Das Verfahren von Godunov. Seminar Numerik Anja Bettendorf

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1 Das Verfahre vo Goduov Semar Numerk Aja Beedorf

2 Das Verfahre vo Goduov Übersch Goduov - Goduovs Verfahre für Leare Syseme Aweduge & Folgeruge aus Goduovs Verfahre - De Numersche Fluss-Fuko m Goduov - De Welle-Ausbreugs-Formel vo Goduov - Fluss-Dfferez vs. Fluss-Vekor-Splg Zusammefassug

3 Das Verfahre vo Goduov Übersch Goduov - Goduovs Verfahre für Leare Syseme Aweduge & Folgeruge aus Goduovs Verfahre - De Numersche Fluss-Fuko m Goduov - De Welle-Ausbreugs-Formel vo Goduov - Fluss-Dfferez vs. Fluss-Vekor-Splg Zusammefassug

4 Verfahre vo Goduov Serge Kosaowsch Goduov Russscher Mahemaker, geb , Professor a der Novosbrsk Sae Uversy Ewckele das Verfahre 959 für de Raumfahr

5 Verfahre vo Goduov: Algorhmus REA (recosruc-evolve-average) ) Kosruko eer sückwese polyomale Fuko, z.b. eer sückwese kosae Fuko ~ q ( x, ) = x C ) Löse der hyperbolsche Glechug m Hlfe deser ~ Afagsbedgug, um q ( x, ) zu erhale. 3) Melug über dese Fuko über jede Zelle, um de eue Zellmelwere zu erhale: = q~ ( x, ) dx x C 4) Wederholug ) - 3) für de ächse Zeschr.

6 Problem: Löse der hyperbolsche Glechug. Goduovs Lösug: Rema-Problem m sückwese kosae Dae ka gelös werde auch für e chleares Sysem!

7 Verfahre vo Goduov Lösug m Rema -> besz Wellesrukur (Welle, de sch kosa forbewege) -> her ka de Upwd -Mehode geuz werde Des gl (sbesodere) für Schockwelle, ud solche Syseme, dee sch de Welle bede Rchuge ausbree.

8 Verfahre vo Goduov Bespel Leare Akusk M kosaer Schallgeschwdgke c c x bzw. c x

9 Das Verfahre vo Goduov Übersch Goduov - Goduovs Verfahre für Leare Syseme Aweduge & Folgeruge aus Goduovs Verfahre - De Numersche Fluss-Fuko m Goduov - De Welle-Ausbreugs-Formel vo Goduov - Fluss-Dfferez vs. Fluss-Vekor-Splg Zusammefassug

10 De umersche Fluss-Fuko m Goduov Formel des umersche Flusses (Afag des Kapels): F / f ( q( x /, )) d

11 De umersche Fluss-Fuko m Goduov Formel des umersche Flusses m Goduov: F / f ( q ~ ( x /, )) d

12 De umersche Fluss-Fuko m Goduov Formel des umersche Flusses m Goduov: Seze: )), ( ( ~ / / d x q f F ), ( ), ( ~ / q x q = )), ( ( )), ( ( / q f d q f F = =

13 De umersche Fluss-Fuko m Goduov Implemeerug vo Goduovs Verfahre für e allgemees Sysem vo Erhalugssäze Löse des Rema-Problems a / um zu erhale Defere des Flusses / = x q (, ) F(, Awede der Fluss-Dfferezerugs-Formel: = F / / ( F F ) x )

14 Das Verfahre vo Goduov Übersch Goduov - Goduovs Verfahre für Leare Syseme Aweduge & Folgeruge aus Goduovs Verfahre - De Numersche Fluss-Fuko m Goduov - De Welle-Ausbreugs-Formel vo Goduov - Fluss-Dfferez vs. Fluss-Vekor-Splg Zusammefassug

15 De Welle-Ausbreugs-Formel vo Goduov λ 3 < 0 < λ < λ

16 De Welle-Ausbreugs-Formel vo Goduov Lösug ees Rema-Problems, dargesell Welle: m p = α / p= r p m p= W p /

17 De Welle-Ausbreugs-Formel vo Goduov z.b. Welle m Bld: W / = α / r

18 De Welle-Ausbreugs-Formel vo Goduov Effek vo Welle auf de Zellemelwer: x λ W /

19 De Welle-Ausbreugs-Formel vo Goduov Gesame Zelle: / 3 / 3 / = W x W x W x λ λ λ ) ( / 3 / 3 / = W W W x λ λ λ

20 De Welle-Ausbreugs-Formel vo Goduov Allgeme: ] ) ( ) ( [ / / = = = m p p p m p p p W W x λ λ λ = max(λ,0) ) λ = m(λ,0 Verallgemeerug der Upwd -Mehode ( ) / / = W u W u x

21 De Welle-Ausbreugs-Formel vo Goduov Eführug vo Symbole A A m p / = (λ ) p= W m p / = (λ ) p= W p / p / Flukuaoe Gl für leare ud auch für allgemee Erhalugsglechuge.

22 Das Verfahre vo Goduov Übersch Goduov - Goduovs Verfahre für Leare Syseme Aweduge & Folgeruge aus Goduovs Verfahre - De Numersche Fluss-Fuko m Goduov - De Welle-Ausbreugs-Formel vo Goduov - Fluss-Dfferez vs. Fluss-Vekor-Splg Zusammefassug

23 Fluss-Dfferez vs. Fluss-Vekor- Splg Fluss-Dfferez-Splg f ( ) f ( = A / A / ) Reche See der Glechug () aufgesple: - ee Tel, der de lksgerchee Flukuaoe des Melweres vo ud bereche. - ud ee Tel, der de rechsgerchee Flukuaoe des Melweres vo ud bereche. Umformug F / = f ( ) A / = f ( ) A / ()

24 Fluss-Dfferez vs. Fluss-Vekor- Splg Fluss-Vekor-Splg F / = ( A A ) A ( ) = A A (). A A = A = = q -> () s kosse: we, da reduzer sch () auf F = Aq = f ( q) /

25 Fluss-Dfferez vs. Fluss-Vekor- Splg Fluss-Vekor-Splg F = A / A () -> zwe möglche Approxmaoe des Flusses a der Selle : A f ( q) = ud Aq A Her: verfeere Melwerbldug durch ud x / -> ch mehr usabl (we zuvor, be efacher Melwerbldug) A A

26 Fluss-Dfferez vs. Fluss-Vekor- Splg Fluss-Vekor-Splg F = A / A () -> () s gue Verallgemeerug für GLS des Upwd -Flusses der skalare Advekosglechug: F = u / u

27 Fluss-Dfferez vs. Fluss-Vekor- Splg Fluss-Dfferez-Splg Sple de Fluss rechsgerchee ud lksgerchee Flukuaoe des Melweres der Zelle ud Fluss-Vekor-Splg Sple de Fluss rechsgerchee Flukuaoe der lke Zelle - ud lksgerchee Flukuaoe der reche Zelle Be leare Syseme m kosae Koeffzee -> bede Varae führe zu exak der gleche Mehode. Be chleare Syseme s des ch so.

28 Das Verfahre vo Goduov Übersch Goduov - Goduovs Verfahre für Leare Syseme Aweduge & Folgeruge aus Goduovs Verfahre - De Numersche Fluss-Fuko m Goduov - De Welle-Ausbreugs-Formel vo Goduov - Fluss-Dfferez vs. Fluss-Vekor-Splg Zusammefassug

29 Das Verfahre vo Goduov Zusammefassug Das Verfahre vo Goduov - Algorhmus, der de Grudlage der Fe-Volume- Mehode für chleare Syseme schaff. Sückwese polyomale Dae & Rema -> Lösuge habe Welleform -> Upwd -Mehode ka agewad werde. Numersche Flussfuko m Goduov -> Goduovs Verfahre für e Sysem vo Erhalugsglechuge

30 Das Verfahre vo Goduov Zusammefassug Welle-Ausbreugs-Formel vo Goduov -> Verallgemeerug der Upwd -Mehode. Fluss-Dfferez-Splg & Fluss-Vekor-Splg -> sple de Fluss rechs- ud lksgerchee Flukuaoe. Vele Dak für Ihre Aufmerksamke!

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