Informationstechnik - Mitschriften (SS 2011 gehalten von Prof. Haardt)

Transkript

1 Informationstechnik - Mitschriften (SS gehalten von Prof. Haardt) Vorwort: Diese Aufzeichnungen bestehen (fast) ausschließlich aus meinen persönlichen Mitschriften und Ergänzungen. Ich weise daher explizit darauf hin, dass es sich hier um (!!!) KEIN OFFIZIELLES SKRIP (!!!) für das Fach Informationstechnik handelt. Im weiteren erheben diese Aufzeichnungen KEINEN Anspruch auf Vollständigkeit oder Korrektheit. (Nutzung auf eigene Gefahr) Diese Mitschriften sollen nicht dazu dienen die Vorlesung nicht mehr zu besuchen (ab und an kommt es vor, dass doch mal etwas nützliches erwähnt wird ;-)). Vielmehr sollten sie als eine Ergänzung zur Vorlesung betrachtet werden. Diese Aufzeichnungen sind während eines laufenden Semesters entstanden. Ich bitte daher um Verständnis dafür, dass ich nicht die Zeit hatte alles 5 mal Korrektur zu lesen. Daher gilt im Allgemeinen: WER RECHSCHREIBFEHLER FINDE DARF SIE BEHALEN!

2 . Einführung oft UL 6GHz DL 4GHz} FDD Bandbreite ~ 5Mhz für ransponder (36MHz pro ransponder) -> entspricht Farb-V-Kanal oder Sprachkanäle-Daten mit 5Mb/s Klassifikation von Übertrakungssystemen (A/D-Fiefranetz) bzw. analoge Modulationsverfahren Austausch von Informationen Kommunikations-Informationstechnik Austausch von Nachrichten über räumliche Distanzen mit Hilfe von Übertragungseinrichtungen wie elefon, Mobilfunk, WLANs (Wireless Local Area Networks), PANs (Personal Area Networks), Kabelfernsehen, Internet, etc. Unterhaltungs-Informationstechnik Spielgeräte und Multimedia-Anwendungen Business-Informationstechnik I der Finanzwelt (Handel, Börse, Versicherungen, Banken, Steuerwesen) industrielle Informationstechnik Austausch von Informationen sowohl innerhalb einer Industrieanlage als auch standort-, prozeß- und ggf. auch unternehmensübergreifend. Digitales Kommunikationssystem

3 . Übertragungskanal drahtgebunden elefonkabel Koaxialkabel Glasfaser große Bandbreite geringe Verluste geringe elektromagnetische Interferenz geringe Größe und Gewicht große Stabilität und Flexibilität drahtlos Rundfunkkanal (Radio, Fernsehen) Antenne zur Ausstrahlung Modulation auf rägerfrequenz Mobilfunkkanal Mobilität => zeitvarianter Kanal Mehrwegeausbreitung (oft keine Sichtverbindung) Vorlesung: Mobile Communications (SS) Satellitenkanal große Reichweite meist geostationär.3 Klassifikation von Übertragungssystemem Analoge iefpaßübertragung Beispiel: analoges Fernsprechnetz Digitale iefpaßübertragung Beispiel: PCM 3 Analoge rägermodulation (Bandpaßsignale) Beispiele: UKW-Rundfunk Analoge Mobilfunknetze (AMPS, C-Netz) Digitale rägermodulation (Bandpaßsignale) Beispiele: Digitaler Rundfunk (DAB, etc.) Digitale Mobilfunknetze (GSM, UMS, etc.)

4 Analoge und Digitale rägermodulationsverfahren => Analoge Pulsamplitudenmodulation (PAM) => Quantisierung 3

5 => Signalraumdiagramme für Digitale PAM Signale => Basisband PAM Signal => Basisband und Bandpass PAM Signale 4

6 . Analoge Modulationsverfahren => Analoge und digitale rägermodulationsverfahren => Analoge rägermodulationsverfahren Amplitudenmodulation (AM) Das Nachrichtensignal moduliert (verändert) sinusförmigen rägers. Winkelmodulation Das Nachrichtensignal moduliert (verändert) Phase) eines sinusförmigen rägers. Phasenmodulation (PM) und Frequenzmodulation spezielle Formen der Winkelmodulation 5

7 . Amplitudenmodulation (AM) kosinusförmiger räger: c(t)=a c cos(π f c t) informationstragendes Signal im P-Beeich: m(t ) AM: s(t)= A c [+k a m(t)]cos( π f c t ) k a : Amplitudenempfindlichkeit Bedingungen: k a m(t) < +k a m(t)> (Hüllkurvendetektor einsetzbar) f c f g (Carrier(räger)-Frequenz deutlich größer als Grenzfrequenz) Berechnung: m(t) M ( f ) reell R{M ( f )}gerade I{M ( f )}ungerade s(t) S( f )= A c [δ ( f f c )+δ( f + f c )]+ k a A c [M ( f f c )+M ( f + f c )] 6

8 Merkmale:. AM verschwendet Sendeleistung, da nur ein eil der Leistung zur Übertragung von c(t) genutzt wird.. AM verschwendet Bandbreite, da das obere und untere Seitenband auf Grund der Symmetrie von M ( f ) eindeutig miteinander zusamenhängt. (Modifikation --> Systemkomplexität steigt) Allgemeine Darstellung linearer Modulationsverfahren s(t ) = [s I (t )cos( π f c t) s Q (t)sin(π f c t)] s I (t) Inphasekomponente s Q (t) Quadraturkomponente m(t ) Nachrichtensignal m(t ) Hilbertransformierte Berechnung der Hilberttransformierten m(t ). m(t ) M ( f ). M ( f )= j sign( f ) M ( f ) 3. M ( f ) m(t ) j sign( f )={ j, f >, f = j, f < Kohärente Detektion eines DSB-SC (double-sideband suppressed-carrier) Signals Zweiseitenband-Übertragung mit untertrücktem räger lokaler Oszilator eines DSB-SC Signals muss exakt in Frequenz und Phase (kohärent) synchronisiert sein 7

9 Hilfsmittel: cos(α) cos(β)= [cos(α+β)+cos(α β)] x(t ) = A c A c ' m(t)cos(π f c t)cos(π f c t+φ) = A A ' m(t)cso(4π f t+φ) c c c + A A c c ' m(t )cos(φ) P Costa-Empfänger (automatische Phasensynchronisation) Q-Kanal: Hilfsmittel: cosα sinβ= [sin(α+β) sin(α β)] setzen A c '= A C m(t)cos(π f c t )sin (π f c t+φ) = A m(t ) c [ sin (4π f ct+φ) sin ( Φ) +sin (Φ) ]. Winkelmodulation Merkmale: Φ= I-Kanal: m(t ) Q-Kanal: Φ, aber klein I-Kanal: Q-Kanal: nicht linear bessere Resistenz gegen Rauschen und Interferenz erhöter Bandbreitenbedarf fast unverändert sin Φ ~ Φ 8

10 Θ i Winkel des modulierten sinusförmigenrägers s(t)= A c cos(θ i (t)) mittlere Frequenz: (falls Θ i (t) monoton steigend) f Δ t (t)= Θ i (t+δ t) Θ i (t) π Δt Momentanfrequenz: f i (t)= lim Δ t f Δ t (t) f i (t)= d Θ i (t) π dt beliebte Varianten der Winkelmodulation.. Phasenmodulation PM Θ i (t)= π f c t+k p m(t) π f c t Winkel des unmodulierten rägers k p Phasenhub des Modulators s(t)= A c cos[ π f c t+k p m(t)].. Frequenzmodulation FM f i (t)= f c +k f m(t) k f Frequenzhub für t= : Θ i (t)= t Θ i (t) = π f c t+ π k f m(τ)d τ s(t) = A c cos[π f c t+πk f t m(τ)d τ] Nulldurchgänge in ungleichen Abständen (PM + FM) konstante Einhüllende ( AM) nicht linearer Verstärker: 9

11 FM-Signale können als PM-Signale betrachtet werden t m PM (t)= π m FM (τ)d τ 3. Stochastische Prozesse Einführung Als bekannt werden vorausgesetzt: Wahrscheinlichkeitsraum Bedingte Wahrscheinlichkeiten (unabhängiger Ereignisse) Zufallsvariablen (ZV), Verteilungsfunktion und Dichte Kennwerte von Zufallsvariablen Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen Mehrdimensionale Zufallsvariablen: Verteilungsfunktion und Dichte Randdichten und bedingte Dichten Unabhängigkeit von Zufallsvariablen Funktionen von zweidimensionalen Zufallsvariablen Komplexwertige Zufallsvariablen ransformation von Zufallsvariablen Gesetz der großen Zahlen und Grenzwertsätze Deterministische (determinierte) Signale: Vorgänge, die durch einander fest zugeordnete Funktions- und Argumentwerte beschrieben werden Stochastische Signale: Zufällige Funktionswerte als Funktion der Zeit Nur mit solchen nicht vorhersehbaren Signalen kann Information übertragen werden Informationsübertragungssysteme: Stochastische Eingangssignale Hier: stationäre, ergodische, stochastische Prozesse: Beschreibung auch durch Korrelationstheorie Stochastischer Prozess X (t, ξ) Eine mit dem Parameter t indizierte Familie von Zufallsvariablen t wird i.a. als Zeit interpretiert (kontinuierlicher Parameter) zu jedem festen Zeitpunkt t ist X t (ξ)= X (t, ξ) eine Zufallsvariable wird der Zufallsparameter ξ in X (t,ξ) festgehalten, ergibt sich eine Zeitfunktion, die als Realisierung oder Pfad des Prozesses bezeichnet wird die Anzahl aller möglichen Pfade ist i.a. überabzählbar unendlich Beispiel: ξ = Firma X (t,ξ ) = Aktienkurs der Firma ξ = Firma X (t,ξ ) = Aktienkurs der Firma e.t.c.

12 Stochastischer Prozess = Ensemble (Gesamtheit) seiner Realisierungen Vereinfachung der Notation: X (t,ξ)= X (t) (aber beachte das es sich um einen stochastischen Prozess handelt!) Stationarität Die statistische Eigenschaften eines Prozesses sind zeitunabhängig. Nach der Unterteilung des Prozesses in Zeitintervalle, besitzen unterschiedliche Zeitintervalle die gleichen statistischen Eigenschaften. Vorgang basiert auf einem stabilen physikalischen Prozess, der sich in einem eingeschwungenen Zustand befindet Betrachtung bzgl. N N verschiedener Zeitpunkte t <t < <t N Reelle Zufallsvariablen X (t n ) mit n=,, N sind durch ihre gemeinsame N - dimensionale Wahrscheinlichkeitsdichte f (x t,, x t N ) charakterisiert Definiere eine andere Menge von Zufallsvariablen X (t n +h) ( h... Zeitverschiebung) i.a. gilt f (x,, x ) f (x t +h t N +h t,, x t N )

13 Definition: Falls f (x t +h,, x t N +h )= f (x t,, x t N ) für jedes h und jedes N gilt, ist X (t) ein stark stationärer Prozess strict sense stationary (SSS) random process Alle statistischen Eigenschaften (z.b. Dichten und Momente) gegenüber einer Verschiebung der Zeitachse invariant 3. Scharmittelwerte Momente stochastischer Prozesse werden wie Momente von Zufallsvariablen definiert. Definition: Scharmittelwert (ensemble average) alle Realisierungen werden in den Mittelungsprozess einbezogen k - tes Moment der Zufallsvariablen x k t n E {X k (t n )} = f X (x t n )d x t n = E {X k (t n )} falls X (t n )stationär (k ) = m X Autokorreltationsfunktion AKF (des reellen stochastischen Prozesses X (t) ) φ XX (t, t ) = E { X (t ), X (t )} = x t x t f ( x t, x t )dx t dx t falls X (t) stark stationär ist, gilt: f (x t, x t )= f ( x, x ), t,t,h t +h t +h AKF hängt nicht von t & t ab, sondern nur von τ=t t =b φ XX (t, t ) = φ(t t ) = φ XX (τ) = E {X (t) X (t+h)} φ XX ( τ) = E {X (t) X (t τ)} = E { X (t '+τ) X (t ')} = φ XX ( τ)

14 Definition: Ein Przoss, dessen Erwartungswert konstant ist und für dessen AKF φ XX (t, t )=φ XX (t t )=φ XX ( τ) gilt, heißt schwachstationär (wide sense stationary wss random process) Heißt: Für die schwache Stationarität genügen Realisierungen von X (t). "Satz:" Die AKF nimmt ihr Maximum bei τ= an, d.h. φ XX (τ) =φ XX (o) τ Beweis: φ XX () = E {X (t)} = m X () E {[ X (t+τ)± X (t)] } E {X (t+τ)} ± E { X (t+τ) X (t)} + E { X (t)} φ XX () φ XX (τ) φ XX () φ XX ()±φ XX (τ). Fall: φ XX ()+ φ XX ( τ) φ XX (τ) φ XX (). Fall: φ XX () φ XX ( τ) φ XX (τ) φ XX () Damit folgt: φ XX () φ XX ( τ) φ XX () q.e.d. Die AKF beschreibt die Abhängigkeit zweier Zufallsvairablen x(t ), die im Zeitbereich um τ verschoben sind. Je schneller sich X (t) im Zeitbereich ändert, desto schneller klingt φ XX (τ) mit wachsendem τ ab. Wiederholung Die Zufallsvariablen X und Y sind statistisch unabhängig, falls gilt: wobei f XY (x, y)= f X ( x) f Y ( y) f X ( x)= f XY (x, y)dy und f Y ( y)= f XY (x, y)dx. f X ( x) und f Y ( y) heißen Randdichten von X bzw. Y. Beispiel: -D Normalverteilung f X (x )= (x μ ) σ π e σ f X (x )= (x μ ) σ π e σ f XX ( x, x )= (x μ ) e π σ σ, + (x μ ) σ σ Ende der Wdh. 3

15 Mittlere Leistung des stationären stochastischen Prozesses x(t ) φ XX ()=E {X (t)}=m X () Annahme: x(t ) enthalte keine periodischen Bestantteile, so dass x(t ) und x(t+τ) für τ praktisch von einander unabhängig sind. lim f ( x t, x t +τ ) = f ( x t ) lim f (x t +τ ) τ ± τ ± lim φ XX ( τ) = lim E {x(t ) x(t+τ)} τ ± τ ± Kreuzkorrelationsfunktion τ ± = lim = x t f ( x t )dt lim x t x t+ τ f (x t, x t +τ )dx t d x t +τ τ ± E {x(t)} = E {x(t)}=[ m x () ] x t+ τ f (x t +τ )d x t +τ E {x(t)} Sind X (t) und Y (t) zwei stationäre Zufallsprozesse, stellen X (t n ):n=,, N und Y (t ' m ): m=,, M für die beliebige Zeitpunkte t < <t N und t ' < <t ' M, N, M N Zufallsvariablen dar gemeinsame Dichte f XY (x t,, x tn : y t ',, y t ' M ) charakterisiert die statistischen Eigenschaften Kreuzkorrelationsfunktion (KKF) von X (t) und Y ( t) φ XY (t,t ) = E {X (t )Y (t )} = x t y t f XY (x t, y t )dx t dy t Kreuzkovarianzfunktion (KKF der zentrierten Prozesse) c XY (t,t ) = E {[ X (t ) E {X (t )}] [Y (t ) E {Y (t )}]} = φ XY (t,t ) E {X (t )}E {Y (t )} X (t) und Y (t) sind gemeinsam schwach stationär wenn sowohl X (t) als auch Y (t) stationär ist und ihre KKF nur von τ=t t abhängt. Dann gilt: φ XY (t,t ) = φ XY ( τ) = E {X (t )Y (t +τ )} c XY (t,t ) = c XY (τ) = E {[ X (t ) E {X (t)}] [Y (t+τ) E {Y (t)}]} = φ XY (τ) - E {X (t)}e {Y (t)} φ XY ( τ) = E {X (t)y (t τ)} mit t '=t τ = E {X (t '+ τ)y (t ' )} = E {Y (t ' ) X (t '+ τ)} = φ YX (τ) Symmetrieeigenschaft Maximum nicht bei τ= 4

16 Stochastische Unabhängigkeit Definition: Die Prozesse X (t) und Y (t) heißen stochastisch unabhängig (statistically independent), wenn f XY (x t,, x t N : y t ',, y t ' M )= f X ( x t,, x t N ) f Y ( y t ',, y t ' M ) für beliebige t n,t ' m und alle N,M N gilt. Die Prozesse sind unkorreliert, wenn gilt: t,t : φ XY (t,t )=E {X (t )}E {Y (t )} c XY (t,t )= Gilt: t,t : φ XY (t,t )=E {X (t )}E {Y (t )}= heißen X (t) und Y ( t) orthogonal. Beispiel einer AKF Betrachtung des zentrierten stochastischen Prozesses x z (t )=x(t ) E {x(t)} Wechselkomponente AKF von x(t ) entspricht AKF von x z (t ) c xx (t,t ) = E {[ x(t ) E {x(t )}] [ x(t ) E {x(t )}]} = E {x(t ) x(t ) x(t ) E {x(t )} x(t ) E {x(t )}+E {x(t )}E {x(t )}} = E {x(t ) x(t )} E {x(t )x(t )} E {x(t ) x(t )}+E {x(t ) x(t )} x(t )~ wss φ XX (t,t ) = E {x(t ) x(t )} E {x(t )}E {x(t )} c xx (t, t ) = c XX (t t ) = c XX (τ) = φ XX (τ) - [E {x (t)}] Varanz: μ x () =c XX ()=m x ( ) [m x () ] (. weites zentrales Moment) 5

17 Beispiel: x(t )=A cos(π f c t+θ), A, f c sind konstant f Θ ={, π<θ π π,sonst Autokorrelationsfunktion Hilfsmittel: cos α cos β=cos(α+β)+cos(α β) φ XX ( τ) = E {x(t+ τ) x(t)} = E {Acos( π f c t+ π f c τ+θ) A cos( π f c t+θ)} = = = A E {cos(4 π f t+π f c c A π π π cos(4 π f ct+ π f c τ+ Θ)d Θ Integrationüber Perioden A E {cos( π f c τ)} periodisch τ+ Θ)}+ A E {cos( π f c t)} + A E {cos( π f c τ)} Skizze: 3. Zeitmittelwerte Zeitmittelwerte sagen etwas über einzelne Realisierungen aus und können von Realisierung zu Realisierung variieren Ergodische Prozesse: Klasse stationärer Prozesse, für die Scharmittelwerte und Zeitmittelwerte identisch sind Definition: Der stationäre stochastische Prozess ist ergodisch, wenn alle seine statistischen Eigenschaften aus einer einzigen Realisierung abgeleitet werden können. Ergodizität lässt sich i.a. nicht ohne weiteres nachprüfen Ergodenhypothese (mit der die Ergodizität einfach postuliert wird) oder man begnügt sich mit eingeschränkten Aussagen 6

18 Definition: Es seien g :R R eine reellwertige Funktion und x(t ) ein Pfad des stationären stochastischen Prozesses X ( t) g [x(t)] = lim g[ x(t )] dt = lim g [ x(t )]dt heißt zeitlicher Mittelwert der Realisierung bezüglich der Funktion. Beispiel: g [ x(t )]=x(t) Identität Zeitlicher Mittelwert des Pfades x (t ) : m x () = x(t) = lim x( t)dt = lim x(t)dt = E { X (t)} 3.. Ergodische Prozesse Definition: (Ergodizität) Der stationäre stochastische Prozess g [ x(t)]=e {g [ X (t)]} gilt. X (t) heißt ergodisch bezüglich g wenn Zur Überprüfung der Ergodizität bezüglich des Mittelwerts der Ordnung k werden Momente der Ordnung k benötigt. g [ x]=x k "Beispiel": Berechnung der Kenngrößen (Mittelwerte) eines ergodischen Zufallsprozesses aus den entsprechenden zeitlichen Mittelwerten k-tes Moment: m x (k) = lim x k (t )dt = E {X k (t)} = x k t f X ( x i )dx i z.b. linearer Mittelwert (Gleichkomponente) m x ( ) = x(t) = lim x(t)dt = E {X (t )} quadratischer Mittelwert (mittlere Leistung) m x () = x (t) = lim x (t)dt = E {X (t)} Effektivwert: x eff = x (t) 7

19 k-tes zentriertes Moment zentrierter Pfad: x z (t)=x(t) x(t) [ x(t) x(t)] k dt = E {[ X (t) E {X (t)}] k } (k ) μ x = lim. zentrales Moment: μ () x = Varianz / Dispersion / Wechselleistung (= mittlere Leistung der Wechselkomponente) μ x () = [ x(t) x(t)] = lim [ x(t) x(t)] dt = E {[ X (t) E {X (t)}] } Mittlere Gesamtleistung = Gleichleistung + Wechselleistung m x () =[ m x () ] +μ x () Standartabweichung: μ x ( ) Autokorrelationsfunktion (AKF) μ x () =m x () [ m x () ] φ XX (τ) = lim x(t )x(t+ τ)dt = E {X (t) x(t+τ)} mittlere Gesamtleistung: φ XX ()= x () (t)=m x Autokovarianzfunktion (AKF eines zentrierten Pfades) c XX ( τ) = lim [ x(t) x(t)][ x(t+τ) x(t)] dt = φ XX (τ) [ x(t )] = E {[ X (t) E {X (t)}] [ X (t+τ) E {X (t)}]} Kreuzkorrelation Annahme: X (t) und Y ( t) sind gemeinsam ergodisch, d.h. beide Prozesse sind gemeinsam schwach stationär und ergodisch, und auch für ihre gemeinsamen Momente gilt die Vertauschbarkeit von Schar- und Zeitmittelwerten. Kreuzkorrelationsfunktion (KKF) Maß für die lineare statistische Korrelation zweier Zufallsfunktionen x(t) und y(t) als Realisierungen zweier verschiedener schwach stationärer ergodischer Prozesse. φ XY (τ) = lim x(t) y(t+τ)dt x(t) y(t+τ) = E {X (t)y (t+τ)} Kreuzkovarianzfunktion c XY (τ) = lim [ x(t ) x(t)][ y(t+τ) y(t)] dt = φ XX (τ) x(t) y(t) = E {[ X (t) E {X (t)}] [Y (t+τ) E {Y (t )}]} 8

20 3.3 Zeitmittelwerte von deterministischen Signalen 3.3. AKF periodischer Zeitfunktionen Betrachten: periodische, deterministische Zeitfunktion u p (t) mit Periode t p u p (t+k t p )=u p (t), k Z lässt sich als Grenzfall einem stationären ergodischen Prozess zuordnen, dessen Realisierungen u p (t t x ) durch zeitliche Verschiebung t x von u p (t ) gebildet werden. t x gleich verteilt in [,t p ] φ u p u p (τ) = φ pp (τ) = u p (t)u p (t+τ ) = u k t p (t)u p (t+τ)dt p kt p φ u p u p ( τ) ist periodisch mit Periode t p, φ u p u p (t kt p )=φ u p u p (τ) k= : φ pp ( τ)= t p / u t p (t )u p (t+τ)dt p t p / Mittelwert der AKF φ kt pp (τ )d τ = p kt p = = kt p l t p l t p u p kt p (t)[ l t p u p (t l t p )[ k t p l t p u p (t )u p (t)dt = u p (t) u p (t) = [m u p l t p u p (t+τ)dt] d τ k t p u p (t+τ)d τ] dt ()] = φ pp (τ) auch hier gilt: φ pp ( τ) = φ pp ( τ) φ pp (τ ) = φ pp (τ+kt p ) = φ pp () Leistungssignal, da <φ pp ()< φ pp () = u p (t) Mittlere Leistung 9

21 3.3. AKF aperiodischer, deterministischer Zeitfunktionen (Energiesignale) E {u(t)} = u(t)+const u(t )ist kein stationärer Vorgang E {u(t )+u(t )} = u(t ) u(t )+ f (t t )} AKF... Maß für die zieliche Variabilität eines Vorgangs Definition der AKF: φ E uu (τ ) = φ E uu () = u (t)u (t+τ)dt u (t)dt=e < Energiesignal: formal die gleichen Eigenschaften wie die AKF einer zeitlichen (nicht periodischen) ZV φ uu ( τ ) = φ uu (τ) φ uu (τ) τ < φ uu ()= E lim uu( τ) τ = Beispiel: Wiederholung: Faltung : u (t) u (t) = u (t) u (t β)d β AKF: φ uu E (τ ) = u(z) u (z+τ)d τ = u( α) u(τ α)( d α) = u( α) u(τ α)d α z= α ;dz = d α Vergleich mit Faltung: φ E uu (τ ) = u( τ) u(τ) u e (t) = u a (t)+g(t) E (τ) = u(τ) u( τ) φ uu

22 3.4 Fouriertransformation 3.4. Spektrale Energiedichte Betrachten: u(t)... aperiodisch, deterministisch φ uu E (τ) = u(τ ) u( τ) (gerade und reell) φ E uu ( τ) Φ UU E ( f ) = φ E uu (τ) e j π f τ d τ Abstrakte Betrachtung der AKF (ohne Faltung) u (t) U ( f ) U ( f ) φ E uu (τ) Energie: E = φ E uu () = = U * ( f ) U ( f )= U ( f ) (gerade und reell) Φ E uu ( f )df Φ uu ( f ) spektrale Energiedichte von u(t ) gibt die Energieverteilung auf die Frequenzenan Φ E uu ( f ), f 3.4. Spektrale Leistungsdichte (power spectral density) x(t)~ wss Fouriertransformation der AKF von stochastischen Prozessen. φ XX (τ) = E {X (t) X (t+τ)} Einstein Wiener Chinêin Beziehung φ XX (τ) Φ XX (f ) = φ XX (τ)e j π f τ d τ Beziehung zwischen der spektralen Leistungsdichte Φ XX (f ) und dem Spektrum einer Realisierung ( Beobachtungsintervall ): x(t) ist ergodisch und schwach stationär (= wss) x (t) X ( f ) φ XX ( τ)=lim x (t)x (t+τ)dt φ XX (τ) φ XX (τ) = φ XX (τ) Φ XX = x t (t) x (t+τ)dt = [ X * ( f ) X ( f )] = [ x ( τ) x ( τ)] X ( f ) Periodogramm

23 für eine bestimmte Frequenz f ist X ( f ) eine Zufallsfunktion, d.h. Es variiert von Realisierung zu Realisierung [hängt von x (t ) ab] für eine bestimmte Realisierung konvergiert x (t ) nicht für im statist. Sinn das Periodogramm eine Realisierung x (t ) konvergiert für nicht gegen Φ XX (f ) lim ist nur im Zeitintervall erlaubt. X (f ) Ist eine nicht kontinuierliche Schätzung von Φ XX ( f ) [ X ( f ) ] φ XX (τ) = x (t) x (t+ τ)dt = X ( f ) e j π f τ df φ XX (τ) = lim X ( f ) e j π f τ df ( lim darf nicht unter das Integral gezogen werden ), da sonst nicht gleichmäßig konvergent Erwartungswert über alle Realisierungen erforderlich φ XX (τ) = lim E { X ( f ) }e j π f τ df = [ lim E { X ( f ) } ] e j π f τ df Zusammenfassung: Φ XX ( f )=lim E { } X ( f ) Φ XX ( f ) Φ XX ( f )= X ( f ) Periodogramm-Schätzung für konkrete Realisierung Φ XX ( f )=lim E {Φ XX ( f )} Lineare Zeitinvariante Systeme (LI Systeme) x(t) y(t) g(t) G( f ) ~ wss ~ wss Φ XX ( f ) Φ YY ( f )= G( f ) Φ XX ( f ) φ XX (τ) φ XX (τ) Φ XX ( f ) gerade,reell gerade,reell

24 mittlere Leistung: φ XX () = m x () φ XX (τ) = Φ XX ( f ) e j π f τ df = Φ XX ( f )df, [Φ XX ( f )] = W Hz gibt die Leistungsverteilung auf die Frequenzen an, Φ XX ( f ), f p ( f )= Φ ( f ) XX X hat die Eigenschaften einer WSK-Dichte-Fkt. Φ XX ( f )df Beispiel 3.: Fortsetzung: Kosinus mit Zufallsphase geg.: X (t)= Acos(π f c t+θ), Θ gleichverteilt auf [ π, π] AKF: φ XX (τ) = φ XX (τ) Φ XX ( f ) = A cos(π f τ) c A 4 [δ( f f )+δ( f + f )] c c Beispiel 3.: Modulation eines Zufallsprozesses Y (t)= X (t) cos(π f c t+θ), X (t) Informationstragendes Signal i m B Bereich B BP ransformation Θ gleichverteilt auf [ π, π] X (t)~ wss mit AKFφ XX (τ) und sei X (t) statistisch unabhängig von Θ Einschub: φ X t,θ( x t,ϑ) = φ X t ( x t ) φ Θ (ϑ) wenn X und Θ stat. unabh.! φ X t, X t+τ, Θ(x t, x t+ τ,ϑ) = φ X t, X t+τ (x t, x t+ τ ) φ Θ (ϑ) φ XX (τ) = E {Y (t)y (t+τ)} = E {X (t)cos(π f c t+θ) X (t+τ)cos(π f c (t+τ)+θ)} = E {X (t) X (t+τ)} E {cos(π f c t+θ)cos(π f c (t+τ)+θ)} = φ XX (τ) cos(π f ct ) siehe Bsp.3. φ YY ( τ) Φ YY ( f ) = Φ XX ( f ) 4 [δ( f f c )+δ( f + f c )] 3

25 Beispiel: Weißes Rauschen viele Störeinflüsse (wie Verstärkerrauschen oder Störung bei Funkübertragung) lassen sich durch Zufallsprozesse mit einem Leistungsdichtespektrum beschreiben, das über Große Frequenzbereiche nahezu konstant ist. Alle Spektralanteile sind zu gleichen Amplituden vorhanden (~ Analogie zu weißem Licht) Φ XX ( f ) φ XX (τ)=φ δ(τ) E {X (t)} = Keine Korrelation zwischen zwei benachbarten Abtastwerten von x(t ) (unabhängig vom Abtastintervall) Falls x (t) Gauß-verteilt ist, sind benachbarte Abtastwerte statistisch unabhängig AWGN ~ größtmögliche Zufälligkeit (adaptive white gausian noice) weißen Rauschen mit Bandbreite ist physikalisch nicht realisierbar, denn P = φ XX () = Φ XX ( f )df = Bandbreite SystembandbreiteW Φ XX ( f ) = Φ innerhalb der Systembandbreite W weißen Rauschen: - Idealisierung - gerechtfertigt, wenn weißes Rauschsignal auf tief- oder bandpassartige Systeme trifft, die die hohen Frequenzanteile unterdrücken verveinertes Modell: (ideales) bandbegrenztes weißen Rauschen Rauschleistung P=f g Φ =φ XX () φ XX (τ) = f g Φ si (π f g τ) 4

26 falls das Rauschen x(t) im Abstand abgetastet wird, sind benachbarte f g Abtastwerte unkorreliert. Falls zusätzlich x (t) gaußverteilt ist, sind benachbarte Abtastwerte statist. unabh. x( t) = Mittelwert } jedes Rauschwertes x (t) = f g Φ Varianz 4. Signalraumdarstellung Quelle: sendet jeweils Symbol im Zeitabstand M mögliche Symbole (Alphabet): m,,m M (z.b. Binär,) a priori Wahrscheinlichkeiten der Symbole: p,, p M falls gleichwahrscheinlich: p i = P (m i ) = M, i Sender: codiert das Symbol m i eindeutig in das Signal s i (t), dass über den Kanal übertragen werden kann s i (t) reelles Energiesignal Energie : E i = s i (t)dt, i Kanal: AWGN (adaptive white gausian noise) s i (t) x (t) x(t) = s i (t)+w (t), t, i - keine Verzerrung von s i (t) w (t) adaptives Rauschen w (t) : Realisierung eines weißen gausverteilten Rauschens mit E {w(t )} = φ ww (τ) = N o δ( τ) Φ ( f ) = N ww 5

27 Empfänger: beobachtet x(t) in einem Intervall der Länger und trifft die beste Entscheidung bezüglich des übertragenen Signals s i (t) bzw. des Symbols m i mittlere Symbolfehler: P e = i= M p i P ( m m i m i ) Schätzwert ungleichsymbol, wenn Symbol gesendet 4. Geometrische Darstellung von Signalen 4.. Wiederholung Mathematische Grundlagen Definition: (Skalarprodukt) Sei V Vektorraum über dem Körper K (K R K C) und x, y V. x, y heißt Skalarprodukt, wenn: x +x, y = x, y + x, y c x, y = c x, y c K x, y = y, x, (x, y R) bzw. x, y = y, x, (x, y C) x, x >, x Skalarprodukt im R n : n x, y = x y + + x n y n = x i y i i= Skalarprodukt in Funktionsräumen: = ( x) y reell: b f, g = a f (t) g (t)dt komplex: b f, g = a f (t) g (t)dt Definition der Norm (hier Betrag): x = < x, x > Definition des Zwischenwinkels α : cosα = x, y x y Orthogonalität: x y x, y = 4.. Zurrück zur Informationstechnik Projektion, Koordinaten: jede Menge von M Energiesignalen {s i (t )} wird als Linearkombination von N orthonormalen Basisfunktionen {ψ i (t )} dargestellt, wobei (im Allg.) N M ist, d.h. N s i (t) = s ij ψ j (t ), t, i, i=,, M j = j=,, N Koordinate mit s ij = s i (t), ψ j (t) = s i (t )ψ j (t)dt, i, j 6

28 die reellen Basisfunktionen sind orthonormal, wenn gilt: ψ i (t) ψ j (t) ψ i (t)ψ j (t)dt = ψ i (t), ψ j (t) = δ ij = {,i= j o,i j Kronecker Delta δ ij eindeutige Beschreibung des übertragenen Signals s i (t) durch {s ij } j= N, bzw. s i =[s i s ij] R n Signalraumvektor Erzeugung und Analyse von Signalen im Signalraum links: Synthesizer zur Generierung von s i (t) rechts: Analysator zu Bestimmung der Menge {s i } {s i i=,, M } definiert M Vektoren im N - Dimensionalen Raum z.b.: N =, M =3 Energie des Signals s i (t) E i = s i (t)dt = [ N j= N N = j = k= N = s ij s ij j = M s ij ψ j (t)][ s ik ψ k (t)] dt k= s ij s ik ψ i (t) ψ k (t )dt δ ik N = s ij = s i,s i = s i s i = s i j= genauso kann gezeigt werden, dass s i (t ), s k (k) = N s i (t) s k (t )dt = j = 7 s ij s kj = s i s k = s i,s k

29 s i s k = N j = (s ij S kj ) = (s i (t) s k (t)) dt s i s k = d ik Euklidischer Abstand zwischen s i und s k Θ ik Winkel zwischen denvektoren s i und s k cosθ ik = s i, s k s i s k mit s i = j= 4... Gram-Schmitt'sches Orthogonalisierungsverfahren gegeben: M Energiesignale s (t),, s M (t) gesucht: N orthogonale Basisfunktionen ψ (t),, ψ N (t) ψ (t) = E ] s (t) s (t)= E E s = s (t),ψ (t) = s (t) ψ (t )dt g (t) = s (t) s ψ (t) s ψ (t) s =[ Einschub: g (t) und ψ (t) sind bereits orthogonal. Beweis: ψ (t ), g (t ) = ψ (t) g (t )dt = [ s (t ) s ψ (t)] ψ (t) = = s (t)ψ (t)dt s ψ (t)dt = s = g (t)dt g (t) = s (t) s ψ (t) E s g (t)dt = [s (t ) s ψ (t)] dt = s (t)dt E = E s N s ij s s (t) ψ (t)dt + s s s (t) = s ψ (t)+s ψ (t) und damit s =[s s ] = ψ (t )dt = 8

30 Allgemein gilt: i g i (t) = s i (t) j = s ij ψ j (t) mit s ij = s i (t )ψ j (t)dt ψ i (t) = g i (t) g i (t)dt, i=,, N s i = [si s ii ] N R N M N =M, falls s (t),, s M (t)linear unabhängig 4. ransformation: kontiuierlicher AWGN-Kanal in zeitdiskreten Vektorkanal Detector or Demodulator Signal transmission decoder Eingangssignale sei nicht s i (t) sindern x(t) = s i (t)+w (t), t,i=,,m Ausgang des Korrelators j Realisierung der Zufallsvariable X j x j = x(t)ψ i (t )dt = s i (t) ψ i (t)dt + w(t)ψ(t )dt = s ij + w j deterministisch Realisierung einer ZV w j Frage: Verlieren wir durch die Beschreibung von x(t ), t durch x j = s ij +w j, j=,, N Relevante daten? 9

31 Neuer Zufallsprozess x ' (t) mit folgender Realisierung: ( x ' (t) = Rest bei der Darstellung mit orthonormalen Basisfunktionen) x' (t) = N x(t ) j= = w (t) w j ψ j (t) x ' (t) = w ' (t) x(t) = N j= N j= s i (t) N j= = x j ψ j (t) = s i (t ) s ij ψ j (t) N + w(t ) w j ψ j (t ) j = hängt nur noch vom Rauschen w(t)ab x j ψ j (t)+w ' (t) = N x j ψ j (t)+x ' (t ) j= Zufallsprozess: Statistische Beschreibung der Korrelationsausgänge X ( t) Zufallsprozess, dessen Realisierungen das empfangene Signal x(t) darstellen X j Zufallsvariable, dessen Werte den Korellatorausgang x j darstellen j=,, N [neuer Wert im Symboltakt] AWGN-Model: X (t)... ist ein Gauß-Prozess X j... ist eine gaußverteile Zufallsvariable Ausgan eines LI-Systems mit Gauß-Prozess am Eingang X j wird komplett durch Mittelwert und Varianz charakterisiert W j Zufallsvarialbe, dessenwerte die Rauschkomponentedes Korrelatorausgangs darstellen E {w j } =,denn E {w (t)} = E {x j } = E {s ij +w j } = s ij +E {w j } = s ij Varianz: σ x j = var {X j } = E {( X j s ij ) } = E {(s ij +W j s ij ) } = E {(W j ) } = E {W j W j } = E { = E { = = w (t) ψ j (t)dt w(u)ψ i (u)du} N N ψ j (t) ψ j (u) w(t)w(u)dt du} = ψ j (t )ψ j (u)δ (u t)du dt ψ j (t)dt = N = N, j ψ j (t) ψ j (u) E {w (t)w(u)} dt du φ ww (u t )= N δ (u t) ψ j (u)δ(u t)du=ψ j (t) w (t) ~ wss 3

32 Varianz am Eingang: Varanz am Ausgang: N (also deutlich weniger!) ges.: Kovarianzfunktion cov {X j, X k } = E {( X j s ij )( X k s ik )} =E {w j w k } = E { = = N ψ j (t) ψ k (u) E {w (t)w (u)} du dt = N δ (u t) N w (t) ψ j (t)dt ψ j (t) ψ k (t )dt = { N /, fallsi= j, falls j k w(u)ψ k (u)du} ψ j (t )ψ k (t) δ (u t)du dt unkorrelierte Zufallsvariablen, da sie gaußverteilt sind, sind sie auch statistisch unabhängig. Zufallsvektor: x = [x N] x (Elemenete sind statistisch unabhängig) Erwartungwert: E {x m i } = s i x = s i +w Kovarianzmatrix von x R N E {(x s i )(x s i ) m i } = E {w w m i } = E{[w w N] [w,,w N] m i} w w w w w N w = E{[w w w w w w N w N w w N w w N w N]} = = E{[ ] R N N I N R N N N N} 3

33 Belibig N-Dimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion: N f x (x m i ) = f x j (x j m i ),i=,, M (da alle unkorelliert bzw. statistische j= Unabhängigkeit der Ausgänge) x R N beobachteter Vektor X j ~ N(s ij, N f X j ( x j m i ) = π N e ) (sieh DM-Schein ;-) ) N ( x j s ij ), i=,, M j=,,n f x ( x m i ) = (π N ) N e ( ) N (x N j sij) j= Wiederholung: N X (t ) = X j ψ j (t)+w' (t ) mit X j = s ij +w j j= w(t)~ AWGN w' (t )ist eingauß Prozess E {w ' (t)}= w' (t k ) sie eine Zufallsvariable, die man durch Abtastung von w' (t ) erhält x j & w ' (t k ) sind statischtisch unabhängig E {x j w' (t k )} = E {x j }E {w ' (t k )} =, j=,, N, t k da die Zufallsvariablen, die auf w' (t ) basieren, unabhängig von {x j } und den übertragegnen Signalen {s j (t )} sind, sind die Zufallsvariablen w' (t k ) irrelevant bzgl. der Entscheidung, welches Signal übertragen worden ist. Nur die Zufallsvariablen x j sind relevant sie repräsentieren eine ausreichende Statistik (sufficient statistics) fasst alle relevanten Informationen zusammen nur die Projektionen des Rauschens auf die Basisfunktionen und die Signale beeinflussen die ausreichende Statistik des Detetektionsproblems (???) der Rest des Rauschens ist uninteressant AWGN-Kanals entspricht N-dimensionalem Vektorkanal x = s i +w,i=,, M x = [x N] s x i = [si N] w s i = [w N] w 3

34 4.3 Kohärente Detektion verrauschter Signale Detektor (am Empfänger) bei der Übertragung von Signalen im Signalraum f x ( x m i ),i=,, M (Charakterisierung von x under der Bediungn, dass m i bekannt ist) Detektor: - umgekehrtes Problem - Schätzung von m i nach der Beobachtung von x Likelihood Funktion: L(m i ) = f x (x m i ) Log Likeliehood Funktion: l (m i ) = ln L(m i ) ln( x) ist für x [,) eine monoton wachsende Funktion Extremwerte von L(m i ) und l (m i ) liegen an der gleichen Stelle Beispiel: AWGN Kanal f x ( x m i ) = (π N ) N e ( N N j= ( x j sij) ) mit ln(a b)=ln a+ln b l (m i ) = N nicht relevant ln(π N ) l (m i ) Entwurf des Empfängers: N ( x N j S ij ) j= in jedem Zeitintervall der Länge wird eins von M gleichwahrscheinlichen Signalen s (t),, s M (t) übertragen jedes Signal s i (t) wird durch s i R N repräsentiert Menge der Nachrichtenpunkte = Signalkonstellation x = s i +w empfangene Signalpunkte ( N =3) : Gaußverteile Wolke zentriert bei s i 33

35 geg.: beobachter Vektor x R N ges.: Abbildung von x auf den Schätzwert m des übertragenen Symbols m i, die die Fehlerwahrscheinlichkeit minimiert. Entscheidung: m = m i Fehlerwahrscheinlichkeit P (m i x) = P (m i wurde nicht gesendet x) = P (m i wurde gesendet x) WSK nach Beobachtung von x optimale Entscheidungsregel: Maximum a posteriori (MAP) Kriterium Setze m = m i, falls P (m i gesendet x) P (m k gesendet x), k i 'unendscheiden' ignorieren k =,, M Regel von Bayes: Setze m = m i, falls f x (m k x) = f ( x m k ) f x (x) = p k f x ( x m k ) f x (x),maximal wird für k=i p k a prioriwarscheinlichkeit desübertragenen Symbolsm k M f x ( x) = k= M f (x m k ) = p k f x ( x m k ) k= f x ( x) ist unabhängig vom übertragenen Symbol, falls alle Symbole gleichwahrscheinlich p k = M, k Maximierung von f x (m k x) = P (m k gesendet x) = Maximierung von f x ( x m k ) = Maximierung der Log-Likelihood-Fkt. l(m k ) Maximum Likelihood (ML) Kriterium: Setze m = m i, falls l (m k ) für k=i maximal wird praktische Entscheidungsvorschrift falls p k = M, k MAP Kriterium = ML Kriterium 34

36 ML Dekoder: berechnet l (m k ) als Matrix für alle Entscheidung für das Maximum M möglichen Nachrichtensymbole Graphische Interpretation: Z sei der N -dimensionale Beobachtungsraum aller möglichen beobachteten Vektoren x R N Unterteileung von Z in M Entscheidungsgebiete: Z,,Z M x liegt in Z i, falls l (m k ) für k=i maximal wird M M Z i =Z Z i = i= i= falls x auf dem Rand liegt Wurf einer fairen Münze Spezialfall: AWGN l (m k ) N l (m k ) wird maximal, falls (x j s ij ) = x s k, für k=i maximal wird j= dann liegt x im Gebiet Z ML Entscheidungsregel: x liegt im Gebiet Z, falls x s k für k=i minimal wird Wähle den Nachrichtenpunkt, der am nächsten beim empfangenen Signalvektor x liegt. Vereinfachung: N j= (x j s kj ) = N x j j= - N N x j s kj + s kj j = j = = x - x s k + s k E k E k Energie des übertragenensignals s k (t) N x liegt im Gebiet von Z i,falls x j s kj j= E k, für k=i maximal wird Beispiel: M =4 N = 35

37 (a): (b): Decoder/Demodulator (Signalangepasstes Filter Matched Filter) Maximum-Likelihood-Decoder des Übertragenen Signals 4.4 Fehlerwahrscheinlichkeit M gemäß des ML-Kriteriums wird Z in M Gebiete {Z i } i = unterteilt m i bzw. s i R N wird gesendet x R N wird empfangen 4.4. Mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit P e = M i = p i P (x liegt nicht in Z i m i gesendet ) = M = M P (x liegt in Z i m i gesendet) i= Z i f x ( x m i )d x N Dim.Integral M P( xliegt nicht in Z M i m i gesendet ) i = Alle Symbole gleichwahrscheinlich daher p i = M 4.4. Änderung der Fehlerwahrscheinlichkeit bei Rotation & ranslation Q orthogonale Matrix Q R N N Q = [q,,q N ] orthogonal, wenn gilt: q i q j = {,i= j,i j Q Q = I N = Q Q (Multiplikation mit einer orthogonalen Matrix entspricht einer Rotation) 36

38 Rotation im Signalraum: s i, rot = Q s i ;i=,,m w rot = Q w R N = Linearkombination gaußverteilter Variablen gaußverteilt E {w rot } = E {Q w} = Q E {w } = Kovarianz-Matrix: E {w w } = N I N E {w rot w rot } = E {Q w[q w ] } = E {Q w w Q } = Q E {w w } Q = N I N Statistik des Rauschens bleibt unverändert = N I N x rot = Q si,rot s i +w ;i=,,m ML-Kriterium hängt nur von euklidischem Abstand zwischen x rot & s i, rot ab. x rot s i, rot = x s i, i Durch die Rotation der Signalkonstante wird P e bei ML-Detektion über einen AWGN Kanal nicht verändert Rotationsvarianz von Signalkonstellationnen: ranslation: (um einen konstanten Vektor a R N ) s i,trans = s i a ;i=,, M x trans = x a x trans s i,trans = x s i P e unverändert 37

39 4.4.3 Konstellation mit minimaler mittlerer Energie Beispiel: 4-wertige PAM ( M =4, N = ) gleiches P e für beide Konstellationen aber mittlere Symbolenergie ändert sich verschiebe die Signalkonstellation so, dass die mittlere gesendete Energie minimal wird mittlere Energie, der um a R N verschobenen Signalkonstellation s i a : M Ε trans = s i a p i i= M = s i p i i= Ε M - a s i p i i= E{s} M + a = Ε - a E {s} + a p i i = Ε mittlere Energie der ursprünglich gesendeten Signalkonstellation E trans mittlere Energie der verschobenen Signalkonstellation a = [ a a N], Ε trans a a min Ε a = [ Ε a ] Ε a N = E {s}+s a =! Minimum gesucht! = E {s} damit folgt: Ε trans, min = Ε a min = Ε E {s} = M Aus einer gegebnen Signalkonstellation {s i } i= erhält man eine Konstellation mit minimaler Energie, in dem man von jedem s i den Vektor E {s i } = s i p i i = subtrahiert. M 38

40 4.4.4 Approximation der Symbolfehlerwahrscheinlichkeit mit Hilfe der nächsten Nachbarn (bzw. "Union Round" Schranke) obere Schranke um P e für M gleichwahrscheinlich Symbole zu approximieren Sei A ik (i, k )=,, M Ereignis, dass der beobachtete Vektor x näher an s k liegt als an s i, obwohl m i gesendet wurde. (Fehler) P e (m i ) = P (der Vereinigung von A i,,, A i,i, A i, i+,, A i, M ) M P e (m i ) P ( A ik ) k= i k Veranschaulichung der oberen Schranke für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit: M=4, N= (a ) = P e (m i ) (b) = P ( A, ) (c) = P (A,3 ) (d ) = P ( A,4 ) M P e (m i ) < P ( A, k ) k= Im Allgemeinen gilt: P ( m=m k m i ) hängt vonallen Signalvektoren ab P (A i,k ) hängtnur von s i und s k ab pairwise error probability (PEP): P (A i,k ) = P (s i s k ) Wahrscheinlichkeit, dass sich Empfänger fälschlicher Weise für s k statt für s i entscheidet, falls nur s i & s k betrachtet werden. M P e (m i ) P (s i s k ) k= i k Beobachtung von nur Vektoren s i & s k (gleichwahrscheinlich), der Achse durch s i & s k under der eingezeichnetten Entscheidungsschwelle ( N = ) nur die Projektion des N dimensionalen Rauschens w aif die Achse zwischen s i & s k ist relevant. 39

41 P( s i s k ) = P( xist näher an s k als an s i w i gesendet ) = d ik e ( ν ) N d ν π N mit d ik = s i s k Definition der Fehlerfunktion erf ( x) (errorfunction) Fehlerfunktion: erf (x) = x π e ξ d ξ komplementäre Fehlerfunktion: erfc( x) = erf (x)= π x e ξ d ξ Integral ist nicht geschlossen lösbar Eiogenschaften: erfc ( x) = erf (x) erf () = erfc () = erfc ( x) = erfc ( x) erf () = erfc () = Substitution: ξ = ν N erfc( x) = π N N x d ξ d ν = N e ν N d ν P (si s k ) = ( erfc d ik N ) Mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit (gemittelt über alle M Symbole) P e M i= p i P e (m i ) i= M M k= k i p i erfc( d ik N o) Spezialfälle:. Für rotationssymmetrische Signalraumdiagramme (PSK) ist P e (m i ) gleich i M P e k = k i erfc( d ik N ) i UNION BOUND (obere Schranke). d min minimaler Abstand in einer Signalraumkonstellation d min = min k i d ik, i 4

42 erfc (x) ist eine monoton fallende Funktion von x, d.h. erfc( d ik N ) erfc ( d min N ), i, k P e (M ) erfc( d min ) UNION BOUND (gilt auch für.) N N e Anzahl der nächsten Nachbarn mit minimalem Abstand d min P e N e erfc ( d min N ) Bitfehlerwahrscheinlichkeit (BER... bit error ratio) m = log M (Bit pro Symbol) Spezialfall: Um die Wahrscheinlichkeit von Doppelbitfehlen möglichst gering zu halten, wird bei der Zuordnung der Bitgruppen zu den Symbolen ein Gray-Codierung vorgenommen. Beispiel: Benachbarte Signalpunkte unterscheiden sich nur in einem Bit Gray-Codierung bei QPSK und 8PSK für kleine P e ist ein Bitfahler pro Symbolfehler am wahrscheinlichsten log M =BER log M P e = P( i= {i tes Bit ist falsch}) log M i= P (i tes Bit falsch) = log M = BER für kleine P e gilt: BER = P e log M 4

43 Beispiel: M = 3 = 8 z.b. 4 Symbole empfangen richtig falsch P e = BER = 6 P e = BER = P e log M BER P e 5. Digitale Modulationsverfahren a) Amplitude Shift Keying (ASK) b) Phase Shift Keying (PSK) c) Frequency Shift Keying (FSK) Digitale Gegenstücke zu AM, PM, FM PSK und FSK können optisch unterschieden werden konstante einhüllende bei beiden 5. M-Wertige (M-ary) Signalisierung sende eins aus M möglichen Signale während des Symbolintervalls M = benötigte Bandbreite: Symboldauer: =n b = n (M-PSK) b Bitdauer: b ~ b (BPSK) M_PSK bewirkt gegenüber BPSK ein Reduktion der benötigten Bandbreite um bzw. hybriede Verfahren M-ASK ASK+PSK=APK (amplitude phase keying) M-PSK M-FSK Bsp.: M-QAM (keine konstante Einhüllende mehr). n 4

44 Ziel: Effiziente Nutzung der Ressourcen Kanalbandbreite Sendeleistung R b Datenrate W =B Kanalbandbreite Bandbreiteneffizienz: ϱ = R b W [ϱ ] = bit s Hz p i = P (m i ) = M, i E i = s i (t)dt,i=,, M 5. Kohärente PSK Modulation 5.. Binary Pase Shift Keying (BPSK) E b Signalenergie pro Bit m = : s (t ) = E b b cos( π f c t) m = : s (t) = E b b cos( π f c t+π) = E b b cos( π f c t), t b f c = m c b,m c gering bipolar (unipolar) N =, M = ψ (t) = b cos(π f c t), t b s (t ) = E b ψ (t ) & s (t) = E b ψ (t), t b Koordinaten der Nachrichtenpunkte: s b = s (t) ψ (t)dt = E b s = b s (t)ψ (t)dt = E b 43

45 5.. Fehlerwahrscheinlichkeit von BPSK Z Z f X ( x z ) f X ( x z ) optimale Entscheidungsschwelle Unterteilung des Signalraums: Z : < x <, Z : <x < x b = x(t )ψ (t)dt P e = BER = i= m f X ( x = ) = p i P( x liegt nicht in z i m i gesendet), p = p = e ( x N s ) = π N e ( x N ( E b )) π N P (x liegt in z m = gesendet) = p p = f X ( x )dx = π N e N (x + E b ) dx Substitution: z = N ( x + E b ), p = π dz = dz = dx dx N N e z dz = ( E b / N erfc E b ) erfc (x) = N P (x liegt in z m = gesendet) = p π x e z dz p = f X (x )dx = π N e N (x + E b ) dx = p Symmetrie BER für kohärente BPSK P e = p + p = erfc ( E b N o) 44

46 Sender und kohärenter Empfänger für BPSK Sender: koh. Empfänger: 5..3 Die Q-Funktion Definition: Q( x) = π x e t dt x x ~ N (,): F X ( x) = f X (t )dt = x Dichte (PDF) Verteilungsdichte (CDF) erfc( x) = Q( x) ( f X (t )dt = Q( x) alsonur andere Schreibweise,ausder manvermutlich was neues ablesen kann;-)) 5..4 Vergleichsbeispiel: unipolare Amplitudentastung (ASK) mit M = On-Off-Keying (OOK): ψ (t) = b cos(π f c t ), t b s (t) = E b ψ (t), t b s (t) =, t b E b = [ E + ] 45

47 Unterteilung des Signalraums: Z : E <x <, Z : <x < E mit E = E b = E b und f X ( x Z ) = π N e (x N ) folgt p = E b / f X (x Z )dx = π N E b / e x N dx Substitution: z = x N, dz dx = N, dx = N dz p = π E b / N e z dz = erfc ( E b N ) = Q ( E b N ) = p P e = BER = p + p = erfc ( E b N ) = Q ( E b N ) Folie: Bitfehlerrate für bipolare und unipolare Übertragung Gegeüber der BPSK ist ein 3dB höheres Signalrauschverhältnis (E b / N ) erforderlich, um die gleiche Bitfehlerrate zu erreichen Klausuraufgabe.8.9 Aufgabe 4 binäres Modulationsverfahren y = s i +w = Symbol+ Rauschen... y = Entscheidervariable s i = {, E } s = & s = E f w (x) = k rect( x,4 E,8 E ) <= KEINE GAUßVEREILUNG!!! a) Skizze f w (x) : f w (x),8 E b) k=? : f w (x)dx = k,8 E =! k=,8 E,8 E x 46

48 c) m (w) =?, m (w) (w) =? : m =,4 E (offensichtlich) m (w),8 E x f w ( x) dx = = k,8 E x3 = (,8 E ) 3,8 E 3 3 (,8 E ) =,64 E 3 m (w) = mittlere Leistung Varianz da Mittelwert!!! d) Skizze f y (x) : f y (x) f y (x s ) f y (x s ) ŝ = { s, y<s s, sonst x E e) P e für S=S =,4 E : P b =,8 E f y ( x s )dx =,4 E,4 E =,8 E 4 = S < f) S für minimale BER:,8 E < S E P b = 5.3 Quadriphase-Shift Keying (QPSK) s i (t) = { E cos [ π f ct+(i ) π, t 4 ], sonst Phase des QPSK-Signals Koordinaten des Nachrichtenpunktes s i s i m = π/ 4 E / E / m = 3 π/4 E / E / m 3 = 5π/4 E / E / m 4 = 7π/ 4 E / E / Additionstheorem: cos (α+β) = cos α cos β sind α sinβ s i (t)={ E / s i cos [ (i ) π 4 ] cos(π f c t) E / s i sin [ (i ) π 4 ] sin(π f c t), t, sonst 47

49 Orthonormale Basisfunktionen: ψ (t) = cos(π f ct), t [ ψ (t) = s i = sin(π f t), t c E cos [ (i ) π ]] 4 ] E sin [ (i ) π,i=,, 4 4,M =4, N = Folien: QPSK-Modulation Signalraumdiagramm für kohärente QPSK Folie: Sender für QPSK Folie: Empfänger für QPSK 48

50 5.3. Fehlerwahrscheinlichkeit für kohärente QPSK empfangenes Signal: x(t) = s i (t )+w (t), t,i=,,4 x = [ x x ] Inphase Kanal: x = Quadratur Kanal: x = (Inphase-/ Quadratur-Kanal mit Real-/ Imaginärteil vergleichbar) x (t )ψ (t)dt = s i +w = E cos [ (i ) π 4 ] +w = ± E+w x(t)ψ (t )dt = s i +w = E sin [ (i ) π 4 ] +w = ± E+w x, x ~ N (± E, N ) kohärente QPSK = kohärenten BPSK Systemen, die parallel betrieben werden Signallänge pro Bit: E b = E, Φ ( f ) = N ww mittlere BER in jedem Kanal: P ' = erfc ( E ) N Bitfehler in I- und Q-Kanal sind statistisch unabhängig Mittlere Wahrscheinlichkeit einer korrekten Entscheidung: P k = ( P ') = ( erfc ( E N )) Mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit: P e = ( P k ) = erfc( E N ) 4 erfc( E falls Gray Codierung: ( = erfc( E )+ E erfc N 4 N ) E N ( =db) dann P e erfc( E N ) = erfc ( E b BER= erfc ( E b N ) N ) N ) E = E b BER(BPSK) = BER(QPSK ) bei gleicher Bitrate R b und gleichem E B / N benötigt QPSK nur die halbe Bandbreite beo konstantem E B / N kann man bei gleicher Bandbreite mit kohärenter QPSK die doppelte Datenrate R b übertragen, als mit BPSK QPSK sollte BPSK vorgezogen werden! 49

51 Nearest Neighbor Approximation: P e N e erfc ( d min N ) QPSK: d min = E = E da N e = (siehe Signalraumdiagramm für kohärente QPSK) P e Offset QPSK: = ( erfc E N ) = erfc ( E N ) Phasenübergänge bei QPSK: Offset QPSK: QPSK: Alle eingezeichnetten Phasenübergänge können aufdreten Phasendrehung um 8 falls I- und Q-Kanal gleichzeitig das Vorzeichen wechseln große Änderung der Einhüllenden erhöte Fehleranfälligkeit bei Detektion (falls Synchronisationsfehler auftreten) Basisfunktionen bei Offset QPSK: ψ (t) = cos(π f c t ), t ψ (t) = sin(π f c t), t 3 Offset QPSK: Phasenänderung beschränkt sich auf ±9 geringere Änderung der Einhüllenden gleiche theoretische BER bei kohärenter Detektion, da die I- & Q-Komponenten getrennt betrachtet werden. 5

52 5.4 M-ary PSK Phase des rägers nimmt einen von M möglichen Werten an θ i = (i ) π M i =,,M s i (t) = E b [ cos π f π ct+ M ] (i ),i=,,m, f c = n, t,n N jedes s i (t) kann als Funktion der Basisfunktionen ψ (t) und ψ (t) beschrieben werden. E Signal / Symbolenergie Beispeil: M = Zufälliges binäres Signal Annahme: Symbole und werden durch die Amplituden A und A repräsentiert Symboldauer das Signal ist Synchronisiert t d Beginn desersten Bits für postive t gleichverteilt [, ] {, t f d (t d ) =, sonst die Symbole und sind gleichwahrscheinlich und unabhänging von Intervall zu Intervall 5

53 E (x(t )) = x(t k ) und x (t i ) seine die Zufallsvariablen, die man durch Beobachten von x(t) zum Zeipunkt t k und t i erhält.. Fall: t k t i > x(t k ) und x(t i ) sind statistisch unabhängig φ XX (t k,t i ) = E {x(t k ) x(t i )} = E {x(t k )}E {x(t i )} =. Fall: t k t i < x(t k ) und x(t i ) treten in gleich Pulsintervallen auf, falls z.b.: t k = und t i <t k t k t i < t d t d < t k t i E {x(t k ) x(t i ) t d } = { A,t d < t k t i, sonst Mittelung über alle Werte von t d : E {x(t k )x(t i )} = E {x(t k ) x(t i ) t d } f d (t d )d t d t k t i = A dt d φ XX (t k,t i ) ist eine Funktion von τ = t k t i x(t) ~ wss φ XX (τ) = { A ( τ ), τ <, τ > φ XX (τ) Φ XX ( f ) = A[ t k t i ] falls t k t i < φ XX (τ) = A tri ( τ ) Φ XX ( f ) = A si (π f ) 5

54 5.4. Leistungsdichtespektrum von BPSK { E b g (t ) = b, t b, sonst gesendetes iefpass-signal: +g(t) oder g(t) zufälliges Binäres Signal mit A= E b b,= b Φ BPSK ( f ) = E b si (π f b ) Leistungsdichtespektrum von QPSK I- und Q-Komponente haben die Pulsform { E g (t ) =, t, sonst Leistungdichtespektrum der I/Q-Komponente Φ I ( f ) = Φ Q ( f ) = E si (π f ) I/Q-Komponente sind statistisch unabhängig Φ QPSK = Φ I ( f )+Φ Q ( f ) = E si (π f ) = 4 E b si (π f b ) Leistungsdichtespektrum von M-PSK, E= E b = b } Bit Symbol Symboldauer: Symbolenergie: = b log M E=E b log M Φ M PSK ( f ) = E si (π f ) = E b log M si (π f b log M ) 53

55 5.4.5 Bandbreiteneffizienz von M-PSK Skizze: W = B Bandbreite zwischen Nulldurchgängen W = = b log M R b = Bitrate b W = b log M = R b log M Bandbreiteneffizienz: ϱ = R b W = log M bei M-PSK: M ϱ in[ bits/ s,5,5,5 3 Hz ] M ϱ BER Um BER konstant zu halten muss bei M E b N erhöt werden BER = Hybride Amplituden & Winkelmodulationsverfahren M-PSK: M-QAM: I- und Q-Komponente hängen von einander ab, so dass sich eine konstante Einhüllende ergibt unabhängige Datenströme auf der I- und Q-Komponente 5.5. M-wertige Quadratur-Amplituden-Modulation (M-QAM) Hybrides Verfahren aus Amplituden- und Phasenmodulation zweidimensionale Verallgemeinerung von M-wertiger PAM orthogonale Basisfunktionen: ψ (t) = cos( π f c t ), t ψ (t) = sin( π f c t), t i-ter Nachrichtenpunkt s i in der [ ψ ψ ] Ebene : s i = [ s i b i] d min,a i,b i Z 54

56 d min... minimaler Abstand er Nachrichtenpunkte in der Konstellation E... Energie des Symbols mit niedrigster Amplitude der zugrundeliegenden PAM Konstellation d min = E o M-QAM Signal für das Symbol: s i (t) = E a i cos(π f C t) E b i sin (π f C t),i=,,m, t Gerade Anzahl von Bits pro Symbol: L = M >, L N kann als kartesisches Produkt einer L-Wertigen PAM Konstellation mit sich selbst gesehen gewerden Geordnette Koordinatenpaare: {a i,b i } = (( L+, L+) ( L+3, L+) (L, L+) ) ( L+, L+3) ( L+3, L+3) ( L, L+3) ( L+, L ) ( L+3, L ) (L, L ) Signalraumdiagramme von 6-QAM und 4-PAM: L = 6 = 4 {a i,b i } = Gray-Codierung (( 3, 3) (, 3) (, 3) (3, 3) ) ( 3, ) (, ) (, ) (3, ) ( 3,) (,) (,) (3,) ( 3,3) (,3) (,3) (3,3) P e '... Symbolfehlerrate der korrespondierenden L-PAM Bsp: L = P e ' = ( M ) oder E b N P k... Wahrscheinlichkeit einer korrekten Detektion für M-QAM: P k = ( P e ' ) Symbolfehlerrate: P e = P k = ( P e ' ) = P e ' P e ' P e ' für kleine P e ' P e ( M ) erfc ( E B N ) 55

57 mittlere Energie der Übertragenen Symbole (wenn alle Symbole gleichwahrscheinlich) k 3... i = k E av... "average"... mitllere Energie E av = [ E L L/ k = (k ) ] = [ L ] E 3 = [M ] E 3 bzw. E = 3 E av (M ) afelwerk: N k = L E av = E L ( 4 L 4 ) 3 P e =+( M ) erfc ( (k ) = N (N ) 3 = [ L ] E 3 E av ) (M ) N P b = BER = log M P e Gray Codierung E av = E b log M =E s Bitfehlerrate von M-QAM: 56

58 5.5. Adaptive Modulation und Codierung Übertragung von N Packet Bits pro Paket Annahme: Bittfehler in einem Packet statistisch unabhängig mittlere Wahrschelichkeit, das ein Paket korrekt übertragen wurde: (k ) P Packet = ( P b ) N Packet WSK dasalle Pakete korrekt übertragen wurden mittlere Paketfehlerrate PER: (Steiget mit Paketgröße!) P Packet ( P b ) N Packet erfolgreich übertragene Bits Durchsatz des Systems Bits/ Symbol ( P Packet ) log M N Packet log M ''='' spektrale Effizienz (übertragenen Bits / Kanalnutzung) [ Durchsatz] = übertragene Bits Paket [ Datenrate] = Durchsatz Paketlänge Jedes Modulations und Codierungs-Schema (MCS) wird in bestimmt SNR Intervallen genutzt Dienstgüteanforderungen: Wechsel des MSC bei (z.b.) % PER SNR Schätzung ist zur Auswahl des besten MCS notwendig Bsp.: schlechteres SNR -> niederwertiges MCS nötig da sont PER steigt) Shannon-Grenze: maximal mögliche spektrale Effizienz (abh. von SNR u. MCS) 57

59 höher Granularität durch Faltungs- Cods mit adaptiver Code-Rate Packet =6 chunks symbols maximales MCS bestimmt die Komplexität des Empfängers Stand der echnik Es gibt MCSs mit einer wesentlich besseren Leistungsfähigkeit Beispiel aus dem WINNER Projekt (4. Mobilfunkgeneration) RCPBLDPCCID rate-compatible punctured block low density parity check codes with iterative decoding spektrale Effizienz ist nahe an der Shannon-Grenze aber relativ komplizierte Implementierung Grundidee der Simulationen auf Systemebene (system level) Basierend auf der in AWGN simulierten spektralen Effizienz, werden die mit realistischen Kanalmodellen simulierten S(I)NR-Werte auf Datenraten abgebildet wesentlich einfacheres Verfahren als den gesamten Codierungs- und Decodierungs- Vorgang für jedes gesendete Bit zu simulieren sehr viele Bits müßten dabei simuliert werden, um realistische Bitfehlerraten zu erreichen (z.b. -5) Dieses Verfahren wird in großen Simulatoren auf Systemebene eingesetzt. Noch einfachere Approximation: Benutze die zweifach abgeschnittenen Shannon-Kurven (a) min SNR (b) max MCS 58