Zwei Rechenbeispiele für die einfache lineare Regression

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1 Einfache Regression mi Ecel Prof. Dr. Peer von der Lippe Zwei Rechenbeispiele für die einfache lineare Regression 1.1. Daen 1. Mindeslöhne Beispiel 1 Ennommen aus Rolf Ackermann, pielball des Lobbyisen, Mindeslöhne schaden nich nur bei Posdiensen sondern in allen Branchen, in: Wirschafswoche Nr. 50 ( ) Es soll gelen i = Höhe des Mindeslohns ( is späer bei einer Erweierung der Aufgabe 1 ), y i = Arbeislosenquoe. Wir haben hier Querschnis-, nich Zeireihendaen, daher der Laufinde i = 1,,,n sa = 1,,,T 1.. Normalgleichungen Die Zahlen sind leich der auf der nächsen eie wiedergegebenen Ecel-Tabelle zu ennehmen Allgemein αn + β = Σy α + β = y Mi den Daen 7 α + β = 45,7 α + 374,06 β = 318,67 Ekurs (kein Muss für Hörer, die diese Darsellungsar nich mögen) In Marischreibweise n α Σ y = β y Die relevanen Marizen und Vekoren in diesem Beispiel sind die Momenenmari 1 1 y1 n X' X = und die Daenmari 1 = X M M sowie der Daenvekor y y =. M 1 n yn 1 Anders als die zweie Aufgabe (Affenaufgabe) wird diese Aufgabe wieder aufgegriffen bei der muliplen Regression.

2 Peer v. d. Lippe, Übungsaufgaben zur einfachen Regression Das Modell laue somi in Marischreibweise y = Xβ + u und die Normalgleichungen als Ergebnis der Mehode der kleinsen Quadrae sind X Xβˆ X' y ˆβ ' = αˆ βˆ und u analog zu y. ' = mi [ ] 1.3. Ecel-Tabelle, Berechnung der Regressionskoeffizienen und ihrer Varianzen A B C D E F y y ^ y^ Irland 8,65 4,4 38,06 74,85 19,36 Frankreich 8, ,96 71, Großbriannien 8, 5,5 45,1 67,4 30,5 Belgien 8,08 8, 66,56 65,864 67,4 Niederlande 8,08 5,5 44,44 65,864 30,5 UA 4,3 4,6 19,78 18,49 1,16 panien 3,4 8,5 9,07 11,6964 7,5 Berechnungen palensumme 45,7 318, , ,5100 Mielwer /n 7,043 6,586 45,54 53, ,9300 Varianz von 4,7785* Ecel 4,0959** eigung -0,08175 Varianz von y 3,8590* Ecel 3,3078** Ordinae 7,10804 Kovarianz -0,3348 Ecel Korrelaion -0,09097 Die Regressionsfunkion laue 7,108 0,08175* Die Variablen sind prakisch nich mieinander korrelier Die Besimmhei is nur 0,0088 * Diese Were errechne Ecel als Varianzen (durch n-1 sa durch n geeil) ** Ecel-Were mi (n-1)/n = 6/7 muliplizier Die eingegebenen Daen sind in hellürkis markier. Man kann besimme Were durch Eingeben einer Berechnungsformel berechnen, ewa die palensummen oder die Mielwere, um hiermi 1 weier zu rechnen, ewa um s = i = 53,4365-(7,043) = 4,0957 (Rundungsfehler, n i vgl. oben 4,0959) zu besimmen, oder man läss dies mi der Ecel Funkion (mi f wählen!) Mielwer bzw. Varianz (oder auch Kovarianz) "auomaisch" berechnen. Bei den Varianzen wird von Ecel jedoch durch n - 1 = 6 geeil (gelb markiere Felder). Um auf die bekannen Formeln 1 s = ( i ) und s y umzurechen is mi 6/7 zu muliplizieren. Hieraus lassen sich Größen n αˆ (Ordinaenabschni), βˆ (eigung), r und r besimmen. Ferner gil (Cramerschen Regel) α ˆ = Σy y n = 45,7 318, , ,0553 und ensprechend für die eigung = 145,5 00,698 = 7,108 Die Berechnung is offenbar sehr fehleranfällig Rundungsfehler!) zumal n sehr klein is und sie erfolg am besen ausgehend von den Normalgleichungen mi der Cramerschen Regel. In dieser Hinsich is das zweie Rechenbeispiel (Affenaufgabe) sehr viel angenehmer, weil hier zwar mi noch weniger, dafür aber "glaeren" Zahlen gearbeie wird.

3 Peer v. d. Lippe, Übungsaufgaben zur einfachen Regression 3 n 7 ˆ 318, β = = = = 0, n 7 00,698 Σy 45,7 374,0553 Die Parameer αˆ, βˆ, r und r kann man auch direk mi den Ecelfunkionen f besimmen. Man erhäl dann: Parameer Ecel Funkion f Ergebnis Ordinaenabschni αˆ "Achsenabschni" 7,10804 eigung βˆ "eigung" -0, Korrelaion r "Pearson" oder "Korrel" -0, Besimmhei r "Besimmheismaß" 0, Das reuungsdiagramm erhäl man als Graphik vom Typ "Punk (XY)" 3. Anders als beim nächsen Beispiel (Affenaufgabe) is hier darauf verziche worden, die von Ecel besimme Regressionsgerade einzuzeichnen. y-were reuungsdiagramm Were * panien schein ein Ausreißer zu sein. Rechne man ohne panien, so is der Korrelaionskoeffizien 0,3748 sa 0,09097 (allerdings is n dann auch nur noch 6). Für die geschäze Varianz und die (geschäze) andardabweichung (sandard deviaion.d. oder "d. Error") von αˆ ergib sich daraus 1 panien* σ ˆ = ˆ mi dem quadrieren quadraischen Miel αˆ σ β ˆ ˆ α ˆ Man kann nun auch die Größen besimmen, die wichig sind für das chäzen und Tesen von Regressionskoeffizienen. Man erhäl (in der ymbolik des Buches von v. Auer) die folgenden Were: yy = 45,93-(6,586) = 3, = r yy = 0, = n = 53,4365, so dass die Varianz σ den Wer 53,4365 0,16018 = 8,5595 annimm ( σˆ α ˆ =,956). Die -Were sind demnach = 7,108/,956 =,483 bei der Hypohesen H 0 : α = 0 und = - 0,08175/0,4003 = - 0,046 bei der H 0 : β = 0. omi is zwar α, nich aber β signifikan von 0 verschieden. Berechnungen dieser Ar (das chäzen und Tesen bereffend) und vor allem eine muliple Regression lassen sich besser mi EViews, sa mi Ecel durchführen. Die Erweierung des Beispiels Mindeslöhne zu einer Aufgabe der muliplen Regression mi den en- = = 3, yy Die geschäze Varianz der örgröße is s ûu 3,804 danach σˆ = = = 0, n 5 Ferner is = 53,4365-(7,043) = 4,09571 σˆ 0,656 und mi σˆ β ˆ = = = 0,16018 erhäl 4,096 man die geschäze Varianz von βˆ und somi für die andardabweichung von βˆ den Wer 0, Wenn man den Bereich markier, auf den sich die Grafik beziehen soll, dann solle man auch die Felder und y mi markieren.

4 Peer v. d. Lippe, Übungsaufgaben zur einfachen Regression 4 sprechenden Berechnungen finde sich in einem weieren Download. Das dor mi EViews ermiele Ergebnis (y in Abhängigkei von = 1 ) sei hier jedoch bereis (verkürz) wiedergegeben (Ergebnisse, die mi den oben [z.t. mi Ecel] berechneen Ergebnissen verglichen werden können sind gelb unerleg): Variable Coefficien d. Error -aisic Prob. C X R-squared Mean dependen var Adjused R-squared D. dependen var *.E. of regression Akaike info crierion um squared resid.9668 chwarz crierion * das is die Wurzel aus 3,8590 in der Ecel-Tabelle auf eie oben..1. Daen. "Affenaufgabe" 4 Die folgenden Daen über den Zusammenhang zwischen Dauer der chwangerschaf und Lebenserwarung (der Mensch als "Ausreißer") sind ennommen aus der Zeischrif Focus X = Dauer der Y = Lebens- chwangerschaf erwarung Lemur Makak 4 6 Gibbon chimpanse Mensch umme 184 Die hier wiedergegebene Abbildung aus FOCU zeig, wie schwierig es is, die Daen versändlich graphisch darzusellen, wenn man glaub, bei den saisisch nich vorgebildeen Lesern nich Gebrauch machen zu können von der Möglichkei eines reuungsdiagramms. Man muss dann wohl mi den verschiedensen Farben operieren und es is sehr fraglich, ob die Dinge so klarer und leicher versändlich werden als mi einem reuungsdiagramm. 4 Voreil dieses Beispiels: sehr wenige und zudem glae Zahlen als Daen, so dass es leich möglich is, alles mi dem Taschenrechner nachzurechnen.

5 Peer v. d. Lippe, Übungsaufgaben zur einfachen Regression 5.. Berechnungen zur Deskripiven aisik, Ecel Tabelle/Grafik und Normalgleichungen Man sieh hier den Bildschirm und die Eingabe der Daen, wobei in den palen D, E und F einige Einfacher Berechnungen durchgeführ werden, die zur Besimmung der Normalgleichungen nowendig sind: Man kann mi diesen Angaben leich die Normalgleichungen zusammensellen und erhäl so 5 α + β = 184 α β = 5868 Die chäzwere αˆ und βˆ erhäl man nach der Cramerschen Regel mi drei Deerminanen wie folg α ˆ = = β ˆ = =, Die Regressionsgerade laue mihin - 8 +,5. Für den Korrelaionskoeffizienen erhäl man mi Ecel den Wer + 0,7857, so dass die Besimmhei r = 0,8864, also 88,64%. Die Regressionsgerade erhäl man als "Trend" wenn man in der Graphik einen y Punk anklick und die reche Mausase drück. Dann komm ein Menü, mi dem man die Trendlinie (mi denen Typen linear, logarihmisch, gleiende Mielwere ec.) wählen kann. Wenn keine Verlängerung "vorwärs" oder "rückwärs" gewähl wird, zeichne Ecel nur die Gerade im Bereich zwischen min und ma. Den eingezeichneen Trend anklicken jez kann man die Trendlinie formaieren (dicker, farbig ec). Man kann auch wie hier geschehen die Opion " Parameer anzeigen " wählen und das dazu gehörige Tefeld mi der Regressionsgleichung, der Besimmhei R (ensprich r ) bearbeien und auch nachräglich den Korrelaionskoeffizienen (Funkion "Pearson") einragen.

6 Peer v. d. Lippe, Übungsaufgaben zur einfachen Regression 6 Ohne Ecel kann man die Parameer αˆ und βˆ sowie r und ˆσ auch wie folg berechnen: Mielwere = /5 = 8, 8 y = 184/5 = 36, 8 Varianzen (und ummen der Abweichungsquadrae) ( 8,8) 50, 56 s = 4400/5 = = Ts = 5 50,56 = 5,8 ( 367,8) 35, 76 sy = 8400/ 5 = yy = 168,8 Kovarianz s = / T y?5868/5 8,8 36,8 113, 76 eigung Ordinaenabschni um squared resid. y y = β ˆ = s y s = 113,76/50,56 =,5 α ˆ = y β ˆ = 36,8,5 8,8 = -8.E. of regression σˆ ( ) = 349 (verschiedene Berechnungsmöglichkeien siehe unen) ) σˆ = σ = T = 349/3 = 116,33 σ ˆ = 116, 33 =10,786 u Korrelaion Zweies Anfangsmomen Es gil und r = s s s = 0,8864 Besimmhei r = 0,78573 y y = T = 4400/5 = T = T s = ŷ ˆ y = β T = =168,8-179,8 = 349 (oder ( ), ferner da ( ) yy is auch = 1 r T s ). y = βˆ = βˆ Ts.3. Berechnungen zur Indukiven aisik a) Konfidenzinervall für die reuung Mi dem α/ sowie dem 1-α/ Quanil (d.h. mi der uneren und obere ignifikanzschranke) der χ Vereilung bei α = 0,05 und 5- = 3 Freiheisgraden z u = 0,16 und z o = 9,348 erhäl man die folgenden Grenzen des 95% Konfidenzinervalls für die unbekanne Varianz σ in der Grundgesamhei: Unergrenze = = 37, 33 und Obergrenze = = 1615, 74. û û 349 û û 349 z 9,348 z 0,16 o Es wird gerne vergessen, dass 5 σ ˆ ˆ u = σ = 349/3 = 116,333 genauso ein zu schäzender Parameer des Modells der einfachen Regression is wie die Parameer αˆ und βˆ. b) Regressionskoeffizienen, H 0 ρ = 0 (Varianzanalyse) Die weieren Größen sind für die Besimmung von Konfidenzinervallen und zur Durchführung von Tess wichig σˆ 116,33 σˆ β ˆ = = = 0, σˆ ˆ = σˆ ˆ = 880 0,46 = 404, 84 σˆ ˆ 13, 49 α β αβ = σ ˆ = β 5,8 Die Mari der (geschäzen) Varianzen und Kovarianzen der Regressionskoeffizienen is demnach 404,84 13,49 Alle weieren Berechnungen (Konfidenzinervalle für α V = σˆ X'X =. und β Prognoseinervall für y 0 und sowie Varianzanalyse) vgl. 13,49 0,46005 Vorlesung. u 5 Man beache, dass 116,333 nich in der Mie lieg zwischen 37,33 und 1615,74. Das lieg daran, dass die χ Vereilung nich symmerisch is.

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