Analog/Digital-Umsetzung und Frequenzmessung
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- Edith Busch
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1 Institut für Elektrische Meßtechnik und Meßsignalverarbeitung Technische Universität Graz Elektrische Messtechnik, Labor Wintersemester 2006/07 Analog/Digital-Umsetzung und Frequenzmessung Gruppe: Gruppe 16 Teilnehmer: Bernhard Geiger Andreas Baumgartner Michael Jaritz Michael Lecker Betreuer: Übungsdatum: 25. Oktober 2006
2 Inhaltsverzeichnis 1 Flash Converter Aufgabenstellung Schaltung Messwerte und Tabellen Formeln und Berechnungsbeispiele Diagramme Anmerkungen und Diskussion Wägeverfahren Aufgabenstellung Schaltung Messwerte und Tabellen Formeln und Berechnungsbeispiele Diagramme Anmerkungen und Diskussion Dual Slope-Verfahren Aufgabenstellung Schaltung Messwerte und Tabellen Formeln und Berechnungsbeispiele Diagramme Anmerkungen und Diskussion A/D-D/A Umsetzereinheit Aufgabenstellung Schaltung Messwerte und Tabellen Formeln und Berechnungsbeispiele Diagramme Anmerkungen und Diskussion Periodendauermessung Anmerkungen und Diskussion Frequenzmessung Aufgabenstellung Schaltung Messwerte und Tabellen Formeln und Berechnungsbeispiele Diagramme Anmerkungen und Diskussion
3 7 f/u-umsetzer Aufgabenstellung Schaltung Messwerte und Tabellen Formeln und Berechnungsbeispiele Diagramme Anmerkungen und Diskussion Einfacher U/f-Umsetzer Aufgabenstellung Schaltung Messwerte und Tabellen Formeln und Berechnunsbeispiele Diagramme Anmerkungen und Diskussion U/f-Sägezahnumsetzer Anmerkungen und Diskussion Optische Übertragungsstrecke Anmerkungen und Diskussion Geräteverzeichnis 26 2
4 1 Flash Converter 1.1 Aufgabenstellung Der Flash Converter soll gemäß Schaltung 1 aufgebaut werden. Der Betrieb soll handgetaktet, mit schnellem und mit langsamen Takt erfolgen. Die Umsetzerkennlinie ist unter Zuhilfenahme der variablen Spannungsversorgung (-2.5 V bis +2.5 V) aufzunehmen. Positiver und negative Bereichsendwertfehler, Nullpunktfehler und differentielle sowie integrale Nichtlinearität sind zu bestimmen. Die Auswirkungen von überlagerten Störungen (Sinus und Rauschen) auf den Messvorgang sind zu beobachten. 1.2 Schaltung Abbildung 1 zeigt die Schaltung des Flash Converters mit dessen externer Beschaltung Abbildung 1: Flash Converter 1.3 Messwerte und Tabellen Die Tabelle 1 enthält die Werte zur Aufnahme der Umsetzerkennlinie und in Tabelle 2 sind die Kennwerte des Umsetzers nocheinmal zusammengefasst. 1.4 Formeln und Berechnungsbeispiele Tatsächlich wurden immer nur die realen Umschaltspannungen zwischen den Quantisierungsintervallen gemessen (daher werde ich sie hier U gem nennen), alle anderen Werte 3
5 Tabelle 1: Gemessene Werte zu für den Flash Converter V U LSB U neg U pos U off DNL INL Tabelle 2: Kennwerte des Flash Converters berechneten sich aus diesen Werten und den Kenngrößen des Umsetzers. Da die Berechnungen für alle A/D-Umsetzer die selben sind, werden sie hier nur einmal exemplarisch angeführt. Wir verwendeten bipolare A/D-Umsetzer mit einem Eingangsspannungsbereich von F SR = 5 V (1) und einer Auflösung von N = 4 bit. (2) Die ideale Stufenbreite U LSB berechnet sich daher zu U LSB = F SR 2 N = 5 16 = V (3) Mit der idealen Stufenbreite ist es nun ein leichtes, die idealen Umschaltspannungen U umsch zu berechnen. Der erste Umschaltpunkt befindet sich bei U umsch1 = F SR 2 + U LSB 2 alle weiteren um jeweils eine Stufenbreite höher: = = V (4) U umschn = U umschn 1 + U LSB (5) 4
6 Die dritte Spalte in unserer Tabelle gibt die Differenz zwischen realer und idealer Umschaltspannung an: U umsch = U gem U umsch = = V (6) Die Differenz beim ersten Übergang im negativen Bereich gibt dabei den negativen Bereichsendwertfehler (im Beispiel U neg = V ), die Differenz beim letzten Übergang im positiven Bereich hingegen den positiven Bereichsendwertfehler (im Beispiel U pos = V ) an. Der Nullpunktfehler, der die Differenz zwischen idealer und realer Eingangsspannung für den Wechsel von -1 auf 0 angibt, ist in der Mitte der dritten Spalte zu finden. Er beträgt beim Flash Umsetzer U off = V. Zur leichteren Orientierung sind diese Kennwerte in der Tabelle rot markiert. Die Werte müssen nun aber gemäß ihrer üblichen Angabe auf U LSB bezogen werden. Das werde ich nun exemplarisch für den Nullpunktfehler durchführen: Zero Offset = U off U LSB = = 0.42 U LSB (7) Für die korrekte Berehnung der differentiellen und integralen Nichtlinearität (im folgenden mit DNL bzw. INL abgezürzt) muss zuerst ein Endpunktableich durchgeführt werden. Das geschieht durch gewichtete Subtraktion der Bereichsendwertfehler von den realen Umschaltspannungen: U korr1 = U gem U neg 0 14 U pos (8) U korr1 = = (9) U korr2 = = (10)... U korr14 = U korr15 = (11) = (12) = (13) 14 Aus der Differenz zweier korrigierter Umschaltspannungen erhält man die reale Stufenbreite: U step1 = U korr2 U korr1 = = V (14) Die Abweichung der realen von der idealen Stufenbreite ergibt sich durch Differenzbildung U step1 = U step1 U LSB = = V (15) und der Maximalwert dieser Abweichungen beschreibt die DNL DNL = max { U step } = V. (16) 5
7 Wird dieser Fehler noch auf das Inkrement bezogen, ergibt sich ein DNL von 2.07 U LSB. Addiert man zur korrigierten Umschaltspannung die halbe reale Stufenbreite erhält man die realen Stufenmittelpunkte: U mid1 = U korr1 + U step1 2 = = V (17) Analog dazu errechnen sich die idealen Stufenmittelpunkte aus der Summe von idealer Umschaltspannung und idealer halber Stufenbreite; da diese idealen Stufenmittelpunkte auf einer Geraden liegen, werde ich sie hier U ger nennen. Bildet man nun die Differenz zwischen realen und idealen Stufenmittelpunkten U mid1 = U mid1 U ger1 = ( 2.188) = V (18) und sucht man den Maximalwert dieser Spalte, erhält man die INL (-0.39 V), die man wieder auf das Inkrement beziehen kann (-1.25 U LSB ). 1.5 Diagramme Das Diagramm in Abbildung 2 zeigt die Kennlinie des Flash Converters mit allen eingezeichneten Kenngrößen. Zum Zwecke der deutlicheren Lesbarkeit wurden die Stufenmittelpunkte in einem eigenen Diagramm dargestellt. Abbildung 3 zeigt deshalb die Abweichung von der idealen Gerade, mit Kennzeichnung der integralen Nichtlinearität. Abbildung 2: Kennlinie des Flashumsetzers 6
8 Abbildung 3: Stufenmittelpunkte des Flashumsetzers 1.6 Anmerkungen und Diskussion Durch Handtaktung des Flash Umsetzers stellten wir fest, dass der Umsetzvorgang nur einen Takt lang dauert. Das ist nicht weiter verwunderlich, wenn man den Aufbau 1 des Umsetzers betrachtet. Wir stellten fest, dass das Widerstandsnetzwerk nicht richtig dimensioniert war, da es einen fehlenden Code (missing code) gab: Das Ausgangswort 2 hatte kein Spannungsäquivalent. Wir störten die Umsetzung mit einem sinusförmigen Signal mit der Amplitude U ss = 4 V. Die Anzeige flackerte, es war kein Ablesen mehr möglich. Jedoch ist es bei einem Flash Converter möglich, das Ausgangssignal digital zu filtern um so die Störung herauszumitteln. Die Anzeige ist also im Prinzip korrekt, weil sie der jeweilige Wert der Eingangsspannung tatsächlich entspricht. Voraussetzung dafür ist allerdings die Beachtung des Abtasttheorems nach Shannon, d.h. die sinusförmige Störung darf nicht höherfrequenter als die halbe Abtastfrequenz sein. Dynamische Fehler treten nicht auf, da die flankengesteuerten Flip-Flops an den Komparatorausgängen als digitales Abtast- Halte-Glied fungieren. Auch bei einer Störung mit Rauschen war keine Ablesevorgang mehr möglich, die Anzeige flackerte. Auch hier ist aber eine digitale Filterung zur Mittelwertbildung möglich. Beim Flash Converter wie bei den anderen Umsetzern wird ein bipolarer Betrieb nur durch die äußere Beschaltung vorgetäuscht. Tatsächlich sind die Umsetzer intern unipolar mit einem Bereich von 0..5 V, zur Eingangsspannung werden also weitere 2.5 V hinzuaddiert. 7
9 2 Wägeverfahren 2.1 Aufgabenstellung Es ist ein 4 bit A/D-Umsetzer nach dem Wägeverfahren gemäß Abbildung 4 aufgebaut werden. Der Betrieb soll handgetaktet, mit schnellem und langsamen Takt erfolgen. Für verschiedene Eingangsspannungen sollen die Ausgangsspannungen des D/A-Umsetzers und das Taktsignal auf dem Oszilloskop dargestellt werden. Ähnlich wie unter Punkt 1.1 soll die Umsetzerkennlinie und die Kenndaten des A/D-Umsetzers bestimmt, und dessen Verhalten bei Störungen beobachtet werden. 2.2 Schaltung Abbildung 4 zeigt die Schaltung des Umsetzers nach dem Wägeverfahren mit dessen externer Beschaltung Abbildung 4: Umsetzer für Wägeverfahren 2.3 Messwerte und Tabellen Die Tabelle 3 enthält die Werte zur Aufnahme der Umsetzerkennlinie und in Tabelle 4 sind die Kennwerte des Umsetzers nocheinmal zusammengefasst. 2.4 Formeln und Berechnungsbeispiele Siehe dazu
10 Tabelle 3: Gemessene Werte für den Umsetzer nach dem Wägeverfahren V U LSB U neg U pos U off DNL INL Tabelle 4: Kennwerte des Umsetzers nach dem Wägeverfahren 2.5 Diagramme Das Diagramm in Abbildung 5 zeigt die Kennlinie des Umsetzers mit allen eingezeichneten Kenngrößen. Wieder stelle ich die INL in einer eigenen Abbildung 6 dar. In dieser Aufgabe ist es außerdem erforderlich, die Ausgangsspannungen des D/A- Umsetzers anzuzeigen. Abbildung 2.5 zeigt die Ausgangsspannung und den Takt, Bild 2.5 zeigt neben der Ausgangsspannung des D/A-Umsetzers die Eingangsspannung des A/D-Umsetzers. Es ist deutlich der Quantisierungsfehler zu sehen. Die Aufnahmen erfolgten mit einer Einstellung von 0.5V/DIV bzw. 1V/DIV und 0.5 µ/div am Oszilloskop. 2.6 Anmerkungen und Diskussion Durch Handtaktung fanden wir heraus, dass der Umsetzer nach dem Wägeverfahren 6 Taktzyklen benötigt, damit ein gültiges Ergebnis vorliegt. Idealerweise benötigen SA- Umsetzer (suczessive approximation) nur N Taktzyklen, also in unserem Fall 4. Die interne Logik des SA-Registers benötigt jedoch zwei zusätzliche Takte für die Steuerlogik. Störungen gegenüber ist der SA-Umsetzer sehr empfindlich. Sowohl bei sinusförmiger Störung als auch bei einem Rauschsignal konnte die Anzeige nicht mehr abgelesen werden. Im Gegensatz zum Flash Converter ist hier aber eine digitale Filterung nicht 9
11 Abbildung 5: Kennlinie des Umsetzers nach dem Wägeverfahren Abbildung 6: Stufenmittelpunkte des Umsetzers nach dem Wägeverfahren möglich. Ändert sich nämlich innerhalb der 6 Taktzyklen (insbesondere innerhalb der 4 Taktzyklen für die Umsetzung) die Eingangsspannung um mehr als U LSB, ist das Ausgangswort nicht gültig. Es ist also erforderlich, die Eingangsspannung während der ge- 2 samten Umsetzzeit konstant zu halten, am besten geschieht das mit einem Abtast-Halte- Glied. Dann ist auch eine digitale Filterung zur Störunterdrückung wieder möglich. 10
12 Abbildung 7: Ausgangsspannung des D/A-Umsetzers für den Wert 0011 Abbildung 8: Ausgangsspannung des D/A-Umsetzers für den Wert 0110 und Quantisierungsfehler 3 Dual Slope-Verfahren 3.1 Aufgabenstellung Es ist ein 4 bit A/D-Umsetzer nach dem Dual Slope-Verfahren gemäß Abbildung 9 aufgebaut werden. Der Betrieb soll handgetaktet, mit schnellem und langsamen Takt erfolgen. Für verschiedene Eingangsspannungen sollen die Ausgangsspannungen des Integrators und das Taktsignal auf dem Oszilloskop dargestellt werden. Ähnlich wie unter Punkt 1.1 soll die Umsetzerkennlinie und die Kenndaten des A/D-Umsetzers bestimmt, und dessen Verhalten bei Störungen beobachtet werden. 3.2 Schaltung Abbildung 9 zeigt die Schaltung des Umsetzers nach dem Dual Slope-Verfahren mit dessen externer Beschaltung 3.3 Messwerte und Tabellen Die Tabelle 5 enthält die Werte zur Aufnahme der Umsetzerkennlinie und in Tabelle 6 sind die Kennwerte des Umsetzers nocheinmal zusammengefasst. 3.4 Formeln und Berechnungsbeispiele Wir haben eine Taktfrequenz von f T = 1.69 khz und eine Integrationszeit von 15.5 Taktperioden. Das ergibt eine Integrationszeit von T I = 15.5 f T = s. (19) 11
13 Abbildung 9: Dual Slope Umsetzer Tabelle 5: Gemessene Werte für den Dual Slope Umsetzer V U LSB U neg U pos U off DNL INL Tabelle 6: Kennwerte des Dual Slope Umsetzers 12
14 Damit wird jede Frequenz mit f s = k T I perfekt unterdrückt, für k ganzzahlig und positiv: f s = 1 = 109 Hz T I (20) = 2 = 228 Hz T I (21)... (22) Zur Berechnung der Tabelle siehe Diagramme Das Diagramm in Abbildung 10 zeigt die Kennlinie des Umsetzers mit allen eingezeichneten Kenngrößen, die integrale Nichtlinearität ist in Abbildung 11 zu sehen. Abbildung 10: Kennlinie des Dual Slope Umsetzers Hier waren wir dazu angehalten, die Ausgangsspannung des Integrators für unterschiedliche Eingangsspannungen neben dem Takt darzustellen. Es zeigt sich zuerst, dass der Kondensator über eine Zeit von exakt 15.5 Taktperioden aufgeladen wird. Dieser nichtganzzahlige Wert ergibt sich aus der Tatsache, dass Start und Ende des Ladevorgangs von unterschiedlichen Flanken getriggert werden. Die Spannung am Kondensator ist nun am Ende des Ladevorgangs dem Mittelwert der Eingangsspannung proportional, daher zeigt Abbildung 3.5 auch für eine kleine Eingangsspannung eine niedrigere Spannung 13
15 Abbildung 11: Stufenmittelpunkte des Dual Slope Umsetzers am Kondensator, Abbildung 3.5 hingegen eine größere Spannung. Anschließend wird eine konstante, negative Referenzspannung zum Entladen des Kondensators integriert und die Zeit bis zum Nulldurchgang gemessen. Diese ist - wie auf den Bildern zu sehen - von der Ladespannung und damit vom Mittelwert der Eingangsspannung abhängig. Abbildung 12: Ausgangsspannung des Integrators für eine kleine Eingangsspannung Abbildung 13: Ausgangsspannung des Integrators für eine große Eingangsspannung Die Abbildung 14 zeigt eine sinusförmige Störung am Eingang des Umsetzers, jedoch hat diese Störung eine der Integrationszeit entsprechenden Periode (zur Berechnung siehe 3.4). Daher hat sie keinen Einfluss auf das Umsetzergebnis, da sie vollständig herausgemittelt wird. 3.6 Anmerkungen und Diskussion Der Dual Slope Umsetzer benötigt zur Umsetzung zwischen 16 und 32 Takte (je nach Größe der Eingangsspannung) und weitere 3 Taktzyklen zur vollständigen Kondensatorentladung. Bei Bereichsüberschreitungen wird dieser nämlich nicht durch die Integration der negativen Referenzspannung entladen, was bei der nachfolgenden Messung einen 14
16 Abbildung 14: Störung am Eingangssignal des Dual Slope Umsetzers großen Offsetfehler verursachen würde. Der Kondensator wird in diesen drei Taktzyklen kurzgeschlossen. Niederfrequente sinusförmige Störsignale haben einen großen Einfluss auf das Messergebnis, wenn ihre Periodendauer nicht mit der Integrationszeit übereinstimmt. Wird die Taktfrequenz aber richtig gewählt, können diese Störungen gut unterdrückt werden, was einer der Vorteile des Dual Slope Umsetzers ist. Hochfrequente Sinusstörungen werden aufgrund des integrierenden Teils ohnehin gut abgedämpft (siehe dazu den Frequenzgang eines Integrierers). Rauschen besitzt aufgrund seiner Breitbandigkeit viele hohe Spektralanteile und erlaubt deshalb ebenfalls eine einwandfreie Ablesung des Umsetzergebnisses. 4 A/D-D/A Umsetzereinheit 4.1 Aufgabenstellung Es ist eine Umsetzerheit bestehend aus dem Flash Converter und dem beim Wägeverfahren verwendeten D/A-Umsetzer aufzubauen. Als Signalquelle wird ein Funktionsgenerator verwendet. Das sinusförmige Signal ist vor und nach der Umsetzereinheit darzustellen, ebenso der Quantisierungsfehler durch Differenzbildung der beiden Kanäle des Oszilloskops. Schließlich ist der Zusammenhang zwischen Signalfrequenz und Abtastfrequenz und dessen Auswirkung auf das Ausgangssignal zu beobachten. 4.2 Schaltung Abbildung 15 zeigt den schematischen Aufbau der A/D-D/A Umsetzereinheit. Die beiden Oszilloskope in der Schaltung stellen die beiden Kanäle des verwendeten Oszilloskops dar. Wichtig dabei ist, dass zu dem mittelwertfreien Sinus eine Offsetspannung von 2.5 V addiert werden muss, was leicht durch den verwendeten Experimentierkasten realisiert werden kann. 15
17 Abbildung 15: Blockschaltbild der A/D-D/A Umsetzereinheit 4.3 Messwerte und Tabellen Der Quantisierungfehler, der in Abbildung 4.5 dargestellt ist, hat einen Spitzen-Spitzenwert von 0.8 V. Das entspricht - soferne man einen um den Idealwert symmetrischen Quantisierungsfehler annehmen will - einer Abweichung von ± 0.4 V vom tatsächlichen Eingangssignal. 4.4 Formeln und Berechnungsbeispiele Wir beziehen den Absolutwert des Quantisierungsfehlers auf das Inkrement, um zur gängigen Angabe zu gelangen: F Q = ±0.4 U LSB = ±1.1 U LSB (23) Der Idealwert des Quantisierungsfehlers liegt jedoch bei ±0.5 U LSB. 4.5 Diagramme Im Bild 4.5 ist, leider etwas schwach, das sinusförmige Signal vor und nach der Umsetzereinheit zu sehen. Man sieht deutlich, dass das Ausgangssignal nur diskrete Werte annehmen kann, während das Eingangssignal - also der Sinus vor der Umsetzung - wertkontinuierlich ist. Das zweite Bild 4.5 zeigt den Quantisierungsfehler durch Differenzbildung der beiden Kanäle (dazu wird der Addierbetrieb aktiviert und ein Kanal invertiert). Schließlich wird noch der Aliasing-Effekt in Bild 18 dargestellt. Bei zu hoher Frequenz des Eingangssignals ist das Abtasttheorem nach Shannon verletzt und das Ausgangssignal besitzt eine Spiegelfrequenz der Originalfrequenz. 4.6 Anmerkungen und Diskussion Der Quantisierungsfehler überschreitet deutlich den Idealwert. Das mag daran liegen, dass wir beim Flash Umsetzer, den wir ja auch in dieser Aufgabe verwendeten, einen mis- 16
18 Abbildung 16: Signal vor und nach der Umsetzereinheit Abbildung 17: Quantisierungsfehler Abbildung 18: Blockschaltbild der A/D-D/A Umsetzereinheit sing code feststellen mussten. Ferner ist der Quantisierungsfehler kein reines Sägezahnsignal, wie es die ideale Kennlinie vorschlägt. Das wiederum ist auf das sinusförmige Eingangssignal zurückzuführen; es verursacht die Bögen und Biegungen in der Darstellung des Quantisierungsfehlers. Bei Verletzung des Abtasttheorems - also wenn im Signal eine höhere Frequenz als die halbe Abtastfrequenz vorkommt - erscheint am Ausgang der Umsetzereinheit eine niederfrequente Spiegelfrequenz. Ein ähnliches Problem tritt auch bei den digitalen Speicheroszilloskopen auf, die ebenfalls Flash Umsetzer verwenden. Man muss aus diesem Grund Anti-Aliasing Tiefpassfilter verwenden. Die Abtastrate eines solchen Digitaloszilloskops ändert sich jedoch auch mit der eingestellten Zeitablenkung. So wird bei einer Darstellung eines 1 khz-signals nicht entwa mit 1 GHz wie üblich, sondern nur mehr mit 1 MHz abgetastet - andernfalls würden zuviele Punkte gesampelt. Das interne Tiefpassfilter, dass z.b. für eine maximale Frequenz von 100 MHz ausgelegt ist, kann nun kein Aliasing mehr verhindern, und hochfrequente (im Bereich zwischen 500 khz und 100 MHz) Störungen werden ins Basisband gespiegelt und erscheinen niederfrequent. Um das zu verhindern gibt es zweierlei Möglichkeiten: Die Vorschaltung eines selbst konstruierten Tiefpassfilters oder der Spitzenwertbetrieb. In letzterem wird das Signal mit der maximalen Abtastfrequenz, für die das Anti-Alias Tiefpassfilter ausgelegt ist, gesampelt und am Bildschirm der Maximal- bzw. Minimalwert der jeweiligen Zeitkoordinate als 17
19 Linie dargestellt. Man kann ein gestörtes Signal nun an seiner Liniendickeërkennen. 5 Periodendauermessung 5.1 Anmerkungen und Diskussion Diese Aufgabe wurde nicht durchgeführt. Stattdessen legten wir ein besonderes Augenmerk auf die Frequenzmessung, die große Ähnlichkeiten mit der Periodendauermessung aufweist. 6 Frequenzmessung 6.1 Aufgabenstellung Es ist eine Schaltung zur Frequenzmessung aufzubauen und eine beliebige Frequenz zu messen. Dabei sind zuerst für ein Teilerverhältnis von 1:900 die Mess- und die Referenzfrequenz derart zu wählen, dass der Zählerstand maximal wird. Die Frequenzen sind mit einem Digitalmultimeter zu kontrollieren. Die Zähleranzeige ist für andere Teilerverhältnisse aufzunehmen. Der Quantisierungsfehler (in Hz) und der relative Fehler sind zu berechnen. 6.2 Schaltung Abbildung 19 zeigt den schematischen Aufbau einer Schaltung zur Frequenzmessung. Zusätzlich gab es noch eine Leuchtdiode, die einen ein- oder mehrmaligen Zählerüberlauf anzeigte. Abbildung 19: Schaltung des f/u-umsetzers 6.3 Messwerte und Tabellen In Tabelle7 sind die eingestellten, gemessenen und berechneten Werte zur Frequenzmessung eingetragen. 18
20 eingestellt gemessen berechnet f n m N f x f x f x f r Hz - - Hz Hz Hz % Tabelle 7: Frequenzmessung 6.4 Formeln und Berechnungsbeispiele Die Frequenzmessung misst die Anzahl der Impulse einer Messfrequenz f x, die während einer Torzeit T T ankommen. Die Torzeit ist die um einen gewählten Faktor vergrößerte Periodendauer der Referenzfrequenz f n. Die Torzeit berechnet sich wie folgt: T T = m f n (24) Der Zählerstand N ergibt sich zu N = f x T T (25) und daraus kann man die Messfrequenz berechnen: f x = N N = f n T T m = = 9119 Hz (26) Das letzte Digit ist aufgrund fehlender Synchronisation unsicher, es ergibt sich also ein systematischer Fehler von N = 1 (27) und durch die Fehlerfortpflanzung eine Abweichung für das Messergebnis f x = f x N N = f n m N = = 0.95 Hz (28) 9560 Wir erhalten also für die Messfrequenz N f x = f n m ± f n N = 9119 ± 0.95 Hz (29) m Berechnen wir nun den relativen Fehler f r : f r = f x f x = Diagramme = 0.01% (30) Hier zeigt nur ein Diagramm (??) die Abhängigkeit des relativen Fehlers vom Ausnützungsgrad der Anzeige. Eine Erläuterung dazu ist in den Anmerkungen zu finden. 19
21 Abbildung 20: Relativer Fehler in Abhängigkeit der Anzeigenausnutzung 6.6 Anmerkungen und Diskussion Eine weitere systematische Abweichung bei der Frequenzmessung ist die Ungenauigkeit der Referenzfrequenz. Diese geht direkt in das Messergebnis ein. Da wir aber eine quarzstabile Referenzfrequenz verwenden (deren Fehler bei weniger als 100 ppm, d.s. weniger als 0.1 %, liegt) ist diese Abweichung zu vernachlässigen. Wir dürfen davon ausgehen, dass f n genau ist. Ebenso können wir die Digitalmultimeter, die wir zur Überprüfung der Frequenzen verwendeten, als genau annehmen. Der relative Fehler ist umso geringer, je besser der Zählbereich ausgenutzt wird. Das liegt daran, dass sich bei einem hohen Zählstand die Unsicherheit von ±1 bit nicht so stark auswirkt. 7 f/u-umsetzer 7.1 Aufgabenstellung Es ist ein f/u-umsetzer aufzubauen und die Tiefpassparameter für einen minimalen Fehler einzustellen. Die f/u-kennlinien sind bei zwei verschiedenen Werten von T 0 aufzunehmen und in einem gemeinsamen Diagramm darzustellen. 7.2 Schaltung Abbildung 21 zeigt die Schaltung eines f/u-umsetzers. Der Signalformer besteht dabei aus einem Hochpass zur Störunterdrückung, einem Tiefpass zur Gleichunterdrückung und einem Komparator mit kleiner Hysterese zur Pulsformung. 7.3 Messwerte und Tabellen Tabelle 8 zeigt die Ausgangsspannung des f/u-umsetzers für eine Zeitkonstante T 0 = 100 µs des Monoflops, Tabelle 9 für eine Zeitkonstante T 0 = 10 µs, jeweils in Abhängigkeit der eingestellten Frequenz f x. 20
22 Abbildung 21: Schaltung des f/u-umsetzers f x U a Hz V Tabelle 8: f/u-umsetzer (T 0 = 100 µs) f x U a Hz V Tabelle 9: f/u-umsetzer (T 0 = 10 µs) 7.4 Formeln und Berechnungsbeispiele Die Zeitkonstante des Tiefpasses des Umsetzers beeinflusst einerseits die Welligkeit des Spannungssignals, andererseits dessen Reaktionsgeschwindigkeit auf Frequenzänderungen am Eingang. τ darf also weder zu groß, noch zu klein sein. Wir geben die Zeit zwischen einer Frequenzänderung am Eingang und dem stabilen Vorliegen der Ausgangsspannung mit 1 s vor. Unter ßtabiler Ausgangsspannung verstehen wir die Tatsache, dass die Spannung, die ja nach einer Exponentialfunktion steigt bzw. sinkt, 99% ihres Endwertes erreicht hat = 1 e kτ τ (31) 0.01 = e kτ τ (32) ln 0.01 = kτ = k (33) τ k = (34) Der Endwert ist also nach 5 τ erreicht. Daraus folgt nun weiter: 5τ < 1 s τ < 200 ms 21 (35) (36)
23 Geben wir einen Widerstandswert in der Größe von R = 10 kω vor, erhalten wir den Kondensator aus der Formel: τ = RC (37) C = τ R < 200 m = 20 µf (38) 10 k C = 20 µf gewählt. (39) Die Ausgangsspannung ergibt sich im Idealfall zu U = U 0 T 0 f x (40) wobei die maximale Eingangsfrequenz mit f max = 1 T 0 = gegeben ist. 7.5 Diagramme µs = 10 khz (41) Diagramm 22 zeit wie gefordert die Ausgangsspannungen des Umsetzers in Abhängigkeit der Eingangsfrequenz, und zwar für zwei verschiedene Zeitkonstanten des Monoflops und damit für zwei verschiedene Freqzenzbereiche. Abbildung 22: Kennlinie des f/u-umsetzers 7.6 Anmerkungen und Diskussion Die Wahl der Tiefpassparameter wurde nicht nur durch Welligkeit und Reaktionsgeschwindigkeit bestimmt, auch ein systematischer Fehler beeinflusste unsere Wahl, insbesondere die des Widerstandswerts. Durch die externe Beschaltung des Umsetzers (in Abbildung 23 gezeigt) mit einem Oszilloskop mit 1 M Ω Eingangswiderstand wird nämlich 22
24 ein Spannungsteiler gebildet, der einen großen Fehler in der Umsetzerkennlinie erzeugt. Das Spannungsmessgerät hat nun gegenüber der zu messenden Schaltung nämlich keinen hohen Innenwiderstand mehr. Es ist also ein möglichst kleiner Widerstand des Tiefpasses zu wählen und der Kondensator entsprechend der berechneten Zeitkonstante anzupassen. Abbildung 23: Fehler des f/u-umsetzers durch Beschaltung 8 Einfacher U/f-Umsetzer 8.1 Aufgabenstellung Es ist ein einfacher U/f-Umsetzer aufzubauen und die Tiefpassparameter desselben für optimale Frequenzstabilität einzustellen. Die Ausgangsfrequenz soll am Oszilloskop dargestellt werden. Die Kennlinie ist aufzunehmen. 8.2 Schaltung Abbildung 24 zeigt die Schaltung eines U/f-Umsetzers. Die Bauteilwerte sind in der Schaltung nicht angegeben, da sie experimentell bestimmt wurden. Abbildung 24: Schaltung des U/f-Umsetzers 23
25 8.3 Messwerte und Tabellen Die Tabelle 10 zeigt die gemessene Ausgangsfrequenz des U/f-Umsetzers bei eingestellter Eingangsspannung. U x f a V khz Tabelle 10: Einfacher U/f-Umsetzer 8.4 Formeln und Berechnunsbeispiele Wir benötigen lediglich die Formel für die Zeitkonstante des Tiefpasses, und diese ist unter 7.4 zu finden. 8.5 Diagramme Diagramm 25 zeigt die Umsetzkennlinie des U/f-Umsetzers. Der Knick in der Kennlinie entsteht durch ein SZusammenwachsen der Monoflop-Impulse, worauf ich auch in den Anmerkungen noch genauer zu sprechen komme. Wir waren dazu aufgefordert, die Ausgangsfrequenz am Oszilloskop darzustellen, und zwar für einen frequenzstabilen Fall. Mit Abbildung 26 ist dieser Forderung genüge getan. 8.6 Anmerkungen und Diskussion Bei der Wahl der Tiefpassparameter mussten wir darauf achten, keine zu große Zeitkonstante zu erhalten. Für eine solche steigt die Spannung am Tiefpass nämlich so langsam an, dass Störungen an der Spannung ein zweites Triggern des Monoflops verursachen. Die Monoflop-Pulse mit der Dauer T 0 wachsen zusammen, der Kondensator wird weiter aufgeladen. Das wiederum verursacht eine längere Wartezeit zwischen den Pulsen; es wird eine niedrigere und zudem unregelmäßige Frequenz gemessen. Der selbe Effekt, nämlich ein mehrfaches Auslösen des Monoflops, kann bei einer zu 24
26 Abbildung 25: Kennlinie des U/f-Umsetzers Abbildung 26: Ausgangsspannung des U/f-Umsetzers hohen Eingangsspannung beobachtet werden. Das ist auch der Grund für den Knick in der Kennlinie. 9 U/f-Sägezahnumsetzer 9.1 Anmerkungen und Diskussion Diese Übung wurde aus Zeitgründen nicht durchgeführt. 25
27 10 Optische Übertragungsstrecke 10.1 Anmerkungen und Diskussion Diese Übung wurde aus Zeitgründen nicht durchgeführt. 11 Geräteverzeichnis Widerstandsnetzwerk Flash Nummer 6 Widerstandsnetzwerk SAR Nummer 5 Analoges Oszilloskop Tektronix 2205 Experimentierkasten A/D-Umsetzung Experimentierkasten Zeit- und Frequenzmessung Digitalmultimeter Fluke 87 Digitalmultimeter Fluke 79 Unterschriften der Übungsteilnehmer Graz, am 18. Dezember 2006 Literatur 26
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