB mit A(3 1), B( 3) und ( ) an Z(1 1) um die Streckfaktoren k 1 =, k = 1, k 3 = 1, k 4 = und k =. Aufabe Strecke das Dreieck AB mit A(

Mehr

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Das Eigenwertproblem Sei A eine quadratische Matrix vom Typ m,m. Die Aufgabe, eine Zahl λ und einen dazugehörigen Vektor x zu finden, damit Ax = λx ist, nennt

Mehr

Algebraische Kurven. Vorlesung 26. Die Schnittmultiplizität

Algebraische Kurven. Vorlesung 26. Die Schnittmultiplizität Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2012 Algebraische Kurven Vorlesung 26 Die Schnittmultiplizität Es seien zwei ebene algebraische Kurven C,D A 2 K gegeben, die keine Komponente gemeinsam haben. Dann besteht

Mehr

Musterlösung zur Klausur Lineare Algebra II für Lehramt 30.07.2012

Musterlösung zur Klausur Lineare Algebra II für Lehramt 30.07.2012 Musterlösung zur Klausur Lineare Algebra II für Lehramt 30.07.0 Aufgabe : Entscheiden Sie in dieser Aufgabe, ob die Aussagen wahr oder falsch sind. Begründungen sind nicht erforderlich. Ein korrekt gesetztes

Mehr

Tangentensteigung. Gegeben ist die Funktion f(x) = x 2.

Tangentensteigung. Gegeben ist die Funktion f(x) = x 2. Tangentensteigung Gegeben ist die Funktion () =. Um die Steigung der Tangente im Punkt P( ) zu bestimmen, ermitteln wir zunäcst die Steigung der Sekante durc P( ) und Q( ). Q soll so beweglic sein, dass

Mehr

Reise nach Rio Klimadiagramme lesen

Reise nach Rio Klimadiagramme lesen Reise nac Rio Klimadiagramme lesen Maria will im Juli nac Brasilien fliegen und dort Urlaub macen. Um iren Koffer passend zu packen und Unternemungen planen zu können, suct sie im Internet zunäcst nac

Mehr

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 3. Übungsblatt

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 3. Übungsblatt KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Cristop Scmoeger Heiko Hoffmann SS 24 Höere Matematik II für die Facrictung Informatik Lösungsvorscläge zum 3. Übungsblatt Aufgabe 9 a) Bestimmen

Mehr

Übersicht. Einführung Universelles Hashing Perfektes Hashing

Übersicht. Einführung Universelles Hashing Perfektes Hashing Hasing Übersict Einfürung Universelles Hasing Perfektes Hasing 2 Das Wörterbuc-Problem Gegeben: Universum U = [0 N-1], wobei N eine natürlice Zal ist. Ziel: Verwalte Menge S U mit folgenden Operationen.

Mehr

Neue GuideLed Sicherheitsleuchten

Neue GuideLed Sicherheitsleuchten CEAG GuideLed Sicereitsleucten Neue GuideLed Sicereitsleucten Geradliniges Design kombiniert mit oer Wirtscaftlickeit C-C8 C-C GuideLed SL., 2. CG-S Deckeneinbau EN 838 LED * GuideLed SL. CG-S IP GuideLed

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 25. April 2016 Die Dimensionsformel Definition 3.9 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Der Kern

Mehr

Analysis II. Vorlesung 48. Die Hesse-Form

Analysis II. Vorlesung 48. Die Hesse-Form Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2015 Analysis II Vorlesung 48 Die Hesse-Form Wir sind natürlich auch an hinreichenden Kriterien für das Vorliegen von lokalen Extrema interessiert. Wie schon im eindimensionalen

Mehr

Schriftliche Prüfung Schuljahr: 2008/2009 Schulform: Gymnasium. Mathematik

Schriftliche Prüfung Schuljahr: 2008/2009 Schulform: Gymnasium. Mathematik Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Prüfungen am Ende der Jargangsstufe 10 Scriftlice Prüfung Sculjar: 2008/2009 Sculform: Matematik Allgemeine Arbeitsinweise Die Prüfungszeit beträgt 160 Minuten.

Mehr

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56 5 Beweistechniken Übersicht 5.1 Drei wichtige Beweistechniken................................. 55 5. Erklärungen zu den Beweistechniken............................ 56 Dieses Kapitel ist den drei wichtigsten

Mehr

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: M. Boßle, B. Krinn Ü. Okur, M. Wie Blatt 7 Gruppenübung zur Vorlesung Höere Matematik 2 Sommersemester 202 Dr. M. Künzer Prof. Dr. M. Stroppel Lösungsinweise zu en Hausaufgaben: Aufgabe H 58. Differenzierbarkeit

Mehr

2.12 Potenzreihen. 1. Definitionen. 2. Berechnung 2.12. POTENZREIHEN 207. Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen.

2.12 Potenzreihen. 1. Definitionen. 2. Berechnung 2.12. POTENZREIHEN 207. Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen. 2.2. POTENZREIHEN 207 2.2 Potenzreihen. Definitionen Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen. Eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt x 0 ist eine Reihe a n x x 0 n. Es gilt: es

Mehr

Heizung Pumpen-Auslegung Seite 1 von 5

Heizung Pumpen-Auslegung Seite 1 von 5 Heizung Pumpen-Auslegung Seite 1 von 5 Aus der Heizlastberecnung ergab sic für das gesamte Gebäude ein Wert von 25 kw. Die Vorlauftemperatur ist mit 70 C und die Rücklauftemperatur mit 50 C geplant. Die

Mehr

Definition. Fibonacci-Zahlen als Beispiel Für f = (f n ) n 0 = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...) gilt Rekursion. Matrix-Formulierung. c 2.

Definition. Fibonacci-Zahlen als Beispiel Für f = (f n ) n 0 = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...) gilt Rekursion. Matrix-Formulierung. c 2. Fibonacci-Zahlen als Beispiel Für f = (f n ) = (0,,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34,...) gilt Rekursion erzeugende Funktion f n2 = f n f n (n 0), f 0 = 0, f = f(z) = f n z n = z z z 2 Partialbruchzerlegung mit φ

Mehr

TURBOVAC i Turbomolekular-Pumpen

TURBOVAC i Turbomolekular-Pumpen TURBOVAC i Turbomolekular-Pumpen Ein großer Scritt für die Welt des Vakuums Es ist noc nie so einfac gewesen, Ire Prozesse zu optimieren. TURBOVAC (T) 350-450 i ermöglict Inen die Optimierung Irer Abpumpzeiten

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Höhere Mathematik für Ingenieure Band II

Höhere Mathematik für Ingenieure Band II Teubner-Ingenieurmathematik Höhere Mathematik für Ingenieure Band II Lineare Algebra Bearbeitet von Klemens Burg, Herbert Haf, Friedrich Wille, Andreas Meister 1. Auflage 2012. Taschenbuch. xvii, 417 S.

Mehr

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Dipl.-Math. Kevin Everard Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14 Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mehr

Kapitel 4. Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform. 4.1 Euklidische Ringe

Kapitel 4. Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform. 4.1 Euklidische Ringe Kapitel 4 Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform 4.1 Euklidische Ringe Die Ringe der ganzen Zahlen, Z, sowie Polynomringe über Körpern, K[X], wobei K ein Körper ist, haben die folgenden Gemeinsamheiten:

Mehr

Übungen zum Mathematik-Abitur. Geometrie 1

Übungen zum Mathematik-Abitur. Geometrie 1 Geometrie Übungen zum atematik-abitur -7/8 Übungen zum atematik-abitur Geometrie Gegeben sind die Punkte ( 4 ) und ( 5 6 4) P und die Gerade 7 4 g: x= + r 4 Aufgabe : Die Ebene E entält g und Bestimmen

Mehr

Kochen mit Jordan. Vorbereitungen. Schnellzubereitung. JNF für Genießer wenn s noch etwas mehr sein darf

Kochen mit Jordan. Vorbereitungen. Schnellzubereitung. JNF für Genießer wenn s noch etwas mehr sein darf Kochen mit Jordan Vorbereitungen Man nehme eine Matrix A R n n und bestimme ihr charakteristisches Polynom p(λ) = (λ c ) r (λ c j ) rj C[X] Dabei gilt: algebraische Vielfachheit r j ˆ= Länge des Jordanblocks

Mehr

Lösungen zur Vorrundenprüfung 2006

Lösungen zur Vorrundenprüfung 2006 Lösungen zur Vorrundenprüfung 2006 Zuerst einige Bemerkungen zum Punkteschema. Eine vollständige und korrekte Lösung einer Aufgabe ist jeweils 7 Punkte wert. Für komplette Lösungen mit kleineren Fehlern

Mehr

Basistraining Vektorgrafik

Basistraining Vektorgrafik Basistraining Vektorgrafik Der kreative Pfad zu besseren Grafiken Bearbeitet von Von Glitschka 1. Auflage 2014. Taschenbuch. XVI, 234 S. Paperback ISBN 978 3 86490 182 9 Format (B x L): 18,5 x 24,5 cm

Mehr

Komplexe Zahlen. Kapitel 1. 1.1 Definitionen 18.4.01

Komplexe Zahlen. Kapitel 1. 1.1 Definitionen 18.4.01 Kapitel Komplexe Zahlen Motivation: die Gleichung x = hat offensichtlich keine reellen Lösungen, da x 0 für jedes reelle x gilt Um auch diese Gleichung lösen zu können, muß man neue Zahlen einführen: die

Mehr

Analysis II. Vorlesung 48. Die Hesse-Form

Analysis II. Vorlesung 48. Die Hesse-Form Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2014 Analysis II Vorlesung 48 Die Hesse-Form Wir sind natürlich auch an hinreichenden Kriterien für das Vorliegen von lokalen Extrema interessiert. Wie schon im eindimensionalen

Mehr

Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen

Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Thomas Coutandin (cthomas@student.ethz.ch) 7. November 2 Abbildungsmatrizen Im Folgenden betrachten wir stets endlich dimensionale K-Vektorräume (K irgend

Mehr

ma t 4 u GITARREN- UND LAUTENBÜNDE GRUNDLEGENDES DAS MONOCHORD

ma t 4 u GITARREN- UND LAUTENBÜNDE GRUNDLEGENDES DAS MONOCHORD GRUNDLEGENDES DAS MONOCHORD Scon in der Antike war es üblic, Intervalle durc Streckenteilung auf einer gespannten Saite geometrisc darzustellen. Das dabei benützte Instrument eißt Kanon oder Monocordon

Mehr