2.2 Systeme des Bestandsmanagements

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1 . Systeme des Bestandsmanagements Was ist Bestandsmanagement? Grob gesagt, wird im Bestandsmanagement festgelegt, welche Mengen eines Produktes zu welchem Zeitpunkt zu bestellen sind Hierdurch wird der Bestand eines bestimmten Produktes im Lager determiniert Qualität des Bestandsmanagements Kann entscheidend für den Wettbewerbserfolg sein In Deutschland beträgt der Gesamtwert des Lagerbestandes, die irgendwo gelagert sind und auf Nachfrage warten ungefähr 500 Milliarden Euro Irgendwie nicht so richtig effizient, oder? 178

2 Wie kommt es zu Lagerbeständen? Am Besten wir bestellen nur wenn Bedarf vorliegt oder klar absehbar ist Problemfelder Skaleneffekte Diese treten dann auf wenn die Stückkosten mit der Produktions-, Transport- oder Bestellmenge zurückgehen Beispiel Abfüllanlagen für Softdrinks Hohe Reinigungskosten treten beim Wechsel von Produkten auf Daher ist die Abfüllung einzelner Flaschen zu ineffizient So werden durch die Herstellung großer Mengen einzelner Drinks Skaleneffekte erzielt und damit die Stückkosten reduziert Unsicherheit Unsicherheit ist ein weiterer Grund für Lagerbestände Erhöhte Lagerbestände dienen dabei der Vermeidung von Fehlmengen bei steigender Nachfrage 179

3 Gründe für Lagerbestände Transportzeiten Des weiteren werden durch entstehende Transportzeiten Lagerbestände notwendig So führen signifikante Transportzeiten zu erheblichen Kapitalbindungen Weitere Faktoren Spekulationen auf Preisschwankungen Langfristige Bindungen 180

4 ..1 Klassisches Bestellmengenproblem Dieses ist das bekannteste Modell zum Bestandsmanagement Es geht auf Harris zurück und wurde bereits im Jahre 1915 entwickelt Folgende (restriktive) Annahmen liegen diesem einfachen Modell zu Grunde Gegebener Gesamtbedarf im Planungszeitraum Konstante Bedarfsrate je ZE Unendliche Liefergeschwindigkeit je ZE Konstanter Beschaffungspreis je FE Fehlmengen sind unzulässig Keine Ressourcenbeschränkungen 181

5 Betrachtete Kostenarten Variable Bestellkosten Kosten, die pro Einheit der Bestellmenge auftreten Proportional zur Bestellmenge z.b. Transportkosten, Beschaffungskosten pro Einheit Fien Bestellkosten Treten fi (d.h. unabhängig von der gewählten Bestellmenge) bei jeder ausgeführten Bestellung auf Fallen also bei >0 genau einmal pro Bestellung an Bestellkosten Summe aus fien und variablen Bestellkosten Damit gilt C ( ) Lagerhaltungskosten 0 falls 0 k + c sonst Fallen je gelagerte Einheit pro Zeiteinheit an Wir benötigen für ihre Bestimmung also die durchschnittliche Menge an Produkten, die im Planungszeitraum auf Lager ist 18

6 Optimaler Bestellpunkt r Gibt die Höhe des Lagerbestandes an, bei dem eine Bestellung in Höhe der optimalen Bestellmenge getätigt werden soll Die Bestimmung hängt von der Liefergeschwindigkeit ab Im klassischen Bestellmengenproblem lässt sich der optimale Bestellpunkt sehr einfach ermitteln So sind zunächst Fehlmengen verboten, weshalb nur ein Bestellpunkt größer oder gleich Null in Frage kommen kann Daneben führt aufgrund der unendlichen Liefergeschwindigkeit ein Bestellpunkt größer als Null lediglich zu höheren Lagerbeständen und damit höheren Lagerkosten weshalb r im klassischen Bestellmengenproblem grundsätzlich auf Null zu setzen ist 183

7 Beobachtung Wir haben mit den Bestell- und Lagerkosten zwei konfliktäre Zielgrößen Dabei ist zu beachten, dass die Bestellmenge keinen Einfluss auf die gesamten variablen Bestellkosten hat Deshalb sind diese Kosten entscheidungsirrelevant und deshalb nicht weiter zu berücksichtigen, d.h. wir können unsere Zielfunktion entsprechend vereinfachen Damit ergibt sich das folgende einfache Modell zur Bestimmung einer wirtschaftlichen Bestellmenge 184

8 Variablen / Parameter des Modells Variable: die zu bestellende Menge je Bestellvorgang, in [FE]/[Best.] Parameter: Gesamtbedarf an einer Materialart im Planungszeitraum, in [FE]/[PZE] k Bestellfie Kosten, in [GE]/[Best.] h Lagerhaltungskosten, in [GE]/([FE]. [PZE]) q Beschaffungspreis der Materialart, in [GE]/[FE] 185

9 Kostenfunktion Die zu minimierenden Kosten betragen somit in Abhängigkeit von der gewählten Bestellmenge Z ( ) k + B( ) h Wir sehen, dass wir noch den durchschnittlichen Bestand benötigen, um die Formel zu komplettieren Dies ist aber sehr leicht möglich, wie die folgende Abbildung veranschaulicht 186

10 Verlauf des Lagerbestandes Man erkennt, dass gerade die Hälfte der gewählten Bestellmenge durchschnittlich auf Lager liegt Damit können wir / als durchschnittlichen Bestand ansetzen: Lagerbestand / t 187

11 Gesamtkosten Z ( ) 1 k + h { 1 3 Summe fie Bestellkosten Summe Lagerkosten Einheiten: ( GE / Best.) (( FE / PZE)/( FE / Best.)) GE / PZE Einheiten: ( Best.) (( FE / Best.) ( GE /( FEPZE))) GE / PZE 188

12 189 Bestimmung der optimalen Bestellmenge ( ) ( ) ( ) ( ) bezeichnet oder wird als ; optimale Bestellmenge wirtschaftliche Beschaffungsmenge h k h k h k h k h k Z IR k Z h k Z h k Z + + > + + +

13 190 Einheiten Einheiten : Best FE h k Best FE h k GE FE h Best GE k PZE FE GE h PZE FE Best GE k Best h k

14 Klassische Bestellmenge Beispiel Daten: kg/jahr k10,00 /Bestellung h0,75 /(kg.jahr) Best 0,75 [ kg /.] 191

15 Illustration der Kostenverläufe Gesamtkosten Fie Bestellkosten Lagerkosten

16 Robustheit der Lösung Die Frage stellt sich, in welchem Ausmaß Abweichungen von der optimalen Bestellmenge Auswirkungen auf die entstehenden Gesamtkosten haben Um dies zu untersuchen, wollen wir im Folgenden die doppelte und die halbierte Bestellmenge ansetzen und die sich ergebenden Kosten betrachten Dies erfolgt auf der nächsten Folie 193

17 Variation der Bestellmenge Z() fie Bestellkosten Lagerkosten , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,5 194

18 Man sieht dass die Gesamtkostenfunktion im Optimum sehr flach verläuft und sich deshalb sehr unsensitiv gegenüber Veränderungen verhält Eine Verdopplung oder Halbierung der Bestellmenge hat eine Kostensteigerung um lediglich 5 Prozent zur Folge 195

19 .. Modellerweiterungen Wir erweitern nun das klassische Problem um verschiedene praisrelevante Merkmale wie Lieferzeiten, endliche Lieferraten oder Rabatte Bisher wurde vereinfacht davon ausgegangen, dass keine Lieferzeiten auftreten, d.h. wir können beliebige Mengen ohne Zeitverzug beschaffen, uns jeweils die gesamte Beschaffungsmenge in einer Lieferung erreicht und keine Rabattmöglichkeit gegeben ist Diese Annahmen werden nun nacheinander aufgehoben 196

20 Berücksichtigung von Lieferzeiten Im Folgenden stellen wir uns die Frage, wie sich die Lösung verändert, wenn eine bestimmte Lieferzeit gegeben ist Das heißt, wir haben nun eine Transport- oder Auslieferungszeit zu berücksichtigen Damit lässt sich natürlich ein Bestellpunkt Null nicht mehr halten Allerdings hat die isolierte Berücksichtigung von Lieferzeiten keine Auswirkungen auf die Höhe der optimalen Bestellmenge Vielmehr ist lediglich der Bestellpunkt entsprechend zu modifizieren So ist jeweils die Lagermenge zu finden bei der eine Bestellung auszulösen ist, damit diese genau bei Lagerstand Null eintrifft 197

21 Bestimmung des Bestellpunktes Die Frage ist nun, bei welchem Lagerbestand eine Bestellung auszulösen ist Dieser Lagerbestand leitet sich aus der Menge her, die während der Lieferzeit verbraucht wird Da Produkteinheiten im jeweiligen Planungszeitraum verbraucht werden, ist nach dem Verhältnis von T und LT zu fragen T: Definiert die Zeitspanne in der eine komplette Bestellung der Größe verbraucht wird, d.h. dies ist die Dauer zwischen zwei Bestellungen LT: Lieferzeit für eine Bestellung 198

22 Damit: Berechnung des Bestellpunktes Wir können somit festhalten r ( LT modulo T ) Diese Formel gilt insbesondere auch für den Fall LT>T 199

23 Berechnung des Bestellpunktes Beispiel Seien 40 [PE], 0 [PE]/[Woche] gegeben Damit gilt T40/0 [PE]/[PE]/[Woche] [Wochen] LT sei 1,4 [Wochen] Damit gilt r*(1,4 modulo ). 01,4. 08 PE Sinkt der Lagerbestand auf 8 PE muss bestellt werden Falls nun LT,6 [Wochen] Dann gilt r*(,6 modulo ). 00,6. 01 PE Sinkt der Lagerbestand auf 1 PE muss bestellt werden 00

24 Berücksichtigung von endlichen Lieferraten Bei einer endlichen Lieferrate treffen die Lieferungen nicht komplett sondern in Raten ein Dies bedeutet, dass wir im Folgenden eine kontinuierliche Lieferrate λ (ähnlich zum kontinuierlichen Bedarf ) unterstellen Es gilt: λ Andernfalls läge eine unlösbare Problemstellung vor Wir können prinzipiell die für den Standardfall hergeleitete Lösungsformel weiter verwenden Allerdings ist zu beachten, dass durch das schrittweise Füllen des Lagers geringere Lagerkosten auftreten, da die Bestände geringer sind als im klassischen Modell 01

25 Bestandsverlauf bei endlicher Lieferrate Lagerbestand TP. λ TP. TP T Zeit 0

26 Durchschnittlicher Lagerbestand Da der Verlauf wiederum linear ist, brauchen wir nur den Höchst- und den Mindestbestand zu betrachten Damit erhalten wir I 1 1 ( ) ( ( TP ) + 0) 1 λ λ Anteil der Bestellmenge, der im Planungszeitraum durchschnittlich auf Lager ist λ 03

27 Neue Kostenfunktion Wir erhalten somit die folgende Kostenfunktion K λ ( ) k + 1 h Wir können nun zur Ermittlung der optimalen Bestellmenge die Ableitung bilden und deren Nullstelle ermitteln 1 Allerdings lässt sich die bereits hergeleitete Formel verwenden, da wir es nur mit modifizierten Lagerkosten zu tun haben, der Rest aber unberührt bleibt 04

28 Modifizierte optimale Bestellmenge Wir ersetzen in der Formel k h h durch 1 h λ und erhalten k 1 h λ k 1 h λ 05

29 Modifizierte Bestellmenge Beispiel Daten: kg/jahr λ kg/jahr k10,00 /Bestellung h0,75 /(kg. Jahr) 10733, , [ kg / Best. ] ,375 06

30 Einbeziehung von Rabatten Vielfach ist es in der Prais möglich, mengenabhängige Rabatte zu erhalten Das heißt, eine größere Bestellmenge kann sich durch geringere variable Beschaffungskosten auszeichnen Damit wird diese Kostenkategorie erstmals entscheidungsrelevant! 07

31 Bekannte Rabattarten Rabatt ist ein mengen- oder wertabhängiger Abschlag von einer bestimmten Ausgangsgröße Mengenabhängige versus wertabhängige Rabatte Mengenabhängig: Bei Abnahme von mehr als Stück wird ein Rabatt von y Prozent gewährt Wertmäßig: Bei Erwerb von mehr als DM Wert wird ein Rabatt von y Prozent gewährt 08

32 Rabattarten Einzelbestellmengenbezogene versus Zeitraum bezogene Rabatte Einzelbestellmengebezogenen Rabatten: Pro einzelnem Auftrag / einzelner Bestellung wird jeweils entschieden, ob ein Rabatt gewährt wird Zeitraumbezogene Rabatten: Bezogen auf das Auftragsverhalten in einem Zeitraum wird entschieden, ob ein Rabatt gewährt wird (Durch den Lieferanten wird ein bestimmtes Kundenverhalten angestrebt) 09

33 Angestoßener Rabatt Angestoßener Rabatt Es werden hierbei t Rabattklassen definiert, die bestimmten Mindest- und Höchstmengen als zulässige Intervalle besitzen. Rabattklasse I: a 0 < a 1 Rabattklasse II: a 1 < a Rabattklasse III: a < a 3 Rabattklasse IV: a 3 < a 4 Rabattklasse k: a k-1 < a k Beachte: Es werden nur die Mengen in den jeweiligen Klassen mit dem entsprechenden Rabatt berücksichtigt. Beispiel: a < a 3 Nur für die a vielen Mengeneinheiten erhält man einen Rabatt. Somit lohnt es sich nie mehr als benötigt zu beschaffen 10

34 Illustration Angestoßener Rabatt K

35 Durchgerechneter Rabatt Durchgerechneter Rabatt: Hier gilt der Rabatt jeweils für alle bestellten Einheiten Hier kann es sich u. Umständen lohnen mehr als benötigt zu bestellen (und zu vernichten) Beispiel: Es gelte ein durchgerechneter Rabatt von 10 Prozent bei Abnahme von über Stück Stück seien zu beschaffen mit Frage ist nun: Für welche lohnt sich die Überbestellung wenn die folgenden Angaben gelten? 1

36 Beispiel zur Überbestellung Preis pro Stück: Vernichtungskosten: /Stck 10 /Stck Überbestellung lohnt sich bei: (1001 ) Damit gilt: Somit: Und deshalb folgt für die benötigte Menge 901,

37 Manche nutzen einfach jeden Rabatt Frau Lamprecht, Sie haben da nicht den Überblick der blattweise Einkauf von Schreibmaschinenpapier ist betriebswirtschaftlich nicht sinnvoll und Sie sorgen dafür, dass das hier weggeräumt wird 14

38 Bestimmung optimaler Bestellmengen Zeitraumbezogener Rabatt: Gewährung des Rabattes in Abh. der Menge R, die in gesamten Zeitraum beschafft wird. r(): Reduktion des Beschaffungspreises in Abhängigkeit des Gesamtbedarfs q 0 : Beschaffungspreis ohne Rabatt q(): Beschaffungspreis mit Rabatt abhängig von Auswirkung hat eine solche Rabattform dann auf die optimale Bestellmenge, wenn der Lagerkostensatz eine wertmäßige Komponente enthält, d.h. es gilt: ( ) q( ) ( ) ( ) { m {, mit q : Beschaffungspreis h + Wertmäßige Komponente Mengenabhängige Komponenten 15

39 16 Modifizierte Bestellmenge Es gilt somit (die Mengenkomponente wird hierbei durch die Wertkomponente miterfasst): Damit gilt ( ) ( ) [ ] r q k q k * ( ) [ ] ( ) ( ) r q k r r q k *

40 Ergebnis D.h. je größer der Rabatt, desto größer die optimale Bestellmenge, da der Lagerkostenbeitrag in diesem Fall sinkt. * * r() * 5 % 10 % 15 % 0 % 5 % 30 % 6 % 70 % 0,6 % 5,4 % 8,5 % 11,8 % 15,5 % 19,5 % 6, % 8,6 % 17

41 Optimale Bestellmenge bei Einzelbestellmengenbezogenem Rabatt Hierbei ist nun die Rabatthöhe abhängig vom gewählten Dabei gilt: q i q q q ( 1 ci ) falls ai ai 1, i { 1,..., I 1} ( 1 c ) falls a I falls bei insgesamt I+1 Rabattstufen Beachte: Gesamtkostenfunktion hat mehrere Sprünge Nur abschnittsweise differenzierbar. a 0 0 I < a 1 18

42 Grundlegende Erkenntnis Es gilt: * Optimale Bestellmenge i von Ki ist immer vorteilhafter als alle Bestellmengen von bis Problem ist aber: K0 K i 1 Liegt diese Bestellmenge im erforderlichen Intervall, d.h. gilt für diese Bestellmenge die Intervall-Bedingung a i * ( q ) i < ai+ 1 19

43 1. Bestimme zunächst * ( q ) Optimales Vorgehen I k,mit h I Lagerkostensatz für Rabattstufe I h I (wertmäßiger) a) Gilt nun: a I * ( ) * q ( q ) I I ist optimal! sonst gilt : a I > * ( q ) I 0

44 Optimales Vorgehen. Gehe rückwärts alle Rabattstufen durch ji 1, I,..., Prüfe ob gilt: a j *(q j ) Ja, dann setzte i 0 j und jj-1 Bei j0 gilt immer a 0 0 *(q 0 ) Bei Stufe i 0 scheiden sofort alle kleineren Stufen komplett aus! Warum? Es gilt: h j j h * { } ( ) * i + 1,..., I : q < a. Wegen ( q ) 0 j 1 h j... h 1 j gilt : j j * { } ( ) * i + 1,..., I : q ( q ) 0 j K h j B j R j+ 1 1

45 Und somit gilt für i 0 ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) * * 0 1 * * * * : 1,1,..., 0 i i i j i i i j j i q Z q Z i i a q a a q a q q < < +

46 Und erhalten schließlich Da nun für die Abschnitte ci 0 +1, i 0 +,...,I der optimale Punkt überschritten ist, ist jeweils die Bestellmenge a c zu wählen (untere Grenze) Wähle schließlich unter diesen Kandidaten die Bestellmenge aus mit minimalen Kosten { * ( q ) a, a,..., a } i 0, i + 1 i { ( * K ( q ), K ( a ),... K ( a )} min i i i + 1 i I I I 3

47 Beispiel Wir betrachten die folgende einfache Konstellation Stufe 0: Bei Bestellmengen zwischen 0 und <00 Stück ergibt sich ein Beschaffungspreis von 16 /Stück Stufe 1: Bei Bestellmengen zwischen 00 und <500 Stück ergibt sich ein Beschaffungspreis von 15 /Stück Stufe : Bei Bestellmengen größer oder gleich 500 Stück ergibt sich ein Beschaffungspreis von 14 /Stück Weitere Daten sind Stück/Jahr k50,00 /Bestellung h i 0,1. c i /(kg. Jahr) 4

48 Wir betrachten nun die Stufe Die optimale Bestellmenge lautet dort * ,4 ( q ) < Damit berechnen wir die Kosten der unteren Grenze, also K ( 500 ) ,

49 Wir betrachten nun die Stufe 1 Die optimale Bestellmenge lautet dort * ,5 ( q ) i Damit ist die Betrachtung weiterer Stufen unnötig und wir berechnen die Kosten der optimalen Bestellmenge der Stufe 1 K ( 58 ) ,

50 Ergebnis Aufgrund der geringeren Gesamtkosten realisieren wir die Bestellmenge 500 Stück Dies entspricht der unteren Schranke der höchsten Rabattstufe 7

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