Klausur zur Vorlesung Stochastische Modelle in Produktion und Logistik im SS 2010

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1 Leibniz Universität Hannover Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät Institut für Produktionswirtschaft Prof. Dr. Stefan Helber Klausur zur Vorlesung Stochastische Modelle in Produktion und Logistik im SS 2010 Hinweise: 1. Die Klausur besteht aus 10 Seiten (inkl. Deckblatt). Bitte überprüfen Sie, ob Ihr Exemplar komplett ist und lassen Sie sich ggf. ein anderes geben. 2. Alle Aufgaben sind zu bearbeiten. 3. Bei einer Klausurdauer von 60 Minuten sind insgesamt 60 Punkte zu erreichen. 4. Der Lösungsweg muss erkennbar sein! Wenn Sie zur Beantwortung einer Frage eine Formel verwenden, so geben Sie diese zunächst in allgemeiner Form an! 5. Als Hilfsmittel ist ein nicht alpha-numerisch programmierbarer Taschenrechner zulässig sowie ein beidseitig handbeschriebenes Hilfsblatt im Format DIN A4 mit Formeln etc. nach Ihrer Wahl. 6. Zur Beantwortung der Fragen finden Sie genügend Platz in der Klausur. Bitte reißen Sie die Klausur nicht auseinander und verwenden Sie kein eigenes Papier. 7. Tragen Sie bitte zuerst Ihre persönlichen Daten ein. Persönliche Daten: Nachname Vorname Matrikelnr. Studienfach Semester Bewertung: Aufg Summe Punkte 1

2 1. Poisson-Verteilung (10 P.) Die Anzahl X der Kundenankünfte an einem Bankschalter in einem Zeitabschnitt sei Poisson-verteilt mit dem dimensionslosen Parameter λ = 3. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass in einem solchen Zeitabschnitt (a) kein Kunde ankommt; (b) mindestens ein Kunde ankommt; (c) zwei bis vier Kunden ankommen; 2

3 (d) höchstens zwei Kunden ankommen; (e) mehr als drei Kunden ankommen. 2. Gamma-Verteilung (5 P.) Welche Gamma-Verteilung einer positiven ZV T liefert einen Erwartungswert E[T ] = 16 3 sec bei einem VC = 3 4? 3

4 3. Zeitkontinuierliche Markow-Ketten (20 P.) Der Transport zwischen zwei Orten A und B wird durch Sammeltaxen durchgeführt. Am Ort A gibt es einen Taxistand, an welchem zu jedem Zeitpunkt Taxen auf Kunden warten. Ein Taxi kann vier Fahrgäste transportieren. Eintreffende Fahrgäste steigen sofort in das Taxi am Beginn der Schlage ein. Dieses Taxi fährt los, sobald mindestens drei Fahrgäste eingestiegen sind. Die Fahrgäste treffen entweder einzeln oder zu zweit (also als Paare) ein. Die Zeit zwischen dem Eintreffen neuer Fahrgäste (einzeln oder als Paar) ist exponentialverteilt mit Rate λ. Wenn neue Fahrgäste eintreffen, handelt es sich mit Wahrscheinlichkeit α um einen einzelnen Fahrgast und mit Wahrscheinlichkeit (1 α) um ein Paar mit zwei Fahrgästen. (a) Definieren Sie den Zustandsraum hinsichtlich der Anzahl wartender Fahrgäste! (2 P.) (b) Zeichnen Sie das Übergangs(raten)diagramm auf! (4 P.) 4

5 (c) Geben Sie das Gleichungssystem zur Bestimmung der Zustandswahrscheinlichkeiten für den eingeschwungenen Zustand des Systems an! (4 P.) (d) Ermitteln Sie geschlossene Ausdrücke für die Zustandswahrscheinlichkeiten und berechnen Sie diese daraus für α = 0 und α = 1. Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Parameter λ des Ankunftsprozesses und den Zustandswahrscheinlichkeiten? (10 P.) 5

6 6

7 4. Warteschlangenmodelle (10 P.) Bei einer telefonischen Seelsorge gibt es drei Mitarbeiter, die gleichzeitig Anrufe entgegennehmen können. Dafür gibt es drei Anschlüsse mit je einer Telefonleitung. Alle 20 Minuten geht im Mittel ein Anruf ein. Die Zwischenankunftszeiten und Gesprächsdauern seien unabhängig und exponentialverteilt. Dabei dauert ein Gespräch etwa 30 Minuten. (a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Anrufer ein Besetzt-Zeichen hört, wenn wir annehmen, dass die drei Anschlüsse über die gleiche Nummer zu erreichen sind, und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass keiner der Mitarbeiter telefoniert? (4 P.) (b) Wie groß sind diese Wahrscheinlichkeiten, wenn wir annehmen, dass jeder Anschluss unter einer anderen Nummer zu erreichen ist und jede Nummer die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, vom Anrufer gewählt zu werden? (4 P.) 7

8 (c) Erklären Sie die Unterschiede zwischen den Ergebnissen! (2 P.) 8

9 5. Zeitstetige Markow-Ketten (15 P.) (a) Was versteht man unter dem eingeschwungenen Zustand einer zeitstetigen Markow- Kette? (2 P.) (b) Weist jede zeitstetige Markow-Kette einen solchen eingeschwungenen Zustand auf? Begründen Sie Ihre Antwort! (5 P.) (c) Geben Sie einen allgemeinen Ansatz zur Bestimmung der Zustandwahrscheinlichkeiten einer zeitstetigen Markow-Kette im eingeschwungenen Zustand an! (3 P.) 9

10 (d) Erläutern Sie, welche Rolle die Exponentialverteilung bei der Begründung dieses Ansatzes zur Bestimmung der Zustandwahrscheinlichkeiten spielt! (5 P.) 10

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