1. SCHALLWELLEN. A06 Akustik A06

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1 Akustik 1. SCHALLWELLEN Bewegt man eine Blattfeder langsam hin und her, so strömt die Luft einfach um die Blattfeder herum. Schwingt dagegen die Blattfeder hinreichend schnell, so steht der Luft für den Umströmungsvorgang nicht mehr genügend Zeit zur Verfügung. Die ausschlagende Feder presst vielmehr die angrenzende Luftschicht zusammen. Dadurch steigt der Druck, was zu einer Kompression der benachbarten Luftschicht führt und dort eine Druckzunahme zur Folge hat, usw. Es breitet sich eine Druckwelle aus. Die Luftteilchen bewegen sich dabei in der gleichen Richtung in der die Welle sich ausbreitet. Schallwellen sind daher in einem Gas Longitudinalwellen. Abb. 1 Blattfeder Breiten sich Schallwellen so wie Lichtwellen auch im Vakuum aus? Bewegen sich die Luftteilchen mit der Schallwelle mit oder bleiben sie im Mittel an ihrem Ausgangsort? Schallwellen breiten sich auch in festen Körpern und Flüssigkeiten aus. Welche Beispiele fallen ihnen hierzu ein? Wo kann man das beobachten? Wird mit einer Schallwelle auch Energie transportiert? Die Schwingungsdauer T ist die Zeit, die die Blattfeder für eine Hin- und Herbewegung benötigt. Wie groß ist dann ihre Frequenz f? Die Frequenz gibt anschaulich an, wie viele.... Was haben eine Schwingung und eine Welle gemeinsam, was unterscheidet sie? Im Folgenden werden wir uns auf harmonische Schallwellen beschränken. Bei ihnen erfolgt die Anregung sinusförmig mit einer bestimmten Frequenz und mit der gleichen Frequenz schwingen dann auch die Luftmoleküle um ihre Ursprungslage Schallgeschwindigkeit Für solche harmonischen Wellen gilt ein merkenswerter Zusammenhang. Während der Schwingungsdauer T eines Teilchens (in Abb. 2 roter Punkt) hat sich die Welle gerade um eine Wellenlänge λ verschoben: Wellenlängeλ Schallgeschwindigkeit c = Schwingungsdauer T λ c= =λ f. T (1) Die Schallgeschwindigkeit in Gasen lässt sich aus 2 p kt c = κ = κ (2) ρ m κ : Adiabatenindex p : Druck ρ : Dichte k : Boltzmann-Konstante T : Temperatur in K m : Molekülmasse Abb. 2 Bei einer Transversalwelle schwingen die Teilchen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. berechnen, sie wird größer mit steigender Temperatur und beträgt in Luft bei 20 C etwa 340 m/s Physikalisches Anfängerpraktikum Universität Hannover

2 1.2. Tonhöhe Abb. 3 C-Dur-Tonleiter Die Tonhöhe wird allein durch die Frequenz der Schallwelle bestimmt. Den Kammerton a hat man international auf 440 Hz festgelegt, die übrigen Töne der C-Dur-Tonleiter ergeben sich aus einem festen Frequenzverhältnis zueinander. Ton c d e f g a h c Frequenz in Hz Frequenzverhältnis zu c 1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2 Verdoppelt man die Frequenz, so hat sich unsere wahrgenommene Tonhöhe jedoch nicht verdoppelt. Sie hat sich lediglich um einen konstanten Betrag erhöht - in der Musik sagt man um eine Oktave: a = 220 Hz, a = 440 Hz, a = 880 Hz. Der Frequenzbereich, den wir Menschen wahrnehmen, erstreckt sich etwa von 20 Hz bis etwa 20 khz, sprechen oder singen können wir aber nur in einem wesentlich kleineren Bereich zwischen 85 und 1100 Hz Versuch: Welche Frequenzen kann ich noch hören? Führen Sie bitte einen Hörtest durch. Als Frequenzgenerator wird hier die Sound-Karte eines Computers benutzt, Frequenz und Lautstärke lassen sich über das Menu Frequenzgenerator (eine Anleitung hierfür finden Sie am Arbeitsplatz) regeln. Setzen Sie die Kopfhörer auf und ermitteln sie die niedrigste und die höchste Frequenz, die Sie noch wahrnehmen. Aufgrund der Hintergrundgeräusche sind die Ergebnisse leider nur näherungsweise zu gebrauchen Versuch: Wie kann man die Frequenz messen? Schlagen Sie die Stimmgabel (ohne Resonanzboden) an und halten Sie das Mikrofon in etwa 2 cm Abstand davor. Das Mikrofon ist mit der Sound-Karte verbunden und erzeugt eine Spannung, die der Druckänderung (Schallstärke) proportional ist. Wählen Sie im Menu die Option Oszilloskop. Auf dem Bildschirm ist nach rechts die Zeit t aufgetragen und nach oben die Spannung U. Abb. 4 Für drei Schwingungen ermittelt man hier 3T = 7 ms. Damit ergibt sich für die Frequenz bei dieser Messung: 1 3 f = = Hz = 425 Hz. T Wie groß ist die Frequenz, die Sie für ihre Stimmgabel ermitteln? Stimmt diese Frequenz mit einer aus der Tabelle oben überein? Kennen Sie noch andere Verfahren, um Frequenzen zu messen? 2

3 1.3. Lautstärke Die Lautstärke, mit der wir einen Ton empfinden, ist abhängig von der Energie, welche die Schallwelle pro Sekunde an unser Ohr transportiert. In der Physik definiert man Schallstärke I : die Energie, die pro Sekunde senkrecht auf einen Quadratmeter trifft. Sie wird gemessen in der Einheit 1 W/m 2 (Watt pro Quadratmeter). Abb. 5 Definition der Schallstärke Die kleinste Schallstärke, die wir noch wahrnehmen, liegt bei W/m 2 (Hörschwelle). Aber erst eine Schallstärke von 10 W/m 2 löst bei uns Schmerzempfindungen aus (Schmerzschwelle); das sind 13 Dekaden, die unser Ohr wahrnehmen kann! Das menschliche Ohr ist so gebaut, dass es bei geringen Schallstärken wesentlich empfindlicher reagiert als bei hohen Schallstärken (Abb. 6). Als subjektives Maß für die objektive Schallstärke I benutzt man daher die Lautstärke E: I Lautstärke E =10lg db (Dezibel) W/m 2 Fechnersches Gesetz Abb. 6 Die Lautstärke in unserem Ohr ist proportional dem Logarithmus der Schallstärke. Da Töne verschiedener Frequenz aber gleicher Lautstärke verschieden laut wahrgenommen werden, hat man noch eine dritte Einheit eingeführt. Die Töne mit gleicher Phonzahl in Abb. 7 hören wir tatsächlich alle gleich laut. Bei der Frequenz 1 khz stimmen die Dezibel- und Phonzahl überein. Beispiel: Beim Sprechen beträgt die Schallstärke I = 10-8 W/m 2. Damit ergibt sich eine Lautstärke W/m 4 E = 10 lg db = 10 lg10 db = 10 4 db = 40 db W/m Bei 1kHz oder 5 khz sind dies auch 40 Phon, bei 200 Hz und 17 khz aber nur 20 Phon. Wenn zwei gleichzeitig sprechen beträgt die Schallstärke das Doppelte: I = W/m W/m 4 E = 10 lg db = 10 lg (2 10 ) db W/m = 10 (lg 2 + 4) db =10 (0, 3 + 4) db = 43dB Abb. 7 Die Hörfläche des Menschen Allgemein gilt: Bei einer Verdopplung der Schallintensität wird die Lautstärke stets um 3 db erhöht Versuch: Wie groß ist die Lautstärke? Bestimmen Sie mit einem handelsüblichen Schallpegelmesser die Lautstärke im Laborraum. Messen Sie an drei weiteren Orten die Lautstärke. Welche Lautstärke erreichen Sie selbst? Können Sie die Zunahme um 3 db bei Verdopplung der Schallintensität realisieren? 3

4 2. STEHENDE HARMONISCHE WELLEN Fast alle unsere Musikinstrumente erzeugen stehende Wellen. Sie ergeben sich, wenn zwei gleiche Wellen gegeneinander laufen. Man erzeugt sie am leichtesten, indem man eine fortschreitende Welle durch Reflexion in sich selbst zurücklaufen lässt. Dabei muss man unterscheiden, ob die Welle an einem festen oder an einem losen Ende reflektiert wird. An einem festen Ende wird ein Wellenberg als Wellental reflektiert. An einem losen Ende wird ein Wellenberg als Wellenberg reflektiert. Abb. 8 Eine stehende Welle hat an einem festen Ende stets einen Knoten, an einem losen Ende stets einen Bauch. Abb. 9 Hin- und rücklaufende Wellen überlagern sich konstruktiv. Komplizierter werden die Verhältnisse, wenn man die Welle an beiden Enden, also mehrmals, in sich zurücklaufen lässt. Nur wenn alle hinlaufenden Wellen (dann notwendigerweise auch alle rücklaufenden) einander verstärken, bildet sich eine kräftige stehende Welle aus (Abb. 9). In allen anderen Fällen werden sich die Wellen einander nahezu auslöschen. Stehende Wellen werden sich unter diesen Bedingungen also nur bei ganz bestimmten Wellenlängen und Frequenzen ausbilden. Abb. 10 Auslenkungen einer harmonischen Eigenschwingung zu verschiedenen Zeiten. Man nennt sie harmonische Eigenschwingungen bzw. Eigenfrequenzen, wenn die Anregung harmonisch ist. In regelmäßigen Abständen von λ/2 bilden sich bei ihnen Schwingungsknoten und - bäuche aus (Abb. 10). In den Knoten sind die Teilchen zu allen Zeiten in Ruhe, in den Bäuchen ist die Auslenkung am größten. Knoten und Bäuche sind ortsfest, sie bewegen sich nicht mit der Schallgeschwindigkeit c. Abb. 11 Die ersten fünf Eigenschwingungen eines Seils mit zwei festen Enden. Abb. 12 Eigenschwingungen einer Pfeife (Blockflöte) Mittleres Bild: Ende oben offen. Rechtes Bild: Ende oben geschlossen. 4

5 2.1. Versuch: Die Eigenschwingung kann man sehen Vor einem waagerecht liegenden Glasrohr (Abb. 13) steht links ein Lautsprecher (loses Ende), das rechte Ende ist mit einem Stempel (festes Ende) abgeschlossen. In dem Glasrohr ist über die ganze Länge etwas Korkmehl verteilt. Abb. 13 An dem Korkmehl erkennen Sie die Lage der Knoten und Bäuche. Abb. 14 Die ersten drei Eigenschwingungen in dem Glasrohr Verändern Sie mit dem Tongenerator langsam die Frequenz des Lautsprechers. Bei bestimmten Frequenzen wird die Lautstärke plötzlich größer: Sie haben eine Eigenfrequenz erreicht. In den Schwingungsknoten bleibt das Korkmehl ruhig liegen, in den Schwingungsbäuchen wird das Korkmehl aufgewirbelt. Können Sie eine der ersten drei Eigenfrequenzen erzeugen? Keine Messungen Die Eigenfrequenzen lassen sich berechnen Auf der gesamten Länge des Glasrohres liegt stets ein ungerades Vielfaches einer viertel Wellenlänge. Mit n = 0, 1, 2, 3,... also: λ (2n+1) c c L = (2n+1) ; L = ; f = (2n+1) 4 4 f 4L Für n = 0 erhält man die Grundfrequenz f 0 = 4 cl, (3) Abb. 15 In den Schwingungsknoten bleiben die Teilchen stets in Ruhe y = 0, der Druck p ist dort am größten. und für die höheren Eigenfrequenzen gilt: fn = (2n+1) f. 0 5

6 2.3. Versuch: Die Wellenlänge wird gemessen Um die genauen Orte der Knoten auszumessen, wird statt des Korkmehls in diesem Versuch ein Mikrofon benutzt. Es lässt sich zentrisch im Glasrohr verschieben und seine Lage mit einem Zentimetermaßstab unter dem Rohr parallaxefrei ablesen. Abb. 16 Stempel und Mikrofon lassen sich unabhängig voneinander verschieben. Misst das Mikrofon in einem Schwingungsknoten (Druckbauch), ist die Amplitude auf dem Oszilloskop am größten; in einem Schwingungsbauch ist die Amplitude klein. 1. Ziehen Sie zunächst bitte das Mikrofon in den Stempel und beide zusammen in das letzte Drittel des Glasrohres. Erzeugen Sie eine Eigenschwingung mit einer Frequenz von etwa 4 khz. Wie können Sie das erreichen? Halten Sie dann den Stempel fest und verschieben Sie lediglich das Mikrofon, um den Abstand zweier möglichst weit auseinander liegender Knoten zu messen. Notieren Sie sich die Frequenz f, den Abstand L zwischen Lautsprecher und Stempel, den Abstand X der Knoten und unbedingt auch die Anzahl der dazwischenliegenden Knoten und Bäuche (Skizze?). 2. Verschieben Sie den Stempel bei unveränderter Frequenz. Wo muss der Stempel stehen, damit Sie wieder eine stehende Welle erzeugen können? 3. Wiederholen Sie für drei weitere, beliebige Frequenzen die Messungen. 4. Notieren Sie unbedingt die Zimmertemperatur T, den Luftdruck p und die Dichte der Luft ρ(t) aus der Tabelle am Barometer (Auswertung 2.). Auswertung: 1. Bestimmen Sie aus ihren vier Messungen die mittlere Wellenlänge λ und mit Gl. 1 die sich daraus ergebende Schallgeschwindigkeit c mit Fehlerangabe. 2. Berechnen Sie die Schallgeschwindigkeit c theo mit Gl. 2: c 3. Vergleichen Sie bitte die gemessene Schallgeschwindigkeit c, die mit Gl. 2 berechnete Schallgeschwindigkeit c theo, den Wert, den sie im Physikbuch finden. = κ κ Luft = 1,4. ρ 2 p 4. Berechnen Sie mit Gl. 3 und dem Mittelwert c die Grundfrequenz f 0 des Glasrohres. Der Lautsprecher liegt ca. 3,5 cm vor dem Glasrohr, so dass Sie zur gemessenen Länge L noch diesen Abstand addieren müssen. Mit welcher Eigenfrequenz f n ( n =?) haben Sie danach die erste Messung durchgeführt? Stimmt dieser Wert mit ihrem gemessenen überein? 6

7 3. EIGENSCHWINGUNGEN VON MUSIKINSTRUMENTEN Die Eigenschwingungen der Saiten in Streichinstrumenten und der Luftsäulen in Blasinstrumenten sind im Allgemeinen keineswegs harmonisch, sondern oft kompliziert und stark von der Anregung abhängig. Abb. 17 Die Eigenschwingung einer z.b. in der Mitte angezupften Saite kann man auch als Teil einer stehenden Welle auffassen, die sich als Überlagerung zweier gegeneinander laufenden Wellen ergibt. Nun lässt sich aber jede beliebige Eigenschwingung, mag sie auch noch so komplex sein, in eindeutiger Weise aus harmonischen Eigenschwingungen aufbauen: Satz von Fourier Abb. 18 Aus der Überlagerung der Grundschwingung f 0 mit sehr vielen Oberschwingungen 3f 0, 5f 0, 7f 0,... unterschiedlicher Amplitude ergibt sich hier eine dreieckige Kurvenform. Dabei kommen als Bausteine stets nur jene Eigenschwingungen in Betracht, die auch die vorgegebenen Randbedingungen erfüllen, also ebenfalls einen Knoten am festen Ende bzw. einen Bauch am losen Ende besitzen. Schwingt die Saite, so erzeugt jede dieser Eigenschwingungen eine harmonische Schallwelle. Sie überlagern sich alle zu einer komplizierten Schallwelle, werden aber von unserem Ohr getrennt registriert. Wir hören einen Klang, der sich aus dem Grundton f 0 (Klanghöhe) und den Obertönen 3f 0, 5f 0, usw. (Klangfarbe) zusammensetzt. Will man die Klanghöhe ändern, so muss man die Frequenz des Grundtons beeinflussen. Wie macht man das bei einer Gitarre, wie bei einer Flöte? Abb. 19 Wellenform einer Violine und eines Klaviers mit der gleichen Grundfrequenz Die Klangfarbe ist für jedes Instrument charakteristisch. Eine Violine beispielsweise produziert wesentlich mehr Obertöne als ein Klavier. Daher klingt der Kammerton a bei beiden ganz anders, obwohl beide den gleichen Grundton f 0 = 440 Hz spielen. 7

8 3.1. Versuch: Welche Obertöne erzeugt eine Stimmgabel? Die Auflösung eines Klangs in seine Frequenzanteile gelingt mit einem aufwendigeren mathematischen Verfahren, das üblicherweise Fast Fourier Transformation (FFT) genannt wird. Es läuft im Hintergrund ab, wenn Sie in dem Menu für die Sound-Karte Spektrumanalyser wählen. Halten Sie bitte das Mikrofon vor die Öffnung des Resonanzbodens der Stimmgabel. Erzeugen Sie eine Darstellung auf dem Bildschirm, die Ähnlichkeit mit der nebenstehenden Abbildung 20 hat. Notieren Sie bitte Grund- und Oberfrequenzen und die zugehörigen Lautstärken. Abb. 20 Mit einem Resonanzboden erzeugt auch eine Stimmgabel nicht nur einen Ton. Halten Sie die Stimmgabel (ohne Resonanzboden) in der Hand direkt vor das Mikrofon und dann auf verschiedene Körper (Tisch, Stuhl,... ) und wiederholen Sie die Frequenzanalyse. Wann entsteht ein voller Klang? 3.2. Welche Obertöne erzeugen Sie? Singen Sie beide einen der Vokale a, e,... und sehen Sie sich den Kurvenverlauf mit dem Menu Oszilloskop an. Vergleichen Sie auch Ihre dabei erzeugten Oberschwingungen mit dem Menu Spektrumanalyser bei möglichst gleicher Klanghöhe Versuch: Spielerei Am Arbeitsplatz finden Sie Flöte, Gitarre, Brummkreisel. Vielleicht bringen Sie auch ein eigenes Instrument mit? Abb. 21 Am Frequenzspektrum kann man Töne und Geräusche leicht unterscheiden. 8

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